小學數(shù)學數(shù)學教案
發(fā)表時間：2021-10-02高二數(shù)學教案：《數(shù)學任意角和弧度制》教學設計。
高二數(shù)學教案：《數(shù)學任意角和弧度制》教學設計
一、教學目標:
1、知識與技能
(1)理解并掌握弧度制的定義;(2)領會弧度制定義的合理性;(3)掌握并運用弧度制表示的弧長公式、扇形面積公式;(4)熟練地進行角度制與弧度制的換算;(5)角的集合與實數(shù)集之間建立的一一對應關系.(6) 使學生通過弧度制的學習,理解并認識到角度制與弧度制都是對角度量的方法,二者是辨證統(tǒng)一的,而不是孤立、割裂的關系.
2、過程與方法
創(chuàng)設情境,引入弧度制度量角的大小,通過探究理解并掌握弧度制的定義,領會定義的合理性.根據(jù)弧度制的定義推導并運用弧長公式和扇形面積公式.以具體的實例學習角度制與弧度制的互化,能正確使用計算器.
3、情態(tài)與價值
通過本節(jié)的學習,使同學們掌握另一種度量角的單位制---弧度制,理解并認識到角度制與弧度制都是對角度量的方法,二者是辨證統(tǒng)一的,而不是孤立、割裂的關系.角的概念推廣以后,在弧度制下,角的集合與實數(shù)集之間建立了一一對應關系:即每一個角都有唯一的一個實數(shù)(即這個角的弧度數(shù))與它對應;反過來,每一個實數(shù)也都有唯一的一個角(即弧度數(shù)等于這個實數(shù)的角)與它對應,為下一節(jié)學習三角函數(shù)做好準備.
二、教學重、難點
重點: 理解并掌握弧度制定義;熟練地進行角度制與弧度制地互化換算;弧度制的運用.
難點: 理解弧度制定義,弧度制的運用.
三、學法與教學用具
在我們所掌握的知識中,知道角的度量是用角度制,但是為了以后的學習,我們引入了弧度制的概念,我們一定要準確理解弧度制的定義,在理解定義的基礎上熟練掌握角度制與弧度制的互化.
教學用具:計算器、投影機、三角板
四、教學設想
【創(chuàng)設情境】
有人問:?？诘饺齺営卸噙h時,有人回答約250公里,但也有人回答約160英里,請問那一種回答是正確的?(已知1英里=1.6公里)
顯然,兩種回答都是正確的,但為什么會有不同的數(shù)值呢?那是因為所采用的度量制不同,一個是公里制,一個是英里制.他們的長度單位是不同的,但是,他們之間可以換算:1英里=1.6公里.
在角度的度量里面,也有類似的情況,一個是角度制,我們已經(jīng)不再陌生,另外一個就是我們這節(jié)課要研究的角的另外一種度量制---弧度制.
五、評價設計
1.作業(yè):習題1.1 A組第7,8,9題.
2.要熟練掌握弧度制與角度制間的換算,以及異同.能夠使用計算器求某角的各三角函數(shù)值.
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新課標高一數(shù)學必修4任意角和弧度制
一名優(yōu)秀的教師在每次教學前有自己的事先計劃，準備好一份優(yōu)秀的教案往往是必不可少的。教案可以讓學生更好的消化課堂內(nèi)容，幫助教師營造一個良好的教學氛圍。你知道如何去寫好一份優(yōu)秀的教案呢？下面是小編精心為您整理的“新課標高一數(shù)學必修4任意角和弧度制”，歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！
第一課時1.1.1任意角
教學要求：理解任意大小的角正角、負角和零角，掌握終邊相同的角、象限角、區(qū)間角、終邊在坐標軸上的角.
教學重點：理解概念，掌握終邊相同角的表示法.
教學難點：理解角的任意大小.
教學過程：
一、復習準備：
1.提問：初中所學的角是如何定義？角的范圍？
（角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形；0°～360°）
2.討論：實際生活中是否有些角度超出初中所學的范圍？→說明研究推廣角概念的必要性
（鐘表；體操，如轉(zhuǎn)體720°；自行車車輪；螺絲扳手）
二、講授新課：
1.教學角的概念：
①定義正角、負角、零角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負角，未作任何旋轉(zhuǎn)所形成的角叫零角.
②討論：推廣后角的大小情況怎樣？（包括任意大小的正角、負角和零角）
③示意幾個旋轉(zhuǎn)例子，寫出角的度數(shù).
④如何將角放入坐標系中？→定義第幾象限的角.
（概念：角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合.那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角.）
⑤練習：試在坐標系中表示300°、390°、－330°角，并判別在第幾象限？
⑥討論：角的終邊在坐標軸上，屬于哪一個象限？
結(jié)論：如果角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何一個象限,稱為非象限角.
口答：銳角是第幾象限角?第一象限角一定是銳角嗎?再分別就直角、鈍角來回答這兩個問題.
⑦討論：與60°終邊相同的角有哪些？都可以用什么代數(shù)式表示？
與α終邊相同的角如何表示？
⑧結(jié)論：與α角終邊相同的角，都可用式子k×360°＋α表示，k∈Z，寫成集合呢？
⑨討論：給定頂點、終邊、始邊的角有多少個？
注意：終邊相同的角不一定相等；但相等的角，終邊一定相同；終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差360°的整數(shù)倍
2.教學例題：
①出示例1：在0°～360°間，找出下列終邊相同角：－150°、1040°、－940°.
（討論計算方法：除以360求正余數(shù)→試練→訂正）
②出示例2：寫出與下列終邊相同的角的集合，并寫出－720°～360°間角.
120°、－270°、1020°
（討論計算方法：直接寫，分析k的取值→試練→訂正）
③討論：上面如何求k的值？（解不等式法）
④練習：寫出終邊在x軸上的角的集合，y軸上呢？坐標軸上呢？第一象限呢？
⑤出示例3：寫出終邊直線在y=x上的角的集合S,并把S中適合不等式
的元素寫出來.（師生共練→小結(jié)）
3.小結(jié)：角的推廣；象限角的定義；終邊相同角的表示；終邊落在坐標軸時等；區(qū)間角表示.
三、鞏固練習：
1.寫出終邊在第一象限的角的集合？第二象限呢？第三象限呢？第四象限呢？直線y=-x呢？
2.作業(yè)：書P6練習3③④、4、5題.
第二課時：1.1.2弧度制（一）
教學要求：掌握弧度制的定義，學會弧度制與角度制互化，并進而建立角的集合與實數(shù)集R一一對應關系的概念.
教學重點：掌握換算.
教學難點：理解弧度意義.
教學過程：
一、復習準備：
1.寫出終邊在x軸上角的集合.
2.寫出終邊在y軸上角的集合.
3.寫出終邊在第三象限角的集合.
4.寫出終邊在第一、三象限角的集合.
5.什么叫1°的角？計算扇形弧長的公式是怎樣的？
二、講授新課：
1.教學弧度的意義：
①如圖：∠AOB所對弧長分別為L、L’，半徑分別為r、r’，求證：＝.
②討論：是否為定值？其值與什么有關系？→結(jié)論：＝=定值.
③討論：在什么情況下為值為1？是否可以作為角的度量？
④定義：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫1弧度的角.用rad表示，讀作弧度.
⑤計算弧度：180°、360°→思考：－360°等于多少弧度？
⑥探究：完成書P7表1.1-1后，討論：半徑為r的圓心角α所對弧長為l，則α弧度數(shù)=？
⑦規(guī)定：正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.半徑為r的圓心角α所對弧長為l，則α弧度數(shù)的絕對值為|α|＝.用弧度作單位來度量角的制度叫弧度制.
⑧討論：由弧度數(shù)的定義可以得到計算弧長的公式怎樣？
⑨討論：1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？→度表示與弧度表示有啥不同？
－720°的圓心角、弧長、弧度如何看？
2.教學例題：
①出示例1：角度與弧度互化：；.
分析：如何依據(jù)換算公式？（抓?。?80°=prad）→如何設計算法？
→計算器操作：模式選擇MODEMODE1(2)；輸入數(shù)據(jù)；功能鍵SHIFTDRG1(2)=
②練習：角度與弧度互化：0°；30°；45°；；；120°；135°；150°；
③討論：引入弧度制的意義？（在角的集合與實數(shù)的集合之間建立一種一一對應的關系）
④練習：用弧度制表示下列角的集合：終邊在x軸上；終邊在y軸上.
3.小結(jié)：弧度數(shù)定義；換算公式（180°=prad）；弧度制與角度制互化.
三、鞏固練習：
1.教材P10練習1、2題.
2.用弧度制表示下列角的集合：終邊在直線y=x；終邊在第二象限；終邊在第一象限.
3.作業(yè)：教材P115、7、8題.
第三課時：1.1.2弧度制（二）
教學要求：更進一步理解弧度的意義，能熟練地進行弧度與角度的換算.掌握弧長公式，能用弧度表示終邊相同的角、象限角和終邊在坐標軸上的角.掌握并運用弧度制表示的弧長公式、扇形面積公式
教學重點：掌握扇形弧長公式、面積公式.
教學難點：理解弧度制表示.
教學過程：
一、復習準備：
1.提問：什么叫1弧度的角？1度等于多少弧度？1弧度等于多少度？扇形弧長公式？
2.弧度與角度互換：－π、π、－210°、75°
3.口答下列特殊角的弧度數(shù)：0°、30°、45°、60°、90°、120°、135°、…
二、講授新課：
1.教學例題：
①出示例：用弧度制推導：S＝LR；.
分析：先求1弧度扇形的面積（πR）→再求弧長為L、半徑為R的扇形面積？
方法二：根據(jù)扇形弧長公式、面積公式，結(jié)合換算公式轉(zhuǎn)換.
②練習：扇形半徑為45，圓心角為120°，用弧度制求弧長、面積.
③出示例：計算sin、tan1.5、cos
（口答方法→共練→小結(jié)：換算為角度；計算器求）
②練習：求、、的正弦、余弦、正切.
2.練習：
①.用弧度制寫出與下列終邊相同的角，并求0～2π間的角.
π、－675°
②用弧度制表示終邊在x軸上角的集合、終邊在y軸上角的集合？終邊在第三象限角的集合？
③討論：α＝k×360°＋與β＝2kπ＋30°是否正確？
④α與－的終邊相同，且－2πα2π，則α＝.
⑤已知扇形AOB的周長是6cm，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積.
解法：設扇形的半徑為r，弧長為l，列方程組而求.
3.小結(jié)：
扇形弧長公式、面積公式；弧度制的運用；計算器使用.
三、鞏固練習：
1.時間經(jīng)過2小時30分，時針和分針各轉(zhuǎn)了多少弧度？
2.一扇形的中心角是54°，它的半徑為20cm，求扇形的周長和面積.
3.已知角α和角β的差為10°，角α和角β的和是10弧度，則α、β的弧度數(shù)分別是.
4.作業(yè)：教材P10練習4、5、6題.
《任意角和弧度制》（第一課時）教學設計
《任意角和弧度制》（第一課時）教學設計
一、教學目標：
1、知識與技能
（1）推廣角的概念、引入大于360度的角和負角；
（2）理解并掌握正角、負角、零角的定義；
（3）理解任意角以及象限角的概念；
(4)掌握所有與a角終邊相同的角（包括a角）的表示方法；
（5）樹立運動變化觀點，深刻理解推廣后的角的概念；
（6）揭示知識背景，引發(fā)學生學習興趣.
（7）創(chuàng)設問題情景，激發(fā)學生分析、探求的學習態(tài)度，強化學生的參與意識.
2、過程與方法
通過創(chuàng)設情境：轉(zhuǎn)體720度角，逆（順）時針旋轉(zhuǎn)、角有大于360、零角和旋轉(zhuǎn)方向不同所形成的角等，引入正角、負角和零角的概念；角的概念得到推廣以后，將角放入平面直角坐標系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出幾個終邊相同的角，畫出終邊所在的位置，找出它們的關系，探索具有相同終邊的角的表示；講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習。
3、情態(tài)與價值
通過本節(jié)的學習，使同學們對角的概念有了一個新的認識，即有正角、負角和零角之分.角的概念推廣以后，知道角之間的關系.理解掌握終邊相同角的表示方法，學會運用運動變化的觀點認識事物.
二、教學重、難點
重點:理解正角、負角和零角的定義，掌握終邊相同角的表示法.
難點:終邊相同的角的表示.
三、學法與教學用具
之前的學習使我們知道最大的角是周角,最小的角是零角.通過回憶和觀察日常生活中實際例子,把對角的理解進行了推廣.把角放入坐標系環(huán)境中以后,了解象限角的概念.通過角終邊的旋轉(zhuǎn)掌握終邊相同角的表示方法.我們在學習這部分內(nèi)容時,首先要弄清楚角的表示符號,以及正負角的表示.另外還有相同終邊角的集合的表示等.
教學用具:電腦、投影機、三角板
四、教學設想
【創(chuàng)設情境】
思考:你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準的？假如你的手表快了1.25小時，你應當如何將它校準？當時間校準以后，分針轉(zhuǎn)了多少度？
[取出一個鐘表,實際操作]我們發(fā)現(xiàn)，校正過程中分針需要正向或反向旋轉(zhuǎn)，有時轉(zhuǎn)不到一周，有時轉(zhuǎn)一周以上,這就是說角已不僅僅局限于0～360之間，它是如何定義的呢？這正是我們這節(jié)課要研究的主要內(nèi)容任意角.
【探究新知】
初中時，我們已學習了0～360[展示投影]角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OB，就形成角a。旋轉(zhuǎn)開始時的射線OA叫做角的始邊，OB叫終邊，射線的端點O叫做叫a的頂點。如上述情境中所說的校準時鐘問題以及在體操比賽中我們經(jīng)常聽到這樣的術語：轉(zhuǎn)體720（即轉(zhuǎn)體2周），轉(zhuǎn)體1080（即轉(zhuǎn)體3周）都是遇到大于360的角或按不同方向旋轉(zhuǎn)而成的角的例子。
同學們思考一下:能否再舉出幾個現(xiàn)實生活中大于360或按不同方向旋轉(zhuǎn)而成的角的例子，這些說明了什么問題?又該如何區(qū)分和表示這些角呢?
[展示課件]如自行車車輪、螺絲扳手等按不同方向旋轉(zhuǎn)時成不同的角,這些都說明了我們研究推廣角概念的必要性.為了區(qū)別起見，我們規(guī)定:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角,按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負角.如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個零角。這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角包括正角、負角和零角.為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，.在今后的學習中，我們常在直角坐標系內(nèi)討論角，為此我們必須了解象限角這個概念.
角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角。如30和-210分別是第一象限角和第三象限角.要特別注意:如果角的終邊在坐標軸上,就認為這個角不屬于任何一個象限,稱為非象限角.
[展示投影]
練習:
(1)(口答)銳角是第幾象限角?第一象限角一定是銳角嗎?再分別就直角、鈍角來回答這兩個問題.
(2)(回答)今天是星期三那么7天前的那一天是星期幾?100天后的那一天是星期幾?
探究:將角按上述方法放在直角坐標系中后,給定一個角,就有唯一的一條終邊與之對應.反之,對于直角坐標系中任意一條射線OB以它為終邊的角是否唯一?如果不惟一,那么終邊相同的角有什么關系?
一般地,我們有:所有與a終邊相同的角包括a角在內(nèi)可構成一個集合,,即任一與a終邊相同的角都可以表示成角a與整數(shù)個周角的和。
[展示投影]
例題講評
例1.在上找出與-950終邊相同的角并判斷在第幾象限？
例2.寫出終邊在y軸上的角的集合.
學習小結(jié)
（1）你知道角是如何推廣的嗎?
(2)象限角是如何定義的呢?
(3)你熟練掌握具有相同終邊角的表示了嗎?會寫終邊落在x軸、y軸、直線y=x上的角嗎？
五、評價設計
1．作業(yè)：習題1.1A組第1,2,3題．
2．多舉出一些日常生活中的大于360角的例子，進一步理解具有相同終邊的角的特點．
高二數(shù)學任意角27
任意角（1）
教學目標：要求學生掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角的概念，理解任意角的概念，學會在平面內(nèi)建立適當?shù)淖鴺讼祦碛懻摻?；并進而理解“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義。
教學重點：理解“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義
教學難點：“旋轉(zhuǎn)”定義角
課標要求：了解任意角的概念
教學過程：
一、引入
同學們在初中時，曾初步接觸過三角函數(shù)，那時的運用僅限于計算一些特殊的三角函數(shù)值、研究一些三角形中簡單的邊角關系等。三角函數(shù)也是高中數(shù)學的一個重要內(nèi)容，在今后的學習中大家會發(fā)現(xiàn)三角學有著極其豐富的內(nèi)容，它能夠簡單地解決許多數(shù)學問題，在中學數(shù)學中有著非常廣泛的應用。
二、新課
1．回憶：初中是任何定義角的？
（從一個點出發(fā)引出的兩條射線構成的幾何圖形）這種概念的優(yōu)點是形象、直觀、容易理解，但它的弊端在于“狹隘”
師：初中時，我們已學習了0○～360○角的概念，它是如何定義的呢？
生：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形。
師：如圖1，一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OB，就形成角α。旋轉(zhuǎn)開始時的射線OA叫做角的始邊，OB叫終邊，射線的端點O叫做叫α的頂點。
師：在體操比賽中我們經(jīng)常聽到這樣的術語：“轉(zhuǎn)體720o”（即轉(zhuǎn)體2周），“轉(zhuǎn)體1080o”（即轉(zhuǎn)體3周）；再如時鐘快了5分鐘，現(xiàn)要校正，需將分針怎樣旋轉(zhuǎn)？如果慢了5分鐘，又該如何校正？
生：逆時針旋轉(zhuǎn)300；順時針旋轉(zhuǎn)300.
師：（1）用扳手擰螺母；（2）跳水運動員身體旋轉(zhuǎn)．說明旋轉(zhuǎn)第二周、第三周……，則形成了更大范圍內(nèi)的角，這些角顯然超出了我們已有的認識范圍。本節(jié)課將在已掌握～角的范圍基礎上，重新給出角的定義，并研究這些角的分類及記法．
2.角的概念的推廣：?
(1)定義：一條射線OA由原來的位置OA，繞著它的端點O按一定方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成了角α。其中射線OA叫角α的始邊，射線OB叫角α的終邊，O叫角α的頂點。
3．正角、負角、零角概念
師：為了區(qū)別起見，我們把按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，如圖2中的角為正角，它等于300與7500；我們把按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，那么同學們猜猜看，負角怎么規(guī)定呢？零角呢？
生：按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負角，如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個零角。
師：如圖3，以OA為始邊的角α=-1500，β=-6600。特別地，當一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時，我們也認為這是形成了一個角，并把這個角稱為零角。
師：好，角的概念經(jīng)過這樣的推廣之后，就應該包括正角、負角、零角。這里還有一點要說明：為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可簡記為α.
4.象限角
師：在今后的學習中，我們常在直角坐標系內(nèi)討論角，為此我們必須了解象限角這個概念。同學們已經(jīng)經(jīng)過預習，請一位同學回答什么叫：象限角？
生：角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合。那么，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角。
師：很好，從剛才這位同學的回答可以知道，她已經(jīng)基本理解了“象限角”的概念了。下面請大家將書上象限角的定義劃好，同時思考這么三個問題：
1.定義中說：角的始邊與x軸的非負半軸重合，如果改為與x軸的正半軸重合行不行，為什么？
2.定義中有個小括號，內(nèi)容是：除端點外，請問課本為什么要加這四個字？
3.是不是任意角都可以歸結(jié)為是象限角，為什么？
處理：學生思考片刻后回答，教師適時予以糾正。
答：1.不行，始邊包括端點（原點）；2．端點在原點上；
3．不是，一些特殊角終邊可能落在坐標軸上；如果角的終邊落在坐標軸上，就認為這個角不屬于任一象限。
師：同學們一定要學會看數(shù)學書，特別是一些重要的概念、定理、性質(zhì)要斟字酌句，每個字都要弄清楚，這樣的預習才是有效果的。
師生討論：好，按照象限角定義，圖中的300，3900，-3300角，都是第一象限角；3000，-600角，都是第四象限角；5850角是第三象限角。
師：很好，不過老師還有幾事不明，要請教大家：（1）銳角是第一象限角嗎？第一象限角是銳角嗎？為什么？
生：銳角是第一象限角，第一象限角不一定是銳角；
師：（2）銳角就是小于900的角嗎？
生：小于900的角可能是零角或負角，故它不一定是銳角；
師：（3）銳角就是00～900的角嗎？
生：銳角：{θ|00θ900}；00～900的角：{θ|00≤θ900}.
學生練習（口答）已知角的頂點與坐標系原點重合，始邊落在x軸的非負半軸上，作出下列各角，并指出它們是哪個象限的角？
（1）4200；（2）-750；（3）8550；（4）-5100.
答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角.
5.終邊相同的角的表示法
師：觀察下列角你有什么發(fā)現(xiàn)?3903303014701770
生:終邊重合.
師:請同學們思考為什么？能否再舉三個與300角同終邊的角？
生：圖中發(fā)現(xiàn)3900，-3300與300相差3600的整數(shù)倍，例如，3900=3600+300，-3300=-3600+300；與300角同終邊的角還有7500，-6900等。
師：好！這位同學發(fā)現(xiàn)了兩個同終邊角的特征，即：終邊相同的角相差3600的整數(shù)倍。例如：7500=2×3600+300；-6900=-2×3600+300。那么除了這些角之外，與300角終邊相同的角還有：
3×3600+300-3×3600+300
4×3600+300-4×3600+300
……，……，
由此，我們可以用S={β|β=k×3600+300，k∈Z}來表示所有與300角終邊相同的角的集合。
師：那好，對于任意一個角α，與它終邊相同的角的集合應如何表示？
生：S={β|β=α+k×3600，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和。
6.例題講評
例1設，，那么有（D）．
A．B．C．（）D．
例2用集合表示：
（1）各象限的角組成的集合．（2）終邊落在軸右側(cè)的角的集合．
解：(1)第一象限角：｛α|k360oπ＜α＜k360o+90o,k∈Z｝
第二象限角：｛α|k360o+90o＜α＜k360o+180o,k∈Z｝
第三象限角：｛α|k360o+180o＜α＜k360o+270o,k∈Z｝
第四象限角：{α|k360o+270o＜α＜k360o+360o,k∈Z｝
（2）在～中，軸右側(cè)的角可記為，同樣把該范圍“旋轉(zhuǎn)”后，得，，故軸右側(cè)角的集合為．
說明：一個角按順、逆時針旋轉(zhuǎn)（）后與原來角終邊重合，同樣一個“區(qū)間”內(nèi)的角，按順逆時針旋轉(zhuǎn)（）角后，所得“區(qū)間”仍與原區(qū)間重疊．
例3（1）如圖，終邊落在位置時的角的集合是__{α|α＝k360o+120o,k∈Z}；終邊落在位置，且在內(nèi)的角的集合是_{－45o,225o}_；終邊落在陰影部分（含邊界）的角的集合
是_{α|k360o－45o＜α＜k360o+120o,k∈Z}．
練習：
（1）請用集合表示下列各角．
①～間的角②第一象限角③銳角④小于角．
解答（1）①；②；
③；④
（2）分別寫出：
①終邊落在軸負半軸上的角的集合；②終邊落在軸上的角的集合；
③終邊落在第一、三象限角平分線上的角的集合；
④終邊落在四象限角平分線上的角的集合．
解答（2）①；②；
③；④．
說明：第一象限角未必是銳角，小于的角不一定是銳角，～間的角，根據(jù)課本約定它包括，但不包含．
例4在～間，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角
（1）；（2）；（3）．
解：（1）∵
∴與角終邊相同的角是角，它是第三象限的角；
（2）∵
∴與終邊相同的角是，它是第四象限的角；
（3）
所以與角終邊相同的角是，它是第二象限角．
總結(jié)：草式寫在草稿紙上，正的角度除以，按通常除去進行；負的角度除以，商是負數(shù)，它的絕對值應比被除數(shù)為其相反數(shù)時相應的商大1，以使余數(shù)為正值．
練習：
（1）一角為，其終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)三周后的角度數(shù)為__．
（2）集合M＝{α=k，k∈Z}中，各角的終邊都在（C）
A．軸正半軸上，B．軸正半軸上，
C．軸或軸上，D．軸正半軸或軸正半軸上
（3）設，
C＝{α|α=k180o+45o,k∈Z}，
則相等的角集合為_B＝D，C＝E__．
三.本課小結(jié)
本節(jié)課我們學習了正角、負角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限，本節(jié)課的重點是學習終邊相同的角的表示法。
判斷一個角是第幾象限角，只要把改寫成，，那么在第幾象限，就是第幾象限角，若角與角適合關系：，，則、終邊相同；若角與適合關系：，，則、終邊互為反向延長線．判斷一個角所有象限或不同角之間的終邊關系，可首先把它們化為：，這種模式（），然后只要考查的相關問題即可．另外，數(shù)形結(jié)合思想、運動變化觀點都是學習本課內(nèi)容的重要思想方法．
四.作業(yè)
高二數(shù)學下冊《任意角》知識點
高二數(shù)學下冊《任意角》知識點
任意角
(1)角的分類：
①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負角、零角.
②按終邊位置不同分為象限角和軸線角.
(2)終邊相同的角：
終邊與角相同的角可寫成+k360(kZ).
(3)弧度制：
①1弧度的角：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.
②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，||=，l是以角作為圓心角時所對圓弧的長，r為半徑.
③用弧度做單位來度量角的制度叫做弧度制.比值與所取的r的大小無關，僅與角的大小有關.
④弧度與角度的換算：360弧度;180弧度.
⑤弧長公式：l=||r，扇形面積公式：S扇形=lr=||r2.
任意角的三角函數(shù)
(1)任意角的三角函數(shù)定義：
設是一個任意角，角的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么角的正弦、余弦、正切分別是：sin=y，cos=x，tan=，它們都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù).
(2)三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號口訣是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
三角函數(shù)線
設角的頂點在坐標原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點P，過P作PM垂直于x軸于M.由三角函數(shù)的定義知，點P的坐標為(cos_，sin_)，即P(cos_，sin_)，其中cos=OM，sin=MP，單位圓與x軸的正半軸交于點A，單位圓在A點的切線與的終邊或其反向延長線相交于點T，則tan=AT.我們把有向線段OM、MP、AT叫做的余弦線、正弦線、正切線.
練習題：
1.函數(shù)y=的反函數(shù)是()
A.y=B.y=
C.y=D.y=
答案：A
解析：當x0時,由y=x2,得x=-y=f-1(x)=-x=0).
當x≥0時,由y=-x,得x=-2y.
故反函數(shù)為y=f-1(x)=-2x(x≤0).
∴y=f-1(x)=-x,x0,
-2x,x≤0.
2.若函數(shù)f(x)的反函數(shù)f-1(x)=1+x2(x0),則f(2)等于()
A.1B.-1C.1和-1D.5
答案：B
解法一:由y=1+x2(x0),得x=--=x=0),f(2)=-=-1.
解法二:令1+x2=2(x0),則x=-1,即f(2)=-1.
3.若函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)是y=-(-1≤x≤0),則原函數(shù)的定義域是()
A.(-1,0)B.［-1,1］C.［-1,0］D.［0,1］
答案：C
解析：∵原函數(shù)的定義域為反函數(shù)的值域,
又-1≤x≤0,
∴0≤1-x2≤1,即y∈［-1,0］.
