高中函數(shù)教案

整合函數(shù)性質教案。

第一章單元小結（二）

(一)教學目標
1．知識與技能
整合函數(shù)性質建構知識網(wǎng)絡，以便于進一步理解和掌握函數(shù)的性質.提升綜合運用函數(shù)性質的能力.
2．過程與方法
在整合函數(shù)性質、綜合運用函數(shù)性質的過程中，培養(yǎng)學生分析、觀察、思考的教學能力、提升學生的歸納、推理能力.
3．情感、態(tài)度與價值觀
在學習過程中，通過知識整合，能力培養(yǎng)，激發(fā)學生的學習興趣.養(yǎng)成合作、交流的良好學習品質.
(二)教學重點與難點
重點：整合知識、構建單元知識系統(tǒng).
難點：提升綜合應用能力.
(三)教學方法
動手練習與合作交流相結合.在回顧、反思中整合知識，在綜合問題探究、解答中提升能力.加深對知識的準確、到位的理解與應用.
(四)教學過程
教學環(huán)節(jié)教學內容師生互動設計意圖
回顧反思
構建體系
函數(shù)性質單元知識網(wǎng)絡
生：借助課本.并回顧學習過程.整理函數(shù)掌握函數(shù)的有關性質歸納知識的縱橫聯(lián)系.
師生合作：學生口述單元基本知識及相互聯(lián)系，老師點評、闡述、板書網(wǎng)絡圖.整理知識，培養(yǎng)歸納能力.
形成知識網(wǎng)絡系統(tǒng).
經(jīng)典例題
剖析
升華能力

例1試討論函數(shù)f(x)=，x(–1，1)的單調性(其中a≠0).

例2試計論并證明函數(shù)y=f(x)=x+(a＞0)在定義域上的單調性，函數(shù)在(0，+∞)上是否有最小值？jab88.cOM

例3已知f(x)是定義在(0，+∞)上的增函數(shù)，且滿足f(xy)=
f(x)+f(y)，f(2)=1.
（1）求證：f(8)=3；
（2）解不等式
f(x)–f(x–2)＞3.

例4已知函數(shù)f(x)，當x、y∈R時，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
（1）求證：f(x)是奇函數(shù)；
（2）如果x∈R+，f(x)＜0，并且f(1)=，試求f(x)在區(qū)間[–2，6]上的最值.

師生合作：學生獨立嘗試完成例1~例4并由學生代表板書解答過程.老師點評.師生共同小結解題思絡.
例1【解析】設–x＜x1＜x2＜1，
即△x=x2–x1＞0，
則△y=f(x2)–f(x2)
=
=
∵–1＜x1＜x2＜1，
∴x1–x2＜0，–1＜0，–1＜0.
|x1x2|＜1，即–1＜x1x2＜1，x1x2+1＞0，
∴＜0.
因此，當a＞0時，△y=f(x2)–f(x1)＜0，
即f(x1)＞f(x2)，此時函數(shù)為減函數(shù)；
當a＜0時，△y=f(x2)–f(x1)＞0，
即f(x1)＜f(x2)，此時函數(shù)為增函數(shù).
例2【解析】函數(shù)y=x+(a＞0)在區(qū)間(–∞，–)上是增函數(shù)，在區(qū)間[–，0]上是減函數(shù)，在區(qū)間(0，]上是減函數(shù)，在區(qū)間(，+∞)上是增函數(shù).
先證明y=x+(a＞0)在(0，+∞)上的增減性，
任取0＜x1＜x2，
則△x=x1–x2＜0，
△y=f(x1)–f(x2)
=(x1+)–(x2+)
=(x1–x2)+(–)
=(x1–x2)+
=(x1–x2)(1–)
=△x.
∵0＜x1＜x2，
∴△x=x1–x2＜0，x1x2＞0.
（1）當x1，x2∈(0，)時，0＜x1x2＜a，∴x1x2–a＜0，
此時①＞0時，
△y=f(x1)–f(x2)＞0，
∴f(x)在(0，)上是減函數(shù).
（2）當x1，x2∈[，+∞）時，x1x2＞a，∴x1x2–a＞0，
此時①＜0，△y=f(x1)–f(x2)＜0，
∴f(x)在[，+∞）上是增函數(shù)，
同理可證函數(shù)f(x)在(–∞，–)上為增函數(shù)，
在[–，0)上為減函數(shù).
由函數(shù)f(x)=x+在[0，)上為減函數(shù)，且在[，+∞)上為增函數(shù)知道，f(x)≥f()=2，其中x∈(0，+∞)，
∴f(x)min=2，
也可以配方求f(x)=x+(a＞0)在(0，+∞)上的最小值，
∴f(x)=x+=()2+2，
當且僅當x=時，f(x)min=2.

例3【解析】（1）在f(xy)=f(x)+f(y)中，
設x=y=2，則有f(4)=f(2)+f(2)，
設x=4，y=2，
則有f(8)=f(4)+f(2)
=3f(2)=3.
（2）由f(x)–f(x–2)＞3，
得f(x)＞f(8)+f(x–2)=f[8(x–2)]，
∵f(x)是(0，+∞)上的增函數(shù)，
∴，解得2＜x＜，
故原不等式的解集為{x|2＜x＜}.
例4【解析】（1）∵函數(shù)定義域為R，其定義域關于原點對稱，
∵f(x+y)=f(x)+f(y)，
令y=–x，x、–x∈R，
代入f(x+y)=f(x)+f(y)，
∴f(0)=f(0)+f(0)，得f(0)=0，
∴f(x)+f(–x)=0，得
f(–x)=–f(x)，
∴f(x)為奇函數(shù).
（2）設x、y∈R+，
∵f(x+y)=f(x)+f(y)，
∴f(x+y)–f(x)=f(y)，
∵x∈R+，f(x)＜0，
∴f(x+y)–f(x)＜0，
∴f(x+y)＜f(x).
∵x+y＜x，
∴f(x)在(0，+∞)上是減函數(shù).
又∵f(x)為奇函數(shù)，
f(0)=0，
∴f(x)在(–∞，+∞)上是減函數(shù).
∴在區(qū)間[–2，6]上f(–2)為最大值，f(6)為最小值.
∵f(1)=，
∴f(–2)=–f(2)=–2f(1)=1，
f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]
=–3，
∴f(x)在區(qū)間[–2，6]上的最大值為1，最小值為–3.動手嘗試練習，培養(yǎng)并提高解題能力.
備選例題
例1用定義證明函數(shù)y=f(x)=是減函數(shù).
【解析】∵x2+1＞0對任意實數(shù)x均成立，
∴函數(shù)y=f(x)=的定義域是R，
任取x1、x2∈R，且x1＜x2，則△x=x2–x1＞0，
△y=f(x2)–f(x1)
=
=
=–(x2–x1)
=(x2+x1––)，
∵x1∈R，x2∈R，且x1＜x2，
∴x2–x1＞0，＞=|x1|≥x1，
∴x1–＜0，同理x2–＜0，
x1+x2––＜0，
+＞|x1|+|x2|＞0，
∴f(x2)–f(x1)＜0，
∴y=f(x)=在R上是減函數(shù).
例2已知函數(shù)f(x)的定義域為R，滿足f(–x)=＞0，且g(x)=f(x)+c（c為常數(shù)）在區(qū)間[a，b]上是減函數(shù).判斷并證明g(x)在區(qū)間[–b，–a]上的單調性.
解析：設–b≤x1＜x2≤–a，
則△x=x2–x1＞0，b≥–x1＞–x2≥a，
∵g(x)在區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)，
∴g(–x1)＜g(–x2)，即f(–x1)+c＜f(–x2)+c，
則f(–x1)＜f(–x2)，又∵f(–x)=＞0，
∴，即f(x1)＞f(x2)
∴f(x1)+c＞f(x2)+c，即g(x1)＞g(x2)，
△y=g(x2)–g(x1)＜0，
∴g(x)在區(qū)間[–b，–a]上是減函數(shù).

相關推薦

整合函數(shù)與方程教案

第三章單元小結（一）

（一）教學目標
1．知識與技能
整合函數(shù)與方程的基本知識和基本方法，進一步提升函數(shù)與方程思想.
2．過程與方法
通過學生自我回顧、反思、整理、歸納所學知識，從而構建本節(jié)的知識體系
3．情感、態(tài)度與價值觀
在學習過程中，學會整合知識，提升自我學習的品質，養(yǎng)成合作、交流、創(chuàng)新的良好學習品質.
（二）教學重點與難點
重點：整合單元知識；難點：提升綜合運用單元知識的能力.
（三）教學方法
動手練習與合作交流相結合，在整合知識中構建單元知識體系，在綜合練習中提升綜合運用單元知識的能力.
（四）教學過程
教學環(huán)節(jié)教學內容師生互動設計意圖
回顧反思構建體系1．函數(shù)與方程單元知識網(wǎng)絡
2．知識梳理
①二次函數(shù)的零點與一元二次方程根的關系
對于二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，當f(x)=0時，就是一元二次方程ax2+bx+c=0，因此，二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的零點就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；也即二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象——拋物線與x軸相交時，交點的橫坐標就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
②函數(shù)的零點的理解
（1）函數(shù)的零點是一個實數(shù)，當自變量取該值時，其函數(shù)值等于零.
(2)根據(jù)函數(shù)零點定義可知，函數(shù)f(x)的零點就是f(x)=0的根，因此判斷一個函數(shù)是否有零點，有幾個零點，就是判斷方程f(x)=0是否有實根，有幾個實根.
③函數(shù)零點的判定
判斷一個函數(shù)是否有零點，首先看函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，并且是否存在f(a)f(b)＜0，若滿足，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a，b）內必有零點.
④用二分法求方程的近似解要注意以下問題：
（1）要看清題目要求的精確度，它決定著二分法步驟的結束.
（2）初始區(qū)間的選定一般在兩個整數(shù)間，不同的初始區(qū)間結果是相同的，但二分的次數(shù)卻相差較大.
（3）在二分法的第四步，由|a–b|＜，便可判斷零點近似值為a或b.
⑤用二分法求曲線的近似交點應注意以下幾點：
（1）曲線的交點坐標是方程組的解，最終轉化為求方程的根；
（2）求曲線y=f(x)和y=g(x)的交點的橫坐標，實際上就是求函數(shù)y=f(x)–g(x)的零點，即求方程f(x)–g(x)=0的實數(shù)解.1．師生合作，繪制單元知識網(wǎng)絡圖
2．學生回顧口述知識要點，老師總結、歸納，師生共同進行知識疏理.整理知識，培養(yǎng)歸納能力；師生共同回顧、再現(xiàn)知識與方法.
經(jīng)典例題剖析

例1利用計算器，求方程2x+2x–5=0的近似解.(精確到0.1)

例2確定函數(shù)f(x)=+x–4的零點個數(shù).例3（1）試說明方程2x3–6x2+3=0有3個實數(shù)解，并求出全部解的和（精確到0.01）
（2）探究方程2x3–6x2+5=0，方程2x3–6x2+8=0全部解的和，你由此可以得到什么結論？

1．學生自主完成例1、例2、例3，求解學生代表板書解答過程，老師點評，總結.
例1【解析】設f(x)=2x+2x–5，由于函數(shù)在R上是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在R上至多一個零點.
∵f(1)=–1＜0，f(2)=3＞0，
∴f(1)f(2)＜0，
∴函數(shù)f(x)=2x+2x–5在(1,2)內有一個零點，則二分法逐次計算，列表如下：
取區(qū)間中點值中點函數(shù)值
(1,2)1.50.83(正數(shù))
(1,1,5)1.25–0.12(負數(shù))
(1.25,1.5)1.3750.34(正數(shù))
(1.25,1.375)1.31250.11(正數(shù))
(1.25,1.3125)
∵|1.3125–1.25|=0.0625＜0.1，
∴函數(shù)f(x)的零點近似值為1.3125.
∴方程2x+2x–5=0的近似解是1.3125.
例2【解析】設，則f(x)的零點個數(shù)即y1與y2的交點個數(shù)，作出兩函數(shù)圖象如圖.
由圖知，y1與y2在區(qū)間(0,1)內有一個交點，
當x=4時，y1=–2，y2=0，
當x=8時，y1=–3，y2=–4，
∴在(4,8)內兩曲線又有一個交點，又和y2=x–4均為單調函數(shù).
∴兩曲線只有兩個交點，
即函數(shù)有兩個零點.
例3【解析】（1）設函數(shù)f(x)=2x3–6x2+3，
∵f(–1)=–5＜0，f(0)=3＞0，f(1)=–1＜0，
f(2)=–5＜0，f(3)=3＞0，函數(shù)y=f(x)的圖象是連續(xù)的曲線，∴方程2x3–6x2+3=0有3個實數(shù)解．
首先以區(qū)間[–1，0]為計算的初始區(qū)間，用二分法逐步計算，列表如下：
端點或中點的橫坐標
a0=–1，b0=0
x0=(–1+0)/2=–0.5
x1=(–1–0.5)/2=–0.75
x2=(–0.75–0.5)/2=–0.625
x3=(–0.75–0.625)/2=–0.6875
x4=(–0.6875–0.625)/2=–0.65625
x5=(–0.65625–0.625)/2=–0.640625
x6=(–0.65625–0.640625)/2
=–0.6484375
x7=–0.64453125

計算端點或中點的函數(shù)值定區(qū)間
f(–1)=–5，f(0)=3[–1，0]
f(x0)=f(–0.5)=1.25＞0[–1，–0.5]
f(x1)=f(–0.75)＜0[–0.75，–0.5]
f(x2)=f(–0.625)＞0[–0.75，–0.625]
f(x3)=f(–0.6875)＜0[–0.6875，–0.625]
f(x4)=f(–0.65625)＜0[–0.65625，–0.625]
f(x5)=f(–0.640625)＞0[–0.65625，–0.640625]
f(x6)=f(–0.64843725)＜0[–0.6484375，–0.640625]
f(x7)＜0[–0.64453125，–0.640625]
由上表計算可知，區(qū)間[–0.64453125，–0.640625]的左、右兩端點精確到0.01所取的近似值都是–0.64，所以–0.64可以作為方程2x3–6x2+3=0在區(qū)間[–1，0]上的一個近似解．
同理可求得方程2x3–6x2+3=0在區(qū)間[0，1]和[2，3]內且精確到0.01的近似解分別為0.83，2.81．所以方程2x3–6x2+3=0全部解的和為–0.64+0.83+2.81=3．
（2）利用同樣方法可求得方程2x3–6x2+5=0和方程2x3–6x2+8=0全部解的和也為3．
由于3只與未知數(shù)的系數(shù)比相等，即–(–6÷2)=3，所以猜想：
一般地，對于一元三次方程ax3+bx3+cx+d=0有三個根xl，x2，x3，則和為x1+x2+x3=．動手嘗試練習提升綜合應用知識的能力.
備選例題
例1求函數(shù)y=x3–2x2–x+2的零點，并畫出它的圖象.
【解析】因為x3–2x–x+2=x2(x–2)–(x–2)=(x–2)(x2–1)=(x–2)(x–1)(x+1)，
所以已知函數(shù)的零點為–1，1，2.
3個零點把x軸分成4個區(qū)間：
，[–1，1]，[1，2]，.
在這4個區(qū)間內，取x的一些值(包括零點)，列出這個函數(shù)的對應值表：
x…–1.5–1–0.500.511.522.5…
y…–4.3801.8821.130–0.6302.63…
在直角坐標系內描點連線，這個函數(shù)的圖象如圖所示.
例2求函數(shù)f(x)=x3+x2–2x–2的一個為正實數(shù)的零點（誤差不超過0.1）.
【解析】由于f(1)=–2＜0，f(2)=6＞0，可以取區(qū)間[1，2]作為計算的初始區(qū)間.
用二分法逐次計算，列表如下：
端點（中點）坐標計算中點的函數(shù)值取區(qū)間|an–bn|
[1，2]1
x0=(1+2)/2=1.5f(x0)=0.625＞0[1，1.5]0.5
x1=(1+1.5)/2=1.25f(x1)=–0.984＜0[1.25，1.5]0.25
x2=(1.25+1.5)/2=1.375f(x2)=–0.260＜0[1.375，1.5]0.125
x3=(1.375+1.5)/2=1.438
由上表的計算可知，區(qū)間[1.375，1.5]的長度小于0.2，所以這個區(qū)間的中點x3=1.438可作為所求函數(shù)誤差不超過0.1的一個正實數(shù)零點的近似值.
函數(shù)f(x)=x3+x2–2x–2的圖象如圖所示.
實際上還可用二分法繼續(xù)算下去，進而得到這個零點精確度更高的近似值.

函數(shù)的性質

《新課標》高三數(shù)學（人教版）第一輪復習單元講座
第四講—函數(shù)的基本性質
一．課標要求(例題5，練習題7，習題9)
1．通過已學過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；
2．結合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；
二．命題走向
從近幾年來看，函數(shù)性質是高考命題的主線索，不論是何種函數(shù)，必須與函數(shù)性質相關聯(lián)，因此在復習中，針對不同的函數(shù)類別及綜合情況，歸納出一定的復習線索。
預測2011年高考的出題思路是：通過研究函數(shù)的定義域、值域，進而研究函數(shù)的單調性、奇偶性以及最值。
預測明年的對本講的考察是：
（1）考察函數(shù)性質的選擇題1個或1個填空題，還可能結合導數(shù)出研究函數(shù)性質的大題；
（2）以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數(shù)的性質，以組合形式、一題多角度考察函數(shù)性質預計成為新的熱點。
三．要點精講
1．單調性
（1）定義：一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)（f(x1)f(x2)），那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（減函數(shù)）；
注意：
○1函數(shù)的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質，是函數(shù)的局部性質；
○2必須是對于區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2；當x1x2時，總有f(x1)f(x2)
（2）如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調區(qū)間。
（3）設復合函數(shù)y=f[g(x)]，其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定義域的某個區(qū)間，B是映射
g:x→u=g(x)的象集：
①若u=g(x)在A上是增（或減）函數(shù)，y=f(u)在B上也是增（或減）函數(shù)，則函數(shù)
y=f[g(x)]在A上是增函數(shù)；
②若u=g(x)在A上是增（或減）函數(shù)，而y=f(u)在B上是減（或增）函數(shù)，則函數(shù)y=f[g(x)]在A上是減函數(shù)。
（4）判斷函數(shù)單調性的方法步驟
利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性的一般步驟：
○1任取x1，x2∈D，且x1x2；
○2作差f(x1)－f(x2)；
○3變形（通常是因式分解和配方）；
○4定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；
○5下結論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性）。
（5）簡單性質
①奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調性相同；
②偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調性相反；
③在公共定義域內：
增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；
增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)。

2．奇偶性
（1）定義：如果對于函數(shù)f(x)定義域內的任意x都有f(－x)=－f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)；
如果對于函數(shù)f(x)定義域內的任意x都有f(－x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。
如果函數(shù)f(x)不具有上述性質，則f(x)不具有奇偶性.
如果函數(shù)同時具有上述兩條性質，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。
注意：
○1函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質；
例如：函數(shù)的單調性是對某個區(qū)間而言的，所以受到區(qū)間的限制，如函數(shù)分別在和內都是單調遞減的，但是不能說它在整個定義域即內是單調遞減的，只能說函數(shù)的單調遞減區(qū)間為和
○2由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個x，則－x也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關于原點對稱）。
（2）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：
○1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；
○2確定f(－x)與f(x)的關系；
○3作出相應結論：
若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)；
若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù)。
（3）簡單性質：
①圖象的對稱性質：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關于原點對稱；
一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關于y軸對稱；
若是偶函數(shù)，則的圖象關于直線對稱；
若是奇函數(shù)，則的圖象關于點中心對稱；
②設，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇；
3．最值
（1）定義：
最大值：一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。
最小值：一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：①對于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值。
注意：
○1函數(shù)最大（?。┦紫葢撌悄骋粋€函數(shù)值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；
○2函數(shù)最大（?。撌撬泻瘮?shù)值中最大（?。┑?，即對于任意的x∈I，都有
f(x)≤M（f(x)≥M）。
（2）．函數(shù)的最值的求法
①若函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)型的函數(shù)，常用配方法。
②利用函數(shù)的單調性求最值：先判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調性，然后利用函數(shù)的單調性求最值。如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞增，在區(qū)間[b，c]上單調遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞減，在區(qū)間[b，c]上單調遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；
③基本不等式法：當函數(shù)是分式形式且分子分母不同次時常用此法（但有注意等號是否取得）。
④導數(shù)法：當函數(shù)比較復雜時，一般采用此法
⑤數(shù)形結合法：畫出函數(shù)圖象，找出坐標的范圍或分析條件的幾何意義，在圖上找其變化范圍。
4．周期性
（1）定義：如果存在一個非零常數(shù)T，使得對于函數(shù)定義域內的任意x，都有f(x+T)=f(x)，則稱f(x)為周期函數(shù)；
（2）性質：①f(x+T)=f(x)常常寫作若f(x)的周期中，存在一個最小的正數(shù)T，則稱它為f(x)的最小正周期；
②若周期函數(shù)f(x)的周期為T，則f(ωx)（ω≠0）是周期函數(shù)，且周期為。
（3）周期性不僅僅是三角函數(shù)的專利，抽象函數(shù)的周期性是高考熱點，主要難點是抽象函數(shù)周期的發(fā)現(xiàn)，主要有幾種情況：
①函數(shù)值之和等于零型，
即函數(shù)對于定義域中任意滿足，則有，故函數(shù)的周期是
②函數(shù)圖象有，兩條對稱軸型。
函數(shù)圖象有，兩條對稱軸，即，，從而得，故函數(shù)的周期是
③兩個函數(shù)值之積等于，即函數(shù)值互為倒數(shù)或負倒數(shù)型
若，則得，所以函數(shù)的周期是；同理若，則的周期是
四．典例解析
題型一判斷證明函數(shù)的單調性
例1．（2001天津，19）設，是上的偶函數(shù)。
（1）求的值；（2）證明在上為增函數(shù)。
解：（1）依題意，對一切，有，即。
∴對一切成立，則，∴，
∵，∴。
（2）(定義法)設，則
，
由，得，，
∴，
即，∴在上為增函數(shù)。
（導數(shù)法）∵，
∴
∴在上為增函數(shù)
點評：本題用了兩種方法：定義法和導數(shù)法，相比之下導數(shù)法比定義法更為簡潔。
例2．（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）已知若試確定的單調區(qū)間和單調性。
解：（1）函數(shù)的定義域為，
分解基本函數(shù)為、
顯然在上是單調遞減的，而在上分別是單調遞減和單調遞增的。根據(jù)復合函數(shù)的單調性的規(guī)則：
所以函數(shù)在上分別單調遞增、單調遞減。
（2）解：，，
令，得或，
令，或
∴單調增區(qū)間為；單調減區(qū)間為。
點評：該題考察了復合函數(shù)的單調性。要記住“同向增、異向減”的規(guī)則。
練習1．函數(shù)的單調增區(qū)間為（）
A．；B．；C．；D．
[解析]D；由得或，又函數(shù)
在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以函數(shù)
的單調增區(qū)間為
2．（2007天津改編）在上定義的函數(shù)是奇函數(shù)，且，若在區(qū)間是減函數(shù)，則函數(shù)（）
A.在區(qū)間上是增函數(shù)，區(qū)間上是增函數(shù)
B.在區(qū)間上是增函數(shù)，區(qū)間上是減函數(shù)
C.在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間上是增函數(shù)
D.在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間上是減函數(shù)
[解析]C；由知的圖象關于直線對稱，由在區(qū)間是減函數(shù)知在區(qū)間是增函數(shù)，又由及是奇函數(shù)，得到
，進而得，所以是以4為周期的函數(shù)，故在上是減函數(shù)。
題型二：判斷函數(shù)的奇偶性
例3．討論下述函數(shù)的奇偶性：

解：（1）函數(shù)定義域為R，
，
∴f(x)為偶函數(shù)；
（另解）先化簡：，顯然為偶函數(shù)；從這可以看出，化簡后再解決要容易得多。
（2）須要分兩段討論：
①設方法正確解題過程不對！
②設
③當x=0時f(x)=0，也滿足f(－x)=－f(x)；
由①、②、③知，對x∈R有f(－x)=－f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)；
（3），∴函數(shù)的定義域為，
∴f(x)=log21=0(x=±1)，即f(x)的圖象由兩個點A（－1，0）與B（1，0）組成，這兩點既關于y軸對稱，又關于原點對稱，∴f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；
點評：判斷函數(shù)的奇偶性是比較基本的問題，難度不大，解決問題時應先考察函數(shù)的定義域，若函數(shù)的解析式能化簡，一般應考慮先化簡，但化簡必須是等價變換過程（要保證定義域不變）。
例4．(2002天津文.16)設函數(shù)f（x）在（－∞，+∞）內有定義，下列函數(shù)：①y=－|f（x）|；②y=xf（x2）；③y=－f（－x）；④y=f（x）－f（－x）。必為奇函數(shù)的有_____（要求填寫正確答案的序號）
答案：②④；解析：y=（－x）f［（－x）2］=－xf（x2）=－y；y=f（－x）－f（x）=－y。③可以看成y=－f（－x）,那么－f（x）≠—y所以③不正確。
點評：該題考察了判斷抽象函數(shù)奇偶性的問題。對學生邏輯思維能力有較高的要求。
題型三：最值問題
例題5（2000年上海）已知函數(shù)
當時，求函數(shù)的最小值；
[解題思路]當時，，這是典型的“對鉤函數(shù)”，欲求其最小值，可以考慮均值不等式或導數(shù)；
[解析]當時，
，。在區(qū)間上為增函數(shù)。
在區(qū)間上的最小值為。
【名師指引】對于函數(shù)若，則優(yōu)先考慮用均值不等式求最小值，但要注意等號是否成立，否則會得到
而認為其最小值為，但實際上，要取得等號，必須使得，這時
所以，用均值不等式來求最值時，必須注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立問題常轉化為求函數(shù)的最值。本題考查求函數(shù)的最小值的三種通法：利用均值不等式，利用函數(shù)單調性，二次函數(shù)的配方法，考查不等式恒成立問題以及轉化化歸思想；
題型四：周期問題
例題6．（執(zhí)信中學09屆訓練題）設是定義在上的正值函數(shù),且滿足
.若是周期函數(shù),則它的一個周期是（）
.；.；.；.
[解析]；由是定義在上的正值函數(shù)及得
，，
，所以，即的一個周期是6
例題7．（06年安徽改編）函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件，若則__________
[解析]；由得，進而得
所以
例題8．若y=f(2x)的圖像關于直線和對稱，則f(x)的一個周期為（）
A．B．C．D．
解：因為y=f(2x)關于對稱，所以f(a+2x)=f(a－2x)。
所以f(2a－2x)=f[a+(a－2x)]=f[a－(a－2x)]=f(2x)。
同理，f(b+2x)=f(b－2x)，
所以f(2b－2x)=f(2x)，
所以f(2b－2a+2x)=f[2b－(2a－2x)]=f(2a－2x)=f(2x)。
所以f(2x)的一個周期為2b－2a，
故知f(x)的一個周期為4(b－a)。選項為D。
點評：考察函數(shù)的對稱性以及周期性，類比三角函數(shù)中的周期變換和對稱性的解題規(guī)則處理即可。若函數(shù)y=f(x)的圖像關于直線x=a和x=b對稱（a≠b），則這個函數(shù)是周期函數(shù)，其周期為2（b－a）。
例題9．已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)是奇函數(shù)又知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時函數(shù)取得最小值。
①證明：；
②求的解析式；
③求在上的解析式。
解：∵是以為周期的周期函數(shù)，
∴，
又∵是奇函數(shù)，
∴，
∴。
②當時，由題意可設，
由得，
∴，
∴。
③∵是奇函數(shù)，
∴，
又知在上是一次函數(shù)，
∴可設，而，
∴，∴當時，，
從而當時，，故時，。
∴當時，有，
∴。
當時，，
∴
∴。
點評：該題屬于普通函數(shù)周期性應用的題目，周期性是函數(shù)的圖像特征，要將其轉化成數(shù)字特征。

五．思維總結
1．判斷函數(shù)的奇偶性，必須按照函數(shù)的奇偶性定義進行，為了便于判斷，常應用定義的等價形式：f(x)=f(x)f(x)f(x)=0；
2．對函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個等式上，要明確對定義域內任意一個x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實質是：函數(shù)的定義域關于原點對稱這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件。稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=a對稱的充要條件是對定義域內的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函數(shù)的奇偶性是其相應圖象的特殊的對稱性的反映；
3．若奇函數(shù)的定義域包含0，則f(0)=0，因此，“f(x)為奇函數(shù)”是f(0)=0的非充分非必要條件；
4．奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，因此根據(jù)圖象的對稱性可以判斷函數(shù)的奇偶性。
5．若存在常數(shù)T，使得f(x+T)=f(x)對f(x)定義域內任意x恒成立，則稱T為函數(shù)f(x)的周期，一般所說的周期是指函數(shù)的最小正周期周期函數(shù)的定義域一定是無限集。
6．單調性是函數(shù)學習中非常重要的內容，應用十分廣泛，由于新教材增加了“導數(shù)”的內容，所以解決單調性問題的能力得到了很大的提高，因此解決具體函數(shù)的單調性問題，一般求導解決，而解決與抽象函數(shù)有關的單調性問題一般需要用單調性定義解決。注意，關于復合函數(shù)的單調性的知識一般用于簡單問題的分析，嚴格的解答還是應該運用定義或求導解決。

函數(shù)及性質

函數(shù)及性質

一.【復習目標】
1.理解函數(shù)單調性的概念,理解函數(shù)的周期性.
2.會利用函數(shù)的性質描繪函數(shù)的圖象,討論函數(shù)、方程、不等式相關問題.
3.體會數(shù)形結合及函數(shù)與方程的數(shù)學思想方法.
二、【課前熱身】
1．函數(shù)y=的反函數(shù)()
A.是奇函數(shù)，它在（0，+）上是減函數(shù)。
B.是偶函數(shù)，它在（0，+）上是減函數(shù)。
C.是奇函數(shù)，它在（0，+上是增函數(shù)。
D.是偶函數(shù)，它在（0，+上是增函數(shù)。
2．若定義在R上的偶函數(shù)f（x）在（-，0）上是減函數(shù)，且=2。那么不等式的解集為()
（A）（0.5，1）（B）（0，0.5）。
（C）（0，0.5）（D）（2，+）

3．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對一切x，總有f（x+4）=f（x），
若f（63）=2，則f（5）與f（7）的大小關系是-------------------

4．已知f（x）=8+2x-x2，如果g（x）=f（2-x2），那么g（x）(）
（A）在區(qū)間（-2，0）上是增函數(shù)。（B）在區(qū)間（0，2）上是增函數(shù)。
（C）在區(qū)間（-1，0）上是減函數(shù)。（D）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)。
三.【例題探究】
例1．設函數(shù)，其中a是實數(shù)，n是自然數(shù)，且n，若f（x）當x時有意義，求a的取值范圍。

例2．設函數(shù)，當點（x，y）在y=f（x）的反函數(shù)圖象上運動時，對應的點（）在y=g（x）的圖象上。
(1).求的表達式。
(2).當時，求的最小值。
例3．定義在R上的單調函數(shù)f(x)滿足且對任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求證f(x)為奇函數(shù)；
(2)若f(k3)+f(3-9-2)＜0對任意x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．
四、【方法點撥】
1.函數(shù)不等式的求解要注意結合函數(shù)的單調性,特別要重視定義域的作用
2.不等式恒成立問題要注意等價轉化.

沖刺強化訓練(2)
1.函數(shù)與的圖象關于直線對稱，則的單調遞增區(qū)間是（）
2．方程的解所在區(qū)間是（）
A．（0，2）B。（1，2）C.（2，3）D.（3，4）
3．設函數(shù)的反函數(shù)為，又函數(shù)的圖象關于直線對稱，，那么的值為(）
A．-1B.-2C.D.
4.設偶函數(shù)是定義在實數(shù)集上的周期為2的周期函數(shù)，當時，
則當時，的解析式是（）
5.函數(shù)的單調遞增區(qū)間是:
6．設定義在R上的函數(shù)的最小正周期為2，且在區(qū)間內單調遞減，則
的大小關系是：________________________.
7.已知函數(shù)
（1）求函數(shù)的反函數(shù)。
（2）如果，求a的值，并畫出的圖象。

8．給出函數(shù)
（1）對任意的實數(shù)都有，求實數(shù)a的范圍。
（2）試判斷在上的增減性，并給予證明

9.設函數(shù)
(1)求函數(shù)的定義域；
(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；
(3)指出在區(qū)間上的單調性，并予以證明.

參考答案
一、[課前熱身]
1．C2．B3．4．C
二、[例題探究]
例1．分析：使函數(shù)f（x）=lg有意義的的集合滿足：
即。。。。。。①
因的定義域是，故對于一切，①式恒成立。由函數(shù)
在上是減函數(shù)知函數(shù)在
上是增函數(shù)。故在上的最大值是
。故所求范圍是（。
說明：利用函數(shù)的單調性求函數(shù)的值域或最值是一種重要的方法。
例2．分析：(1)易求。。
（2）由g（x）—f—1（x）0得：。
故即。
說明：二次函數(shù)的最值不一定在頂點取得，當時，的最值為。
例3．分析：欲證f(x)為奇函數(shù)即要證對任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的問題，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函數(shù)得到證明．
(1)證明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，①
令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0．
令y=-x，代入①式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，則有
0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)對任意x∈R成立，所以f(x)是奇函數(shù)．
(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是單調函數(shù)，所以f(x)在R上是增函數(shù)，又由(1)f(x)是奇函數(shù)．
f(k3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，k3＜-3+9+2，
3-(1+k)3+2＞0對任意x∈R成立．
令t=3＞0，問題等價于t-(1+k)t+2＞0對任意t＞0恒成立．
R恒成立．
說明：問題(2)的上述解法是根據(jù)函數(shù)的性質．f(x)是奇函數(shù)且在x∈R上是增函數(shù)，把問題轉化成二次函數(shù)f(t)=t-(1+k)t+2對于任意t＞0恒成立．對二次函數(shù)f(t)進行研究求解．本題還有更簡捷的解法：分離系數(shù)由k3＜-3+9+2得
上述解法是將k分離出來，然后用平均值定理求解，簡捷、新穎．

沖刺強化訓練(2)
1.C2、C3．B4.C5.6．
7.（1）反函數(shù)。（2）。圖象略。
8（1）。（2）增函數(shù)。
9.證明：（I）
故f(x)在（0，1上是減函數(shù)，而在（1，+∞）上是增函數(shù)，由0ab且f(a)=f(b)得0a1b和，故
（II）0x1時，
曲線y=f(x)在點P（x0，y0）處的切線方程為：
∴切線與x軸、y軸正向的交點為
故所求三角形面積聽表達式為：

函數(shù)概念及性質

二師生互動
例1函數(shù)的定義域
練一練
求函數(shù)的定義域
例2例2已知函數(shù)是偶函數(shù)，且時，.
（1）求的值；（2）求時的值；
（3）當0時，求的解析式．
練一練
設函數(shù)．
（1）求它的定義域；（2）判斷它的奇偶性；
（3）求證：；
（4）求證：在上遞增.

三鞏固練習
1..函數(shù)的值域是（）
A．B.C.D.
2.若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是（）
A．[，3]B．[2，]C．[，]D．[3，]
3若f(x)=-x2+2ax與在區(qū)間[1,2]上都是減函數(shù)，則a的值范圍是（）
A．B．C．（0，1）D．
4函數(shù)的圖像關于（）
A．軸對稱B．直線對稱C．坐標原點對稱D．直線對稱
5已知定義域為R的函數(shù)f(x)在上為減函數(shù),且y=f(x+8)函數(shù)為偶函數(shù),則()
A.f(6)f(7)B.f(6)f(9)C.f(7)f(9)D.f(7)f(10)
6設，則使函數(shù)的定義域為R且為奇函數(shù)的所有值為（）
（A）（B）（C）（D）
7在上的最大值為，最小值為.

四課后反思

五課后鞏固練習
1.已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈［－5,5］.
(1)當a＝－1時，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；
(2)求實數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x)在［－5,5］上是單調函數(shù).
2.設，當時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍