高中函數(shù)教案

余弦函數(shù)誘導(dǎo)公式教案（1）。

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正弦函數(shù)誘導(dǎo)公式教案（1）

正弦函數(shù)誘導(dǎo)公式
一、教學(xué)目標(biāo)
1、知識(shí)與技能：
（1）進(jìn)一步熟悉單位圓中的正弦線；
（2）理解正弦誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程；
（3）掌握正弦誘導(dǎo)公式的運(yùn)用；
（4）能了解誘導(dǎo)公式之間的關(guān)系，能相互推導(dǎo)。
2、過程與方法：
通過正弦線表示α,－α,π－α,π＋α,2π－α,從而體會(huì)各正弦線之間的關(guān)系；或從正弦函數(shù)的圖像中找出α,－α,π－α,π＋α,2π－α，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)正弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式；講解例題，總結(jié)方法，鞏固練習(xí)。
3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：
通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力、探索歸納能力；讓學(xué)生體驗(yàn)自身探索成功的喜悅感，培養(yǎng)學(xué)生的自信心；使學(xué)生認(rèn)識(shí)到轉(zhuǎn)化“矛盾”是解決問題的有效途經(jīng)；培養(yǎng)學(xué)生形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神。
二、教學(xué)重、難點(diǎn)
重點(diǎn):正弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式。
難點(diǎn):誘導(dǎo)公式的靈活運(yùn)用。
三、學(xué)法與教法
在上一節(jié)課的基礎(chǔ)上，運(yùn)用單位圓中正弦線或正弦函數(shù)圖像中角的關(guān)系，引發(fā)學(xué)生探索出正弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式；通過例題和練習(xí)掌握誘導(dǎo)公式在解題中的作用；在正弦函數(shù)的圖像中，以學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和合作探究式學(xué)習(xí)為主。教法:自主合作探究式
四、教學(xué)過程
（一）、創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題
在上一節(jié)課中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角的正弦函數(shù)定義，以及終邊相同的角的正弦函數(shù)值也相等，即sin(2kπ＋α)＝sinα(k∈Z)，這一公式體現(xiàn)了求任意角的正弦函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求0°～360°的角的正弦函數(shù)值。如果還能把0°～360°間的角轉(zhuǎn)化為銳角的正弦函數(shù)，那么任意角的正弦函數(shù)就可以查表求出。這就是我們這一節(jié)課要解決的問題。
（二）、探究新知
1、復(fù)習(xí)：（公式1）sin(360k+)=sin
2、對(duì)于任一0到360的角，有四種可能（其中為不大于90的非負(fù)角）
（以下設(shè)為任意角）

3、公式2：
設(shè)的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)，則180+終邊與單位圓交于點(diǎn)P’(-x,-y)，由正弦線可知：sin(180+)=sin
4．公式3：如圖：在單位圓中作出α與－α角的終邊，
同樣可得：sin()=sin,
5、公式4：由公式2和公式3可得：
sin(180)=sin[180+()]=sin()=sin,
同理可得：sin(180)=sin,
6．公式5：sin(360)=sin
（三）、鞏固深化，發(fā)展思維
1、例題探析
例1．求下列函數(shù)值
（1）sin(－1650)；（2）sin(－15015’)；(3)sin(－π)
解：（1）sin(－1650)＝－sin1650＝－sin(4×360＋210)＝－sin210
＝－sin(180＋30)＝sin30＝
(2)sin(－15015’)＝－sin15015’＝－sin(180－2945’)
＝－sin2945’＝－0.4962
(3)sin(－π)＝sin(－2π＋)＝sin＝
例2．化簡(jiǎn)：
解：原式=
2．學(xué)生練習(xí)：教材P20練習(xí)1、2、3
（四）、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)
（1）請(qǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)過的知識(shí)內(nèi)容有哪些？所涉及到的主要數(shù)學(xué)思想方法有那些？
（2）在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，還有那些不太明白的地方，請(qǐng)向老師提出。
（3）你在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣？你的體會(huì)是什么？
（五）、作業(yè)布置：1、若，則=。
2、若是方程的根，求的值。
3、化簡(jiǎn)：。
4、已知A、B、C是的內(nèi)角，求證：。
五、教后反思：

§4正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式導(dǎo)學(xué)案

經(jīng)驗(yàn)告訴我們，成功是留給有準(zhǔn)備的人。教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以讓學(xué)生們有一個(gè)良好的課堂環(huán)境，讓教師能夠快速的解決各種教學(xué)問題。寫好一份優(yōu)質(zhì)的教案要怎么做呢？下面是小編幫大家編輯的《§4正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式導(dǎo)學(xué)案》，歡迎大家閱讀，希望對(duì)大家有所幫助。

§4正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式導(dǎo)學(xué)案
班級(jí)：__________小組：___________姓名：_____________
學(xué)習(xí)目標(biāo):
一、【目標(biāo)】
1.借助單位圓認(rèn)識(shí)和理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的概念。
2.會(huì)利用單位圓研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性。
3.知道誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程；能概括誘導(dǎo)公式的特點(diǎn)。
4.能靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式熟練正確地進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)及變形。
5.提高對(duì)三角函數(shù)中單位圓思想的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)借助圖形直觀進(jìn)行觀察、感知探究、發(fā)現(xiàn)及邏輯推理的能力，滲透掌握分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想方
二、【學(xué)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)】
重點(diǎn):正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單位圓定義法;用聯(lián)系的觀點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)并證明誘導(dǎo)公式。
難點(diǎn):正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義理解；如何引導(dǎo)學(xué)生從單位圓的對(duì)稱性與任意角終邊上點(diǎn)的對(duì)稱性，發(fā)現(xiàn)問題，提出研究方法。
教學(xué)計(jì)劃：
第一課時(shí)：

一、復(fù)習(xí)
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，分別寫出∠A的三角函數(shù)關(guān)系式：sinA＝_____，cosA=_____，sinB＝_____，cosB=_____，比較上述中，sinA與cosB，cosA與sinB的表達(dá)式，你有什么發(fā)現(xiàn)？
2.周期函數(shù)：
3.同角三角函數(shù)關(guān)系：
二．預(yù)習(xí)
1.在直角坐標(biāo)中，以_____為圓心，以_______為半徑的圓叫做單位圓。
2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義：一般地，在直角坐標(biāo)系中，對(duì)任意角α（弧度制），使角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸正半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)P（u，v），那么點(diǎn)P的縱坐標(biāo)v，叫作角α的正弦函數(shù)，
記作v＝。點(diǎn)P的縱坐標(biāo)u，叫作角α的余弦函數(shù)，記作u＝.
通常,我們用x，y分別表示自變量與因變量，將正、余弦函數(shù)分別表示為y＝sinx，y＝cosx.
定義域：_________________，
值域：___________________.
3、在直角坐標(biāo)系中，設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊上任意一點(diǎn)P(x,y),那么:
⑴正弦=__________，
⑵余弦=__________。
4.當(dāng)角α的終邊分別在第一、二、三、四象限時(shí)，正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值的正負(fù)號(hào)：
象限
三角函數(shù)第一象限第二象限第三象限第四象限
5.周期性：終邊相同的角的正弦函數(shù)值相等，即sin(2kπ＋α)＝sinα(k∈Z)，說明對(duì)于任意一個(gè)角α，每增加2π的整數(shù)倍，其正弦函數(shù)值不變。所以，正弦函數(shù)是隨角的變化而周期性變化的，正弦函數(shù)是周期函數(shù)，2kπ（k∈Z，k≠0）為正弦函數(shù)的周期。
2π是正弦函數(shù)的正周期中最小的一個(gè)，稱為_____________。一般地，對(duì)于周期函數(shù)f(x)，如果它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫作f(x)的____________。
（余弦函數(shù)y＝cosx同上）.
三、合作探究
例1：將各特殊角的三角函數(shù)值填入下表。
x0
y=sinx
y=cosx

例2．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（2，－4），求角α的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值。

四、自我訓(xùn)練
1.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-2,-3)，求角α的正弦、余弦值.
2.確定下列各三角函值的符號(hào)：
⑴cos250°;⑵sin(-π/4);
⑶sin(-672°);⑷cos3π;

3.已知sinθ＜0且cosθ＞0,確定θ角的象限.

第二課時(shí)：

一，問題的提出
求下列三角函數(shù)的值，公式一都能解決嗎？是否有必要研究新的公式？
sin1110°=
二，自主學(xué)習(xí)
（一）知識(shí)梳理：
則
公式一的作用：
4.（1）的終邊與角終邊關(guān)于__________________對(duì)稱
（2）的終邊與角終邊關(guān)于__________________對(duì)稱
（3）的終邊與角終邊關(guān)于__________________對(duì)稱
（4）的終邊與角終邊關(guān)于__________________對(duì)稱
5.如圖,設(shè)α為一任意角，α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(x,y),角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P0,點(diǎn)P0與點(diǎn)P關(guān)于_____________成中心對(duì)稱,
因此點(diǎn)P0的坐標(biāo)是__________________于是,我們有:

公式二：
_________________
_________________

類比公式二的得來，得：
公式三：
___________
______________

類比公式二,三的得來，得：
公式四：
__________________
______________________
對(duì)公式一，二，三，四用語言可概括為：
上述公式的作用：
將分別加上，三角函數(shù)值（會(huì)否）改變？是否可以得出，形如的角，求三角函數(shù)值的一般方法或口訣？

（二）合作探究
1、利用公式求下列三角函數(shù)值
（1）cos210；(2)
（3）；（4）．

拓展1：將下列三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)
（1）=__________（2）=____________
(3)=____________(4)=___________

通過練習(xí)，你認(rèn)為：（１）公式一至公式四如何理解記憶？
（２）你能夠自己歸納一下把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟嗎？
2、化簡(jiǎn)

3、化簡(jiǎn)：（1）sin(+180)cos(—)sin(——180)
（2）sin(—)cos(2π+)tan(——π)

（三）學(xué)習(xí)小結(jié)：
1.誘導(dǎo)公式反映了各種不同形式的角的三角函數(shù)之間的相互關(guān)系，并具有一定的規(guī)律性，“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，是記住這些公式的有效方法.
2.誘導(dǎo)公式是三角變換的基本公式，其中角α可以是一個(gè)單角，也可以是一個(gè)復(fù)角，應(yīng)用時(shí)要注意整體把握、靈活變通.

正弦、余弦的誘導(dǎo)公式概念辨析

古人云，工欲善其事，必先利其器。作為高中教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以讓學(xué)生能夠聽懂教師所講的內(nèi)容，幫助高中教師提高自己的教學(xué)質(zhì)量。關(guān)于好的高中教案要怎么樣去寫呢？以下是小編為大家精心整理的“正弦、余弦的誘導(dǎo)公式概念辨析”，大家不妨來參考。希望您能喜歡！

正弦、余弦的誘導(dǎo)公式概念辨析
公式二：
sin(180+)=-sin
cos(180+)=-cos
用弧度制可表示如下：
sin(π+)=-sin
cos(π+)=-cos
它刻畫了角180+與角的正弦值（或余弦值）之間的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系是：以角終邊的反向延長(zhǎng)線為終邊的角的正弦值（或余弦值）與角的正弦值（或余弦值）是一對(duì)相反數(shù)．這是因?yàn)槿粼O(shè)的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，則角終邊的反向延長(zhǎng)線，即180+角的終邊與單位圓的交點(diǎn)必為P(-x，-y)（如圖4-5-1）．由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，即可得sin=y，cos=x,
sin(180+)=-y,cos(180+)=-x,
∴sin(180+)=-sin，cos(180+)=-cos．

公式三：
sin(－)=－sin
cos(－)=cos
它說明角-與角的正弦值互為相反數(shù)，而它們的余弦值相等．這是因?yàn)?，若沒的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，則角-的終邊與單位圓的交點(diǎn)必為P(x，-y)（如圖4-5-2）．由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，即可得
sin=y，cos=x,
sin(-)=-y,cos(-)=x,
所以：sin(-)=-sin,cos(-)=cosα
公式二、三的獲得主要借助于單位圓及正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義．根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)準(zhǔn)確地確定點(diǎn)P的坐標(biāo)是關(guān)鍵，這里充分利用了對(duì)稱的性質(zhì)．事實(shí)上，在圖1中，點(diǎn)P與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而在圖2中，點(diǎn)P與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱．直觀的對(duì)稱形象為我們準(zhǔn)確寫出P的坐標(biāo)鋪平了道路，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想的優(yōu)越性．
2．關(guān)于公式四和公式五
公式四是：sin(180-)=sin
cos(180-)=-cos
用弧度制可表示如下：sin(π-)=sin
cos(π-)=-cos
公式五是：sin(360-)=-sin
cos(360-)=cos
用弧度制可表示如下：sin(2π-)=-sin
cos(2π-)=cos
這兩組公式均可由前面學(xué)過的誘導(dǎo)公式直接推出（公式四可由公式二、三推出，公式五可由公式一、三推出），體現(xiàn)了把未知問題化為已知問題處理這一化歸的數(shù)學(xué)思想．公式的推導(dǎo)并不難，然而推導(dǎo)中的化歸意識(shí)和策略是值得我們關(guān)注的．
3．關(guān)于用一句話概括五組誘導(dǎo)公式的問題
五組誘導(dǎo)公式可概括為：+k360（k∈Z），-，180±，360-的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)．
這里的“同名三角函數(shù)值”是指等號(hào)兩邊的三角函數(shù)名稱相同；“把看成銳角”是指原本是任意角，這里只是把它視為銳角處理；“前面加上一個(gè)……符號(hào)”是指的同名函數(shù)值未必就是最后結(jié)果，前面還應(yīng)添上一個(gè)符號(hào)（正號(hào)或負(fù)號(hào)，主要是負(fù)號(hào)，正號(hào)可省略），而這個(gè)符號(hào)是把任意角視為銳角情況下的原角原函數(shù)的符號(hào)．
教學(xué)時(shí)應(yīng)注意講清這句話中每一詞語的含義，特別要講清為什么要把任意角α看成銳角．建議通過實(shí)例分析說明．

正弦、余弦的誘導(dǎo)公式典型例題

一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學(xué)生的理解性，高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以讓學(xué)生更好的吸收課堂上所講的知識(shí)點(diǎn)，讓高中教師能夠快速的解決各種教學(xué)問題。關(guān)于好的高中教案要怎么樣去寫呢？為了讓您在使用時(shí)更加簡(jiǎn)單方便，下面是小編整理的“正弦、余弦的誘導(dǎo)公式典型例題”，歡迎您參考，希望對(duì)您有所助益！

正弦、余弦的誘導(dǎo)公式例題講析
例1．求下列三角函數(shù)的值
(1)sin240；(2)；
(3)cos(-252)；(4)sin（-）
解：（1）sin240=sin(180+60)＝－sin60=
(2)=cos==；
(3)cos(-252)=cos252=cos(180+72)=－cos72=－0.3090；
(4)sin（-）=－sin=－sin=sin=
說明：本題是誘導(dǎo)公式二、三的直接應(yīng)用．通過本題的求解，使學(xué)生在利用公式二、三求三角函數(shù)的值方面得到基本的、初步的訓(xùn)練．本例中的（3）可使用計(jì)算器或查三角函數(shù)表．

例2．求下列三角函數(shù)的值
(1)sin(-11945′)；(2)cos；
(3)cos(-150)；(4)sin.
解：(1)sin(－11945′)=－sin11945′=－sin(180-6015′)=－sin6015′=－0.8682
(2)cos=cos()=cos=
(3)cos(-150)=cos150=cos(180-30)=－cos30=；
(4)sin=sin()=－sin=.
說明：本題是公式四、五的直接應(yīng)用，通過本題的求解，使學(xué)生在利用公式四、五求三角函數(shù)的值方面得到基本的、初步的訓(xùn)練．本題中的（1）可使用計(jì)算器或查三角函數(shù)表．
例3．求值：
sin－cos－sin
略解：原式=-sin-cos-sin
=-sin-cos+sin
=sin+cos+sin
=++0.3090
=1.3090.
說明：本題考查了誘導(dǎo)公式一、二、三的應(yīng)用，弧度制與角度制的換算，是一道比例1略難的小綜合題．利用公式求解時(shí)，應(yīng)注意符號(hào)．

例4．求值：
sin(-1200)cos1290+cos(-1020)sin(-1050)+tan855.
解：原式＝－sin(120+3360)cos(210+3360)
+cos(300+2360)[-sin(330+2360)]+tan(135+2360)
＝－sin120cos210－cos300sin330+tan135
＝－sin(180－60)cos(180+30)－cos(360－60)sin(360-30)+
=sin60cos30+cos60sin30－tan45
=+-1
=0
說明：本題的求解涉及了誘導(dǎo)公式一、二、三、四、五以及同角三角函數(shù)的關(guān)系．與前面各例比較，更具有綜合性．通過本題的求解訓(xùn)練，可使學(xué)生進(jìn)一步熟練誘導(dǎo)公式在求值中的應(yīng)用．值得指出的是教材中的誘導(dǎo)公式未介紹正切，因此，計(jì)算tan135的值時(shí)應(yīng)先用商數(shù)關(guān)系把tan135改寫成,再將分子分母分別用誘導(dǎo)公式進(jìn)而求出tan135的值．

例5．化簡(jiǎn)：
.
略解：原式===1.
說明：化簡(jiǎn)三角函數(shù)式是誘導(dǎo)公式的又一應(yīng)用，應(yīng)當(dāng)熟悉這種題型．

例6．化簡(jiǎn)：
解：原式=
=
=
=.
說明：本題可視為例5的姐妹題，相比之下，難度略大于例5．求解時(shí)應(yīng)注意從所涉及的角中分離出2的整數(shù)倍才能利用誘導(dǎo)公式一．

例7．求證：
證明：左邊=
=
=
=
=，
右邊==，
所以，原式成立．

例8．求證
證明：左邊＝
＝
＝tan3α＝右邊，
所以，原式成立．
說明：例7和例8是誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式在證明三角恒等式中的又一應(yīng)用，具有一定的綜合性．盡管問題是以證明的形式出現(xiàn)的，但其本質(zhì)是等號(hào)左、右兩邊三角式的化簡(jiǎn)．

例9．已知．求：的值．
解：已知條件即，又，
所以：=
說明：本題是在約束條件下三角函數(shù)式的求值問題．由于給出了角的范圍，因此，的三角函數(shù)的符號(hào)是一定的，求解時(shí)既要注意誘導(dǎo)公式本身所涉及的符號(hào)，又要注意根據(jù)的范圍確定三角函數(shù)的符號(hào)．

例10．已知,
求:的值.
解：由，得
，
所以
故
=
=1＋tan＋2tan2
=1+
.
說明：本題也是有約束條件的三角函數(shù)式的求值問題，但比例9要復(fù)雜一些．它對(duì)于學(xué)生熟練誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用．提高運(yùn)算能力等都能起到較好的作用．

例11．已知的值．
解：因?yàn)椋?br> 所以：=＝－m
由于所以
于是：=，
所以：tan(=.
說明：通過觀察，獲得角與角之間的關(guān)系式=-（），為順利利用誘導(dǎo)公式求cos()的值奠定了基礎(chǔ)，這是求解本題的關(guān)鍵，我們應(yīng)當(dāng)善于引導(dǎo)學(xué)生觀察，充分挖掘的隱含條件，努力為解決問題尋找突破口，本題求解中一個(gè)鮮明的特點(diǎn)是誘導(dǎo)公式中角的結(jié)構(gòu)要由我們通過對(duì)已知式和欲求之式中角的觀察分析后自己構(gòu)造出來，在思維和技能上顯然都有較高的要求，給我們?nèi)碌母杏X，它對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維能力、創(chuàng)新意識(shí)，訓(xùn)練學(xué)生素質(zhì)有著很好的作用．

例12．已知cos，角的終邊在y軸的非負(fù)半軸上，求cos的值．
解：因?yàn)榻堑慕K邊在y軸的非負(fù)半軸上，
所以：=，
于是2（）=
從而
所以===
說明：本題求解中，通過對(duì)角的終邊在y軸的非負(fù)半軸上的分析而得的=，還不能馬上將未知與已知溝通起來．然而，當(dāng)我們通過觀察，分析角的結(jié)構(gòu)特征，并將它表示為2（）后，再將=代入，那么未知和已知之間隨即架起了一座橋梁，它為利用誘導(dǎo)公式迅速求值掃清了障礙．通過本題的求解訓(xùn)練，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析能力以及思維的靈活性和創(chuàng)造性必將大有裨益．