高中三角函數(shù)教案

銳角三角函數(shù)值的求法。

老師工作中的一部分是寫教案課件，大家在著手準備教案課件了。是時候?qū)ψ约航贪刚n件工作做個新的規(guī)劃了，才能使接下來的工作更加有序！你們到底知道多少優(yōu)秀的教案課件呢？下面是小編為大家整理的“銳角三角函數(shù)值的求法”，供您參考，希望能夠幫助到大家。

相關知識

銳角的三角函數(shù)值

21.2銳角的三角函數(shù)值

一、教法設想：

通過同學們經(jīng)常使用的三角板，讓同學們計算一下，當∠A=30°,∠A=45°,由于同學們所使用三角板大小不一，但他（她）們求得的比值都是和，這是為什么呢？

由相似三角形有關性質(zhì)得出：在這些直角三角形中，銳角A取一個固定值，∠A的對邊與斜邊的比值仍是一個固定值，進而再引入正弦，余弦的概念，并向同學說明0sinA1,0cosA1（∠A為銳角）.

再分別求出30°，45°，60°特殊三角函數(shù)值并應用其進行計算，進一步研究任意銳角的正弦值與余角的余弦值關系.

根據(jù)30°，45°，60°正、余弦值分析，引導同學歸納出：當角度在0°—90°間變化時，正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?；當角度在0°—90°間變化時，余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?

適時介紹正弦和余弦表的構(gòu)造.結(jié)合實例進行查表，知其角度查正弦值或余弦值，反之亦然.正確處理好修正值.

對學有余力的學生，也可適當介紹“sin2A+cos2A=1”這一重要關系式.

在學習正弦、余弦的概念后，再進一步學正切、余切較容易，可仿正弦、余弦的教法進行，對學有余力的學生也可講授這些重要關系式.

在教學中對0°，30°，45°，60°，90°的特殊角的三角函數(shù)值要求學生一定要熟記，為此，我們可分別列出表并編出口決讓學生記易，省時易記.

表I：

三角函數(shù)30°45°60°

Sinα

Cosα

tgα

口決：一，二，三，三，二，一，三九二十七.

表II.

三角函數(shù)0°30°45°60°90°

Sinα

Cosα

tgα0

1

──

ctgα──

1

口決：0，一，二，三，四帶根號，比上2要記牢.

第二行左右倒，三，四行靠推導.

【指點迷津】

本單元銳角三角函數(shù)的引進，使形與數(shù)緊密結(jié)合為一體，開辟了數(shù)形結(jié)合的新航向.因此，在本單元教學中，務必注意數(shù)形結(jié)合思維方法的引導，應用.用其法解決生活中的實際問題.達到得心應手.

二、學海導航：

【思維基礎】

1.銳角三角函數(shù)定義

Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，則∠A的正弦，余弦，正切，余切分別是：SinA=________CosA=_______tgA=________CtgA=________.它們統(tǒng)稱為∠A的銳角三角函數(shù).（1）一銳角的三角函數(shù)值是四個_______；銳角三角函數(shù)都不可能取_________，且A為銳角時，SinA，CosA均在______~______內(nèi)取值.

2.特殊角的三角函數(shù)值（完成下表）

0°30°45°60°90°增減值

Sinα

Cosα

tgα

ctgα

3.互余角間的三角函數(shù)關系，△ABC中，∠C=90°，A+B=90°，∠B=90°－A，則有：

Sin(90°－A)=___________

Cos(90°－A)=___________

tg(90°－A)=___________

Ctg(90°－A)=___________.

4.同角三角函數(shù)關系公式：（∠A為銳角）.

（1）Sin2A+Cos2A=___________;Cos2A=___________,Sin2A=____________.

【學法指要】

例1.如果∠A為銳角，CosA=，那么（）

A.0°A≤30°B.30°A≤45°

C.45°A≤60°D.60°A90°

思路分析：

當角度在0°~90°間變化時，余弦值隨著角度的增大（或減少）而減?。ɑ蛟龃螅?

∴60°A90°應選D

例2.當45°X90°時，有（）

A.SinxCosxtgxB.tgxCosxSinx

C.CosxSinxtgxD.tgxSinxCosx

思路分析：∵45°x90°∴取A=60°

，∴tgxSinxCosx

∴應選D

解選擇題，采取特例法可出奇制勝，如本例取x=60°在45°x90°的范圍內(nèi)，很快可知Sin60°,Cos60°,tg60°的值，誰大誰小，相形見絀.因之，在解決有關選擇題時，根據(jù)題目的限制條件，靈活選取特殊值（也可畫特殊圖形，特殊點，特殊位置，特殊線等），可巧奪天工.

例3.計算：

思咯分析：若a≠0時,a0=1

對此項中的Sin36°是一項干擾支.迷惑同學們，因為Sin36°，不是表內(nèi)特殊值，求不出來，至使解題陷入僵局，其實不然.不需要求Sin36°之值，只需要知道即可.因而，解題時，必須善于排除干擾支，解除困惑，準確使用數(shù)學概念，正確求出答案，對于特殊角三角函數(shù)值的計算，一.要準確無誤代入三角函數(shù)值；二.要按照實數(shù)的運算法則進行運算；三.運算的結(jié)果必須是最簡關系式.于是對上式便一目了然了.

例4.已知方程的兩根為tgθ,ctgθ,求k和θ，（θ為銳角）

思路分析：∵tgθ,ctgθ為二次方程的二根，根據(jù)與系數(shù)關系式，得

∵tgθctgθ=1∴k=1

∴原方程為

即tgθ=,ctgθ=或tgθ=,ctg=

故θ1=30°θ2=60°

銳角三角函數(shù)與二次方程等有著千絲萬縷的聯(lián)系，各種知識交織在一起，因而必須把綜合知識進行剖析，分解，然后各個擊破，便可打通思路.如本例，首先運用二次方程的有關知識──根與系數(shù)關系；再運用銳角三角函數(shù)的倒數(shù)關系求出K，又回到解一元二次方程來，解出二根，從中求出tgθ,ctgθ之值，再求出對應的θ之值，總之，善于剖析，化整為零，一個一個解決，對復雜的綜合題便可攻破了.

例5.在△ABC中，三邊之比a：b：c=1：：2，則SinA+tgA等于（）

A.B.

C.D.

思路分析：∵a：b：c=1：：2

∴可設a=k,b=k,c=2k(k0)

∴a2+b2=k2+(k)2=4k2=(2k)2=c2

∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°

根據(jù)三角函數(shù)定義，可知：

∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°

根據(jù)三角函數(shù)定義，可知：

∴SinA+tgA

∴應選（A）

對于題設是以連比形式出現(xiàn)的，通常都是增設參數(shù)K，將未知轉(zhuǎn)化已知，使問題明朗化，進而再研究三角形三邊的關系，從而判定為直角三角形，又轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)問題，找到思路，這是解決此類問題的常用方法，而且又比較方便，請同學們今后遇到此類問題，可小試“牛刀”.

【思維體操】

例1.已知AD是直角△ABC的斜邊BC上的高，在△ADB及△ADC中分別作內(nèi)接正方形，使每個正方形有兩條邊分別在DB，DA及DC，DA上，而兩個正方形的第四個頂點E，F(xiàn)各在AB，AC上，求證：AE=AF.

揭示思路1：設∠ABC=α.正方形EMDG與正方形DNFH的邊長分別為a,b

∵AD=AG+DG=atgα+a

AD=AH+DH=bCtgα+b

∴atgα+a=bctgα+b

∴

=bctgα=AH.

∴AE=AF

揭示思路2：

設BC=a,且∠ABC=α，則有

AB=acosα

同理：

∴AE=AF

由上兩種思路證得AE=AF，可發(fā)現(xiàn)用三角法研究幾何問題，開門見山，直截了當，只要所給定的幾何圖形中有直角三角形.便可應用銳角三角函數(shù)列出它們的邊角關系式，再應用代數(shù)法計算一下，便可達到目的.題設所給的問題中，未有給定直角三角形，只要能構(gòu)造出直角三角形，同樣也可轉(zhuǎn)化為用三角法證解之，而且也比較方便，由此可見，用三角法證（解）幾何問題為解幾何問題又開拓了新的渠道.為數(shù)與形結(jié)合提供了新的條件，我們應在這條新渠道不斷探索，取得新的成果.現(xiàn)沿這思路繼續(xù)擴散.

擴散一：

如圖，Rt△ABC中，有正方形DEFG，D，G分別在AB，AC上，E，F(xiàn)在斜邊BC上，求證：EF2=BEFC

揭示思路：從題設及圖形中都可發(fā)現(xiàn)有直角三角形，所以用三角法證之比較順暢.

在Rt△BDE中，

在Rt△GFC中，

∵∠B+∠C=90°，∴tgB=tg(90°－C)=ctgC

∴

∵DE=GF=EF

∴EF2=BECF

擴散二：

在△ABC外側(cè)作正方形ABDM和ACEN，過D，E向BC作垂線DF，EG，垂足分別為F，G，求證：BC=DF+EG

提示思路：觀察圖形可發(fā)現(xiàn)直角三角形DFB及直角三角形EGC.便萌生用三角法證明，可是此時DF，EG比較分散.設法作AH⊥BC再構(gòu)兩個直角三角形，通過正方形為“媒介”，這樣把DF，EG就有了聯(lián)系.此時，應用銳角三角函數(shù)定義建立邊角關系，便可馬到成功！

在Rt△EGC中，

∴EG=bcosβ

在Rt△DBF中，同理，DF=ccosα（設b,c,α,β如圖）

∴EG+DF=bCosβ+ccosα

在Rt△ABH中，BH=ccosα

在Rt△ACH中，CH=bcosβ

∵BC=BH+CH,∴BC=bcosβ+ccosα

∴BC=EG+DF

擴散三：

設頂角A=108°的等腰三角形的高為h，∠A的三等分線及其外角的四等分線分別為P1，P2，求證：

揭示思路：從圖形中可發(fā)現(xiàn)有幾個直角三角形存在，這個信息向我們提供用三角法證明是得天獨厚的條件，不要猶豫，不然，將會失去良機.

如圖，設△ABC的底邊上的高AH=h,∠A的三等分線AD=P1，∠A的外角四等線AE=P2，∠BAC=108°，AB=AC，

∴∠DAH=18°

在Rt△ADH中，cos18°=

∵∠CAE=(180°－108°)=18°

∠ACB=(180°－108°)=36°

∴∠AEC=18°

在Rt△AHE中，Sin18°=

擴散四：

已知：如∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為D、E、F.

求證：

揭示思路：本例直角三角形之多，用三角法證之更不宜遲，用銳角三角函數(shù)定義，列出邊角關系，可十分巧妙就證得結(jié)論.

設∠ABC=α，則∠DAF=∠CDF=α

擴散五：

在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于E，交OB于F，求證：EC=20F

揭示思路：觀察圖形，圖中有許多直角三角形，它啟示我們用三角法作為“向?qū)А?，可直達目的地.

∠BEF=∠ACB+∠EAC=45°+∠BAE

∵∠BFE=∠CAE,∴∠BEF=∠BFE,

∴BE=BF

進而可知AD=DF

設正方表ABCD邊長為1，又設∠BAE=∠CAE=α

則OA=OB=

在Rt△ABE中，BE=ABtgα=BF

BF=OB－OF=OB－OAtgα

∴ABtgα=OB－OAtgα

∴OF=OAtgα=(－1)

EC=BC－BE=1－1tgα=1－+1=2－=(－1)

∴EC=20F

應用銳角三角函數(shù)的定義研究幾何問題；直觀，又少添或不添設輔助線，充分發(fā)揮數(shù)的長處.把幾何問題通過銳角三角形邊角關系，應用計算法，便可曲徑通幽，柳暗花明.同學們應加強這方面的學習，以拓寬幾何證題思路.

三、智能顯示

【動腦動手】

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，則SinB+CosB的值（）

（A）大于1（B）小于1

（C）等于1（D）不確定

2.在△ABC中，它的邊角同時滿足下列兩個條件；（1）SinC=1；（2）SinA,CosB是方程4x2－cx+1=0的兩個根，求a，b，c及S△ABC

3.證明：“從平行四邊形ABCD的頂點A，B，C，D向形外的任意直線MN引垂線AA＇BB＇CC＇DD＇垂足是A＇B＇C＇D＇（如下圖）

求證：AA＇+CC＇=BB＇+DD＇，現(xiàn)將直線MN向上移動，使得A點在直線的一側(cè)，B、C、D三點在直線的另一側(cè)（如中圖），這時，從A、B、C、D向直線MN作垂線，垂足為A＇B＇C＇D＇，那么垂線放AA＇BB＇CC＇DD＇之間存在什么關系？如將直線MN再問上移動，使兩側(cè)各有兩個頂點（如下圖）.從A，B，C，D向直線MN作的垂線放AA＇BB＇CC＇DD＇之間又有什么關系？根據(jù)左圖，中圖，右圖寫出你的猜想，并加以證明.

揭示思路：1.在Rt△ABC中，∠C=90°

由銳角三角函數(shù)定義，得

∵a+bc

∴SinB+CosB1,應選A.

2.∵SinC=1,∴∠C=90°

∵SinA+CosB=,SinACosB=

又A+B=90°,∴B=90°－A

∴CosB=Cos(90°－A)=SinA

∴c=4,A=30°,a=2,b=

3.猜想如下：

對于中圖有：CC＇－AA＇=BB＇+DD＇

對于右圖有：CC＇－AA＇=DD＇－BB＇

證法1.如圖,設∠AEA＇=α,則AA＇=AESinα=(OA－OE)Sinα=OASinα－OESinα，又CC＇=CESinα=(OC+OE)Sinα=(OA+OE)Sinα=OASinα+OESinα

∴CC＇－AA＇=2OESinα

∵OO＇=OESinα,∴CC＇－AA＇=2OO＇

由題設知，OO’為梯形BB’D’D的中位線.

∴BB＇+DD＇=2OO＇

∴CC＇－AA＇=BB＇+DD＇

（2）如圖，仿（1）證法可得

CC＇－AA＇=2OESinα

DD＇－BB=2OFSinβ

∵OESinα=OFSinβ,

∴CC＇－AA＇=DD＇－BB＇

證法二：（1）延長CB交MN于E，設AD與MN交于F，又設∠AFA＇=α，則∠BEB＇=α，在Rt△EBB＇中，

∵BE=CE－CB

∴BB＇=BESinα－CBSinα

在Rt△ECC＇中，Sinα=,

∴CC’=CESinα

∵CC＇－BB＇=BCSinα

在Rt△AA＇F與Rt△FDD＇中.

AA＇=AFSinα,DD＇=DFSinα

∵DF=AD－AF

∴DD＇=ADSinα－AFSinA＇

∴DD＇=ADSinα－AA＇

∴DD＇+AA＇=ADSinα

∵AD=BC,∴CC＇－BB＇=DD＇+AA＇

∴CC＇－AA＇=BB＇+DD＇

（2）仿證法（1）同樣可證得

CC＇+BB＇=BCSinα

AA＇+DD＇=ADSinα

∴CC＇+BB＇=AA＇+DD＇，

∴CC＇－AA＇=DD＇－BB＇

證法三：（1）如圖，作DE⊥CC＇，則DD＇C＇E為矩形，∴CE=CC＇－DD＇

設∠AFA＇=α，則易知∠CDE=α在Rt△CDE中，

∴CC＇－DD＇=CDSinα

在Rt△AFA＇中，AA＇=AFSinα

在Rt△FBB＇中，BB＇=BFSinα

∴BB＇=(AB－AF)Sinα=ABSinα－AFSinα

∴AA＇+BB＇=ABSinα

∵AB=CD,∵AA＇+BB＇=CC＇－DD＇

∴CC＇－AA＇=DD＇+BB＇

（2）如圖，仿（1）同法可證：

CC＇－AA＇=DD＇－BB＇

【創(chuàng)新園地】

已知△ABC中，∠BAC=120°，∠ABC=15°，

∠A，∠B，∠C的對邊分別為a,b,c那么a：b：c=_________（本結(jié)論中不含任何三角函數(shù)，但保留根號，請考慮多種解法）.

解法一：過點B作BD⊥AC交CA的延長線于點D.

∴∠BAC=120°，

∠ABC=15°,∴∠ACB=∠DBC=45°,∠ABD=30°

在Rt△ABD中，Sin30°=∴AD=c

Cos30°=，∴BD=

∴b－BD－AD=

a=

∴a：b：c=

=

解法二：如圖，作AD⊥BC，交BC于D，在AB上取AE=AC，連CE，作AF⊥CE，交CE于F，則∠ACE=∠AEC=，∠BCE=∠ACB－30°=45°－30°=15°

∴△BEC為等腰三角形，∴BE=CE

設AD=CD=1，則AC=，即b=

∴CE=2ACCos30°=

∴AB=AE+EB=+，即c=+

∴BD=

∴BC=BD+DC=3+，即a=3+

∴a：b：c=（3+）：：（+）

=

解法三：如圖，作AD⊥BC,交BC于D,在BC上取點E，使∠BAE=∠B=15°,那么，連接AE，得：∠AEC=30°，AE=BE.設AD=DC=1，則AC=，即b=，AE=BE=2AD=2，DE=AECos30°=

∴

即c=+

∴a：b：c=(3+)：：(+)

=

解法四：如圖，BD=x，則2x2=a2，

∴x=

=（參照解法一圖）

解法五：

以BC為直徑作⊙o，延長CA交⊙o于在，連BD，設a=2r，則BD=r,AD=

=

解法六：建立如圖坐標系，則可求：

解法七：建立如圖坐標系，由B點引X軸的垂線，垂足為D，則

解法八：建立如圖坐標系，設C(－1，0)，B(1，0)，延長CA交Y軸于點D，連結(jié)BD，則D點坐標是(0，1)，那么|BD|=|CD|=

本例還可用面積法證明，如S△CBD=aBD，Sin45°=BD2∴BD=……

銳角三角函數(shù)的應用

老師會對課本中的主要教學內(nèi)容整理到教案課件中，大家在認真寫教案課件了。只有制定教案課件工作計劃，可以更好完成工作任務！你們了解多少教案課件范文呢？下面是由小編為大家整理的“銳角三角函數(shù)的應用”，供您參考，希望能夠幫助到大家。

31.3銳角三角函數(shù)的應用
教學目標
1.能夠把數(shù)學問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題。
2.能夠錯助于計算器進行有三角函數(shù)的計算，并能對結(jié)果的意義進行說明，發(fā)展數(shù)學的應用意識和解決問題的能力。
過程與方法
經(jīng)歷探索實際問題的過程，進一步體會三角函數(shù)在解決實際問題過程中的應用。
情感態(tài)度與價值觀
積極參與探索活動，并在探索過程中發(fā)表自己的見解，體會三角函數(shù)是解決實際問題的有效工具。
重點：能夠把數(shù)學問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，能夠借助于計算器進行有三角函數(shù)的計算。
難點：能夠把數(shù)學問題轉(zhuǎn)化成解直角三角形問題，會正確選用適合的直角三角形的邊角關系。
教學過程
一、問題引入，了解仰角俯角的概念。
提出問題：某飛機在空中A處的高度AC＝1500米，此時從飛機看地面目標B的俯角為18°，求A、B間的距離。
提問：1.俯角是什么樣的角？，如果這時從地面B點看飛機呢，稱∠ABC是什么角呢？這兩個角有什么關系？
2.這個△ABC是什么三角形？圖中的邊角在實際問題中的意義是什么，求的是什么，在這個幾何圖形中已知什么，又是求哪條線段的長，選用什么方法？
教師通過問題的分析與討論與學生共同學習也仰角與俯角的概念，也為運用新知識解決實際問題提供了一定的模式。
二、測量物體的高度或?qū)挾葐栴}.
1.提出老問題，尋找新方法
我們學習中介紹過測量物高的一些方法，現(xiàn)在我們又學習了銳角三角函數(shù)，能不能利用新的知識來解決這些問題呢。
利用三角函數(shù)的前提條件是什么？那么如果要測旗桿的高度，你能設計一個方案來利用三角函數(shù)的知識來解決嗎？
學生分組討論體會用多種方法解決問題，解決問題需要適當?shù)臄?shù)學模型。
2.運用新方法，解決新問題.
⑴從1.5米高的測量儀上測得古塔頂端的仰角是30°，測量儀距古塔60米，則古塔高（）米。
⑵從山頂望地面正西方向有C、D兩個地點，俯角分別是45°、30°，已知C、D相距100米，那么山高（）米。
⑶要測量河流某段的寬度，測量員在灑一岸選了一點A，在另一岸選了兩個點B和C，且B、C相距200米，測得∠ACB＝45°，∠ABC＝60°，求河寬（精確到0.1米）。
在這一部分的練習中，引導學生正確來圖，構(gòu)造直角三角形解決實際問題，滲透建模的數(shù)學思想。
三、與方位角有關的決策型問題
1.提出問題
一艘漁船正以30海里/時的速度由西向東追趕魚群，在A處看見小島C在北偏東60°的方向上；40nin后，漁船行駛到B處，此時小島C在船北偏東30°的方向上。已知以小島C為中心，10海里為半徑的范圍內(nèi)是多暗礁的危險區(qū)。這艘漁船如果繼續(xù)向東追趕魚群，有有進入危險區(qū)的可能？
2.師生共同分析問題按以下步驟時行：
⑴根據(jù)題意畫出示意圖，
⑵分析圖中的線段與角的實際意義與要解決的問題，
⑶不存在直角三角形時需要做輔助線構(gòu)造直角三角形，如何構(gòu)造？
⑷選用適當?shù)倪吔顷P系解決數(shù)學問題，
⑸按要求確定正確答案，說明結(jié)果的實際意義。
3.學生練習
某景區(qū)有兩景點A、B，為方便游客，風景管理處決定在相距2千米的A、B兩景點之間修一條筆直的公路（即線段AB）。經(jīng)測量在A點北偏東60°的方向上在B點北偏西45°的方向上，有一半徑為0.7千米
的小水潭，問水潭會不會影響公路的修建？為什么？

學生可以分組討論來解決這一問題，提出不同的方法。
四、總結(jié)。
1.由學生談利用三角函數(shù)知識來解決實際問題的步驟，再次體會建立數(shù)學模型解決問題的過程。
2.總結(jié)具體幾種類型的圖形構(gòu)造直角三角形的方法：

用計算器求銳角三角函數(shù)值

每個老師上課需要準備的東西是教案課件，大家靜下心來寫教案課件了。需要我們認真規(guī)劃教案課件工作計劃，才能對工作更加有幫助！你們到底知道多少優(yōu)秀的教案課件呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“用計算器求銳角三角函數(shù)值”，僅供參考，歡迎大家閱讀。