小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)教案

高二數(shù)學(xué)《等比數(shù)列》第1課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)。

高二數(shù)學(xué)《等比數(shù)列》第1課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教材分析：

等比數(shù)列是必修5中第二章第四節(jié)的內(nèi)容，它是繼數(shù)列中等差數(shù)列后又一非常重要的一種數(shù)列。本小節(jié)首先通過(guò)具體例子引出等比數(shù)列的概念，然后由等比數(shù)列的定義導(dǎo)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并對(duì)比等比數(shù)列的圖象進(jìn)行了說(shuō)明，最后給出了等比中項(xiàng)的概念。等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)不僅是本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是高中階段培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的重要載體之一，為培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

二、學(xué)生分析：

在學(xué)生已經(jīng)掌握了等差數(shù)列的概念和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，采用類(lèi)比的思想進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生理解起來(lái)應(yīng)該不難。但是這節(jié)課對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力要求較高，而我班學(xué)生接受能力一般，靈活性不夠。因此，本節(jié)課采用低起點(diǎn)，由淺入深，由易到難逐步推進(jìn)，熱情地啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生在歡快的氣氛中獲取知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)的能力。

三、教學(xué)目標(biāo)：

1．知識(shí)與技能目標(biāo)

理解并掌握等比數(shù)列的定義和等比中項(xiàng)的概念，探究等比數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)及應(yīng)用。

2．過(guò)程與方法目標(biāo)

通過(guò)實(shí)例理解等比數(shù)列的概念及公式，滲透類(lèi)比思想、方程思想、函數(shù)思想以及從特殊到—般等數(shù)學(xué)思想，著重培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、概括、歸納、演繹等方面的思維能力，并進(jìn)—步培養(yǎng)運(yùn)算能力，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。

3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)

充分感受數(shù)列是反映現(xiàn)實(shí)生活的模型，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，并應(yīng)用于生活，數(shù)學(xué)是豐富多彩的，提高學(xué)習(xí)的興趣。

教學(xué)重點(diǎn)：

等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，等比中項(xiàng)的概念及應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：

等比數(shù)列概念，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)及應(yīng)用。

教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)，合作探究

四、教學(xué)環(huán)境：采用多媒體課件輔助教學(xué)

教具準(zhǔn)備：白紙一張，學(xué)案一份，課件一份

五、信息技術(shù)應(yīng)用思路

等比數(shù)列是數(shù)列中非常重要的一種數(shù)列，為增強(qiáng)學(xué)生的興趣以及理解能力，教學(xué)中借助多媒體課件進(jìn)行展示。在PPT中還穿插了flash動(dòng)畫(huà)，動(dòng)畫(huà)形象地演示了細(xì)胞分裂的情況，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得非常直觀形象，能大大增強(qiáng)教學(xué)的直觀性和趣味性，從而更好地引導(dǎo)學(xué)生自主探究，真正理解的目的。

六、教學(xué)過(guò)程

（一）情境引入，激發(fā)興趣

每個(gè)學(xué)生發(fā)一張厚度為0.1mm的白紙，讓學(xué)生對(duì)折若干次。

（注：學(xué)生對(duì)折5、6次后可能無(wú)法對(duì)折下去）

師：如果能夠?qū)φ?0次的話，它的高度是多少？

學(xué)生猜測(cè)，引發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲。

師：可能超過(guò)珠穆朗瑪峰

學(xué)生質(zhì)疑，讓學(xué)生帶著疑問(wèn)來(lái)展開(kāi)新課。

（二）推進(jìn)新課探索新知

（學(xué)生閱讀課本上的四個(gè)實(shí)例背景）

1．細(xì)胞分裂個(gè)數(shù)可以組成數(shù)列：1,2,4,8，……；

2．《莊子》中提到：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭?！比绻选耙怀咧ⅰ笨闯蓡挝弧?”，那么“日取其半”得到的數(shù)列是

等比數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)

3．一種計(jì)算機(jī)病毒通過(guò)郵件進(jìn)行傳播，假設(shè)每一輪每臺(tái)計(jì)算機(jī)都感染20臺(tái)，則感染病毒的計(jì)算機(jī)數(shù)構(gòu)成數(shù)列：等比數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)

4．銀行支付利息的方式——復(fù)利，現(xiàn)在存入銀行10000元錢(qián)，年利率是1.98%，那么按照復(fù)利，5年內(nèi)各年末得到的本利各分別是多少？

觀察：(1)1,2,4,8，….

（2）等比數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)

（3）等比數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)

等比數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)，等比數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)

觀察上面的4個(gè)數(shù)列有什么共同特點(diǎn)？

1、等比數(shù)列的定義

一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

問(wèn)題1．回答剛才4個(gè)數(shù)列的公比。

問(wèn)題2．下列數(shù)列是不是等比數(shù)列，如果是，公比是多少？

(1)2,4,16,64,…

(2)16,8,4,2,0,1，…

(3)等比數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)

(4)5,5,5,5,5

(5)等比數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)

注:(1)公比q可正可負(fù)，但不可為0；

(2)等比數(shù)列的每一項(xiàng)都不能為0；

(3)若一個(gè)數(shù)列的公比為1，則其是常數(shù)列，

但是常數(shù)列不一定是等比數(shù)列；

(4)非0的常數(shù)列既是等差數(shù)列，也是等比數(shù)列。

2、等比中項(xiàng)的概念

如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)。

想一想：（1）2與6的等比中項(xiàng)是（）；

（2）-9與-9的等比中項(xiàng)是（）；

（3）-2與8有沒(méi)有等比中項(xiàng)？

注：只有符號(hào)相同且不為0的兩個(gè)數(shù)有等比中項(xiàng)。

3、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

等比數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)等比數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)問(wèn)題：若一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)是，公比是q，能否求出此數(shù)列的通項(xiàng)公式？

方法1(歸納、猜想)

方法2（累乘法）

（三）例題講解鞏固新知

例1、某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，沒(méi)經(jīng)過(guò)一年剩留的這種物質(zhì)是原來(lái)的84%。這種物質(zhì)的半衰期為多長(zhǎng)（精確到1年）？

例2、一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18，

求它的第1項(xiàng)與第n項(xiàng).

注：首項(xiàng)等比數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)和公比q是確定等比數(shù)列的基本量，根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于等比數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)、q的方程（或方程組）是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。四個(gè)量等比數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)知三求一。

練習(xí)題：在等比數(shù)列等比數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)中，等比數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì)求等比數(shù)列教學(xué)設(shè)計(jì).

相關(guān)知識(shí)

等比數(shù)列學(xué)案

第3課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和
知能目標(biāo)解讀
1.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法--錯(cuò)位相減法，并能用其思想方法求某類(lèi)特殊數(shù)列的前n項(xiàng)和.
2.掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式以及性質(zhì)，并能應(yīng)用公式解決有關(guān)等比數(shù)列前n項(xiàng)的問(wèn)題.在應(yīng)用時(shí)，特別要注意q=1和q≠1這兩種情況.
3.能夠利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.
重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥
重點(diǎn)：掌握等比數(shù)列的求和公式，會(huì)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決有關(guān)問(wèn)題.
難點(diǎn)：研究等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式及公式的靈活運(yùn)用.
學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)
1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
（1）設(shè)等比數(shù)列{an}，其首項(xiàng)為a1，公比為q，則其前n項(xiàng)和公式為
na1(q=1)
Sn=.
(q≠1)
也就是說(shuō)，公比為q的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是q的分段函數(shù)的一系列函數(shù)值，分段的界限是在q=1處.因此，使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，必須要弄清公比q是可能等于1還是不等于1，如果q可能等于1，則需分q=1和q≠1進(jìn)行討論.
（2）等比數(shù)列{an}中，當(dāng)已知a1,q(q≠1)，n時(shí)，用公式Sn=，當(dāng)已知a1,q(q≠1)，an時(shí)，用公式Sn=.
2.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)
除課本上用錯(cuò)位相減法推導(dǎo)求和公式外，還可以用下面的方法推導(dǎo).
(1)合比定理法
由等比數(shù)列的定義知：==…==q.
當(dāng)q≠1時(shí)，=q,即=q.
故Sn==.
當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1.
(2)拆項(xiàng)法
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)
當(dāng)q≠1時(shí)，Sn==.
當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1.
(3)利用關(guān)系式Sn-Sn-1=an(n≥2)
∵當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+qSn-1
∴Sn=a1+q(Sn-an)
即(1-q)Sn=a1(1-qn)
當(dāng)q≠1時(shí)，有Sn=,
當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1.
注意：
(1)錯(cuò)位相減法，合比定理法，拆項(xiàng)法及an與Sn的關(guān)系的應(yīng)用，在今后解題中要時(shí)常用到，要領(lǐng)會(huì)這些技巧.
(2)錯(cuò)位相減法適用于{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，求{anbn}的前n項(xiàng)和.
3.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用
（1）衡量等比數(shù)列的量共有五個(gè)：a1,q,n,an,Sn.由方程組知識(shí)可知，解決等比數(shù)列問(wèn)題時(shí)，這五個(gè)量中只要已知其中的任何三個(gè)，就可以求出其他兩個(gè)量.
（2）公比q是否為1是考慮等比數(shù)列問(wèn)題的重要因素，在求和時(shí)，注意分q=1和q≠1的討論.
4.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系
(1)當(dāng)公比q≠1時(shí)，令A(yù)=，則等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可寫(xiě)成Sn=-Aqn+A的形式.由此可見(jiàn)，非常數(shù)列的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是由關(guān)于n的一個(gè)指數(shù)式與一個(gè)常數(shù)的和構(gòu)成的，而指數(shù)式的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù).
當(dāng)公比q=1時(shí)，因?yàn)閍1≠0，所以Sn=na1是n的正比例函數(shù)（常數(shù)項(xiàng)為0的一次函數(shù)）.
(2)當(dāng)q≠1時(shí)，數(shù)列S1,S2,S3,…,Sn,…的圖像是函數(shù)y=-Aqx+A圖像上的一群孤立的點(diǎn).當(dāng)q=1時(shí)，數(shù)列S1,S2,S3,…,Sn,…的圖像是正比例函數(shù)y=a1x圖像上的一群孤立的點(diǎn).
知能自主梳理
1.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式
（1）等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)公比q≠1時(shí)，Sn==;當(dāng)q=1時(shí)，Sn=.
(2)推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法是.
2.公式特點(diǎn)
（1）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=p(1-qn)(p為常數(shù))，且q≠0,q≠1，則數(shù)列{an}為.
（2）在等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中共有a1,an,n,q,Sn五個(gè)量，在這五個(gè)量中知求.
［答案］1.（1）na1(2)錯(cuò)位相減法
2.（1）等比數(shù)列（2）三二
思路方法技巧
命題方向等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用
［例1］設(shè)數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn,且S3=3a3,求此數(shù)列的公比q.
［分析］應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，注意對(duì)公比q的討論.
［解析］當(dāng)q=1時(shí)，S3=3a1=3a3,符合題目條件；
當(dāng)q≠1時(shí)，=3a1q2,
因?yàn)閍1≠0,所以1－q3=3q2(1-q),
2q3-3q2+1=0,(q-1)2(2q+1)=0,
解得q=-.
綜上所述，公比q的值是1或－.
［說(shuō)明］（1）在等比數(shù)列中，對(duì)于a1,an,q,n,Sn五個(gè)量，已知其中三個(gè)量，可以求得其余兩個(gè)量.
（2）等比數(shù)列前n項(xiàng)和問(wèn)題，必須注意q是否等于1，如果不確定，應(yīng)分q=1或q≠1兩種情況討論.
（3）等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式中，當(dāng)q≠1時(shí)，若已知a1,q,n利用Sn=來(lái)求；若已知a1,an,q,利用Sn=來(lái)求.
變式應(yīng)用1在等比數(shù)列{an}中,已知S3=,S6=,求an.
［解析］∵S6=,S3=,
∴S6≠2S3，∴q≠1.
=①
∴
=②
②÷①得1+q3=9,∴q=2.
將q=2代入①，得a1=,
∴an=a1qn-1=2n-2.
命題方向等比數(shù)列前n項(xiàng)的性質(zhì)
［例2］在等比數(shù)列{an}中，已知Sn=48,S2n=60,求S3n.
［分析］利用等比數(shù)列前n項(xiàng)的性質(zhì)求解.
［解析］∵{an}為等比數(shù)列，∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比數(shù)列，
∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)
∴S3n=+S2n=+60=63.
［說(shuō)明］等比數(shù)列連續(xù)等段的和若不為零時(shí)，則連續(xù)等段的和仍成等比數(shù)列.
變式應(yīng)用2等比數(shù)列{an}中，S2=7，S6=91,求S4.
［解析］解法一：∵{an}為等比數(shù)列，∴S2，S4-S2，S6-S4也為等比數(shù)列，
∴（S4-7）2=7×（91-S4），解得S4=28或-21.
∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)0,
∴S4=28.
解法二：∵S2=7,S6=91,∴q≠1.
=7①?
∴
=91②
得q4+q2-12=0,∴q2=3,
∴q=±.
當(dāng)q=時(shí)，a1=,
∴S4==28.
當(dāng)q=-時(shí)，a1=-,
∴S4==28.
探索延拓創(chuàng)新
命題方向等比數(shù)列前n項(xiàng)和在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用
［例3］某公司實(shí)行股份制，一投資人年初入股a萬(wàn)元，年利率為25%，由于某種需要，從第二年起此投資人每年年初要從公司取出x萬(wàn)元.
（1）分別寫(xiě)出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投資人在該公司中的資產(chǎn)本利和；
（2）寫(xiě)出第n年年底，此投資人的本利之和bn與n的關(guān)系式（不必證明）；
（3）為實(shí)現(xiàn)第20年年底此投資人的本利和對(duì)于原始投資a萬(wàn)元恰好翻兩番的目標(biāo)，若a=395,則x的值應(yīng)為多少?(在計(jì)算中可使用lg2≈0.3)
［解析］(1)第一年年底本利和為a+a25%=1.25a,
第二年年底本利和為（1.25a-x）+(1.25a-x)×25%=1.252a-1.25x,
第三年年底本利和為（1.252a-1.25x-x）+(1.252a-1.25x-x)25%=1.253a-(1.252+1.25)x.
(2)第n年年底本利和為
bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+…+1.25)x.
(3)依題意，有
395×1.2520-(1.2519+1.2518+…+1.25)x=4×395,
∴x=
=.①
設(shè)1.2520=t,∴l(xiāng)gt=20lg（）=20(1-3lg2)=2.
∴t=100,代入①解得x=96.
變式應(yīng)用3某大學(xué)張教授年初向銀行貸款2萬(wàn)元用于購(gòu)房，銀行貨款的年利息為10％，按復(fù)利計(jì)算（即本年的利息計(jì)入次年的本金生息）.若這筆款要分10年等額還清，每年年初還一次，并且以貸款后次年年初開(kāi)始?xì)w還，問(wèn)每年應(yīng)還多少元？
［解析］第1次還款x元之后到第2次還款之日欠銀行
20000（1＋10％）－x=20000×1.1－x,
第2次還款x元后到第3次還款之日欠銀行［20000(1+10%)-x］(1+10%)-x
=20000×1.12-1.1x-x,
…
第10次還款x元后，還欠銀行20000×1.110－1.19x-1.18x-…-x,
依題意得，第10次還款后，欠款全部還清，故可得
20000×1.110－（1.19＋1.18＋…＋1）x=0,
解得x=≈3255(元).
名師辨誤做答
［例4］求數(shù)列1，a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,…的前n項(xiàng)和.
［誤解］所求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=1+a+a2+a3+…+a
=.
［辨析］所給數(shù)列除首項(xiàng)外，每一項(xiàng)都與a有關(guān)，而條件中沒(méi)有a的范圍，故應(yīng)對(duì)a進(jìn)行討論.
［正解］由于所給數(shù)列是在數(shù)列1,a,a2,a3,…中依次取出1項(xiàng)，2項(xiàng)，3項(xiàng)，4項(xiàng)，……的和所組成的數(shù)列.因而所求數(shù)列的前n項(xiàng)和中共含有原數(shù)列的前（1+2+…+n）項(xiàng).所以Sn=1+a+a2+…+a.①當(dāng)a=0時(shí)，Sn=1.②當(dāng)a=1時(shí)，Sn=.③當(dāng)a≠0且a≠1時(shí)，Sn=.
課堂鞏固訓(xùn)練
一、選擇題
1.等比數(shù)列{an}的公比q=2，前n項(xiàng)和為Sn，則=（）
A.2B.4C.D.?
［答案］C
［解析］由題意得==.故選C.
2.等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和等于首項(xiàng)的3倍，則該等比數(shù)列的公比為（）?
A.-2B.1C.-2或1D.2或-1?
［答案］C
［解析］由題意可得，a1+a1q+a1q2=3a1,?
∴q2+q-2=0,∴q=1或q=-2.
3.等比數(shù)列{2n}的前n項(xiàng)和Sn=（）
A.2n-1B.2n-2C.2n+1-1D.2n+1-2?
［答案］D?
［解析］等比數(shù)列｛2n｝的首項(xiàng)為2，公比為2.?
∴Sn===2n+1-2,故選D.
二、填空題
4.若數(shù)列{an}滿足：a1=1,an+1=2an（n∈N+），則a5=;前8項(xiàng)的和S8=.（用數(shù)字作答）
［答案］16255?
［解析］考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.?
q==2,a5=a1q4=16,
S8==28-1=255.
5.在等比數(shù)列{an}中，Sn表示前n項(xiàng)和，若a3=2S2+1,a4=2S3+1,則公比q=.
［答案］3?
［解析］∵a3=2S2+1,a4=2S3+1,?
兩式相減，得a3-a4=-2a3,?
∴a4=3a3,∴q=3.
三、解答題
6.在等比數(shù)列{an}中，已知a6-a4=24，a3a5=64，求數(shù)列{an}的前8項(xiàng)和.
［解析］解法一：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，根據(jù)通項(xiàng)公式an=a1qn-1，由已知條件得
a6-a4=a1q3(q2-1)=24,①?
a3a5=(a1q3)2=64,②?
∴a1q3=±8.
將a1q3=-8代入①式，得q2=-2,沒(méi)有實(shí)數(shù)q滿足此式，故舍去.?
將a1q3=8代入①式，得q2=4,∴q=±2.?
當(dāng)q=2時(shí)，得a1=1,所以S8==255;?
當(dāng)q=-2時(shí)，得a1=-1，所以S8==85.
解法二：因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，所以依題意得?
a24=a3a5=64,?
∴a4=±8,a6=24+a4=24±8.?
因?yàn)閧an}是實(shí)數(shù)列，所以＞0,?
故舍去a4=-8,而a4=8，a6=32，從而a5=±=±16.?
公比q的值為q==±2,?
當(dāng)q=2時(shí)，a1=1,a9=a6q3=256,?
∴S8==255;?
當(dāng)q=-2時(shí)，a1=-1，a9=a6q3=-256,
∴S8==85.
課后強(qiáng)化作業(yè)
一、選擇題
1.等比數(shù)列{an}中，a2=9,a5=243,則{an}的前4項(xiàng)和為（）
A.81B.120C.168D.192
［答案］B
［解析］公式q3===27,q=3,a1==3,?
S4==120.
2.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=4n+a，則a=（）
A.-4B.-1C.0D.1
［答案］B
［解析］設(shè)等比數(shù)列為｛an｝，由已知得a1=S1=4+a,a2=S2-S1=12,
a3=S3-S2=48,∴a22=a1a3,?
即144=(4+a)×48，∴a=-1.
3.已知等比數(shù)列的公比為2，且前5項(xiàng)和為1，那么前10項(xiàng)和等于（）?
A.31B.33C.35D.37
［答案］B
［解析］解法一：S5＝==1
∴a1=
∴S10===33,故選B.?
解法二：∵a1+a2+a3+a4+a5=1?
∴a6+a7+a8+a9+a10=(a1+a2+a3+a4+a5)q5=1×25＝32
∴S10＝a1+a2+…+a9+a10=1+32=33.
4.已知等比數(shù)列{an}中，公比q是整數(shù)，a1+a4=18,a2+a3=12,則此數(shù)列的前8項(xiàng)和為（）
A.514B.513C.512D.510
［答案］D
a1+a1q3=18
［解析］由已知得，
a1q+a1q2=12
解得q=2或.
∵q為整數(shù)，∴q=2.∴a1=2.
∴S8==29-2=510.
5.設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，已知a2a4=1,S3=7，則S5=（）
A.B.C.D.
［答案］B
［解析］設(shè)公比為q,則q0,且a23=1,
即a3=1.∵S3=7,∴a1+a2+a3=++1=7,
即6q2-q-1=0,?
∴q=或q=-(舍去)，?
∴a1==4.?
∴S5==8（1-）=.
6.在等比數(shù)列｛an｝（n∈N+）中，若a1=1,a4=,則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）
A.2－B.2－C.2－D.2－
［答案］B
［解析］∵a1=1,a4=,
∴q3==,∴q=.?
∴S10==2［1-（）10］=2-,故選B.
7.已知等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,S3=3,S6=27,則此等比數(shù)列的公比q等于（）
A.2B.-2C.D.-
［答案］A?
S3==3,①
［解析］
S6==27,②
得=9,解得q3=8.?
∴q=2,故選A.
8.正項(xiàng)等比數(shù)列｛an｝滿足a2a4=1,S3=13,bn=log3an,則數(shù)列｛bn｝的前10項(xiàng)和是（）
A.65B.-65C.25D.-25
［答案］D
［解析］∵{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列，a2a4=1,
∴a3=1,又∵S3=13,∴公比q≠1.
又∵S3==13,a3=a1q2,?
解得q=.?
∴an=a3qn-3=()n-3=33-n,?
∴bn=log3an=3-n.
∴b1=2,b10=-7.
∴S10==＝－25.
二、填空題
9.等比數(shù)列，-1，3，…的前10項(xiàng)和為.
［答案］-
［解析］S10==-.
10.（2011北京文，12）在等比數(shù)列｛an｝中，若a1=,a4=4,則公比q=;a1+a2+…+an=.
［答案］2,2n-1-
［解析］本題主要考查等比數(shù)列的基本知識(shí)，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可解得.?
=q3==8，所以q=2，所以a1+a2+……+an==2n-1-.
2n-1(n為正奇數(shù))?
11.已知數(shù)列{an}中，an=，則a9=.
2n-1（n為正偶數(shù)）
設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S9=.
［答案］256377
［解析］a9=28=256，
S9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377.
12.在等比數(shù)列{an}中，已知對(duì)于任意n∈N+,有a1+a2+…+an=2n-1,則a21+a22+…+a2n=.?
［答案］×4n-
［解析］∵a1+a2+…+an=2n-1,?
∴a1+a2+…+an-1=2n-1-1(n≥2),
兩式相減，得an=2n-1-2n-1+1=2n-2n-1=2n-1,?
∴a2n=(2n-1)2=22n-2=4n-1,?
∴a21+a22+…+a2n==×4n-.
三、解答題
13.在等比數(shù)列{an}中，已知a3=1，S3=4，求a1與q.
S3==4
［解析］（1）若q≠1,則，
a3=a1q2=1
從而解得q=1或q=-.
q=-
∵q≠1,∴.
a1=6
S3=3a1=4q=1
（2）若q=1,則，∴.
a3=a1=1a1=1
q=-q=1
綜上所述得，或.
a1=6a1=1
14.(2011大綱文科，17)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.
［分析］設(shè)出公比根據(jù)條件列出關(guān)于a1與q的方程.求得a1與q可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.?
［解析］設(shè){an}的公比為q，由已知有：
a1q=6a1=3a1=2
.解得或
6a1+a1q2=30q=2q=3
(1)當(dāng)a1=3,q=2時(shí)，
an=a1qn-1=3×2n-1
Sn===3×(2n-1)
(2)當(dāng)a1=2,q=3時(shí)，an=a1qn-1=2×3n-1
Sn===3n-1.?
綜上，an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1)或an=2×3n-1,Sn=3n-1.
15.已知實(shí)數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和記為Sn,證明：Sn128(n=1,2,3,…).
［解析］(1)設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q(q∈R且q≠1),
由a7=a1q6=1,得a1=q-6,從而a4=a1q3=q-3,?
a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1,?
因?yàn)閍4,a5+1,a6成等差數(shù)列,
所以a4+a6=2(a5+1)
即q-3+q-1=2(q-2+1),
q-1(q-2+1)=2(q-2+1).?
所以q=.?
故an=a1qn-1=q-6qn-1=qn-7=（）n-7.?
(2)證明：Sn==
=128［1-（）n］128.
16.2011年暑期人才招聘會(huì)上，A、B兩家公司分別開(kāi)出了工資標(biāo)準(zhǔn)：
A公司B公司
第一年月工資為1500元，以后每一年月工資比上一年月工資增加230元．第一年月工資為２000元，以后每一年月工資比上一年月工資增加5％.
大學(xué)生王明被A、B兩家公司同時(shí)錄取，而王明只想選擇一家連續(xù)工作10年，經(jīng)過(guò)一番思考，他選擇了A公司，你知道為什么嗎？.
［解析］
A公司B公司
第一年月工資為1500元，以后每一年月工資比上一年月工資增加230元．第一年月工資為２000元，以后每一年月工資比上一年月工資增加5％.

王明的選擇過(guò)程第n年月工資為an第n年月工資為bn
首項(xiàng)為1500，公差為230的等差數(shù)列首項(xiàng)為2000，公比為1＋5％的等比數(shù)列
an=230n+1270bn=2000(1+5%)n-1
S10=12(a1+a2+…+a10)=12×［10×1500+×230］=304200
T10=12(b1+b2+…+b10)
=12×≈301869

結(jié)論顯然S10T10,故王明選擇了A公司

等比數(shù)列教學(xué)案

俗話說(shuō)，居安思危，思則有備，有備無(wú)患。準(zhǔn)備好一份優(yōu)秀的教案往往是必不可少的。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動(dòng)起來(lái)，有效的提高課堂的教學(xué)效率。你知道怎么寫(xiě)具體的教案內(nèi)容嗎？下面是小編精心收集整理，為您帶來(lái)的《等比數(shù)列教學(xué)案》，供大家參考，希望能幫助到有需要的朋友。

第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)
知能目標(biāo)解讀
1.結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，了解等比數(shù)列的性質(zhì)和由來(lái).
2.理解等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.
3.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)并能綜合運(yùn)用.
重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥
重點(diǎn)：等比數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用.
難點(diǎn)：等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用.
學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)
1.在等比數(shù)列中，我們隨意取出連續(xù)三項(xiàng)及以上的數(shù)，把它們重新依次看成一個(gè)新的數(shù)列，則此數(shù)列仍為等比數(shù)列，這是因?yàn)殡S意取出連續(xù)三項(xiàng)及以上的數(shù)，則以取得的第一個(gè)數(shù)為首項(xiàng)，且仍滿足從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)量仍為原數(shù)列的公比，所以，新形成的數(shù)列仍為等比數(shù)列.
2.在等比數(shù)列中，我們?nèi)稳∠陆菢?biāo)成等差的三項(xiàng)及以上的數(shù)，按原數(shù)列的先后順序排列所構(gòu)成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，簡(jiǎn)言之：下角標(biāo)成等差，項(xiàng)成等比.我們不妨設(shè)從等比數(shù)列{an}中依次取出的數(shù)為ak,ak+m,ak+2m,ak+3m,…,則===…=qm(q為原等比數(shù)列的公比)，所以此數(shù)列成等比數(shù)列.
3.如果數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比為q,c是不等于零的常數(shù)，那么數(shù)列{can}仍是等比數(shù)列，且公比仍為q;?{|an|}?也是等比，且公比為|q|.我們可以設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,且滿足=q,則==q,所以數(shù)列{can}仍是等比數(shù)列，公比為q.同理，可證{|an|}也是等比數(shù)列，公比為|q|.
4.在等比數(shù)列{an}中，若m+n=t+s且m,n,t,s∈N+則aman=atas.理由如下：因?yàn)閍man=a1qm-1a1qn-1
=a21qm+n-2,atas=a1qt-1a1qs-1=a21qt+s-2,又因?yàn)閙+n=t+s,所以m+n-2=t+s-2,所以aman=atas.從此性質(zhì)還可得到，項(xiàng)數(shù)確定的等比數(shù)列，距離首末兩端相等的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)之積.
5.若{an}，{bn}均為等比數(shù)列，公比分別為q1,q2,則
（1）{anbn}仍為等比數(shù)列，且公比為q1q2.
(2){}仍為等比數(shù)列，且公比為.
理由如下：（1）=q1q2,所以{anbn}仍為等比數(shù)列，且公比為q1q2;(2)=,
所以｛}仍為等比數(shù)列，且公比為.
知能自主梳理
1.等比數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)的關(guān)系
（1）兩項(xiàng)關(guān)系
通項(xiàng)公式的推廣：
an=am(m、n∈N+).
(2)多項(xiàng)關(guān)系
項(xiàng)的運(yùn)算性質(zhì)
若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)，
則aman=.
特別地，若m+n=2p(m、n、p∈N+），
則aman＝.
2.等比數(shù)列的項(xiàng)的對(duì)稱性
有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積（若有中間項(xiàng)則等于中間項(xiàng)的平方），即a1an＝a2=ak=a2(n為正奇數(shù)).
［答案］1.qn-mapaqa2p
2.an-1an-k+1
思路方法技巧
命題方向運(yùn)用等比數(shù)列性質(zhì)an=amqn-m(m、n∈N+)解題
［例1］在等比數(shù)列{an}中，若a2=2,a6=162,求a10.
［分析］解答本題可充分利用等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式，求得q,再求a10.
［解析］解法一：設(shè)公比為q,由題意得
a1q=2a1=a1=-
，解得，或.
a1q5=162q=3q=-3
∴a10=a1q9=×39=13122或a10=a1q9=-×（-3）9=13122.
解法二：∵a6=a2q4,
∴q4===81,
∴a10=a6q4=162×81=13122.
解法三：在等比數(shù)列中，由a26=a2a10得
a10===13122.
［說(shuō)明］比較上述三種解法，可看出解法二、解法三利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、明了，因此要熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，在解有關(guān)等比數(shù)列的問(wèn)題時(shí)，要注意等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用.
變式應(yīng)用1已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，且q≠1,試比較a1+a8與a4+a5的大小.
［解析］解法一：由已知條件a10,q0，且q≠1,這時(shí)
(a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1-q3)（1-q4）
=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q+q2+q3)0,
顯然，a1+a8a4+a5.
解法二：利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解.
由于(a1+a8)-(a4+a5)=(a1-a4)-(a5-a8)
=a1(1-q3)-a5(1-q3)=(1-q3)(a1-a5).
當(dāng)0q1時(shí)，此正數(shù)等比數(shù)列單調(diào)遞減，1-q3與a1-a5同為正數(shù)，
當(dāng)q1時(shí)，此正數(shù)等比數(shù)列單調(diào)遞增，1-q3與a1-a5同為負(fù)數(shù)，
∵(a1+a8)-(a4+a5)恒正.
∴a1+a8a4+a5.
命題方向運(yùn)用等比數(shù)列性質(zhì)aman=apaq(m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q)解題
［例2］在等比數(shù)列{an}中，已知a7a12=5，則a8a9a10a11=（）
A.10B.25C.50D.75
［分析］已知等比數(shù)列中兩項(xiàng)的積的問(wèn)題，常常離不開(kāi)等比數(shù)列的性質(zhì)，用等比數(shù)列的性質(zhì)會(huì)大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.
［答案］B
［解析］解法一：∵a7a12=a8a11=a9a10=5，∴a8a9a10a11=52=25.
解法二：由已知得a1q6a1q11=a21q17=5，
∴a8a9a10a11=a1q7a1q8a1q9a1q10=a41q34=(a21q17)2=25.
［說(shuō)明］在等比數(shù)列的有關(guān)運(yùn)算中，常常涉及次數(shù)較高的指數(shù)運(yùn)算，若按照常規(guī)解法，往往是建立a1,q的方程組，這樣解起來(lái)很麻煩，為此我們經(jīng)常結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，進(jìn)行整體變換，會(huì)起到化繁為簡(jiǎn)的效果.
變式應(yīng)用2在等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)均為正數(shù)，且a6a10+a3a5=41,a4a8=5,求a4+a8.
［解析］∵a6a10=a28,a3a5=a24,∴a28+a24=41.
又∵a4a8=5,an0,
∴a4+a8===.
探索延拓創(chuàng)新
命題方向等比數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用
［例3］試判斷能否構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列{an}，使其滿足下列三個(gè)條件：
①a1+a6=11;②a3a4=;③至少存在一個(gè)自然數(shù)m,使am-1,am,am+1+依次成等差數(shù)列，若能，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.
［分析］由①②條件確定等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，再驗(yàn)證是否符合條件③.
［解析］假設(shè)能夠構(gòu)造出符合條件①②的等比數(shù)列{an},不妨設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由條件①②及a1a6=a3a4,得
a1+a6=11a1=a1=
，解得，或
a1a6=a6=a6=.
a1=a1=
從而，或.
q=2q=
故所求數(shù)列的通項(xiàng)為an=2n-1或an=26-n.
對(duì)于an=2n-1,若存在題設(shè)要求的m,則
2am=am-1+（am+1+）,得
2（2m-1）=2m-2+2m+,得
2m+8=0,即2m=-8,故符合條件的m不存在.
對(duì)于an=26-n,若存在題設(shè)要求的m，同理有
26-m-8=0,即26-m=8,∴m=3.
綜上所述，能夠構(gòu)造出滿足條件①②③的等比數(shù)列，通項(xiàng)為an=26-n.
［說(shuō)明］求解數(shù)列問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意方程思想在解題中的應(yīng)用.
變式應(yīng)用3在等差數(shù)列{an}中，公差d≠0,a2是a1與a4的等比中項(xiàng)，已知數(shù)列a1,a3,ak1,ak2,…,akn,……成等比數(shù)列，求數(shù)列{kn}的通項(xiàng)kn.
［解析］由題意得a22=a1a4，
即(a1+d)2=a1(a1+3d)，
又d≠0,∴a1=d.
∴an=nd.
又a1,a3,ak1,ak2,……,akn,……成等比數(shù)列，
∴該數(shù)列的公比為q===3.
∴akn=a13n+1.
又akn=knd,∴kn=3n+1.
所以數(shù)列{kn}的通項(xiàng)為kn=3n+1.
名師辨誤做答
［例4］四個(gè)實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，且前三項(xiàng)之積為1，后三項(xiàng)之和為1，求這個(gè)等比數(shù)列的公比.
［誤解］設(shè)這四個(gè)數(shù)為aq-3,aq-1,aq,aq3,由題意得
a3q-3=1,①
aq-1+aq+aq3=1.②
由①得a=q,把a(bǔ)=q代入②并整理，得4q4+4q2-3=0,解得q2=或q2=-(舍去)，故所求的公比為.
［辨析］上述解法中，四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q2,則公比為正數(shù)，但題設(shè)并無(wú)此條件，因此導(dǎo)致結(jié)果有誤.
［正解］設(shè)四個(gè)數(shù)依次為a,aq,aq2,aq3,由題意得

（aq）3=1,①
aq+aq2+aq3=1.②
由①得a=q-1,把a(bǔ)=q-1代入②并整理，得4q2+4q-3=0,解得q=或q=-,故所求公比為或-.
課堂鞏固訓(xùn)練
一、選擇題
1.在等比數(shù)列｛an｝中，若a6=6,a9=9,則a3等于（）
A.4B.C.D.3?
［答案］A?
［解析］解法一：∵a6=a3q3,
∴a3q3=6.?
a9=a6q3，
∴q3==.
∴a3==6×＝4.
解法二：由等比數(shù)列的性質(zhì)，得
a26=a3a9，
∴36=9a3，∴a3=4.
2.在等比數(shù)列｛an｝中,a4+a5=10,a6+a7=20,則a8+a9等于（）
A.90B.30C.70D.40
［答案］D
［解析］∵q2==2,?
∴a8+a9=（a6+a7）q2=20q2=40.
3.如果數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，那么（）?
A.數(shù)列｛a2n｝是等比數(shù)列B.數(shù)列｛2an｝是等比數(shù)列
C.數(shù)列｛lgan｝是等比數(shù)列D.數(shù)列｛nan｝是等比數(shù)列
［答案］A
［解析］數(shù)列｛a2n｝是等比數(shù)列，公比為q2,故選A.
二、填空題
4.若a,b,c既成等差數(shù)列，又成等比數(shù)列，則它們的公比為.?
［答案］1?
2b=a+c,
［解析］由題意知
b2=ac,
解得a=b=c,∴q=1.
5.在等比數(shù)列｛an｝中，公比q=2,a5=6,則a8=.?
［答案］48
［解析］a8=a5q8-5=6×23=48.
三、解答題
6.已知{an}為等比數(shù)列，且a1a9=64,a3+a7=20，求a11.?
［解析］∵{an}為等比數(shù)列,?
∴a1a9=a3a7=64,又a3+a7=20,?
∴a3,a7是方程t2-20t+64=0的兩個(gè)根.?
∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=4,?
當(dāng)a3=4時(shí)，a3+a7=a3+a3q4=20,?
∴1+q4=5，∴q4=4.?
當(dāng)a3=16時(shí)，a3+a7=a3（1+q4）=20,
∴1+q4=，∴q4=.?
∴a11=a1q10=a3q8=64或1.
課后強(qiáng)化作業(yè)
一、選擇題
1.在等比數(shù)列{an}中，a4=6,a8=18,則a12=（）
A.24B.30C.54D.108?
［答案］C?
［解析］∵a8=a4q4,∴q4===3,
∴a12=a8q4=54.
2.在等比數(shù)列｛an｝中，a3=2-a2,a5=16-a4,則a6+a7的值為（）
A.124B.128C.130D.132
［答案］B?
［解析］∵a2+a3=2,a4+a5=16,?
又a4+a5=(a2+a3)q2,
∴q2=8.?
∴a6+a7=(a4+a5)q2=16×8＝128.
3.已知｛an｝為等比數(shù)列，且an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5等于（）
A.5B.10C.15D.20?
［答案］A?
［解析］∵a32=a2a4,a52=a4a6,?
∴a32+2a3a5+a52=25,
∴(a3+a5)2=25,?
又∵an0,∴a3+a5=5.
4.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛an｝中，a1和a19為方程x2-10x+16=0的兩根，則a8a10a12等于（）
A.16B.32C.64D.256?
［答案］C?
［解析］由已知，得a1a19=16,?
又∵a1a19=a8a12=a102,
∴a8a12=a102=16,又an0,?
∴a10=4,
∴a8a10a12=a103=64.
5.已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3a9=2a25,a2=1,則a1=（）?
A.B.C.D.2?
［答案］B?
［解析］∵a3a9=a26,又∵a3a9=2a25,?
∴a26=2a25,∴（）2=2,?
∴q2=2,∵q0,∴q=.
又a2=1,∴a1===.
6.在等比數(shù)列｛an｝中，anan+1，且a7a11=6,a4+a14=5,則等于（）
A.B.C.D.6
［答案］A
a7a11=a4a14=6
［解析］∵
a4+a14=5
a4=3a4=2
解得或.
a14=2a14=3
又∵anan+1,∴a4=3,a14=2.
∴==.
7.已知等比數(shù)列｛an｝中，有a3a11=4a7,數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列，且b7=a7,則b5+b9等于（）
A.2B.4C.8D.16
［答案］C
［解析］∵a3a11=a72=4a7,∵a7≠0,
∴a7=4,∴b7=4,
∵{bn}為等差數(shù)列，∴b5+b9=2b7=8.
8.已知0abc,且a,b,c成等比數(shù)列的整數(shù)，n為大于1的整數(shù)，則logan,logbn,logcn成
（）
A.等差數(shù)列?B.等比數(shù)列?
C.各項(xiàng)倒數(shù)成等差數(shù)列?D.以上都不對(duì)?
［答案］C?
［解析］∵a,b,c成等比數(shù)列，∴b2=ac.?
又∵+=logna+lognc=lognac
=2lognb=,?
∴+=.
二、填空題
9.等比數(shù)列｛an｝中，an0，且a2=1+a1,a4=9+a3,則a5-a4等于.
［答案］27
［解析］由題意，得a2-a1=1,a4-a3=(a2-a1)q2=9,
∴q2=9,又an0,∴q=3.?
故a5-a4=(a4-a3)q=9×3＝27.
10.已知等比數(shù)列｛an｝的公比q=-,則等于.
［答案］-3
［解析］＝
==-3.
11.(2012株州高二期末)等比數(shù)列{an}中，an0,且a5a6=9,則log3a2+log3a9=.
［答案］2
［解析］∵an0,∴l(xiāng)og3a2+log3a9=log3a2a9
=log3a5a6=log39=log332=2.
12.（2011廣東文，11）已知｛an｝是遞增等比數(shù)列,a2=2,a4-a3=4,則此數(shù)列的公比q=.
［答案］2?
［解析］本題主要考查等比數(shù)列的基本公式，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可解得.
解析：a4-a3=a2q2-a2q=4，?
因?yàn)閍2=2，所以q2-q-2=0，解得q=－1，或q=2.
因?yàn)閍n為遞增數(shù)列，所以q=2.
三、解答題
13.在等比數(shù)列｛an｝中，已知a4a7=-512,a3+a8=124,且公比為整數(shù)，求a10.
［解析］∵a4a7=a3a8=-512，
a3+a8=124a3=-4a3=128
∴，解得或.
a3a8=-512a8=128a8=-4
又公比為整數(shù)，
∴a3=-4,a8=128,q=-2.
∴a10=a3q7=(-4)×（-2）7＝512.
14.設(shè)｛an｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，bn=log2an，若b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,求此等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an.?
［解析］由b1+b2+b3=3,?
得log2(a1a2a3)＝3，
∴a1a2a3＝23＝8，
∵a22=a1a3，∴a2=2,又b1b2b3=-3,
設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q，得?
log2（）log2(2q)=-3.
解得q＝4或，
∴所求等比數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為
an=a2qn-2=22n-3或an=25-2n.
15.某工廠2010年生產(chǎn)某種機(jī)器零件100萬(wàn)件，計(jì)劃到2012年把產(chǎn)量提高到每年生產(chǎn)121萬(wàn)件.如果每一年比上一年增長(zhǎng)的百分率相同，這個(gè)百分率是多少？2011年生產(chǎn)這種零件多少萬(wàn)件？.
［解析］設(shè)每一年比上一年增長(zhǎng)的百分率為x,則從2010年起，連續(xù)3年的產(chǎn)量依次為a1=100,a2=a1(1+x),a3=a2(1+x),即a1=100,a2=100(1+x),a3=100(1＋x)2,成等比數(shù)列.
由100(1+x)2=121得(1+x)2=1.21,
∴1＋x=1.1或1+x=-1.1,?
∴x=0.1或x=-2.1(舍去)，?
a2=100(1+x)=110(萬(wàn)件)，?
所以每年增長(zhǎng)的百分率為10％，2011年生產(chǎn)這種零件110萬(wàn)件.
16.等差數(shù)列{an}中，a4=10，且a3,a6,a10成等比數(shù)列.求數(shù)列{an}前20項(xiàng)的和S20.
［解析］設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a3=a4-d=10-d,a6=a4+2d=10+2d,a10=a4+6d=10+6d.
由a3,a6,a10成等比數(shù)列得a3a10=a26，?
即（10-d）（10+6d）=（10+2d）2,?
整理得10d2-10d=0,解得d=0或d=1.
當(dāng)d=0時(shí)，S20=20a4=200，?
當(dāng)d=1時(shí)，a1=a4-3d=10-3×1=7,?
于是，S20=20a1+d=20×7+190=330.

等比數(shù)列性質(zhì)

1.1.2等比數(shù)列性質(zhì)

課型

新課

課程

分析

等比數(shù)列是又一特殊數(shù)列，它與前面我們剛剛所探討過(guò)的等差數(shù)列僅有一字之差，所以我們可用比較法來(lái)學(xué)習(xí)等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)。在深刻理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的區(qū)別與聯(lián)系的基礎(chǔ)上，牢固掌握等比數(shù)列的性質(zhì)。

學(xué)情

分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列，對(duì)于等比數(shù)列學(xué)生對(duì)比等差數(shù)列學(xué)習(xí)較容易接受。

設(shè)計(jì)

理念

采用比較式數(shù)學(xué)法，從而使學(xué)生抓住等差數(shù)列與等比數(shù)列各自的特點(diǎn)，以便理解、掌握與應(yīng)用.

學(xué)習(xí)目標(biāo)

知識(shí)目標(biāo)

掌握等比數(shù)列的性質(zhì)

能力目標(biāo)

會(huì)求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)。

德育目標(biāo)

1.培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)意識(shí)、提高學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)、提高學(xué)生的邏輯推理能力、增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。

板書(shū)設(shè)計(jì)

3.1.2課題探究一練習(xí)性質(zhì)1探究二性質(zhì)2應(yīng)用舉例探究三性質(zhì)3

課后反饋

解：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)是a1,公比是q,

①②

組織教學(xué)導(dǎo)入新課講授新課歸納小結(jié)布置作業(yè)

備注

（一）回顧等比數(shù)列的有關(guān)概念

（1）定義式：

（2）通項(xiàng)公式：

導(dǎo)入本課題意：與等差數(shù)列類(lèi)似，等比數(shù)列也是特殊的數(shù)列，它還有一些規(guī)律性質(zhì)，本節(jié)課，就讓我們一起來(lái)探尋一下它到底有一些怎樣的性質(zhì)。

二．推進(jìn)新課

題：就任一等差數(shù)列｛an｝，計(jì)算a7+a10和a8+a9，a10+a40和a20+a30，你發(fā)現(xiàn)了什么一般規(guī)律，能把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律作一般化的推廣嗎？類(lèi)比猜想一下，在等比數(shù)列中會(huì)有怎樣的類(lèi)似結(jié)論？

引導(dǎo)探：…性質(zhì)1（板書(shū)）：在等比數(shù)列中，若m+n＝p+q，有aman＝apaq

探究二.(引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類(lèi)比聯(lián)想發(fā)現(xiàn)進(jìn)而推證出性質(zhì)2)

已知｛an｝是等比數(shù)列.

（1）是否成立？成立嗎？為什么？

（2）是否成立？你據(jù)此能得到什么結(jié)論？是否成立？你又能得到什么結(jié)論？)

合作探：…性質(zhì)2（板書(shū)）：在等比數(shù)列中（本質(zhì)上就是等比中項(xiàng)）

探究三：一位同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，則也是等差數(shù)列。在等比數(shù)列中是否也有這樣的結(jié)論？為什么？

性質(zhì)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，為的前項(xiàng)之和，則新構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為。

組織教學(xué)導(dǎo)入新課講授新課歸納小結(jié)布置作業(yè)

備注

②當(dāng)時(shí)，則（常數(shù)），所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；

由①②得，數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為。三．應(yīng)用舉例：（理解、鞏固）

例1．1）在等比數(shù)列｛an｝中，已知

2)在等比數(shù)列｛bn｝中，b4＝3，求該數(shù)列的前7項(xiàng)之積。例2在等比數(shù)例中，求

例3等比數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，求

的值

例4、在等比數(shù)列中，,求的值.解：因是等比數(shù)列，所以是等比數(shù)列，所以

組織教學(xué)導(dǎo)入新課講授新課歸納小結(jié)布置作業(yè)

備注

1、下列命題中:(1)常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列;

(2)若{an}是等差數(shù)列，則{3－2an}也是等差數(shù)列;

(3)若{an}是等比數(shù)列，則{an+an+1}也是等比數(shù)列;

(4)若{an}是等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列.

其中正確的命題是_____________(填命題序號(hào))

2、在等比數(shù)列中，，則的值為_(kāi)______

3、在等比數(shù)列中，，，求的值.解：因?yàn)橛缮鲜龅缺葦?shù)列性質(zhì)知，構(gòu)造新數(shù)列其是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，是新數(shù)列的第5項(xiàng)，所以。4、已知等比數(shù)列前項(xiàng)的和為2，其后項(xiàng)的和為12，求再后面項(xiàng)的和.解：由，，因成等比數(shù)列，其公比為，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：求的值.因?yàn)榈?，所以或，于?

組織教學(xué)導(dǎo)入新課講授新課歸納小結(jié)布置作業(yè)

備注

（1）等比數(shù)列的性質(zhì)1、性質(zhì)2性質(zhì)3內(nèi)容及推導(dǎo)方法歸納。

（2）等比數(shù)列三性質(zhì)的探尋，我們是通過(guò)類(lèi)比等差聯(lián)想到等比，猜想在等比數(shù)列中可能存在的性質(zhì)規(guī)律。然后先從簡(jiǎn)單的等比數(shù)列加以驗(yàn)證，再推出一般式，并加以嚴(yán)格的邏輯證明。這個(gè)過(guò)程所用的類(lèi)比、聯(lián)想、猜想、從特殊到一般，最后給予證明得出結(jié)論的想法和方法，我們稱為數(shù)學(xué)思想方法。是解決問(wèn)題、科學(xué)發(fā)現(xiàn)、探究自然的一種重要的思維方法和手段。它無(wú)處不體現(xiàn)在我們解決問(wèn)題的思維過(guò)程中，希望大家今后留心思考，對(duì)提高你們的學(xué)習(xí)能力及分析解決問(wèn)題的能力將有極大的幫助。

等比數(shù)列教案

教學(xué)設(shè)計(jì)
2．3.1等比數(shù)列
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
等比數(shù)列與等差數(shù)列在內(nèi)容上是完全平行的，包括定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式等，兩個(gè)數(shù)的等差(等比)中項(xiàng)、兩種數(shù)列在函數(shù)角度下的解釋等，因此在教學(xué)時(shí)要充分利用類(lèi)比的方法，以便于弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別．
等比數(shù)列是另一個(gè)簡(jiǎn)單常見(jiàn)的數(shù)列，研究?jī)?nèi)容可與等差數(shù)列類(lèi)比，這是本節(jié)的中心思想方法．本節(jié)首先歸納出等比數(shù)列的定義，導(dǎo)出通項(xiàng)公式，進(jìn)而研究圖象，又給出等比中項(xiàng)的概念，最后是通項(xiàng)公式的應(yīng)用．
等比數(shù)列概念的引入，可按教材給出的幾個(gè)具體的例子，由學(xué)生概括這些數(shù)列的相同特征，從而得到等比數(shù)列的定義．也可將幾個(gè)等差數(shù)列和幾個(gè)等比數(shù)列混在一起給出，由學(xué)生將這些數(shù)列進(jìn)行分類(lèi)，由此對(duì)比地概括等比數(shù)列的定義．根據(jù)定義讓學(xué)生分析等比數(shù)列的公比不為0，以及每一項(xiàng)均不為0的特性，加深對(duì)概念的理解．啟發(fā)學(xué)生用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)通項(xiàng)公式，由通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到指數(shù)函數(shù)進(jìn)而畫(huà)出數(shù)列的圖象．
由于有了等差數(shù)列的研究經(jīng)驗(yàn)，等比數(shù)列的研究完全可以放手讓學(xué)生自己解決，充分利用類(lèi)比思想，教師只需把握課堂的節(jié)奏，真正作為一節(jié)課的組織者、引導(dǎo)者出現(xiàn)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用．
大量的數(shù)學(xué)思想方法滲透是本章的特色，如類(lèi)比思想、歸納思想、數(shù)形結(jié)合思想、算法思想、方程思想、一般到特殊的思想等，在教學(xué)中要充分體現(xiàn)這些重要的數(shù)學(xué)思想方法，所有能力的體現(xiàn)最終歸結(jié)為數(shù)學(xué)思想方法的體現(xiàn)．
三維目標(biāo)
1．通過(guò)實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念；探索并掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)，能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，提高數(shù)學(xué)建模能力；體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．
2．通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活中大量存在的數(shù)列模型，讓學(xué)生充分感受到數(shù)列是反映現(xiàn)實(shí)生活的模型，體會(huì)數(shù)學(xué)是豐富多彩的而不是枯燥無(wú)味的，達(dá)到提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的目的．
3．通過(guò)對(duì)等比數(shù)列概念的歸納，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的思維習(xí)慣和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度．體會(huì)探究過(guò)程中的主體作用及探究問(wèn)題的方法，經(jīng)歷解決問(wèn)題的全過(guò)程．
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：掌握等比數(shù)列的定義；理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及推導(dǎo)．
教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式解決相關(guān)問(wèn)題，在具體問(wèn)題中抽象出等比數(shù)列模型及掌握重要的數(shù)學(xué)思想方法．
課時(shí)安排
2課時(shí)

教學(xué)過(guò)程
第1課時(shí)
導(dǎo)入新課
思路1.(情境引入)將一張厚度為0.044mm的白紙一次又一次地對(duì)折，如果對(duì)折1000次(假設(shè)是可能的)，紙的厚度將是4.4×10296m，相當(dāng)于約5.0×10292個(gè)珠穆朗瑪峰的高度和，這可能嗎？但是一位數(shù)學(xué)家曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：你如果能將一張報(bào)紙對(duì)折38次，我就能順著它在今天晚上爬上月球．將一張報(bào)紙對(duì)折會(huì)有那么大的厚度嗎？這就是我們今天要解決的問(wèn)題，讓學(xué)生帶著這大大的疑問(wèn)來(lái)展開(kāi)新課．
思路2.(實(shí)例導(dǎo)入)先給出四個(gè)數(shù)列：
1,2,4,8,16，……
1，－1,1，－1,1，……
－4,2，－1，……
1,1,1,1,1，……
由學(xué)生自己去探究這四個(gè)數(shù)列，每個(gè)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間有什么關(guān)系？這四個(gè)數(shù)列有什么共同點(diǎn)？讓學(xué)生觀察這些數(shù)列與上節(jié)課學(xué)習(xí)的等差數(shù)列有什么不同？由此引入新課．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問(wèn)題
1回憶等差數(shù)列的概念及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法.
2閱讀課本本節(jié)內(nèi)容的①②③3個(gè)背景實(shí)例，領(lǐng)會(huì)三個(gè)實(shí)例所傳達(dá)的思想，寫(xiě)出由3個(gè)實(shí)例所得到的數(shù)列.
3觀察數(shù)列①②③，它們有什么共同的特征？你能再舉出2個(gè)與其特征相同的數(shù)列嗎？
4類(lèi)比等差數(shù)列的定義，怎樣用恰當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)言給出等比數(shù)列的定義？
5類(lèi)比等差中項(xiàng)的概念，你能說(shuō)出什么是等比中項(xiàng)嗎？它與等差中項(xiàng)有什么不同？
6你能舉出既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的例子嗎？
7類(lèi)比等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程，你能推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？
8類(lèi)比等差數(shù)列通項(xiàng)公式與一次函數(shù)的關(guān)系，你能說(shuō)明等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系嗎？
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶等差數(shù)列概念的學(xué)習(xí)過(guò)程，指導(dǎo)學(xué)生閱讀并分析教科書(shū)中給出的3個(gè)實(shí)例．
引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列①②③的共同特點(diǎn)：
對(duì)于數(shù)列①，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于2；
對(duì)于數(shù)列②，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于3；
對(duì)于數(shù)列③，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于－12.
也就是說(shuō)，這些數(shù)列有一個(gè)共同的特點(diǎn)：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于同一常數(shù)，這里仍是后項(xiàng)比前項(xiàng)，而不是前項(xiàng)比后項(xiàng)，具有這樣特點(diǎn)的數(shù)列我們稱之為等比數(shù)列．讓學(xué)生類(lèi)比等差數(shù)列給出等比數(shù)列的定義：
一般地，如果一個(gè)數(shù)列，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．
這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示，顯然q≠0，上面的三個(gè)數(shù)列都是等比數(shù)列，公比依次是2,3，－12.
①給出等比數(shù)列的定義后，讓學(xué)生嘗試用遞推公式描述等比數(shù)列的定義，即a1＝a，an＋1＝anq(n＝1,2,3，…)．
②再讓學(xué)生思考既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列的數(shù)列存在嗎？學(xué)生思考后很快會(huì)舉出1,1,1，…既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列，其公比為1，公差為0.
教師可再提出：常數(shù)列都是等比數(shù)列嗎？讓學(xué)生充分討論后可得出0,0,0，…是常數(shù)列，但不是等比數(shù)列．
③至此，學(xué)生已經(jīng)清晰了等比數(shù)列的概念，比如，從等比數(shù)列定義知，等比數(shù)列中的任意一項(xiàng)不為零，公比可以為正，可以為負(fù)，但不能為0.
④類(lèi)比等差中項(xiàng)的概念，我們可得出等比中項(xiàng)的概念：如果三個(gè)數(shù)x，G，y組成等比數(shù)列，則G叫做x和y的等比中項(xiàng)．如果G是x和y的等比中項(xiàng)，那么Gx＝y(tǒng)G，即G2＝xy，G＝±ab.因此同號(hào)的兩個(gè)數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，一個(gè)正數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)沒(méi)有等比中項(xiàng)．顯然，在一個(gè)等比數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)；反之，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)，那么這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列．
課件演示：不完全歸納法得到等差數(shù)列通項(xiàng)公式的過(guò)程：
a2＝a1＋d，
a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，
a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，
……
歸納得到an＝a1＋(n－1)d.
類(lèi)比這個(gè)過(guò)程，可得等比數(shù)列通項(xiàng)公式的歸納過(guò)程如下：
a2＝a1q，
a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，
a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，
……
歸納得到an＝a1qn－1.
這樣做可以幫助學(xué)生體會(huì)歸納推理對(duì)于發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)結(jié)論的作用．這個(gè)結(jié)論的正確性可用后面的數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明，現(xiàn)在我們先承認(rèn)它．
下面我們?cè)兕?lèi)比等差數(shù)列，探究推導(dǎo)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的其他方法：
∵{an}是等比數(shù)列，
∴anan－1＝q，an－1an－2＝q，an－3an－4＝q，…，a2a1＝q.
把以上n－1個(gè)等式兩邊分別乘到一起，即疊乘，則可得到
ana1＝qn－1，
于是得到an＝a1qn－1.
對(duì)于通項(xiàng)公式，教師引導(dǎo)學(xué)生明確這樣幾點(diǎn)：
(1)不要把公式錯(cuò)誤地寫(xiě)成an＝a1qn.
(2)對(duì)公比q，要和等差數(shù)列的公差一樣，強(qiáng)調(diào)“從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比”，不要把相鄰兩項(xiàng)的比的次序顛倒，且公比q可以為正，可以為負(fù)，但不能為0.
(3)在等比數(shù)列a，aq，aq2，aq3，…中，當(dāng)a＝0時(shí)，一切項(xiàng)都等于0；當(dāng)q＝0時(shí)，第二項(xiàng)以后的項(xiàng)都等于0，這不符合等比數(shù)列的定義．因此等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比都不能為0.
(4)類(lèi)比等差數(shù)列中d＞0，d＜0時(shí)的情況，若q＞0，則相鄰兩項(xiàng)符號(hào)同號(hào)，若q＜0，則各項(xiàng)符號(hào)異號(hào)；若q＝1，則等比數(shù)列為非零常數(shù)列；若q＝－1，則為如2，－2,2，－2，…這樣的數(shù)列；若|q|＜1，則數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值遞減．
最后讓學(xué)生完成下表，從定義、通項(xiàng)公式比較等差數(shù)列、等比數(shù)列的異同，加深概念的理解．

等差數(shù)列等比數(shù)列
定義從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都是同一個(gè)常數(shù)從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù)
首項(xiàng)、公差(公比)取值有無(wú)限制沒(méi)有任何限制首項(xiàng)、公比都不能為0
通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1

討論結(jié)果：(1)～(3)略．
(4)等比數(shù)列定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．
(5)并不是所有的兩個(gè)數(shù)都有等比中項(xiàng)．
(6)除0外的常數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列．
(7)(8)略．
應(yīng)用示例
例1由下面等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求首項(xiàng)與公比．
(1)an＝2n；
(2)an＝1410n.
活動(dòng)：本例的目的是讓學(xué)生熟悉等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式，可由學(xué)生口答或互相提問(wèn)．
解：(1)an＝22n－1，
∴a1＝2，q＝2.
(2)∵an＝141010n－1，
∴a1＝14×10＝52，q＝10.
點(diǎn)評(píng)：可通過(guò)通項(xiàng)公式直接求首項(xiàng)，再求公比．如(1)中，a1＝21＝2，a2＝22＝4，∴q＝2.
變式訓(xùn)練
設(shè)a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，其公比為2，則2a1＋a22a3＋a4的值為()
A.14B.12C.18D．1
答案：A
解析：由題意，知a2＝a1q＝2a1，a3＝a1q2＝4a1，a4＝a1q3＝8a1，
∴2a1＋a22a3＋a4＝2a1＋2a18a1＋8a1＝14.

例2(教材本節(jié)例3)
活動(dòng)：本例是等比數(shù)列通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用，可讓學(xué)生自己完成．
點(diǎn)評(píng)：解完本例后，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生觀察a5，a10，a15，a20的規(guī)律．
變式訓(xùn)練
已知{an}為等比數(shù)列，a3＝2，a2＋a4＝203，求{an}的通項(xiàng)公式．
解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q≠0.
∵a2＝a3q＝2q，a4＝a3q＝2q，
∴2q＋2q＝203.
解得q1＝13，q2＝3.
當(dāng)q＝13時(shí)，a1＝18.
∴an＝18×(13)n－1＝183n－1＝2×33－n.
當(dāng)q＝3時(shí)，a1＝29，
∴an＝29×3n－1＝2×3n－3.

例3已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)求證：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；
(2)求an的表達(dá)式．
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，數(shù)列{an}不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，要求an的表達(dá)式，通過(guò)轉(zhuǎn)化{an＋1}是等比數(shù)列來(lái)求解．
解：(1)證明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)．
∵a1＝1，故a1＋1≠0，則有an＋1＋1an＋1＝2.
∴{an＋1}是等比數(shù)列．
(2)由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴an＋1＝22n－1，即an＝2n－1.
點(diǎn)評(píng)：教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解后反思．如本題(1)，不能忽視對(duì)an＋1≠0的說(shuō)明，因?yàn)樵诘缺葦?shù)列{an}中，an≠0，且公比q≠0，否則解題會(huì)出現(xiàn)漏洞．
變式訓(xùn)練
已知數(shù)列{lgan}是等差數(shù)列，求證：{an}是等比數(shù)列．
證明：∵{lgan}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
則lgan＋1－lgan＝d，即an＋1an＝10d(常數(shù))．
∴{an}是等比數(shù)列．

知能訓(xùn)練
1．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7等于()
A．64B．81C．128D．243
2．在等比數(shù)列中，已知首項(xiàng)為98，末項(xiàng)為13，公比為23，則項(xiàng)數(shù)為()
A．3B．4C．5D．6
答案：
1．A解析：由a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，知q＝2，a1＝1.
所以a7＝a1q6＝64.
2．B解析：設(shè)等比數(shù)列為{an}．
又∵a1＝98，q＝23，an＝13，∴qn－1＝ana1，即(23)n－1＝827.
∴n－1＝3，n＝4，即項(xiàng)數(shù)為4.
課堂小結(jié)
1．讓學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容：等比數(shù)列的概念和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)及簡(jiǎn)單的應(yīng)用，等比數(shù)列的證明方法．可讓學(xué)生對(duì)比小結(jié)等差數(shù)列與等比數(shù)列的知識(shí)，對(duì)比各自性質(zhì)的異同，讓學(xué)生用列表的形式給出．
2．教師點(diǎn)出，通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，在掌握知識(shí)的同時(shí)，我們還學(xué)到了探究新問(wèn)題的方法，提高了我們解決問(wèn)題的能力，進(jìn)一步明確了學(xué)習(xí)必須經(jīng)歷探究問(wèn)題全過(guò)程的意義，必須領(lǐng)悟凝練數(shù)學(xué)思想方法．
作業(yè)
課本習(xí)題2—3A組1；習(xí)題2—3B組1.
設(shè)計(jì)感想
本教案設(shè)計(jì)將類(lèi)比思想貫穿整節(jié)課始終，等差數(shù)列和等比數(shù)列具有極其相似的特點(diǎn)，比較它們的結(jié)構(gòu)和運(yùn)算性質(zhì)，運(yùn)用類(lèi)比的方法，可使很多相關(guān)性質(zhì)得以類(lèi)比和遷移；讓學(xué)生體會(huì)到：有些看似陌生的知識(shí)并不都是高不可攀的事情，通過(guò)我們的努力，也可以做一些看似數(shù)學(xué)家才能完成的事．
本教案設(shè)計(jì)加強(qiáng)了實(shí)際背景的教學(xué)，等比數(shù)列有著非常廣泛的實(shí)際應(yīng)用：如產(chǎn)品規(guī)格設(shè)計(jì)的問(wèn)題；儲(chǔ)蓄，分期付款的有關(guān)計(jì)算等等．教學(xué)時(shí)不是簡(jiǎn)單地告訴學(xué)生等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式的內(nèi)容，而是通過(guò)實(shí)際問(wèn)題創(chuàng)設(shè)一些數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，去探索其意義．
本教案設(shè)計(jì)突出了數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，數(shù)學(xué)是思維的體操，是培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力及創(chuàng)造能力的載體．新課程倡導(dǎo)強(qiáng)調(diào)過(guò)程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生探索新知識(shí)的經(jīng)歷和獲得新知的體驗(yàn)，不再讓教學(xué)脫離學(xué)生的內(nèi)心感受，必須讓學(xué)生追求過(guò)程的體驗(yàn)，學(xué)生的思維能力就是在這種過(guò)程的體驗(yàn)中逐漸提高的．
(設(shè)計(jì)者：張曉君)

第2課時(shí)
導(dǎo)入新課
思路1：(類(lèi)比導(dǎo)入)等差數(shù)列具有豐富而重要的性質(zhì)，通過(guò)復(fù)習(xí)等差數(shù)列的性質(zhì)，由學(xué)生猜想并證明等比數(shù)列的性質(zhì)．這樣既復(fù)習(xí)了舊知識(shí)，同時(shí)又讓學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，這種引入符合新課程理念．
思路2：讓學(xué)生先完成本節(jié)的思考與討論及探索與研究，借助學(xué)生的探究，師生共同歸納出相關(guān)性質(zhì)，自然地引入新課．(這種從課本上的練習(xí)題入手的方法，其好處是：直截了當(dāng)，節(jié)省課堂時(shí)間，教師也比較輕松，只是學(xué)生的思維活動(dòng)層次較第一種弱一些，但也是一種不錯(cuò)的導(dǎo)入選擇)
推進(jìn)新課
新知探究
提出問(wèn)題
1回憶上節(jié)課等比數(shù)列的概念，等比中項(xiàng)、通項(xiàng)公式的概念.
2回憶怎樣證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列？
3類(lèi)比等差數(shù)列的圖象與一次函數(shù)的圖象之間的關(guān)系，探究等比數(shù)列的圖象與指數(shù)函數(shù)的圖象之間的關(guān)系.
4類(lèi)比等差數(shù)列的性質(zhì)，你能探究出等比數(shù)列有哪些重要結(jié)論？

活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)上一節(jié)課的探究做一簡(jiǎn)要回顧，借以熟悉等比數(shù)列的有關(guān)概念，為進(jìn)一步探究做好必要的準(zhǔn)備，然后讓學(xué)生借助信息技術(shù)或用描點(diǎn)作圖畫(huà)出課本“探究”中(2)(3)要求的圖象(如圖)，說(shuō)說(shuō)通項(xiàng)公式為an＝2n－1的數(shù)列的圖象和函數(shù)y＝2x－1的圖象的關(guān)系．然后交流、討論，歸納出二者之間的關(guān)系．事實(shí)上，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可整理為an＝a1qqn，而y＝a1qqx(q≠1)是一個(gè)不為零的常數(shù)a1q與指數(shù)函數(shù)qx的乘積．從圖象上看，表示數(shù)列{a1qqn}中的各項(xiàng)的點(diǎn)是函數(shù)y＝a1qqx的圖象上的孤立點(diǎn)．
和等差數(shù)列一樣，等比數(shù)列中蘊(yùn)涵著許多重要的性質(zhì)，類(lèi)比等差數(shù)列的探究方法，教師與學(xué)生一起探究．
就任一等差數(shù)列{an}，計(jì)算a7＋a10，a8＋a9和a10＋a40，a20＋a30，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？從等差數(shù)列和函數(shù)之間的聯(lián)系的角度來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題，在等比數(shù)列中會(huì)有怎樣的類(lèi)似結(jié)論？
在等差數(shù)列{an}中，我們已經(jīng)探究了，若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，那么我們可以類(lèi)比猜想：對(duì)于等比數(shù)列{an}，若m＋n＝p＋s(m、n、p、s∈N*)，則aman＝apas.讓學(xué)生對(duì)此給出證明．
證明：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
則有aman＝a1qm－1a1qn－1＝a21qm＋n－2，apas＝a1qp－1a1qs－1＝a21qp＋s－2，
∵m＋n＝p＋s，∴有aman＝apas.
經(jīng)過(guò)這個(gè)證明過(guò)程，我們得到了等比數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì)，即等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋s(m，n，p，s∈N*)，則有aman＝apas.
結(jié)合等比中項(xiàng)，我們很容易有這樣的結(jié)論：
(1)與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積；
(2)與某一項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)之積等于這一項(xiàng)的平方．
結(jié)合上節(jié)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，教師與學(xué)生一起探究歸納可得到等比數(shù)列以下重要結(jié)論：
1．等比數(shù)列的判斷方法
(1)an＝an－1q(n≥2，q是不等于零的常數(shù)，an－1≠0)?{an}是等比數(shù)列．
(2)a2n＝an－1an＋1(n≥2，an－1，an，an＋1≠0)?{an}是等比數(shù)列．
(3)an＝cqn(c、q均是不為零的常數(shù))?{an}是等比數(shù)列．
2．主要性質(zhì)
(1)當(dāng)q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)q＞1，a＜0或0＜q＜1，a1＞0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列，當(dāng)q＝1時(shí)，{an}是常數(shù)列；當(dāng)q＜0時(shí)，{an}是擺動(dòng)數(shù)列．
(2)an＝amqn－m(m、n∈N*)．
(3)當(dāng)m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)時(shí)，有aman＝apaq.
(4)當(dāng)數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列時(shí)，數(shù)列{lgan}是公差為lgq的等差數(shù)列．
(5)數(shù)列{an}中，公比q≠1，則連續(xù)取相鄰兩項(xiàng)的和(或差)構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列．
學(xué)習(xí)等比數(shù)列時(shí)，時(shí)刻與等差數(shù)列進(jìn)行對(duì)比，學(xué)會(huì)用類(lèi)比、方程的思想解決問(wèn)題．
討論結(jié)果：(1)讓學(xué)生默寫(xiě)．
(2)有3種證明方法，比較常用的方法是：a2n＝an－1an＋1(n≥2，an－1，an，an＋1≠0)?{an}是等比數(shù)列．
(3)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)．
(4)最常用的是活動(dòng)中的第3個(gè)性質(zhì)．
應(yīng)用示例
例1一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)分別是12和18，求它的第1項(xiàng)和第2項(xiàng)．
活動(dòng)：本例是課本上例題3，由題意知a3＝12，a4＝18，求a1，a2.和等差數(shù)列一樣，這是屬于基本量運(yùn)算的題目，其基本量為a1，q.教師引導(dǎo)學(xué)生探究，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求得通項(xiàng)公式，再由通項(xiàng)公式求得數(shù)列的任意項(xiàng)．這個(gè)過(guò)程可以幫助學(xué)生再次體會(huì)通項(xiàng)公式的作用及其與方程之間的聯(lián)系．
解：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)是a1，公比是q，那么a1q2＝12，①
a1q3＝18.②
②÷①，得q＝32，③
把③代入①，得a1＝163.
因此，a2＝a1q＝163×32＝8.
答：這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)和第2項(xiàng)分別是163與8.
點(diǎn)評(píng)：通過(guò)本題讓學(xué)生體會(huì)方程思想．
變式訓(xùn)練
在等比數(shù)列{an}中，a5a7＝6，a2＋a10＝5，則a18a10等于()
A．－23或－32B.23C.32D.23或32
答案：D
解析：∵a5a7＝a2a10，由a2a10＝6，a2＋a10＝5，
得a2＝2，a10＝3或a2＝3，a10＝2.
∴a18a10＝a10a2＝32或a18a10＝23.

例2(1)在等比數(shù)列{an}中，已知a1＝5，a9a10＝100，求a18；
(2)在等比數(shù)列{bn}中，b4＝3，求該數(shù)列前七項(xiàng)之積；
(3)在等比數(shù)列{an}中，a2＝－2，a5＝54，求a8.
活動(dòng)：本例三個(gè)小題屬基本概念題，讓學(xué)生合作交流完成，充分讓學(xué)生思考探究，展示將問(wèn)題與所學(xué)的性質(zhì)聯(lián)系到一起的思維過(guò)程．
解：(1)∵a1a18＝a9a10，∴a18＝a9a10a1＝1005＝20.
(2)b1b2b3b4b5b6b7＝(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.
∵b24＝b1b7＝b2b6＝b3b5，∴前七項(xiàng)之積為(32)3×3＝37＝2187.
(3)∵a5是a2與a8的等比中項(xiàng)，∴542＝a8×(－2)．∴a8＝－1458.
另解：a8＝a5q3＝a5a5a2＝54×54－2＝－1458.
點(diǎn)評(píng)：通過(guò)本例，讓學(xué)生熟悉公式，善于聯(lián)想，善于將解題過(guò)程簡(jiǎn)化．
變式訓(xùn)練
已知等比數(shù)列{an}中，a1＋a3＝15，且a1＋a2＋a3＋a4＝45.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝11－log2a2n＋13，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.
由題意得a1＋a1q2＝15，a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝45，解得q＝2，a1＝3，
∴an＝32n－1.
(2)由(1)得a2n＋1＝322n，∴bn＝11－log2a2n＋13＝11－2n.
∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為9，公差為－2的等差數(shù)列．
從而Sn＝n9＋11－2n2＝－n2＋10n.

例3三個(gè)正數(shù)成等差數(shù)列，它們的和等于15，如果它們分別加上1,3,9，就成為等比數(shù)列，求此三個(gè)數(shù)．
活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析題意，因?yàn)樗笕齻€(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和已知，故可設(shè)這三個(gè)數(shù)為a－d，a，a＋d，再根據(jù)已知條件尋找關(guān)于a、d的兩個(gè)方程，通過(guò)解方程組即可獲解．
解：設(shè)所求三個(gè)數(shù)為a－d，a，a＋d，
則由題設(shè)得a－d＋a＋a＋d＝15，a＋32＝a－d＋1a＋d＋9，
解此方程組，得a＝5，d＝2.∴所求三個(gè)數(shù)為3,5,7.
點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題要注意設(shè)未知數(shù)的技巧．若設(shè)所求三個(gè)數(shù)為a，b，c，則列出三個(gè)方程求解，運(yùn)算過(guò)程將過(guò)于繁雜．因此在計(jì)算過(guò)程中，應(yīng)盡可能地少設(shè)未知數(shù)．
例4根據(jù)下圖中的框圖，寫(xiě)出所打印數(shù)列的前5項(xiàng)，并建立數(shù)列的遞推公式，這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列嗎？
活動(dòng)：本題是給出數(shù)列的前幾項(xiàng)要求寫(xiě)出數(shù)列的遞推公式．這種題型難度較大．但本題用程序框圖給出了數(shù)列的前5項(xiàng)，而遞推公式就包含在程序框圖中，這就大大降低了題目的難度．教學(xué)時(shí)教師可引導(dǎo)學(xué)生回顧程序框圖，引導(dǎo)學(xué)生思考如何判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列．
解：若將打印出來(lái)的數(shù)依次記為a1(即A)，a2，a3，…，
可知a1＝1，a2＝a1×12，a3＝a2×12.
于是，可得遞推公式a1＝1，an＝12an－1n1.
由于anan－1＝12，
因此，這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列．
其通項(xiàng)公式是an＝(12)n－1.
點(diǎn)評(píng)：通過(guò)本題讓學(xué)生明確，要證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，只需證明對(duì)于任意正整數(shù)n，an＋1an是一個(gè)常數(shù)即可，同時(shí)也再一次體會(huì)到能夠用框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)描述數(shù)列．
知能訓(xùn)練
1．已知等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
2．某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過(guò)一年，剩留的這種物質(zhì)是原來(lái)的84%，這種物質(zhì)的半衰期為多長(zhǎng)？(精確到1年)
答案：
1．解：∵a1a3＝a22，∴a1a2a3＝a32＝8.∴a2＝2.
從而a1＋a3＝5，a1a3＝4.
解之，得a1＝1，a3＝4，或a1＝4，a3＝1.
當(dāng)a1＝1時(shí)，q＝2，當(dāng)a1＝4時(shí)，q＝12.
∴an＝2n－1或an＝4(12)n－1＝23－n(n∈N*)．
點(diǎn)評(píng)：本例解答中易產(chǎn)生的錯(cuò)誤是在求得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1后，由a3＝a1q2分別得出q＝±2或q＝±12.求得an＝2n－1或an＝(－2)n－1或an＝4(12)n－1或an＝4(－12)n－1.教師引導(dǎo)學(xué)生尋找產(chǎn)生這一錯(cuò)誤的原因是忽視了由于a2＝2，a1＞0，必有q＞0這一隱含條件．
2．解：設(shè)這種物質(zhì)最初的質(zhì)量是1，經(jīng)過(guò)n年，剩留量是an，
由條件可得，數(shù)列{an}是一個(gè)等比數(shù)列，其中a1＝0.84，q＝0.84.
設(shè)an＝0.5，則0.84n＝0.5.
兩邊取對(duì)數(shù)，得nlg0.84＝lg0.5，
用計(jì)算器算得n≈4.
答：這種物質(zhì)的半衰期大約為4年．
點(diǎn)評(píng)：本例是一道應(yīng)用題，反映的是等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量運(yùn)算問(wèn)題．在解題過(guò)程中，用對(duì)數(shù)的知識(shí)解方程可以幫助學(xué)生回顧對(duì)數(shù)的性質(zhì)，本題重在讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題情境中數(shù)列的等比關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力．
課堂小結(jié)
1．讓學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容：等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．對(duì)比小結(jié)等差數(shù)列與等比數(shù)列的知識(shí)，對(duì)比各自性質(zhì)的異同．從函數(shù)的角度看，如果說(shuō)等差數(shù)列可以與一次函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，那么等比數(shù)列則可以與指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來(lái)．
2．學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容應(yīng)注意等比數(shù)列定義的運(yùn)用，靈活選設(shè)未知數(shù)，注意總結(jié)常用解題技巧．有關(guān)本內(nèi)容的高考題主要體現(xiàn)在考查化歸能力、方程思想、分類(lèi)討論思想以及數(shù)學(xué)建模能力上，并能用這些知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題．
作業(yè)
課本習(xí)題2—3A組2、3、4.
設(shè)計(jì)感想
本教案設(shè)計(jì)突出了教學(xué)梯度．因?yàn)閺膶?shí)際教學(xué)來(lái)看，對(duì)這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)不少同學(xué)仍然是困難重重，從中折射出他們學(xué)習(xí)方式存在的問(wèn)題，死記硬背仍然是公式學(xué)習(xí)的主要形式．在練習(xí)環(huán)節(jié)，不少學(xué)生只會(huì)做與課本例題完全一致的習(xí)題，如果稍加變式，就束手無(wú)策，反映出數(shù)學(xué)思維的僵化及簡(jiǎn)單．但是訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，是數(shù)學(xué)教師直接面對(duì)的重要課題，也是提升教學(xué)效果的關(guān)鍵．因此在設(shè)計(jì)梯度方面注重了一題多解，這有助于學(xué)生思維的發(fā)散性及靈活性的培養(yǎng)，以及克服思維的僵化，變式教學(xué)又可以提升思維視野的廣度，題后反思有助于學(xué)生思維批判性品質(zhì)的提升．
本教案設(shè)計(jì)注重了教學(xué)過(guò)程的更優(yōu)化、更合理化，因?yàn)殚L(zhǎng)期以來(lái)的課堂教學(xué)太過(guò)于重視結(jié)論，輕視過(guò)程．為了應(yīng)付考試，為了使公式、定理應(yīng)用達(dá)到所謂的熟能生巧，教學(xué)中不惜花大量的時(shí)間采用題海戰(zhàn)術(shù)來(lái)進(jìn)行強(qiáng)化．在概念公式的教學(xué)中往往采用的是“掐頭去尾燒中段”的方法，到頭來(lái)把學(xué)生強(qiáng)化成只會(huì)套用公式機(jī)械解題，這樣的學(xué)生面對(duì)新問(wèn)題就會(huì)束手無(wú)策，更不利于今后的創(chuàng)新式高考．
本教案設(shè)計(jì)清晰了課堂教學(xué)的層次階段，本節(jié)課可以劃分為三個(gè)階段，第一階段是等比數(shù)列性質(zhì)的推得和理解過(guò)程；第二階段是等比數(shù)列性質(zhì)的歸納、理解和應(yīng)用的過(guò)程；第三階段是歸納小結(jié)．這三個(gè)階段自然是以第一、第二階段為主．這樣便于學(xué)生課堂推進(jìn)，也便于教師對(duì)整個(gè)課堂的宏觀調(diào)控．
備課資料
一、備用例題
例1.已知無(wú)窮數(shù)列10，10，10，…，10，….
求證：(1)這個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列；
(2)這個(gè)數(shù)列中的任一項(xiàng)是它后面第五項(xiàng)的110；
(3)這個(gè)數(shù)列的任意兩項(xiàng)的積仍在這個(gè)數(shù)列中．

例2.設(shè)a，b，c，d均為非零實(shí)數(shù)，(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0，
求證：a，b，c成等比數(shù)列且公比為d.
證法一：關(guān)于d的二次方程(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0有實(shí)根，
∴Δ＝4b2(a＋c)2－4(a2＋b2)(b2＋c2)≥0.∴－4(b2－ac)2≥0.∴－(b2－ac)2≥0.
則必有b2－ac＝0，即b2＝ac，∴a，b，c成等比數(shù)列．
設(shè)公比為q，則b＝aq，c＝aq2，代入
(a2＋a2q2)d2－2aq(a＋aq2)d＋a2q2＋a2q4＝0.
∵(q2＋1)a2≠0，∴d2－2qd＋q2＝0，即d＝q≠0.
證法二：∵(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0，
∴(a2d2－2abd＋b2)＋(b2d2－2bcd＋c2)＝0.
∴(ad－b)2＋(bd－c)2＝0.∴ad＝b，且bd＝c.
∵a，b，c，d非零，∴ba＝cb＝d.∴a，b，c成等比數(shù)列且公比為d.
二、備用習(xí)題
1．公差不為0的等差數(shù)列第二、三、六項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，則公比為()
A．1B．2C．3D．4
2．設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比q＝2，且a1a2a3…a30＝230，則a3a6a9…a30等于()
A．210B．220C．216D．215
3．各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，則a3＋a4＋a5等于……()
A．33B．72C．84D．189
4．在83和272之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為_(kāi)_________．
5．在等比數(shù)列{an}中，
(1)若a1＝256，a9＝1，求q和a12；
(2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求q.
6．已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝c＞0，a2n＋1＝b2n＋1，比較an＋1與bn＋1的大?。?br> 參考答案：
1．答案：C
解析：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，由題意，得a23＝a2a6，(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)．
∴d＝－2a1.
設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則q＝a3a2＝3.
2．答案：B
解析：由a1a2a3a4…a30＝230，得
a33q3a36q3a39q3…a330q3＝230，
∴a33a36a39…a330＝(2q)30.
∴a3a6a9…a30＝220.
3．答案：C
解析：由a1＋a2＋a3＝a1＋a1q＋a1q2＝21，∴1＋q＋q2＝7.
解得q＝2，q＝－3(舍去)，∴a3＝a1q2＝3×4＝12.
∴a3＋a4＋a5＝a3(1＋q＋q2)＝12×7＝84.
4．答案：216
解析：設(shè)插入的三個(gè)數(shù)為a、b、c，則b2＝83×272＝4×9＝ac，
所以b＝6，ac＝36，故abc＝216.
5．解：(1)∵a9＝a1q8，∴256q8＝1，即q＝±12.
當(dāng)q＝12時(shí)，a12＝a1q11＝2561211＝18；
當(dāng)q＝－12時(shí)，a12＝a1q11＝256×(－12)11＝－18.
(2)a1q2a1q4＝18，即a21q6＝18.
又a1q3a1q7＝72，即a21q10＝72.
兩式相除得q4＝7218＝4，∴q＝±2.
6．解：由題意知c＋2nd＝cq2n，∴nd＝c2(q2n－1)．
∵an＋1－bn＋1＝c＋nd－cqn＝c＋c2(q2n－1)－cqn＝c2(qn－1)2≥0，
∴an＋1≥bn＋1.
三、斐波那契數(shù)列的奇妙性質(zhì)
我們看章頭圖中的斐波那契數(shù)列，它有一系列奇妙的性質(zhì)，現(xiàn)簡(jiǎn)列以下幾條，供讀者欣賞．
1．從首項(xiàng)開(kāi)始，我們依次計(jì)算每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的比值，并精確到小數(shù)點(diǎn)后第四位：
11＝1.000021＝2.0000
32＝1.500053＝1.6667
85＝1.6000138＝1.6250
2113＝1.61543421＝1.6190
5534＝1.61768955＝1.6182
14489＝1.6180253144＝1.6181
如果將這一工作不斷地繼續(xù)下去，這個(gè)比值將無(wú)限趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)位于1.6180與1.6181之間，它還能準(zhǔn)確地用黃金數(shù)1＋52表示出來(lái)．
2．我們?cè)诔踔性?jīng)遇到過(guò)楊輝三角形，如下圖所示，楊輝三角形中虛線上的數(shù)的和恰好組成斐波那契數(shù)列：
3．在斐波那契數(shù)列中，請(qǐng)你驗(yàn)證下列簡(jiǎn)單的性質(zhì)：
前n項(xiàng)和Sn＝an＋2－1，
anan＋1－an－1an－2＝a2n－1(n≥3)，
a2n－1＋a2n＝an－1(n≥2)，
an－2an＝a2n－1－(－1)n(n≥3)．
據(jù)載首先是由19世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家呂卡將級(jí)數(shù){Un}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，Un＋1＝Un＋Un－1命名為斐波那契級(jí)數(shù)，它是一種特殊的線性遞歸數(shù)列，在數(shù)學(xué)的許多分支中有廣泛應(yīng)用.1680年意大利—法國(guó)學(xué)者卡西尼發(fā)現(xiàn)該級(jí)數(shù)的重要關(guān)系式Un＋1Un－1－U2n＝(－1)n.1730年法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗給出其通項(xiàng)表達(dá)式，19世紀(jì)初另一位法國(guó)數(shù)學(xué)家比內(nèi)首先證明了這一表達(dá)式Sn＝[(1＋52)n－(1－52)n]，現(xiàn)在稱之為比內(nèi)公式．
世界上有關(guān)斐波那契數(shù)列的研究文獻(xiàn)多得驚人．斐波那契數(shù)列不僅是在初等數(shù)學(xué)中引人入勝，而且它的理論已經(jīng)廣泛應(yīng)用，特別是在數(shù)列、運(yùn)籌學(xué)及優(yōu)化理論方面為數(shù)學(xué)家們展開(kāi)了一片施展才華的廣闊空間．