高中等差數(shù)列的教案

高三數(shù)學(xué)理科復(fù)習(xí)：等差、等比數(shù)列的運(yùn)用。

高三數(shù)學(xué)理科復(fù)習(xí)23——等差、等比數(shù)列的運(yùn)用
【高考要求】：等差數(shù)列（C）；等比數(shù)列（C）.
【教學(xué)目標(biāo)】：能運(yùn)用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.
【教學(xué)重難點(diǎn)】：等差等比數(shù)列的應(yīng)用.
【知識(shí)復(fù)習(xí)與自學(xué)質(zhì)疑】
1、三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則.
2、下列判斷是否正確：
（1）若成等比數(shù)列，則也成等比數(shù)列.
（2）若成等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列.
（3）數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，則數(shù)列中一定不會(huì)有.
（4）數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，且，則數(shù)列為等差或等比數(shù)列
（5）已知數(shù)列為等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)的和為，則使取最大值的n可由不等式組來(lái)確定.
（6）是項(xiàng)數(shù)相等的等差數(shù)列，則數(shù)列（其中p，q為常數(shù)）也是等差數(shù)列.
（7）是項(xiàng)數(shù)相等的等比數(shù)列，則數(shù)列不一定是等比數(shù)列.
（8）若數(shù)列是等比數(shù)列，，則數(shù)列不是等比數(shù)列.
3、已知數(shù)列為等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)的和為，則數(shù)列是數(shù)列，數(shù)列是數(shù)列；若數(shù)列是每項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列是數(shù)列.
4、一梯形的上、下底長(zhǎng)分別是12cm，22cm，將梯形的一腰10等分，過(guò)每一個(gè)分點(diǎn)作平行于底邊的直線，則這些直線上夾在兩腰之間的線段的長(zhǎng)度之和為_(kāi)_____.
5、定義一種運(yùn)算“”，對(duì)于正整數(shù)滿(mǎn)足以下的運(yùn)算性質(zhì)：
（1）1*1=1，（2）（n+1）*1=3(n*1).則n*1用含有n的代數(shù)式可以表示為_(kāi)_________________.

【例題精講】
例1、已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比.設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為.把數(shù)列與的前n項(xiàng)和分別記為與，試比較與的大小.

例2、在等差數(shù)列中，，前n項(xiàng)和為，且.問(wèn)：n為何值時(shí)，最大？

例3（1）設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，求證：.
（2）已知數(shù)列為等比數(shù)列，.設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明.

例4、設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列和滿(mǎn)足成等比數(shù)列，成等差數(shù)列且，求通項(xiàng).
【矯正反饋】
1、已知正數(shù)等比數(shù)列.若，則公比q的取值范圍是__________________.
2、設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和為，若，則當(dāng)n=___________時(shí)，取得最大值.
3、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則=.
4、若數(shù)列是公差d不為0的等差數(shù)列，則與的大小關(guān)系為_(kāi)______________.
5、在1與2之間插入5個(gè)正數(shù)，使這7個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的5個(gè)數(shù)的積是____________.
6、設(shè)等差數(shù)列中，，且從第5項(xiàng)開(kāi)始是正數(shù)，則公差的取值范圍是____________.
7、某人2002年7月1日在銀行存入一年期定期存款a元，以后每年7月1日到銀行將厡存款的本金與利息轉(zhuǎn)為新的一年定期存款，并再新存入一年期定期存款a元，若年利率為r保持不變，到2007年7月1日，將所有的存款與利息全部取回，他可取回多少元？

【遷移應(yīng)用】
8、設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和為
（1）求公差d的取值范圍；
（2）指出中哪個(gè)值最大，并說(shuō)明理由.
9、已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差中的部分項(xiàng)組成的數(shù)列恰為等比數(shù)列，其中.
（1）求；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)的和.
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相關(guān)閱讀

等差等比數(shù)列綜合問(wèn)題

等差等比數(shù)列綜合問(wèn)題

教學(xué)目標(biāo)

1.熟練運(yùn)用等差、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和式以及有關(guān)性質(zhì)，分析和解決等差

、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題．

2.突出方程思想的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生選擇簡(jiǎn)捷合理的運(yùn)算途徑，提高運(yùn)算速度和運(yùn)算能力．

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

用方程的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，從本質(zhì)上掌握公式．

例題

1．（1）已知{an}成等差，且a5=11，a8=5，求an=；

（2）等差數(shù)列{an}中，如S2=4,S4=16,Sn=121，求n=；

（3）等差數(shù)列{an}中，a6+a9+a12+a15=20，求S20=；

（4）等差數(shù)列{an}中，am=n，an=m,則am+n=，Sm+n=；

（5）等差數(shù)列{an}中，公差d=－2，a1+a4+a7+…+a97=50，

求a3+a6+a9+…+a99=?

（6）若兩個(gè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)的和分別為Sn,Tn,且，求.

2．（1）在等比數(shù)列{an}中，a1+a2=3，a4+a5=24，則a7+a8=；

（2）設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a5·a6=81，則=；

（3）設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a4a6+2a5a7+a6a8=36，則a5+a7=；

(4)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=4n+m，求得常數(shù)m=；

3．(1)“”是“a、G、b成等比數(shù)列”的條件；

（2）“數(shù)列{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”是“該數(shù)列為常數(shù)列”的條件

（3）設(shè)數(shù)列{an}、{bn}(bn0）滿(mǎn)足，則{an}為等差數(shù)列是{bn}為等比數(shù)列的條件；

（4）Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，則Sn=An2+Bn,（其中A、B為常數(shù)）是數(shù)列{an}成等差數(shù)列的條件。

4．三個(gè)實(shí)數(shù)6、3、－1順次排成一行，在6與3之間插入兩個(gè)實(shí)數(shù)，在3與－1之間插入一個(gè)實(shí)數(shù)，使得這六個(gè)數(shù)中的前三個(gè)、后三個(gè)組成等差數(shù)列，且插入的三個(gè)數(shù)又成等比數(shù)列，求所插入的三個(gè)數(shù)的和。

5.在2和20之間插入兩個(gè)數(shù),使前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則插入的兩個(gè)數(shù)的和是多少？

6．已知x、y為正實(shí)數(shù)，且x、a1、a2、y成等差數(shù)列，x、b1、b2、y成等比數(shù)列，則的取值范圍是。

7．設(shè){an}是正數(shù)等差數(shù)列，{bn}是正數(shù)等比數(shù)列，且a1=b1，a2n+1=b2n+1，

試比較an+1與bn+1的大小。

8．（1）等差數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)的和為Sn，且S6S7，S7S8，則①此數(shù)列的公差小于是0；②S9一定小于S6；③是各項(xiàng)中最大的一項(xiàng)；④一定是Sn的最大值。把正確的序號(hào)填入后面的橫線上.

(2)等差數(shù)列{an}中，公差d是自然數(shù)，等比數(shù)列{bn}中，b1=a1,b2=a2，現(xiàn)有數(shù)據(jù)：①2；②3；③4；④5，當(dāng){bn}中所有項(xiàng)都是{an}中的項(xiàng)時(shí)，d可以取（填上正確的序號(hào)）。

作業(yè)：復(fù)習(xí)題三A組9，10，11，12,14

等比數(shù)列

等比數(shù)列學(xué)案

第3課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和
知能目標(biāo)解讀
1.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法--錯(cuò)位相減法，并能用其思想方法求某類(lèi)特殊數(shù)列的前n項(xiàng)和.
2.掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式以及性質(zhì)，并能應(yīng)用公式解決有關(guān)等比數(shù)列前n項(xiàng)的問(wèn)題.在應(yīng)用時(shí)，特別要注意q=1和q≠1這兩種情況.
3.能夠利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.
重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥
重點(diǎn)：掌握等比數(shù)列的求和公式，會(huì)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決有關(guān)問(wèn)題.
難點(diǎn)：研究等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式及公式的靈活運(yùn)用.
學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)
1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
（1）設(shè)等比數(shù)列{an}，其首項(xiàng)為a1，公比為q，則其前n項(xiàng)和公式為
na1(q=1)
Sn=.
(q≠1)
也就是說(shuō)，公比為q的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是q的分段函數(shù)的一系列函數(shù)值，分段的界限是在q=1處.因此，使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，必須要弄清公比q是可能等于1還是不等于1，如果q可能等于1，則需分q=1和q≠1進(jìn)行討論.
（2）等比數(shù)列{an}中，當(dāng)已知a1,q(q≠1)，n時(shí)，用公式Sn=，當(dāng)已知a1,q(q≠1)，an時(shí)，用公式Sn=.
2.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)
除課本上用錯(cuò)位相減法推導(dǎo)求和公式外，還可以用下面的方法推導(dǎo).
(1)合比定理法
由等比數(shù)列的定義知：==…==q.
當(dāng)q≠1時(shí)，=q,即=q.
故Sn==.
當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1.
(2)拆項(xiàng)法
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)
當(dāng)q≠1時(shí)，Sn==.
當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1.
(3)利用關(guān)系式Sn-Sn-1=an(n≥2)
∵當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+qSn-1
∴Sn=a1+q(Sn-an)
即(1-q)Sn=a1(1-qn)
當(dāng)q≠1時(shí)，有Sn=,
當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1.
注意：
(1)錯(cuò)位相減法，合比定理法，拆項(xiàng)法及an與Sn的關(guān)系的應(yīng)用，在今后解題中要時(shí)常用到，要領(lǐng)會(huì)這些技巧.
(2)錯(cuò)位相減法適用于{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，求{anbn}的前n項(xiàng)和.
3.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用
（1）衡量等比數(shù)列的量共有五個(gè)：a1,q,n,an,Sn.由方程組知識(shí)可知，解決等比數(shù)列問(wèn)題時(shí)，這五個(gè)量中只要已知其中的任何三個(gè)，就可以求出其他兩個(gè)量.
（2）公比q是否為1是考慮等比數(shù)列問(wèn)題的重要因素，在求和時(shí)，注意分q=1和q≠1的討論.
4.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系
(1)當(dāng)公比q≠1時(shí)，令A(yù)=，則等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可寫(xiě)成Sn=-Aqn+A的形式.由此可見(jiàn)，非常數(shù)列的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是由關(guān)于n的一個(gè)指數(shù)式與一個(gè)常數(shù)的和構(gòu)成的，而指數(shù)式的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù).
當(dāng)公比q=1時(shí)，因?yàn)閍1≠0，所以Sn=na1是n的正比例函數(shù)（常數(shù)項(xiàng)為0的一次函數(shù)）.
(2)當(dāng)q≠1時(shí)，數(shù)列S1,S2,S3,…,Sn,…的圖像是函數(shù)y=-Aqx+A圖像上的一群孤立的點(diǎn).當(dāng)q=1時(shí)，數(shù)列S1,S2,S3,…,Sn,…的圖像是正比例函數(shù)y=a1x圖像上的一群孤立的點(diǎn).
知能自主梳理
1.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式
（1）等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)公比q≠1時(shí)，Sn==;當(dāng)q=1時(shí)，Sn=.
(2)推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法是.
2.公式特點(diǎn)
（1）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=p(1-qn)(p為常數(shù))，且q≠0,q≠1，則數(shù)列{an}為.
（2）在等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中共有a1,an,n,q,Sn五個(gè)量，在這五個(gè)量中知求.
［答案］1.（1）na1(2)錯(cuò)位相減法
2.（1）等比數(shù)列（2）三二
思路方法技巧
命題方向等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用
［例1］設(shè)數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn,且S3=3a3,求此數(shù)列的公比q.
［分析］應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，注意對(duì)公比q的討論.
［解析］當(dāng)q=1時(shí)，S3=3a1=3a3,符合題目條件；
當(dāng)q≠1時(shí)，=3a1q2,
因?yàn)閍1≠0,所以1－q3=3q2(1-q),
2q3-3q2+1=0,(q-1)2(2q+1)=0,
解得q=-.
綜上所述，公比q的值是1或－.
［說(shuō)明］（1）在等比數(shù)列中，對(duì)于a1,an,q,n,Sn五個(gè)量，已知其中三個(gè)量，可以求得其余兩個(gè)量.
（2）等比數(shù)列前n項(xiàng)和問(wèn)題，必須注意q是否等于1，如果不確定，應(yīng)分q=1或q≠1兩種情況討論.
（3）等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式中，當(dāng)q≠1時(shí)，若已知a1,q,n利用Sn=來(lái)求；若已知a1,an,q,利用Sn=來(lái)求.
變式應(yīng)用1在等比數(shù)列{an}中,已知S3=,S6=,求an.
［解析］∵S6=,S3=,
∴S6≠2S3，∴q≠1.
=①
∴
=②
②÷①得1+q3=9,∴q=2.
將q=2代入①，得a1=,
∴an=a1qn-1=2n-2.
命題方向等比數(shù)列前n項(xiàng)的性質(zhì)
［例2］在等比數(shù)列{an}中，已知Sn=48,S2n=60,求S3n.
［分析］利用等比數(shù)列前n項(xiàng)的性質(zhì)求解.
［解析］∵{an}為等比數(shù)列，∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比數(shù)列，
∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)
∴S3n=+S2n=+60=63.
［說(shuō)明］等比數(shù)列連續(xù)等段的和若不為零時(shí)，則連續(xù)等段的和仍成等比數(shù)列.
變式應(yīng)用2等比數(shù)列{an}中，S2=7，S6=91,求S4.
［解析］解法一：∵{an}為等比數(shù)列，∴S2，S4-S2，S6-S4也為等比數(shù)列，
∴（S4-7）2=7×（91-S4），解得S4=28或-21.
∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)0,
∴S4=28.
解法二：∵S2=7,S6=91,∴q≠1.
=7①?
∴
=91②
得q4+q2-12=0,∴q2=3,
∴q=±.
當(dāng)q=時(shí)，a1=,
∴S4==28.
當(dāng)q=-時(shí)，a1=-,
∴S4==28.
探索延拓創(chuàng)新
命題方向等比數(shù)列前n項(xiàng)和在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用
［例3］某公司實(shí)行股份制，一投資人年初入股a萬(wàn)元，年利率為25%，由于某種需要，從第二年起此投資人每年年初要從公司取出x萬(wàn)元.
（1）分別寫(xiě)出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投資人在該公司中的資產(chǎn)本利和；
（2）寫(xiě)出第n年年底，此投資人的本利之和bn與n的關(guān)系式（不必證明）；
（3）為實(shí)現(xiàn)第20年年底此投資人的本利和對(duì)于原始投資a萬(wàn)元恰好翻兩番的目標(biāo)，若a=395,則x的值應(yīng)為多少?(在計(jì)算中可使用lg2≈0.3)
［解析］(1)第一年年底本利和為a+a25%=1.25a,
第二年年底本利和為（1.25a-x）+(1.25a-x)×25%=1.252a-1.25x,
第三年年底本利和為（1.252a-1.25x-x）+(1.252a-1.25x-x)25%=1.253a-(1.252+1.25)x.
(2)第n年年底本利和為
bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+…+1.25)x.
(3)依題意，有
395×1.2520-(1.2519+1.2518+…+1.25)x=4×395,
∴x=
=.①
設(shè)1.2520=t,∴l(xiāng)gt=20lg（）=20(1-3lg2)=2.
∴t=100,代入①解得x=96.
變式應(yīng)用3某大學(xué)張教授年初向銀行貸款2萬(wàn)元用于購(gòu)房，銀行貨款的年利息為10％，按復(fù)利計(jì)算（即本年的利息計(jì)入次年的本金生息）.若這筆款要分10年等額還清，每年年初還一次，并且以貸款后次年年初開(kāi)始?xì)w還，問(wèn)每年應(yīng)還多少元？
［解析］第1次還款x元之后到第2次還款之日欠銀行
20000（1＋10％）－x=20000×1.1－x,
第2次還款x元后到第3次還款之日欠銀行［20000(1+10%)-x］(1+10%)-x
=20000×1.12-1.1x-x,
…
第10次還款x元后，還欠銀行20000×1.110－1.19x-1.18x-…-x,
依題意得，第10次還款后，欠款全部還清，故可得
20000×1.110－（1.19＋1.18＋…＋1）x=0,
解得x=≈3255(元).
名師辨誤做答
［例4］求數(shù)列1，a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,…的前n項(xiàng)和.
［誤解］所求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=1+a+a2+a3+…+a
=.
［辨析］所給數(shù)列除首項(xiàng)外，每一項(xiàng)都與a有關(guān)，而條件中沒(méi)有a的范圍，故應(yīng)對(duì)a進(jìn)行討論.
［正解］由于所給數(shù)列是在數(shù)列1,a,a2,a3,…中依次取出1項(xiàng)，2項(xiàng)，3項(xiàng)，4項(xiàng)，……的和所組成的數(shù)列.因而所求數(shù)列的前n項(xiàng)和中共含有原數(shù)列的前（1+2+…+n）項(xiàng).所以Sn=1+a+a2+…+a.①當(dāng)a=0時(shí)，Sn=1.②當(dāng)a=1時(shí)，Sn=.③當(dāng)a≠0且a≠1時(shí)，Sn=.
課堂鞏固訓(xùn)練
一、選擇題
1.等比數(shù)列{an}的公比q=2，前n項(xiàng)和為Sn，則=（）
A.2B.4C.D.?
［答案］C
［解析］由題意得==.故選C.
2.等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和等于首項(xiàng)的3倍，則該等比數(shù)列的公比為（）?
A.-2B.1C.-2或1D.2或-1?
［答案］C
［解析］由題意可得，a1+a1q+a1q2=3a1,?
∴q2+q-2=0,∴q=1或q=-2.
3.等比數(shù)列{2n}的前n項(xiàng)和Sn=（）
A.2n-1B.2n-2C.2n+1-1D.2n+1-2?
［答案］D?
［解析］等比數(shù)列｛2n｝的首項(xiàng)為2，公比為2.?
∴Sn===2n+1-2,故選D.
二、填空題
4.若數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1=1,an+1=2an（n∈N+），則a5=;前8項(xiàng)的和S8=.（用數(shù)字作答）
［答案］16255?
［解析］考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.?
q==2,a5=a1q4=16,
S8==28-1=255.
5.在等比數(shù)列{an}中，Sn表示前n項(xiàng)和，若a3=2S2+1,a4=2S3+1,則公比q=.
［答案］3?
［解析］∵a3=2S2+1,a4=2S3+1,?
兩式相減，得a3-a4=-2a3,?
∴a4=3a3,∴q=3.
三、解答題
6.在等比數(shù)列{an}中，已知a6-a4=24，a3a5=64，求數(shù)列{an}的前8項(xiàng)和.
［解析］解法一：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，根據(jù)通項(xiàng)公式an=a1qn-1，由已知條件得
a6-a4=a1q3(q2-1)=24,①?
a3a5=(a1q3)2=64,②?
∴a1q3=±8.
將a1q3=-8代入①式，得q2=-2,沒(méi)有實(shí)數(shù)q滿(mǎn)足此式，故舍去.?
將a1q3=8代入①式，得q2=4,∴q=±2.?
當(dāng)q=2時(shí)，得a1=1,所以S8==255;?
當(dāng)q=-2時(shí)，得a1=-1，所以S8==85.
解法二：因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，所以依題意得?
a24=a3a5=64,?
∴a4=±8,a6=24+a4=24±8.?
因?yàn)閧an}是實(shí)數(shù)列，所以＞0,?
故舍去a4=-8,而a4=8，a6=32，從而a5=±=±16.?
公比q的值為q==±2,?
當(dāng)q=2時(shí)，a1=1,a9=a6q3=256,?
∴S8==255;?
當(dāng)q=-2時(shí)，a1=-1，a9=a6q3=-256,
∴S8==85.
課后強(qiáng)化作業(yè)
一、選擇題
1.等比數(shù)列{an}中，a2=9,a5=243,則{an}的前4項(xiàng)和為（）
A.81B.120C.168D.192
［答案］B
［解析］公式q3===27,q=3,a1==3,?
S4==120.
2.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=4n+a，則a=（）
A.-4B.-1C.0D.1
［答案］B
［解析］設(shè)等比數(shù)列為｛an｝，由已知得a1=S1=4+a,a2=S2-S1=12,
a3=S3-S2=48,∴a22=a1a3,?
即144=(4+a)×48，∴a=-1.
3.已知等比數(shù)列的公比為2，且前5項(xiàng)和為1，那么前10項(xiàng)和等于（）?
A.31B.33C.35D.37
［答案］B
［解析］解法一：S5＝==1
∴a1=
∴S10===33,故選B.?
解法二：∵a1+a2+a3+a4+a5=1?
∴a6+a7+a8+a9+a10=(a1+a2+a3+a4+a5)q5=1×25＝32
∴S10＝a1+a2+…+a9+a10=1+32=33.
4.已知等比數(shù)列{an}中，公比q是整數(shù)，a1+a4=18,a2+a3=12,則此數(shù)列的前8項(xiàng)和為（）
A.514B.513C.512D.510
［答案］D
a1+a1q3=18
［解析］由已知得，
a1q+a1q2=12
解得q=2或.
∵q為整數(shù)，∴q=2.∴a1=2.
∴S8==29-2=510.
5.設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，已知a2a4=1,S3=7，則S5=（）
A.B.C.D.
［答案］B
［解析］設(shè)公比為q,則q0,且a23=1,
即a3=1.∵S3=7,∴a1+a2+a3=++1=7,
即6q2-q-1=0,?
∴q=或q=-(舍去)，?
∴a1==4.?
∴S5==8（1-）=.
6.在等比數(shù)列｛an｝（n∈N+）中，若a1=1,a4=,則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）
A.2－B.2－C.2－D.2－
［答案］B
［解析］∵a1=1,a4=,
∴q3==,∴q=.?
∴S10==2［1-（）10］=2-,故選B.
7.已知等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,S3=3,S6=27,則此等比數(shù)列的公比q等于（）
A.2B.-2C.D.-
［答案］A?
S3==3,①
［解析］
S6==27,②
得=9,解得q3=8.?
∴q=2,故選A.
8.正項(xiàng)等比數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足a2a4=1,S3=13,bn=log3an,則數(shù)列｛bn｝的前10項(xiàng)和是（）
A.65B.-65C.25D.-25
［答案］D
［解析］∵{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列，a2a4=1,
∴a3=1,又∵S3=13,∴公比q≠1.
又∵S3==13,a3=a1q2,?
解得q=.?
∴an=a3qn-3=()n-3=33-n,?
∴bn=log3an=3-n.
∴b1=2,b10=-7.
∴S10==＝－25.
二、填空題
9.等比數(shù)列，-1，3，…的前10項(xiàng)和為.
［答案］-
［解析］S10==-.
10.（2011北京文，12）在等比數(shù)列｛an｝中，若a1=,a4=4,則公比q=;a1+a2+…+an=.
［答案］2,2n-1-
［解析］本題主要考查等比數(shù)列的基本知識(shí)，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可解得.?
=q3==8，所以q=2，所以a1+a2+……+an==2n-1-.
2n-1(n為正奇數(shù))?
11.已知數(shù)列{an}中，an=，則a9=.
2n-1（n為正偶數(shù)）
設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S9=.
［答案］256377
［解析］a9=28=256，
S9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377.
12.在等比數(shù)列{an}中，已知對(duì)于任意n∈N+,有a1+a2+…+an=2n-1,則a21+a22+…+a2n=.?
［答案］×4n-
［解析］∵a1+a2+…+an=2n-1,?
∴a1+a2+…+an-1=2n-1-1(n≥2),
兩式相減，得an=2n-1-2n-1+1=2n-2n-1=2n-1,?
∴a2n=(2n-1)2=22n-2=4n-1,?
∴a21+a22+…+a2n==×4n-.
三、解答題
13.在等比數(shù)列{an}中，已知a3=1，S3=4，求a1與q.
S3==4
［解析］（1）若q≠1,則，
a3=a1q2=1
從而解得q=1或q=-.
q=-
∵q≠1,∴.
a1=6
S3=3a1=4q=1
（2）若q=1,則，∴.
a3=a1=1a1=1
q=-q=1
綜上所述得，或.
a1=6a1=1
14.(2011大綱文科，17)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.
［分析］設(shè)出公比根據(jù)條件列出關(guān)于a1與q的方程.求得a1與q可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.?
［解析］設(shè){an}的公比為q，由已知有：
a1q=6a1=3a1=2
.解得或
6a1+a1q2=30q=2q=3
(1)當(dāng)a1=3,q=2時(shí)，
an=a1qn-1=3×2n-1
Sn===3×(2n-1)
(2)當(dāng)a1=2,q=3時(shí)，an=a1qn-1=2×3n-1
Sn===3n-1.?
綜上，an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1)或an=2×3n-1,Sn=3n-1.
15.已知實(shí)數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和記為Sn,證明：Sn128(n=1,2,3,…).
［解析］(1)設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q(q∈R且q≠1),
由a7=a1q6=1,得a1=q-6,從而a4=a1q3=q-3,?
a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1,?
因?yàn)閍4,a5+1,a6成等差數(shù)列,
所以a4+a6=2(a5+1)
即q-3+q-1=2(q-2+1),
q-1(q-2+1)=2(q-2+1).?
所以q=.?
故an=a1qn-1=q-6qn-1=qn-7=（）n-7.?
(2)證明：Sn==
=128［1-（）n］128.
16.2011年暑期人才招聘會(huì)上，A、B兩家公司分別開(kāi)出了工資標(biāo)準(zhǔn)：
A公司B公司
第一年月工資為1500元，以后每一年月工資比上一年月工資增加230元．第一年月工資為２000元，以后每一年月工資比上一年月工資增加5％.
大學(xué)生王明被A、B兩家公司同時(shí)錄取，而王明只想選擇一家連續(xù)工作10年，經(jīng)過(guò)一番思考，他選擇了A公司，你知道為什么嗎？.
［解析］
A公司B公司
第一年月工資為1500元，以后每一年月工資比上一年月工資增加230元．第一年月工資為２000元，以后每一年月工資比上一年月工資增加5％.

王明的選擇過(guò)程第n年月工資為an第n年月工資為bn
首項(xiàng)為1500，公差為230的等差數(shù)列首項(xiàng)為2000，公比為1＋5％的等比數(shù)列
an=230n+1270bn=2000(1+5%)n-1
S10=12(a1+a2+…+a10)=12×［10×1500+×230］=304200
T10=12(b1+b2+…+b10)
=12×≈301869

結(jié)論顯然S10T10,故王明選擇了A公司

等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問(wèn)題（2）

一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)方面無(wú)論做什么事都有計(jì)劃和準(zhǔn)備，教師要準(zhǔn)備好教案，這是每個(gè)教師都不可缺少的。教案可以讓學(xué)生更好的消化課堂內(nèi)容，有效的提高課堂的教學(xué)效率。寫(xiě)好一份優(yōu)質(zhì)的教案要怎么做呢？小編特地為大家精心收集和整理了“等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問(wèn)題（2）”，僅供參考，希望能為您提供參考！

等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問(wèn)題（2）

教學(xué)目標(biāo)

1.熟練運(yùn)用等差、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和式以及有關(guān)性質(zhì)，分析和解決等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題．

2.突出方程思想的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生選擇簡(jiǎn)捷合理的運(yùn)算途徑，提高運(yùn)算速度和運(yùn)算能力．

3.用類(lèi)比思想加深對(duì)等差數(shù)列與等比數(shù)列概念和性質(zhì)的理解.

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

用方程的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，從本質(zhì)上掌握公式．

例題

例1三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，如果適當(dāng)排列這三個(gè)數(shù)也可以成等比數(shù)列，又知這三個(gè)數(shù)的和為6，求這三個(gè)數(shù)。

例2數(shù)列中，,,,,……，求的值。

例3有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，首末兩個(gè)數(shù)之和是21，中間兩個(gè)數(shù)的和是18，求這四個(gè)數(shù)．

例4已知數(shù)列的前項(xiàng)的和，求數(shù)列前項(xiàng)的和．

例5是否存在等比數(shù)列，其前項(xiàng)的和組成的數(shù)列也是等比數(shù)列？

例6數(shù)列是首項(xiàng)為0的等差數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，設(shè)
，數(shù)列的前三項(xiàng)依次為1，1，2，
（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前10項(xiàng)的和。

例7已知數(shù)列滿(mǎn)足，，．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求的表達(dá)式和的表達(dá)式．

作業(yè)：

1．已知同號(hào)，則是成等比數(shù)列的
（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件
（C）充要條件（D）既不充分而也不必要條件

2．如果和是兩個(gè)等差數(shù)列，其中，那么等于
（A）（B）（C）3（D）

3．若某等比數(shù)列中，前7項(xiàng)和為48，前14項(xiàng)和為60，則前21項(xiàng)和為
(A)180(B)108(C)75(D)63

4．已知數(shù)列，對(duì)所有，其前項(xiàng)的積為，求的值，

5．已知為等差數(shù)列，前10項(xiàng)的和為，前100項(xiàng)的和為，求前110項(xiàng)的和

6．等差數(shù)列中，，，依次抽出這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)，組成數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式．

7．已知數(shù)列，，
（1）求通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的最小項(xiàng)的值；
（3）數(shù)列的前項(xiàng)和為，求數(shù)列前項(xiàng)的和．

8．三數(shù)成等比數(shù)列，若第二個(gè)數(shù)加4就成等差數(shù)列，再把這個(gè)等差數(shù)列的第三個(gè)數(shù)加上32又成等比數(shù)列，求這三個(gè)數(shù)．