高中牛頓第二定律教案

3.4等比數(shù)列（第二課時）。

3.4等比數(shù)列（第二課時）

教學目的：

1.靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義及通項公式.2.熟悉等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，并系統(tǒng)了解判斷數(shù)列是否成等比數(shù)列的方法。教學重點：等比中項的應(yīng)用及等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用.教學難點：靈活應(yīng)用等比數(shù)列定義、通項公式、性質(zhì)解決一些相關(guān)問題教學過程：一、復(fù)習：

等比數(shù)列的定義、通項公式、等比中項二、講解新課：

1．等比數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+q，則2．判斷等比數(shù)列的方法：定義法，中項法，通項公式法3．等比數(shù)列的增減性：當q1,0或0q1,0時,{}是遞增數(shù)列;當q1,0,或0q1,0時,{}是遞減數(shù)列;當q=1時,{}是常數(shù)列;當q0時,{}是擺動數(shù)列;三、例題講解例1已知：b是a與c的等比中項，且a、b、c同號，求證：也成等比數(shù)列。證明：由題設(shè)：b2=ac得：∴也成等比數(shù)列例2已知等比數(shù)列.例3a≠c,三數(shù)a,1,c成等差數(shù)列，a,1,c成等比數(shù)列，求的值.

解：∵a,1,c成等差數(shù)列,∴a＋c＝2,又a,1,c成等比數(shù)列,∴ac＝1,有ac＝1或ac＝－1,當ac＝1時,由a＋c＝2得a＝1,c＝1,與a≠c矛盾，∴ac＝－1,a+c＝(a＋c)－2ac＝6,∴＝.例4已知無窮數(shù)列，求證：（1）這個數(shù)列成等比數(shù)列（2）這個數(shù)列中的任一項是它后面第五項的，（3）這個數(shù)列的任意兩項的積仍在這個數(shù)列中。證：（1）（常數(shù)）∴該數(shù)列成等比數(shù)列。（2），即：。（3），∵，∴?！嗲遥?，（第項）。例5設(shè)均為非零實數(shù)，，求證：成等比數(shù)列且公比為。證一：關(guān)于的二次方程有實根，∴，∴則必有：，即，∴成等比數(shù)列設(shè)公比為，則，代入∵，即，即。證二：∵∴∴，∴，且∵非零，∴。四、課后作業(yè)：課本P125習題3.410（2），11，《精講精練》P126智能達標訓練.

相關(guān)知識

3.5等比數(shù)列的前n項和（第二課時）

作為杰出的教學工作者，能夠保證教課的順利開展，作為高中教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以保證學生們在上課時能夠更好的聽課，幫助高中教師掌握上課時的教學節(jié)奏。那么，你知道高中教案要怎么寫呢？下面是小編幫大家編輯的《3.5等比數(shù)列的前n項和（第二課時）》，大家不妨來參考。希望您能喜歡！

3.5等比數(shù)列的前n項和（第二課時）

教學目的：

1.會用等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式解決有關(guān)等比數(shù)列的中知道三個數(shù)求另外兩個數(shù)的一些簡單問題2.提高分析、解決問題能力.教學重點：進一步熟練掌握等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式.教學難點：靈活使用公式解決問題教學過程：一、復(fù)習：等比數(shù)列的有關(guān)概念，等比數(shù)列前n項和的公式

二、例題例1已知等差數(shù)列{}的第二項為8，前十項的和為185，從數(shù)列{}中，依次取出按原來的順序排成一個新數(shù)列{}，求數(shù)列{}的通項公式和前項和公式——由題設(shè)求{bn},再分組求和法

例2已知等比數(shù)列{an}的前n項和是2，緊接著后面的2n項的和是12，再緊接著后面的3n項的和是S，求S的值.

——（1）認真審題（緊接著…）；（2）對q的判斷.

例3等比數(shù)列前項和與積分別為S和T，數(shù)列的前項和為，

求證：

——計算驗證形的證明，按公比q=1和兩類分別計算驗證.

例4設(shè)首項為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前項之和為80，前項之和為6560，且前項中數(shù)值最大的項為54，求此數(shù)列。

解：由題意

代入（1），，得：，從而，

∴遞增，∴前項中數(shù)值最大的項應(yīng)為第項。

∴

∴，

∴，

∴此數(shù)列為

例5已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和，并且Sn+1=4an+2,a1=1.

(1)設(shè)bn=an+1-2an,求證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.

(2)設(shè)求證數(shù)列{cn}是等差數(shù)列；

(3)求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和的公式.

——思路分析（1）利用題設(shè)的遞推公式和等比數(shù)列的定義證明；（2）利用等差數(shù)列的定義證明；（3）借助（2）的結(jié)論及題設(shè)的遞推公式求解.三、練習：

設(shè)數(shù)列前項之和為，若且，問：數(shù)列成等比數(shù)列嗎？四、課后作業(yè)：《精講精練》P132智能達標訓練.

等比數(shù)列

等比數(shù)列學案

第3課時等比數(shù)列的前n項和
知能目標解讀
1.掌握等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)方法--錯位相減法，并能用其思想方法求某類特殊數(shù)列的前n項和.
2.掌握等比數(shù)列前n項和公式以及性質(zhì)，并能應(yīng)用公式解決有關(guān)等比數(shù)列前n項的問題.在應(yīng)用時，特別要注意q=1和q≠1這兩種情況.
3.能夠利用等比數(shù)列的前n項和公式解決有關(guān)的實際應(yīng)用問題.
重點難點點撥
重點：掌握等比數(shù)列的求和公式，會用等比數(shù)列前n項和公式解決有關(guān)問題.
難點：研究等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點，推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和的公式及公式的靈活運用.
學習方法指導(dǎo)
1.等比數(shù)列的前n項和公式
（1）設(shè)等比數(shù)列{an}，其首項為a1，公比為q，則其前n項和公式為
na1(q=1)
Sn=.
(q≠1)
也就是說，公比為q的等比數(shù)列的前n項和公式是q的分段函數(shù)的一系列函數(shù)值，分段的界限是在q=1處.因此，使用等比數(shù)列的前n項和公式，必須要弄清公比q是可能等于1還是不等于1，如果q可能等于1，則需分q=1和q≠1進行討論.
（2）等比數(shù)列{an}中，當已知a1,q(q≠1)，n時，用公式Sn=，當已知a1,q(q≠1)，an時，用公式Sn=.
2.等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)
除課本上用錯位相減法推導(dǎo)求和公式外，還可以用下面的方法推導(dǎo).
(1)合比定理法
由等比數(shù)列的定義知：==…==q.
當q≠1時，=q,即=q.
故Sn==.
當q=1時，Sn=na1.
(2)拆項法
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)
當q≠1時，Sn==.
當q=1時，Sn=na1.
(3)利用關(guān)系式Sn-Sn-1=an(n≥2)
∵當n≥2時，Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+qSn-1
∴Sn=a1+q(Sn-an)
即(1-q)Sn=a1(1-qn)
當q≠1時，有Sn=,
當q=1時，Sn=na1.
注意：
(1)錯位相減法，合比定理法，拆項法及an與Sn的關(guān)系的應(yīng)用，在今后解題中要時常用到，要領(lǐng)會這些技巧.
(2)錯位相減法適用于{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，求{anbn}的前n項和.
3.等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用
（1）衡量等比數(shù)列的量共有五個：a1,q,n,an,Sn.由方程組知識可知，解決等比數(shù)列問題時，這五個量中只要已知其中的任何三個，就可以求出其他兩個量.
（2）公比q是否為1是考慮等比數(shù)列問題的重要因素，在求和時，注意分q=1和q≠1的討論.
4.等比數(shù)列前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系
(1)當公比q≠1時，令A(yù)=，則等比數(shù)列的前n項和公式可寫成Sn=-Aqn+A的形式.由此可見，非常數(shù)列的等比數(shù)列的前n項和Sn是由關(guān)于n的一個指數(shù)式與一個常數(shù)的和構(gòu)成的，而指數(shù)式的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù).
當公比q=1時，因為a1≠0，所以Sn=na1是n的正比例函數(shù)（常數(shù)項為0的一次函數(shù)）.
(2)當q≠1時，數(shù)列S1,S2,S3,…,Sn,…的圖像是函數(shù)y=-Aqx+A圖像上的一群孤立的點.當q=1時，數(shù)列S1,S2,S3,…,Sn,…的圖像是正比例函數(shù)y=a1x圖像上的一群孤立的點.
知能自主梳理
1.等比數(shù)列前n項和公式
（1）等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,當公比q≠1時，Sn==;當q=1時，Sn=.
(2)推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式的方法是.
2.公式特點
（1）若數(shù)列{an}的前n項和Sn=p(1-qn)(p為常數(shù))，且q≠0,q≠1，則數(shù)列{an}為.
（2）在等比數(shù)列的前n項和公式中共有a1,an,n,q,Sn五個量，在這五個量中知求.
［答案］1.（1）na1(2)錯位相減法
2.（1）等比數(shù)列（2）三二
思路方法技巧
命題方向等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用
［例1］設(shè)數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，其前n項和為Sn,且S3=3a3,求此數(shù)列的公比q.
［分析］應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時，注意對公比q的討論.
［解析］當q=1時，S3=3a1=3a3,符合題目條件；
當q≠1時，=3a1q2,
因為a1≠0,所以1－q3=3q2(1-q),
2q3-3q2+1=0,(q-1)2(2q+1)=0,
解得q=-.
綜上所述，公比q的值是1或－.
［說明］（1）在等比數(shù)列中，對于a1,an,q,n,Sn五個量，已知其中三個量，可以求得其余兩個量.
（2）等比數(shù)列前n項和問題，必須注意q是否等于1，如果不確定，應(yīng)分q=1或q≠1兩種情況討論.
（3）等比數(shù)列前n項和公式中，當q≠1時，若已知a1,q,n利用Sn=來求；若已知a1,an,q,利用Sn=來求.
變式應(yīng)用1在等比數(shù)列{an}中,已知S3=,S6=,求an.
［解析］∵S6=,S3=,
∴S6≠2S3，∴q≠1.
=①
∴
=②
②÷①得1+q3=9,∴q=2.
將q=2代入①，得a1=,
∴an=a1qn-1=2n-2.
命題方向等比數(shù)列前n項的性質(zhì)
［例2］在等比數(shù)列{an}中，已知Sn=48,S2n=60,求S3n.
［分析］利用等比數(shù)列前n項的性質(zhì)求解.
［解析］∵{an}為等比數(shù)列，∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比數(shù)列，
∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)
∴S3n=+S2n=+60=63.
［說明］等比數(shù)列連續(xù)等段的和若不為零時，則連續(xù)等段的和仍成等比數(shù)列.
變式應(yīng)用2等比數(shù)列{an}中，S2=7，S6=91,求S4.
［解析］解法一：∵{an}為等比數(shù)列，∴S2，S4-S2，S6-S4也為等比數(shù)列，
∴（S4-7）2=7×（91-S4），解得S4=28或-21.
∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)0,
∴S4=28.
解法二：∵S2=7,S6=91,∴q≠1.
=7①?
∴
=91②
得q4+q2-12=0,∴q2=3,
∴q=±.
當q=時，a1=,
∴S4==28.
當q=-時，a1=-,
∴S4==28.
探索延拓創(chuàng)新
命題方向等比數(shù)列前n項和在實際問題中的應(yīng)用
［例3］某公司實行股份制，一投資人年初入股a萬元，年利率為25%，由于某種需要，從第二年起此投資人每年年初要從公司取出x萬元.
（1）分別寫出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投資人在該公司中的資產(chǎn)本利和；
（2）寫出第n年年底，此投資人的本利之和bn與n的關(guān)系式（不必證明）；
（3）為實現(xiàn)第20年年底此投資人的本利和對于原始投資a萬元恰好翻兩番的目標，若a=395,則x的值應(yīng)為多少?(在計算中可使用lg2≈0.3)
［解析］(1)第一年年底本利和為a+a25%=1.25a,
第二年年底本利和為（1.25a-x）+(1.25a-x)×25%=1.252a-1.25x,
第三年年底本利和為（1.252a-1.25x-x）+(1.252a-1.25x-x)25%=1.253a-(1.252+1.25)x.
(2)第n年年底本利和為
bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+…+1.25)x.
(3)依題意，有
395×1.2520-(1.2519+1.2518+…+1.25)x=4×395,
∴x=
=.①
設(shè)1.2520=t,∴l(xiāng)gt=20lg（）=20(1-3lg2)=2.
∴t=100,代入①解得x=96.
變式應(yīng)用3某大學張教授年初向銀行貸款2萬元用于購房，銀行貨款的年利息為10％，按復(fù)利計算（即本年的利息計入次年的本金生息）.若這筆款要分10年等額還清，每年年初還一次，并且以貸款后次年年初開始歸還，問每年應(yīng)還多少元？
［解析］第1次還款x元之后到第2次還款之日欠銀行
20000（1＋10％）－x=20000×1.1－x,
第2次還款x元后到第3次還款之日欠銀行［20000(1+10%)-x］(1+10%)-x
=20000×1.12-1.1x-x,
…
第10次還款x元后，還欠銀行20000×1.110－1.19x-1.18x-…-x,
依題意得，第10次還款后，欠款全部還清，故可得
20000×1.110－（1.19＋1.18＋…＋1）x=0,
解得x=≈3255(元).
名師辨誤做答
［例4］求數(shù)列1，a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,…的前n項和.
［誤解］所求數(shù)列的前n項和Sn=1+a+a2+a3+…+a
=.
［辨析］所給數(shù)列除首項外，每一項都與a有關(guān)，而條件中沒有a的范圍，故應(yīng)對a進行討論.
［正解］由于所給數(shù)列是在數(shù)列1,a,a2,a3,…中依次取出1項，2項，3項，4項，……的和所組成的數(shù)列.因而所求數(shù)列的前n項和中共含有原數(shù)列的前（1+2+…+n）項.所以Sn=1+a+a2+…+a.①當a=0時，Sn=1.②當a=1時，Sn=.③當a≠0且a≠1時，Sn=.
課堂鞏固訓練
一、選擇題
1.等比數(shù)列{an}的公比q=2，前n項和為Sn，則=（）
A.2B.4C.D.?
［答案］C
［解析］由題意得==.故選C.
2.等比數(shù)列{an}的前3項和等于首項的3倍，則該等比數(shù)列的公比為（）?
A.-2B.1C.-2或1D.2或-1?
［答案］C
［解析］由題意可得，a1+a1q+a1q2=3a1,?
∴q2+q-2=0,∴q=1或q=-2.
3.等比數(shù)列{2n}的前n項和Sn=（）
A.2n-1B.2n-2C.2n+1-1D.2n+1-2?
［答案］D?
［解析］等比數(shù)列｛2n｝的首項為2，公比為2.?
∴Sn===2n+1-2,故選D.
二、填空題
4.若數(shù)列{an}滿足：a1=1,an+1=2an（n∈N+），則a5=;前8項的和S8=.（用數(shù)字作答）
［答案］16255?
［解析］考查等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式.?
q==2,a5=a1q4=16,
S8==28-1=255.
5.在等比數(shù)列{an}中，Sn表示前n項和，若a3=2S2+1,a4=2S3+1,則公比q=.
［答案］3?
［解析］∵a3=2S2+1,a4=2S3+1,?
兩式相減，得a3-a4=-2a3,?
∴a4=3a3,∴q=3.
三、解答題
6.在等比數(shù)列{an}中，已知a6-a4=24，a3a5=64，求數(shù)列{an}的前8項和.
［解析］解法一：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，根據(jù)通項公式an=a1qn-1，由已知條件得
a6-a4=a1q3(q2-1)=24,①?
a3a5=(a1q3)2=64,②?
∴a1q3=±8.
將a1q3=-8代入①式，得q2=-2,沒有實數(shù)q滿足此式，故舍去.?
將a1q3=8代入①式，得q2=4,∴q=±2.?
當q=2時，得a1=1,所以S8==255;?
當q=-2時，得a1=-1，所以S8==85.
解法二：因為{an}是等比數(shù)列，所以依題意得?
a24=a3a5=64,?
∴a4=±8,a6=24+a4=24±8.?
因為{an}是實數(shù)列，所以＞0,?
故舍去a4=-8,而a4=8，a6=32，從而a5=±=±16.?
公比q的值為q==±2,?
當q=2時，a1=1,a9=a6q3=256,?
∴S8==255;?
當q=-2時，a1=-1，a9=a6q3=-256,
∴S8==85.
課后強化作業(yè)
一、選擇題
1.等比數(shù)列{an}中，a2=9,a5=243,則{an}的前4項和為（）
A.81B.120C.168D.192
［答案］B
［解析］公式q3===27,q=3,a1==3,?
S4==120.
2.已知等比數(shù)列的前n項和Sn=4n+a，則a=（）
A.-4B.-1C.0D.1
［答案］B
［解析］設(shè)等比數(shù)列為｛an｝，由已知得a1=S1=4+a,a2=S2-S1=12,
a3=S3-S2=48,∴a22=a1a3,?
即144=(4+a)×48，∴a=-1.
3.已知等比數(shù)列的公比為2，且前5項和為1，那么前10項和等于（）?
A.31B.33C.35D.37
［答案］B
［解析］解法一：S5＝==1
∴a1=
∴S10===33,故選B.?
解法二：∵a1+a2+a3+a4+a5=1?
∴a6+a7+a8+a9+a10=(a1+a2+a3+a4+a5)q5=1×25＝32
∴S10＝a1+a2+…+a9+a10=1+32=33.
4.已知等比數(shù)列{an}中，公比q是整數(shù)，a1+a4=18,a2+a3=12,則此數(shù)列的前8項和為（）
A.514B.513C.512D.510
［答案］D
a1+a1q3=18
［解析］由已知得，
a1q+a1q2=12
解得q=2或.
∵q為整數(shù)，∴q=2.∴a1=2.
∴S8==29-2=510.
5.設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項和，已知a2a4=1,S3=7，則S5=（）
A.B.C.D.
［答案］B
［解析］設(shè)公比為q,則q0,且a23=1,
即a3=1.∵S3=7,∴a1+a2+a3=++1=7,
即6q2-q-1=0,?
∴q=或q=-(舍去)，?
∴a1==4.?
∴S5==8（1-）=.
6.在等比數(shù)列｛an｝（n∈N+）中，若a1=1,a4=,則該數(shù)列的前10項和為（）
A.2－B.2－C.2－D.2－
［答案］B
［解析］∵a1=1,a4=,
∴q3==,∴q=.?
∴S10==2［1-（）10］=2-,故選B.
7.已知等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,S3=3,S6=27,則此等比數(shù)列的公比q等于（）
A.2B.-2C.D.-
［答案］A?
S3==3,①
［解析］
S6==27,②
得=9,解得q3=8.?
∴q=2,故選A.
8.正項等比數(shù)列｛an｝滿足a2a4=1,S3=13,bn=log3an,則數(shù)列｛bn｝的前10項和是（）
A.65B.-65C.25D.-25
［答案］D
［解析］∵{an}為正項等比數(shù)列，a2a4=1,
∴a3=1,又∵S3=13,∴公比q≠1.
又∵S3==13,a3=a1q2,?
解得q=.?
∴an=a3qn-3=()n-3=33-n,?
∴bn=log3an=3-n.
∴b1=2,b10=-7.
∴S10==＝－25.
二、填空題
9.等比數(shù)列，-1，3，…的前10項和為.
［答案］-
［解析］S10==-.
10.（2011北京文，12）在等比數(shù)列｛an｝中，若a1=,a4=4,則公比q=;a1+a2+…+an=.
［答案］2,2n-1-
［解析］本題主要考查等比數(shù)列的基本知識，利用等比數(shù)列的前n項和公式可解得.?
=q3==8，所以q=2，所以a1+a2+……+an==2n-1-.
2n-1(n為正奇數(shù))?
11.已知數(shù)列{an}中，an=，則a9=.
2n-1（n為正偶數(shù)）
設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S9=.
［答案］256377
［解析］a9=28=256，
S9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377.
12.在等比數(shù)列{an}中，已知對于任意n∈N+,有a1+a2+…+an=2n-1,則a21+a22+…+a2n=.?
［答案］×4n-
［解析］∵a1+a2+…+an=2n-1,?
∴a1+a2+…+an-1=2n-1-1(n≥2),
兩式相減，得an=2n-1-2n-1+1=2n-2n-1=2n-1,?
∴a2n=(2n-1)2=22n-2=4n-1,?
∴a21+a22+…+a2n==×4n-.
三、解答題
13.在等比數(shù)列{an}中，已知a3=1，S3=4，求a1與q.
S3==4
［解析］（1）若q≠1,則，
a3=a1q2=1
從而解得q=1或q=-.
q=-
∵q≠1,∴.
a1=6
S3=3a1=4q=1
（2）若q=1,則，∴.
a3=a1=1a1=1
q=-q=1
綜上所述得，或.
a1=6a1=1
14.(2011大綱文科，17)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.
［分析］設(shè)出公比根據(jù)條件列出關(guān)于a1與q的方程.求得a1與q可求得數(shù)列的通項公式和前n項和公式.?
［解析］設(shè){an}的公比為q，由已知有：
a1q=6a1=3a1=2
.解得或
6a1+a1q2=30q=2q=3
(1)當a1=3,q=2時，
an=a1qn-1=3×2n-1
Sn===3×(2n-1)
(2)當a1=2,q=3時，an=a1qn-1=2×3n-1
Sn===3n-1.?
綜上，an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1)或an=2×3n-1,Sn=3n-1.
15.已知實數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；
(2)數(shù)列｛an｝的前n項和記為Sn,證明：Sn128(n=1,2,3,…).
［解析］(1)設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q(q∈R且q≠1),
由a7=a1q6=1,得a1=q-6,從而a4=a1q3=q-3,?
a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1,?
因為a4,a5+1,a6成等差數(shù)列,
所以a4+a6=2(a5+1)
即q-3+q-1=2(q-2+1),
q-1(q-2+1)=2(q-2+1).?
所以q=.?
故an=a1qn-1=q-6qn-1=qn-7=（）n-7.?
(2)證明：Sn==
=128［1-（）n］128.
16.2011年暑期人才招聘會上，A、B兩家公司分別開出了工資標準：
A公司B公司
第一年月工資為1500元，以后每一年月工資比上一年月工資增加230元．第一年月工資為２000元，以后每一年月工資比上一年月工資增加5％.
大學生王明被A、B兩家公司同時錄取，而王明只想選擇一家連續(xù)工作10年，經(jīng)過一番思考，他選擇了A公司，你知道為什么嗎？.
［解析］
A公司B公司
第一年月工資為1500元，以后每一年月工資比上一年月工資增加230元．第一年月工資為２000元，以后每一年月工資比上一年月工資增加5％.

王明的選擇過程第n年月工資為an第n年月工資為bn
首項為1500，公差為230的等差數(shù)列首項為2000，公比為1＋5％的等比數(shù)列
an=230n+1270bn=2000(1+5%)n-1
S10=12(a1+a2+…+a10)=12×［10×1500+×230］=304200
T10=12(b1+b2+…+b10)
=12×≈301869

結(jié)論顯然S10T10,故王明選擇了A公司

等比數(shù)列性質(zhì)

1.1.2等比數(shù)列性質(zhì)

課型

新課

課程

分析

等比數(shù)列是又一特殊數(shù)列，它與前面我們剛剛所探討過的等差數(shù)列僅有一字之差，所以我們可用比較法來學習等比數(shù)列的相關(guān)知識。在深刻理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的區(qū)別與聯(lián)系的基礎(chǔ)上，牢固掌握等比數(shù)列的性質(zhì)。

學情

分析

學生已經(jīng)學習了等差數(shù)列，對于等比數(shù)列學生對比等差數(shù)列學習較容易接受。

設(shè)計

理念

采用比較式數(shù)學法，從而使學生抓住等差數(shù)列與等比數(shù)列各自的特點，以便理解、掌握與應(yīng)用.

學習目標

知識目標

掌握等比數(shù)列的性質(zhì)

能力目標

會求等比數(shù)列的通項公式,運用等比數(shù)列的性質(zhì)。

德育目標

1.培養(yǎng)學生的發(fā)現(xiàn)意識、提高學生創(chuàng)新意識、提高學生的邏輯推理能力、增強學生的應(yīng)用意識。

板書設(shè)計

3.1.2課題探究一練習性質(zhì)1探究二性質(zhì)2應(yīng)用舉例探究三性質(zhì)3

課后反饋

解：設(shè)這個等比數(shù)列的首項是a1,公比是q,

①②

組織教學導(dǎo)入新課講授新課歸納小結(jié)布置作業(yè)

備注

（一）回顧等比數(shù)列的有關(guān)概念

（1）定義式：

（2）通項公式：

導(dǎo)入本課題意：與等差數(shù)列類似，等比數(shù)列也是特殊的數(shù)列，它還有一些規(guī)律性質(zhì)，本節(jié)課，就讓我們一起來探尋一下它到底有一些怎樣的性質(zhì)。

二．推進新課

題：就任一等差數(shù)列｛an｝，計算a7+a10和a8+a9，a10+a40和a20+a30，你發(fā)現(xiàn)了什么一般規(guī)律，能把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律作一般化的推廣嗎？類比猜想一下，在等比數(shù)列中會有怎樣的類似結(jié)論？

引導(dǎo)探：…性質(zhì)1（板書）：在等比數(shù)列中，若m+n＝p+q，有aman＝apaq

探究二.(引導(dǎo)學生通過類比聯(lián)想發(fā)現(xiàn)進而推證出性質(zhì)2)

已知｛an｝是等比數(shù)列.

（1）是否成立？成立嗎？為什么？

（2）是否成立？你據(jù)此能得到什么結(jié)論？是否成立？你又能得到什么結(jié)論？)

合作探：…性質(zhì)2（板書）：在等比數(shù)列中（本質(zhì)上就是等比中項）

探究三：一位同學發(fā)現(xiàn)：若是等差數(shù)列的前n項和，則也是等差數(shù)列。在等比數(shù)列中是否也有這樣的結(jié)論？為什么？

性質(zhì)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，為的前項之和，則新構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為。

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備注

②當時，則（常數(shù)），所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；

由①②得，數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為。三．應(yīng)用舉例：（理解、鞏固）

例1．1）在等比數(shù)列｛an｝中，已知

2)在等比數(shù)列｛bn｝中，b4＝3，求該數(shù)列的前7項之積。例2在等比數(shù)例中，求

例3等比數(shù)列｛an｝的各項均為正數(shù)，且，求

的值

例4、在等比數(shù)列中，,求的值.解：因是等比數(shù)列，所以是等比數(shù)列，所以

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備注

1、下列命題中:(1)常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列;

(2)若{an}是等差數(shù)列，則{3－2an}也是等差數(shù)列;

(3)若{an}是等比數(shù)列，則{an+an+1}也是等比數(shù)列;

(4)若{an}是等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列.

其中正確的命題是_____________(填命題序號)

2、在等比數(shù)列中，，則的值為_______

3、在等比數(shù)列中，，，求的值.解：因為由上述等比數(shù)列性質(zhì)知，構(gòu)造新數(shù)列其是首項為，公比為的等比數(shù)列，是新數(shù)列的第5項，所以。4、已知等比數(shù)列前項的和為2，其后項的和為12，求再后面項的和.解：由，，因成等比數(shù)列，其公比為，所以問題轉(zhuǎn)化為：求的值.因為得，所以或，于是.

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備注

（1）等比數(shù)列的性質(zhì)1、性質(zhì)2性質(zhì)3內(nèi)容及推導(dǎo)方法歸納。

（2）等比數(shù)列三性質(zhì)的探尋，我們是通過類比等差聯(lián)想到等比，猜想在等比數(shù)列中可能存在的性質(zhì)規(guī)律。然后先從簡單的等比數(shù)列加以驗證，再推出一般式，并加以嚴格的邏輯證明。這個過程所用的類比、聯(lián)想、猜想、從特殊到一般，最后給予證明得出結(jié)論的想法和方法，我們稱為數(shù)學思想方法。是解決問題、科學發(fā)現(xiàn)、探究自然的一種重要的思維方法和手段。它無處不體現(xiàn)在我們解決問題的思維過程中，希望大家今后留心思考，對提高你們的學習能力及分析解決問題的能力將有極大的幫助。