小學語文微課教案

定積分。

4.1.2定積分
教學過程：
一．創(chuàng)設情景
復習：
1．回憶前面曲邊圖形面積，變速運動的路程，變力做功等問題的解決方法，解決步驟：
分割→以直代曲→求和→取極限（逼近
2．對這四個步驟再以分析、理解、歸納，找出共同點．
二．新課講授
1．定積分的概念一般地，設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點
將區(qū)間等分成個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為（），在每個小區(qū)間上取一點，作和式：
如果無限接近于（亦即）時，上述和式無限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分。記為：
其中成為被積函數(shù)，叫做積分變量，為積分區(qū)間，積分上限，積分下限。
說明：（1）定積分是一個常數(shù)，即無限趨近的常數(shù)（時）稱為，而不是．
（2）用定義求定積分的一般方法是：①分割：等分區(qū)間；②近似代替：取點；③求和：；④取極限：
（3）曲邊圖形面積：；變速運動路程；
變力做功
2．定積分的幾何意義
說明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖形以及直線之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號，在軸下方的面積去負號．（可以先不給學生講）．
分析：一般的，設被積函數(shù)，若在上可取負值。
考察和式
不妨設
于是和式即為
陰影的面積—陰影的面積（即軸上方面積減軸下方的面積）
2．定積分的性質(zhì)
根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)：
性質(zhì)1
性質(zhì)2（其中k是不為0的常數(shù)）（定積分的線性性質(zhì)）
性質(zhì)3（定積分的線性性質(zhì)）性質(zhì)4
（定積分對積分區(qū)間的可加性）
說明：①推廣：
②推廣:
③性質(zhì)解釋：

三．典例分析
例1．計算定積分
分析：所求定積分即為如圖陰影部分面積，面積為。
即：
思考：若改為計算定積分呢？
改變了積分上、下限，被積函數(shù)在上出現(xiàn)了負值如何解決呢？（后面解決的問題）
四．課堂練習
計算下列定積分
1．
2．
五．回顧總結(jié)
1．定積分的概念、定積分法求簡單的定積分、定積分的幾何意義．

相關(guān)知識

4.1.1定積分的背景——面積和路程問題

每個老師需要在上課前弄好自己的教案課件，是認真規(guī)劃好自己教案課件的時候了。必須要寫好了教案課件計劃，未來的工作就會做得更好！究竟有沒有好的適合教案課件的范文？以下是小編收集整理的“4.1.1定積分的背景——面積和路程問題”，供您參考，希望能夠幫助到大家。

4.1.1定積分的背景——面積和路程問題
教學過程:
一、問題引入
師：1.求下圖中陰影部分的面積：
師：對于哪些圖形的面積，大家會求呢？（學生回憶，回答）
師：對于，，，圍成的圖形（曲邊三角形）的面積如何來求呢？（一問激起千層浪，開門見山，讓學生明確本節(jié)課的所要學習的內(nèi)容，對于學生未知的東西，學生往往比較好奇，激發(fā)他們的求知欲）今天我們一起來探究這種曲邊圖形的面積的求法。
二、學生活動與意義建構(gòu)
1、讓學生自己探求，討論（3—4分鐘）
2、讓學生說出自己的想法
希望學生說出以的面積近似代替曲邊三角形的面積，但誤差很大，如何減小誤差呢？希望學生討論得出將曲邊三角形進行分割，形成若干個曲邊梯形。（在討論的過程中滲透分割的思想）
師：如何計算每個曲邊梯形的面積呢？（通過討論希望學生能出以下三種方案，在討論的過程中，讓學生想到以直代曲，給學生創(chuàng)新的機會）

方案一方案二方案三

方案一：用一個矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積，梯形分割的越多，三角形的面積越小，小矩形的面積就可以近視代替曲邊梯形的面積。
方案二：用一個大矩形的面積來近似代替曲邊梯形的面積，梯形分割的越多，三角形的面積越小，大矩形的面積來近似代替曲邊梯形的面積。
方案三：以梯形的面積來近似代替曲邊梯形的面積。
（對于其中的任意一個曲邊梯形，我們可以用“直邊”來代替“曲邊”（即在很小的范圍內(nèi)以直代曲），這三種方案是本節(jié)課內(nèi)容的核心，故多花點時間引導學生探求，討論得出，讓學生體會“以曲代直”的思想，從近似中認識精確，給學生探求的機會）
師：這樣，我們就可以計算出任意一個小曲邊梯形的面積的近似值，從而可以計算出整個曲邊三角形面積的近似值，（求和），并且分割越細，面積的近似值就越精確，當分割無限變細時，這個近似值就無限逼近所求的曲邊三角形的面積。如何求這個曲邊三角形的面積，以方案一為例：
⑴分割細化
將區(qū)間等分成個小區(qū)間，，…，，…，，每個區(qū)間的長度為（學生回答），過各個區(qū)間端點作軸的垂線，從而得到個小曲邊梯形，它們的面積分別記作，，…，，…，。
⑵以直代曲
對區(qū)間上的小曲邊梯形，以區(qū)間左端點對應的函數(shù)值為一邊的長，以為鄰邊的長的小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積。即
（當分割很細時，在上任一點的函數(shù)值作為矩形的一邊長都可以，常取左右端點或中點，這樣為以后定積分的定義埋下了伏筆，為學生的解題提供了方法）
⑶作和
因為每個小矩形的面積是相應的小曲邊梯形面積的近似值，所以個小矩形面積之和就是所求曲邊三角形面積的近似值：
（復習符號的運用）
⑷逼近
當分割無限變細時，即無限趨近于（趨向于）
當趨向時，無限趨近于，無限趨近于，故上式的結(jié)果無限趨近于，，即所求曲邊三角形面積是。（在逼近的過程中，難點是求在此應給學生一些時間探求自然數(shù)的平方和，
最好在講數(shù)列知識時補充進去。新教材有很多知識點前后順序編排的有所不妥，有好多知識應該先有伏筆，而不是要用到什么就補充什么，在研究解析幾何中直線部分時，這個問題也有所體現(xiàn)）
3、分成兩組，分別以方案二、方案三按上述四個步驟重新計算曲邊三角形的面積，并將操作過程和計算結(jié)果與方案一進行比較。
（設計的目的是培養(yǎng)學生的合作交流的能力，優(yōu)化解題方案）
師：請用流程圖表示求曲邊三角形面積的過程
4、反思
在求曲邊梯形面積過程中，你認為最讓你感到困難的是什么？（如何分割，求和逼近是兩大難點）
（在新課程的課堂教學過程中，經(jīng)常性地問學生一些這樣的問題，可以讓學生對自己的學習過程起到一個自查作用，查漏補缺，對培養(yǎng)學生學習數(shù)學的自查意識是一個很好的途徑，也可以活躍課堂氣氛）
三、數(shù)學應用
1、典型例題
師：在方案一中，和式（*）表示曲邊梯形的面積的近似值，這一和式不僅是有直觀的幾何意義，還有豐富的實際背景。
例1：火箭發(fā)射后的速度為（單位），假定，對函數(shù)按（*）式所作的和具有怎樣的意義？
解：將區(qū)間等分成個小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度為，在每個小區(qū)間上取一點，依次為，雖然火箭的速度不是常數(shù)，但在一個小區(qū)間內(nèi)其變化很小，可以用來代替火箭在第一個小區(qū)間上的速度，這樣，
火箭在第一個時段內(nèi)運行的路程
同理火箭在第二個時段內(nèi)運行的路程
從而
火箭在內(nèi)運行的路程總和
這就是函數(shù)在時間區(qū)間上按（*）式所作的和的實際背景。
（由于學生初次遇到這類問題，語言表達比較困難，故教師在教學過程中最好采用對話式教學，邊說邊寫，規(guī)范板書）
例2：如圖，有兩個點電荷、，電量分別為、，固定電荷將電荷從距為處移到距為處，求庫侖力對電荷所做的功。
先分析，再讓學生嘗試書寫，然后投影解題過程。
（設計兩道例題的目的，一是培養(yǎng)學生的文字表達能力，二是讓學生體會數(shù)學在物理上的應用，也為后面的定積分的物理意義變力所做的功，變速運動的位移埋下伏筆）
學生練習：課本P46練習
四、回顧反思
知識點：⑴求曲邊梯形面積的四個步驟；⑵數(shù)學知識在物理上的應用。
反思消化：⑴對今天學習的內(nèi)容，你覺得有什么困難？
⑵在以前的學習過程中，有哪些地方用到了與今天類似的方法？
（希望學生能回憶起初中圓的周長、高中球的表面積以及線性回歸方程等類似的內(nèi)容）
五、布置作業(yè)：
1、探究：有沒有不同于方案一、方案二、方案三的以直代曲的方案？
2、課課練P411.2.

定積分的概念導學案及練習題

一名優(yōu)秀的教師在每次教學前有自己的事先計劃，準備好一份優(yōu)秀的教案往往是必不可少的。教案可以讓學生更好的消化課堂內(nèi)容，幫助教師營造一個良好的教學氛圍。你知道如何去寫好一份優(yōu)秀的教案呢？下面是小編精心為您整理的“定積分的概念導學案及練習題”，歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！

一、基礎過關(guān)
1．當n很大時，函數(shù)f(x)＝x2在區(qū)間[i－1n，in]上的值，可以近似代替為()
A．f(1n)B．f(2n)C．f(in)D．f(0)
2．在等分區(qū)間的情況下f(x)＝11＋x2(x∈[0,2])及x軸所圍成的曲邊梯形面積和式的極限形式正確的是()
A.limn→∞∑ni＝1[11＋in22n]B.limn→∞∑ni＝1[11＋2in22n]
C.limn→∞∑ni＝1(11＋i21n)D.limn→∞∑ni＝1[11＋in2n]
3．把區(qū)間[a，b](ab)n等分之后，第i個小區(qū)間是()
A．[i－1n，in]B．[i－1n(b－a)，in(b－a)]
C．[a＋i－1n，a＋in]D．[a＋i－1n(b－a)，a＋in(b－a)]
4．一物體沿直線運動，其速度v(t)＝t，這個物體在t＝0到t＝1這段時間內(nèi)所走的路程為()
A.13B.12C．1D.32
二、能力提升
5．由直線x＝1，y＝0，x＝0和曲線y＝x3所圍成的曲邊梯形，將區(qū)間4等分，則曲邊梯形面積的的近似值(取每個區(qū)間的右端點)是()
A.119B.111256C.1127D.2564
6．若做變速直線運動的物體v(t)＝t2，在0≤t≤a內(nèi)經(jīng)過的路程為9，則a的值為()
A．1B．2C．3D．4
7．∑ni＝1in＝________.
8．在求由拋物線y＝x2＋6與直線x＝1，x＝2，y＝0所圍成的平面圖形的面積時，把區(qū)間[1,2]等分成n個小區(qū)間，則第i個區(qū)間為________．

9．已知某物體運動的速度為v＝t，t∈[0,10]，若把區(qū)間10等分，取每個小區(qū)間右端點處的函數(shù)值為近似小矩形的高，則物體運動的路程近似值為________．

10．求直線x＝0，x＝2，y＝0與曲線y＝x2所圍成的曲邊梯形的面積．

11．已知自由落體的運動速度v＝gt，求在時間區(qū)間[0，t]內(nèi)物體下落的距離．

高二 數(shù)學 4.3 定積分的簡單應用 教案

4.3定積分的簡單應用
教學過程：
一．知識回顧
1、求曲邊梯形的思想方法是什么？
2、定積分的幾何意義是什么？
3、微積分基本定理是什么？
二．新知探究
（一）利用定積分求平面圖形的面積
例1．計算由兩條拋物線和所圍成的圖形的面積.
【分析】兩條拋物線所圍成的圖形的面積，可以由以兩條曲線所對應的曲邊梯形的面積的差得到。

【點評】在直角坐標系下平面圖形的面積的四個步驟：
1.作圖象；2.求交點；3.用定積分表示所求的面積；4.微積分基本定理求定積分。
練習：計算由曲線和所圍成的圖形的面積.
例2．計算由直線，曲線以及x軸所圍圖形的面積S.
分析：首先畫出草圖，并設法把所求圖形的面積問題轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形的面積問題．與例1不同的是，還需把所求圖形的面積分成兩部分S1和S2．為了確定出被積函數(shù)和積分的上、下限，需要求出直線與曲線的交點的橫坐標，直線與x軸的交點．

四．拓展提高
求曲線與直線軸所圍成的圖形面積。

五．歸納總結(jié)
總結(jié)：1、定積分的幾何意義是：、軸所圍成的圖形的面積的代數(shù)和，即.
因此求一些曲邊圖形的面積要可以利用定積分的幾何意義以及微積分基本定理，但要特別注意圖形面積與定積分不一定相等，如函數(shù)的圖像與軸圍成的圖形的面積為4,而其定積分為0.
2、求曲邊梯形面積的方法與步驟：
（1）畫圖，并將圖形分割為若干個曲邊梯形；
（2）對每個曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分的上、下限；
（3）確定被積函數(shù)；
（4）求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值的和。
3、幾種常見的曲邊梯形面積的計算方法：
型區(qū)域：①由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（1））；②由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（2））；③由兩條曲線與直線

圖（1）圖（2）圖（3）
所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（3））；
六．作業(yè)設計
1、必做題：P58練習（1）（2）；P60A組1；2、選做題：P60B組3。
七．精彩一練
1、求直線與拋物線所圍成的圖形面積。

2、求由拋物線及其在點M（0，－3）
和N（3，0）處的兩條切線所圍成的圖形的面積。

八．學后反思

高二數(shù)學定積分學案練習題

§1.5.2定積分
一、知識要點
1.定積分的概念
說明：⑴定積分是一個常數(shù)；
⑵用定義求定積分的一般方法是：①分割；②以直代曲；③作和；④逼近.
2.定積分的幾何意義
一般地，定積分的幾何意義是，在區(qū)間上曲線與軸所圍成圖形面積的代數(shù)和（即軸上方的面積減去軸下方的面積）
二、例題
例1.計算定積分.

例2.利用定積分的定義求定積分，并用幾何意義來驗證.

例3.運用定積分的幾何意義求下列定積分的值.
⑴⑵⑶⑷

三、課堂練習
1.定積分的幾何意義是由所圍成的圖形的面積.
2.如圖，陰影部分的面積分別以表示，
則定積分=.
3.計算下列定積分
⑴

4.用定積分表示下列圖⑴，圖⑵中陰影部分的面積.

四、課堂小結(jié)
五、課后反思
六、課后作業(yè)
1.計算定積分=.
2.設變速直線運動物體的速度為，則在到這一時間段內(nèi)，該物體經(jīng)過的位移=.
3.設質(zhì)點受力（為質(zhì)點所在位置）的作用沿軸由點移動到點，若處處平行于軸，則在該過程中變力對質(zhì)點所作的功=.
4.若，則=.
5.利用幾何意義說明等式成立的理由.

6.簡化下列各式，并畫出各式所表示的圖形的面積.
⑴⑵