高中函數(shù)的應(yīng)用教案

高一數(shù)學(xué)上冊(cè)第三章函數(shù)的應(yīng)用學(xué)案。

【教學(xué)目標(biāo)】
（1）通過(guò)豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴(lài)關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)函數(shù)概念中的作用；
（2）了解構(gòu)成函數(shù)的要素；
【重點(diǎn)難點(diǎn)】
重點(diǎn)：理解函數(shù)的模型化思想，用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù)；
難點(diǎn)：符號(hào)“y=f(x)”的含義.
【教學(xué)過(guò)程】
一、情景設(shè)置，引入課題
1、復(fù)習(xí)初中所學(xué)函數(shù)的概念，強(qiáng)調(diào)函數(shù)的模型化思想；
2、閱讀課本引例，體會(huì)函數(shù)是描述客觀事物變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型的思想：
（1）炮彈的射高與時(shí)間的變化關(guān)系問(wèn)題；
（2）南極臭氧空洞面積與時(shí)間的變化關(guān)系問(wèn)題
（3）“八五”計(jì)劃以來(lái)我國(guó)城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)與時(shí)間的變化關(guān)系問(wèn)題
備用實(shí)例：
我國(guó)2003年4月份非典疫情統(tǒng)計(jì)：
日期2345678910
新增確診病例數(shù)1061058910311312698152101

二、探索研究
問(wèn)題1：對(duì)實(shí)例（1），你能得出炮彈飛行1s,5s,10s,20s時(shí)距地面多高嗎？其中t的變化范圍是多少？
問(wèn)題2：對(duì)實(shí)例（2），你能從圖中可以看出哪一年臭氧空洞面積最大？哪些年臭氧空洞面積大約為1500萬(wàn)平方千米？其中t的取值范圍是什么？
問(wèn)題3：對(duì)實(shí)例（3），恩格爾系數(shù)與時(shí)間之間的關(guān)系是否和前兩個(gè)中的兩個(gè)變量之間的關(guān)系相似？如何用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)描述這個(gè)關(guān)系？
問(wèn)題4：分析、歸納以上三個(gè)實(shí)例，變量之間的關(guān)系有什么共同點(diǎn)？
共同特點(diǎn)是
三、教學(xué)精講
1．函數(shù)的定義：
定義域:
值域：
值域與函數(shù)定義中集合B的關(guān)系如何？
注意：
①定義中涉及兩個(gè)集合和一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系。
②關(guān)鍵字：集合A中的“任一”；集合B中的“有唯一”，要理解其含義。
③函數(shù)符號(hào)“y=f(x)”中的f(x)表示與x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，是一個(gè)數(shù)，而不是f乘x．
④“y=f(x)”是函數(shù)符號(hào)，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
例如
2．初中學(xué)過(guò)哪些函數(shù)？它們的定義域、值域?qū)?yīng)法則分別是什么？
3．區(qū)間的概念：(本質(zhì)是一個(gè)集合)
①開(kāi)區(qū)間，數(shù)軸表示
②閉區(qū)間，數(shù)軸表示
③半開(kāi)半閉區(qū)間，數(shù)軸表示
④無(wú)窮區(qū)間以及數(shù)軸表示：
注：①“∞”是一個(gè)符號(hào)，不是一個(gè)具體的數(shù)。
②以“+∞”和“-∞”為端點(diǎn)的區(qū)間，這一端必須用圓括號(hào)。
例1．已知函數(shù)f(x)=x2+2,求f(-2),f(-a),f(a+1),f(f(x))
答案:f(-2)=6f(-a)=a2+2f(a+1)=a2+2a+3f(f(x))=x4+4x2+6
例2．課本P17例1
四、課堂練習(xí)
課本P19練習(xí)1、2
五、本節(jié)小結(jié)
1、從具體實(shí)例引入了函數(shù)的的概念，定義域，值域。
2、區(qū)間的概念及其表示。
【教學(xué)后記】

相關(guān)知識(shí)

高一數(shù)學(xué)必修二第三章三角函數(shù)導(dǎo)學(xué)案（湘教版）

一名優(yōu)秀的教師在每次教學(xué)前有自己的事先計(jì)劃，作為高中教師就要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容制定合適的教案。教案可以讓學(xué)生更好的吸收課堂上所講的知識(shí)點(diǎn)，幫助高中教師緩解教學(xué)的壓力，提高教學(xué)質(zhì)量。那么如何寫(xiě)好我們的高中教案呢？下面是小編為大家整理的“高一數(shù)學(xué)必修二第三章三角函數(shù)導(dǎo)學(xué)案（湘教版）”，歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！

3.1任意角的三角函數(shù)和弧度制及任意角的三角函數(shù)（1）
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．掌握角的概念的推廣、正角、負(fù)角、象限角，終邊相同的角的表示，
2．掌握弧度制、弧度與角度的轉(zhuǎn)化關(guān)系，扇形面積及弧長(zhǎng)公式．
二、自主學(xué)習(xí)：
【課前檢測(cè)】
完成《優(yōu)化設(shè)計(jì)》“真題在線”3道試題及例1、例2，“隨堂練習(xí)”

【考點(diǎn)梳理】1．與角終邊相同的角的集合為．
2．與角終邊互為反向延長(zhǎng)線的角的集合為．：
3．軸線角（終邊在坐標(biāo)軸上的角）
終邊在x軸上的角的集合為
終邊在y軸上的角的集合為
終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為．
4．象限角是指：．
5．區(qū)間角是指：．
6．弧度制的意義：圓周上弧長(zhǎng)等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角的大小為1弧度的角，它將任意角的集合與實(shí)數(shù)集合之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．
7．弧度與角度互化：180＝弧度
1＝弧度
1弧度＝．
8．弧長(zhǎng)公式：l＝；
扇形面積公式：S＝.
9．特殊角的角度與弧度對(duì)應(yīng)關(guān)系：
角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

弧度
三、合作探究：
例1．若是第二象限的角，試分別確定，，的終邊所在位置.
解：∵是第二象限的角，
∴k360°+90°＜＜k360°+180°（k∈Z）.
（1）∵2k360°+180°＜2＜2k360°+360°（k∈Z），
∴2是第三或第四象限的角，或角的終邊在y軸的非正半軸上.
（2）∵k180°+45°＜＜k180°+90°（k∈Z），
當(dāng)k=2n（n∈Z）時(shí)，
n360°+45°＜＜n360°+90°；
當(dāng)k=2n+1（n∈Z）時(shí)，
n360°+225°＜＜n360°+270°.
∴是第一或第三象限的角.
例2．扇形的中心角為，半徑為，在扇形中作內(nèi)切圓及與圓外切，與相切的圓，問(wèn)為何值時(shí)，圓的面積最大？最大值是多少？
解：設(shè)圓及與圓的半徑分別為，
則，得，
∴，
∵，∴，令，
，當(dāng)，即時(shí)，
圓的半徑最大，圓的面積最大，最大面積為．
四、課堂總結(jié)：1.知識(shí)：
2.思想與方法：

3.易錯(cuò)點(diǎn)：

五、檢測(cè)鞏固：
1．設(shè)，如果且，則的取值范圍是（）
2．已知的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則的取值范圍是．
3．若，則（）

4.（1）已知圓C：被直線所截的劣弧的長(zhǎng)為，求圓的半徑及圓被直線所截得的弦長(zhǎng)。
（2）已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的面積為，圓錐的底面半徑為1，求圓錐的體積。
答案：（1）2；2（2）
六、學(xué)習(xí)反思：

第三章基本初等函數(shù)學(xué)案

俗話說(shuō)，磨刀不誤砍柴工。作為高中教師準(zhǔn)備好教案是必不可少的一步。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動(dòng)起來(lái)，幫助高中教師能夠更輕松的上課教學(xué)。怎么才能讓高中教案寫(xiě)的更加全面呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“第三章基本初等函數(shù)學(xué)案”，歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！

第三章基本初等函數(shù)（Ⅰ）

3、1、1實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算
第一部分走進(jìn)復(fù)習(xí)
【預(yù)習(xí)】閱讀教材第85～90頁(yè)，試回答下列問(wèn)題
1、的次方根的定義2、根式的定義
3、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義4、無(wú)理指數(shù)冪的意義

第二部分走進(jìn)課堂
【復(fù)習(xí)】
1、初中指數(shù)冪的定義2、初中指數(shù)冪的運(yùn)算律
問(wèn)題：當(dāng)指數(shù)是有理數(shù)和實(shí)數(shù)時(shí)，初中那些指數(shù)運(yùn)算律還成立嗎？
【探索新知】
1、的次方根的定義
在初中，，
，
于是：
于是我們得到的次方根的定義：

①當(dāng)是正奇數(shù)時(shí)，的次方根記作，例如：，
②當(dāng)是正偶數(shù)時(shí)，是非負(fù)數(shù)，的次方根記作
例如：，
其中，是的非負(fù)次方根。
特別地，（1），（2）負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根。
再如：16的四次方根為：，，

2、根式的定義
式子叫做根式，例如：，，，，，等都是根式。
①當(dāng)是正奇數(shù)時(shí)，是的次方根
例如：是的三次方根，是7的五次方根。
②當(dāng)是正偶數(shù)時(shí)，是非負(fù)數(shù)，是的次非負(fù)方根，
一個(gè)正數(shù)正的方根叫做正數(shù)次算術(shù)根。
例如：是16的四次算數(shù)根，是5的二次算數(shù)根（算術(shù)平方根）
是7的三次算數(shù)根
顯然有公式：（）
當(dāng)是正偶數(shù)時(shí)，
當(dāng)是正偶數(shù)時(shí)，
例如：，
問(wèn)題：?jiǎn)幔?br> 例子：計(jì)算，，，
于是可以得到結(jié)論：

再計(jì)算：，，，
練習(xí)：當(dāng)時(shí)，求下列各式的值
（1）（2）（3）

3、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義
上面的練習(xí)說(shuō)明：
①當(dāng)根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí)，根式可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式。
②推廣一下，當(dāng)根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時(shí)，根式也可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式。
例如：當(dāng)時(shí)，，，
即
又由于，所以，可以推廣為
，無(wú)意義。

4、無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義
例如：可以看做是：、、…的逼近值。
指出：有了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義后，整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算律便可以推廣為實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算律。
，，，
，，，
其中：，

2020高一數(shù)學(xué)必修1第三章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

老師工作中的一部分是寫(xiě)教案課件，大家在仔細(xì)設(shè)想教案課件了。寫(xiě)好教案課件工作計(jì)劃，我們的工作會(huì)變得更加順利！你們知道適合教案課件的范文有哪些呢？下面是由小編為大家整理的“2020高一數(shù)學(xué)必修1第三章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)”，歡迎大家與身邊的朋友分享吧！

2020高一數(shù)學(xué)必修1第三章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第三章函數(shù)的應(yīng)用
一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)
1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。
2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。
即：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．
3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：
1（代數(shù)法）求方程的實(shí)數(shù)根；
2（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．
4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：
二次函數(shù)．
（1）△＞０，方程有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．
（2）△＝０，方程有兩相等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)．
（3）△＜０，方程無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)．
5.函數(shù)的模型
檢驗(yàn)
收集數(shù)據(jù)
畫(huà)散點(diǎn)圖
選擇函數(shù)模型
求函數(shù)模型
用函數(shù)模型解釋實(shí)際問(wèn)題
符合實(shí)際

第三章函數(shù)(高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽標(biāo)準(zhǔn)教材)

第三章函數(shù)

一、基礎(chǔ)知識(shí)
定義1映射，對(duì)于任意兩個(gè)集合A，B，依對(duì)應(yīng)法則f，若對(duì)A中的任意一個(gè)元素x，在B中都有唯一一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)f:A→B為一個(gè)映射。
定義2單射，若f:A→B是一個(gè)映射且對(duì)任意x,y∈A,xy,都有f(x)f(y)則稱(chēng)之為單射。
定義3滿射，若f:A→B是映射且對(duì)任意y∈B，都有一個(gè)x∈A使得f(x)=y，則稱(chēng)f:A→B是A到B上的滿射。
定義4一一映射，若f:A→B既是單射又是滿射，則叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即從B到A由相反的對(duì)應(yīng)法則f-1構(gòu)成的映射，記作f-1:A→B。
定義5函數(shù)，映射f:A→B中，若A，B都是非空數(shù)集，則這個(gè)映射為函數(shù)。A稱(chēng)為它的定義域，若x∈A,y∈B，且f(x)=y（即x對(duì)應(yīng)B中的y），則y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函數(shù)的值域。通常函數(shù)由解析式給出，此時(shí)函數(shù)定義域就是使解析式有意義的未知數(shù)的取值范圍，如函數(shù)y=3-1的定義域?yàn)閧x|x≥0,x∈R}.
定義6反函數(shù)，若函數(shù)f:A→B（通常記作y=f(x)）是一一映射，則它的逆映射f-1:A→B叫原函數(shù)的反函數(shù)，通常寫(xiě)作y=f-1(x).這里求反函數(shù)的過(guò)程是：在解析式y(tǒng)=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后將x,y互換得y=f-1(x)，最后指出反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域。例如：函數(shù)y=的反函數(shù)是y=1-(x0).
定理1互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)。
定理2在定義域上為增（減）函數(shù)的函數(shù)，其反函數(shù)必為增（減）函數(shù)。
定義7函數(shù)的性質(zhì)。
（1）單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上滿足對(duì)任意的x1,x2∈I并且x1x2，總有f(x1)f(x2)(f(x)f(x2))，則稱(chēng)f(x)在區(qū)間I上是增（減）函數(shù)，區(qū)間I稱(chēng)為單調(diào)增（減）區(qū)間。
（2）奇偶性：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，且D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的數(shù)集，若對(duì)于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，則稱(chēng)f(x)是奇函數(shù)；若對(duì)任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，則稱(chēng)f(x)是偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。
（3）周期性：對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個(gè)數(shù)時(shí)，f(x+T)=f(x)總成立，則稱(chēng)f(x)為周期函數(shù)，T稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的周期，如果周期中存在最小的正數(shù)T0，則這個(gè)正數(shù)叫做函數(shù)f(x)的最小正周期。
定義8如果實(shí)數(shù)ab，則數(shù)集{x|axb,x∈R}叫做開(kāi)區(qū)間，記作（a,b），集合{x|a≤x≤b,x∈R}記作閉區(qū)間[a,b]，集合{x|ax≤b}記作半開(kāi)半閉區(qū)間（a,b]，集合{x|a≤xb}記作半閉半開(kāi)區(qū)間[a,b)，集合{x|xa}記作開(kāi)區(qū)間（a,+∞），集合{x|x≤a}記作半開(kāi)半閉區(qū)間（-∞,a].
定義9函數(shù)的圖象，點(diǎn)集{(x,y)|y=f(x),x∈D}稱(chēng)為函數(shù)y=f(x)的圖象，其中D為f(x)的定義域。通過(guò)畫(huà)圖不難得出函數(shù)y=f(x)的圖象與其他函數(shù)圖象之間的關(guān)系(a,b0)；（1）向右平移a個(gè)單位得到y(tǒng)=f(x-a)的圖象；（2）向左平移a個(gè)單位得到y(tǒng)=f(x+a)的圖象；（3）向下平移b個(gè)單位得到y(tǒng)=f(x)-b的圖象；（4）與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；（5）與函數(shù)y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)；（6）與函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)；（7）與函數(shù)y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)。
定理3復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性，記住四個(gè)字：“同增異減”。例如y=,u=2-x在（-∞,2）上是減函數(shù)，y=在（0，+∞）上是減函數(shù)，所以y=在（-∞,2）上是增函數(shù)。
注：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法為同增異減。這里不做嚴(yán)格論證，求導(dǎo)之后是顯然的。
二、方法與例題
1．?dāng)?shù)形結(jié)合法。
例1求方程|x-1|=的正根的個(gè)數(shù).
【解】分別畫(huà)出y=|x-1|和y=的圖象，由圖象可知兩者有唯一交點(diǎn)，所以方程有一個(gè)正根。

例2求函數(shù)f(x)=的最大值。
【解】f(x)=，記點(diǎn)P(x,x2)，A（3，2），B（0，1），則f(x)表示動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A和B距離的差。
因?yàn)閨PA|-|PA|≤|AB|=,當(dāng)且僅當(dāng)P為AB延長(zhǎng)線與拋物線y=x2的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立。
所以f(x)max=
2.函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。
例3設(shè)x,y∈R，且滿足，求x+y.
【解】設(shè)f(t)=t3+1997t，先證f(t)在（-∞，+∞）上遞增。事實(shí)上，若ab，則f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)0，所以f(t)遞增。
由題設(shè)f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.
例4奇函數(shù)f(x)在定義域（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)，又f(1-a)+f(1-a2)0，求a的取值范圍。
【解】因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由題設(shè)f(1-a)f(a2-1)。
又f(x)在定義域（-1，1）上遞減，所以-11-aa2-11，解得0a1。
例5設(shè)f(x)是定義在（-∞，+∞）上以2為周期的函數(shù)，對(duì)k∈Z,用Ik表示區(qū)間(2k-1,2k+1]，已知當(dāng)x∈I0時(shí)，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式。
【解】設(shè)x∈Ik，則2k-1x≤2k+1，
所以f(x-2k)=(x-2k)2.
又因?yàn)閒(x)是以2為周期的函數(shù)，
所以當(dāng)x∈Ik時(shí)，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.
例6解方程：(3x-1)()+(2x-3)(+1)=0.
【解】令m=3x-1,n=2x-3，方程化為
m(+1)+n(+1)=0.①
若m=0，則由①得n=0，但m,n不同時(shí)為0，所以m0,n0.
ⅰ)若m0，則由①得n0，設(shè)f(t)=t(+1),則f(t)在（0，+∞）上是增函數(shù)。又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=
ⅱ)若m0，且n0。同理有m+n=0,x=,但與m0矛盾。
綜上，方程有唯一實(shí)數(shù)解x=
3.配方法。
例7求函數(shù)y=x+的值域。
【解】y=x+=[2x+1+2+1]-1
=(+1)-1≥-1=-.
當(dāng)x=-時(shí)，y取最小值-，所以函數(shù)值域是[-，+∞）。
4．換元法。
例8求函數(shù)y=(++2)(+1),x∈[0,1]的值域。
【解】令+=u，因?yàn)閤∈[0,1]，所以2≤u2=2+2≤4,所以≤u≤2,所以≤≤2，1≤≤2，所以y=,u2∈[+2，8]。
所以該函數(shù)值域?yàn)閇2+，8]。
5．判別式法。
例9求函數(shù)y=的值域。
【解】由函數(shù)解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0.①
當(dāng)y1時(shí)，①式是關(guān)于x的方程有實(shí)根。
所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0，解得≤y≤1.
又當(dāng)y=1時(shí)，存在x=0使解析式成立，
所以函數(shù)值域?yàn)閇，7]。
6．關(guān)于反函數(shù)。
例10若函數(shù)y=f(x)定義域、值域均為R，且存在反函數(shù)。若f(x)在(-∞,+∞)上遞增，求證：y=f-1(x)在(-∞,+∞)上也是增函數(shù)。
【證明】設(shè)x1x2,且y1=f-1(x1),y2=f-1(x2)，則x1=f(y1),x2=f(y2)，若y1≥y2，則因?yàn)閒(x)在(-∞,+∞)上遞增，所以x1≥x2與假設(shè)矛盾，所以y1y2。
即y=f-1(x)在(-∞,+∞)遞增。
例11設(shè)函數(shù)f(x)=，解方程：f(x)=f-1(x).
【解】首先f(wàn)(x)定義域?yàn)椋?∞，-）∪[-，+∞）；其次，設(shè)x1,x2是定義域內(nèi)變量，且x1x2-;=0,
所以f(x)在（-∞，-）上遞增，同理f(x)在[-，+∞）上遞增。
在方程f(x)=f-1(x)中，記f(x)=f-1(x)=y，則y≥0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x≥0,所以x,y∈[-，+∞）.
若xy，設(shè)xy，則f(x)=yf(y)=x，矛盾。
同理若xy也可得出矛盾。所以x=y.
即f(x)=x，化簡(jiǎn)得3x5+2x4-4x-1=0,
即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,
因?yàn)閤≥0，所以3x4+5x3+5x2+5x+10，所以x=1.
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．已知X={-1,0,1},Y={-2,-1,0,1,2}，映射f：X→Y滿足：對(duì)任意的x∈X，它在Y中的象f(x)使得x+f(x)為偶數(shù)，這樣的映射有_______個(gè)。
2．給定A={1，2，3}，B={-1，0，1}和映射f：X→Y，若f為單射，則f有_______個(gè)；若f為滿射，則f有_______個(gè)；滿足f[f(x)]=f(x)的映射有_______個(gè)。
3．若直線y=k(x-2)與函數(shù)y=x2+2x圖象相交于點(diǎn)（-1，-1），則圖象與直線一共有_______個(gè)交點(diǎn)。
4．函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)閇]，則函數(shù)g(x)=f(x)+的值域?yàn)開(kāi)______。
5．已知f(x)=，則函數(shù)g(x)=f[f(x)]的值域?yàn)開(kāi)______。
6．已知f(x)=|x+a|，當(dāng)x≥3時(shí)f(x)為增函數(shù)，則a的取值范圍是_______。
7．設(shè)y=f(x)在定義域（，2）內(nèi)是增函數(shù)，則y=f(x2-1)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)______。
8．若函數(shù)y=(x)存在反函數(shù)y=-1(x)，則y=-1(x)的圖象與y=-(-x)的圖象關(guān)于直線_______對(duì)稱(chēng)。
9．函數(shù)f(x)滿足=1-，則f()=_______。
10.函數(shù)y=,x∈(1,+∞)的反函數(shù)是_______。
11．求下列函數(shù)的值域：（1）y=;(2)y=;(3)y=x+2;(4)y=
12.已知定義在R上，對(duì)任意x∈R,f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函數(shù)，又當(dāng)x∈[2,3]時(shí)，f(x)=x，則當(dāng)x∈[-2,0]時(shí)，求f(x)的解析式。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．已知a∈,f(x)定義域是（0,1]，則g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定義域?yàn)開(kāi)______。
2．設(shè)0≤a1時(shí)，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒為正值。則f(x)定義域?yàn)開(kāi)______。
3．映射f:{a,b,c,d}→{1，2，3}滿足10f(a)f(b)f(c)f(d)20，這樣的映射f有_______個(gè)。
4．設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈R)的值域?yàn)镽，且為增函數(shù)，若方程f(x)=x解集為P，f[f(x)]=x解集為Q，則P，Q的關(guān)系為：P_______Q（填=、、）。
5．下列函數(shù)是否為奇函數(shù)：（1）f(x)=(x-1)；（2）g(x)=|2x+1|-|2x-1|;(3)(x)=；（4）y=
6.設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈R且x0)，對(duì)任意非零實(shí)數(shù)x1,x2滿足f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，又f(x)在（0，+∞）是增函數(shù)，則不等式f(x)+f(x-)≤0的解集為_(kāi)______。
7．函數(shù)f(x)=，其中P，M為R的兩個(gè)非空子集，又規(guī)定f(P)={y|y=f(x),x∈P},f(M)={y|y=f(x),x∈M}，給出如下判斷：①若P∩M=，則f(P)∩f(M)=；②若P∩M，則f(P)∩f(M)；③若P∪M=R,則f(P)∪f(wàn)(M)=R；④若P∪MR，則f(P)∪f(wàn)(M)R.其中正確的判斷是_______。
8．函數(shù)y=f(x+1)的反函數(shù)是y=f-1(x+1)，并且f(1)=3997，則f(1998)=_______。
9．已知y=f(x)是定義域?yàn)閇-6，6]的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，3]時(shí)是一次函數(shù)，當(dāng)x∈[3，6]時(shí)是二次函數(shù)，又f(6)=2，當(dāng)x∈[3，6]時(shí)，f(x)≤f(5)=3。求f(x)的解析式。
10．設(shè)a0，函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽，且f(x+a)=，求證：f(x)為周期函數(shù)。
11．設(shè)關(guān)于x的方程2x2-tx-2=0的兩根為α，β（αβ），已知函數(shù)f(x)=,（1）求f(α)、f(β)；（2）求證：f(x)在[α，β]上是增函數(shù)；（3）對(duì)任意正數(shù)x1,x2，求證：2|α-β|.

五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．奇函數(shù)f(x)存在函數(shù)f-1(x)，若把y=f(x)的圖象向上平移3個(gè)單位，然后向右平移2個(gè)單位后，再關(guān)于直線y=-x對(duì)稱(chēng)，得到的曲線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是________.
2．若a0，a1,F(x)是奇函數(shù)，則G(x)=F(x)是________（奇偶性）.
3．若=x，則下列等式中正確的有________.①F(-2-x)=-2-F(x)；②F(-x)=；③F(x-1)=F(x)；④F(F(x))=-x.
4.設(shè)函數(shù)f：R→R滿足f(0)=1，且對(duì)任意x,y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，則f(x)=________.
5．已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)=1，且對(duì)任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，則g(2002)=________.
6.函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間是________.
7.函數(shù)f(x)=的奇偶性是：________奇函數(shù)，________偶函數(shù)（填是，非）。
8.函數(shù)y=x+的值域?yàn)開(kāi)_______.
9．設(shè)f(x)=,
對(duì)任意的a∈R，記V(a)=max{f(x)-ax|x∈[1,3]}-min{f(x)-ax|x∈[1,3]}，試求V(a)的最小值。
10．解方程組：（在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)）
11．設(shè)k∈N+,f:N+→N+滿足：（1）f(x)嚴(yán)格遞增；（2）對(duì)任意n∈N+,有f[f(n)]=kn，求證：對(duì)任意n∈N+,都有n≤f(n)≤
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．求證：恰有一個(gè)定義在所有非零實(shí)數(shù)上的函數(shù)f，滿足：（1）對(duì)任意x≠0,f(x)=xf；（2）對(duì)所有的x≠-y且xy≠0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y).
2.設(shè)f(x)對(duì)一切x0有定義，且滿足：（?。ゝ(x)在（0，+∞）是增函數(shù)；(ⅱ)任意x0,f(x)f=1，試求f(1).
3.f:[0,1]→R滿足：（1）任意x∈[0,1],f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）當(dāng)x,y,x+y∈[0,1]時(shí)，f(x)+f(y)≤f(x+y)，試求最小常數(shù)c，對(duì)滿足（1），（2），（3）的函數(shù)f(x)都有f(x)≤cx.
4.試求f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x0,y0)的最小值。
5．對(duì)給定的正數(shù)p,q∈(0,1)，有p+q1≥p2+q2，試求f(x)=(1-x)+在[1-q,p]上的最大值。
6．已知f:(0,1)→R且f(x)=.
當(dāng)x∈時(shí)，試求f(x)的最大值。
7．函數(shù)f(x)定義在整數(shù)集上，且滿足f(n)=，求f(100)的值。
8．函數(shù)y=f(x)定義在整個(gè)實(shí)軸上，它的圖象在圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角后不變。（1）求證：方程f(x)=x恰有一個(gè)解；（2）試給出一個(gè)具有上述性質(zhì)的函數(shù)。
9．設(shè)Q+是正有理數(shù)的集合，試構(gòu)造一個(gè)函數(shù)f:Q+→Q+，滿足這樣的條件：f(xf(y))=x,y∈Q+.