小學(xué)教學(xué)教案

第3節(jié)算法案例教學(xué)案。

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高二數(shù)學(xué)上冊(cè)《算法案例》教學(xué)設(shè)計(jì)

高二數(shù)學(xué)上冊(cè)《算法案例》教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)與技能

⑴理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理，并能根據(jù)這些原理進(jìn)行算法分析；

⑵基本能根據(jù)算法語句與程序框圖的知識(shí)設(shè)計(jì)完整的程序框圖并寫出算法程序.

2、過程與方法

在輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的學(xué)習(xí)過程中對(duì)比我們常見的約分求公因式的方法，比較它們?cè)谒惴ㄉ系膮^(qū)別，并從程序的學(xué)習(xí)中體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)算法與計(jì)算機(jī)處理的結(jié)合方式，初步掌握把數(shù)學(xué)算法轉(zhuǎn)化成計(jì)算機(jī)語言的一般步驟.

3、情感與價(jià)值觀

⑴通過閱讀中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的算法案例，體會(huì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn).

⑵在學(xué)習(xí)古代數(shù)學(xué)家解決數(shù)學(xué)問題的方法的過程中培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，在利用算法解決數(shù)學(xué)問題的過程中培養(yǎng)理性的精神和動(dòng)手實(shí)踐的能力.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的方法.

難點(diǎn)：把輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的方法轉(zhuǎn)換成程序框圖與程序語言.

三、教學(xué)過程：

（一）創(chuàng)設(shè)情景、導(dǎo)入課題

1.研究一個(gè)實(shí)際問題的算法，主要從哪幾方面展開？

算法步驟、程序框圖和編寫程序三方面展開.

2.在程序框圖中算法的基本邏輯結(jié)構(gòu)有哪幾種？

順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)

3.在程序設(shè)計(jì)中基本的算法語句有哪幾種？

輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句

4.思考1:18與30的最大公約數(shù)是多少？你是怎樣得到的？

5.思考2:對(duì)于8251與6105這兩個(gè)數(shù)，它們的最大公約數(shù)是多少？你是怎樣得到的？

由于它們公有的質(zhì)因數(shù)較大，利用上述方法求最大公約數(shù)就比較困難.有沒有其它的方法可以較簡(jiǎn)單的找出它們的最大公約數(shù)呢？

（板書課題）

（二）師生互動(dòng)、探究新知

1.輾轉(zhuǎn)相除法

思考3：注意到8251=6105×1+2146，那么8251與6105這兩個(gè)數(shù)的公約數(shù)和6105與2146的公約數(shù)有什么關(guān)系？

我們發(fā)現(xiàn)6105=2146×2+1813，同理，6105與2146的公約數(shù)和2146與1813的公約數(shù)相等.

思考4：重復(fù)上述操作，你能得到8251與6105這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)嗎？

6105＝2146×2＋1813

2146＝1813×1＋333

1813＝333×5＋148

333＝148×2＋37

148＝37×4＋0

以上我們求最大公約數(shù)的方法就是輾轉(zhuǎn)相除法，也叫歐幾里德算法，它是由歐幾里德在公元前300年左右首先提出的.

利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：

第一步：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù)；

第二步：若＝0，則n為m，n的最大公約數(shù)；若≠0，則用除數(shù)n除以余數(shù)得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù)；

第三步：若＝0，則為m，n的最大公約數(shù)；若≠0，則用除數(shù)除以余數(shù)得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù)；

……

依次計(jì)算直至＝0，此時(shí)所得到的即為所求的最大公約數(shù).

思考5:你能把輾轉(zhuǎn)相除法編成一個(gè)計(jì)算機(jī)程序嗎？

第一步，給定兩個(gè)正整數(shù)m，n(mn).

第二步，計(jì)算m除以n所得的余數(shù)r.

第三步，m=n，n=r.

第四步，若r=0，則m，n的最大公約數(shù)等于m；否則，返回第二步.

INPUTm，n

DO

r=mMODn

m=n

n=r

LOOPUNTILr=0

PRINTm

END

思考6:如果用當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)構(gòu)造算法，則用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)正整數(shù)m，n的最大公約數(shù)的程序框圖和程序分別如何表示？

INPUTm，n

WHILEn0

r=mMODn

m=n

n=r

WEND

PRINTm

END

2.更相減損術(shù)

《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著，其中的“更相減損術(shù)”也可以用來求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)

更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之.”

翻譯出來為：

第一步：任意給出兩個(gè)正整數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù).若是，用2約簡(jiǎn)；若不是，執(zhí)行第二步.

第二步：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)（等數(shù)）或這個(gè)數(shù)與約簡(jiǎn)的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù).

例1（課本P36例1）用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).

解：由于63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減，即：98－63＝35

63－35＝28

35－28＝7

28－7＝21

21－7＝14

14－7＝7

所以，98與63的最大公約數(shù)是7。

練習(xí)：用更相減損術(shù)求兩個(gè)正數(shù)84與72的最大公約數(shù)。（答案：12）

（三）講練結(jié)合，鞏固提高

例2：分別用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)求168與93的最大公約數(shù).

輾轉(zhuǎn)相除法：

168=93×1+75，

93=75×1+18，

75=18×4+3，

18=3×6.

更相減損術(shù):

168-93=75，

93-75=18，

75-18=57，

57-18=39，

39-18=21，

21-18=3，

18-3=15，

15-3=12，

12-3=9，

9-3=6，

6-3=3.

例3：求325，130，270三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).

因?yàn)?25=130×2+65，130=65×2，所以325與130的最大公約數(shù)是65.

因?yàn)?70=65×4+10，65=10×6+5，10=5×2，所以65與270最大公約數(shù)是5.

故325，130，270三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是5.

練習(xí):用更相減損術(shù)求兩個(gè)正整數(shù)m，n的最大公約數(shù)，可以用什么邏輯結(jié)構(gòu)來構(gòu)造算法？其算法步驟如何設(shè)計(jì)？

第一步，給定兩個(gè)正整數(shù)m，n(mn).

第二步，計(jì)算m-n所得的差k.

第三步，比較n與k的大小，其中大者用m表示，小者用n表示.

第四步，若m=n，則m，n的最大公約數(shù)等于m；否則，返回第二步.

討論:該算法的程序框圖如何表示？

討論:該程序框圖對(duì)應(yīng)的程序如何表述？

（四）小結(jié)

1、輾轉(zhuǎn)相除法，就是對(duì)于給定的兩個(gè)正整數(shù)，用較大的數(shù)除以較小的數(shù)，若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，繼續(xù)上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡為止，這時(shí)的較小的數(shù)即為原來兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).

2、更相減損術(shù)，就是對(duì)于給定的兩個(gè)正整數(shù)，用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，然后將差和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，繼續(xù)上面的減法，直到差和較小的數(shù)相等，此時(shí)相等的兩數(shù)即為原來兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).

（五）布置作業(yè)

P45練習(xí)：1題.

P48習(xí)題1.3A組：1題

古代數(shù)學(xué)中的算法案例

中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的算法案例
教學(xué)目標(biāo)：
１．知識(shí)與技能目標(biāo)：
（１）了解中國(guó)古代數(shù)學(xué)中求兩個(gè)正整數(shù)最大公約數(shù)的算法以及割圓術(shù)的算法；
（２）通過對(duì)“更相減損之術(shù)”及“割圓術(shù)”的學(xué)習(xí)，更好的理解將要解決的問題“算法化”
的思維方法，并注意理解推導(dǎo)“割圓術(shù)”的操作步驟。
２．過程與方法目標(biāo)：
（１）改變解決問題的思路，要將抽象的數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的步驟化的思維方法，提高邏
輯思維能力；
（２）學(xué)會(huì)借助實(shí)例分析，探究數(shù)學(xué)問題。
３．情感與價(jià)值目標(biāo)：
（１）通過學(xué)生的主動(dòng)參與，師生，生生的合作交流，提高學(xué)生興趣，激發(fā)其求知欲，培養(yǎng)探索精神；
（２）體會(huì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)，增強(qiáng)愛國(guó)主義情懷。
教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：
重點(diǎn)：了解“更相減損之術(shù)”及“割圓術(shù)”的算法。
難點(diǎn)：體會(huì)算法案例中蘊(yùn)含的算法思想，利用它解決具體問題。
教學(xué)方法：
通過典型實(shí)例，使學(xué)生經(jīng)歷算法設(shè)計(jì)的全過程，在解決具體問題的過程中學(xué)習(xí)一些基本邏輯
結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)有條理地思考問題、表達(dá)算法，并能將解決問題的過程整理成程序框圖。
教學(xué)過程：
教學(xué)
環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
創(chuàng)設(shè)情境

引入新課引導(dǎo)學(xué)生回顧
人們?cè)陂L(zhǎng)期的生活，生產(chǎn)和勞動(dòng)過程中，創(chuàng)造了整數(shù)，分?jǐn)?shù)，小數(shù)，正負(fù)數(shù)及其計(jì)算，以及無限逼近任一實(shí)數(shù)的方法，在代數(shù)學(xué)，幾何學(xué)方面，我國(guó)在宋，元之前也都處于世界的前列。我們?cè)谛W(xué)，中學(xué)學(xué)到的算術(shù)，代數(shù)，從記數(shù)到多元一次聯(lián)立方程的求根方法，都是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家最先創(chuàng)造的。更為重要的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展有著自己鮮明的特色，也就是“寓理于算”，即把解決的問題“算法化”。本章的內(nèi)容是算法，特別是在中國(guó)古代也有著很多算法案例，我們來看一下并且進(jìn)一步體會(huì)“算法”的概念。
教師引導(dǎo)，學(xué)生回顧。
教師啟發(fā)學(xué)生回憶小學(xué)初中時(shí)所學(xué)算術(shù)代數(shù)知識(shí)，共同創(chuàng)設(shè)情景，引入新課。
通過對(duì)以往所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的回顧，使學(xué)生理清知識(shí)脈絡(luò)，并且向?qū)W生指明，我國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展“寓理于算”，不同于西方數(shù)學(xué)，在今天看仍然有很大的優(yōu)越性，體會(huì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)，增強(qiáng)愛國(guó)主義情懷。
閱讀
課本

探究
新知

１．求兩個(gè)正整數(shù)最大公約數(shù)的算法
學(xué)生通常會(huì)用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)：
例１：求７８和３６的最大公約數(shù)
（１）利用輾轉(zhuǎn)相除法
步驟：
計(jì)算出７８３６的余數(shù)６，再將前面的除數(shù)３６作為新的被除數(shù)，３６６＝６，余數(shù)為０，則此時(shí)的除數(shù)即為７８和３６的最大公約數(shù)。
理論依據(jù)：，得與有相同的公約數(shù)
（２）更相減損之術(shù)
指導(dǎo)閱讀課本P----P，總結(jié)步驟
步驟：
以兩數(shù)中較大的數(shù)減去較小的數(shù)，即７８－３６＝４２；以差數(shù)４２和較小的數(shù)3６構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，對(duì)這一對(duì)數(shù)再用大數(shù)減去小數(shù)，即４２－３６＝６,再以差數(shù)６和較小的數(shù)３６構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，對(duì)這一對(duì)數(shù)再用大數(shù)減去小數(shù)，即３６－６＝３０,繼續(xù)這一過程,直到產(chǎn)生一對(duì)相等的數(shù)，這個(gè)數(shù)就是最大公約數(shù)
即，
理論依據(jù)：
由，得與有相同的公約數(shù)
算法：
輸入兩個(gè)正數(shù)；
如果，則執(zhí)行，否則轉(zhuǎn)到；
將的值賦予；
若，則把賦予，把賦予，否則把賦予，重新執(zhí)行；
輸出最大公約數(shù)
程序:
a=input(“a=”)
b=input(“b=”)
whileab
ifa=b
a=a-b;
else
b=b-a
end
end
print(%io(2),a,b)
學(xué)生閱讀課本內(nèi)容，分析研究，獨(dú)立的解決問題。
教師巡視，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的個(gè)別指導(dǎo)。
由學(xué)生回答求最大公約數(shù)的兩種方法，簡(jiǎn)要說明其步驟，并能說出其理論依據(jù)。

由學(xué)生寫出更相減損法和輾轉(zhuǎn)相除法的算法，并編出簡(jiǎn)單程序。
教師將兩種算法同時(shí)顯示在屏幕上，以方便學(xué)生對(duì)比。
教師將程序顯示于屏幕上，使學(xué)生加以了解。數(shù)學(xué)教學(xué)要有學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)，用自己的思維方式把要學(xué)的知識(shí)重新創(chuàng)造出來。這種再創(chuàng)造積累和發(fā)展到一定程度，就有可能發(fā)生質(zhì)的飛躍。在教學(xué)中應(yīng)創(chuàng)造自主探索與合作交流的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生有充分的時(shí)間和空間去觀察，分析，動(dòng)手實(shí)踐，從而主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)。

求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)是本節(jié)課的一個(gè)重點(diǎn)，用學(xué)生非常熟悉的問題為載體來講解算法的有關(guān)知識(shí)，，強(qiáng)調(diào)了提供典型實(shí)例，使學(xué)生經(jīng)歷算法設(shè)計(jì)的全過程，在解決具體問題的過程中學(xué)習(xí)一些基本邏輯結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)有條理地思考問題、表達(dá)算法，并能將解決問題的過程整理成程序框圖。為了能在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，還適當(dāng)展示了將自然語言或程序框圖翻譯成計(jì)算機(jī)語
言的內(nèi)容。總的來說，不追求形式上的嚴(yán)謹(jǐn)，通過案例引導(dǎo)學(xué)生理解相應(yīng)內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法。
應(yīng)用
舉例例1：用等值算法（更相減損術(shù)）求下列兩數(shù)的最大公約數(shù)。
（1）225，135（2）98，280
例2：用輾轉(zhuǎn)相除法驗(yàn)證上例中兩數(shù)的最大公約數(shù)是否正確。學(xué)生練習(xí)，教師巡視檢查。
學(xué)生回答。鞏固所學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步加深對(duì)知識(shí)的理解，用輾轉(zhuǎn)相除法步驟較少，而更相減損術(shù)雖然有些步驟較長(zhǎng)，但運(yùn)算簡(jiǎn)單。
體會(huì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)中“寓理于算”的思想。
深化
算法
應(yīng)用
舉例2．割圓術(shù)
魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽，“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”
即從圓內(nèi)接正六邊形開始，讓邊數(shù)逐次加倍，逐個(gè)算出這些內(nèi)接正多邊形的面積，從而得到一系列逐次遞增的數(shù)值。
閱讀課本P----P，
步驟：
第一，從半徑為１的圓內(nèi)接正六邊形開始，計(jì)算它的面積；
第二，逐步加倍圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，分別計(jì)算圓內(nèi)接正十二邊形，正二十四邊形，正四十八邊形…的面積，到一定的邊數(shù)（設(shè)為２m）為止，得到一列遞增的數(shù)，
第三，在第二步中各正邊形每邊上作一高為余徑的矩形，把其面積與相應(yīng)的面積相加，得，這樣又得到一列遞增數(shù)：，，，…，。
第四，圓面積滿足不等式
估計(jì)的近似值，即圓周率的近似值。
算法：
設(shè)圓的半徑為１，弦心距為，正邊形的邊長(zhǎng)為，面積為，由勾股定理得
，
則
圖可知，正邊形的面積等于正邊形的面積加上個(gè)等腰三角形的面積和，即
（）
利用這個(gè)遞推公式，可以得到正六邊形的面積為，
由于圓的半徑為１，所以隨著的增大，的值不斷趨近于圓周率。
程序：
n=6;
x=1;
s=6*sqrt(3)/4;
forI=1:1:16
h=sqrt(1-(x/2)2);
s=s+n*x*(1-h)/2;
n=2*n;
x=sqrt((x/2)2+(1-h)2);
end
print(%io(2),n,s)學(xué)生閱讀課本，教師巡視注意個(gè)別指導(dǎo)，幫助學(xué)生識(shí)圖，分析。
教師概括割圓術(shù)的步驟，學(xué)生觀察圖形，引導(dǎo)學(xué)生提出問題并解答。
步驟較復(fù)雜，教師注意結(jié)合圖形幫助學(xué)生分析，理解。

通過教師分析的割圓術(shù)的步驟，又學(xué)生討論制定割圓術(shù)的算法，教師注意指導(dǎo)，適當(dāng)提示，引導(dǎo)學(xué)生出現(xiàn)算法中的遞推關(guān)系。

教師將算法顯現(xiàn)在屏幕上，又學(xué)生對(duì)應(yīng)寫出簡(jiǎn)單的程序。

割圓術(shù)是從圓內(nèi)接六邊形開始，讓邊數(shù)逐次加倍，逐個(gè)算出這些內(nèi)接正多邊形的面積，從而得到一系列逐次遞增的數(shù)值。在但是要付出艱辛的勞動(dòng)，現(xiàn)在有計(jì)算機(jī)，我們只需利用劉徽的思想，尋找割圓術(shù)中的算法，即運(yùn)算規(guī)律，計(jì)算機(jī)會(huì)迅速得到所求答案。

分析劉徽割圓術(shù)中的算法是難點(diǎn)所在，學(xué)生先閱讀課本，有初步印象之后教師再與學(xué)生一起總結(jié)割圓術(shù)的步驟，在此基礎(chǔ)上，又學(xué)生將所分析的步驟寫為算法，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)算法的核心是一般意義上的解決問題策略的具體化。面臨一個(gè)問題時(shí)，在分析、思考后獲得了解決它的基本思路（解題策略），將這種思路具體化、條理化，用適當(dāng)?shù)姆绞奖磉_(dá)出來（畫出程序框圖，轉(zhuǎn)化為程序語句），這個(gè)過程就是算法設(shè)計(jì)過程，這是一個(gè)思維的條理化、邏輯化的過程。

歸納小結(jié)1．求最大公約數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損法；
2．割圓術(shù)的算法學(xué)生小結(jié)并相互補(bǔ)充，師生共同整理完善。學(xué)生學(xué)后反思總結(jié)，可以提高學(xué)生自己獲得知識(shí)的能力以及歸納概括能力。
課后作業(yè)習(xí)題1—31，2
選作習(xí)題1—3
鞏固所學(xué)知識(shí)，是學(xué)有余力的同學(xué)的創(chuàng)造性得到進(jìn)一步的發(fā)揮。

高二數(shù)學(xué)必修三考點(diǎn)解析：算法案例

一名優(yōu)秀負(fù)責(zé)的教師就要對(duì)每一位學(xué)生盡職盡責(zé)，作為教師就要早早地準(zhǔn)備好適合的教案課件。教案可以讓學(xué)生更容易聽懂所講的內(nèi)容，使教師有一個(gè)簡(jiǎn)單易懂的教學(xué)思路。你知道如何去寫好一份優(yōu)秀的教案呢？下面的內(nèi)容是小編為大家整理的高二數(shù)學(xué)必修三考點(diǎn)解析：算法案例，但愿對(duì)您的學(xué)習(xí)工作帶來幫助。

高二數(shù)學(xué)必修三考點(diǎn)解析：算法案例

1.輾轉(zhuǎn)相除法是用于求最大公約數(shù)的一種方法，這種算法由歐幾里得在公元前年左右首先提出，因而又叫歐幾里得算法.
2.所謂輾轉(zhuǎn)相法，就是對(duì)于給定的兩個(gè)數(shù)，用較大的數(shù)除以較小的數(shù).若余數(shù)不為零，則將較小的數(shù)和余數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，繼續(xù)上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，則這時(shí)的除數(shù)就是原來兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).
3.更相減損術(shù)是一種求兩數(shù)最大公約數(shù)的方法.其基本過程是：對(duì)于給定的兩數(shù)，用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)，繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)就是所求的最大公約數(shù).
4.秦九韶算法是一種用于計(jì)算一元二次多項(xiàng)式的值的方法.
5.常用的排序方法是直接插入排序和冒泡排序.
6.進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng).“滿進(jìn)一”，就是k進(jìn)制，進(jìn)制的基數(shù)是k.
7.將進(jìn)制的數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)的方法是：先將進(jìn)制數(shù)寫成用各位上的數(shù)字與k的冪的乘積之和的形式，再按照十進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算出結(jié)果.
8.將十進(jìn)制數(shù)化為進(jìn)制數(shù)的方法是：除k取余法.即用k連續(xù)去除該十進(jìn)制數(shù)或所得的商，直到商為零為止，然后把每次所得的余數(shù)倒著排成一個(gè)數(shù)就是相應(yīng)的進(jìn)制數(shù).
★重難點(diǎn)突破★
1.重點(diǎn)：理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的原理,會(huì)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù);理解秦九韶算法原理，會(huì)求一元多項(xiàng)式的值;會(huì)對(duì)一組數(shù)據(jù)按照一定的規(guī)則進(jìn)行排序;理解進(jìn)位制，能進(jìn)行各種進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化.
2.難點(diǎn)：秦九韶算法求一元多項(xiàng)式的值及各種進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化.
3.重難點(diǎn)：理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)、秦九韶算法原理、排序方法、進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化方法.
【同步練習(xí)題】
1、在對(duì)16和12求最大公約數(shù)時(shí)，整個(gè)操作如下：(16，12)→(4，12)→(4，8)→(4，4)，由此可以看出12和16的最大公約數(shù)是()
A、4B、12C、16D、8
2、下列各組關(guān)于最大公約數(shù)的說法中不正確的是()
A、16和12的最大公約數(shù)是4B、78和36的最大公約數(shù)是6
C、85和357的最大公約數(shù)是34D、105和315的最大公約數(shù)是105

中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的算法案例

經(jīng)驗(yàn)告訴我們，成功是留給有準(zhǔn)備的人。準(zhǔn)備好一份優(yōu)秀的教案往往是必不可少的。教案可以讓上課時(shí)的教學(xué)氛圍非?；钴S，幫助教師提前熟悉所教學(xué)的內(nèi)容。那么如何寫好我們的教案呢？下面是小編精心為您整理的“中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的算法案例”，相信您能找到對(duì)自己有用的內(nèi)容。

中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的算法案例
教學(xué)目標(biāo)：
１．知識(shí)與技能目標(biāo)：
（１）了解中國(guó)古代數(shù)學(xué)中求兩個(gè)正整數(shù)最大公約數(shù)的算法以及割圓術(shù)的算法；
（２）通過對(duì)“更相減損之術(shù)”及“割圓術(shù)”的學(xué)習(xí)，更好的理解將要解決的問題“算法化”
的思維方法，并注意理解推導(dǎo)“割圓術(shù)”的操作步驟。
２．過程與方法目標(biāo)：
（１）改變解決問題的思路，要將抽象的數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的步驟化的思維方法，提高邏
輯思維能力；
（２）學(xué)會(huì)借助實(shí)例分析，探究數(shù)學(xué)問題。
３．情感與價(jià)值目標(biāo)：
（１）通過學(xué)生的主動(dòng)參與，師生，生生的合作交流，提高學(xué)生興趣，激發(fā)其求知欲，培養(yǎng)探索精神；
（２）體會(huì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)，增強(qiáng)愛國(guó)主義情懷。
教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：
重點(diǎn)：了解“更相減損之術(shù)”及“割圓術(shù)”的算法。
難點(diǎn)：體會(huì)算法案例中蘊(yùn)含的算法思想，利用它解決具體問題。
教學(xué)方法：
通過典型實(shí)例，使學(xué)生經(jīng)歷算法設(shè)計(jì)的全過程，在解決具體問題的過程中學(xué)習(xí)一些基本邏輯
結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)有條理地思考問題、表達(dá)算法，并能將解決問題的過程整理成程序框圖。
教學(xué)過程：
教學(xué)
環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
創(chuàng)設(shè)情境

引入新課引導(dǎo)學(xué)生回顧
人們?cè)陂L(zhǎng)期的生活，生產(chǎn)和勞動(dòng)過程中，創(chuàng)造了整數(shù)，分?jǐn)?shù)，小數(shù)，正負(fù)數(shù)及其計(jì)算，以及無限逼近任一實(shí)數(shù)的方法，在代數(shù)學(xué)，幾何學(xué)方面，我國(guó)在宋，元之前也都處于世界的前列。我們?cè)谛W(xué)，中學(xué)學(xué)到的算術(shù)，代數(shù)，從記數(shù)到多元一次聯(lián)立方程的求根方法，都是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家最先創(chuàng)造的。更為重要的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展有著自己鮮明的特色，也就是“寓理于算”，即把解決的問題“算法化”。本章的內(nèi)容是算法，特別是在中國(guó)古代也有著很多算法案例，我們來看一下并且進(jìn)一步體會(huì)“算法”的概念。
教師引導(dǎo)，學(xué)生回顧。
教師啟發(fā)學(xué)生回憶小學(xué)初中時(shí)所學(xué)算術(shù)代數(shù)知識(shí)，共同創(chuàng)設(shè)情景，引入新課。
通過對(duì)以往所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的回顧，使學(xué)生理清知識(shí)脈絡(luò)，并且向?qū)W生指明，我國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展“寓理于算”，不同于西方數(shù)學(xué)，在今天看仍然有很大的優(yōu)越性，體會(huì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)，增強(qiáng)愛國(guó)主義情懷。
閱讀
課本

探究
新知

１．求兩個(gè)正整數(shù)最大公約數(shù)的算法
學(xué)生通常會(huì)用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)：
例１：求７８和３６的最大公約數(shù)
（１）利用輾轉(zhuǎn)相除法
步驟：
計(jì)算出７８３６的余數(shù)６，再將前面的除數(shù)３６作為新的被除數(shù)，３６６＝６，余數(shù)為０，則此時(shí)的除數(shù)即為７８和３６的最大公約數(shù)。
理論依據(jù)：，得與有相同的公約數(shù)
（２）更相減損之術(shù)
指導(dǎo)閱讀課本P----P，總結(jié)步驟
步驟：
以兩數(shù)中較大的數(shù)減去較小的數(shù)，即７８－３６＝４２；以差數(shù)４２和較小的數(shù)3６構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，對(duì)這一對(duì)數(shù)再用大數(shù)減去小數(shù)，即４２－３６＝６,再以差數(shù)６和較小的數(shù)３６構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，對(duì)這一對(duì)數(shù)再用大數(shù)減去小數(shù)，即３６－６＝３０,繼續(xù)這一過程,直到產(chǎn)生一對(duì)相等的數(shù)，這個(gè)數(shù)就是最大公約數(shù)
即，
理論依據(jù)：
由，得與有相同的公約數(shù)
算法：
輸入兩個(gè)正數(shù)；
如果，則執(zhí)行，否則轉(zhuǎn)到；
將的值賦予；
若，則把賦予，把賦予，否則把賦予，重新執(zhí)行；
輸出最大公約數(shù)
程序:
a=input(“a=”)
b=input(“b=”)
whileab
ifa=b
a=a-b;
else
b=b-a
end
end
print(%io(2),a,b)
學(xué)生閱讀課本內(nèi)容，分析研究，獨(dú)立的解決問題。
教師巡視，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的個(gè)別指導(dǎo)。
由學(xué)生回答求最大公約數(shù)的兩種方法，簡(jiǎn)要說明其步驟，并能說出其理論依據(jù)。

由學(xué)生寫出更相減損法和輾轉(zhuǎn)相除法的算法，并編出簡(jiǎn)單程序。
教師將兩種算法同時(shí)顯示在屏幕上，以方便學(xué)生對(duì)比。
教師將程序顯示于屏幕上，使學(xué)生加以了解。數(shù)學(xué)教學(xué)要有學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)，用自己的思維方式把要學(xué)的知識(shí)重新創(chuàng)造出來。這種再創(chuàng)造積累和發(fā)展到一定程度，就有可能發(fā)生質(zhì)的飛躍。在教學(xué)中應(yīng)創(chuàng)造自主探索與合作交流的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生有充分的時(shí)間和空間去觀察，分析，動(dòng)手實(shí)踐，從而主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)。

求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)是本節(jié)課的一個(gè)重點(diǎn)，用學(xué)生非常熟悉的問題為載體來講解算法的有關(guān)知識(shí)，，強(qiáng)調(diào)了提供典型實(shí)例，使學(xué)生經(jīng)歷算法設(shè)計(jì)的全過程，在解決具體問題的過程中學(xué)習(xí)一些基本邏輯結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)有條理地思考問題、表達(dá)算法，并能將解決問題的過程整理成程序框圖。為了能在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，還適當(dāng)展示了將自然語言或程序框圖翻譯成計(jì)算機(jī)語
言的內(nèi)容?？偟膩碚f，不追求形式上的嚴(yán)謹(jǐn)，通過案例引導(dǎo)學(xué)生理解相應(yīng)內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法。
應(yīng)用
舉例例1：用等值算法（更相減損術(shù)）求下列兩數(shù)的最大公約數(shù)。
（1）225，135（2）98，280
例2：用輾轉(zhuǎn)相除法驗(yàn)證上例中兩數(shù)的最大公約數(shù)是否正確。學(xué)生練習(xí)，教師巡視檢查。
學(xué)生回答。鞏固所學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步加深對(duì)知識(shí)的理解，用輾轉(zhuǎn)相除法步驟較少，而更相減損術(shù)雖然有些步驟較長(zhǎng)，但運(yùn)算簡(jiǎn)單。
體會(huì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)中“寓理于算”的思想。
深化
算法
應(yīng)用
舉例2．割圓術(shù)
魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽，“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”
即從圓內(nèi)接正六邊形開始，讓邊數(shù)逐次加倍，逐個(gè)算出這些內(nèi)接正多邊形的面積，從而得到一系列逐次遞增的數(shù)值。
閱讀課本P----P，
步驟：
第一，從半徑為１的圓內(nèi)接正六邊形開始，計(jì)算它的面積；
第二，逐步加倍圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，分別計(jì)算圓內(nèi)接正十二邊形，正二十四邊形，正四十八邊形…的面積，到一定的邊數(shù)（設(shè)為２m）為止，得到一列遞增的數(shù)，
第三，在第二步中各正邊形每邊上作一高為余徑的矩形，把其面積與相應(yīng)的面積相加，得，這樣又得到一列遞增數(shù)：，，，…，。
第四，圓面積滿足不等式
估計(jì)的近似值，即圓周率的近似值。
算法：
設(shè)圓的半徑為１，弦心距為，正邊形的邊長(zhǎng)為，面積為，由勾股定理得
，
則
圖可知，正邊形的面積等于正邊形的面積加上個(gè)等腰三角形的面積和，即
（）
利用這個(gè)遞推公式，可以得到正六邊形的面積為，
由于圓的半徑為１，所以隨著的增大，的值不斷趨近于圓周率。
程序：
n=6;
x=1;
s=6*sqrt(3)/4;
forI=1:1:16
h=sqrt(1-(x/2)2);
s=s+n*x*(1-h)/2;
n=2*n;
x=sqrt((x/2)2+(1-h)2);
end
print(%io(2),n,s)學(xué)生閱讀課本，教師巡視注意個(gè)別指導(dǎo)，幫助學(xué)生識(shí)圖，分析。
教師概括割圓術(shù)的步驟，學(xué)生觀察圖形，引導(dǎo)學(xué)生提出問題并解答。
步驟較復(fù)雜，教師注意結(jié)合圖形幫助學(xué)生分析，理解。

通過教師分析的割圓術(shù)的步驟，又學(xué)生討論制定割圓術(shù)的算法，教師注意指導(dǎo)，適當(dāng)提示，引導(dǎo)學(xué)生出現(xiàn)算法中的遞推關(guān)系。

教師將算法顯現(xiàn)在屏幕上，又學(xué)生對(duì)應(yīng)寫出簡(jiǎn)單的程序。

割圓術(shù)是從圓內(nèi)接六邊形開始，讓邊數(shù)逐次加倍，逐個(gè)算出這些內(nèi)接正多邊形的面積，從而得到一系列逐次遞增的數(shù)值。在但是要付出艱辛的勞動(dòng)，現(xiàn)在有計(jì)算機(jī)，我們只需利用劉徽的思想，尋找割圓術(shù)中的算法，即運(yùn)算規(guī)律，計(jì)算機(jī)會(huì)迅速得到所求答案。

分析劉徽割圓術(shù)中的算法是難點(diǎn)所在，學(xué)生先閱讀課本，有初步印象之后教師再與學(xué)生一起總結(jié)割圓術(shù)的步驟，在此基礎(chǔ)上，又學(xué)生將所分析的步驟寫為算法，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)算法的核心是一般意義上的解決問題策略的具體化。面臨一個(gè)問題時(shí)，在分析、思考后獲得了解決它的基本思路（解題策略），將這種思路具體化、條理化，用適當(dāng)?shù)姆绞奖磉_(dá)出來（畫出程序框圖，轉(zhuǎn)化為程序語句），這個(gè)過程就是算法設(shè)計(jì)過程，這是一個(gè)思維的條理化、邏輯化的過程。

歸納小結(jié)1．求最大公約數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損法；
2．割圓術(shù)的算法學(xué)生小結(jié)并相互補(bǔ)充，師生共同整理完善。學(xué)生學(xué)后反思總結(jié)，可以提高學(xué)生自己獲得知識(shí)的能力以及歸納概括能力。
課后作業(yè)習(xí)題1—31，2
選作習(xí)題1—3
鞏固所學(xué)知識(shí)，是學(xué)有余力的同學(xué)的創(chuàng)造性得到進(jìn)一步的發(fā)揮。