小學(xué)數(shù)學(xué)一年教案
發(fā)表時(shí)間：2020-09-22高一數(shù)學(xué)等比數(shù)列018。
2.4等比數(shù)列（一）
教學(xué)目標(biāo)
（一）知識(shí)與技能目標(biāo)
1.等比數(shù)列的定義；
2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（二）過(guò)程與能力目標(biāo)
1.明確等比數(shù)列的定義；
2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，會(huì)解決知道，，，n中的三個(gè)，求另一個(gè)的問(wèn)題．
教學(xué)重點(diǎn)
1.等比數(shù)列概念的理解與掌握；
2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用．
教學(xué)難點(diǎn)
等差數(shù)列＂等比＂的理解、把握和應(yīng)用．
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)引入：
下面我們來(lái)看這樣幾個(gè)數(shù)列，看其又有何共同特點(diǎn)?（教材上的P48面）
1，2，4，8，16，…，263;①1，，，，…；②
1，，…；③④
對(duì)于數(shù)列①，=;=2（n≥2）．對(duì)于數(shù)列②，=；（n≥2）．
對(duì)于數(shù)列③，=;=20（n≥2）．
共同特點(diǎn)：從第二項(xiàng)起，第一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)．
二、新課
1．等比數(shù)列的定義：一般地，若一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù),這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫等比數(shù)列的公比，用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）.
思考：（1）等比數(shù)列中有為0的項(xiàng)嗎？（2）公比為1的數(shù)列是什么數(shù)列？
（3）既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列存在嗎？（4）常數(shù)列都是等比數(shù)列嗎？
(1)“從第二項(xiàng)起”與“前一項(xiàng)”之比為常數(shù)q；｛｝成等比數(shù)列=q（，q≠0．）
(2)隱含：任一項(xiàng)
(3)q=1時(shí)，{an}為常數(shù)數(shù)列．（4）．既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列．
2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式1:
觀察法：由等比數(shù)列的定義，有：；
；；…………………
．
迭乘法：由等比數(shù)列的定義，有：；；；…；
所以，即
3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2:
三、例題講解
例1．一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18，求它的第1項(xiàng)與第2項(xiàng).
解：
例2．求下列各等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：
解：(1)
(2)
例3．教材P50面的例1。
例4．已知數(shù)列{an}滿足，
（1）求證數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；（2）求的表達(dá)式。
練習(xí)：教材第52頁(yè)第1、2題．
三、課堂小結(jié)：
1.等比數(shù)列的定義；
2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及變形式．
四、課外作業(yè)
1.閱讀教材第48～50頁(yè)；
2.《習(xí)案》作業(yè)十五．
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2.4等比數(shù)列（二）教學(xué)目標(biāo)
（一）知識(shí)與技能目標(biāo)
1．等比中項(xiàng)的概念；
2．掌握＂判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列＂常用的方法；
3．進(jìn)一步熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)及應(yīng)用．
（二）過(guò)程與能力目標(biāo)
1．明確等比中項(xiàng)的概念；
2．進(jìn)一步熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)及應(yīng)用．
教學(xué)重點(diǎn)
等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)及應(yīng)用．
教學(xué)難點(diǎn)
靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問(wèn)題．
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)
1．等比數(shù)列的定義．
2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:
，，
3．｛an｝成等比數(shù)列
4．求下面等比數(shù)列的第4項(xiàng)與第5項(xiàng)：
（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3），…….
二、講解新課：
思考：類比等差中項(xiàng)的概念，你能說(shuō)出什么是等比中項(xiàng)嗎？
1．等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，那么稱這個(gè)數(shù)G為a與b的等比中項(xiàng).即G=±（a,b同號(hào)），則，
反之，若G=ab,則，即a,G,b成等比數(shù)列∴a,G,b成等比數(shù)列G=ab（ab≠0）
例1．三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,它的和為14,它們的積為64,求這三個(gè)數(shù).
解:設(shè)m,G,n為所求的三個(gè)數(shù),
有已知得m+n+G=14,,
這三個(gè)數(shù)為8,4,2或2,4,8.
解法二:設(shè)所求三個(gè)數(shù)分別為則
又解得
這三個(gè)數(shù)為8,4,2或2,4,8.
2．等比數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+k，則
在等比數(shù)列中，m+n=p+q，有什么關(guān)系呢？
由定義得：
，
則
例2.已知{}是等比數(shù)列，且,求．
解：∵{}是等比數(shù)列，∴＋2＋＝(＋)＝25,
又0,∴＋＝5;
3．判斷等比數(shù)列的常用方法：定義法，中項(xiàng)法，通項(xiàng)公式法
例3．已知是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，求證是等比數(shù)列.
證明：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)是，公比為;的首項(xiàng)為，公比為，那么數(shù)列的第n項(xiàng)與第n+1項(xiàng)分別
它是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以是一個(gè)以q1q2為公比的等比數(shù)列.
思考；（1）｛an｝是等比數(shù)列，C是不為0的常數(shù)，數(shù)列是等比數(shù)列嗎？
（2）已知是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，是等比數(shù)列嗎？
4．等比數(shù)列的增減性：當(dāng)q1,a10或0q1,a10時(shí),{an}是遞增數(shù)列;
當(dāng)q1,a10,或0q1,a10時(shí),{an}是遞減數(shù)列;
當(dāng)q=1時(shí),{an}是常數(shù)列;當(dāng)q0時(shí),{an}是擺動(dòng)數(shù)列．
思考：通項(xiàng)為的數(shù)列的圖象與函數(shù)的圖象有什么關(guān)系？
三、例題講解
例4．已知無(wú)窮數(shù)列，
求證：（1）這個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列；
（2）這個(gè)數(shù)列中的任一項(xiàng)是它后面第五項(xiàng)的；
（3）這個(gè)數(shù)列的任意兩項(xiàng)的積仍在這個(gè)數(shù)列中．
證：（1）（常數(shù)）∴該數(shù)列成等比數(shù)列．
（2），即：．
（3），∵，∴．
∴且，
∴，（第項(xiàng)）．
四、練習(xí)：教材第53頁(yè)第3、4題．
五、課堂小結(jié)：
1.等比中項(xiàng)的定義；
2.等比數(shù)列的性質(zhì)；
3．判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列的方法．
六、課外作業(yè)
1.閱讀教材第52～52頁(yè)；
2.《習(xí)案》作業(yè)十六．
高一數(shù)學(xué)教案：《等比數(shù)列》教學(xué)設(shè)計(jì)
高一數(shù)學(xué)教案：《等比數(shù)列》教學(xué)設(shè)計(jì)
教學(xué)目標(biāo)
1.理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.
（1）正確理解等比數(shù)列的定義，了解公比的概念，明確一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，了解等比中項(xiàng)的概念；
（2）正確認(rèn)識(shí)使用等比數(shù)列的表示法，能靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式求等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比、項(xiàng)數(shù)及指定的項(xiàng)；
（3）通過(guò)通項(xiàng)公式認(rèn)識(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)，能解決某些實(shí)際問(wèn)題.
2.通過(guò)對(duì)等比數(shù)列的研究，逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、歸納、猜想等思維品質(zhì).
3.通過(guò)對(duì)等比數(shù)列概念的歸納，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的思維習(xí)慣，以及實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.
教學(xué)建議
教材分析
（1）知識(shí)結(jié)構(gòu)
等比數(shù)列是另一個(gè)簡(jiǎn)單常見的數(shù)列，研究?jī)?nèi)容可與等差數(shù)列類比，首先歸納出等比數(shù)列的定義，導(dǎo)出通項(xiàng)公式，進(jìn)而研究圖像，又給出等比中項(xiàng)的概念，最后是通項(xiàng)公式的應(yīng)用.
（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
教學(xué)重點(diǎn)是等比數(shù)列的定義和對(duì)通項(xiàng)公式的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用，教學(xué)難點(diǎn)在于等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)和運(yùn)用.
①與等差數(shù)列一樣，等比數(shù)列也是特殊的數(shù)列，二者有許多相同的性質(zhì)，但也有明顯的區(qū)別，可根據(jù)定義與通項(xiàng)公式得出等比數(shù)列的特性，這些是教學(xué)的重點(diǎn).
②雖然在等差數(shù)列的學(xué)習(xí)中曾接觸過(guò)不完全歸納法，但對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)仍然不熟悉；在推導(dǎo)過(guò)程中，需要學(xué)生有一定的觀察分析猜想能力；第一項(xiàng)是否成立又須補(bǔ)充說(shuō)明，所以通項(xiàng)公式的推導(dǎo)是難點(diǎn).
③對(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合研究離不開通項(xiàng)公式，因而通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用既是重點(diǎn)又是難點(diǎn).
教學(xué)建議
（1）建議本節(jié)課分兩課時(shí)，一節(jié)課為等比數(shù)列的概念，一節(jié)課為等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用.
（2）等比數(shù)列概念的引入，可給出幾個(gè)具體的例子，由學(xué)生概括這些數(shù)列的相同特征，從而得到等比數(shù)列的定義.也可將幾個(gè)等差數(shù)列和幾個(gè)等比數(shù)列混在一起給出，由學(xué)生將這些數(shù)列進(jìn)行分類，有一種是按等差、等比來(lái)分的，由此對(duì)比地概括等比數(shù)列的定義.
（3）根據(jù)定義讓學(xué)生分析等比數(shù)列的公比不為0，以及每一項(xiàng)均不為0的特性，加深對(duì)概念的理解.
（4）對(duì)比等差數(shù)列的表示法，由學(xué)生歸納等比數(shù)列的各種表示法. 啟發(fā)學(xué)生用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)通項(xiàng)公式，由通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征畫數(shù)列的圖象.
（5）由于有了等差數(shù)列的研究經(jīng)驗(yàn)，等比數(shù)列的研究完全可以放手讓學(xué)生自己解決，教師只需把握課堂的節(jié)奏，作為一節(jié)課的組織者出現(xiàn).
（6）可讓學(xué)生相互出題，解題，講題，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用.
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
課題：等比數(shù)列的概念
教學(xué)目標(biāo)
1.通過(guò)教學(xué)使學(xué)生理解等比數(shù)列的概念，推導(dǎo)并掌握通項(xiàng)公式.
2.使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)類比、歸納的思想，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、概括能力.
3.培養(yǎng)學(xué)生勤于思考，實(shí)事求是的精神，及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.
教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)
重點(diǎn)、難點(diǎn)是等比數(shù)列的定義的歸納及通項(xiàng)公式的推導(dǎo).
教學(xué)用具
投影儀，多媒體軟件，電腦.
教學(xué)方法
討論、談話法.
教學(xué)過(guò)程
一、提出問(wèn)題
給出以下幾組數(shù)列，將它們分類，說(shuō)出分類標(biāo)準(zhǔn).（幻燈片）
①－2，1，4，7，10，13，16，19，…
②8，16，32，64，128，256，…
③1，1，1，1，1，1，1，…
高一數(shù)學(xué)等比數(shù)列前n項(xiàng)和021
一位優(yōu)秀的教師不打無(wú)準(zhǔn)備之仗，會(huì)提前做好準(zhǔn)備，作為高中教師就要早早地準(zhǔn)備好適合的教案課件。教案可以讓上課時(shí)的教學(xué)氛圍非常活躍，有效的提高課堂的教學(xué)效率。高中教案的內(nèi)容具體要怎樣寫呢？下面是小編精心收集整理，為您帶來(lái)的《高一數(shù)學(xué)等比數(shù)列前n項(xiàng)和021》，供您參考，希望能夠幫助到大家。
2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（一）
教學(xué)目標(biāo)
（一）知識(shí)與技能目標(biāo)
等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式．
（二）過(guò)程與能力目標(biāo)
1．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其獲取思路；
2．會(huì)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些簡(jiǎn)單的與前n項(xiàng)和有關(guān)的問(wèn)題．
（三）情感與態(tài)度目標(biāo)
1．提高學(xué)生的推理能力；
2．培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)．
教學(xué)重點(diǎn)
等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的理解、推導(dǎo)及應(yīng)用．
教學(xué)難點(diǎn)
靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單的有關(guān)問(wèn)題．
教學(xué)過(guò)程
一、復(fù)習(xí)引入：
1．等比數(shù)列的定義．
2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:，
3．｛｝成等比數(shù)列=q（,q≠0）≠0
4．性質(zhì)：若m+n=p+q，
二、講解新課：
（一）提出問(wèn)題：關(guān)于國(guó)際相棋起源問(wèn)題
例如：怎樣求數(shù)列1，2，4，…262，263的各項(xiàng)和？
即求以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列的前64項(xiàng)的和，可表示為：
①2②
由②—①可得：
這種求和方法稱為“錯(cuò)位相減法”，“錯(cuò)位相減法”是研究數(shù)列求和的一個(gè)重要方法．
（二）怎樣求等比數(shù)列前n項(xiàng)的和？
公式的推導(dǎo)方法一：
一般地，設(shè)等比數(shù)列它的前n項(xiàng)和是
由得
∴當(dāng)時(shí)，①或②
當(dāng)q=1時(shí)，
公式的推導(dǎo)方法二：
由定義，由等比的性質(zhì)，
即（結(jié)論同上）
圍繞基本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運(yùn)用等比定理，導(dǎo)出了公式．
公式的推導(dǎo)方法三：
＝＝＝
（結(jié)論同上）
“方程”在代數(shù)課程里占有重要的地位，方程思想是應(yīng)用十分廣泛的一種數(shù)學(xué)思想，利用方程思想，在已知量和未知量之間搭起橋梁，使問(wèn)題得到解決．
（三）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
當(dāng)時(shí)，①或②當(dāng)q=1時(shí)，
思考：什么時(shí)候用公式（1）、什么時(shí)候用公式（2）？
（當(dāng)已知a1,q,n時(shí)用公式①；當(dāng)已知a1,q,an時(shí)，用公式②.）
三、例題講解
例1：求下列等比數(shù)列前8項(xiàng)的和．
（1），，，…（2）
解：由a1=，得
例2：某商場(chǎng)第一年銷售計(jì)算機(jī)5000臺(tái)，如果平均每年的售價(jià)比上一年增加10％，那么從第一年起，約幾年內(nèi)可使總銷售量達(dá)到30000臺(tái)（保留到個(gè)位）？
解：根據(jù)題意，每年銷售量比上一年增加的百分率相同，所以從第一年起，每年的銷售量組成一個(gè)等比數(shù)列{an},其中
a1=5000,于是得到
整理得兩邊取對(duì)數(shù),得用計(jì)算器算得(年).
答:約5年內(nèi)可以使總銷售量達(dá)到30000臺(tái).
例3．求數(shù)列前n項(xiàng)的和。
例4：求求數(shù)列的前n項(xiàng)的和。
練習(xí)：教材第58面練習(xí)第1題．
三、課堂小結(jié)：
1.等比數(shù)列求和公式：當(dāng)q=1時(shí)，
當(dāng)時(shí)，或；
2．這節(jié)課我們從已有的知識(shí)出發(fā)，用多種方法（迭加法、運(yùn)用等比性質(zhì)、錯(cuò)位相減法、方程法）推導(dǎo)出了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，并在應(yīng)用中加深了對(duì)公式的認(rèn)識(shí)．
四、課外作業(yè)：
1.閱讀教材第55～57頁(yè)；
2.《習(xí)案》作業(yè)十七．
等比數(shù)列
等比數(shù)列教學(xué)目標(biāo)
1.理解等比數(shù)列的概念,把握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,并能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.
(1)正確理解等比數(shù)列的定義,了解公比的概念,明確一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的限定條件,能根據(jù)定義判定一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列,了解等比中項(xiàng)的概念;
(2)正確熟悉使用等比數(shù)列的表示法,能靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式求等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比、項(xiàng)數(shù)及指定的項(xiàng);
(3)通過(guò)通項(xiàng)公式熟悉等比數(shù)列的性質(zhì),能解決某些實(shí)際問(wèn)題.
2.通過(guò)對(duì)等比數(shù)列的研究,逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、歸納、猜想等思維品質(zhì).
3.通過(guò)對(duì)等比數(shù)列概念的歸納,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的思維習(xí)慣,以及實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.
教學(xué)建議
教材分析
(1)知識(shí)結(jié)構(gòu)
等比數(shù)列是另一個(gè)簡(jiǎn)單常見的數(shù)列,研究?jī)?nèi)容可與等差數(shù)列類比,首先歸納出等比數(shù)列的定義,導(dǎo)出通項(xiàng)公式,進(jìn)而研究圖像,又給出等比中項(xiàng)的概念,最后是通項(xiàng)公式的應(yīng)用.
(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
教學(xué)重點(diǎn)是等比數(shù)列的定義和對(duì)通項(xiàng)公式的熟悉與應(yīng)用,教學(xué)難點(diǎn)在于等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)和運(yùn)用.
①與等差數(shù)列一樣,等比數(shù)列也是非凡的數(shù)列,二者有許多相同的性質(zhì),但也有明顯的區(qū)別,可根據(jù)定義與通項(xiàng)公式得出等比數(shù)列的特性,這些是教學(xué)的重點(diǎn).
②雖然在等差數(shù)列的學(xué)習(xí)中曾接觸過(guò)不完全歸納法,但對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)仍然不熟悉;在推導(dǎo)過(guò)程中,需要學(xué)生有一定的觀察分析猜想能力;第一項(xiàng)是否成立又須補(bǔ)充說(shuō)明,所以通項(xiàng)公式的推導(dǎo)是難點(diǎn).
③對(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合研究離不開通項(xiàng)公式,因而通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用既是重點(diǎn)又是難點(diǎn).
教學(xué)建議
(1)建議本節(jié)課分兩課時(shí),一節(jié)課為等比數(shù)列的概念,一節(jié)課為等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用.
(2)等比數(shù)列概念的引入,可給出幾個(gè)具體的例子,由學(xué)生概括這些數(shù)列的相同特征,從而得到等比數(shù)列的定義.也可將幾個(gè)等差數(shù)列和幾個(gè)等比數(shù)列混在一起給出,由學(xué)生將這些數(shù)列進(jìn)行分類,有一種是按等差、等比來(lái)分的,由此對(duì)比地概括等比數(shù)列的定義.
(3)根據(jù)定義讓學(xué)生分析等比數(shù)列的公比不為0,以及每一項(xiàng)均不為0的特性,加深對(duì)概念的理解.
(4)對(duì)比等差數(shù)列的表示法,由學(xué)生歸納等比數(shù)列的各種表示法.啟發(fā)學(xué)生用函數(shù)觀點(diǎn)熟悉通項(xiàng)公式,由通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征畫數(shù)列的圖象.
(5)由于有了等差數(shù)列的研究經(jīng)驗(yàn),等比數(shù)列的研究完全可以放手讓學(xué)生自己解決,教師只需把握課堂的節(jié)奏,作為一節(jié)課的組織者出現(xiàn).
(6)可讓學(xué)生相互出題,解題,講題,充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用.
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
課題:等比數(shù)列的概念
教學(xué)目標(biāo)
1.通過(guò)教學(xué)使學(xué)生理解等比數(shù)列的概念,推導(dǎo)并把握通項(xiàng)公式.
2.使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)類比、歸納的思想,培養(yǎng)學(xué)生的觀察、概括能力.
3.培養(yǎng)學(xué)生勤于思考,實(shí)事求是的精神,及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.
教學(xué)重點(diǎn),難點(diǎn)
重點(diǎn)、難點(diǎn)是等比數(shù)列的定義的歸納及通項(xiàng)公式的推導(dǎo).
教學(xué)用具
投影儀,多媒體軟件,電腦.
教學(xué)方法
討論、談話法.
教學(xué)過(guò)程
一、提出問(wèn)題
給出以下幾組數(shù)列,將它們分類,說(shuō)出分類標(biāo)準(zhǔn).(幻燈片)
①-2,1,4,7,10,13,16,19,…
②8,16,32,64,128,256,…
③1,1,1,1,1,1,1,…
④243,81,27,9,3,1,,,…
⑤31,29,27,25,23,21,19,…
⑥1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…
⑦1,-10,100,-1000,10000,-100000,…
⑧0,0,0,0,0,0,0,…
由學(xué)生發(fā)表意見(可能按項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列,也可能分為等差、等比兩類),統(tǒng)一一種分法,其中②③④⑥⑦為有共同性質(zhì)的一類數(shù)列(學(xué)生看不出③的情況也無(wú)妨,得出定義后再考察③是否為等比數(shù)列).
二、講解新課
請(qǐng)學(xué)生說(shuō)出數(shù)列②③④⑥⑦的共同特性,教師指出實(shí)際生活中也有許多類似的例子,如變形蟲分裂問(wèn)題.假設(shè)每經(jīng)過(guò)一個(gè)單位時(shí)間每個(gè)變形蟲都分裂為兩個(gè)變形蟲,再假設(shè)開始有一個(gè)變形蟲,經(jīng)過(guò)一個(gè)單位時(shí)間它分裂為兩個(gè)變形蟲,經(jīng)過(guò)兩個(gè)單位時(shí)間就有了四個(gè)變形蟲,…,一直進(jìn)行下去,記錄下每個(gè)單位時(shí)間的變形蟲個(gè)數(shù)得到了一列數(shù)這個(gè)數(shù)列也具有前面的幾個(gè)數(shù)列的共同特性,這是我們將要研究的另一類數(shù)列——等比數(shù)列.(這里播放變形蟲分裂的多媒體軟件的第一步)
等比數(shù)列(板書)
1.等比數(shù)列的定義(板書)
根據(jù)等比數(shù)列與等差數(shù)列的名字的區(qū)別與聯(lián)系,嘗試給等比數(shù)列下定義.學(xué)生一般回答可能不夠完美,多數(shù)情況下,有了等差數(shù)列的基礎(chǔ)是可以由學(xué)生概括出來(lái)的.教師寫出等比數(shù)列的定義,標(biāo)注出重點(diǎn)詞語(yǔ).
請(qǐng)學(xué)生指出等比數(shù)列②③④⑥⑦各自的公比,并思考有無(wú)數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列.學(xué)生通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)③是這樣的數(shù)列,教師再追問(wèn),還有沒(méi)有其他的例子,讓學(xué)生再舉兩例.而后請(qǐng)學(xué)生概括這類數(shù)列的一般形式,學(xué)生可能說(shuō)形如的數(shù)列都滿足既是等差又是等比數(shù)列,讓學(xué)生討論后得出結(jié)論:當(dāng)時(shí),數(shù)列既是等差又是等比數(shù)列,當(dāng)時(shí),它只是等差數(shù)列,而不是等比數(shù)列.教師追問(wèn)理由,引出對(duì)等比數(shù)列的熟悉:
2.對(duì)定義的熟悉(板書)
(1)等比數(shù)列的首項(xiàng)不為0;
(2)等比數(shù)列的每一項(xiàng)都不為0,即;
問(wèn)題:一個(gè)數(shù)列各項(xiàng)均不為0是這個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的什么條件?
(3)公比不為0.
用數(shù)學(xué)式子表示等比數(shù)列的定義.
是等比數(shù)列①.在這個(gè)式子的寫法上可能會(huì)有一些爭(zhēng)議,如寫成,可讓學(xué)生研究行不行,好不好;接下來(lái)再問(wèn),能否改寫為是等比數(shù)列?為什么不能?
式子給出了數(shù)列第項(xiàng)與第項(xiàng)的數(shù)量關(guān)系,但能否確定一個(gè)等比數(shù)列?(不能)確定一個(gè)等比數(shù)列需要幾個(gè)條件?當(dāng)給定了首項(xiàng)及公比后,如何求任意一項(xiàng)的值?所以要研究通項(xiàng)公式.
3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式(板書)
問(wèn)題:用和表示第項(xiàng).
①不完全歸納法
.
②疊乘法
,…,,這個(gè)式子相乘得,所以.
(板書)(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
得出通項(xiàng)公式后,讓學(xué)生思考如何熟悉通項(xiàng)公式.
(板書)(2)對(duì)公式的熟悉
由學(xué)生來(lái)說(shuō),最后歸結(jié):
①函數(shù)觀點(diǎn);
②方程思想(因在等差數(shù)列中已有熟悉,此處再?gòu)?fù)習(xí)鞏固而已).
這里強(qiáng)調(diào)方程思想解決問(wèn)題.方程中有四個(gè)量,知三求一,這是公式最簡(jiǎn)單的應(yīng)用,請(qǐng)學(xué)生舉例(應(yīng)能編出四類問(wèn)題).解題格式是什么?(不僅要會(huì)解題,還要注重規(guī)范表述的練習(xí))
假如增加一個(gè)條件,就多知道了一個(gè)量,這是公式的更高層次的應(yīng)用,下節(jié)課再研究.同學(xué)可以試著編幾道題.
三、小結(jié)
1.本節(jié)課研究了等比數(shù)列的概念,得到了通項(xiàng)公式;
2.注重在研究?jī)?nèi)容與方法上要與等差數(shù)列相類比;
3.用方程的思想熟悉通項(xiàng)公式,并加以應(yīng)用.
四、作業(yè)(略)
五、板書設(shè)計(jì)
三.等比數(shù)列
1.等比數(shù)列的定義
2.對(duì)定義的熟悉
3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
(1)公式
(2)對(duì)公式的熟悉
探究活動(dòng)
將一張很大的薄紙對(duì)折,對(duì)折30次后(假如可能的話)有多厚?不妨假設(shè)這張紙的厚度為0.01毫米.
參考答案:
30次后,厚度為,這個(gè)厚度超過(guò)了世界最高的山峰——珠穆朗瑪峰的高度.假如紙?jiān)俦∫恍?比如紙厚0.001毫米,對(duì)折34次就超過(guò)珠穆朗瑪峰的高度了.還記得國(guó)王的承諾嗎?第31個(gè)格子中的米已經(jīng)是1073741824粒了,后邊的格子中的米就更多了,最后一個(gè)格子中的米應(yīng)是粒,用計(jì)算器算一下吧(用對(duì)數(shù)算也行).
