小學語文微課教案

空間距離。

題目第九章(B)直線、平面、簡單幾何體空間距離
高考要求
1理解點到平面、直線和直線、直線和平面、平面和平面距離的概念
2會用求距離的常用方法（如：直接法、轉化法、向量法對異面直線的距離只要求學生掌握作出公垂線段或用向量表示的情況）和距離公式計算七種距離
知識點歸納
1點到平面的距離：已知點是平面外的任意一點，過點作，垂足為，則唯一，則是點到平面的距離
即一點到它在一個平面內的正射影的距離叫做這一點到這個平面的距離
結論：連結平面外一點與內一點所得的線段中，垂線段最短
2異面直線的公垂線：和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做異面直線的公垂線．
3．公垂線唯一：任意兩條異面直線有且只有一條公垂線
4．兩條異面直線的公垂線段：兩條異面直線的公垂線夾在異面直線間的部分，叫做兩條異面直線的公垂線段；
5．公垂線段最短：兩條異面直線的公垂線段是分別連結兩條異面直線上兩點的線段中最短的一條；
6．兩條異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線段的長度
說明：兩條異面直線的距離即為直線到平面的距離即兩條異面直線的距離等于其中一條直線到過另一條直線且與這條直線平行的平面的距離
7直線到與它平行平面的距離：一條直線上的任一點到與它平行的平面的距離,叫做這條直線到平面的距離(轉化為點面距離)
8．兩個平行平面的公垂線、公垂線段：
（1）兩個平面的公垂線：和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做兩個平面的公垂線
（2）兩個平面的公垂線段：公垂線夾在平行平面間的的部分，叫做兩個平面的公垂線段
（3）兩個平行平面的公垂線段都相等
（4）公垂線段小于或等于任一條夾在這兩個平行平面間的線段長
9．兩個平行平面的距離：兩個平行平面的公垂線段的長度叫做兩個平行平面的距離
10．七種距離：點與點、點到直線、兩條平行直線、兩條異面直線、點到平面、平行于平面的直線與該平面、兩個平行平面之間的距離，其中點與點、點與直線、點到平面的距離是基礎，求其它幾種距離一般化歸為求這三種距離，點到平面的距離有時用“體積法”來求
10用向量法求距離的公式：
⑴異面直線之間的距離：
，其中
⑵直線與平面之間的距離：
，其中是平面的法向量
⑶兩平行平面之間的距離：
，其中是平面的法向量
⑷點A到平面的距離：
，其中，是平面的法向量
另法：點平面
則
⑸點A到直線的距離：
，其中，是直線的方向向量
⑹兩平行直線之間的距離：
，其中，是的方向向量
題型講解
例1設A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），求D到平面ABC的距離
解法一：∵A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），
∴
設平面ABC的法向量=（x，y，z），
則=0，=0，
∴
即
令z=－2，則=（3，2，－2）
∴由點到平面的距離公式：
===
∴點D到平面ABC的距離為
解法二：設平面ABC的方程為：
將A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７）的坐標代入，得
，
取B＝2，則平面ABC的法向量=(A,B,C)=（3，2，－2）
又因為
∴由點到平面的距離公式：
===
∴點D到平面ABC的距離為
點評：求點到平面的距離除了根據定義及等積變換外，還可以借用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一個法向量的坐標(兩種方法)，再求出已知點P與平面內任一點M構成的向量的坐標，那么P到平面的距離d=|||cos〈，〉
例2如圖所求，已知四邊形ABCD、EADM和MDCF都是邊長為a的正方形，點P、Q分別是ED和AC的中點
求：（1）與所成的角；
（2）P點到平面EFB的距離；
（3）異面直線PM與FQ的距離
解：建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a），
則由中點坐標公式得P（，0，）、Q（，，0）
（1）∴=（－，0，），=（，－，－a），
=（－）×+0+×（－a）=－a2，
且||=a，||=a
∴cos〈，〉===－
故得兩向量所成的角為150°
（2）設=（x，y，z）是平面EFB的法向量，
即||=1，⊥平面EFB，∴⊥，⊥
又=（－a，a，0），=（0，a，－a），
即有，
取，則
∵=（，0，）
∴設所求距離為d，則=a
（3）設=（x1，y1，z1）是兩異面直線的公垂線的方向向量，
則由=（－，0，），=（，－，－a），得
?。剑?，則
而=（0，a，0）設所求距離為m，
則=a
例3已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，求異面直線BD與B1C的距離
分析：雖然此題中沒有給出表示兩異面直線距離的線段，但是容易建立直角坐標系，使它變?yōu)樽鴺讼迪碌漠惷嬷本€距離的問題，還是屬于考試范圍的問題
解：建立空間直角坐標系（如圖），則B（0，0，0），C（1，0，0），D（1，1，0）B1（0，0，1），
則
設與都垂直的向量為，
則由和
得，
異面直線BD與B1C的距離：
小結：
1用向量求點到平面的距離的步驟為：先確定平面的法向量，再求該點與平面內一點的連線在法向量上的射影長即得也就是若是平面的法向量，為平面內的一點，則點到平面的距離為：
2求異面直線的距離方法很多，但考綱僅要求會求圖中已給出表示異面直線間距離的線段，或在空間直角坐標系下的異面直線的距離，對于第一類問題要先找出這條線段，證明它是所求距離，然后求之；第二類問題的求解步驟是：先求出與兩異面直線都垂直的一個向量，然后再求異面直線上兩點連線在這個向量上的射影的長，即若是與異面直線都垂直的向量，點，則異面直線與之間的距離：
3兩平面間的距離一般轉化為點到平面或線到面的距離來求解
學生練習
1ABCD是邊長為2的正方形，以BD為棱把它折成直二面角A—BD—C，E是CD的中點，則異面直線AE、BC的距離為
ABCD1
解析：易證CE是異面直線AE與BC的公垂線段，其長為所求易證CE=1∴選D
答案：D
2在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC所在平面α外一點P到A、B、C的距離都是14，則P到α的距離是
A13B11C9D7
解析：作PO⊥α于點O，連結OA、OB、OC，
∵PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC
∴O是△ABC的外心
∴OA===5
∴PO==11為所求∴選B
答案：B
3在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M是AA1的中點，則點A1到平面MBD的距離是
AaBaCaDa
解析：A到面MBD的距離由等積變形可得
VA—MBD=VB—AMD易求d=a

答案：D
4平面α內的∠MON=60°，PO是α的斜線，PO=3，∠POM=∠PON=4５°，那么點P到平面α的距離是
ABCD
解析：cos∠POM=cos∠POHcos∠MOH，
∴=cos∠POH∴cos∠POH=∴sin∠POH=
∴PH=POsin∠POH=3×=
答案：A
5正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為a，E是CC1的中點，則E到A1B的距離是
AaBaCaDa
解析：連結A1E、BE，過E作EH⊥A1B于H，
在△A1BE中易求EH=a
答案：D
6A、B是直線l上的兩點，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l于B，AC=BD=3，又AC與BD成60°的角，則C、D兩點間的距離是_______
解析：CD=
答案：5或
7設PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB、PC分別與α成45°和30°角，PA=2，則PA與BC的距離是_____________；點P到BC的距離是_____________
解析：作AD⊥BC于點D，∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AD∴AD是PA與BC的公垂線易得AB=2，AC=2，BC=4，AD=，連結PD，則PD⊥BC，P到BC的距離PD=
答案：
8已知l1、l2是兩條異面直線，α、β、γ是三個互相平行的平面，l1、l2分別交α、β、γ于A、B、C和D、E、F，AB=4，BC=12，DF=10，又l1與α成30°角，則β與γ的距離是__________；DE=__________
解析：由直線與平面所成角的定義及平行平面距離定義易得β與γ間距離為6由面面平行的性質定理可得=，∴=，即=∴DE=25
答案：625
9已知正方體ABCD—A1B1C1D1的邊長為a，E、F分別是棱A1B1、CD的中點
（1）證明：截面C1EAF⊥平面ABC1
（2）求點B到截面C1EAF的距離
（1）證明：連結EF、AC1和BC1，易知四邊形EB1CF是平行四邊形，從而EF∥B1C，直線B1C⊥BC1且B1C⊥AB，則直線B1C⊥平面ABC1，得EF⊥平面ABC1而EF平面C1EAF，得平面C1EAF⊥平面ABC1
（2）解：在平面ABC1內，過B作BH，使BH⊥AC1，H為垂足，則BH的長就是點B到平面C1EAF的距離，在直角三角形中，BH===
另法：建立坐標系(略)
10已知直線l上有兩定點A、B，線段AC⊥l，BD⊥l，AC=BD=a且AC與BD成120°角，求AB與CD間的距離

解法一：在面ABC內過B作BE⊥l于B，且BE=AC，則ABEC為矩形
∴AB∥CE
∴AB∥平面CDE
則AB與CD的距離即為B到DE的距離
過B作BF⊥DE于F，易求BF=a
解法二：建系如圖，則A（0，0，b），C（－a，a，a），D（a，0，0），
設AB與CD的公垂線的一個方向向量=（x，y，z），
利用=0，=0，
求出，則d==a
課前后備注

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空間兩點間的距離公式

2.3.2空間兩點間的距離公式
一、教學目標：通過特殊到一般的情況推導出空間兩點間的距離公式
二、教學重點、難點
重點：空間兩點間的距離公式
難點：一般情況下，空間兩點間的距離公式的推導。
三、教學方法：學導式
四、教學過程
由平面上兩點間的距離公式，引入空間兩點距離公式的猜想

先推導特殊情況下的空間兩點間的距離公式
推導一般情況下的空間兩點間的距離公式

問題問題設計意圖師生活動
在平面上任意兩點A，B之間距離的公式為|AB|=，那么對于空間中任意兩點A，B之間距離的公式會是怎樣呢？你猜猜？通過類比，充分發(fā)揮學生的聯(lián)想能力。師：、只需引導學生大膽猜測，是否正確無關緊要。
生：踴躍回答
（2）空間中任意一點P到原點之間的距離公式會是怎樣呢？
[1]從特殊的情況入手，化解難度師：為了驗證一下同學們的猜想，我們來看比較特殊的情況，引導學生用勾股定理來完成
學生：在教師的指導下作答
得出

問題問題設計意圖師生活動
（3）如果是定長r,那么表示什么圖形？
任何知識的猜想都要建立在學生原有知識經驗的基礎上，學生可以通過類比在平面直角坐標系中，方程表示原點或圓，得到知識上的升華，提高學習的興趣。師：注意引導類比平面直角坐標系中，方程表示的圖形，讓學生有種回歸感。
生：猜想說出理由

（4）如果是空間中任意一點到點之間的距離公式會是怎樣呢？
[2]人的認知是從特殊情況到一般情況的
師生：一起推導，但是在推導的過程中要重視學生思路的引導。
得出結論：
五、教后反思：

§3.2.2空間角與距離的計算舉例

§3.2.2空間角與距離的計算舉例
【學情分析】：
教學對象是高二的學生，學生已經具備空間向量與立方體幾何的相關知識,上次課已經學習了直線的方向向量和平面的法向量，所以本節(jié)課是通過舉例來求空間的距離和角。我們可以將空間中的有關距離和角的問題，轉化為空間向量的數量積來解決。
【教學目標】：
（1）知識與技能：能用向量方法進行有關距離的計算；能用向量方法解決線線、線面與面面的夾角的計算問題.
（2）過程與方法：在解決問題中，通過數形結合的思想方法，加深對相關知識的理解。
（3）情感態(tài)度與價值觀：體會把立方體幾何幾何轉化為向量問題優(yōu)勢，培養(yǎng)探索精神。
【教學重點】：
將空間角與距離的計算轉化為向量的夾角與模來計算.
【教學難點】：
將空間角與距離的計算轉化為向量的夾角與模來計算.
【教學過程設計】：
教學環(huán)節(jié)教學活動設計意圖
一、復習引入
1．兩個向量的數量積如何運算？
2．向量的模與向量的數量積是什么關系？
3．向量的加法法則。為探索新知識做準備.
二、探究與練習
一、用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”
學生回顧用平面向量解決平面幾何問題的“三步曲”，與老師共同得出用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”：
（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；（化為向量問題）
（2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間距離和夾角等問題；（進行向量運算）
（3）把向量的運算結果“翻譯”成相應的幾何意義。（回到圖形問題）
二、例題
例1：如圖1：一個結晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點A為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是60°，那么以這個頂點為端點的晶體的對角線的長與棱長有什么關系？
解：如圖1，設
化為向量問題
依據向量的加法法則，
進行向量運算
回到圖形問題
這個晶體的對角線的長是棱長的倍。
思考：
（1）本題中四棱柱的對角線BD1的長與棱長有什么關系？
分析:
（2）如果一個四棱柱的各條棱長都相等，并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于,那么有這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長嗎?
分析:
∴這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長。
（3）本題的晶體中相對的兩個平面之間的距離是多少？（提示：求兩個平行平面的距離，通常歸結為求兩點間的距離）
分析：面面距離點面距離向量的?；貧w圖形
解：
練習:
如圖2，空間四邊形OABC各邊以及AC，BO的長都是1，點D，E分別是邊OA，BC的中點，連結DE，計算DE的長
例2：如圖3，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面上的點B處。從A，B到直線（庫底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為
a和b,CD的長為c,AB的長為d。求庫底與水壩所成二面角的余弦值
解：如圖
化為向量問題
根據向量的加法法則
進行向量運算

設向量與的夾角為，就是庫底與水壩所成的二面角。
因此

回到圖形問題
庫底與水壩所成二面角的余弦值為

思考：
（1）本題中如果夾角可以測出，而AB未知，其他條件不變，可以計算出AB的長嗎？
分析：
∴可算出AB的長。
（2）如果已知一個四棱柱的各棱長和一條對角線的長，并且以同一頂點為端點的各棱間的夾角都相等，那么可以確定各棱之間夾角的余弦值嗎？
分析：如圖，設以頂點A為端點的對角線長為d，三條棱長分別為a,b,c,各棱間夾角為.
（3）如果已知一個四棱柱的各棱長都等a，并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于，那么可以確定這個四棱柱相鄰兩個夾角的余弦值嗎？
分析：二面角平面角向量的夾角回歸圖形
解：如圖，在平面AB1內過A1作A1E⊥AB于點E，在平面AC內作CF⊥AB于F。
∴可以確定這個四棱柱相鄰兩個夾角的余弦值。
練習：
（1）如圖4，60°的二面角的棱上有A、B兩點，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的長。
2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是邊長為2的正三角形，∠A1AB＝45°，∠A1AC＝60°，求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。
讓學生通過回顧尋找將立體幾何問題轉化為向量問題的步驟。

例1的圖形比較規(guī)范，容易把握，可以讓學生很好地體會向量解題的優(yōu)勢。

這是例題1的推廣，方法類似，學生進一步體會.
及時進行類比訓練，鞏固所學方法和技能。

例2是關于角的有關問題，引導學生找到相應的向量進行轉化。

三、小結1．用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”。
2．面面距離點面距離向量的?；貧w圖形
二面角平面角向量的夾角回歸圖形
反思歸納
四、作業(yè)課本P112第2、4題。

練習與測試：
（基礎題）
1．正四棱錐的側棱長與底面邊長都是1，則側棱與底面所成的角為（）
A．75°B．60°C．45°D．30°
答：C。
2．如圖，在棱長為2的正方體中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是、AD的中點。那么異面直線OE和所成的角的余弦值等于（）
A．B．C．D．
答：B。
3，把正方形ABCD沿對角線AC折起,當以A、B、C、D四點為頂點的棱錐體積最大時，直線BD和平面ABC所成的角的大小為）
A．90°B．60°C，45°D．30°
答：C。
4，已知是兩條異面直線的公垂線段，，則所成的角為．
答：或。
（中等題）
5，一條線段夾在一個直二面角的兩個面內，它和兩個面所成的角都是30°，
這條線段與這個二面角的棱所成的角為。
答：
6，棱長為4的正方體中，是正方形的中心，點在棱上，且．
（Ⅰ）求直線與平面所成的角的三角函數值；
（Ⅱ）設點在平面上的射影是，求證：．
解：（1）連BP，則角APB為直線與平面所成的角，
（2）
所以

高三數學第一輪復習講義空間的距離

高三數學第一輪復習講義

空間的距離

一．復習目標：

1．理解點到直線的距離的概念，掌握兩條直線的距離，點到平面的距離，直線和平面的距離，兩平行平面間的距離；2．掌握求空間距離的常用方法和各距離之間的相互轉化．

二．知識要點：

1．點到平面的距離：．

2．直線到平面的距離：．

3．兩個平面的距離：．

4．異面直線間的距離：．

三．課前預習：

1．在中，，所在平面外一點到三頂點的距離都是，則到平面的距離是（）

2．在四面體中，兩兩垂直，是面內一點，到三個面的距離分別是，則到的距離是（）

3．已知矩形所在平面，，，則到的距離為，到的距離為．4．已知二面角為，平面內一點到平面的距離為，則到平面的距離為．

四．例題分析：例1．已知二面角為，點和分別在平面和平面內，點在棱上，，（1）求證：；（2）求點到平面的距離；（3）設是線段上的一點，直線與平面所成的角為，求的長（1）證明：作于，連接，∵，，∴，∴，平面，平面，∴．解：（2）作于，∵平面，∴，∴，是點到平面的距離，由（1）知，∴．∴點到平面的距離為．（2）連接，∵，與平面所成的角為，，，∴，∵，，為正三角形，是中點，∴是中點，∴．小結：求點到平面的距離關鍵是尋找點到的垂線段．例2．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，側棱，分別是，與的中點，點在平面上的射影是的重心，（1）求與平面所成角的正弦值；（2）求點到平面的距離．解：建立如圖的空間直角坐標系，設，

則，，，，

∵分別是，與的中點，∴，∵是的重心，，∴，，

，∵平面，得，且與平面所成角，，

，，（2）是的中點，到平面的距離等于到平面的距離的兩倍，∵平面，到平面的距離等于．

小結：根據線段和平面的關系，求點到平面的距離可轉化為求到平面的距離的兩倍．例3．已知正四棱柱,點為的中點，點為的中點，（1）證明:為異面直線的公垂線；（2）求點到平面的距離．解：（1）以分別為軸建立坐標系，則，，，，，，，∴，∴為異面直線的公垂線．（2）設是平面的法向量，∵，∴，，，點到平面的距離．小結：由平面的法向量能求出點到這個平面的距離．

五．課后作業(yè)：班級學號姓名

1．已知正方形所在平面，，點到平面的距離為，點到平面的距離為，則（）

2．把邊長為的正三角形沿高線折成的二面角，點到的距離是（）

3．四面體的棱長都是，兩點分別在棱上，則與的最短距離是（）

4．已知二面角為，角，，則到平面的距離為．

5．已知長方體中，，那么直線到平面的距離是．

6．如圖，已知是邊長為的正方形，分別是的中點，，，（1）求證：；（2）求點到面的距離．
7．在棱長為1的正方體中，（1）求：點到平面的距離；（2）求點到平面的距離；（3）求平面與平面的距離；（4）求直線到的距離．

《點到直線的距離》教案

俗話說，凡事預則立，不預則廢。教師要準備好教案，這是老師職責的一部分。教案可以讓講的知識能夠輕松被學生吸收，讓教師能夠快速的解決各種教學問題。那么，你知道教案要怎么寫呢？為此，小編從網絡上為大家精心整理了《《點到直線的距離》教案》，歡迎大家與身邊的朋友分享吧！