小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)教案

高一數(shù)學(xué)教案：《基于APOS理論的函數(shù)概念》教學(xué)設(shè)計(jì)。

高一數(shù)學(xué)教案：《基于APOS理論的函數(shù)概念》教學(xué)設(shè)計(jì)

一、 概念同化教學(xué)與APOS 理論

高中新課程實(shí)行已經(jīng)有四年多了，然而目前，相當(dāng)多教師仍然采取傳統(tǒng)的概念同化教學(xué)方式，其教學(xué)步驟為[1]：（1）揭示概念的本質(zhì)屬性，給出定義、名稱和符號；（2）對概念進(jìn)行特殊分類，揭示概念的外延；（3）鞏固概念，利用概念的定義進(jìn)行簡單的識別活動；（4）概念的應(yīng)用與聯(lián)系，用概念解決問題，并建立所學(xué)概念與其它概念間的聯(lián)系。

這種教學(xué)方式有其精妙之處，但是過快的抽象過程只能有一少部分學(xué)生進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)，難以引發(fā)全體學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，大部分學(xué)生理解不了數(shù)學(xué)概念，只能靠死記硬背。事實(shí)上，概念的同化教學(xué)對幫助學(xué)生構(gòu)建良好的概念圖式、原理圖式，作用十分有限。因?yàn)樾睦硪饬x是不能傳授的，必需由學(xué)生自我構(gòu)建，不能由教師代替學(xué)生操作、思考、體驗(yàn)。

美國數(shù)學(xué)教育學(xué)家 Ed.Dubinsky認(rèn)為：一個人是不可能直接學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)概念的，更確切地說,人們透過心智結(jié)構(gòu)（mental structure）使所學(xué)的數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生意義。如果一個人對于給予的數(shù)學(xué)概念擁有適當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu)，那么他幾乎自然就學(xué)到了這個概念。反之，如果他無法建立起適當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu)，那么他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念幾乎是不可能的。因此，Ed Dubinsky認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念就是要建構(gòu)心智結(jié)構(gòu)，這一建構(gòu)過程要經(jīng)歷以下4個階段[2]：

二、基于APOS理論的函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

從數(shù)學(xué)教育的研究內(nèi)容來看，關(guān)于代數(shù)內(nèi)容已經(jīng)逐漸從以解方程為中心轉(zhuǎn)到以研究函數(shù)為中心了[3]。函數(shù)概念已經(jīng)成為中學(xué)數(shù)學(xué)中最為重要的概念之一。 函數(shù)概念本身不好理解。國外關(guān)于函數(shù)教學(xué)的研究表明了這一點(diǎn)——斯法德調(diào)查了60 名16 歲和18 歲的學(xué)生，結(jié)論是大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為函數(shù)的概念是個過程而不是靜止的結(jié)構(gòu)。中國學(xué)者也進(jìn)行了相關(guān)的研究，見文獻(xiàn)[4].

可見，函數(shù)確實(shí)成了中學(xué)數(shù)學(xué)中最難教、最難學(xué)的概念之一。函數(shù)的教學(xué)在我國設(shè)置成螺旋式的教學(xué)，初中是用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)對函數(shù)進(jìn)行定義，雖然這種定義較為直觀，但并未完全揭示出函數(shù)概念的本質(zhì)。例如，對于函數(shù)如果用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)去看它，就不好解釋，顯得牽強(qiáng)。但如果用集合與對應(yīng)的觀點(diǎn)來解釋，就十分自然。筆者在浙江省義烏市第三中學(xué)陳向陽老師設(shè)計(jì)的《函數(shù)的概念》基礎(chǔ)上進(jìn)行思考，嘗試用APOS理論來設(shè)計(jì)高中函數(shù)概念的教學(xué)。

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境，引出課題

教師提出問題1：

我們在初中學(xué)習(xí)過函數(shù)的概念，它是如何定義的呢？在初中已經(jīng)學(xué)過哪些函數(shù)？（在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上出示投影）

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些具體的函數(shù)，那么為什么還要學(xué)習(xí)函數(shù)呢？先請同學(xué)們思考下面的問題：

問題2：由上述定義你能判斷“y=1”是否表示一個函數(shù)？函數(shù)y=x與函數(shù)表示同一個函數(shù)嗎？

學(xué)生思考、討論后，教師點(diǎn)撥：僅用上述函數(shù)概念很難回答這些問題，我們需要從新的角度來認(rèn)識函數(shù)概念。

（二）生活實(shí)例演示，操作練習(xí)[活動（A）]

問題3：下圖中哪幾個圖像與下述三件事分別吻合得最好?請你為剩下的那個圖像寫出一件事．

(1)我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本可能忘在家里了，于是停下來找，沒找到，就返回家里找到了作業(yè)本再上學(xué)；

(2)我騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間；

(3)我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進(jìn)，后來為了趕時間開始加速．

活動小結(jié)：每一個時刻，按照圖像，都有唯一確定的距離與它對應(yīng)。

（三）借助信息技術(shù)，討論歸納[過程（P）]

師：（實(shí)例1）演示動畫，用《幾何畫板》動態(tài)地顯示炮彈高度關(guān)于炮彈發(fā)射時間的函數(shù)。啟發(fā)學(xué)生觀察、思考、討論，嘗試用集合與對應(yīng)的語言描述變量之間的依賴關(guān)系：在的變化范圍內(nèi)，任給一個，按照給定的解析式，都有唯一的一個高度與之相對應(yīng)。

生：用計(jì)算器計(jì)算，然后用集合與對應(yīng)的語言描述變量之間的依賴關(guān)系。

師：（實(shí)例2）引導(dǎo)學(xué)生看圖，并啟發(fā)：在的變化范圍內(nèi)，任給一個t，按照給定的圖象，都有唯一的一個臭氧空洞面積與之相對應(yīng)。

生：動手測量，然后用集合與對應(yīng)的語言描述變量之間的依賴關(guān)系。

師生：（實(shí)例3）共同讀表，然后用集合與對應(yīng)的語言描述變量之間的依賴關(guān)系。

（四）從特殊到一般，引出函數(shù)概念[對象（O）]

問題4：分析、歸納以上三個實(shí)例，它們有什么共同特點(diǎn)？

生：分組討論三個實(shí)例的共同特點(diǎn)，然后歸納出函數(shù)定義，并在全班交流。

師生：由學(xué)生概括，教師補(bǔ)充，引導(dǎo)學(xué)生歸納出三個實(shí)例中變量之間的關(guān)系均可描述為：

對于數(shù)集中的每一個，按照某種對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集中都有唯一確定的與它對應(yīng)，記作

教師強(qiáng)調(diào)指出“”僅僅是數(shù)學(xué)符號。為了更好地理解函數(shù)符號的含義，教師提出下一個問題：

問題5：一定就是函數(shù)的解析式嗎？

師生：函數(shù)的解析式、圖象、表格都是表示函數(shù)的方法。

問題6：函數(shù)能否看做是兩個集合之間的一種對應(yīng)呢？如果能，怎樣給函數(shù)重新下一個定義呢？（在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上教師歸納總結(jié)）

補(bǔ)充練習(xí)：下列圖象中不能作為函數(shù)的圖象的是（ ）

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)：函數(shù)的三要素是定義域、值域及對應(yīng)法則。在函數(shù)的三要素中，當(dāng)其中的兩要素已確定時，則第三個要素也就隨之確定了。如當(dāng)函數(shù)的定義域，對應(yīng)法則已確定，則函數(shù)的值域也就確定了。

追問：如何判斷兩個函數(shù)是否相同？

以學(xué)生已解決的問題出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，再次引發(fā)學(xué)生在構(gòu)建自身基礎(chǔ)上的“再創(chuàng)造”，并通過獨(dú)立思考后的討論，培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題、用數(shù)學(xué)語言交流溝通的能力。

例2．下列函數(shù)中哪個與函數(shù)相等？

思考：你能舉出一些函數(shù)相等的具體例子嗎？

啟發(fā)并引導(dǎo)學(xué)生思考、討論、交流，教師歸納總結(jié)出函數(shù)的要點(diǎn)：

1．函數(shù)是一種特殊的對應(yīng)——非空數(shù)集到非空數(shù)集的對應(yīng)；

2．函數(shù)的核心是對應(yīng)法則，通常用記號表示函數(shù)的對應(yīng)法則，在不同的函數(shù)中，的具體含義不一樣。函數(shù)記號表明，對于定義域的任意一個在“對應(yīng)法則”的作用下，即在中可得唯一的. 當(dāng)在定義域中取一個確定的，對應(yīng)的函數(shù)值即為.集合中并非所有的元素在定義域中都有元素和它對應(yīng)；值域；

3．函數(shù)符號的說明：

（1）“”即為“是的函數(shù)”的符號表示；（2）不一定能用解析式表示；（3）與是不同的，通常，表示函數(shù)當(dāng)時的函數(shù)值；（4）在同時研究兩個或多個函數(shù)時，常用不同符號表示不同的函數(shù)，除用符號外，還常用、、等符號來表示。

4．定義域是函數(shù)的重要組成部分，如與是不同的兩個函數(shù)。

（五）借助熟悉的函數(shù)，加深對函數(shù)概念的理解[圖式（S）]

問題8：集合A（A=R）到集合B（B=R）的對應(yīng)：: A→B，使得集合B中的元素與集合A中的元素對應(yīng)，如何表示這個函數(shù)？定義域和值域各是什么？函數(shù)呢？函數(shù)呢？

教師演示動畫，用《幾何畫板》顯示這三種函數(shù)的動態(tài)圖象，啟發(fā)學(xué)生觀察、分析，并請同學(xué)們思考之后填寫下表：

函數(shù)

一次函數(shù)

反比例函數(shù)

二次函數(shù)

對應(yīng)關(guān)系

a＞0

a＜0

定義域

值域

用函數(shù)的定義去解釋學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，使得對函數(shù)的描述性定義上升到集合與對應(yīng)語言刻畫的定義。同時利用信息技術(shù)工具畫出函數(shù)的圖象，是讓學(xué)生進(jìn)一步體會“數(shù)”與“形”結(jié)合在理解函數(shù)中的作用，更好地幫助理解上述函數(shù)的三個要素，從而加強(qiáng)學(xué)生對函數(shù)概念的理解，進(jìn)一步挖掘函數(shù)概念中集合與函數(shù)的聯(lián)系。明確定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系是決定函數(shù)的三要素，這是一個整體，以此更好地培養(yǎng)學(xué)生深層次思考問題的習(xí)慣。

（六）再創(chuàng)情境，引導(dǎo)探究函數(shù)概念的新認(rèn)識[圖式（S）]

問題9：比較函數(shù)的近代定義與傳統(tǒng)定義（即初中課本函數(shù)的定義）的異同點(diǎn)，你對函數(shù)有什么新的認(rèn)識？

學(xué)生思考、討論，教師點(diǎn)撥：函數(shù)近代定義與傳統(tǒng)定義在實(shí)質(zhì)上是一致的，兩個定義中的定義域與值域的意義完全相同。兩個定義中的對應(yīng)法則實(shí)際上也一樣，只不過敘述的出發(fā)點(diǎn)不同，傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動變化的觀點(diǎn)出發(fā)，近代定義的對應(yīng)法則是從集合與對應(yīng)的觀點(diǎn)出發(fā)。

問題10：學(xué)生在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，反思對問題2的解答，重新思考問題2，談?wù)勛约旱恼J(rèn)識。教師啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生畫圖，以形求數(shù)。

師生：是函數(shù)；與不是同一個函數(shù)。

引導(dǎo)學(xué)生對問題2進(jìn)行反思和總結(jié)，并將之一般化，利用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)，培養(yǎng)學(xué)生反思問題、總結(jié)歸納的習(xí)慣和善于運(yùn)用數(shù)學(xué)語言抽象所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論的能力。

（七）舉例應(yīng)用，深化目標(biāo)[圖式（S）]

例3．已知函數(shù)

（1）畫出函數(shù)的圖象；（2）求的值；（3）你從（2）中發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？（4）求函數(shù)的值域。

為了讓學(xué)生體會到從特殊到一般的思想方法，同時也后面研究函數(shù)的性質(zhì)（奇函數(shù)）作準(zhǔn)備。

教師引導(dǎo)學(xué)生解決此題的關(guān)鍵點(diǎn)，并進(jìn)行變式：

變式1：已知，① 當(dāng)時，求函數(shù)的值域；② 當(dāng)時，求函數(shù)的值域。

變式2：已知，① 當(dāng)函數(shù)值域?yàn)闀r，求函數(shù)定義域；② 當(dāng)函數(shù)值域?yàn)闀r，求函數(shù)定義域。

變式3：（1）已知，求的值。（2）已知，求函數(shù).

變式4：已知，，求①的解析式；②的解析式；③的解析式。

以一個問題為背景，一題多用，一題多變，由淺入深，體現(xiàn)梯度，使不同程度的學(xué)生都有發(fā)展。通過一組精心設(shè)計(jì)的問題鏈來引導(dǎo)和激發(fā)學(xué)生的參與意識、創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的能力，從而提升學(xué)生的思維品質(zhì)。借助三個變式層層深入，是理論到實(shí)踐的升華，使概念深化、強(qiáng)化、類化的作用與含義印入心底，得到再次認(rèn)同，初步掌握與應(yīng)用能力也就自然形成了。

（八）練習(xí)交流，反饋鞏固

以學(xué)生回答、板演的形式進(jìn)行課堂練習(xí)，充分發(fā)揮師與生、生與生的互動，以教師、學(xué)生相互交流來鞏固本節(jié)課的學(xué)習(xí)。

（九）學(xué)生歸納小結(jié)，教師評價(jià)

以同桌之間一人小結(jié)一人傾聽的方式，以四人為一小組進(jìn)行小組討論，對本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行自主小結(jié)，教師及時進(jìn)行歸納總結(jié)：1．函數(shù)的近代定義與傳統(tǒng)定義的異同點(diǎn)；2．集合與函數(shù)的聯(lián)系、區(qū)別；3．函數(shù)的三要素；4．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想。

三、幾點(diǎn)啟示

APOS理論對學(xué)生的函數(shù)概念的理解作出了分層分析，可以預(yù)測學(xué)生已經(jīng)在多大程度上對性質(zhì)作出了心理建構(gòu)，從而推知學(xué)生對函數(shù)概念的掌握起點(diǎn)。基于APOS理論的理念設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)性質(zhì)教學(xué)，實(shí)質(zhì)是“以學(xué)生為主體”的理念在課堂探究中的體現(xiàn)，有利于學(xué)生理解函數(shù)的概念。

教學(xué)中教師要關(guān)注數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，更重要的是要關(guān)注課堂上學(xué)生的掌握概念的思維狀況，將數(shù)學(xué)知識和學(xué)生探究活動有機(jī)結(jié)合，要求教師要重視學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生親身創(chuàng)設(shè)問題情境。數(shù)學(xué)教師要意識到：一個數(shù)學(xué)概念由“過程”到“對象”的建立, 有時既困難又漫長, 需要經(jīng)過多次反復(fù),循序漸進(jìn),螺旋上升, 直至學(xué)生真正理解,“對象”的建立要注意簡練的文字形式和符號表示,使學(xué)生在頭腦中建立起數(shù)學(xué)知識的直觀結(jié)構(gòu)形象。

學(xué)生對于函數(shù)概念的認(rèn)識不是一蹴而就的，這就要要教師在教學(xué)過程中整體處理教材，把握教學(xué)的度，結(jié)合具體的問題有意識地在各個階段的學(xué)習(xí)過程中，幫助學(xué)生逐步形成函數(shù)完整的知識鏈。在往后的教學(xué)中要注意學(xué)生對知識的圖式的建立, 即加強(qiáng)知識間的聯(lián)系和應(yīng)用,如在講解具體的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)時，可以以具體函數(shù)為載體，在一般函數(shù)概念的指導(dǎo)下對其性質(zhì)進(jìn)行研究，體現(xiàn)了“具體──抽象──具體”的過程，是函數(shù)概念理解的深化。又如，在講解不等式、方程的求解及應(yīng)用后，可以與函數(shù)相結(jié)合，進(jìn)行對比，從而加深對函數(shù)概念的理解，幫助學(xué)生在頭腦中建立起完整的數(shù)學(xué)知識的心理圖式。

當(dāng)然，APOS 理論的四個階段并非一定體現(xiàn)在一堂數(shù)學(xué)課當(dāng)中, 也不是每一課都必須遍歷四個階段, 它適用于數(shù)學(xué)概念在學(xué)生頭腦中建立的一段時期,并不局限于某一堂課。比如，函數(shù)圖式的形成是需要一個長期實(shí)踐與反思。有些學(xué)生需要在接觸了大量的具體的函數(shù)模型以后，甚至在學(xué)習(xí)了函數(shù)的復(fù)合、微分、積分以后，才能漸漸地實(shí)現(xiàn)從“過程”到“對象”的理解，再由“對象”到“圖式”的發(fā)展。作為老師，我們應(yīng)該理解學(xué)生的實(shí)際，作為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，也是允許學(xué)生有折返的現(xiàn)象。

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高一數(shù)學(xué)教案：《函數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)

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教學(xué)目標(biāo)

1．理解函數(shù)的概念，了解函數(shù)的三種表示法，會求函數(shù)的定義域．

（1）了解函數(shù)是特殊的映射，是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射．能理解函數(shù)是由定義域，值域，對應(yīng)法則三要素構(gòu)成的整體．

（2）能正確認(rèn)識和使用函數(shù)的三種表示法：解析法，列表法，和圖象法．了解每種方法的優(yōu)點(diǎn)．

（3）能正確使用“區(qū)間”及相關(guān)符號，能正確求解各類函數(shù)的定義域．

2．通過函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在符號表示，運(yùn)算等方面的能力有所提高．

學(xué)過什么函數(shù)?

(要求學(xué)生盡量用自己的話描述初中函數(shù)的定義，并試舉出各類學(xué)過的函數(shù)例子)

學(xué)生舉出如 等，待學(xué)生說完定義后教師打出投影片，給出定義之后教師也舉一個例子，問學(xué)生．

提問1． 是函數(shù)嗎?

(由學(xué)生討論， 發(fā)表各自的意見，有的認(rèn)為它不是函數(shù)，理由是沒有兩個變量，也有的認(rèn)為是函數(shù)，理由是可以可做 ．)

教師由此指出我們爭論的焦點(diǎn)，其實(shí)就是函數(shù)定義的不完善的地方，這也正是我們今天研究函數(shù)定義的必要性，新的定義將在與原定義不相違背的基礎(chǔ)上從更高的觀點(diǎn)，將它完善與深化．

二、新課

現(xiàn)在請同學(xué)們打開書翻到第50 頁，從這開始閱讀有關(guān)的內(nèi)容，再回答我的問題．(約2-3分鐘或開始提問)

提問2．新的函數(shù)的定義是什么?能否用最簡單的語言來概括一下．

學(xué)生的回答往往是把書上的定義念一遍，教師可以板書的形式寫出定義，但還要引導(dǎo)形式發(fā)現(xiàn)定義的本質(zhì)．

(板書)2．2函數(shù)

一、函數(shù)的概念

高一數(shù)學(xué)教案：《函數(shù)的概念和圖象》優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)

高一數(shù)學(xué)教案：《函數(shù)的概念和圖象》優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目標(biāo)：

1．進(jìn)一步理解用集合與對應(yīng)的語言來刻畫的函數(shù)的概念，進(jìn)一步理解函數(shù)的本質(zhì)是數(shù)集之間的對應(yīng)；

2．進(jìn)一步熟悉與理解函數(shù)的定義域、值域的定義，會利用函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則判定有關(guān)函數(shù)是否為同一函數(shù)；

3．通過教學(xué)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生由具體逐步過渡到符號化，代數(shù)式化，并能對以往學(xué)習(xí)過的知識進(jìn)行理性化思考，對事物間的聯(lián)系的一種數(shù)學(xué)化的思考．

教學(xué)重點(diǎn)：

用對應(yīng)來進(jìn)一步刻畫函數(shù)；求基本函數(shù)的定義域和值域．

教學(xué)過程：

一、問題情境

1．情境．

復(fù)述函數(shù)及函數(shù)的定義域的概念．

2．問題．

概念中集合A為函數(shù)的定義域，集合B的作用是什么呢？

二、學(xué)生活動

1．理解函數(shù)的值域的概念；

2．能利用觀察法求簡單函數(shù)的值域；

3．探求簡單的復(fù)合函數(shù)f(f(x))的定義域與值域．

三、數(shù)學(xué)建構(gòu)

1．函數(shù)的值域：

（1）按照對應(yīng)法則f，對于A中所有x的值的對應(yīng)輸出值組成的集合稱之

為函數(shù)的值域；

（2）值域是集合B的子集．

2．x g(x) f(x) f(g(x))，其中g(shù)(x)的值域即為f(g(x))的定義域；

四、數(shù)學(xué)運(yùn)用

（一）例題．

例1　已知函數(shù)f (x)＝x2＋2x，求 f (－2)，f (－1)，f (0)，f (1)．

例2　根據(jù)不同條件，分別求函數(shù)f(x)＝(x-1)2＋1的值域．

（1）x∈{－1，0，1，2，3}；

（2）x∈R；

（3）x∈[－1，3]；

（4）x∈(－1，2]；

（5）x∈(－1，1)．

例3　求下列函數(shù)的值域：

①y＝；②y＝．

例4　已知函數(shù)f(x)與g(x)分別由下表給出：

MicrosoftInternetExplorer402DocumentNotSpecified7.8 磅Normal0

x

1

2

3

4

x

1

2

3

4

f(x)

2

3

4

1

g(x)

2

1

4

3

分別求f (f (1))，f (g (2))，g(f (3))，g (g (4))的值．

（二）練習(xí)．

（1）求下列函數(shù)的值域：

①y＝2－x2； ②y＝3－|x|．

（2）已知函數(shù)f(x)＝3x2－5x＋2，求f(3)、f(－2)、f(a)、f(a＋1)．

（3）已知函數(shù)f(x)＝2x＋1，g(x)＝x2－2x＋2，試分別求出g(f(x))和f(g(x))的值域，比較一下，看有什么發(fā)現(xiàn)．

（4）已知函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閇－1，2]，求f(x)＋f(－x)的定義域．

（5）已知f(x)的定義域?yàn)閇－2，2]，求f(2x)，f(x2＋1)的定義域．

五、回顧小結(jié)

函數(shù)的對應(yīng)本質(zhì)，函數(shù)的定義域與值域；

利用分解的思想研究復(fù)合函數(shù)．

六、作業(yè)

課本P31-5，8，9．

高一數(shù)學(xué)教案：《映射的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)

高一數(shù)學(xué)教案：《映射的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目標(biāo)：

1．了解映射的概念,能夠判定一些簡單的對應(yīng)是不是映射；

2．通過對映射特殊化的分析，揭示出映射與函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系．

教學(xué)重點(diǎn)：

用對應(yīng)來進(jìn)一步刻畫函數(shù)；求基本函數(shù)的定義域和值域．

教學(xué)過程：

一、問題情境

1．復(fù)習(xí)函數(shù)的概念．

小結(jié)：函數(shù)是兩個非空數(shù)集之間的單值對應(yīng)，事實(shí)上我們還遇到很多這樣的集合之間的對應(yīng)：

（1）A＝{P｜P是數(shù)軸上的點(diǎn)}，B＝R，f：點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）對于任意一個三角形，都有唯一確定的面積和它對應(yīng)．

2．情境問題．

這些對應(yīng)是A到B的函數(shù)么？

二、學(xué)生活動

閱讀課本46～47頁的內(nèi)容，回答有關(guān)問題．

三、數(shù)學(xué)建構(gòu)

1．映射定義：一般地，設(shè)A，B是兩個非空集合．如果按照某種對應(yīng)法則?，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合A，B及A到B的對應(yīng)法則f）叫做集合A到集合B的映射，記作：f：A→B．

2．映射定義的認(rèn)識：

（1）符號“f：A→B”表示A到B的映射；

（2）映射有三個要素：兩個集合，一種對應(yīng)法則；

（3）集合的順序性：A→B與B→A是不同的；

（4）箭尾集合中元素的任意性（少一個也不行），箭頭集合中元素的惟一性（多一個也不行）．

四、數(shù)學(xué)運(yùn)用

1．例題講解：

例1　下列對應(yīng)是不是從集合A到集合B的映射，為什么？

（1）A＝R，B＝{x∈R∣x≥0 }，對應(yīng)法則是“求平方”；

（2）A＝R，B＝{x∈R∣x>0 }，對應(yīng)法則是“求平方”；

（3）A＝{x∈R∣x>0 }，B＝R，對應(yīng)法則是“求平方根”；

（4）A＝{平面上的圓}，B＝{平面上的矩形}，對應(yīng)法則是“作圓的內(nèi)接矩形” ．

例2　若A＝{－1，m，3}，B＝{－2，4，10}，定義從A到B的一個映射f：

x→y＝3x＋1，求m值．

例3　設(shè)集合A＝{x∣0≤x≤6 }，集合B＝{y∣0≤y≤2}，下列從A到B的

對應(yīng)法則f，其中不是映射的是(　)

注：①從A到B的映射可以有一對一，多對一，但不能有一對多；

②B中可以有剩余但A中不能有剩余；

③如果A中元素a和B中元素b對應(yīng)，則a叫b的原象，b叫a的象．

（2）已知A＝R，B＝R，則f：A →B使A中任一元素a與B中元素2a－1相對應(yīng)，則在f：A→ B中，A中元素9與B中元素_________對應(yīng)；與集合B中元素9對應(yīng)的A中元素為_________．

（3）若元素(x，y)在映射f的象是(2x，x＋y)，則(－1，3)在f下的象是　，(－1，3)在f下的原象是?。?/p>

（4）設(shè)集合M＝{x∣0≤x≤1 }，集合N＝{y∣0≤y≤1 }，則下列四個圖象中，表示從M到N的映射的是　()

五、回顧小結(jié)

1．映射的定義；

2．函數(shù)和映射的區(qū)別．

六、作業(yè)

P47練習(xí)1，2題，P48第5，6題．

高一數(shù)學(xué)集合與函數(shù)概念.

第一章集合與函數(shù)概念

一.課標(biāo)要求：

本章將集合作為一種語言來學(xué)習(xí)，使學(xué)生感受用集合表示數(shù)學(xué)內(nèi)容時的簡潔

性、準(zhǔn)確性，幫助學(xué)生學(xué)會用集合語言描述數(shù)學(xué)對象，發(fā)展學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流的能力.

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心概念，本章把函數(shù)作為描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型來學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)結(jié)合實(shí)際問題，使學(xué)生感受運(yùn)用函數(shù)概念建立模型的過程與方法，從而發(fā)展學(xué)生對變量數(shù)學(xué)的認(rèn)識.

1.了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關(guān)系，掌握某些數(shù)集的專用符號.

2.理解集合的表示法，能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用.

3、理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集，培養(yǎng)學(xué)生分析、比較、歸納的邏輯思維能力.

4、能在具體情境中，了解全集與空集的含義.

5、理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的交集與并集,培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的思維能力.

6.理解在給定集合中，一個子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集.

7.能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.

8.學(xué)會用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，理解函數(shù)符號y=f(x)的含義；了解函數(shù)構(gòu)成的三要素，了解映射的概念；體會函數(shù)是一種刻畫變量之間關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，并熟練使用區(qū)間表示法.

9.了解函數(shù)的一些基本表示法（列表法、圖象法、分析法），并能在實(shí)際情境中，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行選擇；會用描點(diǎn)法畫一些簡單函數(shù)的圖象.

10.通過具體實(shí)例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.

11.結(jié)合熟悉的具體函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（小）值及其幾何意義，了解奇偶性和周期性的含義，通過具體函數(shù)的圖象，初步了解中心對稱圖形和軸對稱圖形.

12.學(xué)會運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法.

13.通過實(shí)習(xí)作業(yè)，使學(xué)生初步了解對數(shù)學(xué)發(fā)展有過重大影響的重大歷史事件和重要人物,了解生活中的函數(shù)實(shí)例.

二.編寫意圖與教學(xué)建議

1.教材不涉及集合論理論，只將集合作為一種語言來學(xué)習(xí)，要求學(xué)生能夠使用最基本的集合語言表示有關(guān)的數(shù)學(xué)對象，從而體會集合語言的簡潔性和準(zhǔn)確性，發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流的能力.教材力求緊密結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有數(shù)學(xué)知識，通過列舉豐富的實(shí)例，使學(xué)生了解集合的含義，理解并掌握集合間的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算.

教材突出了函數(shù)概念的背景教學(xué)，強(qiáng)調(diào)從實(shí)例出發(fā)，讓學(xué)生對函數(shù)概念有充分的感性基礎(chǔ)，再用集合與對應(yīng)語言抽象出函數(shù)概念，這樣比較符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，同時有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括的能力，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，教學(xué)中要高度重視數(shù)學(xué)概念的背景教學(xué).

2.教材盡量創(chuàng)設(shè)使學(xué)生運(yùn)用集合語言進(jìn)行表達(dá)和交流的情境和機(jī)會，并注意運(yùn)用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，幫助學(xué)生借助直觀圖示認(rèn)識抽象概念.教學(xué)中，要充分體現(xiàn)這種直觀的數(shù)學(xué)思想，發(fā)揮圖形在子集以及集合運(yùn)算教學(xué)中的直觀作用。

3.教材在例題、習(xí)題教學(xué)中注重運(yùn)用集合的觀點(diǎn)研究、處理數(shù)學(xué)問題，這一觀點(diǎn)，一直貫穿到以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中.

4.在例題和習(xí)題的編排中，滲透了集合中的分類思想，讓學(xué)生體會到分類思想在生活中和數(shù)學(xué)中的廣泛運(yùn)用，這是學(xué)生在初中階段所缺少的.在教學(xué)中，一定要循序漸進(jìn)，從繁到難，逐步滲透這方面的訓(xùn)練.

5.教材對函數(shù)的三要素著重從函數(shù)的實(shí)質(zhì)上要求理解，而對定義域、值域的繁難計(jì)算，特別是人為的過于技巧化的訓(xùn)練不做提倡，教師要準(zhǔn)確把握這方面的要求，防止撥高教學(xué).

6.函數(shù)的表示是本章的主要內(nèi)容之一，教材重視采用不同的表示法（列表法、圖象法、分析法），目的是豐富學(xué)生對函數(shù)的認(rèn)識，幫助理解抽象的函數(shù)概念.在教學(xué)中，既要充分發(fā)揮圖象的直觀作用，又要適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生從代數(shù)的角度研究圖象，使學(xué)生深刻體會數(shù)形結(jié)合這一重要數(shù)學(xué)方法.

7.教材將映射作為函數(shù)的一種推廣，進(jìn)行了邏輯順序上的調(diào)整，體現(xiàn)了特殊到一般的思維規(guī)律，有利于學(xué)生對函數(shù)概念學(xué)習(xí)的連續(xù)性.

8.教材加強(qiáng)了函數(shù)與信息技術(shù)整合的要求，通過電腦繪制簡單函數(shù)動態(tài)圖象,使學(xué)生初步感受到信息技術(shù)在函數(shù)學(xué)習(xí)中的重要作用.

9.為了體現(xiàn)教材的選擇性,在練習(xí)題安排上加大了彈性,教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生實(shí)際,合理地取舍.

三.教學(xué)內(nèi)容及課時安排建議

本章教學(xué)時間約13課時。

1.1集合4課時

1.2函數(shù)及其表示4課時

1.3函數(shù)的性質(zhì)3課時

實(shí)習(xí)作業(yè)1課時

復(fù)習(xí)1課時

§1.1.1集合的含義與表示

一.教學(xué)目標(biāo)：

l.知識與技能

(1)通過實(shí)例，了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關(guān)系；

(2)知道常用數(shù)集及其專用記號；

(3)了解集合中元素的確定性.互異性.無序性；

(4)會用集合語言表示有關(guān)數(shù)學(xué)對象；

(5)培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力.

2.過程與方法

(1)讓學(xué)生經(jīng)歷從集合實(shí)例中抽象概括出集合共同特征的過程，感知集合的含義.

(2)讓學(xué)生歸納整理本節(jié)所學(xué)知識.

3.情感.態(tài)度與價(jià)值觀

使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)集合的必要性，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性.

二.教學(xué)重點(diǎn).難點(diǎn)

重點(diǎn)：集合的含義與表示方法.

難點(diǎn)：表示法的恰當(dāng)選擇.

三.學(xué)法與教學(xué)用具

1.學(xué)法：學(xué)生通過閱讀教材，自主學(xué)習(xí).思考.交流.討論和概括，從而更好地完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).

2.教學(xué)用具：投影儀.

四.教學(xué)思路

(一)創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

1．教師首先提出問題：在初中，我們已經(jīng)接觸過一些集合，你能舉出一些集合的例子嗎?

引導(dǎo)學(xué)生回憶.舉例和互相交流.與此同時，教師對學(xué)生的活動給予評價(jià).

2.接著教師指出：那么，集合的含義是什么呢?這就是我們這一堂課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

（二）研探新知

1．教師利用多媒體設(shè)備向?qū)W生投影出下面9個實(shí)例：

(1)1—20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)；

(2)我國古代的四大發(fā)明；

(3)所有的安理會常任理事國；

(4)所有的正方形；

(5)湖南省在2004年9月之前建成的所有立交橋；

(6)到一個角的兩邊距離相等的所有的點(diǎn)；

(7)方程的所有實(shí)數(shù)根；

(8)不等式的所有解；

(9)洞口一中2007年9月入學(xué)的高一學(xué)生的全體.

2．教師組織學(xué)生分組討論：這9個實(shí)例的共同特征是什么?

3.每個小組選出——位同學(xué)發(fā)表本組的討論結(jié)果，在此基礎(chǔ)上，師生共同概括出9個實(shí)例的特征，并給出集合的含義.

一般地，指定的某些對象的全體稱為集合(簡稱為集).集合中的每個對象叫作這個集合的元素.

4.教師指出：集合常用大寫字母A，B，C，D，…表示，元素常用小寫字母…表示.

(三)質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

1．教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材中的相關(guān)內(nèi)容，思考：集合中元素有什么特點(diǎn)?并注意個別輔導(dǎo)，解答學(xué)生疑難.使學(xué)生明確集合元素的三大特性，即:確定性.互異性和無序性.只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個集合相等.

2．教師組織引導(dǎo)學(xué)生思考以下問題：

判斷以下元素的全體是否組成集合，并說明理由：

(1)大于3小于11的偶數(shù)；

(2)我國的小河流.

讓學(xué)生充分發(fā)表自己的建解.

3.讓學(xué)生自己舉出一些能夠構(gòu)成集合的例子以及不能構(gòu)成集合的例子，并說明理由.教師對學(xué)生的學(xué)習(xí)活動給予及時的評價(jià).

4.教師提出問題，讓學(xué)生思考

(1)如果用A表示高—(3)班全體學(xué)生組成的集合，用表示高一(3)班的一位同學(xué)，是高一(4)班的一位同學(xué)，那么與集合A分別有什么關(guān)系?由此引導(dǎo)學(xué)生得出元素與集合的關(guān)系有兩種：屬于和不屬于.

如果是集合A的元素，就說屬于集合A，記作.

如果不是集合A的元素，就說不屬于集合A，記作.

(2)如果用A表示“所有的安理會常任理事國”組成的集合，則中國.日本與集合A的關(guān)系分別是什么?請用數(shù)學(xué)符號分別表示．

(3)讓學(xué)生完成教材第6頁練習(xí)第1題.

5.教師引導(dǎo)學(xué)生回憶數(shù)集擴(kuò)充過程，然后閱讀教材中的相交內(nèi)容，寫出常用數(shù)集的記號.并讓學(xué)生完成習(xí)題1.1A組第1題.

6.教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材中的相關(guān)內(nèi)容，并思考.討論下列問題：

(1)要表示一個集合共有幾種方式?

(2)試比較自然語言.列舉法和描述法在表示集合時，各自有什么特點(diǎn)?適用的對象是什么?

(3)如何根據(jù)問題選擇適當(dāng)?shù)募媳硎痉?

使學(xué)生弄清楚三種表示方式的優(yōu)缺點(diǎn)和體會它們存在的必要性和適用對象。

(四)鞏固深化，反饋矯正

教師投影學(xué)習(xí)：

(1)用自然語言描述集合{1，3，5，7，9}；

(2)用例舉法表示集合

(3)試選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希航滩牡?頁練習(xí)第2題.

(五)歸納整理，整體認(rèn)識

在師生互動中，讓學(xué)生了解或體會下例問題：

1．本節(jié)課我們學(xué)習(xí)過哪些知識內(nèi)容?

2．你認(rèn)為學(xué)習(xí)集合有什么意義？

3．選擇集合的表示法時應(yīng)注意些什么?

(六)承上啟下，留下懸念

1．課后書面作業(yè)：第13頁習(xí)題1.1A組第4題.

2.元素與集合的關(guān)系有多少種？如何表示？類似地集合與集合間的關(guān)系又有多少種呢？如何表示？請同學(xué)們通過預(yù)習(xí)教材.