高中函數(shù)的應用教案

2017高二數(shù)學函數(shù)的概念。

2017高二數(shù)學函數(shù)的概念

一.知識網(wǎng)絡(luò)
二.高考考點
1.映射中的象與原象的概念;
2.分段函數(shù)的問題:定義域、值域以及相關(guān)的方程或不等式的解的問題;
3.復合函數(shù)的解析式、圖象以及相關(guān)的最值等問題;
4.分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法的應用.
三.知識要點
(一)函數(shù)的定義
1、傳統(tǒng)定義:設(shè)在某一變化過程中有兩個變量x和y,如果對于某一范圍內(nèi)x的每一個值,y都有唯一的值和它對應,那么就說y是x的函數(shù),x叫做自變量,y叫做因變量(函數(shù)).
2、現(xiàn)代定義:設(shè)A、B是兩個非空數(shù)集,如果按照某個確定的對應關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應,那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù),記作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應的y的值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合｛f(x)|x∈A｝叫做函數(shù)的值域.
3、認知:
①注意到現(xiàn)代定義中A、B是非空數(shù)集,因此,今后若求得函數(shù)定義域或值域為φ,則此函數(shù)不存在.
②函數(shù)對應關(guān)系、定義域和值域是函數(shù)的三要素,缺一不可.在函數(shù)的三要素中,對應關(guān)系是核心,定義域是基礎(chǔ),當函數(shù)的定義域和對應法則確定之后,其值域也隨之確定.
(二).映射的概念
將函數(shù)定義中的兩個集合從非空數(shù)集擴展到任意元素的集合,便得到映射概念.
1、定義1:設(shè)A、B是兩個集合,如果按照某種對應法則f,對于集合A中任何一個元素,在集合B中都有唯一的元素和它對應,那么這樣的對應(包括集合A、B及集合A到集合B的對應法則f)叫做集合A到集合B的映射,記作f：A→B
2、定義2:給定一個集合A到集合B的映射f：A→B,且a∈A,b∈B,如果在此映射之下元素a和元素b對應,則將元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.即如果在給定映射下有f：a→b,則b叫做a的象,a叫做b的原象.
3、認知:
映射定義的精髓在于任一(元素)對應唯一(元素),即A中任一元素在B中都有唯一的象.在這里,A中元素不可剩,允許B中有剩余；不可一對多,允許多對一.因此,根據(jù)B中元素有無剩余的情況,映射又可分為滿射和非滿射兩類.
集合A到集合B的映射f：A→B是一個整體,具有方向性；f：A→B與f：B→A一般情況下是不同的映射.
（三）、函數(shù)的表示法
表示函數(shù)的方法,常用的有解析法、列表法、圖象法和口頭描述法.
1、解析法:把兩個變量的函數(shù)關(guān)系,用一個等式來表示,這個等式叫做函數(shù)的解析表達式,簡稱解析式.
2、列表法:列出表格表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系的方法.運用列表法表示的,多是理論或?qū)嶋H生活中偏于實用的函數(shù).
3、圖象法:用函數(shù)圖象表示兩個變量之間函數(shù)關(guān)系的方法.
圖象法直現(xiàn)形象地表示出函數(shù)的變化情況,是數(shù)形結(jié)合的典范.只是它不能精確表示自變量與函數(shù)值之間的對應關(guān)系.
認知:函數(shù)符號的意義
在函數(shù)的概念中,我們用符號y=f(x)表示y是x的函數(shù)這句話.
其中,對于運用解析法給出的函數(shù)y=f(x),其對應法則f表示解析式蘊含的對自變量x施加的一套運算的法則,即一套運算的框架.
具體地,對于函數(shù)f(x)=5-2x+3(x1)①對應法則f表示這樣一套運算的框架:5()－2（）＋3，（）＞１．
即f:5()-2()+3,()1.據(jù)此,我們可分別對函數(shù)值與函數(shù)表達式作以詮釋和辯析:
f(a):對自變量x的取值a實施上述運算后的結(jié)果,故有f(a)=5-2a+3(a1);
f(x):對自變量x實施上述運算后的結(jié)果,故有f(x)=5-2x+3(x1);
f(g(x)):對函數(shù)g(x)實施上述運算后的結(jié)果,于是有f(g(x))=5(x)-2g(x)+3(g(x)1)②
感悟:函數(shù)符號意義之下的產(chǎn)物或推論有比較才能有鑒別,有品味才能有感悟.我們仔細地比較和品味①、②,不難從中悟出這樣的代換規(guī)律:
f(x)的解析式f[g(x)]的表達式
我們將上述替換形象地稱之為同位替換.
顯然,同位替換是在函數(shù)符號的意義下產(chǎn)生的函數(shù)特有的替換,它源于等量替換，又高于等量替換，對于同位替換,在兩式不可能相等的條件下仍可操作實施,這是等量替換所不能比擬的.由f(x)的解析式導出f(x+1)的解析式,便是辯析兩種替換的一個很好的范例.
四.經(jīng)典例題
例1.如右圖,在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥OC,且AB=1,OC=BC=2,直線l:x=ｔ,截此梯形所得位于l左方的圖形面積為S,則函數(shù)S=f(t)的大致圖象是以下圖形中()
分析1:立足于f(t)在t∈[0,1]上的函數(shù)式.直線OA的方程為y=2x,故當0≤t≤1時,ｓ＝，,由此否定A,B,D,應選C.
分析2:運用運動的觀點,感悟函數(shù)圖象所反映的函數(shù)值隨著自變量的變化而變化的狀態(tài).
當l在Ｏ,D之間運動時,S隨著t的增加而增加,并且增加的速度越來越快,即ΔS1,ΔS2...,ΔSn是遞增的(ΔSi是單位時間內(nèi)面積的增量),故排除A和B,對于C和D,由t∈[0,1]時f(t)=的凹凸性可排除D,故應選C.
例2.如圖所示,梯形OABC各頂點的坐標分別為O(0,0),A(6,0),
B(4,2),C(2,2),一條與y軸平行的直線ｌ從點O開始作平行移動,到點A為止.設(shè)直線ｌ與x軸的交點為M,OM=x,并記梯形被直線ｌ截得的在左側(cè)的圖形面積為y,求函數(shù)y=f(x)的解析式,定義域及值域.
分析:如圖,由于點M位置的不同,所得圖形的形狀與面積不同,故需要分類討論,注意到?jīng)Q定ｌ左側(cè)圖形形狀的關(guān)鍵點,故以x=2,4分劃討論的區(qū)間.
解:(1)當0≤x≤2時,上述圖形是一等腰RtΔ,此時,ｙ＝,即;
(2)當2(3)當4因此,綜合(1)、(2)、(3)得所求y=f(x)的解析式為
由此可知,f(x)的定義域為[0,2]∪∪=[0,6].
又當0≤x≤2時,,即此時0≤y≤2;當2當4點評:分段函數(shù)問題的基本解題策略:分段研究,綜合結(jié)論.不過,在研究由實際問題產(chǎn)生的函數(shù)及其兩域時,必須具體問題具體分析,必須考慮所給問題的實際情況.
例3.(1)已知f(x)=x2+2x-1(x2),求f(2x+1)的解析式;(2)已知,求f(x＋1)的解析式.
解:(1)∵f(x)=x2+2x-1(x2)∴以2x+1替代上式中的x得f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)-1(2x+12)
∴f(2x+1)=4x2+8x+2(x1/2)
(2)由已知得∴以x替代上式中的得f(x)=x2-1(x≥1)
∴f(x+1)=(x＋1)2-1(x+1≥1)即f(x+1)=x2+2x(x≥0)
點評:上述求解也可運用換元法,但是,不論是換元法,還是上面實施的同位替換,它們都包括兩個方面的替換:
(1)解析式中的替換;(2)取值范圍中的替換.根據(jù)函數(shù)三要素的要求,這兩個方面的替換缺一不可.
例4.設(shè)y=f(2x+1)的定義域為[-1,1],f(x-1)=x2,試求不等式f(1-x)分析:為將不等式f(1-x)解:由題設(shè)知,在y=f(2x+1)中有-1≤x≤1-1≤2x+1≤3,
∴運用同位替換的思想在f(x-1)中應有-1≤x-1≤3①又由題設(shè)知f(x-1)=(x-1)2+2(x-1)+1②
∴由①、②得f(x-1)=(x-1)2+2(x-1)+1(-1≤x-1≤3)∴f(1-x)=(1-x)2+2(1-x)+1(-1≤1-x≤3)即f(1-x)=x2-4x+4(-2≤x≤2)
于是有f(1-x)因此,所求不等式f(1-x)點評:在這里,三個不同函數(shù)f(2x+1),f(x-1),f(x+1)均以x為自變量,x是一仆三主.因此,在探求函數(shù)解析式或定義域時,一定要注意兩方替換,雙管齊下.本例便是多次實施同位替換的良好范例.
例5.(1)設(shè)A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f：A→B
①若映射f滿足f(a)f(b)≥f(c),則映射f的個數(shù)為;
②若映射f滿足f(a)+f(b)+f(c)=0,則映射f的個數(shù)為;
③若映射f滿足f(a)-f(b)=f(c),則映射f的個數(shù)為.
(2)設(shè)A={1,2,3,4,5},B={6,7,8},從A到B的映射f滿足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5),則映射f的個數(shù)為.
分析:注意到f(a)的意義:在映射f：A→B之下A中元素a的象,故有f(a),f(b),f(c)∈B.為便于梳理思路,解答這類題經(jīng)常運用列表法或分類討論的方法.
解:(1)由已知得f(a),f(b),f(c)∈B
①列表法：∵f(a)f(b)≥f(c)∴f(a)只能取0或1,f(c)只能取-1或0.
根據(jù)映射的定義,以f(a)取值從大到小的次序列表考察:f(a)f(b)f(c)10010-11-1-10-1-1由此可知符合條件的映射是4個.
②列表法:注意到f(a)+f(b)+f(c)=0,又B中三個元素之和為0的情形只有兩種:0+0+0;1+(-1)+0,以a的象f(a)的取值(從小到大)為主線列表考察f(a)f(b)f(c)00001-10-1110-11-10-110-101
由此可知符合條件的映射有7個.
③分類討論：f(a)-f(b)=f(c)f(a)=f(b)+f(c)即a的象等于其它兩個元素的象的和.以象集合元素的個數(shù)為主線(從小到大)展開討論.
（i）當象集合為單元素集合時,只有象集{0}滿足已知條件,此時符合條件的映射f只有1個.
（ii）當象集合為雙元素集合時,滿足條件的象集合為{-1,0}或{1,0}{-1,0}:-1=0+(-1),-1=(-1)+0;{1,0}:1=0+1,1=1+0
此時符合條件的映射有4個.
（iii）當象集合為三元素集合時,滿足條件的象集合為{-1,0,1}{-1,0,1}:0=1+(-1),0=(-1)+1∴此時符合條件的映射f有2個
于是綜合(i)、(ii)、(iii)得符合條件的映射f的個數(shù)為7.
(2)分類討論:以象集合中元素的個數(shù)(從小到大)為主線展開討論.
(i)當象集合為單元素集時,象集為{6}或{7}或{8},故此時滿足條件的映射f有3個;
(ii)當象集合為雙元素集時,先將A中元素分為兩組,有種分法,又每兩組的象有3種情形,故此時符合條件的映射f有×3=12個;
(iii)當象集合為三元素集時,先將A中元素分為3組,有種分法，又每三組的象只有1種情形,故此時符合條件的映射f有×1=6個。于是綜合(i)、(ii)、(iii)得符合條件的映射f的個數(shù)為3+12+6=21.
點評:在認知f(λ)(λ∈A)的意義以及題設(shè)條件的意義的基礎(chǔ)上,以象集元素的個數(shù)(從小到大)為主線展開討論,是解決此類映射問題的通用方法(通性通法),請同學們在今后的解題中注意應用.
例6.已知函數(shù)f(t)對任意實數(shù)x,y滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(-2)=-2.
(1)求f(1)的值;(2)試求滿足f(t)=t的整數(shù)t的個數(shù),并說明理由.
分析:這是未給出具體的函數(shù)解析式,只給出一個函數(shù)恒等式.注意到這一恒等式的一般性,循著一般與特殊之間的辯證關(guān)系,想到從特殊(特殊取值或特殊關(guān)系)入手去破解一般,以尋出目標.
解:(1)為了出現(xiàn)f(1),在上述恒等式中令x=1,y=-1得f(0)=f(1)+f(-1)①又令x=0,y=0得f(0)=-1②
令x=-1,y=-1得f(-2)=2f(-1)+2∵f(-2)=-2,∴f(-1)=-2③∴將②、③代入①得f(1)=1.
(2)為利用f(1)=1,在上述恒等式中令x=1得f(y+1)=f(y)+y+2f(y+1)-f(y)=y+2∴當t∈Z時,有f(t+1)-f(t)=t+2④
根據(jù)④,運用階差法得f(t)=f(1)+[f(2)-f(1)]]+...+[f(t)-f(t-1)]∴f(t)=1+(1+2)+(2+2)+...+[(t-1)+2]=1+2(t-1)+即f(t)=∴f(t)=tt2+t-2=0(t-1)(t+2)=0t=1或t=-2
于是可知,滿足f(t)=t的整數(shù)t只有兩個:t=-2,t=1.
點評:函數(shù)f(x)當x取正整數(shù)時的問題，即為數(shù)列問題.所以,這里運用(或借鑒)了數(shù)列求和的思想或方法(階差法或分項法).看透問題,把握本質(zhì),解題時方能聯(lián)想順暢,入手準確.這是我們始終所追求的境界.
五.高考真題
(一)選擇題
1.在y=2x,y=log2x,y=x2,y=cos2x這四個函數(shù)中,當0A.0B.1C.2D.3
分析:運用數(shù)形結(jié)合思想,考察各函數(shù)的圖象.注意到對任意x1,x2∈I,且x12.已知,則f(x)的解析式可取為()
A.B.C.D.
分析:運用直接法．令=t，則x=(t≠-1),∴f(t)=(t≠-1)∴f(ｘ)=(x≠-1)應選C
說明:注意到對于,有=－1+≠-1,∴對于f(x)應有x≠-1.若選項中的函數(shù)附加定義域,則從定義域入手篩選為上乘解法.
3.設(shè)函數(shù)f(x)=,若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,則關(guān)于x的方程f(x)=x的解的個數(shù)為().
A.1B.2C.3D.4
分析:從確定f(x)的解析式入手.由f(-4)=f(0),f(-2)=-2得
∴方程f(x)=x或或x=2或x=2,故本題應選C
4.設(shè)函數(shù)f(x)=,則使得f(x)≥1的自變量x的取值范圍為()
A.∪[0,10]B.∪[0,1]C.∪[1,10]D.[-2,0]∪[1,10]
分析:注意到解決分段函數(shù)的基本策略:分段研究,綜合結(jié)論.
f(x)≥1或x≤-2或0≤x≤10,故應選A
運用特取法:取,則,由此否定C,D;取x=2,得,由此否定B,故本題應選A
(二)填空題
1.已知a,b為常數(shù),若f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,則5a-b=.
分析:由f(x)=x2+4x+3得f(ax+b)=(ax+b)2＋4（ax+b）+3=a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3,
∴由已知條件得a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3=x2+10x+24
故有∴5a-b=2
2.對于函數(shù)定義域中任意的x1,x2(x1≠x2),有如下結(jié)論:
①f(x1+x2)=f(x1)f(x2)②f(x1x2)=f(x1)+f(x2)
③;④.
當f(x)=lgx時,上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是.
分析:根據(jù)對數(shù)的運算法則知②正確,①不正確;借助f(x)=lgx的圖象,考察的幾何意義;經(jīng)過點(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線的斜率,可知③正確;注意到f(x)=lgx的圖象上凸,可知④正確.故本題應填②、③、④.
3.已知,則不等式x+(x+2)f(x+2)≤5的解集是.
分析:注意到原不等式中f之下的式子為(x+2),為利用已知條件化抽象為具體,故從x+2的符號或取值入手進行討論和等價轉(zhuǎn)化.原不等式或或x-2
∴原不等式的解集為.
(三)解答題
1.已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點對稱,且f(x)=x2+2x.
(1)求函數(shù)g(x)的解析式;(2)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.
分析:求對稱曲線的函數(shù)式或方程,基本策略是從點的對稱切入探求.而對于含有絕對值的不等式,在運用公式或平方去掉絕對值不能實現(xiàn)時,分類討論乃是解題取勝的殺手锏.
解:(1)設(shè)點Q(x0,y0)為y=f(x)圖象上任意一點,點Q關(guān)于原點的對稱點為P(x,y),則有
①∵點Q(x0,y0)在函數(shù)y=f(x)圖象上∴y0=x02+2x0②∴①代入②得-y=(-x)2+2(-x)
即y=-x2+2x故有g(shù)(x)=-x2+2x
(2)g(x)≥f(x)-|x-1|2x2-|x-1|≤0當x≥1時,2x2-x+1≤0,此不等式無解;當x1時,2x2+x-1≤0.
∴原不等式的解集為.
點評:以點對稱入手破解對稱問題,以絕對值的零值分劃討論的區(qū)間,這都是解決相關(guān)問題的基本策略.
2.已知函數(shù)f(x)=kx+b的圖象與x、y軸分別相交于點A、B,=(分別是與x、y軸正半軸同方向的單位向量),函數(shù)g(x)=x2-x-6
(1)求k、b的值;(2)當x滿足f(x)g(x)時,求函數(shù)的最小值.
分析:對于(1),注意到k、b含在f(x)的解析式中,故從探求A、B點坐標切入,利用=建立方程或方程組;對于(2),則要注意立足于不等式f(x)g(x)的解集，探求所給函數(shù)的最小值.
解:(1)由已知得A(-,0),B(0,b),從而=(,b)、又=(2,2),故得∴所求k=1,b=2.
(2)f(x)g(x)x+2x2-x-6x2-2x-80-2===(x+2)+-5(分離整式項)②
又由①知0∴由②得-5=-3當且僅當x+2=即x=-1(滿足①式)時等號成立.
∴函數(shù)的最小值為-3.
點評:在這里,運用不等式求所給函數(shù)的最小值,函數(shù)式的分離整式項的變形至關(guān)重要.一般地,當分子次數(shù)等于分母次數(shù)時,分式可分離出一個常數(shù)項;當分子次數(shù)大于分母次數(shù)時,分式可分離出一個整式項.分離整式項的手法,是在分子實施配湊,將分子表示為分母的函數(shù)式.
3.已知函數(shù)f(x)=(a,b為常數(shù)),且方程f(x)-x+12=0有兩個實根為x1=3,x2=4.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)設(shè)k1,解關(guān)x的不等式.
分析:對于(1),從已知方程的實根入手推理.對于(2),則要注意求解分式不等式的基本過程:移項-通分-分解因式-轉(zhuǎn)化(為整式不等式)-求解.這是解決這類問題的規(guī)范性、完整性以及完解完勝的基礎(chǔ)與保障.
解:(1)f(x)-x+12=0-x+12=0將x1=3,x2=4代入方程得解得∴f(x)=
(2)原不等式f(x)-(2-x)[]0
(x-2)(x-1)(x-k)0※
(I)當12;(II)當k=2時,由(※)得(x-2)2(x-1)012;
(III)當k2時,由(※)得1k.于是可知,當1當k2時,原不等式的解集為(1,2)∪(k,+∞).
點評:本題突出考察分類討論與數(shù)形結(jié)合的思想.在解高次不等式時,若采用根軸法，則可使解答更為快捷準確,請同學們一試.
4.對定義域分別是Df、Dg的函數(shù)y=f(x),y=g(x),規(guī)定:函數(shù)
(1)若函數(shù)f(x)=,g(x)=x2,寫出函數(shù)h(x)的解析式;(2)求問題(1)中函數(shù)h(x)的值域;
(3)若g(x)=f(x+),其中是常數(shù),且∈,請設(shè)計一個定義域為R的函數(shù)y=f(x)及一個的值,使得h(x)=cos4x,并予以證明.
分析:對于(1),注意到h(x)為分段函數(shù),探求函數(shù)解析式要立足于分段探求,綜合結(jié)論的基本策略.對于(3),這里g(x)=f(x+),又注意到在大前提中h(x)的表達式以及此時f(x),g(x)的定義域均為R,可得h(x)=f(x)f(x+),又h(x)=cos4x,于是可由f(x)f(x+)=cos4x入手展開聯(lián)想與探求,這里的探求自然是從cos4x的一分為二的變形入手.
解:(1)這里Df=(-∞,1)∪(1,+∞)Dg=R∴當x∈Df且x∈Dg,即x∈(-∞,1)∪(1,+∞)時，;
當xDf且x∈Dg,即x=1時,h(x)=g(x)=1;又x∈Df且xDg的x不存在,故得
(2)當x≠1時,=(x-1)++2∴若x1,則x-10,h(x)≥4,當且僅當x=2時等號成立;
若x1,則x-10,故有h(x)≤0,當且僅當x=0時等號成立.又當x=1時,h(x)=1.
∴函數(shù)h(x)的值域為∪{1}∪.
(3)由題意得h(x)=f(x)f(x+)①
又注意到cos4x=cos22x-sin22x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=(cos2x+sin2x)②
∴由①、②知,令f(x)=cos2x+sin2x(x∈R)=則有g(shù)(x)=f(x+)==cos2x－sin2x
于是有h(x)=f(x)f(x+)=(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)=cos22x-sin22x=cos4x.
點評:(I)對于(1),務(wù)必要注意逐段考察,不可忽略f(1)=1.
(II)既要注意(3)中g(shù)(x)=f(x+),又要注意大前提下的h(x)的表達式,雙方結(jié)合推出h(x)=f(x)f(x+).至此,解題的難點得以突破,問題便歸結(jié)為將cos4x化為互有關(guān)聯(lián)的兩式之積的三角變換.
5.已知二次函數(shù)y=f1(x)的圖象以原點為頂點且過點(1,1),反比例函數(shù)y=f2(x)的圖象與直線y=x的兩個交點間的距離為8,f(x)=f1(x)+f2(x)(1)求函數(shù)f(x)的表達式;(2)證明:當a3時,關(guān)于x的方程f(x)=f(a)有三個實數(shù)解.
分析:由于二次函數(shù)與反比例函數(shù)的形式確定,故運用待定系數(shù)法探求f1(x)與f2(x);對于(2),當對方程f(x)=f(a)直接求解感到困難時,要想到運用數(shù)形結(jié)合思想,適時轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題.
解:(1)由題意設(shè)f1(x)=ax2,f2(x)=(k0),由f1(1)=1得a=1,故f1(x)=x2又y=f2(x)的圖象與直線y=x的交點分別為A,B,則由|AB|=8得k=8,故f2(x)=∴f(x)=x2+
(2)證法一:由f(x)=f(a)得x2+==－x2+
在同一坐標系內(nèi)作出f2(x)=與f3(x)=－x2+的大致圖象,注意到f2(x)=的圖象是以坐標軸為漸近線,且位于第一、三象限的雙曲線,f3(x)=－x2+的圖象則是以點(0,)為頂點,開口向下的拋物線.因此f2(x)=與f3(x)=－x2+的圖象在第三象限有一個交點,即f(x)=f(a)有一個負數(shù)解.①
又∵f2(2)=4,f3(2)=-4∴當a3時,f3(2)－f2(2)=-80,
∴當a3時,在第一象限f3(x)的圖象上存在一點(2,f3(2))在y=f2(x)圖象的上方.
∴y=f2(x)與y=f3(x)的圖象在第一象限有兩個交點.即方程f(x)=f(a)有兩個正數(shù)解.②
于是由①、②知,當a3時,方程f(x)=f(a)有三個實數(shù)解.
證法二:由f(x)=f(a)得x2+=(x-a)(x+a-)=0
∴x=a為方程f(x)=f(a)的一個實數(shù)解.①
又方程x+a-=0可化為ax2+－8=0②
由a3得方程②的判別式Δ=a4+32a0
∴由②解得x2=,x3=
∵x20.x30,∴x1≠x2且x2≠x3③
此時,若x1=x3,則有a=3a2=a4=4aa=0或a=
這與a3矛盾,故有x1≠x3④
于是由①、③、④知,原方程有三個實數(shù)解.
點評:以上兩種解法各有短長.解法一轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題,顯直觀靈活,但本題的求解頭緒較多且比較隱蔽;解法二立足于求解方程,感覺踏實穩(wěn)健,但有時會招致復雜的運算.對于所給相關(guān)問題究竟選擇哪一種解法為上,則要具體情況具體分析,不可一概而論.

延伸閱讀

高二數(shù)學集合的概念教案3

一位優(yōu)秀的教師不打無準備之仗，會提前做好準備，作為教師就要早早地準備好適合的教案課件。教案可以讓上課時的教學氛圍非常活躍，幫助教師提前熟悉所教學的內(nèi)容。那么如何寫好我們的教案呢？小編收集并整理了“高二數(shù)學集合的概念教案3”，希望對您的工作和生活有所幫助。

第1課時集合的概念
一、集合
1．集合是一個不能定義的原始概念，描述性定義為：某些指定的對象就成為一個集合，簡稱．集合中的每一個對象叫做這個集合的．
2．集合中的元素屬性具有：
(1)確定性；(2)；(3)．
3．集合的表示法常用的有、和韋恩圖法三種，有限集常用，無限集常用，圖示法常用于表示集合之間的相互關(guān)系．
二、元素與集合的關(guān)系
4．元素與集合是屬于和的從屬關(guān)系，若a是集合A的元素，記作，若a不是集合B的元素，記作．但是要注意元素與集合是相對而言的．
三、集合與集合的關(guān)系
5．集合與集合的關(guān)系用符號表示．
6．子集：若集合A中都是集合B的元素，就說集合A包含于集合B（或集合B包含集合A），記作．
7．相等：若集合A中都是集合B的元素，同時集合B中都是集合A的元素，就說集合A等于集合B，記作．
8．真子集：如果就說集合A是集合B的真子集，記作．
9．若集合A含有n個元素，則A的子集有個，真子集有個，非空真子集有個．
10．空集是一個特殊而又重要的集合，它不含任何元素，是任何集合的，是任何非空集合的，解題時不可忽視．

例1.已知集合，試求集合的所有子集.
例2.
例2.設(shè)集合，，，求實數(shù)a的值.

例3.已知集合A={x|mx2-2x+3=0，m∈R}.?（1）若A是空集，求m的取值范圍；?（2）若A中只有一個元素，求m的值；?（3）若A中至多只有一個元素，求m的取值范圍.?

例4.若集合A＝{2，4，}，B＝{1，a＋1，，、}，且A∩B＝{2，5}，試求實數(shù)的值．

變式訓練1.若a,bR,集合求b-a的值.

變式訓練2：（1）P＝{x|x2－2x－3＝0}，S＝{x|ax＋2＝0}，SP，求a取值？
（2）A＝{－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，BA,求m。

變式訓練3.（1）已知A={a+2，(a+1)2，a2+3a+3}且1∈A，求實數(shù)a的值；?
（2）已知M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N，求a，b的值.?

變式訓練4.已知集合A＝{a，a＋d，a＋2d}，B＝{a，aq，}，其中a≠0，若A＝B，求q的值

1．本節(jié)的重點是集合的基本概念和表示方法，對集合的認識，關(guān)鍵在于化簡給定的集合，確定集合的元素，并真正認識集合中元素的屬性，特別要注意代表元素的形式，不要將點集和數(shù)集混淆．
2．利用相等集合的定義解題時，特別要注意集合中元素的互異性，對計算的結(jié)果要加以檢驗．
3．注意空集φ的特殊性，在解題時，若未指明集合非空，則要考慮到集合為空集的可能性．
4．要注意數(shù)學思想方法在解題中的運用，如化歸與轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想方法在解題中的應用．

高二數(shù)學算法概念010

一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學生的理解性，教師要準備好教案為之后的教學做準備。教案可以讓學生們能夠在上課時充分理解所教內(nèi)容，減輕教師們在教學時的教學壓力。優(yōu)秀有創(chuàng)意的教案要怎樣寫呢？下面是小編為大家整理的“高二數(shù)學算法概念010”，但愿對您的學習工作帶來幫助。

10.1算法概念
一、教學內(nèi)容分析
隨著計算機在社會各方面的普及，軟件的地位日漸突出；軟件通常所指的就是計算機可以執(zhí)行命令的集合，即程序．算法初步就是針對編寫計算機程序而設(shè)計的一章教學內(nèi)容．我們知道數(shù)學可以培養(yǎng)學生邏輯思維能力和抽象思維能力，算法和編程同樣需要很強的邏輯思維能力和抽象思維能力，從這個方面來說，它是數(shù)學學科實際應用的一個重要內(nèi)容．通過本章的學習，可以讓學生體會到計算機是一個重要的工具，通過程序的編寫和執(zhí)行，學生可以體會到人的思維在計算機上得到延續(xù)．
二、教學目標設(shè)計
1.了解算法的基本概念，能夠敘述一些簡單問題的算法；
2.理解算法與計算機（器）應用之間的關(guān)系，通過簡單的算法設(shè)計初步認識算法的作用.
三、教學重點及難點
重點：理解算法的作用：算法是解決“做什么”和“怎么做”的問題；
難點：設(shè)計算法，認識算法的幾個特性．
四、教學流程設(shè)計

五、教學過程設(shè)計
（一）算法的引入
做任何事情都有一定的步驟．例如，你要買電視機，先要選好貨物，然后付款，開票，取貨．（最好再舉出一些更專業(yè)的例子）用二分法求函數(shù)的零點，也是一套按一定步驟的解題方法．不要以為只有“計算”的問題，才是算法．廣義地說，為解決一個問題而采取的方法和步驟，就稱為“算法”．
（二）設(shè)計幾個算法
例1設(shè)計算法：求．
解法1①先求，得到結(jié)果；
②將步驟①得到的乘積再乘以3，得到結(jié)果6；
③將6再乘以4，得到24；
④將24再乘以5，得到120．這就是最后的結(jié)果．
[說明]一共4個步驟依次執(zhí)行，這種結(jié)構(gòu)為順序結(jié)構(gòu)．這樣的算法雖然是正確的，但是太過繁瑣．如果是，需要999個步驟，這種做法顯然是不可取的．
解法2[分析]可以設(shè)計兩個變量，一個代表乘數(shù)，一個變量代表被乘數(shù)．用循環(huán)算法來求結(jié)果．
①把1賦給變量；
②把2賦給變量；
③做，乘積仍放在變量中，可表示為；
④使的值加1，即；
⑤如果的值不大于5，返回重新執(zhí)行步驟③以及其后的步驟④和⑤；否則，算法結(jié)束．最后的的值就是120．
[說明]不能理解為數(shù)學中的，同樣不能理解為數(shù)學中的等式；解法2表示的算法具有通用性、靈活性，如只要把步驟⑤中的數(shù)值5改變?yōu)?00，就可以求出的值．步驟③④⑤組成一個循環(huán)，在實現(xiàn)算法時，要反復多次執(zhí)行③④⑤步驟，直到某一時刻，在執(zhí)行步驟⑤時經(jīng)過判斷，乘數(shù)已超過規(guī)定的數(shù)值而不返回到步驟③為止．此時結(jié)束算法，變量的值就是所求的結(jié)果．
例2對于第七章閱讀材料中所給出的Fibonacci數(shù)列：
計算并輸出和前項的和．
[說明]該例題對于剛接觸算法的同學有些過難了．有例1的鋪墊，例2就可以很好的理解了．
例3對于任意五個數(shù)，設(shè)計算法
（1）求它們中的最大數(shù)；
（2）在求得最大數(shù)的同時，給出該數(shù)的序號．

[說明]如果,那么…；否則…．該結(jié)構(gòu)成為條件結(jié)構(gòu)．

例4將任意給定的五個數(shù)按數(shù)值由小到大的順序排列．
[說明]步驟①中，就可以實現(xiàn)最大值與的對換，順序不能顛倒；如果是順序執(zhí)行，的值就消失了，這樣就出現(xiàn)邏輯上的錯誤．
從幾個實例中，可以體會到算法的一些特點：有限性（如不能出現(xiàn)程序無法終止的情況，如例1步驟⑤中把“的值不大于5”誤寫成了“的值大于-1”，程序就無法終止了）；確定性（每一個步驟不能存在“二義性”）；可行性；有輸入和輸出．
根據(jù)上面幾個例子，介紹順序結(jié)構(gòu)；條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)．
（三）課堂小結(jié)
由學生總結(jié)交流：通過本節(jié)學習，你對算法的認識是什么？
（四）課后作業(yè)
補充：1、寫出算法．
練習10.1兩個題目．

高二數(shù)學參數(shù)方程的概念學案

一名合格的教師要充分考慮學習的趣味性，作為高中教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以讓學生們有一個良好的課堂環(huán)境，幫助授課經(jīng)驗少的高中教師教學。你知道怎么寫具體的高中教案內(nèi)容嗎？考慮到您的需要，小編特地編輯了“高二數(shù)學參數(shù)方程的概念學案”，希望對您的工作和生活有所幫助。

第01課時
1.1.1參數(shù)方程的概念
學習目標
1．通過分析拋射物體運動中時間與物體位置的關(guān)系，了解一般曲線的參數(shù)方程，體會參數(shù)的意義
學習過程
一、學前準備
復習：在直角坐標系中求曲線的方程的步驟是什么？

二、新課導學
◆探究新知（預習教材P21～P22，找出疑惑之處）
問題1：由物理知識可知，物資投出機艙后，它的運動是下列兩種運動的合成：

問題2：由方程組
，其中是重力加速度（）
可知，在的取值范圍內(nèi)，給定的一個值，由方程組可以確定的值。
比如，當時，，。

歸納：一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標都是某個變數(shù)的函數(shù)（1），并且對于的每個允許值，由方程組（1）所確定的點都在這條曲線上，那么方程（1）叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。相對參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關(guān)系的方程叫做普通方程.
說明：（1）一般來說，參數(shù)的變化范圍是有限制的。
（2）參數(shù)是聯(lián)系變量x，y的橋梁，可以有實際意義，也可無實際意義。

◆應用示例
例1．已知曲線C的參數(shù)方程是(t為參數(shù))
（1）判斷點M1(0,1),M2(5,4)與曲線C的位置關(guān)系；
（2）已知點M3(6,a)在曲線C上，求a的值。
（教材P22例1）
解：
◆反饋練習
1．下列哪個點在曲線上（）
A．(2,7)B．C．D．(1,0)

2.設(shè)炮彈的發(fā)射角為，發(fā)射的初速度為，請用發(fā)射后的時間表示炮彈發(fā)射后的位置。

3.如果上題中，當炮彈發(fā)出2秒時，①求炮彈的高度；②求出炮彈的射程。

三、總結(jié)提升
◆本節(jié)小結(jié)
1．本節(jié)學習了哪些內(nèi)容？
答：了解一般曲線的參數(shù)方程，體會參數(shù)的意義
學習評價
一、自我評價
你完成本節(jié)導學案的情況為（）
A．很好B．較好C．一般D．較差

課后作業(yè)
1、對于曲線上任一點，下列哪個方程是以為參數(shù)的參數(shù)方程（）
A、B、
C、D、

2、已知曲線C的參數(shù)方程是，且點在曲線C上，則實數(shù)的值為（）A、B、C、D、無法確定

3、關(guān)于參數(shù)方程與普通方程，下列說法正確的是（）
①一般來說，參數(shù)方程中參數(shù)的變化范圍是有限制的；
②參數(shù)方程和普通方程是同一曲線的兩種不同表達形式；
③一個曲線的參數(shù)方程是唯一的；
④在參數(shù)方程和普通方程中，自由變量都是只有一個。
A、①②B、②
C、②③D、①②④
4、方程表示的曲線為（）
A、一條直線B、兩條射線
C、一條線段D、拋物線的一部分

5、一架救援飛機以100m/s的速度作水平直線飛行，在離災區(qū)指定目標的水平距離還有1000m時投放救災物資（不計空氣阻力，重力加速度），問此時飛機飛行的高度約是多少？（精確到1m）

函數(shù)的概念