高中向量的教案

2018人教A版高中數(shù)學(xué)必修4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義講義。

2．4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義
預(yù)習(xí)課本P103～105，思考并完成以下問(wèn)題
(1)怎樣定義向量的數(shù)量積？向量的數(shù)量積與向量數(shù)乘相同嗎？
(2)向量b在a方向上的投影怎么計(jì)算？數(shù)量積的幾何意義是什么？
(3)向量數(shù)量積的性質(zhì)有哪些？
(4)向量數(shù)量積的運(yùn)算律有哪些？
[新知初探]
1．向量的數(shù)量積的定義
(1)兩個(gè)非零向量的數(shù)量積：
已知條件向量a，b是非零向量，它們的夾角為θ
定義a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)是數(shù)量|a||b|cosθ
記法a·b＝|a||b|cosθ
(2)零向量與任一向量的數(shù)量積：
規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積均為0.
[點(diǎn)睛](1)兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)量，而不是向量，它的值等于兩向量的模與兩向量夾角余弦值的乘積，其符號(hào)由夾角的余弦值來(lái)決定．
(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積記作a·b，千萬(wàn)不能寫成a×b的形式．
2．向量的數(shù)量積的幾何意義
(1)投影的概念：
①向量b在a的方向上的投影為|b|cosθ.
②向量a在b的方向上的投影為|a|cosθ.
(2)數(shù)量積的幾何意義：
數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．
[點(diǎn)睛](1)b在a方向上的投影為|b|cosθ(θ是a與b的夾角)，也可以寫成a·b|a|.
(2)投影是一個(gè)數(shù)量，不是向量，其值可為正，可為負(fù)，也可為零．
3．向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)a與b都是非零向量，θ為a與b的夾角．
(1)a⊥ba·b＝0.
(2)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a||b|，
當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a||b|.
(3)a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2.
(4)cosθ＝a·b|a||b|.
(5)|a·b|≤|a||b|.
[點(diǎn)睛]對(duì)于性質(zhì)(1)，可以用來(lái)解決有關(guān)垂直的問(wèn)題，即若要證明某兩個(gè)向量垂直，只需判定它們的數(shù)量積為0；若兩個(gè)非零向量的數(shù)量積為0，則它們互相垂直．
4．向量數(shù)量積的運(yùn)算律
(1)a·b＝b·a(交換律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
[點(diǎn)睛](1)向量的數(shù)量積不滿足消去律：若a，b，c均為非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因?yàn)閍·b，b·c是數(shù)量積，是實(shí)數(shù)，不是向量，所以(a·b)·c與向量c共線，a·(b·c)與向量a共線，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情況下不成立．
[小試身手]
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積仍然是向量．()
(2)若a·b＝b·c，則一定有a＝c.()
(3)若a，b反向，則a·b＝－|a||b|.()
(4)若a·b＝0，則a⊥b.()
答案：(1)×(2)×(3)√(4)×
2．若|a|＝2，|b|＝12，a與b的夾角為60°，則a·b＝()
A．2B.12
C．1D.14
答案：B
3．已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·15b＝－36，則a與b的夾角為()
A．60°B．120°
C．135°D．150°
答案：B
4．已知a，b的夾角為θ，|a|＝2，|b|＝3.
(1)若θ＝135°，則a·b＝________；
(2)若a∥b，則a·b＝________；
(3)若a⊥b，則a·b＝________.
答案：(1)－32(2)6或－6(3)0
向量數(shù)量積的運(yùn)算

[典例](1)已知向量a與b的夾角為120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b;②(a＋b)·
(a－2b)．

(2)如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a.
[解](1)①由已知得a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4.
②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.
(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a與b，b與c，c與a的夾角均為120°，
∴a·b＋b·c＋c·a＝2×2×cos120°×3＝－3.
向量數(shù)量積的求法
(1)求兩個(gè)向量的數(shù)量積，首先確定兩個(gè)向量的模及向量的夾角，其中準(zhǔn)確求出兩向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵．
(2)根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的乘法
運(yùn)算．

[活學(xué)活用]
已知|a|＝3，|b|＝4，a與b的夾角為120°，求：
(1)a·b；(2)a2－b2；
(3)(2a－b)·(a＋3b)．

解：(1)a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×－12＝－6.
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2
＝2|a|2＋5|a||b|·cos120°－3|b|2
＝2×32＋5×3×4×－12－3×42＝－60.
與向量的模有關(guān)的問(wèn)題

[典例](1)(浙江高考)已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2＝12.若平面向量b滿足b·e1＝b·e2＝1，則|b|＝________.
(2)已知向量a，b的夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，則|b|＝________.
[解析](1)令e1與e2的夾角為θ，
∴e1·e2＝|e1|·|e2|cosθ＝cosθ＝12.
又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
∵b·(e1－e2)＝0，
∴b與e1，e2的夾角均為30°，
∴b·e1＝|b||e1|cos30°＝1，
從而|b|＝1cos30°＝233.
(2)∵a，b的夾角為45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a||b|cos45°＝22|b|，
|2a－b|2＝4－4×22|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝32.
[答案](1)233(2)32
求向量的模的常見思路及方法
(1)求模問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用a2＝|a|2，勿忘記開方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化．

[活學(xué)活用]
已知向量a，b滿足|a|＝|b|＝5，且a與b的夾角為60°，求|a＋b|，|a－b|，|2a＋b|.
解：∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝25＋25＋2|a||b|cos60°
＝50＋2×5×5×12＝75，
∴|a＋b|＝53.
∵|a－b|2＝(a－b)2＝(a－b)(a－b)
＝|a|2＋|b|2－2a·b
＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos60°＝25，
∴|a－b|＝5.
∵|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)
＝4|a|2＋|b|2＋4a·b
＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos60°＝175，
∴|2a＋b|＝57.

兩個(gè)向量的夾角和垂直
題點(diǎn)一：求兩向量的夾角
1．(重慶高考)已知非零向量a，b滿足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，則a與b的夾角為()
A.π3B.π2
C.2π3D.5π6
解析：選C∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0，
∴2|a|2＋a·b＝0，
即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.
∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－12，∴〈a，b〉＝2π3.
題點(diǎn)二：證明兩向量垂直
2．已知向量a，b不共線，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求證：(a＋b)⊥(a－b)．
證明：∵|2a＋b|＝|a＋2b|，
∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2.
即4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，
∴a2＝b2.
∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
又a與b不共線，a＋b≠0，a－b≠0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
題點(diǎn)三：利用夾角和垂直求參數(shù)
3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b與ka－b互相垂直，則k的值為()
A．－32B.32
C．±32D．1
解析：選B∵3a＋2b與ka－b互相垂直，
∴(3a＋2b)·(ka－b)＝0，
∴3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.
∵a⊥b，∴a·b＝0，
又|a|＝2，|b|＝3，
∴12k－18＝0，k＝32.

求向量a與b夾角的思路
(1)求向量夾角的關(guān)鍵是計(jì)算a·b及|a||b|，在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)計(jì)算cosθ＝a·b|a||b|，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．
(2)在個(gè)別含有|a|，|b|與a·b的等量關(guān)系式中，常利用消元思想計(jì)算cosθ的值．

層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，則a與b的夾角θ為()
A.π6B.π4
C.π3D.π2
解析：選C由題意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝π3.
2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影為32，則a·b等于()
A．3B.92
C．2D.12
解析：選B設(shè)a與b的夾角為θ.∵|a|cosθ＝32，
∴a·b＝|a||b|cosθ＝3×32＝92.
3．已知|a|＝|b|＝1，a與b的夾角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c與d垂直，則k的值為()
A．－6B．6
C．3D．－3
解析：選B∵c·d＝0，
∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，
∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，
∴2k＝12，∴k＝6.
4．已知a，b滿足|a|＝4，|b|＝3，夾角為60°，則|a＋b|＝()
A．37B．13
C.37D.13
解析：選C|a＋b|＝a＋b2＝a2＋2a·b＋b2
＝42＋2×4×3cos60°＋32＝37.
5．在四邊形ABCD中，＝，且·＝0，則四邊形ABCD是()
A．矩形B．菱形
C．直角梯形D．等腰梯形
解析：選B∵＝，即一組對(duì)邊平行且相等，·＝0，即對(duì)角線互相垂直，∴四邊形ABCD為菱形．
6．給出以下命題：
①若a≠0，則對(duì)任一非零向量b都有a·b≠0；
②若a·b＝0，則a與b中至少有一個(gè)為0；
③a與b是兩個(gè)單位向量，則a2＝b2.
其中，正確命題的序號(hào)是________．
解析：上述三個(gè)命題中只有③正確，因?yàn)閨a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.當(dāng)非零向量a，b垂直時(shí)，有a·b＝0，顯然①②錯(cuò)誤．
答案：③
7．設(shè)e1，e2是兩個(gè)單位向量，它們的夾角為60°，則(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝________.
解析：(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e21＋7e1·e2－2e22＝－6＋7×cos60°－2＝－92.
答案：－92
8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為________．
解析：∵c⊥a，∴c·a＝0，
∴(a＋b)·a＝0，即a2＋a·b＝0.
∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－12.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.
答案：120°
9．已知e1與e2是兩個(gè)夾角為60°的單位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a與b的
夾角．
解：因?yàn)閨e1|＝|e2|＝1，
所以e1·e2＝1×1×cos60°＝12，
|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝7，
|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9－12e1·e2＝7，故|b|＝7，
且a·b＝－6e21＋2e22＋e1·e2＝－6＋2＋12＝－72，
所以cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝－727×7＝－12，
所以a與b的夾角為120°.
10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影為－1.
(1)求a與b的夾角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)當(dāng)λ為何值時(shí)，向量λa＋b與向量a－3b互相垂直？
解：(1)∵|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影為|a|cosθ＝－1，
∴a·b＝|a||b|cosθ＝－1.
∴cosθ＝－12，∴θ＝2π3.
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b與a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝47.
層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1．已知|a|＝2，|b|＝1，且a與b的夾角為π3，則向量m＝a－4b的模為()
A．2B．23
C．6D．12
解析：選B|m|2＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝4－8×2×1×12＋16＝12，所以|m|＝23.
2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，則·等于()
A．－16B．－8
C．8D．16
解析：選D法一：因?yàn)閏osA＝ACAB，故·＝||·||cosA＝||2＝16，故選D.
法二：在上的投影為||cosA＝||，故·＝||||cosA＝||2＝16，故選D.

3．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，且a在b方向上的投影與b在a方向上的投影相等，則|a－b|＝()
A．1B.3
C.5D．3
解析：選C由于投影相等，故有|a|cos〈a，b〉＝|b|cos〈a，b〉，因?yàn)閨a|＝1，|b|
＝2，所以cos〈a，b〉＝0，即a⊥b，則|a－b|＝|a|2＋|b|2－2a·b＝5.
4.如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E為BC的中點(diǎn)，則·＝()
A．－3B．0
C．－1D．1
解析：選C·＝AB―→＋12AD―→·(－)
＝12·－||2＋12||2
＝12×2×2×cos60°－22＋12×22＝－1.
5．設(shè)向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，則|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．
解析：法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.
又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.
則c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
法二：如圖，作＝＝a，
＝b，則＝c.
∵a⊥b，∴AB⊥BC，
又∵a－b＝－＝，
(a－b)⊥c，∴CD⊥CA，
所以△ABC是等腰直角三角形，
∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝2，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
答案：4
6．已知向量a，b的夾角為45°，且|a|＝4，12a＋b·(2a－3b)＝12，則|b|＝________；b在a方向上的投影等于________．
解析：12a＋b·(2a－3b)＝a2＋12a·b－3b2＝12，即3|b|2－2|b|－4＝0，解得|b|＝2(舍負(fù))，b在a方向上的投影是|b|cos45°＝2×22＝1.
答案：21
7．已知非零向量a，b，滿足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝12，且a·b＝12.
(1)求向量a，b的夾角；(2)求|a－b|.
解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝12，
∴a2－b2＝12，
即|a|2－|b|2＝12.
又|a|＝1，
∴|b|＝22.
∵a·b＝12，
∴|a|·|b|cosθ＝12，
∴cosθ＝22，
∴向量a，b的夾角為45°.
(2)∵|a－b|2＝(a－b)2
＝|a|2－2|a||b|cosθ＋|b|2＝12，
∴|a－b|＝22.
8．設(shè)兩個(gè)向量e1，e2，滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1與e2的夾角為π3，若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
解：由向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，
得2te1＋7e2·e1＋te2|2te1＋7e2|·|e1＋te2|0.即
(2te1＋7e2)·(e1＋te2)0，化簡(jiǎn)即得
2t2＋15t＋70，解得－7t－12.
當(dāng)夾角為π時(shí)，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)0，
但此時(shí)夾角不是鈍角，
設(shè)2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ0，可得
2t＝λ，7＝λt，λ0，λ＝－14，t＝－142.
∴所求實(shí)數(shù)t的取值范圍是
－7，－142∪－142，－12.

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平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義

2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義

一、教材分析
本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律，然后通過(guò)概念辨析題加深學(xué)生對(duì)于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識(shí).主要知識(shí)點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律.
二．教學(xué)目標(biāo)
1．了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義；
2．體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，理解掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，并能運(yùn)用性質(zhì)和運(yùn)算律進(jìn)行相關(guān)的判斷和運(yùn)算；
3．體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力。
三、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：1、平面向量數(shù)量積的含義與物理意義，2、性質(zhì)與運(yùn)算律及其應(yīng)用。
難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的概念
四、學(xué)情分析
我們的學(xué)生屬于平行分班，沒(méi)有實(shí)驗(yàn)班，學(xué)生已有的知識(shí)和實(shí)驗(yàn)水平有差距。有些學(xué)生對(duì)于基本概念不清楚，所以講解時(shí)需要詳細(xì)
五、教學(xué)方法
1．實(shí)驗(yàn)法：多媒體、實(shí)物投影儀。
2．學(xué)案導(dǎo)學(xué)：見后面的學(xué)案。
3．新授課教學(xué)基本環(huán)節(jié)：預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑→情境導(dǎo)入、展示目標(biāo)→合作探究、精講點(diǎn)撥→反思總結(jié)、當(dāng)堂檢測(cè)→發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)
六、課前準(zhǔn)備
1．學(xué)生的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備：預(yù)習(xí)學(xué)案。
2．教師的教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體課件制作，課前預(yù)習(xí)學(xué)案，課內(nèi)探究學(xué)案，課后延伸拓展學(xué)案。。
七、課時(shí)安排：1課時(shí)
八、教學(xué)過(guò)程
(一)預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑
檢查落實(shí)了學(xué)生的預(yù)習(xí)情況并了解了學(xué)生的疑惑，使教學(xué)具有了針對(duì)性。

（二）情景導(dǎo)入、展示目標(biāo)。
創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，引出新課
1、提出問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)們回顧一下，我們已經(jīng)研究了向量的哪些運(yùn)算？這些運(yùn)算的結(jié)果是什么？
期望學(xué)生回答：向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算。
2、提出問(wèn)題2：請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)回憶，我們是怎么引入向量的加法運(yùn)算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運(yùn)算的？
期望學(xué)生回答：物理模型→概念→性質(zhì)→運(yùn)算律→應(yīng)用
3、新課引入：本節(jié)課我們?nèi)匀话凑者@種研究思路來(lái)研究向量的另外一種運(yùn)算：平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義
（三）合作探究，精講點(diǎn)撥
探究一：數(shù)量積的概念
1、給出有關(guān)材料并提出問(wèn)題3：
（1）如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，
那么力F所做的功：W=|F||S|cosα。
（2）這個(gè)公式的有什么特點(diǎn)？請(qǐng)完成下列填空：
①W（功）是量，
②F（力）是量，
③S（位移）是量，
④α是。
（3）你能用文字語(yǔ)言表述“功的計(jì)算公式”嗎?
期望學(xué)生回答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積
2、明晰數(shù)量積的定義
（1）數(shù)量積的定義：
已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量︱︱︱b︱cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：，即：=︱︱︱︱cos
（2）定義說(shuō)明：
①記法“”中間的“”不可以省略，也不可以用“”代替。
②“規(guī)定”：零向量與任何向量的數(shù)量積為零。
（3）提出問(wèn)題4：向量的數(shù)量積運(yùn)算與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？
期望學(xué)生回答：線性運(yùn)算的結(jié)果是向量，而數(shù)量積的結(jié)果則是數(shù)，這個(gè)數(shù)值的大小不僅和向量與的模有關(guān)，還和它們的夾角有關(guān)。
（4）學(xué)生討論，并完成下表：
的范圍
0°≤90°
=90°
0°≤180°
的符號(hào)

例1：已知｜｜＝３，｜｜＝６，當(dāng)①∥，②⊥，③與的夾角是60°時(shí)，分別求.
解：①當(dāng)∥時(shí)，若與同向，則它們的夾角θ＝０°，
∴＝｜｜｜｜c(diǎn)os0°＝3×6×1＝18；
若與ｂ反向，則它們的夾角θ＝180°，
∴＝｜｜｜｜c(diǎn)os180°＝3×6×（-1）＝－18；
②當(dāng)⊥時(shí)，它們的夾角θ＝90°，
∴＝０；
③當(dāng)與的夾角是60°時(shí)，有
＝｜｜｜｜c(diǎn)os60°＝3×6×＝9
評(píng)述：兩個(gè)向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是［0°，180°］，因此，當(dāng)∥時(shí)，有0°或180°兩種可能.
變式：對(duì)于兩個(gè)非零向量、，求使|+t|最小時(shí)的t值，并求此時(shí)與+t的夾角。

探究二：研究數(shù)量積的意義
1.給出向量投影的概念：
如圖，我們把││cos（││cos）
叫做向量在方向上（在方向上）的投影，
記做：OB1=︱││︱cos
2.提出問(wèn)題5：數(shù)量積的幾何意義是什么？
期望學(xué)生回答：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度︱︱與在的方向上的投影
︱︱cos的乘積。

3.研究數(shù)量積的物理意義
請(qǐng)同學(xué)們用一句話來(lái)概括功的數(shù)學(xué)本質(zhì)：功是力與位移的數(shù)量積。

探究三：探究數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)
1、提出問(wèn)題6：
比較︱︱與︱︱×︱︱的大小，你有什么結(jié)論？
2、明晰：數(shù)量積的性質(zhì)

3.數(shù)量積的運(yùn)算律
（1）、提出問(wèn)題7：我們學(xué)過(guò)了實(shí)數(shù)乘法的哪些運(yùn)算律？這些運(yùn)算律對(duì)向量是否也適用？
預(yù)測(cè)：學(xué)生可能會(huì)提出以下猜想：
①=
②（）=()
③（+）=+
（2）、分析猜想：
猜想①的正確性是顯而易見的。
關(guān)于猜想②的正確性，請(qǐng)同學(xué)們先來(lái)討論：猜測(cè)②的左右兩邊的結(jié)果各是什么？它們一定相等嗎？
期望學(xué)生回答：左邊是與向量共線的向量，而右邊則是與向量共線的向量，顯然在向量與向量不共線的情況下猜測(cè)②是不正確的。
（3）、明晰：數(shù)量積的運(yùn)算律：

例2、（師生共同完成）已知︱︱=6，︱︱=4,與的夾角為60°，求（+2）（-3），并思考此運(yùn)算過(guò)程類似于實(shí)數(shù)哪種運(yùn)算？
解：（+2）（-3）=.-3.+2.-6.
=36-3×4×6×0.5-6×4×4

=-72
評(píng)述：可以和實(shí)數(shù)做類比記憶數(shù)量積的運(yùn)算律

變式：（1）(+)2=2+2+2
（2）(+)(-)=2—2

（四）反思總結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)。
教師組織學(xué)生反思總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，并進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)。
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)并對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)單的反饋糾正。（課堂實(shí)錄）
（五）發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)。
我們已經(jīng)學(xué)習(xí)平面向量數(shù)量積的物理背景及含義，那么，在下一節(jié)課我們一起來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算。模。夾角。這節(jié)課后大家可以先預(yù)習(xí)這一部分，著重分析坐標(biāo)的作用
設(shè)計(jì)意圖：布置下節(jié)課的預(yù)習(xí)作業(yè)，并對(duì)本節(jié)課鞏固提高。教師課后及時(shí)批閱本節(jié)的延伸拓展訓(xùn)練。
九、板書設(shè)計(jì)

十、教學(xué)反思
本課的設(shè)計(jì)采用了課前下發(fā)預(yù)習(xí)學(xué)案，學(xué)生預(yù)習(xí)本節(jié)內(nèi)容，找出自己迷惑的地方。課堂上師生主要解決重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)、考點(diǎn)、探究點(diǎn)以及學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中易忘、易混點(diǎn)等，最后進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)，課后進(jìn)行延伸拓展，以達(dá)到提高課堂效率的目的。我首先安排讓學(xué)生討論影響數(shù)量積結(jié)果的因素并完成表格，其次將數(shù)量積的幾何意義提前，這樣使學(xué)生從代數(shù)和

幾何兩個(gè)方面對(duì)數(shù)量積的“質(zhì)變”特征有了更加充分的認(rèn)識(shí)。通過(guò)嘗試練習(xí)，一方面使學(xué)生嘗試計(jì)算數(shù)量積，另一方面使學(xué)生理解數(shù)量積的物理意義，同時(shí)也為數(shù)量積的性質(zhì)埋下伏筆。數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律是數(shù)量積概念的延伸，教材中這兩方面的內(nèi)容都是以探究的形式出現(xiàn)，為了讓學(xué)生很好的完成這兩個(gè)探究活動(dòng)，我始終按照先創(chuàng)設(shè)一定的情景，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，教師明晰后，再由學(xué)生或師生共同完成證明。比如數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)是將嘗試練習(xí)的結(jié)論推廣得到，數(shù)量積的運(yùn)算律則是通過(guò)和實(shí)數(shù)乘法相類比得到，這樣不僅使學(xué)生感到親切自然，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生由特殊到一般的思維品質(zhì)和類比創(chuàng)新的意識(shí)。
臨清三中數(shù)學(xué)組編寫人：王曉燕審稿人：劉桂江李懷奎
2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義

課前預(yù)習(xí)學(xué)案
一、預(yù)習(xí)目標(biāo)：
預(yù)習(xí)平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；
二、預(yù)習(xí)內(nèi)容：
1.平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：
2.兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別
3．“投影”的概念：作圖
4.向量的數(shù)量積的幾何意義：
5．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：
設(shè)、為兩個(gè)非零向量，e是與同向的單位向量.
1e=e=
2=
設(shè)、為兩個(gè)非零向量，e是與同向的單位向量.
e=e=
3當(dāng)與同向時(shí)，=當(dāng)與反向時(shí)，=特別的=||2或
4cos=
5||≤||||

三、提出疑惑：
同學(xué)們，通過(guò)你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中
疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容

課內(nèi)探究學(xué)案
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1說(shuō)出平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；
2.學(xué)會(huì)用平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；
3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題；
學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：。平面向量的數(shù)量積及其幾何意義
二、學(xué)習(xí)過(guò)程
創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，引出新課
1、提出問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)們回顧一下，我們已經(jīng)研究了向量的哪些運(yùn)算？這些運(yùn)算的結(jié)果是什么？

2、提出問(wèn)題2：請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)回憶，我們是怎么引入向量的加法運(yùn)算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運(yùn)算的？

3、新課引入：本節(jié)課我們?nèi)匀话凑者@種研究思路來(lái)研究向量的另外一種運(yùn)算：平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義
探究一：
數(shù)量積的概念
1、給出有關(guān)材料并提出問(wèn)題3：
（1）如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，
那么力F所做的功：W=
（2）這個(gè)公式的有什么特點(diǎn)？請(qǐng)完成下列填空：
①W（功）是量，
②F（力）是量，
③S（位移）是量，
④α是。
（3）你能用文字語(yǔ)言表述“功的計(jì)算公式”嗎?
2、明晰數(shù)量積的定義
（1）數(shù)量積的定義：
已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量︱︱︱︱cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：，即：=︱︱︱︱cos
（2）定義說(shuō)明：
①記法“”中間的“”不可以省略，也不可以用“”代替。
②“規(guī)定”：零向量與任何向量的數(shù)量積為零。
（3）提出問(wèn)題4：向量的數(shù)量積運(yùn)算與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？

（4）學(xué)生討論，并完成下表：
的范圍
0°≤90°
=90°
0°≤180°
的符號(hào)

例1：已知｜｜＝３，｜｜＝６，當(dāng)①∥，②⊥，③與的夾角是60°時(shí)，分別求.
解：
變式：
.對(duì)于兩個(gè)非零向量、，求使|+t|最小時(shí)的t值，并求此時(shí)與+t的夾角.

探究二：研究數(shù)量積的意義
1.給出向量投影的概念：
如圖，我們把││cos（││cos）
叫做向量在方向上（在方向上）的投影，
記做：OB1=︱││︱cos
2.提出問(wèn)題5：數(shù)量積的幾何意義是什么？

3.研究數(shù)量積的物理意義
請(qǐng)同學(xué)們用一句話來(lái)概括功的數(shù)學(xué)本質(zhì)：

探究三：探究數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)
1、提出問(wèn)題6：比較︱︱與︱︱×︱︱的大小，你有什么結(jié)論？

2、明晰：數(shù)量積的性質(zhì)

3.數(shù)量積的運(yùn)算律
（1）、提出問(wèn)題7：我們學(xué)過(guò)了實(shí)數(shù)乘法的哪些運(yùn)算律？這些運(yùn)算律對(duì)向量是否也用？

（2）、明晰：數(shù)量積的運(yùn)算律：

例2、（師生共同完成）已知︱︱=6，︱︱=4,與的夾角為60°，求（+2）（-3），并思考此運(yùn)算過(guò)程類似于實(shí)數(shù)哪種運(yùn)算？
解：

變式：（1）(+)2=2+2+2
（2）(+)(-)=2—2

（三）反思總結(jié)

(四)當(dāng)堂檢測(cè)

1.已知||=5，||=4，與的夾角θ=120o，求.

2.已知||=6，||=4，與的夾角為60o求(+2)(-3)
.
3.已知||=3，||=4，且與不共線，k為何值時(shí)，向量+k與-k互相垂直.

4.已知｜｜＝３，｜｜＝６，當(dāng)①∥，②⊥，③與的夾角是60°時(shí)，分別求.

5.已知||=1，||=，(1)若∥，求；(2)若、的夾角為６０°，求|+|；(3)若-與垂直，求與的夾角.

6.設(shè)m、n是兩個(gè)單位向量，其夾角為６０°，求向量=2m+n與=2n-3m的夾角.

課后練習(xí)與提高
1.已知||=1，||=，且(-)與垂直，則與的夾角是（）
A.60°B.30°C.135°D.４５°
2.已知||=2，||=1，與之間的夾角為，那么向量m=-4的模為（）
A.2B.2C.6D.12
3.已知、是非零向量，則||=||是(+)與(-)垂直的（）
A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件?
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
4.已知向量、的夾角為，||=2，||=1，則|+||-|=.
5.已知+=2i-8j，-=-8i+16j，其中i、j是直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單位向量，那么=.
6.已知⊥、c與、的夾角均為60°，且||=1，||=2，|c|=3，則(+2-c)２＝______.

參考答案：
1.D2.B3.A
4.5.1446.11

高二數(shù)學(xué)平面向量數(shù)量積的物理背景及含義

2018人教A版高中數(shù)學(xué)必修42．3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示講義

2．3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示
預(yù)習(xí)課本P98～100，思考并完成以下問(wèn)題
如何利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示兩個(gè)向量共線？
[新知初探]
平面向量共線的坐標(biāo)表示
前提條件a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
結(jié)論當(dāng)且僅當(dāng)x1y2－x2y1＝0時(shí)，向量a、b(b≠0)共線

[點(diǎn)睛](1)平面向量共線的坐標(biāo)表示還可以寫成x1x2＝y(tǒng)1y2(x2≠0，y2≠0)，即兩個(gè)不平行于坐標(biāo)軸的共線向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例；
(2)當(dāng)a≠0，b＝0時(shí)，a∥b，此時(shí)x1y2－x2y1＝0也成立，即對(duì)任意向量a，b都有：x1y2－x2y1＝0a∥b.
[小試身手]
1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，則必有x1y2＝x2y1.()
(2)向量(2,3)與向量(－4，－6)反向．()
答案：(1)√(2)√
2．若向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，則與a＋b共線的向量可以是()
A．(2,1)B．(－1,2)C．(6,10)D．(－6,10)
答案：C
3．已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，若a∥b，則x等于()
A．－12B.12C．－2D．2
答案：D
4．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起點(diǎn)為A(1,2)，終點(diǎn)B在x軸上，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________．
答案：73，0
向量共線的判定

[典例](1)已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，則λ的值等于()
A.12B.13C．1D．2
(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判斷與是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？
[解析](1)法一：a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12.
法二：假設(shè)a，b不共線，則由(a＋2b)∥(2a－2b)可得a＋2b＝μ(2a－2b)，從而1＝2μ，2＝－2μ，方程組顯然無(wú)解，即a＋2b與2a－2b不共線，這與(a＋2b)∥(2a－2b)矛盾，從而假設(shè)不成立，故應(yīng)有a，b共線，所以1λ＝21，即λ＝12.
[答案]A
(2)[解]＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，
∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴，共線．
又＝－2，∴，方向相反．
綜上，與共線且方向相反．
向量共線的判定方法
(1)利用向量共線定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2－x2y1＝0直接求解．
[活學(xué)活用]
已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當(dāng)k為何值時(shí)，ka＋b與a－3b平行，平行時(shí)它們的方向相同還是相反？
解：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
若ka＋b與a－3b平行，則－4(k－3)－10(2k＋2)＝0，
解得k＝－13，此時(shí)ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)，故ka＋b與a－3b反向．
∴k＝－13時(shí)，ka＋b與a－3b平行且方向相反．
三點(diǎn)共線問(wèn)題

[典例](1)已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求證：A，B，C三點(diǎn)共線；
(2)設(shè)向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，當(dāng)k為何值時(shí)，A，B，C三點(diǎn)
共線？
[解](1)證明：∵＝－＝(4,8)，
＝－＝(6,12)，
∴＝32，即與共線．
又∵與有公共點(diǎn)A，∴A，B，C三點(diǎn)共線．
(2)若A，B，C三點(diǎn)共線，則，共線，
∵＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(10－k，k－12)，
∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0.
解得k＝－2或k＝11.

有關(guān)三點(diǎn)共線問(wèn)題的解題策略
(1)要判斷A，B，C三點(diǎn)是否共線，一般是看與，或與，或與是否共線，若共線，則A，B，C三點(diǎn)共線；
(2)使用A，B，C三點(diǎn)共線這一條件建立方程求參數(shù)時(shí)，利用＝λ，或＝λ，或＝λ都是可以的，但原則上要少用含未知數(shù)的表達(dá)式．
[活學(xué)活用]
設(shè)點(diǎn)A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，當(dāng)x為何值時(shí)，與共線且方向相同，此時(shí)，A，B，C，D能否在同一條直線上？
解：＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，
＝(1,2x)－(2x,2)＝(1－2x,2x－2)，
＝(5,3x)－(1,2x)＝(4，x)．
由與共線，所以x2＝1×4，所以x＝±2.
又與方向相同，所以x＝2.
此時(shí)，＝(2,1)，＝(－3,2)，
而2×2≠－3×1，所以與不共線，
所以A，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上．
所以A，B，C，D不在同一條直線上．
向量共線在幾何中的應(yīng)用

題點(diǎn)一：兩直線平行判斷
1.如圖所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于E，用向量的方法證明：DE∥BC；
證明：如圖，以E為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，EC所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)||＝1，則||＝1，||＝2.
∵CE⊥AB，而AD＝DC，
∴四邊形AECD為正方形，
∴可求得各點(diǎn)坐標(biāo)分別為E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)．
∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，
＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴＝，∴∥，即DE∥BC.

題點(diǎn)二：幾何形狀的判斷
2．已知直角坐標(biāo)平面上四點(diǎn)A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求證：四邊形ABCD是等腰梯形．
證明：由已知得，＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，
＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．
∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴與共線．
＝(－1,2)，＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，
∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴與不共線．
∴四邊形ABCD是梯形．
∵＝(－2,1)，＝(－1,2)，
∴||＝5＝||，即BC＝AD.
故四邊形ABCD是等腰梯形．
題點(diǎn)三：求交點(diǎn)坐標(biāo)
3.如圖所示，已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解：法一：設(shè)＝t＝t(4,4)
＝(4t,4t)，
則＝－＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，
＝－＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
由，共線的條件知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，
解得t＝34.∴＝(3,3)．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3)．
法二：設(shè)P(x，y)，
則＝(x，y)，＝(4,4)．
∵，共線，
∴4x－4y＝0.①
又＝(x－2，y－6)，＝(2，－6)，
且向量，共線，
∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.②
解①②組成的方程組，得x＝3，y＝3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)．

應(yīng)用向量共線的坐標(biāo)表示求解幾何問(wèn)題的步驟
層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是()
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝12，－34
解析：選BA中向量e1為零向量，∴e1∥e2；C中e1＝12e2，∴e1∥e2；D中e1＝4e2，∴e1∥e2，故選B.
2．已知點(diǎn)A(1,1)，B(4,2)和向量a＝(2，λ)，若a∥，則實(shí)數(shù)λ的值為()
A．－23B.32
C.23D．－32
解析：選C根據(jù)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可得＝(3,1)，
∵a∥，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故選C.
3．已知A(2，－1)，B(3,1)，則與平行且方向相反的向量a是()
A．(2,1)B．(－6，－3)
C．(－1,2)D．(－4，－8)
解析：選D＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)與(1,2)不平行；(－4，－8)與(1,2)平行且方向相反．
4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，則實(shí)數(shù)x的值為()
A．－3B．2
C．4D．－6

解析：選D因?yàn)?a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，所以4(x＋3)－(x－6)＝0，解得x＝－6.
5．設(shè)a＝32，tanα，b＝cosα，13，且a∥b，則銳角α為()
A．30°B．60°
C．45°D．75°
解析：選A∵a∥b，
∴32×13－tanαcosα＝0，
即sinα＝12，α＝30°.
6．已知向量a＝(3x－1,4)與b＝(1,2)共線，則實(shí)數(shù)x的值為________．
解析：∵向量a＝(3x－1,4)與b＝(1,2)共線，
∴2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案：1
7．已知A(－1,4)，B(x，－2)，若C(3,3)在直線AB上，則x＝________.
解析：＝(x＋1，－6)，＝(4，－1)，
∵∥，∴－(x＋1)＋24＝0，∴x＝23.
答案：23
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若λa＋μb與a＋b共線，則λ與μ的關(guān)系是________．
解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，
∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，
λa＋μb＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)，
又∵(λa＋μb)∥(a＋b)，
∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0，
∴λ＝μ.
答案：λ＝μ
9．已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝13，＝13，求證：∥.
證明：設(shè)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，
依題意有＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．
∵＝13，∴(x1＋1，y1)＝13(2,2)．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為－13，23.
同理點(diǎn)F的坐標(biāo)為73，0，＝83，－23.
又83×(－1)－4×－23＝0，∴∥.
10．已知向量a＝(2,1)，b＝(1,1)，c＝(5,2)，m＝λb＋c(λ為常數(shù))．
(1)求a＋b；
(2)若a與m平行，求實(shí)數(shù)λ的值．
解：(1)因?yàn)閍＝(2,1)，b＝(1,1)，
所以a＋b＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)．
(2)因?yàn)閎＝(1,1)，c＝(5,2)，
所以m＝λb＋c＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)．
又因?yàn)閍＝(2,1)，且a與m平行，
所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.
層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，則向量a＋b()
A．平行于x軸
B．平行于第一、三象限的角平分線
C．平行于y軸
D．平行于第二、四象限的角平分線
解析：選C因?yàn)閍＋b＝(0,1＋x2)，所以a＋b平行于y軸．
2．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三點(diǎn)共線，則y＝()
A．13B．－13
C．9D．－9
解析：選DA，B，C三點(diǎn)共線，
∴∥，而＝(－8,8)，＝(3，y＋6)，
∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.
3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么()
A．k＝1且c與d同向
B．k＝1且c與d反向
C．k＝－1且c與d同向
D．k＝－1且c與d反向
解析：選D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，則c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，顯然，c與d不平行，排除A、B.若k＝－1，則c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c與d反向．

4．已知平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是()
A．(1,5)或(5,5)
B．(1,5)或(－3，－5)
C．(5，－5)或(－3，－5)
D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)
解析：選D設(shè)A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四個(gè)頂點(diǎn)為D，
①若這個(gè)平行四邊形為ABCD，
則＝，∴D(－3，－5)；
②若這個(gè)平行四邊形為ACDB，
則＝，∴D(5，－5)；
③若這個(gè)平行四邊形為ACBD，
則＝，∴D(1,5)．
綜上所述，D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．
5．已知＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，則x＋2y的值為________．
解析：∵＝＋＋＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)
＝(x＋4，y－2)，
∴＝－＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．
∵∥，
∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.
答案：0
6．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件為________．
解析：若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則這三點(diǎn)不共線，即與不共線．
∵＝－＝(3,1)，＝－＝(2－m,1－m)，
∴3(1－m)≠2－m，即m≠12.
答案：m≠12
7．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求a與b之間的數(shù)量關(guān)系；
(2)若＝2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
解：(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，則與共線．
＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，
∴2(b－1)－(－2)(a－1)＝0，∴a＋b＝2.
(2)若＝2，則(a－1，b－1)＝(4，－4)，
∴a－1＝4，b－1＝－4，∴a＝5，b＝－3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，－3)．
8.如圖所示，在四邊形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直線AC與BD交點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解：設(shè)P(x，y)，則＝(x－1，y)，
＝(5,4)，＝(－3,6)，＝(4,0)．
由B，P，D三點(diǎn)共線可得＝＝(5λ，4λ)．
又∵＝－＝(5λ－4,4λ)，
由于與共線得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.
解得λ＝47，
∴＝47＝207，167，
∴P的坐標(biāo)為277，167.

高中數(shù)學(xué)必修四2.4平面向量的數(shù)量積小結(jié)導(dǎo)學(xué)案

2.4平面向量的數(shù)量積小結(jié)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解數(shù)量積的含義掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．
2．能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．
3．會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．
【新知自學(xué)】
知識(shí)梳理：
1．向量的夾角
已知兩個(gè)________向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，則_________稱作向量a與向量b的夾角，記作〈a，b〉．
向量夾角〈a，b〉的范圍是______，且______＝〈b，a〉．
若〈a，b〉＝______，則a與b垂直，記作__________．
2．平面向量的數(shù)量積
__________叫做向量a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab＝__________.可見，ab是實(shí)數(shù)，可以等于正數(shù)、負(fù)數(shù)、零．其中|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．
數(shù)量積的記號(hào)是ab，不能寫成a×b，也不能寫成ab.
向量數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律：
①ab＝__________(交換律)
②(a＋b)c＝__________(分配律)
③(λa)b＝__________＝a(λb)(數(shù)乘結(jié)合律)．
3．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：已知非零向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)
性質(zhì)幾何表示坐標(biāo)表示
定義ab＝|a||b|cos〈a，b〉ab＝a1b1＋a2b2
模aa＝|a|2或|a|＝aa
|a|＝a21＋a22

若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB→＝(x2－x1，y2－y1)|AB→|＝

a⊥bab＝0a1b1＋a2b2＝0
夾角cos〈a，b〉＝ab|a||b|(|a||b|≠0)cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22

|ab|與|a||b|的關(guān)系|ab|≤|a||b||a1b1＋a2b2|≤a21＋a22b21＋b22

對(duì)點(diǎn)練習(xí)：
1．已知下列各式：
①|(zhì)a|2＝a2；②ab|a|2＝ba；③(ab)2＝a2b2；
④(a－b)2＝a2－2ab＋b2，其中正確的有()．
A．1個(gè)B．2個(gè)
C．3個(gè)D．4個(gè)
2．設(shè)向量a＝(1,0)，b＝12，12，則下列結(jié)論中正確的是()．
A．|a|＝|b|B．a(chǎn)b＝22
C．a(chǎn)∥bD．a(chǎn)－b與b垂直
3．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，則(bc)a等于()．
A．(26，－78)B．(－28，－42)
C．－52D．－78
4．若向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2且a與b的夾角為π3，則|a＋b|＝__________.

5．已知|a|＝2，|b|＝4且a⊥(a－b)，則a與b的夾角是__________．

【合作探究】
典例精析：
一、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
例1、（1)在等邊△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，AB＝5，求AB→BC→，|CD→|；
(2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，求(a－2b)(2a＋3b)和|a＋2b|.

變式練習(xí)：
如圖，在菱形ABCD中，若AC＝4，則CA→AB→＝________.

規(guī)律總結(jié)：
向量數(shù)量積的運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算不同：
(1)若a，b為實(shí)數(shù)，且ab＝0，則有a＝0或b＝0，但ab＝0卻不能得出a＝0或b＝0.
(2)若a，b，c∈R，且a≠0，則由ab＝ac可得b＝c,但由ab＝ac及a≠0卻不能推出b＝c.
(3)若a，b，c∈R，則a(bc)＝(ab)c(結(jié)合律)成立，但對(duì)于向量a，b，c，而(ab)c與a(bc)一般是不相等的，向量的數(shù)量積是不滿足結(jié)合律的．
(4)若a，b∈R，則|ab|＝|a||b|，但對(duì)于向量a，b，卻有|ab|≤|a||b|，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)成立．
二、兩平面向量的夾角與垂直
例2、已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61.
(1)求a與b的夾角θ；
(2)若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面積．
規(guī)律總結(jié)：
1．?dāng)?shù)量積大于0說(shuō)明兩向量的夾角為銳角或共線同向；數(shù)量積等于0說(shuō)明兩向量的夾角為直角；數(shù)量積小于0說(shuō)明兩向量的夾角為鈍角或反向．
2．當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與b的夾角，需求得ab及|a|，|b|或得出它們的關(guān)系．
變式練習(xí)：
已知平面內(nèi)A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上，OA→＝(－2，m)，OB→＝(n,1)，OC→＝(5，－1)，且OA→⊥OB→，求實(shí)數(shù)m，n的值．

三、求平面向量的模
例3、（1）設(shè)單位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，則|x＋2y|＝__________.
（2）已知向量a＝cos3x2，sin3x2，b＝cosx2，－sinx2，且x∈－π3，π4.
(1)求ab及|a＋b|；
(2)若f(x)＝ab－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．

規(guī)律總結(jié)：
利用數(shù)量積求長(zhǎng)度問(wèn)題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問(wèn)題的處理方法：
(1)|a|2＝a2＝aa；
(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2ab＋b2；
(3)若a＝(x，y)，則|a|＝x2＋y2.
變式練習(xí)：
已知a與b是兩個(gè)非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a與a＋b的夾角．

四、平面向量的應(yīng)用
例4、已知向量OA→＝a＝(cosα，sinα)，OB→＝b＝(2cosβ，2sinβ)，OC→＝c＝(0，d)(d＞0)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且0＜α＜π2＜β＜π.
(1)若a⊥(b－a)，求β－α的值；
(2)若OB→OC→|OC→|＝1，OA→OC→|OC→|＝32，求△OAB的面積S.

變式練習(xí)：
△ABC的面積是30，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，cosA＝1213.
(1)求AB→AC→；
(2)若c－b＝1，求a的值．

【課堂小結(jié)】

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】
1．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，則a⊥b的充要條件是()．
A．x＝－12B．x＝－1
C．x＝5D．x＝0
2．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.設(shè)點(diǎn)P，Q滿足AP→＝λAB→，AQ→＝(1－λ)AC→，λ∈R.若BQ→CP→＝－2，則λ＝()．
A．13B．23C．43D．2
3．在長(zhǎng)江南岸渡口處，江水以12.5km/h的速度向東流，渡船的速度為25km/h.渡船要垂直地渡過(guò)長(zhǎng)江，則航向?yàn)開_________．
4．給出以下四個(gè)命題：
①對(duì)任意兩個(gè)向量a，b都有|ab|＝|a||b|；
②若a，b是兩個(gè)不共線的向量，且AB→＝λ1a＋b，AC→＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，則A，B，C共線λ1λ2＝－1；
③若向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，則a＋b與a－b的夾角為90°；
④若向量a，b滿足|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝13，則a，b的夾角為60°.
以上命題中，錯(cuò)誤命題的序號(hào)是__________．

【課時(shí)作業(yè)】
1.已知向量a和b的夾角為120°，|a|＝1，|b|＝3，則|a－b|＝()
A.13B.23C.15D.4
2．已知a，b是非零向量且滿足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，則a與b的夾角是()
A.π6B.π3C.2π3D.5π6
3.已知兩個(gè)非零向量a與b，定義|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ為a與b的夾角．若a＝(－3,4)，b＝(0,2)，則|a×b|的值為()
A.－8B.－6C.8D.6
4.已知向量a＝(2,1)，b＝(1，m)，若a與b的夾角是銳角，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
5.已知向量a，b滿足|2a＋b|＝7，且a⊥b，則|2a－b|＝________.
6.在△ABC中，∠A＝90°，且AB→BC→＝－1，則邊c的長(zhǎng)為________．
7、已知a=(4,2)，（1）求與a垂直的單位向量；
（2）與垂直的單位向量；（3）與平行的單位向量

8、已知點(diǎn)A（1，2），B（3，4），C（5，0），求∠BAC的正弦值。
【延伸探究】
已知平面上三點(diǎn)A，B，C，向量BC→＝(2－k,3)，AC→＝(2,4)．
(1)若三點(diǎn)A，B，C不能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件；
(2)若△ABC為直角三角形，求k的值．