高中等差數(shù)列教案

等差等比數(shù)列綜合問題。

等差等比數(shù)列綜合問題

教學目標

1.熟練運用等差、等比數(shù)列的概念、通項公式、前n項和式以及有關性質，分析和解決等差

、等比數(shù)列的綜合問題．

2.突出方程思想的應用，引導學生選擇簡捷合理的運算途徑，提高運算速度和運算能力．

教學重點與難點

用方程的觀點認識等差、等比數(shù)列的基礎知識，從本質上掌握公式．

例題

1．（1）已知{an}成等差，且a5=11，a8=5，求an=；

（2）等差數(shù)列{an}中，如S2=4,S4=16,Sn=121，求n=；

（3）等差數(shù)列{an}中，a6+a9+a12+a15=20，求S20=；

（4）等差數(shù)列{an}中，am=n，an=m,則am+n=，Sm+n=；

（5）等差數(shù)列{an}中，公差d=－2，a1+a4+a7+…+a97=50，

求a3+a6+a9+…+a99=?

（6）若兩個等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項的和分別為Sn,Tn,且，求.

2．（1）在等比數(shù)列{an}中，a1+a2=3，a4+a5=24，則a7+a8=；

（2）設{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a5·a6=81，則=；

（3）設{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a4a6+2a5a7+a6a8=36，則a5+a7=；

(4)設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn=4n+m，求得常數(shù)m=；

3．(1)“”是“a、G、b成等比數(shù)列”的條件；

（2）“數(shù)列{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”是“該數(shù)列為常數(shù)列”的條件

（3）設數(shù)列{an}、{bn}(bn0）滿足，則{an}為等差數(shù)列是{bn}為等比數(shù)列的條件；

（4）Sn表示數(shù)列{an}的前n項的和，則Sn=An2+Bn,（其中A、B為常數(shù)）是數(shù)列{an}成等差數(shù)列的條件。

4．三個實數(shù)6、3、－1順次排成一行，在6與3之間插入兩個實數(shù)，在3與－1之間插入一個實數(shù)，使得這六個數(shù)中的前三個、后三個組成等差數(shù)列，且插入的三個數(shù)又成等比數(shù)列，求所插入的三個數(shù)的和。

5.在2和20之間插入兩個數(shù),使前三個數(shù)成等比數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，則插入的兩個數(shù)的和是多少？

6．已知x、y為正實數(shù)，且x、a1、a2、y成等差數(shù)列，x、b1、b2、y成等比數(shù)列，則的取值范圍是。

7．設{an}是正數(shù)等差數(shù)列，{bn}是正數(shù)等比數(shù)列，且a1=b1，a2n+1=b2n+1，

試比較an+1與bn+1的大小。

8．（1）等差數(shù)列{an}中，前n項的和為Sn，且S6S7，S7S8，則①此數(shù)列的公差小于是0；②S9一定小于S6；③是各項中最大的一項；④一定是Sn的最大值。把正確的序號填入后面的橫線上.

(2)等差數(shù)列{an}中，公差d是自然數(shù)，等比數(shù)列{bn}中，b1=a1,b2=a2，現(xiàn)有數(shù)據(jù)：①2；②3；③4；④5，當{bn}中所有項都是{an}中的項時，d可以?。ㄌ钌险_的序號）。

作業(yè)：復習題三A組9，10，11，12,14

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等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題（3）

教學目標

1.熟練運用等差、等比數(shù)列的概念、通項公式、前n項和式以及有關性質，分析和解決等差、等比數(shù)列的綜合問題．

2.突出方程思想的應用，引導學生選擇簡捷合理的運算途徑，提高運算速度和運算能力．

3.用類比思想加深對等差數(shù)列與等比數(shù)列概念和性質的理解.

教學重點與難點

1.用方程的觀點認識等差、等比數(shù)列的基礎知識，從本質上掌握公式．

2.等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用.

例1已知兩個等差數(shù)列5，8，11，…和3，7，11…都有100項，問它們有多少公共項.

例2已知數(shù)列{an}的前n項和，求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn.

例3已知公差不為零的等差數(shù)列｛an｝和等比數(shù)例｛bn｝中，a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3，試問：是否存在常數(shù)a，b，使得對于一切自然數(shù)n，都有an＝logabn+b成立．若存在，求出a，b的值，若不存在，請說明理由．

例4已知數(shù)列｛an｝是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列｛akn｝是公比為q的等比數(shù)列，且k1＝1，k2＝5，k3＝17，求k1+k2+k3+…+kn的值．

例5、已知函數(shù)f(x)=2x-2-x,數(shù)列{an}滿足f()=-2n(1)求{an}的通項公式。(2)證明{an}是遞減數(shù)列。例6、在數(shù)列{an}中,an0，=an+1(nN)求Sn和an的表達式。例7.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=.

求證：對于任意的正整數(shù)n，均有a2n─1,a2n,a2n+1成等比數(shù)列，而a2n,a2n+1,a2n+2成等差數(shù)列。

例8．項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項之和為44，偶數(shù)項之和為33，求該數(shù)列的中間項及項數(shù)。

作業(yè)

1公差不為零的等差數(shù)列的第2，第3，第6項依次成等比數(shù)列，則公比是（）．

（A）1（B）2（C）3（D）4

2若等差數(shù)列｛an｝的首項為a1＝1，等比數(shù)列｛bn｝，把這兩個數(shù)列對應項相加所得的新數(shù)列｛an+bn｝的前三項為3，12，33，則｛an｝的公差為｛bn｝的公比之和為（）．

（A）－5（B）7（C）9（D）14

3已知等差數(shù)列｛an｝的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，則的值是．

4在等差數(shù)列｛an｝中，a1，a4，a25依次成等比數(shù)列，且a1+a4+a25＝114，求成等比數(shù)列的這三個數(shù)．

5設數(shù)列｛an｝是首項為1的等差數(shù)列，數(shù)列｛bn｝是首項為1的等比數(shù)列，又Cn＝an－bn（n∈N+），已知試求數(shù)列｛Cn｝的通項公式與前n項和公式．

等差數(shù)列與等比數(shù)列

等差數(shù)列與等比數(shù)列

【復習目標】
掌握等差、等比數(shù)列的定義及通項公式，前n項和公式以及等差、等比數(shù)列的性質，在解決有關等差，等比數(shù)列問題時，要注意運用方程的思想和函數(shù)思想以及整體的觀點，培養(yǎng)分析問題與解決問題的能力。
【課前熱身】
1．如果，，…，為各項都大于零的等差數(shù)列，公差，則()
A．B．C．++D．=
2．已知–9,a1,a2,–1這四個數(shù)成等差數(shù)列,–9,b1,b2,b3,–1這5個數(shù)成等比數(shù)列,則等于（）
A．-8B．8C．8或-8D．
3．設Sn是等差數(shù)列的前n項和，若（）（福建文）
A．1B．－1C．2D．
4．已知等差數(shù)列的公差為2,若成等比數(shù)列,則=（）（浙江文理）
A–4B–6C–8D–10
5.(2005年杭州二模題)已知成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,則橢圓的準線方程為________.
【例題探究】
1、已知數(shù)列為等差數(shù)列，且(05湖南)
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）證明

2、設數(shù)列
記
（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結論；

3、某企業(yè)進行技術改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤；乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比前一年增加5千元；兩種方案的使用期都是10年，到期一次性歸還本息.若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復利計算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？
（?。?br> 【方法點撥】
1．本題的關鍵在于指數(shù)式和對數(shù)式的互化在數(shù)列中的應用。
2．數(shù)列通項公式和遞推公式經(jīng)常在已知條件中給出,利用列舉、疊加、疊乘等方法求之.求通項公式的方法應掌握.
3．例3是比較簡單的數(shù)列應用問題，由于問題所涉及的數(shù)列是熟悉的等比數(shù)列與等差數(shù)列，因此只建立通項公式并運用所學過的公式求解.
沖刺強化訓練（12）
1．已知等差數(shù)列滿足則有()
A.B.C.D.
2在正數(shù)等比數(shù)列中已知則（）
A．11B．10C．8D．4
3．設數(shù)列是等差數(shù)列，且，是數(shù)列的前項和，則（）
A．B．C．D．
4．在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列中首項，前三項和為21，則()
A．33B．72C．84D．189
5．設數(shù)列的前項和為（）.關于數(shù)列有下列三個命題：
（1）若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則；
（2）若，則是等差數(shù)列；
（3）若，則是等比數(shù)列.
這些命題中，真命題的序號是.

6、在等差數(shù)列中，，等比數(shù)列中，
，，則

7．設F是橢圓的右焦點，且橢圓上至少有21個不同的點Pi（i=1，2，3，…），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…組成公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍為（湖南理）

8．已知，都是各項為正數(shù)的數(shù)列，對任意的正整n,都有成等差數(shù)列，
等比數(shù)列。
（1）求證：是等差數(shù)列；
（2）如果，，。

9．設⊙C1,⊙C2,……,⊙Cn是圓心在拋物線上的一系列圓，它們的圓心的橫坐標分別記為。已知，。若⊙Ck(k=1,2,3,……,n)都與x軸相切，且順次兩圓外切。
（1）求證：是等差數(shù)列（2）求的表達式；
（3）求證：
參考答案
【課前熱身】
1．B2，A3，A4，B
5、y=±22.解析：由條件易知m=2,n=4.但要注意橢圓焦點所在的坐標軸是y軸.因此準線方程為y=±a2c=±22.
【例題探究】
1,（I）解：設等差數(shù)列的公差為d.
由即d=1.
所以即
（II）證明因為，
所以
2,解：（I）
（II）因為,所以
所以
猜想：是公比為的等比數(shù)列.
證明如下：因為
所以是首項為,公比為的等比數(shù)列.
3，解：甲方案是等比數(shù)列，乙方案是等差數(shù)列，
①甲方案獲利：（萬元）
銀行貸款本息：（萬元）
故甲方案純利：（萬元）
②乙方案獲利：
（萬元）；
銀行本息和：
（萬元）
故乙方案純利：（萬元）；綜上，甲方案更好.

沖刺強化訓練(12)
1．C2．A3．B4．C5．（1）、（2）、（3）
6．解：
點評：此題也可以把和d看成兩個未知數(shù)，通過列方程，聯(lián)立解之d=。再求出但計算較繁，運用計算較為方便。
7．
8．解：（1）證明：成等差數(shù)列，。
成等比數(shù)列，，即，
，，成等差數(shù)列。
（2）解：而，
，
）
9．解：（1）由題意知：⊙：，⊙：
，，
,兩邊平方，整理得
是以為首項，公差為2的等差數(shù)列
（2）由（1）知，
（3）
），

等比數(shù)列

等比數(shù)列學案

第3課時等比數(shù)列的前n項和
知能目標解讀
1.掌握等比數(shù)列的前n項和公式的推導方法--錯位相減法，并能用其思想方法求某類特殊數(shù)列的前n項和.
2.掌握等比數(shù)列前n項和公式以及性質，并能應用公式解決有關等比數(shù)列前n項的問題.在應用時，特別要注意q=1和q≠1這兩種情況.
3.能夠利用等比數(shù)列的前n項和公式解決有關的實際應用問題.
重點難點點撥
重點：掌握等比數(shù)列的求和公式，會用等比數(shù)列前n項和公式解決有關問題.
難點：研究等比數(shù)列的結構特點，推導等比數(shù)列的前n項和的公式及公式的靈活運用.
學習方法指導
1.等比數(shù)列的前n項和公式
（1）設等比數(shù)列{an}，其首項為a1，公比為q，則其前n項和公式為
na1(q=1)
Sn=.
(q≠1)
也就是說，公比為q的等比數(shù)列的前n項和公式是q的分段函數(shù)的一系列函數(shù)值，分段的界限是在q=1處.因此，使用等比數(shù)列的前n項和公式，必須要弄清公比q是可能等于1還是不等于1，如果q可能等于1，則需分q=1和q≠1進行討論.
（2）等比數(shù)列{an}中，當已知a1,q(q≠1)，n時，用公式Sn=，當已知a1,q(q≠1)，an時，用公式Sn=.
2.等比數(shù)列前n項和公式的推導
除課本上用錯位相減法推導求和公式外，還可以用下面的方法推導.
(1)合比定理法
由等比數(shù)列的定義知：==…==q.
當q≠1時，=q,即=q.
故Sn==.
當q=1時，Sn=na1.
(2)拆項法
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an)
當q≠1時，Sn==.
當q=1時，Sn=na1.
(3)利用關系式Sn-Sn-1=an(n≥2)
∵當n≥2時，Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+qSn-1
∴Sn=a1+q(Sn-an)
即(1-q)Sn=a1(1-qn)
當q≠1時，有Sn=,
當q=1時，Sn=na1.
注意：
(1)錯位相減法，合比定理法，拆項法及an與Sn的關系的應用，在今后解題中要時常用到，要領會這些技巧.
(2)錯位相減法適用于{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，求{anbn}的前n項和.
3.等比數(shù)列前n項和公式的應用
（1）衡量等比數(shù)列的量共有五個：a1,q,n,an,Sn.由方程組知識可知，解決等比數(shù)列問題時，這五個量中只要已知其中的任何三個，就可以求出其他兩個量.
（2）公比q是否為1是考慮等比數(shù)列問題的重要因素，在求和時，注意分q=1和q≠1的討論.
4.等比數(shù)列前n項和公式與函數(shù)的關系
(1)當公比q≠1時，令A=，則等比數(shù)列的前n項和公式可寫成Sn=-Aqn+A的形式.由此可見，非常數(shù)列的等比數(shù)列的前n項和Sn是由關于n的一個指數(shù)式與一個常數(shù)的和構成的，而指數(shù)式的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù).
當公比q=1時，因為a1≠0，所以Sn=na1是n的正比例函數(shù)（常數(shù)項為0的一次函數(shù)）.
(2)當q≠1時，數(shù)列S1,S2,S3,…,Sn,…的圖像是函數(shù)y=-Aqx+A圖像上的一群孤立的點.當q=1時，數(shù)列S1,S2,S3,…,Sn,…的圖像是正比例函數(shù)y=a1x圖像上的一群孤立的點.
知能自主梳理
1.等比數(shù)列前n項和公式
（1）等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,當公比q≠1時，Sn==;當q=1時，Sn=.
(2)推導等比數(shù)列前n項和公式的方法是.
2.公式特點
（1）若數(shù)列{an}的前n項和Sn=p(1-qn)(p為常數(shù))，且q≠0,q≠1，則數(shù)列{an}為.
（2）在等比數(shù)列的前n項和公式中共有a1,an,n,q,Sn五個量，在這五個量中知求.
［答案］1.（1）na1(2)錯位相減法
2.（1）等比數(shù)列（2）三二
思路方法技巧
命題方向等比數(shù)列前n項和公式的應用
［例1］設數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，其前n項和為Sn,且S3=3a3,求此數(shù)列的公比q.
［分析］應用等比數(shù)列前n項和公式時，注意對公比q的討論.
［解析］當q=1時，S3=3a1=3a3,符合題目條件；
當q≠1時，=3a1q2,
因為a1≠0,所以1－q3=3q2(1-q),
2q3-3q2+1=0,(q-1)2(2q+1)=0,
解得q=-.
綜上所述，公比q的值是1或－.
［說明］（1）在等比數(shù)列中，對于a1,an,q,n,Sn五個量，已知其中三個量，可以求得其余兩個量.
（2）等比數(shù)列前n項和問題，必須注意q是否等于1，如果不確定，應分q=1或q≠1兩種情況討論.
（3）等比數(shù)列前n項和公式中，當q≠1時，若已知a1,q,n利用Sn=來求；若已知a1,an,q,利用Sn=來求.
變式應用1在等比數(shù)列{an}中,已知S3=,S6=,求an.
［解析］∵S6=,S3=,
∴S6≠2S3，∴q≠1.
=①
∴
=②
②÷①得1+q3=9,∴q=2.
將q=2代入①，得a1=,
∴an=a1qn-1=2n-2.
命題方向等比數(shù)列前n項的性質
［例2］在等比數(shù)列{an}中，已知Sn=48,S2n=60,求S3n.
［分析］利用等比數(shù)列前n項的性質求解.
［解析］∵{an}為等比數(shù)列，∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比數(shù)列，
∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)
∴S3n=+S2n=+60=63.
［說明］等比數(shù)列連續(xù)等段的和若不為零時，則連續(xù)等段的和仍成等比數(shù)列.
變式應用2等比數(shù)列{an}中，S2=7，S6=91,求S4.
［解析］解法一：∵{an}為等比數(shù)列，∴S2，S4-S2，S6-S4也為等比數(shù)列，
∴（S4-7）2=7×（91-S4），解得S4=28或-21.
∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)0,
∴S4=28.
解法二：∵S2=7,S6=91,∴q≠1.
=7①?
∴
=91②
得q4+q2-12=0,∴q2=3,
∴q=±.
當q=時，a1=,
∴S4==28.
當q=-時，a1=-,
∴S4==28.
探索延拓創(chuàng)新
命題方向等比數(shù)列前n項和在實際問題中的應用
［例3］某公司實行股份制，一投資人年初入股a萬元，年利率為25%，由于某種需要，從第二年起此投資人每年年初要從公司取出x萬元.
（1）分別寫出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投資人在該公司中的資產(chǎn)本利和；
（2）寫出第n年年底，此投資人的本利之和bn與n的關系式（不必證明）；
（3）為實現(xiàn)第20年年底此投資人的本利和對于原始投資a萬元恰好翻兩番的目標，若a=395,則x的值應為多少?(在計算中可使用lg2≈0.3)
［解析］(1)第一年年底本利和為a+a25%=1.25a,
第二年年底本利和為（1.25a-x）+(1.25a-x)×25%=1.252a-1.25x,
第三年年底本利和為（1.252a-1.25x-x）+(1.252a-1.25x-x)25%=1.253a-(1.252+1.25)x.
(2)第n年年底本利和為
bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+…+1.25)x.
(3)依題意，有
395×1.2520-(1.2519+1.2518+…+1.25)x=4×395,
∴x=
=.①
設1.2520=t,∴l(xiāng)gt=20lg（）=20(1-3lg2)=2.
∴t=100,代入①解得x=96.
變式應用3某大學張教授年初向銀行貸款2萬元用于購房，銀行貨款的年利息為10％，按復利計算（即本年的利息計入次年的本金生息）.若這筆款要分10年等額還清，每年年初還一次，并且以貸款后次年年初開始歸還，問每年應還多少元？
［解析］第1次還款x元之后到第2次還款之日欠銀行
20000（1＋10％）－x=20000×1.1－x,
第2次還款x元后到第3次還款之日欠銀行［20000(1+10%)-x］(1+10%)-x
=20000×1.12-1.1x-x,
…
第10次還款x元后，還欠銀行20000×1.110－1.19x-1.18x-…-x,
依題意得，第10次還款后，欠款全部還清，故可得
20000×1.110－（1.19＋1.18＋…＋1）x=0,
解得x=≈3255(元).
名師辨誤做答
［例4］求數(shù)列1，a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,…的前n項和.
［誤解］所求數(shù)列的前n項和Sn=1+a+a2+a3+…+a
=.
［辨析］所給數(shù)列除首項外，每一項都與a有關，而條件中沒有a的范圍，故應對a進行討論.
［正解］由于所給數(shù)列是在數(shù)列1,a,a2,a3,…中依次取出1項，2項，3項，4項，……的和所組成的數(shù)列.因而所求數(shù)列的前n項和中共含有原數(shù)列的前（1+2+…+n）項.所以Sn=1+a+a2+…+a.①當a=0時，Sn=1.②當a=1時，Sn=.③當a≠0且a≠1時，Sn=.
課堂鞏固訓練
一、選擇題
1.等比數(shù)列{an}的公比q=2，前n項和為Sn，則=（）
A.2B.4C.D.?
［答案］C
［解析］由題意得==.故選C.
2.等比數(shù)列{an}的前3項和等于首項的3倍，則該等比數(shù)列的公比為（）?
A.-2B.1C.-2或1D.2或-1?
［答案］C
［解析］由題意可得，a1+a1q+a1q2=3a1,?
∴q2+q-2=0,∴q=1或q=-2.
3.等比數(shù)列{2n}的前n項和Sn=（）
A.2n-1B.2n-2C.2n+1-1D.2n+1-2?
［答案］D?
［解析］等比數(shù)列｛2n｝的首項為2，公比為2.?
∴Sn===2n+1-2,故選D.
二、填空題
4.若數(shù)列{an}滿足：a1=1,an+1=2an（n∈N+），則a5=;前8項的和S8=.（用數(shù)字作答）
［答案］16255?
［解析］考查等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式.?
q==2,a5=a1q4=16,
S8==28-1=255.
5.在等比數(shù)列{an}中，Sn表示前n項和，若a3=2S2+1,a4=2S3+1,則公比q=.
［答案］3?
［解析］∵a3=2S2+1,a4=2S3+1,?
兩式相減，得a3-a4=-2a3,?
∴a4=3a3,∴q=3.
三、解答題
6.在等比數(shù)列{an}中，已知a6-a4=24，a3a5=64，求數(shù)列{an}的前8項和.
［解析］解法一：設數(shù)列{an}的公比為q，根據(jù)通項公式an=a1qn-1，由已知條件得
a6-a4=a1q3(q2-1)=24,①?
a3a5=(a1q3)2=64,②?
∴a1q3=±8.
將a1q3=-8代入①式，得q2=-2,沒有實數(shù)q滿足此式，故舍去.?
將a1q3=8代入①式，得q2=4,∴q=±2.?
當q=2時，得a1=1,所以S8==255;?
當q=-2時，得a1=-1，所以S8==85.
解法二：因為{an}是等比數(shù)列，所以依題意得?
a24=a3a5=64,?
∴a4=±8,a6=24+a4=24±8.?
因為{an}是實數(shù)列，所以＞0,?
故舍去a4=-8,而a4=8，a6=32，從而a5=±=±16.?
公比q的值為q==±2,?
當q=2時，a1=1,a9=a6q3=256,?
∴S8==255;?
當q=-2時，a1=-1，a9=a6q3=-256,
∴S8==85.
課后強化作業(yè)
一、選擇題
1.等比數(shù)列{an}中，a2=9,a5=243,則{an}的前4項和為（）
A.81B.120C.168D.192
［答案］B
［解析］公式q3===27,q=3,a1==3,?
S4==120.
2.已知等比數(shù)列的前n項和Sn=4n+a，則a=（）
A.-4B.-1C.0D.1
［答案］B
［解析］設等比數(shù)列為｛an｝，由已知得a1=S1=4+a,a2=S2-S1=12,
a3=S3-S2=48,∴a22=a1a3,?
即144=(4+a)×48，∴a=-1.
3.已知等比數(shù)列的公比為2，且前5項和為1，那么前10項和等于（）?
A.31B.33C.35D.37
［答案］B
［解析］解法一：S5＝==1
∴a1=
∴S10===33,故選B.?
解法二：∵a1+a2+a3+a4+a5=1?
∴a6+a7+a8+a9+a10=(a1+a2+a3+a4+a5)q5=1×25＝32
∴S10＝a1+a2+…+a9+a10=1+32=33.
4.已知等比數(shù)列{an}中，公比q是整數(shù)，a1+a4=18,a2+a3=12,則此數(shù)列的前8項和為（）
A.514B.513C.512D.510
［答案］D
a1+a1q3=18
［解析］由已知得，
a1q+a1q2=12
解得q=2或.
∵q為整數(shù)，∴q=2.∴a1=2.
∴S8==29-2=510.
5.設{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項和，已知a2a4=1,S3=7，則S5=（）
A.B.C.D.
［答案］B
［解析］設公比為q,則q0,且a23=1,
即a3=1.∵S3=7,∴a1+a2+a3=++1=7,
即6q2-q-1=0,?
∴q=或q=-(舍去)，?
∴a1==4.?
∴S5==8（1-）=.
6.在等比數(shù)列｛an｝（n∈N+）中，若a1=1,a4=,則該數(shù)列的前10項和為（）
A.2－B.2－C.2－D.2－
［答案］B
［解析］∵a1=1,a4=,
∴q3==,∴q=.?
∴S10==2［1-（）10］=2-,故選B.
7.已知等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,S3=3,S6=27,則此等比數(shù)列的公比q等于（）
A.2B.-2C.D.-
［答案］A?
S3==3,①
［解析］
S6==27,②
得=9,解得q3=8.?
∴q=2,故選A.
8.正項等比數(shù)列｛an｝滿足a2a4=1,S3=13,bn=log3an,則數(shù)列｛bn｝的前10項和是（）
A.65B.-65C.25D.-25
［答案］D
［解析］∵{an}為正項等比數(shù)列，a2a4=1,
∴a3=1,又∵S3=13,∴公比q≠1.
又∵S3==13,a3=a1q2,?
解得q=.?
∴an=a3qn-3=()n-3=33-n,?
∴bn=log3an=3-n.
∴b1=2,b10=-7.
∴S10==＝－25.
二、填空題
9.等比數(shù)列，-1，3，…的前10項和為.
［答案］-
［解析］S10==-.
10.（2011北京文，12）在等比數(shù)列｛an｝中，若a1=,a4=4,則公比q=;a1+a2+…+an=.
［答案］2,2n-1-
［解析］本題主要考查等比數(shù)列的基本知識，利用等比數(shù)列的前n項和公式可解得.?
=q3==8，所以q=2，所以a1+a2+……+an==2n-1-.
2n-1(n為正奇數(shù))?
11.已知數(shù)列{an}中，an=，則a9=.
2n-1（n為正偶數(shù)）
設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S9=.
［答案］256377
［解析］a9=28=256，
S9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377.
12.在等比數(shù)列{an}中，已知對于任意n∈N+,有a1+a2+…+an=2n-1,則a21+a22+…+a2n=.?
［答案］×4n-
［解析］∵a1+a2+…+an=2n-1,?
∴a1+a2+…+an-1=2n-1-1(n≥2),
兩式相減，得an=2n-1-2n-1+1=2n-2n-1=2n-1,?
∴a2n=(2n-1)2=22n-2=4n-1,?
∴a21+a22+…+a2n==×4n-.
三、解答題
13.在等比數(shù)列{an}中，已知a3=1，S3=4，求a1與q.
S3==4
［解析］（1）若q≠1,則，
a3=a1q2=1
從而解得q=1或q=-.
q=-
∵q≠1,∴.
a1=6
S3=3a1=4q=1
（2）若q=1,則，∴.
a3=a1=1a1=1
q=-q=1
綜上所述得，或.
a1=6a1=1
14.(2011大綱文科，17)設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.
［分析］設出公比根據(jù)條件列出關于a1與q的方程.求得a1與q可求得數(shù)列的通項公式和前n項和公式.?
［解析］設{an}的公比為q，由已知有：
a1q=6a1=3a1=2
.解得或
6a1+a1q2=30q=2q=3
(1)當a1=3,q=2時，
an=a1qn-1=3×2n-1
Sn===3×(2n-1)
(2)當a1=2,q=3時，an=a1qn-1=2×3n-1
Sn===3n-1.?
綜上，an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1)或an=2×3n-1,Sn=3n-1.
15.已知實數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；
(2)數(shù)列｛an｝的前n項和記為Sn,證明：Sn128(n=1,2,3,…).
［解析］(1)設等比數(shù)列｛an｝的公比為q(q∈R且q≠1),
由a7=a1q6=1,得a1=q-6,從而a4=a1q3=q-3,?
a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1,?
因為a4,a5+1,a6成等差數(shù)列,
所以a4+a6=2(a5+1)
即q-3+q-1=2(q-2+1),
q-1(q-2+1)=2(q-2+1).?
所以q=.?
故an=a1qn-1=q-6qn-1=qn-7=（）n-7.?
(2)證明：Sn==
=128［1-（）n］128.
16.2011年暑期人才招聘會上，A、B兩家公司分別開出了工資標準：
A公司B公司
第一年月工資為1500元，以后每一年月工資比上一年月工資增加230元．第一年月工資為２000元，以后每一年月工資比上一年月工資增加5％.
大學生王明被A、B兩家公司同時錄取，而王明只想選擇一家連續(xù)工作10年，經(jīng)過一番思考，他選擇了A公司，你知道為什么嗎？.
［解析］
A公司B公司
第一年月工資為1500元，以后每一年月工資比上一年月工資增加230元．第一年月工資為２000元，以后每一年月工資比上一年月工資增加5％.

王明的選擇過程第n年月工資為an第n年月工資為bn
首項為1500，公差為230的等差數(shù)列首項為2000，公比為1＋5％的等比數(shù)列
an=230n+1270bn=2000(1+5%)n-1
S10=12(a1+a2+…+a10)=12×［10×1500+×230］=304200
T10=12(b1+b2+…+b10)
=12×≈301869

結論顯然S10T10,故王明選擇了A公司