高中函數(shù)的應(yīng)用教案

高一數(shù)學(xué)函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例45。

§3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例（Ⅲ）
一、三維目標(biāo)
1、知識(shí)與技能能夠收集圖表數(shù)據(jù)信息，建立擬合函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。
2、過(guò)程與方法體驗(yàn)收集圖表數(shù)據(jù)信息、擬合數(shù)據(jù)的過(guò)程與方法，體會(huì)函數(shù)擬合的思想方法。
3、情感、態(tài)度、價(jià)值觀深入體會(huì)數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活及各個(gè)領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用及其重要價(jià)值。
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：
重點(diǎn)：收集圖表數(shù)據(jù)信息、擬合數(shù)據(jù)，建立函數(shù)模解決實(shí)際問(wèn)題。
難點(diǎn)：對(duì)數(shù)據(jù)信息進(jìn)行擬合，建立起函數(shù)模型，并進(jìn)行模型修正。
三、學(xué)學(xué)與教學(xué)用具
1、學(xué)法：學(xué)生自查閱讀教材，嘗試實(shí)踐，合作交流，共同探索。
2、教學(xué)用具：多媒體
四、教學(xué)設(shè)想
（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題
2003年5月8日，西安交通大學(xué)醫(yī)學(xué)院緊急啟動(dòng)“建立非典流行趨勢(shì)預(yù)測(cè)與控制策略數(shù)學(xué)模型”研究項(xiàng)目，馬知恩教授率領(lǐng)一批專(zhuān)家晝夜攻關(guān)，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供決策部門(mén)參考的應(yīng)用軟件。
這一數(shù)學(xué)模型利用實(shí)際數(shù)據(jù)擬合參數(shù)，并對(duì)全國(guó)和北京、山西等地的疫情進(jìn)行了計(jì)算仿真，結(jié)果指出，將患者及時(shí)隔離對(duì)于抗擊非典至關(guān)重要、分析報(bào)告說(shuō)，就全國(guó)而論，菲非典病人延遲隔離1天，就醫(yī)人數(shù)將增加1000人左右，推遲兩天約增加工能力100人左右；若外界輸入1000人中包含一個(gè)病人和一個(gè)潛伏病人，將增加患病人數(shù)100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔離措施，則高峰期病人人數(shù)將達(dá)60萬(wàn)人。
這項(xiàng)研究在充分考慮傳染病控制中心每日工資發(fā)布的數(shù)據(jù)，建立了非典流行趨勢(shì)預(yù)測(cè)動(dòng)力學(xué)模型和優(yōu)化控制模型，并對(duì)非典未來(lái)的流行趨勢(shì)做了分析預(yù)測(cè)。
本例建立教學(xué)模型的過(guò)程，實(shí)際上就是對(duì)收集來(lái)的數(shù)據(jù)信息進(jìn)行擬合，從而找到近似度比較高的擬合函數(shù)。
（二）嘗試實(shí)踐探求新知
例1．某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值發(fā)下表
（身高：cm；體重：kg）
身高60708090100110
體重6.137.909.9912.1515.0217.50
身高120130140150160170
體重20.9226.8631.1138.8547.2555.05
1）根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重與身高ykg與身高xcm的函數(shù)模型的解析式。
2）若體重超過(guò)相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個(gè)地區(qū)一名身高為175cm，體重為78kg的在校男生的體重是事正常？
探索以下問(wèn)題：
1）借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，畫(huà)出它們相應(yīng)的散點(diǎn)圖；
2）觀察所作散點(diǎn)圖，你認(rèn)為它與以前所學(xué)過(guò)的何種函數(shù)的圖象較為接近？
3）你認(rèn)為選擇何種函數(shù)來(lái)描述這個(gè)地區(qū)未成年男性體重與身高的函數(shù)關(guān)系比較合適？
4）確定函數(shù)模型，并對(duì)所確定模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)和評(píng)價(jià).
5）怎樣修正所確定的函數(shù)模型，使其擬合程度更好？
本例給出了通過(guò)測(cè)量得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表，要想由這些數(shù)據(jù)直接發(fā)現(xiàn)函數(shù)模型是困難的，要引導(dǎo)學(xué)生借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫(huà)圖，幫助判斷.
根據(jù)散點(diǎn)圖，利用待定系數(shù)法確定幾種可能的函數(shù)模型，然后進(jìn)行優(yōu)劣比較，選定擬合度較好的函數(shù)模型.在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)模型進(jìn)行適當(dāng)修正，并做出一定的預(yù)測(cè).此外，注意引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)本例所用的數(shù)學(xué)思想方法.
例2.將沸騰的水倒入一個(gè)杯中，然后測(cè)得不同時(shí)刻溫度的數(shù)據(jù)如下表：
時(shí)間（S）60120200240300
溫度（℃）86.8681.3776.4466.1161.32
時(shí)間（S）360420480540600
溫度（℃）53.0352.2049.9745.9642.36

1）描點(diǎn)畫(huà)出水溫隨時(shí)間變化的圖象；
2）建立一個(gè)能基本反映該變化過(guò)程的水溫（℃）關(guān)于時(shí)間的函數(shù)模型，并作出其圖象，觀察它與描點(diǎn)畫(huà)出的圖象的吻合程度如何.
3）水杯所在的室內(nèi)溫度為18℃，根據(jù)所得的模型分析，至少經(jīng)過(guò)幾分鐘水溫才會(huì)降到室溫？再經(jīng)過(guò)幾分鐘會(huì)降到10℃？對(duì)此結(jié)果，你如何評(píng)價(jià)？
本例意圖是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)，利用擬合函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的思想方法，可依照例1的過(guò)程，自主完成或合作交流討論.
課堂練習(xí)：某地新建一個(gè)服裝廠，從今年7月份開(kāi)始投產(chǎn)，并且前4個(gè)月的產(chǎn)量分別為1萬(wàn)件、1.2萬(wàn)件、1.3萬(wàn)件、1.37萬(wàn)件.由于產(chǎn)品質(zhì)量好，服裝款式新穎，因此前幾個(gè)月的產(chǎn)品銷(xiāo)售情況良好.為了在推銷(xiāo)產(chǎn)品時(shí)，接收定單不至于過(guò)多或過(guò)少，需要估測(cè)以后幾個(gè)月的產(chǎn)量，你能解決這一問(wèn)題嗎？
探索過(guò)程如下：
1）首先建立直角坐標(biāo)系，畫(huà)出散點(diǎn)圖；
2）根據(jù)散點(diǎn)圖設(shè)想比較接近的可能的函數(shù)模型：
一次函數(shù)模型：
二次函數(shù)模型：
冪函數(shù)模型：
指數(shù)函數(shù)模型：（＞0，）
利用待定系數(shù)法求出各解析式，并對(duì)各模型進(jìn)行分析評(píng)價(jià)，選出合適的函數(shù)模型；由于嘗試的過(guò)程計(jì)算量較多，可同桌兩個(gè)同學(xué)分工合作，最后再一起討論確定.
（三）歸納小結(jié)，鞏固提高.
通過(guò)以上三題的練習(xí)，師生共同總結(jié)出了利用擬合函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般方法，指出函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，是解決實(shí)際問(wèn)題的重要思想方法.利用函數(shù)思想解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程如下：

符合

實(shí)際

不符合實(shí)際
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函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例

§3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例（2）

學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.通過(guò)一些實(shí)例，來(lái)感受一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的廣泛應(yīng)用，體會(huì)解決實(shí)際問(wèn)題中建立函數(shù)模型的過(guò)程，從而進(jìn)一步加深對(duì)這些函數(shù)的理解與應(yīng)用；
2.初步了解對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表的分析與處理.

學(xué)習(xí)過(guò)程
一、課前準(zhǔn)備
（預(yù)習(xí)教材P104~P106，找出疑惑之處）
閱讀：2003年5月8日，西安交通大學(xué)醫(yī)學(xué)院緊急啟動(dòng)“建立非典流行趨勢(shì)預(yù)測(cè)與控制策略數(shù)學(xué)模型”研究項(xiàng)目，馬知恩教授率領(lǐng)一批專(zhuān)家晝夜攻關(guān)，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供決策部門(mén)參考的應(yīng)用軟件.
這一數(shù)學(xué)模型利用實(shí)際數(shù)據(jù)擬合參數(shù)，并對(duì)全國(guó)和北京、山西等地的疫情進(jìn)行了計(jì)算仿真，結(jié)果指出，將患者及時(shí)隔離對(duì)于抗擊非典至關(guān)重要、分析報(bào)告說(shuō)，就全國(guó)而論，菲非典病人延遲隔離1天，就醫(yī)人數(shù)將增加1000人左右，推遲兩天約增加工能力100人左右；若外界輸入1000人中包含一個(gè)病人和一個(gè)潛伏病人，將增加患病人數(shù)100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔離措施，則高峰期病人人數(shù)將達(dá)60萬(wàn)人.
這項(xiàng)研究在充分考慮傳染病控制中心每日工資發(fā)布的數(shù)據(jù)，建立了非典流行趨勢(shì)預(yù)測(cè)動(dòng)力學(xué)模型和優(yōu)化控制模型，并對(duì)非典未來(lái)的流行趨勢(shì)做了分析預(yù)測(cè).

二、新課導(dǎo)學(xué)
※典型例題
例1某桶裝水經(jīng)營(yíng)部每天的房租、人員工資等固定成本為200元,每桶水的進(jìn)價(jià)是5元.銷(xiāo)售單價(jià)與日均銷(xiāo)售量的關(guān)系如下表所示：
銷(xiāo)售單價(jià)/元6789101112
日均銷(xiāo)售量/桶480440400360320280240
請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析,這個(gè)經(jīng)營(yíng)部怎樣定價(jià)才能獲得最大利潤(rùn)?

變式：某農(nóng)家旅游公司有客房300間，每間日房租為20元，每天都客滿(mǎn).公司欲提高檔次，并提高租金，如果每間客房日增加2元，客房出租數(shù)就會(huì)減少10間.若不考慮其他因素，旅社將房間租金提高到多少時(shí)，每天客房的租金總收入最高？

小結(jié)：找出實(shí)際問(wèn)題中涉及的函數(shù)變量→根據(jù)變量間的關(guān)系建立函數(shù)模型→利用模型解決實(shí)際問(wèn)題→小結(jié)：二次函數(shù)模型。

例2某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表（身高：cm；體重：kg）
身高60708090100110
體重6.137.909.9912.1515.0217.50
身高120130140150160170
體重20.9226.8631.1138.8547.2555.05
（1）根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重與身高ykg與身高xcm的函數(shù)模型的解析式.
（2）若體重超過(guò)相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個(gè)地區(qū)一名身高為175cm，體重78kg的在校男生的體重是否正常？

小結(jié)：根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，通過(guò)建立函數(shù)模型，解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程：收集數(shù)據(jù)→畫(huà)散點(diǎn)圖→選擇函數(shù)模型→求函數(shù)模型→檢驗(yàn)→符合實(shí)際，用函數(shù)模型解釋實(shí)際問(wèn)題；不符合實(shí)際，則重新選擇函數(shù)模型，直到符合實(shí)際為止.
※動(dòng)手試試
練1.某同學(xué)完成一項(xiàng)任務(wù)共花去9個(gè)小時(shí)，他記錄的完成工作量的百分?jǐn)?shù)如下：
時(shí)間/小時(shí)123456789
完成
百分?jǐn)?shù)1530456060708090100
（1）如果用來(lái)表示h小時(shí)后完成的工作量的百分?jǐn)?shù)，請(qǐng)問(wèn)是多少？求出的解析式，并畫(huà)出圖象；
（2）如果該同學(xué)在早晨8：00時(shí)開(kāi)始工作，什么時(shí)候他未工作？

練2.有一批影碟（VCD）原銷(xiāo)售價(jià)為每臺(tái)800元，在甲、乙兩家家電商場(chǎng)均有銷(xiāo)售.甲商場(chǎng)用如下方法促銷(xiāo)：買(mǎi)一臺(tái)單價(jià)為780元，買(mǎi)兩臺(tái)單價(jià)都為760元，依次類(lèi)推，每多買(mǎi)一臺(tái)則所買(mǎi)各臺(tái)單價(jià)均再減少20元，但每臺(tái)售價(jià)不能低于440元；乙商場(chǎng)一律都按原價(jià)的75%銷(xiāo)售.某單位需購(gòu)買(mǎi)一批此類(lèi)影碟機(jī)，問(wèn)去哪家商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)花費(fèi)較低？

三、總結(jié)提升
※學(xué)習(xí)小結(jié)
1.有關(guān)統(tǒng)計(jì)圖表的數(shù)據(jù)分析處理；
2.實(shí)際問(wèn)題中建立函數(shù)模型的過(guò)程；

※知識(shí)拓展
根據(jù)散點(diǎn)圖設(shè)想比較接近的可能的函數(shù)模型：
①一次函數(shù)模型：
②二次函數(shù)模型：
③冪函數(shù)模型：
④指數(shù)函數(shù)模型：（＞0，）
學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)
※自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿(mǎn)分：10分）計(jì)分：
1.向高為H的圓錐形漏斗內(nèi)注入化學(xué)溶液（漏斗下口暫且關(guān)閉），注入溶液量V與溶液深度h的大概圖象是（）.
2.某種生物增長(zhǎng)的數(shù)量與時(shí)間的關(guān)系如下表：
123．．．
138．．．
下面函數(shù)關(guān)系式中，能表達(dá)這種關(guān)系的是（）.
A．B．
C．D．
3.某企業(yè)近幾年的年產(chǎn)值如下圖：

則年增長(zhǎng)率（增長(zhǎng)率=增長(zhǎng)值/原產(chǎn)值）最高的是（）.
A.97年B.98年C.99年D.00年
4.某雜志能以每本1.20的價(jià)格發(fā)行12萬(wàn)本，設(shè)定價(jià)每提高0.1元，發(fā)行量就減少4萬(wàn)本.則雜志的總銷(xiāo)售收入y萬(wàn)元與其定價(jià)x的函數(shù)關(guān)系是.
5.某新型電子產(chǎn)品2002年投產(chǎn)，計(jì)劃2004年使其成本降低36℅.則平均每年應(yīng)降低成本%.

課后作業(yè)
某地新建一個(gè)服裝廠，從今年7月份開(kāi)始投產(chǎn)，并且前4個(gè)月的產(chǎn)量分別為1萬(wàn)件、1.2萬(wàn)件、1.3萬(wàn)件、1.37萬(wàn)件.由于產(chǎn)品質(zhì)量好，服裝款式新穎，因此前幾個(gè)月的產(chǎn)品銷(xiāo)售情況良好.為了在推銷(xiāo)產(chǎn)品時(shí)，接收定單不至于過(guò)多或過(guò)少，需要估測(cè)以后幾個(gè)月的產(chǎn)量，你能解決這一問(wèn)題嗎？

函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)
3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例
第1課時(shí)
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)目標(biāo)
知識(shí)與技能：(1)通過(guò)實(shí)例“汽車(chē)的行駛規(guī)律”，理解一次函數(shù)、分段函數(shù)的應(yīng)用，提高學(xué)生的讀圖能力．
(2)通過(guò)“馬爾薩斯的人口增長(zhǎng)模型”，使學(xué)生學(xué)會(huì)指數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用，了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用．
過(guò)程與方法：在實(shí)際問(wèn)題的解決中，發(fā)展學(xué)生科學(xué)地提出問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力，體會(huì)數(shù)學(xué)與物理、人類(lèi)社會(huì)的關(guān)系．
情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)在社會(huì)生活中的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的興趣和探究素養(yǎng)．
重點(diǎn)、難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：分段函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用．
教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)模型的體驗(yàn)與建立．
教學(xué)過(guò)程
導(dǎo)入新課
思路1．(情境導(dǎo)入)
在課本第三章的章頭圖中，有一大群喝水、嬉戲的兔子，但是這群兔子曾使澳大利亞傷透了腦筋.1859年，有人從歐洲帶進(jìn)澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且沒(méi)有兔子的天敵，兔子數(shù)量不斷增加，不到100年，兔子們幾乎占領(lǐng)了整個(gè)澳大利亞，數(shù)量達(dá)到75億只．可愛(ài)的兔子變得可惡起來(lái)，75億只兔子吃掉了相當(dāng)于75億只羊所吃的牧草，草原的載畜率大大降低，而牛、羊是澳大利亞的主要牲口．這使澳大利亞人頭痛不已，他們采用各種方法消滅這些兔子，直至二十世紀(jì)五十年代，科學(xué)家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔，澳大利亞人才算松了一口氣．
與之相應(yīng)，圖中話道出了其中的意蘊(yùn)：對(duì)于一個(gè)種群的數(shù)量，如果在理想狀態(tài)(如沒(méi)有天敵、食物充足等)下，那么它將呈指數(shù)增長(zhǎng)；但在有限制的環(huán)境中，種群數(shù)量一般符合對(duì)數(shù)增長(zhǎng)模型．上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了不同的函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異，這一節(jié)我們將進(jìn)一步討論不同函數(shù)模型的應(yīng)用．
思路2.(直接導(dǎo)入)
上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了不同的函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異，這一節(jié)我們將進(jìn)一步討論不同函數(shù)模型的應(yīng)用．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問(wèn)題
(1)我市有甲、乙兩家乒乓球俱樂(lè)部，兩家設(shè)備和服務(wù)都很好，但收費(fèi)方式不同．甲家每張球臺(tái)每小時(shí)5元；乙家按月計(jì)費(fèi)，一個(gè)月中30小時(shí)以?xún)?nèi)(含30小時(shí))每張球臺(tái)90元，超過(guò)30小時(shí)的部分每張球臺(tái)每小時(shí)2元．小張準(zhǔn)備下個(gè)月從這兩家中的一家租一張球臺(tái)開(kāi)展活動(dòng)，其活動(dòng)時(shí)間不少于15小時(shí)，也不超過(guò)40小時(shí)．
設(shè)在甲家租一張球臺(tái)開(kāi)展活動(dòng)x小時(shí)的收費(fèi)為f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一張球臺(tái)開(kāi)展活動(dòng)x小時(shí)的收費(fèi)為g(x)元(15≤x≤40)，試求f(x)和g(x)．
(2)A，B兩城相距100km，在兩地之間距A城xkm處的D地建一核電站，給A，B兩城供電，為保證城市安全．核電站距城市的距離不得少于10km.已知供電費(fèi)用與供電距離的平方和供電量之積成正比，比例系數(shù)λ＝0.25.若A城供電量為20億度/月，B城為10億度/月．把月供電總費(fèi)用y表示成x的函數(shù)，并求定義域．
(3)分析以上實(shí)例屬于那種函數(shù)模型．
討論結(jié)果：(1)f(x)＝5x(15≤x≤40)；
g(x)＝90，15≤x≤30，2(x－30)＋90，30x≤40.
(2)y＝5x2＋52(100—x)2(10≤x≤90)．
(3)分別屬于一次函數(shù)模型、分段函數(shù)模型、二次函數(shù)模型．
應(yīng)用示例
例1一輛汽車(chē)在某段路程中的行駛速率與時(shí)間的關(guān)系如圖1所示．
圖1
(1)求圖1中陰影部分的面積，并說(shuō)明所求面積的實(shí)際含義；
(2)假設(shè)這輛汽車(chē)的里程表在汽車(chē)行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km，試建立行駛這段路程時(shí)汽車(chē)?yán)锍瘫碜x數(shù)s(km)與時(shí)間t(h)的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象．
活動(dòng)：學(xué)生先思考討論，再回答．教師可根據(jù)實(shí)際情況，提示引導(dǎo)．
圖中橫軸表示時(shí)間，縱軸表示速度，面積為路程；由于每個(gè)時(shí)間段速度不同，汽車(chē)?yán)锍瘫碜x數(shù)s(km)與時(shí)間t(h)的函數(shù)為分段函數(shù)．
解：(1)陰影部分的面積為50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360.
陰影部分的面積表示汽車(chē)在這5小時(shí)內(nèi)行駛的路程為360km.
(2)根據(jù)圖1，有s＝50t＋2004，0≤t1，80(t－1)＋2054，1≤t2，90(t－2)＋2134，2≤t3，75(t－3)＋2224，3≤t4，65(t－4)＋2299，4≤t≤5.
這個(gè)函數(shù)的圖象如圖2所示．
圖2
變式訓(xùn)練
電信局為了滿(mǎn)足客戶(hù)不同需要，設(shè)有A，B兩種優(yōu)惠方案，這兩種方案應(yīng)付話費(fèi)(元)與通話時(shí)間(分鐘)之間關(guān)系如圖3所示(其中MN∥CD)．
(1)分別求出方案A，B應(yīng)付話費(fèi)(元)與通話時(shí)間x(分鐘)的函數(shù)表達(dá)式f(x)和g(x)；
(2)假如你是一位電信局推銷(xiāo)人員，你是如何幫助客戶(hù)選擇A，B兩種優(yōu)惠方案的？并說(shuō)明理由．
圖3

解：(1)兩種優(yōu)惠方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式：
g(x)＝
(2)當(dāng)f(x)＝g(x)時(shí)，310x－10＝50，∴x＝200.
∴當(dāng)客戶(hù)通話時(shí)間為200分鐘時(shí)，兩種方案均可；
當(dāng)客戶(hù)通話時(shí)間為0≤x＜200分鐘，g(x)＞f(x)，故選擇方案A；
當(dāng)客戶(hù)通話時(shí)間為x＞200分鐘時(shí)，g(x)＜f(x)，故選方案B.
點(diǎn)評(píng)：在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中，函數(shù)圖象能夠發(fā)揮很好的作用，因此，我們應(yīng)當(dāng)注意提高讀圖的能力．另外，本題用到了分段函數(shù)，分段函數(shù)是刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題的重要模型.
例2人口問(wèn)題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問(wèn)題．認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長(zhǎng)提供依據(jù)．早在1798年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯(T.R.Malthus，1766—1834)就提出了自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型：y＝y(tǒng)0ert，
其中t表示經(jīng)過(guò)的時(shí)間，y0表示t＝0時(shí)的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長(zhǎng)率．
下表是1950～1959年我國(guó)的人口數(shù)據(jù)資料：
年份1950195119521953195419551956195719581959
人數(shù)/萬(wàn)人55196563005748258796602666145662828645636599467207
(1)如果以各年人口增長(zhǎng)率的平均值作為我國(guó)這一時(shí)期的人口增長(zhǎng)率(精確到0.0001)，用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立我國(guó)在這一時(shí)期的具體人口增長(zhǎng)模型，并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符；
(2)如果按表的增長(zhǎng)趨勢(shì)，大約在哪一年我國(guó)的人口達(dá)到13億？
解：(1)設(shè)1951～1959年的人口增長(zhǎng)率分別為r1，r2，r3，…，r9.
由55196(1＋r1)＝56300，可得1951年的人口增長(zhǎng)率為r1≈0.0200.
同理可得，r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，r8≈0.0222，r9≈0.0184.
于是，1951～1959年期間，我國(guó)人口的年平均增長(zhǎng)率為
r＝(r1＋r2＋…＋r9)÷9≈0.0221.
令y0＝55196，則我國(guó)在1950～1959年期間的人口增長(zhǎng)模型為y＝55196e0.0221t，t∈N.
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并作出函數(shù)y＝55196e0.0221t(t∈N)的圖象(圖4)．
圖4
由圖可以看出，所得模型與1950～1959年的實(shí)際人口數(shù)據(jù)基本吻合．
(2)將y＝130000代入y＝55196e0.0221t，由計(jì)算器可得t≈38.76.
所以，如果按表的增長(zhǎng)趨勢(shì)，那么大約在1950年后的第39年(即1989年)我國(guó)的人口就已達(dá)到13億．由此可以看到，如果不實(shí)行計(jì)劃生育，而是讓人口自然增長(zhǎng)，今天我國(guó)將面臨難以承受的人口壓力.
變式訓(xùn)練
一種放射性元素，最初的質(zhì)量為500g，按每年10%衰減．
(1)求t年后，這種放射性元素質(zhì)量ω的表達(dá)式；
(2)由求出的函數(shù)表達(dá)式，求這種放射性元素的半衰期(剩留量為原來(lái)的一半所需的時(shí)間叫做半衰期)．(精確到0.1.已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)
解：(1)最初的質(zhì)量為500g.
經(jīng)過(guò)1年后，ω＝500(1－10%)＝500×0.91；
經(jīng)過(guò)2年后，ω＝500×0.9(1－10%)＝500×0.92；
由此推知，t年后，ω＝500×0.9t.
(2)解方程500×0.9t＝250，則0.9t＝0.5，
所以t＝lg0.5lg0.9＝－lg22lg3－1≈6.6(年)，
即這種放射性元素的半衰期約為6.6年.
知能訓(xùn)練
某電器公司生產(chǎn)A型電腦.1993年這種電腦平均每臺(tái)的生產(chǎn)成本為5000元，并以純利潤(rùn)20%確定出廠價(jià)．從1994年開(kāi)始，公司通過(guò)更新設(shè)備和加強(qiáng)管理，使生產(chǎn)成本逐年降低．到1997年，盡管A型電腦出廠價(jià)僅是1993年出廠價(jià)的80%，但卻實(shí)現(xiàn)了50%純利潤(rùn)的高效益．
(1)求1997年每臺(tái)A型電腦的生產(chǎn)成本；
(2)以1993年的生產(chǎn)成本為基數(shù)，求1993年至1997年生產(chǎn)成本平均每年降低的百分?jǐn)?shù)．(精確到0.01，以下數(shù)據(jù)可供參考：5＝2.236，6＝2.449)
活動(dòng)：學(xué)生先思考討論，再回答．教師根據(jù)實(shí)際情況，提示引導(dǎo)．
出廠價(jià)＝單位商品的成本＋單位商品的利潤(rùn)．
解：(1)設(shè)1997年每臺(tái)電腦的生產(chǎn)成本為x元，依題意，得
x(1＋50%)＝5000×(1＋20%)×80%，解得x＝3200(元)．
(2)設(shè)1993年至1997年間每年平均生產(chǎn)成本降低的百分率為y，則依題意，得5000(1－y)4＝3200，解得y1＝1－255，y2＝1＋255(舍去)．所以y＝1－255≈0.11＝11%，
即1997年每臺(tái)電腦的生產(chǎn)成本為3200元，1993年至1997年生產(chǎn)成本平均每年降低約為11%.
點(diǎn)評(píng)：函數(shù)與方程的應(yīng)用是本章的重點(diǎn)，請(qǐng)同學(xué)們體會(huì)它們的關(guān)聯(lián)性．
拓展提升
某家電企業(yè)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查分析，決定調(diào)整產(chǎn)品的生產(chǎn)方案：準(zhǔn)備每周(按120個(gè)工時(shí)計(jì)算)生產(chǎn)空調(diào)、彩電、冰箱共360臺(tái)，且冰箱至少生產(chǎn)60臺(tái)．已知生產(chǎn)這些家電產(chǎn)品每臺(tái)所需工時(shí)和每臺(tái)產(chǎn)值如下表：
家電名稱(chēng)空調(diào)彩電冰箱
每臺(tái)所需工時(shí)12
13
14

每臺(tái)產(chǎn)值(千元)432
問(wèn)每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)、彩電、冰箱各多少臺(tái)，才能使周產(chǎn)值最高？最高產(chǎn)值是多少？(以千元為單位)
解：設(shè)每周生產(chǎn)空調(diào)、彩電、冰箱分別為x臺(tái)、y臺(tái)、z臺(tái)，每周產(chǎn)值為f千元，
則f＝4x＋3y＋2z，其中x＋y＋z＝360，12x＋13y＋14z＝120，x≥0，y≥0，z≥60，①②③
由①②可得y＝360－3x，z＝2x，代入③得x≥0，360－3x≥0，2x≥60，則有30≤x≤120.
故f＝4x＋3(360－3x)＋22x＝1080－x，當(dāng)x＝30時(shí)，fmax＝1080－30＝1050.
此時(shí)y＝360－3x＝270，z＝2x＝60.
答：每周應(yīng)生產(chǎn)空調(diào)30臺(tái)，彩電270臺(tái)，冰箱60臺(tái)，才能使每周產(chǎn)值最高，最高產(chǎn)值為1050千元．
點(diǎn)評(píng)：函數(shù)、方程、不等式有著密切的關(guān)系，它們相互轉(zhuǎn)化組成一個(gè)有機(jī)的整體．請(qǐng)同學(xué)們借助上面的實(shí)例細(xì)心體會(huì)．
課堂小結(jié)
本節(jié)重點(diǎn)學(xué)習(xí)了函數(shù)模型的實(shí)例應(yīng)用，包括一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、分段函數(shù)模型等；另外還應(yīng)關(guān)注函數(shù)、方程、不等式之間的相互關(guān)系．
活動(dòng)：學(xué)生先思考討論，再回答．教師提示、點(diǎn)撥，及時(shí)評(píng)價(jià)．
引導(dǎo)方法：從基本知識(shí)和基本技能兩方面來(lái)總結(jié)．
作業(yè)
課本習(xí)題3.2A組5,6.
設(shè)計(jì)感想
本節(jié)設(shè)計(jì)從有趣的故事開(kāi)始，讓學(xué)生從故事中體會(huì)函數(shù)模型的選擇，然后通過(guò)幾個(gè)實(shí)例介紹常用函數(shù)模型．接著通過(guò)最新題型，訓(xùn)練學(xué)生由圖表轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式的能力，從而解決實(shí)際問(wèn)題．本節(jié)的每個(gè)例題的素材貼近現(xiàn)代生活，都是學(xué)生非常感興趣的問(wèn)題，很容易引起學(xué)生的共鳴．
第2課時(shí)
作者：王仁海，甌海中學(xué)教師，本教學(xué)設(shè)計(jì)獲浙江省教學(xué)設(shè)計(jì)大賽省一等獎(jiǎng)．
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)1必修(A版)》第三章的“3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例”，即建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題．
函數(shù)模型的應(yīng)用是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它主要包含三個(gè)方面：利用給定的函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，建立確定性函數(shù)模型解決問(wèn)題，建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題．而建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題是其重點(diǎn)，也是難點(diǎn)．函數(shù)模型的應(yīng)用教學(xué)，既有不可替代的位置，又有重要的現(xiàn)實(shí)意義．
本節(jié)通過(guò)實(shí)例來(lái)說(shuō)明函數(shù)模型的應(yīng)用，是因?yàn)楹瘮?shù)模型本身就來(lái)源于現(xiàn)實(shí)，能給學(xué)生提供更多從實(shí)際問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)或建立數(shù)學(xué)模型的機(jī)會(huì)，并體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用價(jià)值．因此在中學(xué)教學(xué)中有重要的地位．
學(xué)情分析
學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，理解了函數(shù)的圖象與性質(zhì)之間的關(guān)系，尤其是學(xué)習(xí)了3.2.1幾類(lèi)不同的函數(shù)增長(zhǎng)模型和3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例．學(xué)會(huì)了如何利用給定的函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，建立確定性函數(shù)模型解決問(wèn)題，已經(jīng)具備了一定的函數(shù)模型應(yīng)用能力．這為理解建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題提供了基礎(chǔ)，也為深入理解如何建立合適的擬合函數(shù)模型提供了依據(jù)．但學(xué)生對(duì)于動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)認(rèn)識(shí)薄弱，對(duì)于綜合應(yīng)用函數(shù)圖象與性質(zhì)尚不夠熟練，這些都給學(xué)生選擇合適的模型造成一定的困難．因此，在教學(xué)時(shí)應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)設(shè)熟悉的問(wèn)題情境，充分利用學(xué)生熟悉的函數(shù)圖象來(lái)選擇合適的模型．引導(dǎo)學(xué)生觀察、計(jì)算、思考和理解問(wèn)題的本質(zhì)．
教學(xué)目標(biāo)
知識(shí)與技能：了解函數(shù)擬合的基本思想，學(xué)會(huì)建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題．
過(guò)程與方法：借助信息技術(shù)，利用數(shù)據(jù)畫(huà)出函數(shù)圖象，從擬合簡(jiǎn)單的一次函數(shù)模型入手，掌握多角度觀察函數(shù)圖象的技能，探究出各種合適的擬合函數(shù)模型．在建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程中體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想與從特殊到一般的歸納思想．
情感、態(tài)度與價(jià)值觀：體驗(yàn)探究的樂(lè)趣，體驗(yàn)函數(shù)是描述變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力．
重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn)：將實(shí)際問(wèn)題化為函數(shù)模型，建立合適的擬合函數(shù)模型解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．
難點(diǎn)：如何建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．
教學(xué)過(guò)程
設(shè)計(jì)思想
一、創(chuàng)設(shè)應(yīng)用情境，引出問(wèn)題
前面我們學(xué)習(xí)過(guò)兩種函數(shù)模型的應(yīng)用，分別是利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，建立確定性的函數(shù)模型解決問(wèn)題，那么在既沒(méi)有給出函數(shù)模型又無(wú)法建立確定性函數(shù)模型的情況下，又該如何解決實(shí)際問(wèn)題呢？
二、組織探究
例1下表是我校從實(shí)施研究性學(xué)習(xí)以來(lái)，高一年級(jí)段學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)小論文在我市每年一次的評(píng)比中獲獎(jiǎng)的相關(guān)數(shù)據(jù).
年份12345
篇數(shù)1421273541
請(qǐng)描點(diǎn)畫(huà)出獲獎(jiǎng)篇數(shù)隨年份變化的圖象，并寫(xiě)出一個(gè)能基本反映這個(gè)變化現(xiàn)象的函數(shù)解析式．
設(shè)計(jì)意圖
以學(xué)生熟悉的實(shí)際問(wèn)題為背景，激活學(xué)生的原有知識(shí)，形成學(xué)生的“再創(chuàng)造”欲望，讓學(xué)生在熟悉的環(huán)境中發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，使新知識(shí)和原知識(shí)形成聯(lián)系，同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值．
探究：
(1)組織學(xué)生讀、議，小組討論該如何分析題目？
①列表
c1c2c3c4c5c6
114
221
327
435
541
②描點(diǎn)
圖1
③根據(jù)點(diǎn)的分布特征，可以考慮以一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)作為描繪篇數(shù)與年份的變化趨勢(shì)．取(1,14)，(4,35)，有14＝k1＋b，35＝k4＋b，解得k＝7，b＝7.這樣，我們就得到函數(shù)模型y＝7x＋7.
作出此模型函數(shù)圖象如下：
圖2
根據(jù)上述圖象，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好，這說(shuō)明它能較好地反映我校獲獎(jiǎng)篇數(shù)與年份的變化趨勢(shì).
變式訓(xùn)練
我校自實(shí)施研究性學(xué)習(xí)以來(lái)，全校三個(gè)年級(jí)段學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)小論文在我市每年一次的評(píng)比中第1年、第2年、第3年的獲獎(jiǎng)篇數(shù)分別是52,61,68.為了預(yù)測(cè)以后每年的獲獎(jiǎng)篇數(shù)，甲同學(xué)選擇了模型y＝ax2＋bx＋c，乙同學(xué)選擇了模型y＝pqx＋r，其中y為篇數(shù)，x為年份．a(chǎn)，b，c，p，q，r都是常數(shù)．結(jié)果第4年、第5年、第6年的獲獎(jiǎng)篇數(shù)分別為74、78、83，你認(rèn)為誰(shuí)選擇的模型較好？探究組織學(xué)生讀、議，小組討論分析、解決問(wèn)題．
解：(1)列表
c1c2c3c4c5c6
152
261
368
474
578
683
(2)畫(huà)散點(diǎn)圖
圖3
(3)確定函數(shù)模型
由前三組數(shù)據(jù)，用計(jì)算器確定函數(shù)模型：
甲：y1＝－x2＋12x＋41；
乙：y2＝－52.07×0.778x＋92.5.
(4)作出函數(shù)圖象進(jìn)行比較
計(jì)算x＝6時(shí)，y1＝77，y2＝81.0.
圖4
可見(jiàn)，乙同學(xué)選擇的模型較好.
設(shè)計(jì)意圖
此變式訓(xùn)練是為進(jìn)一步鞏固例1的擬合函數(shù)思想，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)與提高解決問(wèn)題能力．
例2我校不同身高的男、女同學(xué)的體重平均值如下表：
身高/cm150152154156158160162164166168170172
體重/kg42.944.846.548.550.252.354.256.659.161.463.866.2
(1)根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映我校同學(xué)體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系？試寫(xiě)出這個(gè)函數(shù)模型的解析式．
(2)若體重超過(guò)相同身高的同學(xué)體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，下面請(qǐng)各位同學(xué)對(duì)照擬合函數(shù)模型來(lái)測(cè)算自己的體重是否正常？
設(shè)計(jì)意圖
本例題以學(xué)生熟悉的問(wèn)題出發(fā)再創(chuàng)設(shè)情境，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，再次引發(fā)學(xué)生構(gòu)建自身基礎(chǔ)上的“再創(chuàng)造”，并通過(guò)小組合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)．
問(wèn)題(1)的探究：
①通過(guò)學(xué)生自主活動(dòng)分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)本題只給出了通過(guò)測(cè)量得到的數(shù)據(jù)表，要想由這些數(shù)據(jù)直接發(fā)現(xiàn)函數(shù)模型是困難的．
②教師引導(dǎo)學(xué)生將表中的數(shù)據(jù)輸入計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，畫(huà)出它們的散點(diǎn)圖．教師提問(wèn)所作散點(diǎn)圖與已知的哪個(gè)函數(shù)圖象最接近，從而選擇這個(gè)函數(shù)模型．
圖5
由圖可發(fā)現(xiàn)指數(shù)型函數(shù)y＝a×bx的圖象可能與散點(diǎn)圖的吻合較好，可選之．
③教師再問(wèn)：如何確定擬合函數(shù)模型中a，b值．
④教師把學(xué)生每4人分成一小組合作探究，求出擬合函數(shù)模型中a，b的值，然后畫(huà)出圖形，得到的擬合函數(shù)效果如何？
⑤教師下去巡視后，請(qǐng)小組中的1名成員上臺(tái)到實(shí)物投影處講解．
組1：選取(168,61.4)，(172,66.2)兩組數(shù)據(jù)，用計(jì)算器算出a＝2.6，b＝1.019.
這樣得到函數(shù)模型為y＝2.6×1.019x，畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖象與散點(diǎn)圖．
圖6
我們發(fā)現(xiàn)，函數(shù)y＝2.6×1.019x不能很好地反映我校學(xué)生身高與體重關(guān)系．
組2：選取(154,46.5)，(168,61.4)兩組數(shù)據(jù)，用計(jì)算器算出a＝2.2，b＝1.02.
這樣得出函數(shù)模型為y＝2.2×1.02x，畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖象與散點(diǎn)圖．
圖7
我們發(fā)現(xiàn)，散點(diǎn)圖上的點(diǎn)基本上或大多數(shù)接近函數(shù)y＝2.2×1.02x的圖象，所以函數(shù)y＝2.2×1.02x很好地刻畫(huà)了我校學(xué)生身高與體重的關(guān)系．
教師引導(dǎo)學(xué)生回顧問(wèn)題的特點(diǎn)及解決問(wèn)題的過(guò)程與方法．本題需要判斷選擇的函數(shù)模型與問(wèn)題所給數(shù)據(jù)的吻合程度，當(dāng)取表中不同的兩組數(shù)據(jù)時(shí)，得到的函數(shù)解析式可能會(huì)不一樣，需不斷修正．當(dāng)然本題若運(yùn)用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)的擬合功能，那么獲得的函數(shù)模型會(huì)更精確，下課后同學(xué)們自己試一試，并且本例題體現(xiàn)了一個(gè)完整的建立函數(shù)模型進(jìn)而解決問(wèn)題的過(guò)程．
在教師引導(dǎo)下，請(qǐng)一學(xué)生歸納解決問(wèn)題的基本過(guò)程：
設(shè)計(jì)意圖
引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思和總結(jié)，并將之一般化，用流程的形式表達(dá)出來(lái)，培養(yǎng)了學(xué)生的反思能力及總結(jié)提升的能力．
問(wèn)題(2)探究：
由于是研究學(xué)生自身的體重問(wèn)題，因而學(xué)生的興趣很高，每人很快都編好了自己的問(wèn)題，解答起來(lái)．如一男生身高175cm，體重80kg，他的計(jì)算如下：
將x＝175代入y＝2.2×1.02x，得y＝2.2×1.02175≈70.4.
由于80÷70.4≈1.136＜1.2.
所以，該男生體重正常．
設(shè)計(jì)意圖
采用師生平等對(duì)話交流，學(xué)生單獨(dú)完成的模式．因?yàn)楸绢}是測(cè)算自己本身體重的問(wèn)題，所以學(xué)生興趣很高．本題問(wèn)題難度不大，但意義重大，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的重要素材，即用擬合函數(shù)來(lái)預(yù)測(cè)自己關(guān)心的日常生活問(wèn)題，學(xué)生體驗(yàn)過(guò)程方式教學(xué)，體現(xiàn)了新課程的理念．
三、練習(xí)反饋
教材本節(jié)練習(xí)1.
學(xué)生完成后在小組中互相批改、交流．
設(shè)計(jì)意圖
本環(huán)節(jié)以個(gè)別指導(dǎo)為主，體現(xiàn)面對(duì)全體學(xué)生的理念，使學(xué)生及時(shí)鞏固所學(xué)知識(shí)、方法，以達(dá)到教學(xué)目標(biāo)．
四、小結(jié)反思
以小組中1人總結(jié)，3人傾聽(tīng)的方式，對(duì)本課內(nèi)容進(jìn)行自主小結(jié)，教師歸納強(qiáng)調(diào)建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程．
設(shè)計(jì)意圖
提高學(xué)習(xí)主動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生表達(dá)、交流的數(shù)學(xué)能力，自主小結(jié)的形式是將課堂還給學(xué)生，是對(duì)所學(xué)內(nèi)容的回顧與梳理．
五、課外作業(yè)
教材習(xí)題3.2A組1題，B組1題．
六、課外實(shí)踐
通過(guò)擬合函數(shù)模型看溫州經(jīng)濟(jì)發(fā)展．
上網(wǎng)收集1995～2005年溫州的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值、財(cái)政收支、對(duì)外經(jīng)濟(jì)三項(xiàng)數(shù)據(jù)，建立適當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)模型，畫(huà)出擬合函數(shù)模型的圖象，并通過(guò)擬合函數(shù)圖象來(lái)預(yù)測(cè)溫州在2010年的經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r．
設(shè)計(jì)意圖
課外作業(yè)為鞏固作業(yè)，課外實(shí)踐為拓展作業(yè)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、提高解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的探究和再創(chuàng)造能力．
教學(xué)流程
創(chuàng)設(shè)情境——實(shí)際問(wèn)題引入，激發(fā)學(xué)生興趣．
↓
組織探究——畫(huà)出散點(diǎn)圖，建立模型，體會(huì)不同函數(shù)模型擬合的準(zhǔn)確程度．
↓
探索研究——由數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖，建立擬合函數(shù)模型，嘗試選擇不同的函數(shù)擬合數(shù)據(jù)并不斷修正．
↓
鞏固反思——師生交流共同小結(jié)，歸納建立擬合函數(shù)模型應(yīng)用題的求解方法與步驟．
↓
作業(yè)回饋——強(qiáng)化基本方法及過(guò)程，規(guī)范基本格式．
↓
課外實(shí)踐——收集生活中的具體實(shí)際問(wèn)題，運(yùn)用擬合函數(shù)思想來(lái)解決，培養(yǎng)問(wèn)題意識(shí)及提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力．
知識(shí)結(jié)構(gòu)
問(wèn)題探討
(1)第三章的3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例是否可以設(shè)置為3課時(shí)，給定的函數(shù)模型、建立確定性函數(shù)模型、建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題各設(shè)置1課時(shí)，這樣可以讓學(xué)生感受到函數(shù)的廣泛應(yīng)用，真實(shí)體驗(yàn)到數(shù)學(xué)是有用的；體現(xiàn)新課程的問(wèn)題性，應(yīng)用性特點(diǎn)；培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，更加拓展學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)的空間，發(fā)展學(xué)生“做數(shù)學(xué)”“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)．
(2)在函數(shù)模型的應(yīng)用中，建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題是實(shí)際應(yīng)用最廣泛、學(xué)生最陌生、也是難度最大的，尤其是如何建立適當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．建議在教材中是否可安排更多的建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的例題，加深學(xué)生對(duì)如何建立適當(dāng)擬合函數(shù)模型的理解．并在練習(xí)中多安排滲透擬合函數(shù)思想的思考題．

高一數(shù)學(xué)教案：《函數(shù)模型的應(yīng)用舉例》教學(xué)設(shè)計(jì)

高一數(shù)學(xué)教案：《函數(shù)模型的應(yīng)用舉例》教學(xué)設(shè)計(jì)

項(xiàng)目

內(nèi)容

課題

函數(shù)模型的應(yīng)用舉例

（共2課時(shí)）

修改與創(chuàng)新

教學(xué)

目標(biāo)

1.培養(yǎng)學(xué)生由實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的建模能力，即根據(jù)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行信息綜合列出函數(shù)解析式.

2.會(huì)利用函數(shù)圖象性質(zhì)對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行處理得出數(shù)學(xué)結(jié)論，并根據(jù)數(shù)學(xué)結(jié)論解決實(shí)際問(wèn)題.

3.通過(guò)學(xué)習(xí)函數(shù)基本模型的應(yīng)用，體會(huì)實(shí)踐與理論的關(guān)系，初步向?qū)W生滲透理論與實(shí)踐的辯證關(guān)系.

教學(xué)重、

難點(diǎn)

根據(jù)實(shí)際問(wèn)題分析建立數(shù)學(xué)模型和根據(jù)實(shí)際問(wèn)題擬合判斷數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題.

教學(xué)

準(zhǔn)備

教學(xué)過(guò)程

第1課時(shí)

函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例

導(dǎo)入新課

上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了不同的函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異，這一節(jié)我們進(jìn)一步討論不同函數(shù)模型的應(yīng)用.

提出問(wèn)題

①我市有甲、乙兩家乒乓球俱樂(lè)部，兩家設(shè)備和服務(wù)都很好，但收費(fèi)方式不同.甲家每張球臺(tái)每小時(shí)5元；乙家按月計(jì)費(fèi)，一個(gè)月中30小時(shí)以?xún)?nèi)(含30小時(shí))每張球臺(tái)90元，超過(guò)30小時(shí)的部分每張球臺(tái)每小時(shí)2元.小張準(zhǔn)備下個(gè)月從這兩家中的一家租一張球臺(tái)開(kāi)展活動(dòng)，其活動(dòng)時(shí)間不少于15小時(shí)，也不超過(guò)40小時(shí).

設(shè)在甲家租一張球臺(tái)開(kāi)展活動(dòng)x小時(shí)的收費(fèi)為f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一張球臺(tái)開(kāi)展活動(dòng)x小時(shí)的收費(fèi)為g(x)元(15≤x≤40)，試求f(x)和g(x).

②A、B兩城相距100km，在兩地之間距A城xkm處D地建一核電站給A、B兩城供電，為保證城市安全.核電站距城市距離不得少于10km.已知供電費(fèi)用與供電距離的平方和供電量之積成正比，比例系數(shù)λ=0.25.若A城供電量為20億度/月，B城為10億度/月.

把月供電總費(fèi)用y表示成x的函數(shù)，并求定義域.

③分析以上實(shí)例屬于那種函數(shù)模型.

討論結(jié)果：①f(x)=5x(15≤x≤40).

g(x)=

②y=5x2+(100—x)2(10≤x≤90)；

③分別屬于一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、分段函數(shù)模型.

例1一輛汽車(chē)在某段路程中的行駛速率與時(shí)間的關(guān)系如圖所示.

(1)求圖3-2-2-1中陰影部分的面積，并說(shuō)明所求面積的實(shí)際含義；

(2)假設(shè)這輛汽車(chē)的里程表在汽車(chē)行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km,試建立行駛這段路程時(shí)汽車(chē)?yán)锍瘫碜x數(shù)skm與時(shí)間th的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象.

圖3-2-2-1

活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再回答.教師根據(jù)實(shí)際，可以提示引導(dǎo)：

圖中橫軸表示時(shí)間，縱軸表示速度，面積為路程；由于每個(gè)時(shí)間段速度不斷變化，汽車(chē)?yán)锍瘫碜x數(shù)skm與時(shí)間th的函數(shù)為分段函數(shù).

解：(1)陰影部分的面積為50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.

陰影部分的面積表示汽車(chē)在這5小時(shí)內(nèi)行駛的路程為360km.

(2)根據(jù)圖，有

這個(gè)函數(shù)的圖象如圖3-2-2-2所示.

圖3-2-2-2

變式訓(xùn)練

2007深圳高三模擬，理19電信局為了滿(mǎn)足客戶(hù)不同需要，設(shè)有A、B兩種優(yōu)惠方案，這兩種方案應(yīng)付話費(fèi)(元)與通話時(shí)間(分鐘)之間關(guān)系如下圖(圖3-2-2-3)所示(其中MN∥CD).

(1)分別求出方案A、B應(yīng)付話費(fèi)(元)與通話時(shí)間x(分鐘)的函數(shù)表達(dá)式f(x)和g(x)；

(2)假如你是一位電信局推銷(xiāo)人員，你是如何幫助客戶(hù)選擇A、B兩種優(yōu)惠方案？并說(shuō)明理由.

圖3-2-2-3

解：(1)先列出兩種優(yōu)惠方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式：

(2)當(dāng)f(x)=g(x)時(shí),x-10=50,

∴x=200.∴當(dāng)客戶(hù)通話時(shí)間為200分鐘時(shí)，兩種方案均可;

當(dāng)客戶(hù)通話時(shí)間為0≤x＜200分鐘，g(x)>f(x),故選擇方案A；

當(dāng)客戶(hù)通話時(shí)間為x>200分鐘時(shí)，g(x)點(diǎn)評(píng)：在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中，函數(shù)圖象能夠發(fā)揮很好的作用，因此，我們應(yīng)當(dāng)注意提高讀圖的能力.另外，本例題用到了分段函數(shù)，分段函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的重要模型.

例2人口問(wèn)題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問(wèn)題.認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長(zhǎng)提供依據(jù).早在1798年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯(T.R.Malthus,1766~1834)就提出了自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型：

y=y0ert,

其中t表示經(jīng)過(guò)的時(shí)間，y0表示t=0時(shí)的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長(zhǎng)率.

下表是1950～1959年我國(guó)的人口數(shù)據(jù)資料：

年份

1950

1951

1952

1953

1954

1955

1956

1957

1958

1959

人數(shù)／萬(wàn)人

55196

56300

57482

58796

60266

61456

62828

64563

65994

67207

(1)如果以各年人口增長(zhǎng)率的平均值作為我國(guó)這一時(shí)期的人口增長(zhǎng)率(精確到0.0001),用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立我國(guó)在這一時(shí)期的具體人口增長(zhǎng)模型，并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符；

(2)如果按表的增長(zhǎng)趨勢(shì)，大約在哪一年我國(guó)的人口達(dá)到13億？

解：(1)設(shè)1951～1959年的人口增長(zhǎng)率分別為r1,r2,r3,…,r9.

由55196(1+r1)=56300，

可得1951年的人口增長(zhǎng)率為r1≈0.0200.

同理,可得r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，

r8≈0.0222，r9≈0.0184.

于是，1950～1959年期間，我國(guó)人口的年平均增長(zhǎng)率為

r=(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.

令y0=55196，則我國(guó)在1951～1959年期間的人口增長(zhǎng)模型為

y=55196e0.0221t,t∈N.

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并作出函數(shù)y=55196e0.0221t(t∈N)的圖象(圖3-2-2-4).

圖3-2-2-4

由圖可以看出，所得模型與1950～1959年的實(shí)際人口數(shù)據(jù)基本吻合.

(2)將y=130000代入y=55196e0.0221t,

由計(jì)算器可得t≈38.76.

所以，如果按表的增長(zhǎng)趨勢(shì)，那么大約在1950年后的第39年(即1989年)我國(guó)的人口就已達(dá)到13億.由此可以看到，如果不實(shí)行計(jì)劃生育，而是讓人口自然增長(zhǎng)，今天我國(guó)將面臨難以承受的人口壓力.

變式訓(xùn)練

一種放射性元素,最初的質(zhì)量為500g,按每年10%衰減.

(1)求t年后,這種放射性元素質(zhì)量ω的表達(dá)式;

(2)由求出的函數(shù)表達(dá)式,求這種放射性元素的半衰期(剩留量為原來(lái)的一半所需的時(shí)間叫做半衰期).(精確到0.1.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)

解：(1)最初的質(zhì)量為500g.

經(jīng)過(guò)1年后,ω=500(1－10%)=500×0.91;

經(jīng)過(guò)2年后,ω=500×0.9(1－10%)=500×0.92;

由此推知,t年后,ω=500×0.9t.

(2)解方程500×0.9t=250,則0.9t=0.5,

所以

即這種放射性元素的半衰期約為6.6年.

知能訓(xùn)練

某電器公司生產(chǎn)A型電腦.1993年這種電腦每臺(tái)平均生產(chǎn)成本為5000元,并以純利潤(rùn)20%確定出廠價(jià).從1994年開(kāi)始,公司通過(guò)更新設(shè)備和加強(qiáng)管理,使生產(chǎn)成本逐年降低.到1997年,盡管A型電腦出廠價(jià)僅是1993年出廠價(jià)的80%,但卻實(shí)現(xiàn)了50%純利潤(rùn)的高效益.

(1)求1997年每臺(tái)A型電腦的生產(chǎn)成本;

(2)以1993年的生產(chǎn)成本為基數(shù),求1993年至1997年生產(chǎn)成本平均每年降低的百分?jǐn)?shù).(精確到0.01,以下數(shù)據(jù)可供參考:=2.236,=2.449)

活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再回答.教師根據(jù)實(shí)際，可以提示引導(dǎo).

出廠價(jià)=單位商品的成本+單位商品的利潤(rùn).

解：(1)設(shè)1997年每臺(tái)電腦的生產(chǎn)成本為x元,依題意,得

x(1+50%)=5000×(1+20%)×80%,解得x=3200(元).

(2)設(shè)1993年至1997年間每年平均生產(chǎn)成本降低的百分率為y,則依題意,得5000(1－y)4=3200,

即1997年每臺(tái)電腦的生產(chǎn)成本為3200元,1993年至1997年生產(chǎn)成本平均每年降低11%.

課堂小結(jié)

本節(jié)重點(diǎn)學(xué)習(xí)了函數(shù)模型的實(shí)例應(yīng)用，包括一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、分段函數(shù)模型等；另外還應(yīng)關(guān)注函數(shù)方程不等式之間的相互關(guān)系.

活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再回答.教師提示、點(diǎn)撥，及時(shí)評(píng)價(jià).

引導(dǎo)方法：從基本知識(shí)和基本技能兩方面來(lái)總結(jié).

作業(yè)

課本P107習(xí)題3.2A組5、6.

板書(shū)設(shè)計(jì)

教學(xué)反思

高一數(shù)學(xué)教案：《函數(shù)模型及其應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)（一）

高一數(shù)學(xué)教案：《函數(shù)模型及其應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)（一）

教學(xué)目標(biāo)：

1．能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的情境建立數(shù)學(xué)模型，利用計(jì)算工具，結(jié)合對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究，給出問(wèn)題的解答；

2．通過(guò)實(shí)例，理解一次函數(shù)、二次函數(shù)等常見(jiàn)函數(shù)在解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用；

3．在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地分析問(wèn)題、探索問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

教學(xué)重點(diǎn)：

一次函數(shù)、二次函數(shù)以及指、對(duì)數(shù)函數(shù)等常見(jiàn)函數(shù)的應(yīng)用．

教學(xué)難點(diǎn)：

從生活實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)模型.

教學(xué)過(guò)程：

一、問(wèn)題情境

某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬(wàn)，如果人口的年自然增長(zhǎng)率為1.2﹪，問(wèn):

（1）寫(xiě)出該城市人口數(shù)y(萬(wàn)人)與經(jīng)歷的年數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式;

（2）計(jì)算10年后該城市的人口數(shù)；

（3）計(jì)算大約多少年后，該城市人口將達(dá)到120萬(wàn)?

（4）如果20年后該城市人口數(shù)不超過(guò)120萬(wàn)，年人口自然增長(zhǎng)率應(yīng)該控制在多少？

二、學(xué)生活動(dòng)

回答上述問(wèn)題，并完成下列各題：

1．等腰三角形頂角y(單位：度)與底角x的函數(shù)關(guān)系為?。?/p>

2．某種茶杯，每個(gè)0.5元，把買(mǎi)茶杯的錢(qián)數(shù)y(元)表示為茶杯個(gè)數(shù)x(個(gè))的函數(shù) 　 ，其定義域?yàn)?　 ．

三、數(shù)學(xué)應(yīng)用

例1　某計(jì)算機(jī)集團(tuán)公司生產(chǎn)某種型號(hào)計(jì)算機(jī)的固定成本為200萬(wàn)元，生產(chǎn)每臺(tái)計(jì)算機(jī)的可變成本為3000元，每臺(tái)計(jì)算機(jī)的售價(jià)為5000元，分別寫(xiě)出總成本C(萬(wàn)元)、單位成本P(萬(wàn)元)、銷(xiāo)售收入R(元)以及利潤(rùn)L(萬(wàn)元)關(guān)于總產(chǎn)量x臺(tái)的函數(shù)關(guān)系式．

例2　大氣溫度y(℃)隨著離開(kāi)地面的高度x(km)增大而降低，到上空11 km為止，大約每上升1 km，氣溫降低6℃，而在更高的上空氣溫卻幾乎沒(méi)變(設(shè)地面溫度為22℃)．

求：（1） y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）x＝3.5 km以及x＝12km處的氣溫．

變式：在例2的條件下，某人在爬一座山的過(guò)程中，分別測(cè)得山腳和山頂?shù)臏囟葹?6℃和14.6℃，試求山的高度．

四、建構(gòu)數(shù)學(xué)

利用數(shù)學(xué)某型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般按照以下步驟進(jìn)行：

1．審題：理解問(wèn)題的實(shí)際背景，概括出數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，嘗試將抽象問(wèn)題函數(shù)化；

2．引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)所學(xué)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式，并確定函數(shù)的定義域；

3．用數(shù)學(xué)的方法對(duì)得到的數(shù)學(xué)模型予以解答，求出結(jié)果；

4．將數(shù)學(xué)問(wèn)題的解代入實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行檢驗(yàn)，舍去不合題意的解，并作答.

五、鞏固練習(xí)

1．生產(chǎn)一定數(shù)量的商品時(shí)的全部支出稱(chēng)為生產(chǎn)成本，可表示為商品數(shù)量的函數(shù)，現(xiàn)知道一企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量為x件時(shí)的成本函數(shù)是C(x)＝200＋10x＋0.5x2(元)，若每售出一件這種商品的收入是200元，那么生產(chǎn)并銷(xiāo)售這種商品的數(shù)量是200件時(shí)，該企業(yè)所得的利潤(rùn)可達(dá)到元．

2．有m部同樣的機(jī)器一起工作，需要m小時(shí)完成一項(xiàng)任務(wù)．設(shè)由x部機(jī)

器（x為不大于m的正整數(shù)）完成同一任務(wù)，求所需時(shí)間y(小時(shí))與機(jī)器的

部數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式．

3．A，B兩地相距150千米，某人以60千米/時(shí)的速度開(kāi)車(chē)從A到B，在B地停留1小時(shí)后再以50千米/時(shí)的速度返回A，則汽車(chē)離開(kāi)A地的距離x與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為．

4．某車(chē)站有快、慢兩種車(chē)，始發(fā)站距終點(diǎn)站7.2km，慢車(chē)到達(dá)終點(diǎn)需16min，快車(chē)比慢車(chē)晚發(fā)車(chē)3min，且行駛10min到達(dá)終點(diǎn)站.試分別寫(xiě)出兩車(chē)所行路程關(guān)于慢車(chē)行駛時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式．兩車(chē)在何時(shí)相遇？相遇時(shí)距始發(fā)站多遠(yuǎn)？

5．某產(chǎn)品總成本C(萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(臺(tái))滿(mǎn)足關(guān)系C＝3000＋20x－0.1x2，其中0＜x＜240．若每臺(tái)產(chǎn)品售價(jià)25萬(wàn)元，要使廠家不虧本，則最少應(yīng)生產(chǎn)多少臺(tái)？

六、要點(diǎn)歸納與方法小結(jié)

1．利于函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本方法和步驟；

2．一次函數(shù)、二次函數(shù)等常見(jiàn)函數(shù)的應(yīng)用．

七、作業(yè)

課本P100－練習(xí)1，2，3．