小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)教案
發(fā)表時(shí)間：2020-10-31高二數(shù)學(xué)上冊(cè)《算法案例》教學(xué)設(shè)計(jì)。
高二數(shù)學(xué)上冊(cè)《算法案例》教學(xué)設(shè)計(jì)
一、教學(xué)目標(biāo)：
1、知識(shí)與技能
⑴理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理，并能根據(jù)這些原理進(jìn)行算法分析；
⑵基本能根據(jù)算法語(yǔ)句與程序框圖的知識(shí)設(shè)計(jì)完整的程序框圖并寫出算法程序.
2、過程與方法
在輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的學(xué)習(xí)過程中對(duì)比我們常見的約分求公因式的方法，比較它們?cè)谒惴ㄉ系膮^(qū)別，并從程序的學(xué)習(xí)中體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)算法與計(jì)算機(jī)處理的結(jié)合方式，初步掌握把數(shù)學(xué)算法轉(zhuǎn)化成計(jì)算機(jī)語(yǔ)言的一般步驟.
3、情感與價(jià)值觀
⑴通過閱讀中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的算法案例，體會(huì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn).
⑵在學(xué)習(xí)古代數(shù)學(xué)家解決數(shù)學(xué)問題的方法的過程中培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，在利用算法解決數(shù)學(xué)問題的過程中培養(yǎng)理性的精神和動(dòng)手實(shí)踐的能力.
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：
重點(diǎn)：理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的方法.
難點(diǎn)：把輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的方法轉(zhuǎn)換成程序框圖與程序語(yǔ)言.
三、教學(xué)過程：
（一）創(chuàng)設(shè)情景、導(dǎo)入課題
1.研究一個(gè)實(shí)際問題的算法，主要從哪幾方面展開？
算法步驟、程序框圖和編寫程序三方面展開.
2.在程序框圖中算法的基本邏輯結(jié)構(gòu)有哪幾種？
順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)
3.在程序設(shè)計(jì)中基本的算法語(yǔ)句有哪幾種？
輸入語(yǔ)句、輸出語(yǔ)句、賦值語(yǔ)句、條件語(yǔ)句、循環(huán)語(yǔ)句
4.思考1:18與30的最大公約數(shù)是多少？你是怎樣得到的？
5.思考2:對(duì)于8251與6105這兩個(gè)數(shù)，它們的最大公約數(shù)是多少？你是怎樣得到的？
由于它們公有的質(zhì)因數(shù)較大，利用上述方法求最大公約數(shù)就比較困難.有沒有其它的方法可以較簡(jiǎn)單的找出它們的最大公約數(shù)呢？
（板書課題）
（二）師生互動(dòng)、探究新知
1.輾轉(zhuǎn)相除法
思考3：注意到8251=6105×1+2146，那么8251與6105這兩個(gè)數(shù)的公約數(shù)和6105與2146的公約數(shù)有什么關(guān)系？
我們發(fā)現(xiàn)6105=2146×2+1813，同理，6105與2146的公約數(shù)和2146與1813的公約數(shù)相等.
思考4：重復(fù)上述操作，你能得到8251與6105這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)嗎？
6105＝2146×2＋1813
2146＝1813×1＋333
1813＝333×5＋148
333＝148×2＋37
148＝37×4＋0
以上我們求最大公約數(shù)的方法就是輾轉(zhuǎn)相除法，也叫歐幾里德算法，它是由歐幾里德在公元前300年左右首先提出的.
利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：
第一步：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù)；
第二步：若＝0，則n為m，n的最大公約數(shù)；若≠0，則用除數(shù)n除以余數(shù)得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù)；
第三步：若＝0，則為m，n的最大公約數(shù)；若≠0，則用除數(shù)除以余數(shù)得到一個(gè)商和一個(gè)余數(shù)；
……
依次計(jì)算直至＝0，此時(shí)所得到的即為所求的最大公約數(shù).
思考5:你能把輾轉(zhuǎn)相除法編成一個(gè)計(jì)算機(jī)程序嗎？
第一步，給定兩個(gè)正整數(shù)m，n(mn).
第二步，計(jì)算m除以n所得的余數(shù)r.
第三步，m=n，n=r.
第四步，若r=0，則m，n的最大公約數(shù)等于m；否則，返回第二步.
INPUTm，n
DO
r=mMODn
m=n
n=r
LOOPUNTILr=0
PRINTm
END
思考6:如果用當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)構(gòu)造算法，則用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)正整數(shù)m，n的最大公約數(shù)的程序框圖和程序分別如何表示？
INPUTm，n
WHILEn0
r=mMODn
m=n
n=r
WEND
PRINTm
END
2.更相減損術(shù)
《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著，其中的“更相減損術(shù)”也可以用來(lái)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)
更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之.”
翻譯出來(lái)為：
第一步：任意給出兩個(gè)正整數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù).若是，用2約簡(jiǎn)；若不是，執(zhí)行第二步.
第二步：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)（等數(shù)）或這個(gè)數(shù)與約簡(jiǎn)的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù).
例1（課本P36例1）用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).
解：由于63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減，即：98－63＝35
63－35＝28
35－28＝7
28－7＝21
21－7＝14
14－7＝7
所以，98與63的最大公約數(shù)是7。
練習(xí)：用更相減損術(shù)求兩個(gè)正數(shù)84與72的最大公約數(shù)。（答案：12）
（三）講練結(jié)合，鞏固提高
例2：分別用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)求168與93的最大公約數(shù).
輾轉(zhuǎn)相除法：
168=93×1+75，
93=75×1+18，
75=18×4+3，
18=3×6.
更相減損術(shù):
168-93=75，
93-75=18，
75-18=57，
57-18=39，
39-18=21，
21-18=3，
18-3=15，
15-3=12，
12-3=9，
9-3=6，
6-3=3.
例3：求325，130，270三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).
因?yàn)?25=130×2+65，130=65×2，所以325與130的最大公約數(shù)是65.
因?yàn)?70=65×4+10，65=10×6+5，10=5×2，所以65與270最大公約數(shù)是5.
故325，130，270三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是5.
練習(xí):用更相減損術(shù)求兩個(gè)正整數(shù)m，n的最大公約數(shù)，可以用什么邏輯結(jié)構(gòu)來(lái)構(gòu)造算法？其算法步驟如何設(shè)計(jì)？
第一步，給定兩個(gè)正整數(shù)m，n(mn).
第二步，計(jì)算m-n所得的差k.
第三步，比較n與k的大小，其中大者用m表示，小者用n表示.
第四步，若m=n，則m，n的最大公約數(shù)等于m；否則，返回第二步.
討論:該算法的程序框圖如何表示？
討論:該程序框圖對(duì)應(yīng)的程序如何表述？
（四）小結(jié)
1、輾轉(zhuǎn)相除法，就是對(duì)于給定的兩個(gè)正整數(shù)，用較大的數(shù)除以較小的數(shù)，若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，繼續(xù)上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡為止，這時(shí)的較小的數(shù)即為原來(lái)兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).
2、更相減損術(shù)，就是對(duì)于給定的兩個(gè)正整數(shù)，用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，然后將差和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，繼續(xù)上面的減法，直到差和較小的數(shù)相等，此時(shí)相等的兩數(shù)即為原來(lái)兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).
（五）布置作業(yè)
P45練習(xí)：1題.
P48習(xí)題1.3A組：1題
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一名優(yōu)秀負(fù)責(zé)的教師就要對(duì)每一位學(xué)生盡職盡責(zé)，作為教師就要早早地準(zhǔn)備好適合的教案課件。教案可以讓學(xué)生更容易聽懂所講的內(nèi)容，使教師有一個(gè)簡(jiǎn)單易懂的教學(xué)思路。你知道如何去寫好一份優(yōu)秀的教案呢？下面的內(nèi)容是小編為大家整理的高二數(shù)學(xué)必修三考點(diǎn)解析：算法案例，但愿對(duì)您的學(xué)習(xí)工作帶來(lái)幫助。
高二數(shù)學(xué)必修三考點(diǎn)解析：算法案例
1.輾轉(zhuǎn)相除法是用于求最大公約數(shù)的一種方法，這種算法由歐幾里得在公元前年左右首先提出，因而又叫歐幾里得算法.
2.所謂輾轉(zhuǎn)相法，就是對(duì)于給定的兩個(gè)數(shù)，用較大的數(shù)除以較小的數(shù).若余數(shù)不為零，則將較小的數(shù)和余數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，繼續(xù)上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，則這時(shí)的除數(shù)就是原來(lái)兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).
3.更相減損術(shù)是一種求兩數(shù)最大公約數(shù)的方法.其基本過程是：對(duì)于給定的兩數(shù)，用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)，繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)就是所求的最大公約數(shù).
4.秦九韶算法是一種用于計(jì)算一元二次多項(xiàng)式的值的方法.
5.常用的排序方法是直接插入排序和冒泡排序.
6.進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng).“滿進(jìn)一”，就是k進(jìn)制，進(jìn)制的基數(shù)是k.
7.將進(jìn)制的數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)的方法是：先將進(jìn)制數(shù)寫成用各位上的數(shù)字與k的冪的乘積之和的形式，再按照十進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算出結(jié)果.
8.將十進(jìn)制數(shù)化為進(jìn)制數(shù)的方法是：除k取余法.即用k連續(xù)去除該十進(jìn)制數(shù)或所得的商，直到商為零為止，然后把每次所得的余數(shù)倒著排成一個(gè)數(shù)就是相應(yīng)的進(jìn)制數(shù).
★重難點(diǎn)突破★
1.重點(diǎn)：理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的原理,會(huì)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù);理解秦九韶算法原理，會(huì)求一元多項(xiàng)式的值;會(huì)對(duì)一組數(shù)據(jù)按照一定的規(guī)則進(jìn)行排序;理解進(jìn)位制，能進(jìn)行各種進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化.
2.難點(diǎn)：秦九韶算法求一元多項(xiàng)式的值及各種進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化.
3.重難點(diǎn)：理解輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)、秦九韶算法原理、排序方法、進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化方法.
【同步練習(xí)題】
1、在對(duì)16和12求最大公約數(shù)時(shí)，整個(gè)操作如下：(16，12)→(4，12)→(4，8)→(4，4)，由此可以看出12和16的最大公約數(shù)是()
A、4B、12C、16D、8
2、下列各組關(guān)于最大公約數(shù)的說(shuō)法中不正確的是()
A、16和12的最大公約數(shù)是4B、78和36的最大公約數(shù)是6
C、85和357的最大公約數(shù)是34D、105和315的最大公約數(shù)是105
高二上學(xué)期數(shù)學(xué)算法案例知識(shí)點(diǎn)（蘇教版）
高二上學(xué)期數(shù)學(xué)算法案例知識(shí)點(diǎn)（蘇教版）
知識(shí)點(diǎn)一：解析算法
用解析的方法找出表示問題的前提條件與結(jié)果之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并通過表達(dá)式的計(jì)算來(lái)實(shí)現(xiàn)問題求解。
解析算法的結(jié)構(gòu)可能是順序結(jié)構(gòu)，可能是分支或循環(huán)結(jié)構(gòu)，也可能是幾種結(jié)構(gòu)的組合。解析法的關(guān)鍵是分析題目中各已知條件與問題之間的關(guān)系，運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科知識(shí)，找到最終解決問題所需要的表達(dá)式。
知識(shí)點(diǎn)二：枚舉算法（窮舉法）
指一一列舉各個(gè)可能的解，用題目給定的約束條件檢驗(yàn)每個(gè)可能解是否是問題的真正解，根據(jù)檢驗(yàn)的結(jié)果執(zhí)行相應(yīng)的操作。
枚舉算法適用于解決變量確定的連續(xù)值域的問題，對(duì)于可確定取值范圍但又找不到其他更好的算法時(shí)，可以使用枚舉法。通常用來(lái)解決“有幾種組合”、“找出所有符合條件的情況”、解不定方程等類型的問題。
(1)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：循環(huán)結(jié)構(gòu)中嵌套分支結(jié)構(gòu)
列舉——由循環(huán)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)
檢驗(yàn)——由分支結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)
(2)設(shè)計(jì)步驟
1)確定列舉的范圍：不能隨意擴(kuò)大和縮小范圍，否則會(huì)造成多解或漏解
2)明確檢驗(yàn)的條件：根據(jù)檢驗(yàn)的對(duì)象來(lái)設(shè)定條件，以及檢驗(yàn)后所執(zhí)行的相關(guān)操作。
3)確定循環(huán)控制的方式和列舉的方式：借助循環(huán)變量的變化來(lái)列舉。
第3節(jié)算法案例教學(xué)案
[核心必知]
1．預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入
根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P34～P45，回答下列問題．
(1)小學(xué)學(xué)過的求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法是什么？
提示：先用兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來(lái)．
(2)輾轉(zhuǎn)相除法的操作步驟是什么？
提示：兩個(gè)數(shù)中用較大的數(shù)除以較小的數(shù)，求得商和余數(shù)，再用除數(shù)除以余數(shù)，如此重復(fù)，直到所得余數(shù)為0，即可求得兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)．
(3)更相減損術(shù)的操作步驟什么？
提示：第一步，任意給定兩個(gè)正整數(shù)，判定它們是否都是偶數(shù)．若是，用2約簡(jiǎn)；若不是，執(zhí)行第二步．
第二步，以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)．繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)(等數(shù))或這個(gè)數(shù)與約簡(jiǎn)的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù)．
(4)應(yīng)用秦九韶算法求多項(xiàng)式的值時(shí)應(yīng)怎樣操作？
提示：求多項(xiàng)式的值時(shí)，先計(jì)算最內(nèi)層括號(hào)內(nèi)一次多項(xiàng)式的值，即v1＝anx＋an－1，再由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式vk(k＝2,3,4，…，n)的值．
(5)將k進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制的方法是什么？
提示：“除k取余法”．
2．歸納總結(jié)，核心必記
(1)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)
①輾轉(zhuǎn)相除法：又叫歐幾里得算法，是一種求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的古老而有效的算法．
②更相減損術(shù)：我國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中介紹的一種求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的算法．
(2)秦九韶算法
求多項(xiàng)式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的值時(shí)，常用秦九韶算法，這種算法的運(yùn)算次數(shù)較少，是多項(xiàng)式求值比較先進(jìn)的算法，其實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值，共進(jìn)行n次乘法運(yùn)算和n次加法運(yùn)算．其過程是：
改寫多項(xiàng)式為：
f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0
＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0
＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝…
＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.
設(shè)v1＝anx＋an－1，
v2＝v1x＋an－2，
v3＝v2x＋an－3，
……
vn＝vn－1x＋a0.
(3)進(jìn)位制
①進(jìn)位制
進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)，“滿幾進(jìn)一”就是幾進(jìn)制，幾進(jìn)制的基數(shù)就是幾．
②其他進(jìn)位制與十進(jìn)制間的轉(zhuǎn)化
(ⅰ)其他進(jìn)位制化成十進(jìn)制
其他進(jìn)位制的數(shù)化成十進(jìn)制時(shí)，表示成不同位上數(shù)字與基數(shù)的冪的乘積之和的形式．
(ⅱ)十進(jìn)制化成k進(jìn)制的方法——“除k取余法”．
[問題思考]
(1)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)有什么聯(lián)系？
提示：①都是求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法．
②二者的實(shí)質(zhì)都是遞推的過程．
③二者都是用循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)．
(2)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)有什么區(qū)別？
提示：
輾轉(zhuǎn)相除法更相減損術(shù)
區(qū)別①以除法為主．
②兩個(gè)整數(shù)差值較大時(shí)運(yùn)算次數(shù)較少．
③相除余數(shù)為零時(shí)得結(jié)果①以減法為主．
②兩個(gè)整數(shù)的差值較大時(shí)，運(yùn)算次數(shù)較多．
③相減，差與減數(shù)相等得結(jié)果．
④相減前要做是否都是偶數(shù)的判斷
(3)當(dāng)所給的多項(xiàng)式按x的降冪排列“缺項(xiàng)”時(shí)，用秦九韶算法改寫多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)注意什么？
提示：所缺的項(xiàng)寫成系數(shù)為零的形式，即寫成0xn的形式．
[課前反思]
通過以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)：
(1)輾轉(zhuǎn)相除法是什么？
；
(2)更相減損術(shù)是什么？
；
(3)秦九韶算法是什么？
；
(4)進(jìn)位制及進(jìn)位制間的互化：.
觀察如圖所示的內(nèi)容：
[思考1]輾轉(zhuǎn)相除法的算理是什么？
名師指津：所謂輾轉(zhuǎn)相除法，就是對(duì)于給定的兩個(gè)數(shù)，用較大的數(shù)除以較小的數(shù)．若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，繼續(xù)上面的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，則這時(shí)較小的數(shù)就是原來(lái)兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)．
[思考2]更相減損術(shù)的算理是什么？
名師指津：所謂更相減損術(shù)，就是對(duì)于給定的兩個(gè)數(shù)，用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，然后將差和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，再用較大的數(shù)減去較小的數(shù)，反復(fù)執(zhí)行此步驟，直到差數(shù)和較小的數(shù)相等，此時(shí)相等的兩數(shù)便為原來(lái)兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)．
?講一講
1．用輾轉(zhuǎn)相除法求612與468的最大公約數(shù)，并用更相減損術(shù)檢驗(yàn)所得結(jié)果．
[嘗試解答]用輾轉(zhuǎn)相除法：
612＝468×1＋144,468＝144×3＋36,144＝36×4，
即612和468的最大公約數(shù)是36.
用更相減損術(shù)檢驗(yàn)：
612和468為偶數(shù)，兩次用2約簡(jiǎn)得153和117,153－117＝36,117－36＝81,81－36＝45,45－36＝9,36－9＝27,27－9＝18,18－9＝9，
所以612和468的最大公約數(shù)為9×2×2＝36.
求最大公約數(shù)的兩種方法步驟
(1)利用輾轉(zhuǎn)相除法求給定的兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，即利用帶余除法，用數(shù)對(duì)中較大的數(shù)除以較小的數(shù)，若余數(shù)不為零，則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的數(shù)對(duì)，再利用帶余除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，則這時(shí)的較小數(shù)就是原來(lái)兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)．
(2)利用更相減損術(shù)求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的一般步驟是：首先判斷兩個(gè)正整數(shù)是否都是偶數(shù)．若是，用2約簡(jiǎn)，也可以不除以2，直接求最大公約數(shù)，這樣不影響最后結(jié)果．
?練一練
1．用輾轉(zhuǎn)相除法求840與1785的最大公約數(shù)；
解：因?yàn)?785＝840×2＋105，
840＝105×8.
所以840和1785的最大公約數(shù)是105.
觀察如圖所示的內(nèi)容：
[思考]秦九韶算法的原理是什么？
名師指津：秦九韶算法是按從內(nèi)到外的順序依次計(jì)算求值的．
設(shè)f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，將其改寫為
f(x)＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0
＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0
＝…
＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0
令v0＝an，則有公式v0＝an，vk＝vk－1x＋an－k，其中k＝1,2，…，n.
這樣我們便可由v0依次求出v1，v2，…，vn：
v1＝v0x＋an－1，v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…，
vn＝vn－1x＋a0.
?講一講
2．利用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋3x＋2當(dāng)x＝－2時(shí)的值為()
A．320B．－160C．－320D．300
[嘗試解答]將多項(xiàng)式變式為f(x)＝(((((x－5)x＋6)x＋0)x＋1)x＋3)x＋2，v0＝1，v1＝－2＋(－5)＝－7，v2＝－7×(－2)＋6＝20，v3＝20×(－2)＋0＝－40，v4＝－40×(－2)＋1＝81，v5＝81×(－2)＋3＝－159，v6＝－159×(－2)＋2＝320，即x＝－2時(shí)，多項(xiàng)式的值為320.
答案：A
利用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式的值的關(guān)鍵是能正確地將所給多項(xiàng)式改寫，然后由內(nèi)向外逐次計(jì)算，由于后項(xiàng)計(jì)算需用到前項(xiàng)的結(jié)果，故應(yīng)認(rèn)真、細(xì)心，確保中間結(jié)果的準(zhǔn)確性．
?練一練
2．用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式f(x)＝12＋35x－8x2＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4時(shí)的值時(shí)，v3的值為()
A．－144B．－136
C．－57D．34
解析：選B根據(jù)秦九韶算法多項(xiàng)式可化為f(x)＝(((((3x＋5)x＋6)x＋0)x－8)x＋35)x＋12.
由內(nèi)向外計(jì)算v0＝3；
v1＝3×(－4)＋5＝－7；
v2＝－7×(－4)＋6＝34；
v3＝34×(－4)＋0＝－136.
觀察如圖所示的內(nèi)容：
[思考1]進(jìn)位制應(yīng)如何表示？
名師指津：若一個(gè)數(shù)為十進(jìn)制數(shù)，其基數(shù)可以省略不寫，若是其他進(jìn)位制，在沒有特別說(shuō)明的前提下，其基數(shù)必須寫出，常在數(shù)的右下角標(biāo)明基數(shù)．
[思考2]常見的進(jìn)位制有哪些？
名師指津：(1)二進(jìn)制：
①只使用0和1兩個(gè)數(shù)字；②滿二進(jìn)一，如1＋1＝10(2)．
(2)八進(jìn)制：
①使用0,1,2,3,4,5,6,7八個(gè)不同數(shù)字；
②滿八進(jìn)一，如7＋1＝10(8)；
(3)十六進(jìn)制：
①使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，A，B，C，D，E，F(xiàn)這十六個(gè)不同的數(shù)碼，其中A，B，C，D，E，F(xiàn)分別代表十進(jìn)制中的10,11,12,13,14,15；
②滿十六進(jìn)一，如F＋1＝2＋E＝10(16)．
?講一講
3．(1)把二進(jìn)制數(shù)101101(2)化為十進(jìn)制數(shù)；
(2)把十進(jìn)制數(shù)458轉(zhuǎn)化為四進(jìn)制數(shù)．
[嘗試解答](1)101101(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝32＋8＋4＋1＝45，
所以二進(jìn)制數(shù)101101(2)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)為45.
(2)
458＝13022(4)．
進(jìn)位制的轉(zhuǎn)換方法
(1)將k進(jìn)制轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制的方法是：先將這個(gè)k進(jìn)制數(shù)寫成各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字與k的冪的乘積之和的形式，再按照十進(jìn)制的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算出結(jié)果．
(2)十進(jìn)制轉(zhuǎn)化為k進(jìn)制，采用除k取余法，也就是除基數(shù)，倒取余．
?練一練
3．(1)二進(jìn)制數(shù)算式1010(2)＋10(2)的值是()
A．1011(2)B．1100(2)
C．1101(2)D．1000(2)
(2)下列各組數(shù)中最小的數(shù)是()
A．1111(2)B．210(6)
C．1000(4)D．101(8)
解析：(1)選B二進(jìn)制數(shù)的加法是逢二進(jìn)一，所以選B.
(2)選A統(tǒng)一化為十進(jìn)制數(shù)為1111(2)＝15；210(6)＝78；1000(4)＝64；101(8)＝65.
——————————————[課堂歸納感悟提升]——————————————
1．本節(jié)課的重點(diǎn)是會(huì)用輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，會(huì)用秦九韶算法求多項(xiàng)式的值，會(huì)在不同進(jìn)位制間進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化．難點(diǎn)是會(huì)用秦九韶算法求多項(xiàng)式的值．
2．本節(jié)課要掌握以下幾類問題：
(1)掌握求最大公約數(shù)的兩種方法步驟，見講1.
(2)掌握秦九韶算法步驟，見講2.
(3)進(jìn)位制的轉(zhuǎn)換方法，見講3.
3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè)：
(1)弄不清秦九韶算法的原理而致錯(cuò)，如講2；
(2)進(jìn)位制之間轉(zhuǎn)換的方法混淆而致錯(cuò)，如講3.
課下能力提升(八)
[學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練]
題組1輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)
1．下列關(guān)于利用更相減損術(shù)求156和72的最大公約數(shù)的說(shuō)法中正確的是()
A．都是偶數(shù)必須約簡(jiǎn)
B．可以約簡(jiǎn)，也可以不約簡(jiǎn)
C．第一步作差為156－72＝84；第二步作差為72－84＝－12
D．以上都不對(duì)
解析：選B約簡(jiǎn)是為了使運(yùn)算更加簡(jiǎn)捷，故不一定要約簡(jiǎn)，A錯(cuò)．C中第二步應(yīng)為84－72＝12，故選B.
2．用更相減損術(shù)求294和84的最大公約數(shù)時(shí)，需做減法運(yùn)算的次數(shù)是()
A．2B．3C．4D．5
解析：選C294－84＝210,210－84＝126,126－84＝42,84－42＝42，共做4次減法運(yùn)算．
3．1624與899的最大公約數(shù)是________．
解析：1624＝899×1＋725，
899＝725×1＋174，
725＝174×4＋29，
174＝29×6，
故1624與899的最大公約數(shù)是29.
答案：29
4．用兩種方法求210與98的最大公約數(shù)．
解：用輾轉(zhuǎn)相除法：
210＝98×2＋14，
98＝14×7.
∴210與98的最大公約數(shù)為14.
用更相減損術(shù)：
∵210與98都是偶數(shù)，用2約簡(jiǎn)得
105和49，
105－49＝56,56－49＝7，
49－7＝42,42－7＝35，
35－7＝28,28－7＝21，
21－7＝14,14－7＝7.
∴210與98的最大公約數(shù)為2×7＝14.
題組2秦九韶算法
5．用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2當(dāng)x＝4時(shí)的值時(shí)，先算的是()
A．4×4＝16B．7×4＝28
C．4×4×4＝64D．7×4＋6＝34
解析：選D因?yàn)閒(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，所以用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2當(dāng)x＝4的值時(shí)，先算的是7×4＋6＝34.
6．用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1當(dāng)x＝0.4時(shí)的值時(shí)，需要做乘法和加法的次數(shù)分別是()
A．6,6B．5,6
C．5,5D．6,5
答案：A
7．利用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)＝3x6＋12x5＋8x4－3.5x3＋7.2x2＋5x－13當(dāng)x＝6時(shí)的值，寫出詳細(xì)步驟．
解：f(x)＝(((((3x＋12)x＋8)x－3.5)x＋7.2)x＋5)x－13.
v0＝3，
v1＝v0×6＋12＝30，
v2＝v1×6＋8＝188，
v3＝v2×6－3.5＝1124.5，
v4＝v3×6＋7.2＝6754.2，
v5＝v4×6＋5＝40530.2，
v6＝v5×6－13＝243168.2.
所以f(6)＝243168.2.
題組3進(jìn)位制及其轉(zhuǎn)化
8．以下各數(shù)有可能是五進(jìn)制數(shù)的是()
A．15B．106
C．731D．21340
解析：選D五進(jìn)制數(shù)中各個(gè)數(shù)字均是小于5的自然數(shù)，故選D.
9．完成下列進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化．
(1)1034(7)＝________(10)；
(2)119(10)＝________(6)．
解析：(1)1034(7)＝1×73＋0×72＋3×7＋4×70＝368.
(2)
∴119(10)＝315(6)．
答案：(1)368(2)315
10．若k進(jìn)制數(shù)123(k)與十進(jìn)制數(shù)38相等，則k＝________.
解析：由k進(jìn)制數(shù)123可知k≥4.
下面可用驗(yàn)證法：
若k＝4，則38(10)＝212(4)，不合題意；
若k＝5，則38(10)＝123(5)成立，所以k＝5.
答案：5
11．若10b1(2)＝a02(3)，求數(shù)字a，b的值及與此相等的十進(jìn)制數(shù)．
解：∵10b1(2)＝a02(3)，
∴1×23＋b×2＋1＝a×32＋2，
且a只能取1,2，b只能取0,1.
整理得9a－2b＝7.
當(dāng)b＝0時(shí)，a＝79(不合要求，舍去)；
當(dāng)b＝1時(shí)，a＝1.
∴a＝b＝1.
∴102(3)＝1011(2)，
轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)為1×32＋2＝11.
[能力提升綜合練]
1．用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)＝x3－3x2＋2x－11當(dāng)x＝x0時(shí)的值時(shí)，應(yīng)把f(x)變形為()
A．x3－(3x－2)x－11
B．(x－3)x2＋(2x－11)
C．(x－1)(x－2)x－11
D．((x－3)x＋2)x－11
解析：選Df(x)＝x3－3x2＋2x－11＝(x2－3x＋2)x－11＝((x－3)x＋2)x－11，故選D.
2．45和150的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)分別是()
A．5,150B．15,450
C．450,15D．15,150
解析：選B利用輾轉(zhuǎn)相除法求45和150的最大公約數(shù)：150＝45×3＋15,45＝15×3,45和150的最大公約數(shù)為15.45和150的最小公倍數(shù)為15×(45÷15)×(150÷15)＝450，故選B.
3．下列各數(shù)中，最小的是()
A．101010(2)B．111(5)
C．32(8)D．54(6)
解析：選C101010(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋0×20＝42,111(5)＝1×52＋1×51＋1×50＝31,32(8)＝3×81＋2×80＝26,54(6)＝5×61＋4×60＝34.
又42343126，故最小的是32(8)．
4．(2016福州高一檢測(cè))三進(jìn)制數(shù)2022(3)化為六進(jìn)制數(shù)為abc(6)，則a＋b＋c＝________.
解析：2022(3)＝2×33＋0×32＋2×31＋2×30＝62.
三進(jìn)制數(shù)2022(3)化為六進(jìn)制數(shù)為142(6)，
∴a＋b＋c＝7.
答案：7
5．用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)＝1－5x－8x2＋10x3＋6x4＋12x5＋3x6當(dāng)x＝－4時(shí)的值時(shí)，v0，v1，v2，v3，v4中最大值與最小值的差是________．
解析：多項(xiàng)式變形為
f(x)＝3x6＋12x5＋6x4＋10x3－8x2－5x＋1
＝(((((3x＋12)x＋6)x＋10)x－8)x－5)x＋1，
v0＝3，
v1＝3×(－4)＋12＝0，
v2＝0×(－4)＋6＝6，
v3＝6×(－4)＋10＝－14，
v4＝－14×(－4)－8＝48，
所以v4最大，v3最小，所以v4－v3＝48＋14＝62.
答案：62
6．有甲、乙、丙三種溶液分別重147g、343g、133g，現(xiàn)要將它們分別全部裝入小瓶中，每個(gè)小瓶裝入液體的質(zhì)量相同，問每瓶最多裝多少？
解：先求147與343的最大公約數(shù)．
343－147＝196，
196－147＝49，
147－49＝98，
98－49＝49.
所以147與343的最大公約數(shù)是49.
再求49與133的最大公約數(shù)．
133－49＝84，
84－49＝35，
49－35＝14，
35－14＝21，
21－14＝7，
14－7＝7.
所以147,343,133的最大公約數(shù)為7.
所以每瓶最多裝7g.
7．古時(shí)候，當(dāng)邊境有敵人來(lái)犯時(shí)，守邊的官兵通過在烽火臺(tái)上舉火向國(guó)內(nèi)報(bào)告，如圖，烽火臺(tái)上點(diǎn)火，表示數(shù)字1，不點(diǎn)火表示數(shù)字0，約定二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制的單位是1000，請(qǐng)你計(jì)算一下，這組烽火臺(tái)表示約有多少敵人入侵？
解：由圖可知從左到右的五個(gè)烽火臺(tái)，表示二進(jìn)制數(shù)的自左到右五個(gè)數(shù)位，依題意知這組烽火臺(tái)表示的二進(jìn)制數(shù)是11011，改寫為十進(jìn)制為：
11011(2)＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20
＝16＋8＋2＋1＝27(10)．
又27×1000＝27000，
所以這組烽火臺(tái)表示邊境約有27000個(gè)敵人來(lái)犯.
古代數(shù)學(xué)中的算法案例
中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的算法案例
教學(xué)目標(biāo)：
１．知識(shí)與技能目標(biāo)：
（１）了解中國(guó)古代數(shù)學(xué)中求兩個(gè)正整數(shù)最大公約數(shù)的算法以及割圓術(shù)的算法；
（２）通過對(duì)“更相減損之術(shù)”及“割圓術(shù)”的學(xué)習(xí)，更好的理解將要解決的問題“算法化”
的思維方法，并注意理解推導(dǎo)“割圓術(shù)”的操作步驟。
２．過程與方法目標(biāo)：
（１）改變解決問題的思路，要將抽象的數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的步驟化的思維方法，提高邏
輯思維能力；
（２）學(xué)會(huì)借助實(shí)例分析，探究數(shù)學(xué)問題。
３．情感與價(jià)值目標(biāo)：
（１）通過學(xué)生的主動(dòng)參與，師生，生生的合作交流，提高學(xué)生興趣，激發(fā)其求知欲，培養(yǎng)探索精神；
（２）體會(huì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)，增強(qiáng)愛國(guó)主義情懷。
教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：
重點(diǎn)：了解“更相減損之術(shù)”及“割圓術(shù)”的算法。
難點(diǎn)：體會(huì)算法案例中蘊(yùn)含的算法思想，利用它解決具體問題。
教學(xué)方法：
通過典型實(shí)例，使學(xué)生經(jīng)歷算法設(shè)計(jì)的全過程，在解決具體問題的過程中學(xué)習(xí)一些基本邏輯
結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)有條理地思考問題、表達(dá)算法，并能將解決問題的過程整理成程序框圖。
教學(xué)過程：
教學(xué)
環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
創(chuàng)設(shè)情境
引入新課引導(dǎo)學(xué)生回顧
人們?cè)陂L(zhǎng)期的生活，生產(chǎn)和勞動(dòng)過程中，創(chuàng)造了整數(shù)，分?jǐn)?shù)，小數(shù)，正負(fù)數(shù)及其計(jì)算，以及無(wú)限逼近任一實(shí)數(shù)的方法，在代數(shù)學(xué)，幾何學(xué)方面，我國(guó)在宋，元之前也都處于世界的前列。我們?cè)谛W(xué)，中學(xué)學(xué)到的算術(shù)，代數(shù)，從記數(shù)到多元一次聯(lián)立方程的求根方法，都是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家最先創(chuàng)造的。更為重要的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展有著自己鮮明的特色，也就是“寓理于算”，即把解決的問題“算法化”。本章的內(nèi)容是算法，特別是在中國(guó)古代也有著很多算法案例，我們來(lái)看一下并且進(jìn)一步體會(huì)“算法”的概念。
教師引導(dǎo)，學(xué)生回顧。
教師啟發(fā)學(xué)生回憶小學(xué)初中時(shí)所學(xué)算術(shù)代數(shù)知識(shí)，共同創(chuàng)設(shè)情景，引入新課。
通過對(duì)以往所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的回顧，使學(xué)生理清知識(shí)脈絡(luò)，并且向?qū)W生指明，我國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展“寓理于算”，不同于西方數(shù)學(xué)，在今天看仍然有很大的優(yōu)越性，體會(huì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)，增強(qiáng)愛國(guó)主義情懷。
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１．求兩個(gè)正整數(shù)最大公約數(shù)的算法
學(xué)生通常會(huì)用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)：
例１：求７８和３６的最大公約數(shù)
（１）利用輾轉(zhuǎn)相除法
步驟：
計(jì)算出７８３６的余數(shù)６，再將前面的除數(shù)３６作為新的被除數(shù)，３６６＝６，余數(shù)為０，則此時(shí)的除數(shù)即為７８和３６的最大公約數(shù)。
理論依據(jù)：，得與有相同的公約數(shù)
（２）更相減損之術(shù)
指導(dǎo)閱讀課本P----P，總結(jié)步驟
步驟：
以兩數(shù)中較大的數(shù)減去較小的數(shù)，即７８－３６＝４２；以差數(shù)４２和較小的數(shù)3６構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，對(duì)這一對(duì)數(shù)再用大數(shù)減去小數(shù)，即４２－３６＝６,再以差數(shù)６和較小的數(shù)３６構(gòu)成新的一對(duì)數(shù)，對(duì)這一對(duì)數(shù)再用大數(shù)減去小數(shù)，即３６－６＝３０,繼續(xù)這一過程,直到產(chǎn)生一對(duì)相等的數(shù)，這個(gè)數(shù)就是最大公約數(shù)
即，
理論依據(jù)：
由，得與有相同的公約數(shù)
算法：
輸入兩個(gè)正數(shù)；
如果，則執(zhí)行，否則轉(zhuǎn)到；
將的值賦予；
若，則把賦予，把賦予，否則把賦予，重新執(zhí)行；
輸出最大公約數(shù)
程序:
a=input(“a=”)
b=input(“b=”)
whileab
ifa=b
a=a-b;
else
b=b-a
end
end
print(%io(2),a,b)
學(xué)生閱讀課本內(nèi)容，分析研究，獨(dú)立的解決問題。
教師巡視，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的個(gè)別指導(dǎo)。
由學(xué)生回答求最大公約數(shù)的兩種方法，簡(jiǎn)要說(shuō)明其步驟，并能說(shuō)出其理論依據(jù)。
由學(xué)生寫出更相減損法和輾轉(zhuǎn)相除法的算法，并編出簡(jiǎn)單程序。
教師將兩種算法同時(shí)顯示在屏幕上，以方便學(xué)生對(duì)比。
教師將程序顯示于屏幕上，使學(xué)生加以了解。數(shù)學(xué)教學(xué)要有學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)，用自己的思維方式把要學(xué)的知識(shí)重新創(chuàng)造出來(lái)。這種再創(chuàng)造積累和發(fā)展到一定程度，就有可能發(fā)生質(zhì)的飛躍。在教學(xué)中應(yīng)創(chuàng)造自主探索與合作交流的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生有充分的時(shí)間和空間去觀察，分析，動(dòng)手實(shí)踐，從而主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)。
求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)是本節(jié)課的一個(gè)重點(diǎn)，用學(xué)生非常熟悉的問題為載體來(lái)講解算法的有關(guān)知識(shí)，，強(qiáng)調(diào)了提供典型實(shí)例，使學(xué)生經(jīng)歷算法設(shè)計(jì)的全過程，在解決具體問題的過程中學(xué)習(xí)一些基本邏輯結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)有條理地思考問題、表達(dá)算法，并能將解決問題的過程整理成程序框圖。為了能在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，還適當(dāng)展示了將自然語(yǔ)言或程序框圖翻譯成計(jì)算機(jī)語(yǔ)
言的內(nèi)容?？偟膩?lái)說(shuō)，不追求形式上的嚴(yán)謹(jǐn)，通過案例引導(dǎo)學(xué)生理解相應(yīng)內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法。
應(yīng)用
舉例例1：用等值算法（更相減損術(shù)）求下列兩數(shù)的最大公約數(shù)。
（1）225，135（2）98，280
例2：用輾轉(zhuǎn)相除法驗(yàn)證上例中兩數(shù)的最大公約數(shù)是否正確。學(xué)生練習(xí)，教師巡視檢查。
學(xué)生回答。鞏固所學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步加深對(duì)知識(shí)的理解，用輾轉(zhuǎn)相除法步驟較少，而更相減損術(shù)雖然有些步驟較長(zhǎng)，但運(yùn)算簡(jiǎn)單。
體會(huì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)中“寓理于算”的思想。
深化
算法
應(yīng)用
舉例2．割圓術(shù)
魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽，“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”
即從圓內(nèi)接正六邊形開始，讓邊數(shù)逐次加倍，逐個(gè)算出這些內(nèi)接正多邊形的面積，從而得到一系列逐次遞增的數(shù)值。
閱讀課本P----P，
步驟：
第一，從半徑為１的圓內(nèi)接正六邊形開始，計(jì)算它的面積；
第二，逐步加倍圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，分別計(jì)算圓內(nèi)接正十二邊形，正二十四邊形，正四十八邊形…的面積，到一定的邊數(shù)（設(shè)為２m）為止，得到一列遞增的數(shù)，
第三，在第二步中各正邊形每邊上作一高為余徑的矩形，把其面積與相應(yīng)的面積相加，得，這樣又得到一列遞增數(shù)：，，，…，。
第四，圓面積滿足不等式
估計(jì)的近似值，即圓周率的近似值。
算法：
設(shè)圓的半徑為１，弦心距為，正邊形的邊長(zhǎng)為，面積為，由勾股定理得
，
則
圖可知，正邊形的面積等于正邊形的面積加上個(gè)等腰三角形的面積和，即
（）
利用這個(gè)遞推公式，可以得到正六邊形的面積為，
由于圓的半徑為１，所以隨著的增大，的值不斷趨近于圓周率。
程序：
n=6;
x=1;
s=6*sqrt(3)/4;
forI=1:1:16
h=sqrt(1-(x/2)2);
s=s+n*x*(1-h)/2;
n=2*n;
x=sqrt((x/2)2+(1-h)2);
end
print(%io(2),n,s)學(xué)生閱讀課本，教師巡視注意個(gè)別指導(dǎo)，幫助學(xué)生識(shí)圖，分析。
教師概括割圓術(shù)的步驟，學(xué)生觀察圖形，引導(dǎo)學(xué)生提出問題并解答。
步驟較復(fù)雜，教師注意結(jié)合圖形幫助學(xué)生分析，理解。
通過教師分析的割圓術(shù)的步驟，又學(xué)生討論制定割圓術(shù)的算法，教師注意指導(dǎo)，適當(dāng)提示，引導(dǎo)學(xué)生出現(xiàn)算法中的遞推關(guān)系。
教師將算法顯現(xiàn)在屏幕上，又學(xué)生對(duì)應(yīng)寫出簡(jiǎn)單的程序。
割圓術(shù)是從圓內(nèi)接六邊形開始，讓邊數(shù)逐次加倍，逐個(gè)算出這些內(nèi)接正多邊形的面積，從而得到一系列逐次遞增的數(shù)值。在但是要付出艱辛的勞動(dòng)，現(xiàn)在有計(jì)算機(jī)，我們只需利用劉徽的思想，尋找割圓術(shù)中的算法，即運(yùn)算規(guī)律，計(jì)算機(jī)會(huì)迅速得到所求答案。
分析劉徽割圓術(shù)中的算法是難點(diǎn)所在，學(xué)生先閱讀課本，有初步印象之后教師再與學(xué)生一起總結(jié)割圓術(shù)的步驟，在此基礎(chǔ)上，又學(xué)生將所分析的步驟寫為算法，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)算法的核心是一般意義上的解決問題策略的具體化。面臨一個(gè)問題時(shí)，在分析、思考后獲得了解決它的基本思路（解題策略），將這種思路具體化、條理化，用適當(dāng)?shù)姆绞奖磉_(dá)出來(lái)（畫出程序框圖，轉(zhuǎn)化為程序語(yǔ)句），這個(gè)過程就是算法設(shè)計(jì)過程，這是一個(gè)思維的條理化、邏輯化的過程。
歸納小結(jié)1．求最大公約數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損法；
2．割圓術(shù)的算法學(xué)生小結(jié)并相互補(bǔ)充，師生共同整理完善。學(xué)生學(xué)后反思總結(jié)，可以提高學(xué)生自己獲得知識(shí)的能力以及歸納概括能力。
課后作業(yè)習(xí)題1—31，2
選作習(xí)題1—3
鞏固所學(xué)知識(shí)，是學(xué)有余力的同學(xué)的創(chuàng)造性得到進(jìn)一步的發(fā)揮。
