高中三角函數(shù)教案

用計算器求銳角三角函數(shù)值。

每個老師上課需要準備的東西是教案課件，大家靜下心來寫教案課件了。需要我們認真規(guī)劃教案課件工作計劃，才能對工作更加有幫助！你們到底知道多少優(yōu)秀的教案課件呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“用計算器求銳角三角函數(shù)值”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

延伸閱讀

銳角三角函數(shù)

第二十八章銳角三角函數(shù)
本章小結
小結1本章概述
銳角三角函數(shù)、解直角三角形，它們既是相似三角形及函數(shù)的繼續(xù)，也是繼續(xù)學習三角形的基礎．本章知識首先從工作和生活中經(jīng)常遇到的問題人手，研究直角三角形的邊角關系、銳角三角函數(shù)等知識，進而學習解直角三角形，進一步解決一些簡單的實際問題．只有掌握銳角三角函數(shù)和直角三角形的解法，才能繼續(xù)學習任意角的三角函數(shù)和解斜三角形等知識，同時解直角三角形的知識有利于培養(yǎng)數(shù)形結合思想，應牢固掌握．
小結2本章學習重難點
【本章重點】通過實例認識直角三角形的邊角關系，即銳角三角函數(shù)(sinA，cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值，會運用三角函數(shù)知識解決與直角三角形有關的簡單的實際問題．
【本章難點】綜合運用直角三角形的邊邊關系、邊角關系來解決實際問題．
【學習本章應注意的問題】
在本章的學習中，應正確掌握四種三角函數(shù)的定義，熟記特殊角的三角函數(shù)值，要善于運用方程思想求直角三角形的某些未知元素，會運用轉化思想通過添加輔助線把不規(guī)則的圖形轉化為規(guī)則的圖形來求解，會用數(shù)學建模思想和轉化思想把一些實際問題轉化為數(shù)學模型，從而提高分析問題和解決問題的能力．
小結3中考透視
這一章在中考中主要考查一些特殊角的三角函數(shù)值及幾個三角函數(shù)間的關系，主要題型是選擇題、填空題．另外解直角三角形在實際問題中的應用也是考查的一個重點，主要題型是填空題和解答題，約占3～7分．
知識網(wǎng)絡結構圖

專題總結及應用
一、知識性專題
專題1：銳角三角函數(shù)的定義
【專題解讀】銳角三角函數(shù)定義的考查多以選擇題、填空題為主．
例1如圖28－123所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，則下列結論正確的是()
A．sinA＝B．tanA＝
C．cosB＝D．tanB＝
分析sinA＝＝，tanA＝＝，cosB＝＝．故選D.
例2在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝,則tanA等于()
A．B．C．D．
分析在Rt△ABC中，設AC＝3k，AB＝5k，則BC＝4k，由定義可知tanA＝．故選D.
分析在Rt△ABC中，BC＝＝3，∴sinA＝．故填．
專題2特殊角的三角函數(shù)值
【專題解讀】要熟記特殊角的三角函數(shù)值．
例4計算|－3|＋2cos45°－(－1)0．
分析cos45°＝．
解：原式＝3＋2×－1＝＋2．
例5計算－＋＋(－1)2007－cos60°．
分析cos60°＝．
解：原式＝＋3＋(－1)－＝3－1＝2．
例6計算|－|＋(cos60°－tan30°)0＋．
分析cos60°＝，tan30°＝，∴cos60°－tan30°≠0，∴(cos60°－tan30°)0＝1，
解：原式＝＋1十＋2＝3＋1．
例7計算－(π－3.14)0－|1－tan60°|－.
分析tan60°＝.
解：原式＝8－1－＋1＋＋2＝10.
專題3銳角三角函數(shù)與相關知識的綜合運用
【專題解讀】銳角三角函數(shù)常與其他知識綜合起來運用，考查綜合運用知識解決問題的能力.
例8如圖28－124所示，在△ABC中，AD是BC邊上的高，E為AC邊的中點，BC＝14，AD＝12，sinB＝．
(1)求線段DC的長；
(2)求tan∠EDC的值.
分析在Rt△ABD中，由sinB＝，可求得BD，從而求得CD．由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得DE＝AC＝EC，則∠EDC＝∠C，所以求tan∠EDC可以轉化為求tanC.
解：(1)∵AD是BC邊上的高，∴AD⊥BC
在Rt△ABD中，sinB＝．
∵AD＝12，sinB＝，∴AB＝15，
∴BD＝＝＝9．
∵BC＝14，∴CD＝5．
(2)在Rt△ADC中，∵AE＝EC，∴DE＝AC＝EC，
∴∠EDC＝∠C
∵tanC＝＝,∴tan∠EDC＝tanC＝．
例9如圖28－125所示，在△ABC中，AD是BC邊上的高，tanB＝cos∠DAC.
(1)求證AC＝BD；
(2)若sinC＝，BC＝12，求AD的長．
分析(1)利用銳角三角函數(shù)的定義可得AC＝BD．(2)利用銳角三角函數(shù)與勾股定理可求得AD的長．
證明：(1)∵AD是BC邊上的高，∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，∠ADC＝90°．
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵tanB＝，cos∠DAC＝，tanB＝cos∠DAC，
∴＝，∴AC＝BD.
解：(2)在Rt△ADC中，sinC＝，設AD＝12k，AC＝13k，
∴CD＝＝5k．
∵BC＝BD＋CD，AC＝BD，
∴BC＝13k＋5k＝18k．
由已知BC＝12，∴18k＝12，k＝，
∴AD＝12k＝12×＝8．
例10如圖28－126所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝30＋30，求AB的長．
分析過點A作AD⊥BC于D，把斜三角形轉化為直角三角形，利用AD是兩個直角三角形的公共邊，設AD＝x，把BD，DC用含x的式子表示出來，再由BD＋CD＝BC這一等量關系列方程，求得AD，則AB可在Rt△ABD中求得．
解：過點A作AD⊥BC于D，設AD＝x.
在Rt△ADB中，tanB＝，∴BD＝＝x，
在Rt△ADC中，tanC＝，∴CD＝＝＝x．
又∵BD＋CD＝BC，BC＝30＋30，
∴x＋x＝30＋30,∴x＝30．
在Rt△ABD中，sinB＝，
∴AB＝＝＝30.
專題4用銳角三角函數(shù)解決實際問題
【專題解讀】加強數(shù)學與實際生活的聯(lián)系，提高數(shù)學的應用意識，培養(yǎng)應用數(shù)學的能力是當今數(shù)學改革的方向，圍繞本章內容，縱觀近幾年各地的中考試題，與解直角三角形有關的應用問題逐步成為命題的熱點，其主要類型有輪船定位問題、堤壩工程問題、建筑測量問題、高度測量問題等，解決各類應用問題時要注意把握各類圖形的特征及解法．
例11如圖28－127所示，小山上有一棵樹，現(xiàn)有一測角儀和皮尺兩種測量工具，請你設計一種測量方案，在山腳的水平地面上測出小樹頂端A到水平地面上的距離AB．
(1)畫出測量示意圖；
(2)寫出測量步驟(測量數(shù)據(jù)用字母表示)；
(3)根據(jù)(2)中的數(shù)據(jù)計算AB．
解：(1)測量示意圖如圖28—128所示．
(2)測量步驟．
第一步：在地面上選擇點C安裝測角儀，測得此時小樹頂端A的仰角∠AHE＝α.
第二步：沿CB方向前進到點D，用皮尺量出C，D之間的距離
CD＝m．
第三步：在點D安裝測角儀，測得此時小樹頂端A的仰角
∠AFE＝β.
第四步：用皮尺測出測角儀的高h．
(3)令AE＝x，則tanα＝，得HE＝.
又tanβ＝，得EF＝，
∵HE－FE＝HF＝CD＝m，
∴＝m，解得x＝．
∴AB＝＋h．
例12如圖28－129所示，一條小船從港口A出發(fā)，沿北偏東40°方向航行20海里后到達B處，然后又沿北偏西30°方向航行10海里后到達C處，則此時小船距港口A多少海里?(結果保留整數(shù)，提示：sin40°≈0.6428，cos40°≈0.7660，tan40°≈0．8391，≈1.732)
分析此題可作CD⊥AP構造直角三角形求AC，而CD，AD的長可轉移到其他三角形中解決，可作BE⊥AD，CF⊥BE，CF，BF在Rt△BCF中可求，進而求解．
解：如圖28－130所示，過點B作BE⊥AP，垂足為點E，過點C分別作CD⊥AP，CF⊥BE，垂足分別為點D，F(xiàn)，則四邊形CDEF為矩形，
∴CD＝EF，DE＝CF．
∵∠QBC＝30°，∴∠CBF＝60°．
∵AB＝20，∠BAD＝40°，
∴AE＝ABcos40°≈20×0.7660≈15.3，
BE＝ABsin40°≈20×0.6428＝12.856≈12.9．
又∵BC＝10，∠CBF＝60°，
∴CF＝BCsin60°≈10×＝5≈8.7，
BF＝BCcos60°＝10×0.5＝5，
∴CD＝EF＝BE－BF≈12.9－5＝7.9．
∵DE＝CF≈8.7，∴AD＝DE＋AE≈8.7＋15.3＝24.0，
由勾股定理得AC＝≈＝≈25，
即此時小船距港口A約25海里．
【解題策略】正確理解方位角，作出恰當?shù)妮o助線構造直角三角形是解此題的關鍵．
例13如圖28－131所示，我市某中學數(shù)學課外活動小組的同學利用所學知識去測量沱江流經(jīng)我市某段的河寬．小凡同學在點A處觀測到對岸C點，測得∠CAD＝45°，又在距A處60米遠的B處測得∠CBA＝30°，請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)算出河寬是多少?(結果保留小數(shù)點后兩位)
分析本題可作CE⊥AB，垂足為E，求出CE的長即為河寬．
解：如圖28－131所示，過點C作CE⊥AB于E，則CE即為河寬，
設CE＝x(米)，則BE＝x＋60(米)．
在Rt△BCE中，tan30°＝，即＝,
解得x＝30(＋1)≈81.96(米)．
答：河寬約為81．96米．
【解題策略】解本題的關鍵是設CE＝x，然后根據(jù)BE＝AB＋AE列方程求解．
例14如圖28－132所示，某邊防巡邏隊在一個海濱浴場岸邊的A點處發(fā)現(xiàn)海中的B點有人求救，便立即派三名救生員前去營救．1號救生員從A點直接跳入海中；2號救生員沿岸邊(岸邊可以看成是直線)向前跑到C點再跳入海中；3號救生員沿岸邊向前跑300米到離B點最近的D點，再跳入海中，救生員在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米/秒．若∠BAD＝45°，∠BCD＝60°，三名救生員同時從A點出發(fā)，請說明誰先到達營救地點B．(參考數(shù)據(jù)≈1.4，≈1.7)
分析在Rt△ABD中，已知∠A＝45°和AD，可求AB，BD，在Rt△BCD中，可利用求出的BD和∠BCD＝60°求出BC，然后根據(jù)計算出的數(shù)據(jù)判斷誰先到達．
解：在Rt△ABD中，∠A＝45°，∠D＝90°，AD＝300，
∴AB＝＝300.
＝tan45°，即BD＝ADtan45°＝300．
在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，∠D＝90°，
∴BC＝＝200，CD＝＝＝100.
1號救生員到達B點所用的時間為＝150≈210(秒)，
2號救生員到達B點所用的時間為＝50＋≈192(秒)，
3號救生員到達B點所用的時間為＋＝200(秒)．
∵192＜200＜210.∴2號求生員先到達營救地點B.
【解題策略】本題為閱讀理解題，題目中的數(shù)據(jù)比較多，正確分析題意是解題的關鍵．
例15如圖28－133所示，某貨船以24海里/時的速度將一批重要物資從A處運往正東方向的M處，在點A處測得某島C在它的北偏東60°方向上，該貨船航行30分鐘后到達B處，此時再測得該島在它的北偏東30°方向上；已知在C島周圍9海里的區(qū)域內有暗礁，若貨船繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無觸礁危險?試說明理由．
分析本題可作CD⊥AM于點D，在Rt△BCD中求出CD即可．
解：過點C作CD⊥AM，垂足為點D，
由題意得∠CBD＝60°，∠CAB＝30°,
∴∠ACB＝30°，∠CAB＝∠ACB，
∴BC＝AB＝24×＝12(海里)．
在Rt△BCD中，CD＝BC×sin60°＝6(海里)．
∵6＞9，∴貨船繼續(xù)向正東方向航行無觸礁危險．
【解題策略】此題實際上是通過⊙C(半徑為9海里)與直線AM相離判斷出無觸礁危險.
例16如圖28－134所示，某幢大樓頂部有一塊廣告牌CD，甲、乙兩人分別在相距8米的A，B兩處測得D點和C點的仰角分別為45°和60°，且A，B，F(xiàn)三點在一條直線上，若BE＝15米，求這塊廣告牌的高度．(≈1.73，結果保留整數(shù))
分析由于CD＝CE－DE，所以可分別在Rt△AED和Rt△BEC中求DE，CE的長，從而得出結論．
解：∵AB＝8，BE＝15，∴AE＝23．
在Rt△AED中，∠DAE＝45°，∴DE＝AE＝23．
在Rt△BEC中，∠CBE＝60°，∴CE＝BEtan60°＝15，
∴CD＝CE－DE＝15－23≈3，
即這塊廣告牌的高度約為3米．
例17如圖28－135所示，某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬AD＝2.5m，壩高4m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求壩底寬BC.
分析坡度即坡角的正切值，所以分別過A，D兩點向壩底引垂線，把梯形轉化為兩個直角三角形和一個矩形．
解：過A作AE⊥BC于E，過D作DF⊥BC于F，
由題意可知tanB＝1，tanC＝，
在Rt△ABE中，AE＝4，tanB＝＝1，∴BE＝AE＝4，
在Rt△DFC中，DF＝AE＝4，tanC＝，
∴CF＝1．5DF＝1.5×4＝6．
又∵EF＝AD＝2.5，
∴BC＝BE＋EF＋FC＝4＋2.5＋6＝12．5．
答：壩底寬BC為12．5m．
【解題策略】背水坡是指AB，而迎水坡是指CD.
例18如圖28－136所示，山頂建有一座鐵塔，塔高CD＝30m，某人在點A處測得塔底C的仰角為20°，塔頂D的仰角為23°，求此人距CD的水平距離AB．(參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364，sin23°≈0.391，cos23°≈0.921，tan23°≈0.424)
分析要求AB的值，由于兩個直角三角形中都只有角的已知條件，不能直接求解，所以設AB為未知量，即用AB表示BD和BC，根據(jù)BD－BC＝CD＝30，列出關于AB的方程．
解：在Rt△ABC中，∠CAB＝20°，
∴BC＝ABtan∠CAB＝ABtan20°．
在Rt△ABD中，∠DAB＝23°，
∴BD＝ABtan∠DAB＝ABtan23°．
∴CD＝BD－BC＝ABtan23°－ABtan20°＝AB(tan23°－tan20°)．
∴AB＝≈＝500(m)．
答：此人距CD的水平距離AB約為500m．
二、規(guī)律方法專題
專題5公式法
【專題解讀】本章的公式很多，熟練掌握公式是解決問題的關鍵．
例19當0°＜α＜90°時，求的值．
分析由sin2α＋cos2α＝1，可得1－sin2α＝cos2α
解：∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α．
∴.
∵0°＜a＜90°，∴cosα＞0．
∴原式＝＝1．
【解題策略】以上解法中，應用了關系式sin2α＋cos2α＝1(0°＜α＜90°)，這一關系式在解題中經(jīng)常用到，應當牢記，并靈活運用．
三、思想方法專題
專題6類比思想
【專題解讀】求方程中未知數(shù)的過程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的過程叫做解直角三角形，因此對解直角三角形的概念的理解可類比解方程的概念．我們可以像解方程(組)一樣求直角三角形中的未知元素．
例20在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，已知a＝，b＝，解這個直角三角形．
分析已知兩直角邊長a，b，可由勾股定理c＝求出c，再利用sinA＝求出∠A，進而求出∠B＝90°－∠A．
解：∵∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2．
∴c＝.
又∵sinA＝，∴∠A＝30°．
∴∠B＝90°－∠A＝60°．
【解題策略】除直角外，求出Rt△ABC中的所有未知元素就是解直角三角形．
專題7數(shù)形結合思想
【專題解讀】由“數(shù)”思“形”，由“形”想“數(shù)”，兩者巧妙結合，起到互通、互譯的作用，是解決幾何問題常用的方法之一．
例21如圖28－137所示，已知∠α的終邊OP⊥AB，直線AB的方程為y＝－x＋，則cosα等于()
A．B．
C．D．
分析∵y＝－x＋，∴當x＝0時，y＝，當y＝0時，x＝1，∴A(1，0)，B，∴OB＝，OA＝1，∴AB＝＝，∴cos∠OBA＝.∴OP⊥AB，∴∠α＋∠OAB＝90°，又∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∴∠α＝∠OBA．∴cosα＝cos∠OBA＝．故選A.
專題8分類討論思想
【專題解讀】當結果不能確定，且有多種情況時，對每一種可能的情況都要進行討論．
例22一條東西走向的高速公路上有兩個加油站A，B，在A的北偏東45°方向上還有一個加油站C，C到高速公路的最短距離是30km，B，C間的距離是60km．要經(jīng)過C修一條筆直的公路與高速公路相交，使兩路交叉口P到B，C的距離相等，求交叉口P與加油站A的距離．(結果可保留根號)
解：①如圖28－138(1)所示，
在Rt△BDC中，∵CD＝30，CB＝60，∴∠B＝30°．
又PC＝PB，∴∠CPD＝60°，∴DP＝10．
故AP＝AD＋DP＝(30＋10)km．
②同理，如圖28－138(2)所示，可求得AP＝(30－10)km，
故交叉口P與加油站A的距離為(30＋10)km或(30－10)km．
【解題策略】此題針對P點的位置分兩種情況進行討論，即點P在線段AB上或點P在線段BA的延長線上．
專題9轉化思想
【專題解讀】本章中的轉化思想主要應用在把直角三角形的線段比轉化為三角函數(shù)值、把實際問題轉化為數(shù)學問題、把斜三角形問題轉化為直角三角形問題等．
例23如圖28－139所示，某校教學樓的后面緊鄰著一個土坡，坡上面是一塊平地，BC∥AD，斜坡AB的長為22m，坡角∠BAD＝68°，為了防止山體滑坡，保障安全，學校決定對該土坡進行改造，經(jīng)地質人員勘測，當坡角不超過50°時，可確保山體不滑坡．
(1)求改造前坡頂與地面的距離；
(2)為確保安全，學校計劃改造時保持坡腳A不動，坡頂B沿BC改到F點處，則BF至少是多少米?(結果保留小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)：sin68°≈0.9272，cos68°≈0.3746，tan68°≈2.4751，sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918)
分析將實際問題轉化為數(shù)學問題是解題關鍵．
解：(1)過B作BE⊥AD于E，
則在Rt△ABE中，sin∠BAE＝，
∴BE＝ABsin68°＝22sin68°≈20.4(m)．
(2)過F作FG⊥AD于G，連接FA，則FG＝BE．
∵AG＝≈17.12，AE＝ABcos68°＝22cos68°≈8．24，
∴BF＝GE＝AG－AE≈8.88≈8.9(m)．
例24如圖28－140所示，A，B兩城市相距100km．現(xiàn)計劃在這兩座城市中間修筑一條高速公路(即線段AB)，經(jīng)測量，森林保護中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保護區(qū)的范圍在以P點為圓心，50km為半徑的圓形區(qū)域內．請問計劃修筑的這條高速公路會不會穿越保護區(qū)．為什么?(參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈1.414)
解：過點P作PC⊥AB，C是垂足，
則∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
AC＝PCtan30°，BC＝PCtan45°，
∵AC＋BC＝AB，
∴PCtan30°＋PCtan45°＝100，
∴(＋1)PC＝100，
∴PC＝50(3－)≈50×(3－1.732)≈63．4＞50．
答：森林保護區(qū)的中心與直線AB的距離大于保護區(qū)的半徑，所以計劃修筑的這條高速公路不會穿越保護區(qū)．
例25小鵑學完解直角三角形知識后，給同桌小艷出了一道題：“如圖28－141所示，把一張長方形卡片ABCD放在每格寬度為12mm的橫格紙中，恰好四個頂點都在橫格線上．已知α＝36°，求長方形卡片的周長．”請你幫小艷解答這道題．(結果保留整數(shù)；參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0．6，cos36°≈0．8，tan36°≈0.7)
解：作BE⊥l于點E，DF⊥l于點F．
∵α＋∠DAF＝180°－∠BAD＝180°－90°＝90°，
∠ADF＋∠DAF＝90°，
∴∠ADF＝α＝36°．
根據(jù)題意，得BE＝24mm，DF＝48mm．
在Rt△ABE中，sinα＝，
∴AB＝≈＝40(mm)．
在Rt△ADF中，cos∠ADF＝，
∴AD＝≈＝60(mm)．
∴矩形ABCD的周長＝2(40＋60)＝200(mm)．
例26如圖28－142所示，某居民樓I高20米，窗戶朝南．該樓內一樓住戶的窗臺離地面距離CM為2米，窗戶CD高1．8米．現(xiàn)計劃在I樓的正南方距1樓30米處新建一居民樓Ⅱ．當正午時刻太陽光線與地面成30°角時，要使Ⅱ樓的影子不影響I樓所有住戶的采光，新建Ⅱ樓最高只能蓋多少米?
解：設正午時光線正好照在I樓的一樓窗臺處，此時新建居民樓
Ⅱ高x米．
過C作CF⊥l于F，
在Rt△ECF中，EF＝(x－2)米，F(xiàn)C＝30米，∠ECF＝30°，
∴tan30°＝,∴＝10＋2．
答：新建居民樓Ⅱ最高只能建(10＋2)米．
2011中考真題精選
一、選擇題
1.（2011江蘇連云港，14，3分）如圖，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，則sinA=_______.
考點：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理。
專題：網(wǎng)格型。
分析：設小方格的長度為1，過C作CD⊥AB，垂足為D，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的長，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出sinA．
解答：解：過C作CD⊥AB，垂足為D，設小方格的長度為1，
在Rt△ACD中，AC==2.∴sinA==，
故答案為．
點評：本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理的知識點，此題比較簡單，構造一個直角三角形是解答本題的關鍵．
2.（2011江蘇蘇州，9，3分）如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，若EF=2，BC=5，CD=3，則tanC等于（）
A．B．C．D．
考點：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理的逆定理；三角形中位線定理．
專題：幾何圖形問題．
分析：根據(jù)三角形的中位線定理即可求得BD的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可證得△BCD是直角三角形，然后根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解．
解答：解：連接BD．
∵E、F分別是AB、AD的中點．
∴BD=2EF=4
∵BC=5，CD=3
∴△BCD是直角三角形．
∴tanC=
故選B．
點評：本題主要考查了三角形的中位線定義，勾股定理的逆定理，和三角函數(shù)的定義，正確證明△BCD是直角三角形是解題關鍵．
3.（2011江蘇鎮(zhèn)江常州，6，2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D．若AC=，BC=2，則sin∠ACD的值為（）
A．B．
C．D．
考點：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理．
專題：應用題．
分析：在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理即可求得AB，而∠B=∠ACD，即可把求sin∠ACD轉化為求sinB．
解答：在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理可得：AB===3．
∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD．
∴sin∠ACD=sin∠B==，
故選A．
點評：本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應用，要熟練掌握好邊角之間的關系，難度適中．
4.（2011山東日照，10，4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切，記作cotA=．則下列關系式中不成立的是（）
A．tanAcotA=1B．sinA=tanAcosAC．cosA=cotAsinAD．tan2A+cot2A=1
考點：同角三角函數(shù)的關系。
專題：計算題。
分析：可根據(jù)同角三角函數(shù)的關系：平方關系；正余弦與正切之間的關系（積的關系）；正切之間的關系進行解答．
解答：解：根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，得
A、tanAcotA==1，關系式成立；
B、sinA=，tanAcosA=，關系式成立；
C、cosA=，cotAsinA=，關系式成立；
D、tan2A+cot2A=（）2+（）2≠1，關系式不成立．
故選D．
點評：本題考查了同角三角函數(shù)的關系．（1）平方關系：sin2A+cos2A=1（2）正余弦與正切之間的關系（積的關系）：一個角的正切值等于這個角的正弦與余弦的比，即tanA=或sinA=tanAcosA．
（3）正切之間的關系：tanAtanB=1．
5.（2011陜西，5，3分）在△ABC中，若三邊BC、CA、AB滿足BC∶CA∶AB=5∶12∶13，則cosB=（）
A．B．C．D．
考點：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理的逆定理。
專題：計算題。
分析：根據(jù)三角形余弦表達式即可得出結果．
解答：解：根據(jù)三角函數(shù)性質cosB==，
故選C．
點評：本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義及比例關系，比較簡單．
6.（2011天津，1，3分）sin45°的值等于（）
A.B.C.D.1
考點：特殊角的三角函數(shù)值。
分析：根據(jù)特殊角度的三角函數(shù)值解答即可．
解答：解：sin45°=．
故選B．
點評：此題比較簡單，只要熟記特殊角度的三角函數(shù)值即可．
7.（2011貴港）如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC邊上的中線，BD=4，AD=2，則tan∠CAD的值是（）
A、2B、
C、D、
考點：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理。
專題：常規(guī)題型。
分析：根據(jù)中線的定義可得CD=BD，然后利用勾股定理求出AC的長，再根據(jù)正切等于對邊：鄰邊列式求解即可．
解答：解：∵AD是BC邊上的中線，BD=4，
∴CD=BD=4，
在Rt△ACD中，AC===2，
∴tan∠CAD===2．
故選A．
點評：本題考查了正切的定義以及勾股定理的應用，熟記直角三角形中，銳角的正切等于對邊：鄰邊是解題的關鍵．
8.（2011山東煙臺，9，4分）如果△ABC中，sinA=cosB=，則下列最確切的結論是（）
A.△ABC是直角三角形B.△ABC是等腰三角形
C.△ABC是等腰直角三角形D.△ABC是銳角三角形
考點：特殊角的三角函數(shù)值.
分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，直接得出∠A，∠B的角度從而得出答案．
解答：解：∵sinA=cosB=，∴∠A=∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．故選C．
點評：此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確的記憶特殊角的三角函數(shù)值是解決問題的關鍵．
10.（2011四川達州，8，3分）如圖所示，在數(shù)軸上點A所表示的數(shù)x的范圍是（）
A、B、
C、D、
考點：特殊角的三角函數(shù)值；實數(shù)與數(shù)軸。
專題：計算題。
分析：先根據(jù)數(shù)軸上A點的位置確定出其范圍，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值對四個選項進行分析即可．
解答：解：由數(shù)軸上A點的位置可知，＜A＜2．
A、由sin30°＜x＜sin60°可知，×＜x＜，即＜x＜，故本選項錯誤；
B、由cos30°＜x＜cos45°可知，＜x＜×，即＜x＜，故本選項錯誤；
C、由tan30°＜x＜tan45°可知，×＜x＜1，即＜x＜1，故本選項錯誤；
D、由cot45°＜x＜cot30°可知，×1＜x＜，即＜x＜，故本選項正確．
故選D．
點評：本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值及在數(shù)軸的特點，熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關鍵．
9.（2011甘肅蘭州，4，4分）如圖，A、B、C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，若將△ACB繞著點A逆時針旋轉得到△AC’B’，則tanB’的值為（）
A．B．C．D．
考點：銳角三角函數(shù)的定義；旋轉的性質．
分析：過C點作CD⊥AB，垂足為D，根據(jù)旋轉性質可知，∠B′=∠B，把求tanB′的問題，轉化為在Rt△BCD中求tanB．
解答：解：過C點作CD⊥AB，垂足為D．
根據(jù)旋轉性質可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB=CD：BD=，
∴tanB′=tanB=．
故選B．
點評：本題考查了旋轉的性質，旋轉后對應角相等；三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)值的求法．
10（2011甘肅蘭州，8，4分）點M（－sin60°，cos60°）關于x軸對稱的點的坐標是（）
A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）
考點：特殊角的三角函數(shù)值；關于x軸、y軸對稱的點的坐標．
分析：先根據(jù)特殊三角函數(shù)值求出M點坐標，再根據(jù)對稱性解答．
解答：解：∵sin60°=，cos60°=，∴點M（－，）．
∵點P（m，n）關于x軸對稱點的坐標P′（m，-n），
∴M關于x軸的對稱點的坐標是（－，－）．故選B．
點評：考查平面直角坐標系點的對稱性質，特殊角的三角函數(shù)值．
11.（2011廣東省茂名，8，3分）如圖，已知：45°＜A＜90°，則下列各式成立的是（）
A、sinA=cosAB、sinA＞cosA
C、sinA＞tanAD、sinA＜cosA
考點：銳角三角函數(shù)的增減性。
專題：計算題。
分析：根據(jù)銳角三角函數(shù)的增減性sinA隨角度的增大而增大，cosA隨角度的增大而減小，直接得出答案即可．
解答：解：∵45°＜A＜90°，
∴根據(jù)sin45°=cos45°，sinA隨角度的增大而增大，cosA隨角度的增大而減小，
當∠A＞45°時，sinA＞cosA，
故選：B．
點評：此題主要考查了銳角三角函數(shù)的增減性，正確的利用銳角三角函數(shù)的增減性是解決問題的關鍵．
12.（2011宜昌，11，3分）如圖是教學用直角三角板，邊AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=，則邊BC的長為（）
A、30cmB、20cmC、10cmD、5cm
考點：解直角三角形；特殊角的三角函數(shù)值。
專題：計算題。
分析：因為教學用的直角三角板為直角三角形，所以利用三角函數(shù)定義，一個角的正切值等于這個角的對邊比鄰邊可知角BAC的對邊為BC，鄰邊為AC，根據(jù)角BAC的正切值，即可求出BC的長度．
解答：解：在直角三角形ABC中，根據(jù)三角函數(shù)定義可知：
tan∠BAC=，又AC=30cm，tan∠BAC=，
則BC=ACtan∠BAC=30×=10cm．
故選C．
點評：此題考查學生掌握三角函數(shù)正弦、余弦及正切的定義，是一道基礎題．要求注意觀察生活中的數(shù)學問題，培養(yǎng)學生利用數(shù)學知識解決實際問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)學來自于生活且服務于生活．
13.（2011湖北隨州，9，3）cos30°＝（）
A、B、C、D、
考點：特殊角的三角函數(shù)值。
專題：計算題。
分析：直接根據(jù)cos30°＝進行解答即可．
解答：解：因為cos30°＝，
所以C正確．
故選C．
點評：本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關鍵．
14.（2011玉林，2，3分）若∠α的余角是30°，則cosα的值是（）
A、B、C、D、
考點：特殊角的三角函數(shù)值。
專題：計算題。
分析：先根據(jù)題意求得α的值，再求它的余弦值．
解答：解：∠α=90°﹣30°=60°，
cosα=cos60°=．
故選A．
點評：本題考查特殊角三角函數(shù)值的計算，特殊角三角函數(shù)值計算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主．
【相關鏈接】特殊角三角函數(shù)值：
sin30°=，cos30°=，tan30°=，cot30°=；
sin45°=，cos45°=，tan45°=1，cot45°=1；
sin60°=，cos60°=，tan60°=，cot60°=．
互余角的性質：兩角互余其和等于90度．
15.（2011廣西防城港2，3分）若∠α的余角是30°，則cosα的值是（）
A．B．C．D．
考點：特殊角的三角函數(shù)值
專題：解直角三角形
分析：先根據(jù)題意求得α的值，再求它的余弦值．∠α＝90°－30°＝60°，cosα＝cos60°＝．
解答：A
點評：本題考查特殊角三角函數(shù)值的計算，特殊角三角函數(shù)值計算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題．填空題為主．特殊角三角函數(shù)值：sin30°＝，cos30°＝，tan30°＝，cot30°＝；sin45°＝，cos45°＝，tan45°＝1，cot45°＝1；sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝，cot60°＝．
16.（2011年廣西桂林，6，3分）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3,AC=4，
則sinA的值為（）．
A．B．
C．D．
考點：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理．
分析：直角三角形中，正弦值是角的對邊與斜邊的比值；先求出斜邊AB的值，然后，即可解答．
答案：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=5；
∴sinA==．
故選C．
點評：本題考查了銳角三角函數(shù)值的求法及勾股定理的應用，熟記公式才能正確運用．
17.（2011廣西來賓，6，3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，則∠A的余弦值是
A.B.C.D.
考點：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理。
專題：計算題。
分析：先根據(jù)勾股定理，求出AC的值，然后再由余弦=鄰邊÷斜邊計算即可．
解答：解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=4，
∴cosA==．
故選C．
18.（2011湖州，4，3分）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，則tanA的值為（）
A．2B．C．D．
考點：銳角三角函數(shù)的定義.
分析：根據(jù)tanA是角A的對邊比鄰邊，直接得出答案tanA的值．
解答：解：∵∠C=90°，BC=1，AC=2，∴tanA=．故選B．
點評：此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練記憶銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的關鍵．
19.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，則sinA的值是（）A、B、C、D、
【答案】A
【考點】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理．
【專題】待定系數(shù)法．
【分析】本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義求解，sinA為∠A的對邊比上斜邊，求出即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，∴sinA=．故選A．
【點評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．
20．（2011福建莆田，8，4分）如圖，在矩形ABCD中，點E在AB邊上，沿CE折疊矩形ABCD，使點B落在AD邊上的點F處，若AB=4，BC=5，則tan∠AFE的值為（）
A．B．C．D．

考點：翻折變換（折疊問題）；矩形的性質；銳角三角函數(shù)的定義．
分析：由四邊形ABCD是矩形，可得：∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由折疊的性質可得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，由同角的余角相等，即可得∠DCF=∠AFE，然后在Rt△DCF中，即可求得答案．
解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，
由題意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，
∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，
∴∠DCF=∠AFE，
∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，
∴DF=3，
∴tan∠AFE=tan∠DCF==．
故選C．
點評：此題考查了折疊的性質，矩形的性質以及三角函數(shù)的性質．解此題的關鍵是數(shù)形結合思想與轉化思想的應用．
21.（2011四川遂寧，8，4分）計算2sin30°﹣sin245°+cot60°的結果是（）
A、+3B、+C、+D、1－+
考點：特殊角的三角函數(shù)值。
專題：計算題。
分析：分別把sin30°的值，sin45°的值，cot60°的值代入進行計算即可．
解答：解：2sin30°﹣sin245°+cot60°=2×－（）2+（）2+=1﹣+=+．故選B．
點評：本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記30°，45°，60°角的特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．
22.（2011四川雅安，11,3分）已知△ABC的外接圓O的半徑為3，AC=4，則sinB=（）
A.B.C.D.
考點：圓周角定理；銳角三角函數(shù)的定義。
專題：推理填空題。
分析：作輔助線（連接AO并延長交圓于E，連CE）構造直角三角形ACE，在直角三角形中根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求得角E的正弦值；然后由同弧所對的的圓周角相等知∠B=∠E；最后由等量代換求得∠B的正弦值，并作出選擇．
解答：解：連接AO并延長交圓于E，連CE．
∴∠ACE=90°（直徑所對的圓周角是直角）；
在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，
∴sin∠E=；
又∵∠B=∠E（同弧所對的的圓周角相等），
∴sinB=．
故選D．
點評：本題主要考查了圓周角定理、銳角三角函數(shù)的定義．在求銳角三角函數(shù)值時，一般是通過作輔助線構造直角三角形，在直角三角形中解三角函數(shù)的三角函數(shù)值即可．
23.(2011四川雅安11，3分)已知△ABC的外接圓O的半徑為3，AC=4，則（）
ABCD
考點：圓周角定理；銳角三角函數(shù)的定義。
專題：推理填空題。
分析：作輔助線（連接AO并延長交圓于E，連CE）構造直角三角形ACE，在直角三角形中根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求得角E的正弦值；然后由同弧所對的的圓周角相等知∠B=∠E；最后由等量代換求得∠B的正弦值，并作出選擇．
解答：連接AO并延長交圓于E，連CE．
∴∠ACE=90°（直徑所對的圓周角是直角）；
在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，
∴sin∠E==；
又∵∠B=∠E（同弧所對的的圓周角相等），
∴sinB=．
故選D．
點評：本題主要考查了圓周角定理、銳角三角函數(shù)的定義．在求銳角三角函數(shù)值時，一般是通過作輔助線構造直角三角形，在直角三角形中解三角函數(shù)的三角函數(shù)值即可．

二、填空題
1.（2011江蘇南京，11，2分）如圖，以0為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OM交于點A，再以A為圓心，AO長為半徑畫弧，兩弧交于點B，畫射線OB，則cos∠AOB的值等于．
考點：特殊角的三角函數(shù)值；等邊三角形的判定與性質。
分析：根據(jù)作圖可以證明△ABC是等邊三角形，則∠AOB=60°，據(jù)此即可求解．
解答：解：∵OA=OB=AB，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠AOB=60°，
∴cos∠AOB=cos60°=．
故答案是：．
點評：本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確理解△ABC是等邊三角形是解題的關鍵．
2.（2011江蘇鎮(zhèn)江常州，11，3分）若∠α的補角為120°，則∠α=60°，sinα=．
考點：特殊角的三角函數(shù)值；余角和補角．
專題：計算題．
分析：根據(jù)補角的定義，即可求出∠α的度數(shù)，從而求出sinα的值．
解答：解：根據(jù)補角定義，∠α=180°﹣120°=60°，
于是sinα=sin60°=．
故答案為60°，．
點評：此題考查了特殊角的三角函數(shù)值和余角和補角的定義，要熟記特殊角的三角函數(shù)值．
3.（2010福建泉州，16，4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，則AB=5，sinA=．
考點銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理
分析先利用勾股定理計算出AB，然后根據(jù)正弦的定義即可得到∠A的正弦．
解答解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB===5，∴sinA==．故答案為：5，．
點評本題考查了正弦的定義：在直角三角形中，一個銳角的正弦等于這個角的對邊與斜邊的比值．也考查了勾股定理．
4.（2011福建廈門，14，4分）在△ABC中，若∠C=90°，AC=1，AB=5，則sinB=．
考點：銳角三角函數(shù)的定義。
專題：數(shù)形結合。
分析：利用銳角三角函數(shù)的定義知：銳角的正弦值=．
解答：解：∵∠C=90°，AC=1，AB=5（如圖），
sinB==．
故答案是：．
點評：本題考查了銳角三角函數(shù)的定義．①正弦（sin）等于對邊比斜邊；②余弦（cos）等于鄰邊比斜邊；③正切（tan）等于對邊比鄰邊；④余切（cot）等于鄰邊比對邊；⑤正割（sec）等于斜邊比鄰邊；⑥余割（csc）等于斜邊比對邊．
5.（2011天水，16，4）計算：sin230°+tan44°tan46°+sin260°=．
考點：特殊角的三角函數(shù)值；互余兩角三角函數(shù)的關系。
專題：計算題。
分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算．tanAtan（90°﹣A）=1．
解答：解：原式=+1+=2．
故答案為2．
點評：本題考查了特殊角的三角函數(shù)值以及互余兩角三角函數(shù)的關系，牢記三角函數(shù)值是解題的關鍵．
6.（2011山東日照，13，4分）計算sin30°﹣|﹣2|=．
考點：特殊角的三角函數(shù)值；絕對值。
專題：計算題。
分析：本題涉及絕對值、特殊角的三角函數(shù)值，針對每個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結果．
解答：解：原式=﹣2=．
故答案為：．
點評：本題考查實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．
7.（2011重慶江津區(qū)，15，4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝12，sinA＝．
考點：銳角三角函數(shù)的定義。
專題：計算題。
分析：在Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)定義sinA＝即可求出．
解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝12，
∴根據(jù)三角函數(shù)的定義得：sinA＝＝，
故答案為．
點評：此題比較簡單，考查的是銳角三角函數(shù)的定義，解答此類題目的關鍵是畫出圖形便可直觀解答．
8.（2011內蒙古呼和浩特，24，8）如圖所示，AC為⊙O的直徑且PA⊥AC，BC是⊙O的一條弦，直線PB交直線AC于點D，．
（1）求證：直線PB是⊙O的切線；
（2）求cos∠BCA的值．
考點：切線的判定與性質；全等三角形的判定與性質；相似三角形的判定與性質；銳角三角函數(shù)的定義．
專題：綜合題．
分析：（1）連接OB、OP，由，且∠D=∠D，根據(jù)三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易證得△BOP≌△AOP，則∠PBO=∠PAO=90°；
（2）設PB=a，則BD=2a，根據(jù)切線長定理得到PA=PB=a，根據(jù)勾股定理得到AD=2a，又BC∥OP，得到DC=2CO，得到DC=CA=×2a=a，則OA=a，利用勾股定理求出OP，然后根據(jù)余弦函數(shù)的定義即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值．
解答：（1）證明：連接OB、OP，如圖，
∵，且∠D=∠D，
∴△BDC∽△PDO，
∴∠DBC=∠DPO，
∴BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠BOP
而OB=OC
∴∠OCB=∠CBO
∴∠BOP=∠POA
又∵OB=OA，OP=OP
∴△BOP≌△AOP
∴∠PBO=∠PAO
又∵PA⊥AC
∴∠PBO=90°
∴直線PB是⊙O的切線；
（2）由（1）知∠BCO=∠POA，
設PB=a，則BD=2a
又∵PA=PB=a
∴AD=a，
又∵BC∥OP
∴DC=2CO，
∴DC=CA=×2a=a，
∴OA=a，
∴OP=，
∴cos∠BCA=cos∠POA=．
點評：本題考查了圓的切線的性質和判定：圓的切線垂直于過切點的半徑；過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了三角形相似和全等的判定與性質以及三角函數(shù)的定義．
9.（2011安順）如圖，點E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一條弦．則tan∠OBE=．
考點：圓周角定理；坐標與圖形性質；銳角三角函數(shù)的定義。
分析：根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可證∠ECO=∠OBE．由銳角三角函數(shù)可求tan∠ECO=，即tan∠OBE=．
解答：解：連接EC．
根據(jù)圓周角定理∠ECO=∠OBE．
在Rt△EOC中，OE=4，OC=5，
則tan∠ECO=．故tan∠OBE=．
點評：本題重點考查了同弧所對的圓周角相等及解直角三角形的知識．
注意銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，正弦等于對比斜；余弦等于鄰比斜；正切等于對比鄰．
10.（2011黑龍江大慶，11，3分）計算sin230°+cos230°﹣tan245°=﹣．
考點：特殊角的三角函數(shù)值。
分析：把三角函數(shù)的數(shù)值代入計算即可．
解答：解：原式=（）2+（）2﹣1=+﹣1，=﹣．故答案是：﹣．
點評：本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶函數(shù)值是解題的關鍵．
11.（2011西寧）計算：sin45°=1．
考點：特殊角的三角函數(shù)值。
專題：計算題。
分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答．
解答：解：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得：sin45°=，
∴sin45°=×=1．
故答案為1．
點評：本題主要考查特殊角三角函數(shù)值的計算，特殊角三角函數(shù)值計算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主，比較簡單．
12.（2011山東濱州，16，4分）在等腰△ABC中，∠C=90°則tanA=________.
【考點】特殊角的三角函數(shù)值；等腰直角三角形．
【分析】根據(jù)△ABC是等腰三角形，∠C=90°，求出∠A=∠B=45°，從而求出角A的正切值．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴tanA=tan45°=1，
故答案為1．
【點評】本題涉及到的知識點有：等腰直角三角形、特殊角的三角函數(shù)值，解題時牢記特殊角的三角函數(shù)值．
13.（2011萊蕪）若a=3﹣tan60°，則=。
考點：分式的化簡求值；分式的基本性質；約分；通分；最簡分式；最簡公分母；分式的乘除法；分式的加減法；特殊角的三角函數(shù)值。
專題：計算題。
分析：求出a的值，把分式進行計算，先算括號里面的減法，把除法轉化成乘法，再進行約分即可．
解答：解：a=3﹣tan60°=3﹣，
∴原式=
=
=
故答案為：．
點評：本題主要考查對分式的基本性質，約分、通分，最簡分式，最簡公分母，分式的加減、乘除運算，特殊角的三角函數(shù)值等知識點的理解和掌握，綜合運用這些法則進行計算是解此題的關鍵．
14.（2011山東淄博16，4分）如圖，正方體的棱長為3，點M，N分別在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，HC與NM的延長線交于點P，則tan∠NPH的值為．
考點：銳角三角函數(shù)的定義。
分析：根據(jù)已知首先求出MC=1，HN=2，再利用平行線分線段成比例定理得出，進而得出PH=6，即可得出tan∠NPH的值．
解答：解：∵正方體的棱長為3，點M，N分別在CD，HE上，CM=DM，HN=2NE，
∴MC=1，HN=2，
∵DC∥EH，
∴，
∵HC=3，
∴PC=3，
∴PH=6，
∴tan∠NPH=，
故答案為：．
點評：此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義以及平行線分線段成比例定理等知識，根據(jù)已知得出PH的長再利用銳角三角函數(shù)的定義求出是解決問題的關鍵．
15.（2011黑龍江省哈爾濱,19，3分）已知：正方形ABCD的邊長為2，點P是直線CD上一點，若DP=1，則tan∠BPC的值是．
考點：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理；正方形的性質。
分析：本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理以及正方形的性質求解．
解答：解：此題有兩種可能：
（1）∵BC=2，DP=1，∠C=90°，
∴tan∠BPC==2；
（2）∵DP=1，DC=2，
∴PC=3，
又∵BC=2，∠C=90°，
∴tan∠BPC=．
故答案為：2或．
點評：本題考查了銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理以及正方形的性質，解題的關鍵是利用圖形考慮此題有兩種可能，要依次求解．
16.（2011湖北武漢，13，3分）sin30°的值為．
考點：特殊角的三角函數(shù)值。
分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算即可．
解答：解：sin30°=，故答案為．
點評：本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，應用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記．

三、解答題
1.（2011新疆建設兵團，20，8分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°．
（1）用尺規(guī)作圖的方法，作出△ABC繞點A逆時針旋轉45°后的圖形△AB1C1（保留作圖痕跡）；
（2）若AB＝3，BC＝5，求tan∠AB1C1．
考點：作圖－旋轉變換；銳角三角函數(shù)的定義．
分析：（1）作出∠CAB的平分線，在平分線上截取AB1＝AB，再作出AB1的垂線，即可得出答案．
（2）利用旋轉的性質得出AB1＝3，AC1＝4，再利用銳角三角函數(shù)的定義即可求出．
解答：解：（1）作∠CAB的平分線，在平分線上截取AB1＝AB，
作C1A⊥AB1，在AC1上截取AC1＝AC，
如圖所示即是所求．
（2）∵AB＝3，BC＝5，
∴AC＝4，
∴AB1＝3，AC1＝4，
tan∠AB1C1＝AC1AB1＝43．
點評：此題主要考查了做旋轉圖形和銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)已知熟練記憶銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的關鍵．
2.（2011浙江金華，17，6分）(本題6分)
計算：|－1|－－（5－π）0+4cos45°.
考點：特殊角的三角函數(shù)值；零指數(shù)冪；二次根式的混合運算。
專題：計算題。
分析：本題涉及絕對值、二次根式化簡、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值四個考點．針對每個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結果．
【解】原式=1－×2－1+4×=
點評：本題考查實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握零指數(shù)冪、二次根式、絕對值等考點的運算．
3.（2011浙江麗水，17，6分）計算：．
考點：特殊角的三角函數(shù)值；零指數(shù)冪；二次根式的混合運算。
專題：計算題。
分析：本題涉及絕對值、二次根式化簡、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值四個考點．針對每個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結果．
解答：解：，
=，
=．
點評：本題考查實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握零指數(shù)冪、二次根式、絕對值等考點的運算．
4.（2011浙江衢州，17，6分）（1）計算：|﹣2|﹣（3﹣π）0+2cos45°；
考點：特殊角的三角函數(shù)值；分式的加減法；零指數(shù)冪。
專題：計算題。
分析：（1）根據(jù)絕對值、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值的性質化簡，然后根據(jù)實數(shù)運算法則進行計算即可得出結果，
解答：解：（1）原式=，
=；
點評：本題主要考查了絕對值、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值的性質、實數(shù)運算法則及同分母分式加減法法則，難度適中．
5.（1）（2011浙江義烏，17（1），3分）計算：20110＋－2sin45°；
考點：特殊角的三角函數(shù)值；零指數(shù)冪；解分式方程。
專題：計算題。
分析：（1）根據(jù)零指數(shù)冪，以及特殊角的三角函數(shù)值即可解答本題，
（2）觀察方程可得最簡公分母是：2（x－2），兩邊同時乘最簡公分母可把分式方程化為整式方程來解答．
解答：解：（1）原式＝1＋2－，
＝1＋；
（2）2（x＋3）＝3（x－2），
解得：x＝12，
檢驗：當x＝12時，x－2＝12－2＝10≠0，
∴原方程的根是x＝12．
點評：本題考查了零指數(shù)冪，以及特殊角的三角函數(shù)值，以及解分式方程需轉化為整式方程，還要注意一定要驗根．
6.（2011黑龍江省哈爾濱,21，6分）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中x=2cos45°﹣3．
考點：分式的化簡求值；特殊角的三角函數(shù)值。
專題：探究型。
分析：先把原式進行化簡，再把x=2cos45°﹣3代入進行計算即可．
解答：解：原式=
=
當x=2cos45°﹣3時，
原式=
=．
故答案為：．
點評：本題考查的是分式的化簡求值及特殊角的三角函數(shù)值，熟知分式混合運算的法則把原式化為的形式是解答此題的關鍵．
7.（2011甘肅蘭州，21，7分）已知α是銳角，且sin(α+15°)=.
計算的值.
考點：特殊角的三角函數(shù)值；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪.
分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得出α，然后利用二次根式、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪、負指數(shù)冪的性質進行化簡，根據(jù)實數(shù)運算法則即可計算出結果．
解答：解：∵sin60°=，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴原式=2﹣4×﹣1+1+3=3．
點評：本題主要考查了二次根式、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪、負指數(shù)冪的性質及實數(shù)運算法則，難度適中．
8.（2011甘肅蘭州，26，9分）通過學習三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化。類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系。我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）.如圖①在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA.容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的.根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題：
（1）sad60°=.
（2）對于0°A180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是.
（3）如圖②，已知sinA，其中∠A為銳角，試求sadA的值.
考點：解直角三角形
分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質，求出底角的的度數(shù)，判斷出三角形為等邊三角形，再根據(jù)正對的定義解答；
（2）求出0度和180度時等腰三角形底和腰的比即可；
（3）作出直角△ABC，構造等腰三角形ACD，根據(jù)正對的定義解答．
解答：解：（1）根據(jù)正對定義，
當頂角為60°時，等腰三角形底角為60°，
則三角形為等邊三角形，則sad60°==1．故答案為1．
（2）當∠A接近0°時，sadα接近0，
當∠A接近180°時，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．
于是sadA的取值范圍是0＜sadA＜2．
故答案為0＜sadA＜2．
（3）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=．
在AB上取點D，使AD=AC，
作DH⊥AC，H為垂足，令BC=3k，AB=5k，則AD=AC==4k，
又在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A=．∴DH=ADsin∠A=k，
AH==k．
則在△CDH中，CH=AC﹣AH=k，CD==k．
于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=k．
由正對的定義可得：sadA==，即sadα=．
點評：此題是一道新定義的題目，考查了正對這一新內容，要熟悉三角函數(shù)的定義，可進行類比解答．
綜合驗收評估測試題
(時間：120分鐘滿分：120分)
一、選擇題
1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則tanB的值為()
A．B．C．D．
2．已知α為銳角，tanα＝，則cosα等于()
A．B．C．D．
3．如圖28－143所示，為了確定一條小河的寬度BC，可在C左側的岸邊選擇一點A，使得AC⊥BC，若測得AC＝a，∠CAB＝θ，則BC等于()
A．a(chǎn)sinθB．a(chǎn)cosθC．a(chǎn)tanθD.
4．某同學想用所學的知識測量旗桿的高度，在地面距旗桿底部5m遠的地方，他用測傾器測得旗桿頂部的仰角為α，且tanα＝3，則旗桿高等于(不計測傾器的高度)()
A．10mB．12mC．15mD．20m
5．如圖28－144所示，測量人員在山腳A處測得山頂B的仰角為45°，沿著傾角為30°的山坡前進1000米到達D處，在D處測得山頂B的仰角為60°，則山的高度BC大約是(結果保留小數(shù)點后兩位)()
A．1366．03米B．1482．12米
C．1295．93米D．1508.21米
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝6，sinB＝，那么AB的長是()
A．4B．9C．3D．2
7．如圖28－145所示，在高樓前的D點測得樓頂?shù)难鼋菫?0°，向高樓前進60米到達C點，又測得樓頂?shù)难鼋菫?5°，則該高樓的高度大約為()
A．82米B．163米C．52米D．70米
8．某人沿傾斜角為B的斜坡前進100米，則他上升的最大高度是()
A.米B.100sinβ米C．米D．100cosβ米
9．鐵路路基的橫斷面為等腰梯形，其腰的坡度為2：3，上底寬6米，路基高4米，則路基的下底寬為()
A．18米B．15米C．12米D．10米
10．觀察下列各式：①sin59°＞sin28°；②0＜cosα＜1(α是銳角)；③tan30°＋tan60°＝tan90°；④tan44°＜1．其中成立的有()
A．1個B．2個C．3個D．4個
二、填空題
11．計算2sin30°－tan60°＋tan45°＝．
12．如圖28－146所示，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，BC＝，
則AB的長為．
13．當x＝sin60°時，代數(shù)式＋的值是．
14．已知cos59°24′≈0.509，則sin30°36′≈．
15．若∠A，∠B互余，且tanA－tanB＝2，則tan2A＋tan2B＝．
16．如圖28－147所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，EC＝1，cosB＝，則這個菱形的面積是.
17．已知正方形ABCD的邊長為1，若將線段BD繞著點B旋轉后，點D落在DC延長線上的點D′處，則∠BAD′的正弦值為.
18．如圖28－148所示，若將四根木條釘成的矩形木框變?yōu)槠叫兴倪呅蜛BCD的形狀，并使其面積為矩形面積的一半，則這個平行四邊形的一個最小內角等于．
19．在△ABC中，∠B＝30°，tanC＝2，AB＝2，則BC＝．
20．設θ為銳角，且x2＋3x＋2sinθ＝0的兩根之差為．則θ＝．
三、解答題
21．如圖28－149所示，在△ABC中，∠C＝90°，點D在BC邊上，BD＝4，AD＝BC，
cos∠ADC＝．
(1)求DC的長；
(2)求sinB的值．
22．如圖28－150所示，已知燈塔A的周圍7海里的范圍內有暗礁，一艘漁船在B處測得燈塔A在它的北偏東60°方向上，向正東方向航行8海里后到達C處，又測得該燈塔在它的北偏東30°方向上，若漁船不改變航向，繼續(xù)向正東方向航行，有沒有觸礁的危險?通過計算說明理由．
23．如圖28－151所示，塔AB和樓CD的水平距離為80米，從樓頂C處、樓底D處測得塔頂A的仰角分別為45°和60°，試求塔高與樓高．(結果保留小數(shù)點后兩位，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732)
24．如圖28—152所示，斜坡AC的坡度(坡比)為1：，AC＝10米．坡頂有一旗桿BC，旗桿頂端B點與A點有一條彩帶AB相連，AB＝14米．試求旗桿BC的高度．
25．閱讀下面的材料并回答問題．
如圖28－153所示，在銳角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，過A作AD⊥BC于D，則sinB＝，sinC＝，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsinC，即＝，同理，＝，＝，所以＝＝，即在—個三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等．
(1)在銳角三角形中，若已知三個元素a，b，∠A，運用上述結論和有關定理就可以求出其余三個未知元素c，∠B，∠C，請你按照下面的步驟填空，完成求解過程；
第一步：由條件a，b，∠A求出∠B；
第二步：由條件∠A，∠B求出∠C；
第三步：由條件求出c；
(2)一貨輪在C處測得燈塔A在它的北偏西30°方向上，隨后貨輪以28．4海里／時的速度沿北偏東45°方向航行，半小時后到達B處，此時又測得燈塔A在貨輪的北偏西70°方向上(如圖28－154所示)，求此時貨輪與燈塔A的距離AB．(結果保留小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0．643，sin65°≈0．906，sin70°≈0.940，sin75°≈0．966)
參考答案
1．A[提示：設∠A的對邊為3k，斜邊為5k，則b＝4k，∴tanB＝．]
2．A[提示：∵tanα＝，∴α＝60°，∴cosα＝.]
3．C
4．C[提示：tanα＝＝3，∴旗桿高為15m．]
5．A[提示：過點D作DF⊥AC，易求DF＝EC＝500，AF＝500，由已知條件可知AC＝BC，DE＝FC，∴DE＝BE＋EC－AF＝BE＋500－500.由tan∠BDE＝列方程求解．]6．B[提示：∵sinB＝，∴AB＝＝9．]
7．A[提示：設AB＝x，則BC＝x，BD＝60＋x，在Rt△ABD中，tan30°＝∴x＝(60＋x)，∴x≈82．]
8．B
9．A[提示：由題意畫圖可得答案．]
10．C[提示：sin59°＞sin28°成立，0＜cosα＜1(α是銳角)成立，tan30°＋tan60°＝＋≠tan90°，tan44°＜tan45°，即tan44°＜1．]
11．2－[提示：2sin30°－tan60°＋tan45°＝2×－＋1＝2－.]
12．3＋[提示：過點C作CD⊥AB，垂足為D，在Rt△BDC中，tanB＝．∴，∴BD＝3CD，∵BC＝，∴CD2＋(3CD)2＝()2，∴CD＝1，BD＝3．在Rt△ADC中，tanA＝，∴AD＝，∴AB＝AD＋BD＝3＋.]
13．[提示：∵＋＝2x，∴原式＝2sin60°＝．]
14．0.509[提示：sin30°36′＝cos59°24′．]
15．6[提示：∵∠A，∠B互余，∴tanAtanB＝1，tan2A＋tan2B＝(tanA－tanB)2＋2tanAtanB＝22＋2＝6．]
16．[提示：∵cosB＝，設BE＝5x，則AB＝13x，∴AE＝＝12x．∵AB＝BC＝BE＋CE，∴13x＝5x＋1，∴x＝，則AE＝12x＝12×＝，BC＝5x＋1＝5×＋1＝，∴S＝×＝．]
17．[提示:如圖28－155所示，根據(jù)題意得DD′＝2DC，設正方形的邊長為x，則AD＝x，DD′＝2x．∵∠ADD′＝90°，根據(jù)勾股定理得AD′＝＝x．∵AD＝x，∴sin∠AD′D＝＝.∵AB∥DD′，∴∠BAD′＝∠AD′D，∴sin∠BAD′＝．]
18．30°[提示：如圖28＝156所示，∵SABCD＝S矩形BEFC，且BC＝BC(底相同)，∴GC＝FC．∵CF＝DC，∴GC＝DC，．∵∠DGC＝90°，sin30°＝，∴∠CDG＝30°，即這個平行四邊形的一個最小內角為30°．]
19．＋
20．30°[提示：x1x2＝2sinθ，x1＋x2＝－3，則(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝9－8sinθ＝()2，∴sinθ＝，∴θ＝30°．]
21．解：(1)∵cos∠ADC＝，∴設CD＝3x，則AD＝5x，AC＝4x，∴BC＝AD＝5x．∵BD＝BC－CD，∴5x－3x＝4，∴x＝2，∴CD＝3x＝6．(2)∵AC＝4x＝8，BC＝5x＝10，∴AB＝，∴sinB＝．
22．解：在△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝120°，過點A作AD⊥BC交BC的延長線于D，設AD＝x，∵∠ACD＝60°，∠ABD＝30°，∴BD＝＝x，CD＝＝x.∵BD－CD＝8，∴x－x＝8，∴x＝4，即AD＝4＝＜7，∴若漁船不改變航向，繼續(xù)向正東方向航行；有觸礁的危險．
23．解：在Rt△ABD中，BD＝80，∠ADB＝60°，tan∠ADB＝，∴AB＝BDtan∠ADB＝80≈138．56(米)．在Rt△AEC中，∵∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝80，∴CD＝BE＝AB－AE＝80－80＝80（－1)≈58.56(米)．答：塔高AB約為138．56米，樓高CD約為58．56米．
24．解：延長BC交AD于E點，則CE⊥AD．在Rt△AEC中，AC＝10，由坡比為1：可知∠CAE＝30°．∴CE＝ACsin30°＝10×＝5，AE＝ACcos30°＝10×＝5，在Rt△ABE中，BE＝＝11．∵BE＝BC＋CE，∴BC＝BE－CE＝11－5＝6(米)．
25．(1)∠A＋∠B＋∠C＝180°a，∠A，∠C(2)解：依題意可知∠ABC＝180°－45°－70°＝65°，∴∠A＝180°－(30°＋45°＋65°)＝40°，BC＝28．4×＝14．2．∵，∴AB＝≈≈21．3（海里）.即此時貨輪與燈塔A的距離AB約為21.3海里．

銳角的三角函數(shù)值

21.2銳角的三角函數(shù)值

一、教法設想：

通過同學們經(jīng)常使用的三角板，讓同學們計算一下，當∠A=30°,∠A=45°,由于同學們所使用三角板大小不一，但他（她）們求得的比值都是和，這是為什么呢？

由相似三角形有關性質得出：在這些直角三角形中，銳角A取一個固定值，∠A的對邊與斜邊的比值仍是一個固定值，進而再引入正弦，余弦的概念，并向同學說明0sinA1,0cosA1（∠A為銳角）.

再分別求出30°，45°，60°特殊三角函數(shù)值并應用其進行計算，進一步研究任意銳角的正弦值與余角的余弦值關系.

根據(jù)30°，45°，60°正、余弦值分析，引導同學歸納出：當角度在0°—90°間變化時，正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）；當角度在0°—90°間變化時，余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?

適時介紹正弦和余弦表的構造.結合實例進行查表，知其角度查正弦值或余弦值，反之亦然.正確處理好修正值.

對學有余力的學生，也可適當介紹“sin2A+cos2A=1”這一重要關系式.

在學習正弦、余弦的概念后，再進一步學正切、余切較容易，可仿正弦、余弦的教法進行，對學有余力的學生也可講授這些重要關系式.

在教學中對0°，30°，45°，60°，90°的特殊角的三角函數(shù)值要求學生一定要熟記，為此，我們可分別列出表并編出口決讓學生記易，省時易記.

表I：

三角函數(shù)30°45°60°

Sinα

Cosα

tgα

口決：一，二，三，三，二，一，三九二十七.

表II.

三角函數(shù)0°30°45°60°90°

Sinα

Cosα

tgα0

1

──

ctgα──

1

口決：0，一，二，三，四帶根號，比上2要記牢.

第二行左右倒，三，四行靠推導.

【指點迷津】

本單元銳角三角函數(shù)的引進，使形與數(shù)緊密結合為一體，開辟了數(shù)形結合的新航向.因此，在本單元教學中，務必注意數(shù)形結合思維方法的引導，應用.用其法解決生活中的實際問題.達到得心應手.

二、學海導航：

【思維基礎】

1.銳角三角函數(shù)定義

Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，則∠A的正弦，余弦，正切，余切分別是：SinA=________CosA=_______tgA=________CtgA=________.它們統(tǒng)稱為∠A的銳角三角函數(shù).（1）一銳角的三角函數(shù)值是四個_______；銳角三角函數(shù)都不可能取_________，且A為銳角時，SinA，CosA均在______~______內取值.

2.特殊角的三角函數(shù)值（完成下表）

0°30°45°60°90°增減值

Sinα

Cosα

tgα

ctgα

3.互余角間的三角函數(shù)關系，△ABC中，∠C=90°，A+B=90°，∠B=90°－A，則有：

Sin(90°－A)=___________

Cos(90°－A)=___________

tg(90°－A)=___________

Ctg(90°－A)=___________.

4.同角三角函數(shù)關系公式：（∠A為銳角）.

（1）Sin2A+Cos2A=___________;Cos2A=___________,Sin2A=____________.

【學法指要】

例1.如果∠A為銳角，CosA=，那么（）

A.0°A≤30°B.30°A≤45°

C.45°A≤60°D.60°A90°

思路分析：

當角度在0°~90°間變化時，余弦值隨著角度的增大（或減少）而減?。ɑ蛟龃螅?

∴60°A90°應選D

例2.當45°X90°時，有（）

A.SinxCosxtgxB.tgxCosxSinx

C.CosxSinxtgxD.tgxSinxCosx

思路分析：∵45°x90°∴取A=60°

，∴tgxSinxCosx

∴應選D

解選擇題，采取特例法可出奇制勝，如本例取x=60°在45°x90°的范圍內，很快可知Sin60°,Cos60°,tg60°的值，誰大誰小，相形見絀.因之，在解決有關選擇題時，根據(jù)題目的限制條件，靈活選取特殊值（也可畫特殊圖形，特殊點，特殊位置，特殊線等），可巧奪天工.

例3.計算：

思咯分析：若a≠0時,a0=1

對此項中的Sin36°是一項干擾支.迷惑同學們，因為Sin36°，不是表內特殊值，求不出來，至使解題陷入僵局，其實不然.不需要求Sin36°之值，只需要知道即可.因而，解題時，必須善于排除干擾支，解除困惑，準確使用數(shù)學概念，正確求出答案，對于特殊角三角函數(shù)值的計算，一.要準確無誤代入三角函數(shù)值；二.要按照實數(shù)的運算法則進行運算；三.運算的結果必須是最簡關系式.于是對上式便一目了然了.

例4.已知方程的兩根為tgθ,ctgθ,求k和θ，（θ為銳角）

思路分析：∵tgθ,ctgθ為二次方程的二根，根據(jù)與系數(shù)關系式，得

∵tgθctgθ=1∴k=1

∴原方程為

即tgθ=,ctgθ=或tgθ=,ctg=

故θ1=30°θ2=60°

銳角三角函數(shù)與二次方程等有著千絲萬縷的聯(lián)系，各種知識交織在一起，因而必須把綜合知識進行剖析，分解，然后各個擊破，便可打通思路.如本例，首先運用二次方程的有關知識──根與系數(shù)關系；再運用銳角三角函數(shù)的倒數(shù)關系求出K，又回到解一元二次方程來，解出二根，從中求出tgθ,ctgθ之值，再求出對應的θ之值，總之，善于剖析，化整為零，一個一個解決，對復雜的綜合題便可攻破了.

例5.在△ABC中，三邊之比a：b：c=1：：2，則SinA+tgA等于（）

A.B.

C.D.

思路分析：∵a：b：c=1：：2

∴可設a=k,b=k,c=2k(k0)

∴a2+b2=k2+(k)2=4k2=(2k)2=c2

∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°

根據(jù)三角函數(shù)定義，可知：

∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°

根據(jù)三角函數(shù)定義，可知：

∴SinA+tgA

∴應選（A）

對于題設是以連比形式出現(xiàn)的，通常都是增設參數(shù)K，將未知轉化已知，使問題明朗化，進而再研究三角形三邊的關系，從而判定為直角三角形，又轉化為銳角三角函數(shù)問題，找到思路，這是解決此類問題的常用方法，而且又比較方便，請同學們今后遇到此類問題，可小試“牛刀”.

【思維體操】

例1.已知AD是直角△ABC的斜邊BC上的高，在△ADB及△ADC中分別作內接正方形，使每個正方形有兩條邊分別在DB，DA及DC，DA上，而兩個正方形的第四個頂點E，F(xiàn)各在AB，AC上，求證：AE=AF.

揭示思路1：設∠ABC=α.正方形EMDG與正方形DNFH的邊長分別為a,b

∵AD=AG+DG=atgα+a

AD=AH+DH=bCtgα+b

∴atgα+a=bctgα+b

∴

=bctgα=AH.

∴AE=AF

揭示思路2：

設BC=a,且∠ABC=α，則有

AB=acosα

同理：

∴AE=AF

由上兩種思路證得AE=AF，可發(fā)現(xiàn)用三角法研究幾何問題，開門見山，直截了當，只要所給定的幾何圖形中有直角三角形.便可應用銳角三角函數(shù)列出它們的邊角關系式，再應用代數(shù)法計算一下，便可達到目的.題設所給的問題中，未有給定直角三角形，只要能構造出直角三角形，同樣也可轉化為用三角法證解之，而且也比較方便，由此可見，用三角法證（解）幾何問題為解幾何問題又開拓了新的渠道.為數(shù)與形結合提供了新的條件，我們應在這條新渠道不斷探索，取得新的成果.現(xiàn)沿這思路繼續(xù)擴散.

擴散一：

如圖，Rt△ABC中，有正方形DEFG，D，G分別在AB，AC上，E，F(xiàn)在斜邊BC上，求證：EF2=BEFC

揭示思路：從題設及圖形中都可發(fā)現(xiàn)有直角三角形，所以用三角法證之比較順暢.

在Rt△BDE中，

在Rt△GFC中，

∵∠B+∠C=90°，∴tgB=tg(90°－C)=ctgC

∴

∵DE=GF=EF

∴EF2=BECF

擴散二：

在△ABC外側作正方形ABDM和ACEN，過D，E向BC作垂線DF，EG，垂足分別為F，G，求證：BC=DF+EG

提示思路：觀察圖形可發(fā)現(xiàn)直角三角形DFB及直角三角形EGC.便萌生用三角法證明，可是此時DF，EG比較分散.設法作AH⊥BC再構兩個直角三角形，通過正方形為“媒介”，這樣把DF，EG就有了聯(lián)系.此時，應用銳角三角函數(shù)定義建立邊角關系，便可馬到成功！

在Rt△EGC中，

∴EG=bcosβ

在Rt△DBF中，同理，DF=ccosα（設b,c,α,β如圖）

∴EG+DF=bCosβ+ccosα

在Rt△ABH中，BH=ccosα

在Rt△ACH中，CH=bcosβ

∵BC=BH+CH,∴BC=bcosβ+ccosα

∴BC=EG+DF

擴散三：

設頂角A=108°的等腰三角形的高為h，∠A的三等分線及其外角的四等分線分別為P1，P2，求證：

揭示思路：從圖形中可發(fā)現(xiàn)有幾個直角三角形存在，這個信息向我們提供用三角法證明是得天獨厚的條件，不要猶豫，不然，將會失去良機.

如圖，設△ABC的底邊上的高AH=h,∠A的三等分線AD=P1，∠A的外角四等線AE=P2，∠BAC=108°，AB=AC，

∴∠DAH=18°

在Rt△ADH中，cos18°=

∵∠CAE=(180°－108°)=18°

∠ACB=(180°－108°)=36°

∴∠AEC=18°

在Rt△AHE中，Sin18°=

擴散四：

已知：如∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為D、E、F.

求證：

揭示思路：本例直角三角形之多，用三角法證之更不宜遲，用銳角三角函數(shù)定義，列出邊角關系，可十分巧妙就證得結論.

設∠ABC=α，則∠DAF=∠CDF=α

擴散五：

在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于E，交OB于F，求證：EC=20F

揭示思路：觀察圖形，圖中有許多直角三角形，它啟示我們用三角法作為“向導”，可直達目的地.

∠BEF=∠ACB+∠EAC=45°+∠BAE

∵∠BFE=∠CAE,∴∠BEF=∠BFE,

∴BE=BF

進而可知AD=DF

設正方表ABCD邊長為1，又設∠BAE=∠CAE=α

則OA=OB=

在Rt△ABE中，BE=ABtgα=BF

BF=OB－OF=OB－OAtgα

∴ABtgα=OB－OAtgα

∴OF=OAtgα=(－1)

EC=BC－BE=1－1tgα=1－+1=2－=(－1)

∴EC=20F

應用銳角三角函數(shù)的定義研究幾何問題；直觀，又少添或不添設輔助線，充分發(fā)揮數(shù)的長處.把幾何問題通過銳角三角形邊角關系，應用計算法，便可曲徑通幽，柳暗花明.同學們應加強這方面的學習，以拓寬幾何證題思路.

三、智能顯示

【動腦動手】

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，則SinB+CosB的值（）

（A）大于1（B）小于1

（C）等于1（D）不確定

2.在△ABC中，它的邊角同時滿足下列兩個條件；（1）SinC=1；（2）SinA,CosB是方程4x2－cx+1=0的兩個根，求a，b，c及S△ABC

3.證明：“從平行四邊形ABCD的頂點A，B，C，D向形外的任意直線MN引垂線AA＇BB＇CC＇DD＇垂足是A＇B＇C＇D＇（如下圖）

求證：AA＇+CC＇=BB＇+DD＇，現(xiàn)將直線MN向上移動，使得A點在直線的一側，B、C、D三點在直線的另一側（如中圖），這時，從A、B、C、D向直線MN作垂線，垂足為A＇B＇C＇D＇，那么垂線放AA＇BB＇CC＇DD＇之間存在什么關系？如將直線MN再問上移動，使兩側各有兩個頂點（如下圖）.從A，B，C，D向直線MN作的垂線放AA＇BB＇CC＇DD＇之間又有什么關系？根據(jù)左圖，中圖，右圖寫出你的猜想，并加以證明.

揭示思路：1.在Rt△ABC中，∠C=90°

由銳角三角函數(shù)定義，得

∵a+bc

∴SinB+CosB1,應選A.

2.∵SinC=1,∴∠C=90°

∵SinA+CosB=,SinACosB=

又A+B=90°,∴B=90°－A

∴CosB=Cos(90°－A)=SinA

∴c=4,A=30°,a=2,b=

3.猜想如下：

對于中圖有：CC＇－AA＇=BB＇+DD＇

對于右圖有：CC＇－AA＇=DD＇－BB＇

證法1.如圖,設∠AEA＇=α,則AA＇=AESinα=(OA－OE)Sinα=OASinα－OESinα，又CC＇=CESinα=(OC+OE)Sinα=(OA+OE)Sinα=OASinα+OESinα

∴CC＇－AA＇=2OESinα

∵OO＇=OESinα,∴CC＇－AA＇=2OO＇

由題設知，OO’為梯形BB’D’D的中位線.

∴BB＇+DD＇=2OO＇

∴CC＇－AA＇=BB＇+DD＇

（2）如圖，仿（1）證法可得

CC＇－AA＇=2OESinα

DD＇－BB=2OFSinβ

∵OESinα=OFSinβ,

∴CC＇－AA＇=DD＇－BB＇

證法二：（1）延長CB交MN于E，設AD與MN交于F，又設∠AFA＇=α，則∠BEB＇=α，在Rt△EBB＇中，

∵BE=CE－CB

∴BB＇=BESinα－CBSinα

在Rt△ECC＇中，Sinα=,

∴CC’=CESinα

∵CC＇－BB＇=BCSinα

在Rt△AA＇F與Rt△FDD＇中.

AA＇=AFSinα,DD＇=DFSinα

∵DF=AD－AF

∴DD＇=ADSinα－AFSinA＇

∴DD＇=ADSinα－AA＇

∴DD＇+AA＇=ADSinα

∵AD=BC,∴CC＇－BB＇=DD＇+AA＇

∴CC＇－AA＇=BB＇+DD＇

（2）仿證法（1）同樣可證得

CC＇+BB＇=BCSinα

AA＇+DD＇=ADSinα

∴CC＇+BB＇=AA＇+DD＇，

∴CC＇－AA＇=DD＇－BB＇

證法三：（1）如圖，作DE⊥CC＇，則DD＇C＇E為矩形，∴CE=CC＇－DD＇

設∠AFA＇=α，則易知∠CDE=α在Rt△CDE中，

∴CC＇－DD＇=CDSinα

在Rt△AFA＇中，AA＇=AFSinα

在Rt△FBB＇中，BB＇=BFSinα

∴BB＇=(AB－AF)Sinα=ABSinα－AFSinα

∴AA＇+BB＇=ABSinα

∵AB=CD,∵AA＇+BB＇=CC＇－DD＇

∴CC＇－AA＇=DD＇+BB＇

（2）如圖，仿（1）同法可證：

CC＇－AA＇=DD＇－BB＇

【創(chuàng)新園地】

已知△ABC中，∠BAC=120°，∠ABC=15°，

∠A，∠B，∠C的對邊分別為a,b,c那么a：b：c=_________（本結論中不含任何三角函數(shù)，但保留根號，請考慮多種解法）.

解法一：過點B作BD⊥AC交CA的延長線于點D.

∴∠BAC=120°，

∠ABC=15°,∴∠ACB=∠DBC=45°,∠ABD=30°

在Rt△ABD中，Sin30°=∴AD=c

Cos30°=，∴BD=

∴b－BD－AD=

a=

∴a：b：c=

=

解法二：如圖，作AD⊥BC，交BC于D，在AB上取AE=AC，連CE，作AF⊥CE，交CE于F，則∠ACE=∠AEC=，∠BCE=∠ACB－30°=45°－30°=15°

∴△BEC為等腰三角形，∴BE=CE

設AD=CD=1，則AC=，即b=

∴CE=2ACCos30°=

∴AB=AE+EB=+，即c=+

∴BD=

∴BC=BD+DC=3+，即a=3+

∴a：b：c=（3+）：：（+）

=

解法三：如圖，作AD⊥BC,交BC于D,在BC上取點E，使∠BAE=∠B=15°,那么，連接AE，得：∠AEC=30°，AE=BE.設AD=DC=1，則AC=，即b=，AE=BE=2AD=2，DE=AECos30°=

∴

即c=+

∴a：b：c=(3+)：：(+)

=

解法四：如圖，BD=x，則2x2=a2，

∴x=

=（參照解法一圖）

解法五：

以BC為直徑作⊙o，延長CA交⊙o于在，連BD，設a=2r，則BD=r,AD=

=

解法六：建立如圖坐標系，則可求：

解法七：建立如圖坐標系，由B點引X軸的垂線，垂足為D，則

解法八：建立如圖坐標系，設C(－1，0)，B(1，0)，延長CA交Y軸于點D，連結BD，則D點坐標是(0，1)，那么|BD|=|CD|=

本例還可用面積法證明，如S△CBD=aBD，Sin45°=BD2∴BD=……

《銳角三角函數(shù)》學案1

教案課件是老師上課中很重要的一個課件，大家正在計劃自己的教案課件了。各行各業(yè)都在開始準備新的教案課件工作計劃了，未來工作才會更有干勁！你們知道多少范文適合教案課件？以下是小編為大家精心整理的“《銳角三角函數(shù)》學案1”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

《銳角三角函數(shù)》學案1

教學目標：
1.探索直角三角形中銳角三角函數(shù)值與三邊之間的關系。
2.掌握三角函數(shù)定義式：sinA=，cosA=，tanA=。
重點和難點
重點：三角函數(shù)定義的理解。
難點：直角三角形中銳角三角函數(shù)值與三邊之間的關系及求三角函數(shù)值。
【教學過程】
一、情境導入
如圖是兩個自動扶梯，甲、乙兩人分別從1、2號自動扶梯上樓，誰先到達樓頂?如果AB和A′B′相等而∠α和∠β大小不同，那么它們的高度AC和A′C′相等嗎？AB、AC、BC與∠α，A′B′、A′C′、B′C′與∠β之間有什么關系呢？------導出新課
二、新課教學
1、合作探究
見課本
2、三角函數(shù)的定義
在Rt△ABC中，如果銳角A確定，那么∠A的對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之確定.
∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正弦(sine)，記作sinA，即sinA＝
∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦(cosine)，記作cosA，即cosA=
∠A的對邊與∠A的鄰邊的比叫做∠A的正切(tangent)，記作tanA，即
銳角A的正弦、余弦和正切統(tǒng)稱∠A的三角函數(shù).
注意：sinA，cosA，tanA都是一個完整的符號，單獨的“sin”沒有意義，其中A前面的“∠”一般省略不寫。
師：根據(jù)上面的三角函數(shù)定義，你知道正弦與余弦三角函數(shù)值的取值范圍嗎？
師：（點撥）直角三角形中，斜邊大于直角邊．
生：獨立思考，嘗試回答，交流結果．
明確：0＜sina＜1，0＜cosa＜1.
鞏固練習：課內練習T1、作業(yè)題T1、2
3、如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°，AB=5,BC=3,求∠A,∠B的正弦,余弦和正切.
分析：由勾股定理求出AC的長度，再根據(jù)直角三角形中銳角三角函數(shù)值與三邊之間的關系求出各函數(shù)值。
師：觀察以上計算結果,你發(fā)現(xiàn)了什么?
明確：sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1
4、課堂練習：課本課內練習T2、3，作業(yè)題T3、4、5、6
三、課堂小結：談談今天的收獲
1、內容總結
（1）在RtΔABC中,設∠C=900，∠α為RtΔABC的一個銳角，則
∠α的正弦，∠α的余弦，
∠α的正切
（2）一般地，在Rt△ABC中,當∠C=90°時，sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1
2、方法歸納
在涉及直角三角形邊角關系時，常借助三角函數(shù)定義來解
四、布置作業(yè)：
1.課后作業(yè)題
2.見作業(yè)本相關節(jié)次