高中圓的方程教案
發(fā)表時間：2020-05-30圓的一般方程。
總課題圓與方程總課時第34課時
分課題圓的一般方程分課時第2課時
教學目標掌握圓的一般方程，會判斷二元二次方程是否是圓的一般方程，能將圓的一般方程轉化為標準方程，從而寫出圓心坐標和圓的半徑．會用代定系數(shù)法求圓的一般方程.
重點難點會判斷二元二次方程是否是圓的一般方程，能將圓的一般方程轉化為標準方程，從而寫出圓心坐標和圓的半徑．會用代定系數(shù)法求圓的一般方程.
引入新課
問題1．已知一個圓的圓心坐標為，半徑為，求圓的標準方程．
問題2．在半徑與圓心不能確定的情況下仍用圓的標準方程來解行不行？
如的頂點坐標，，，求外接圓方程．
這道題怎樣求？有幾種方法？
問題3．要求問題2也就意味著圓的方程還有其它形式？
1．圓的一般方程的推導過程．
2．若方程表示圓的一般方程，有什么要求？
例題剖析
例1已知的頂點坐標，，，求外接圓的方程．
變式訓練：已知的頂點坐標、、，求外接圓的方程．
例2某圓拱梁的示意圖如圖所示，該圓拱的跨度，拱高，每隔
需要一個支柱支撐，求支柱的長（精確到）．
例3已知方程表示一個圓，求的取值范圍．
變式訓練：若方程表示一個圓，且該圓的圓心
位于第一象限，求實數(shù)的取值范圍．
鞏固練習
1．下列方程各表示什么圖形？
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）．
2．如果方程所表示的曲線關于直
線對稱，那么必有（）
A．B．C．D．
3．求經過點，，的圓的方程．
課堂小結
圓的一般方程的推導及其條件；圓標準方程與一般方程的互化；用代定系數(shù)法求圓的一般方程．
課后訓練
一基礎題
1．圓的圓心坐標和半徑分別為．
2．若方程表示的圖形是圓，則的取值范圍是．
3．圓的圓心坐標和半徑分別為．
4．若圓的圓心在直線上，
則、、的關系有．
5．已知圓的圓心是，是坐標原點，則．
6．過點且與已知圓：的圓心相同的圓的方程
是．
7．若圓關于直線對稱，則．
8．過三，，的圓的方程是．
二提高題
9．求過三點，，的圓的方程．
10．求圓關于直線對稱的圓的方程．
三能力題
11．已知點與兩個頂點，的距離之比為，那么點的坐標
滿足什么關系？畫出滿足條件的點所形成的曲線．
相關閱讀
高一數(shù)學圓的一般方程043
4.1.2圓的一般方程
三維目標：
知識與技能：(1)在掌握圓的標準方程的基礎上，理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般方程確定圓的圓心半徑．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件．
(2)能通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標準方程．能用待定系數(shù)法求圓的方程。
(3):培養(yǎng)學生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力。
過程與方法：通過對方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件的探究，培養(yǎng)學生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力。
情感態(tài)度價值觀：滲透數(shù)形結合、化歸與轉化等數(shù)學思想方法，提高學生的整體素質，激勵學生創(chuàng)新，勇于探索。
教學重點：圓的一般方程的代數(shù)特征，一般方程與標準方程間的互化，根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)，D、E、F．
教學難點：對圓的一般方程的認識、掌握和運用
教具：多媒體、實物投影儀
教學過程：
課題引入：
問題：求過三點A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程。
利用圓的標準方程解決此問題顯然有些麻煩，得用直線的知識解決又有其簡單的局限性，那么這個問題有沒有其它的解決方法呢？帶著這個問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式——圓的一般方程。
探索研究：
請同學們寫出圓的標準方程：
(x－a)2＋(y－b)2=r2，圓心(a，b)，半徑r．
把圓的標準方程展開，并整理：
x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．
取得
①
這個方程是圓的方程．
反過來給出一個形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲線一定是圓嗎？
把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得
②(配方過程由學生去完成)這個方程是不是表示圓？
(1)當D2＋E2－4F＞0時，方程②表示（1）當時，表示以（-，-）為圓心,為半徑的圓；
（2）當時，方程只有實數(shù)解，，即只表示一個點（-，-）;
（3）當時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形
綜上所述，方程表示的曲線不一定是圓
只有當時，它表示的曲線才是圓，我們把形如的表示圓的方程稱為圓的一般方程
我們來看圓的一般方程的特點：(啟發(fā)學生歸納)
(1)①x2和y2的系數(shù)相同，不等于0．
②沒有xy這樣的二次項．
(2)圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F，因之只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了．
(3)、與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯。
知識應用與解題研究：
例1：判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請求出圓的圓心及半徑。
學生自己分析探求解決途徑：①、用配方法將其變形化成圓的標準形式。②、運用圓的一般方程的判斷方法求解。但是，要注意對于來說，這里的
.
例2：求過三點A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標。
分析：據(jù)已知條件，很難直接寫出圓的標準方程，而圓的一般方程則需確定三個系數(shù)，而條件恰給出三點坐標，不妨試著先寫出圓的一般方程
解：設所求的圓的方程為：
∵在圓上，所以它們的坐標是方程的解.把它們的坐標代入上面的方程，可以得到關于的三元一次方程組，
即
解此方程組，可得：
∴所求圓的方程為：
；
得圓心坐標為（4，-3）.
或將左邊配方化為圓的標準方程，,從而求出圓的半徑，圓心坐標為(4,-3)
學生討論交流，歸納得出使用待定系數(shù)法的一般步驟：
①、根據(jù)提議，選擇標準方程或一般方程；
②、根據(jù)條件列出關于a、b、r或D、E、F的方程組；
③、解出a、b、r或D、E、F，代入標準方程或一般方程。
例3、已知線段AB的端點B的坐標是（4，3），端點A在圓上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程。
分析：如圖點A運動引起點M運動，而點A在已知圓上運動，點A的坐標滿足方程。建立點M與點A坐標之間的關系，就可以建立點M的坐標滿足的條件，求出點M的軌跡方程。
解：設點M的坐標是（x,y）,點A的坐標是①
上運動，所以點A的坐標滿足方程,即
②
把①代入②，得
課堂練習：課堂練習第1、2、3題
小結：
1．對方程的討論(什么時候可以表示圓)
2．與標準方程的互化
3．用待定系數(shù)法求圓的方程
4．求與圓有關的點的軌跡。
課后作業(yè)：習題4.1第2、3、6題
高一數(shù)學圓的一般方程042
圓的一般方程
三維目標：
知識與技能：(1)在掌握圓的標準方程的基礎上，理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般方程確定圓的圓心半徑．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件．
(2)能通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標準方程．能用待定系數(shù)法求圓的方程。
(3):培養(yǎng)學生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力。
過程與方法：通過對方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件的探究，培養(yǎng)學生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力。
情感態(tài)度價值觀：滲透數(shù)形結合、化歸與轉化等數(shù)學思想方法，提高學生的整體素質，激勵學生創(chuàng)新，勇于探索。
教學重點：圓的一般方程的代數(shù)特征，一般方程與標準方程間的互化，根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)，D、E、F．
教學難點：對圓的一般方程的認識、掌握和運用
教具：多媒體、實物投影儀
教學過程：
課題引入：
問題：求過三點A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程。
利用圓的標準方程解決此問題顯然有些麻煩，得用直線的知識解決又有其簡單的局限性，那么這個問題有沒有其它的解決方法呢？帶著這個問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式——圓的一般方程。
探索研究：
請同學們寫出圓的標準方程：
(x－a)2＋(y－b)2=r2，圓心(a，b)，半徑r．
把圓的標準方程展開，并整理：
x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．
取得
①
這個方程是圓的方程．
反過來給出一個形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲線一定是圓嗎？
把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得
②(配方過程由學生去完成)這個方程是不是表示圓？
(1)當D2＋E2－4F＞0時，方程②表示（1）當時，表示以（-，-）為圓心,為半徑的圓；
（2）當時，方程只有實數(shù)解，，即只表示一個點（-，-）;
（3）當時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形
綜上所述，方程表示的曲線不一定是圓
只有當時，它表示的曲線才是圓，我們把形如的表示圓的方程稱為圓的一般方程
我們來看圓的一般方程的特點：(啟發(fā)學生歸納)
(1)①x2和y2的系數(shù)相同，不等于0．
②沒有xy這樣的二次項．
(2)圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F，因之只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了．
(3)、與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯。
知識應用與解題研究：
例1：判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請求出圓的圓心及半徑。
學生自己分析探求解決途徑：①、用配方法將其變形化成圓的標準形式。②、運用圓的一般方程的判斷方法求解。但是，要注意對于來說，這里的
.
例2：求過三點A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標。
分析：據(jù)已知條件，很難直接寫出圓的標準方程，而圓的一般方程則需確定三個系數(shù)，而條件恰給出三點坐標，不妨試著先寫出圓的一般方程
解：設所求的圓的方程為：
∵在圓上，所以它們的坐標是方程的解.把它們的坐標代入上面的方程，可以得到關于的三元一次方程組，
即
解此方程組，可得：
∴所求圓的方程為：
；
得圓心坐標為（4，-3）.
或將左邊配方化為圓的標準方程，,從而求出圓的半徑，圓心坐標為(4,-3)
學生討論交流，歸納得出使用待定系數(shù)法的一般步驟：
①、根據(jù)提議，選擇標準方程或一般方程；
②、根據(jù)條件列出關于a、b、r或D、E、F的方程組；
③、解出a、b、r或D、E、F，代入標準方程或一般方程。
例3、已知線段AB的端點B的坐標是（4，3），端點A在圓上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程。
分析：如圖點A運動引起點M運動，而點A在已知圓上運動，點A的坐標滿足方程。建立點M與點A坐標之間的關系，就可以建立點M的坐標滿足的條件，求出點M的軌跡方程。
解：設點M的坐標是（x,y）,點A的坐標是①
上運動，所以點A的坐標滿足方程,即
②
把①代入②，得
課堂練習：
小結：
1．對方程的討論(什么時候可以表示圓)
2．與標準方程的互化
3．用待定系數(shù)法求圓的方程
4．求與圓有關的點的軌跡。
課后作業(yè)：
直線的一般式方程
2.1.5直線的一般式方程
一、教學目標
1、知識與技能：（1）明確直線方程一般式的形式特征；（2）會把直線方程的一般式化為斜截式，進而求斜率和截距；（3）會把直線方程的點斜式、兩點式化為一般式。
2、過程與方法：學會用分類討論的思想方法解決問題。
3、情態(tài)與價值觀：（1）認識事物之間的普遍聯(lián)系與相互轉化；（2）用聯(lián)系的觀點看問題。
二、教學重點、難點
1、重點：直線方程的一般式。2、難點：對直線方程一般式的理解與應用。
三、教學方法：探析交流法
四、教學過程
問題設計意圖師生活動
1、（1）平面直角坐標系中的每一條直線都可以用一個關于的二元一次方程表示嗎？
（2）每一個關于的二元一次方程（A，B不同時為0）都表示一條直線嗎？使學生理解直線和二元一次方程的關系。教師引導學生用分類討論的方法思考探究問題（1），即直線存在斜率和直線不存在斜率時求出的直線方程是否都為二元一次方程。對于問題（2），教師引導學生理解要判斷某一個方程是否表示一條直線，只需看這個方程是否可以轉化為直線方程的某種形式。為此要對B分類討論，即當時和當B=0時兩種情形進行變形。然后由學生去變形判斷，得出結論：
關于的二元一次方程，它都表示一條直線。
教師概括指出：由于任何一條直線都可以用一個關于的二元一次方程表示；同時，任何一個關于的二元一次方程都表示一條直線。
我們把關于關于的二元一次方程（A，B不同時為0）叫做直線的一般式方程，簡稱一般式（generalform）.
2、直線方程的一般式與其他幾種形式的直線方程相比，它有什么優(yōu)點？使學生理解直線方程的一般式的與其他形學生通過對比、討論，發(fā)現(xiàn)直線方程的一般式與其他形式的直線方程的一個不同點是：
問題設計意圖師生活動
式的不同點。直線的一般式方程能夠表示平面上的所有直線，而點斜式、斜截式、兩點式方程，都不能表示與軸垂直的直線。
3、在方程中，A，B，C為何值時，方程表示的直線
（1）平行于軸；（2）平行于軸；（3）與軸重合；（4）與重合。
使學生理解二元一次方程的系數(shù)和常數(shù)項對直線的位置的影響。教師引導學生回顧前面所學過的與軸平行和重合、與軸平行和重合的直線方程的形式。然后由學生自主探索得到問題的答案。
4、例5的教學
已知直線經過點A（6，-4），斜率為，求直線的點斜式和一般式方程。使學生體會把直線方程的點斜式轉化為一般式，把握直線方程一般式的特點。學生獨立完成。然后教師檢查、評價、反饋。指出：對于直線方程的一般式，一般作如下約定：一般按含項、含項、常數(shù)項順序排列；項的系數(shù)為正；，的系數(shù)和常數(shù)項一般不出現(xiàn)分數(shù)；無特加要時，求直線方程的結果寫成一般式。
5、例6的教學
把直線的一般式方程化成斜截式，求出直線的斜率以及它在軸與軸上的截距，并畫出圖形。
使學生體會直線方程的一般式化為斜截式，和已知直線方程的一般式求直線的斜率和截距的方法。先由學生思考解答，并讓一個學生上黑板板書。然后教師引導學生歸納出由直線方程的一般式，求直線的斜率和截距的方法：把一般式轉化為斜截式可求出直線的斜率的和直線在軸上的截距。求直線與軸的截距，即求直線與軸交點的橫坐標，為此可在方程中令=0，解出值，即為與直線與軸的截距。
在直角坐標系中畫直線時，通常找出直線下兩個坐標軸的交點。
6、二元一次方程的每一個解與坐標平面中點的有什么關系？直線與二元一次方程的解之間有什么關系？使學生進一步理解二元一次方程與直線的關系，體會直解坐標系把直線與方程聯(lián)系起來。學生閱讀教材第105頁，從中獲得對問題的理解。
7、課堂練習
第105練習第2題和第3（2）鞏固所學知識和方法。學生獨立完成，教師檢查、評價。
問題設計意圖師生活動
8、小結使學生對直線方程的理解有一個整體的認識。（1）請學生寫出直線方程常見的幾種形式，并說明它們之間的關系。
（2）比較各種直線方程的形式特點和適用范圍。
（3）求直線方程應具有多少個條件？
（4）學習本節(jié)用到了哪些數(shù)學思想方法？
9、布置作業(yè)
第106頁習題3.2第10題和第11題。鞏固課堂上所學的知識和方法。學生課后獨立思考完成。
四、教后反思：
數(shù)列的一般概念
作為優(yōu)秀的教學工作者，在教學時能夠胸有成竹，準備好一份優(yōu)秀的教案往往是必不可少的。教案可以讓學生更容易聽懂所講的內容，幫助教師營造一個良好的教學氛圍。寫好一份優(yōu)質的教案要怎么做呢？下面是小編為大家整理的“數(shù)列的一般概念”，歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！
3.1數(shù)列的一般概念（第一課時）
教學目的：
⒈理解數(shù)列及其有關概念，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關系.
⒉了解數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任意一項
⒊對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項寫出它的個通項公式
教學重點：數(shù)列及其有關概念，通項公式及其應用，前n項和與an的關系
教學難點：根據(jù)一些數(shù)列的前幾項抽象、歸納數(shù)列的通項公式
教學過程：
一、復習引入：（課件第1頁）
觀察這些例子，看它們有何共同特點？（啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)數(shù)列定義）
上述例子的共同特點是：⑴均是一列數(shù)；⑵有一定次序.
從而引出數(shù)列及有關定義
二、講解新課：數(shù)列的相關概念（課件第2頁）
例如，上述例子均是數(shù)列，其中①中，“1”是這個數(shù)列的第1項（或首項），“”是這個數(shù)列中的第4項.
結合上述例子，幫助學生理解數(shù)列及項的定義.②中，這是一個數(shù)列，它的首項是“1”，3是這個數(shù)列的第“3”項，等等。
下面我們再來看這些數(shù)列的每一項與這一項的序號是否有一定的對應關系？這一關系可否用一個公式表示？（引導學生進一步理解數(shù)列與項的定義，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項公式）對于上面的數(shù)列○5，第一項與這一項的序號有這樣的對應關系：
序號12345
↓↓↓↓↓
項
這個數(shù)的第一項與這一項的序號可用一個公式：來表示其對應關系
即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出該數(shù)列相應的各項
結合上述其他例子，練習找其對應關系
如：數(shù)列①：；
注意：⑴并不是所有數(shù)列都能寫出其通項公式，如上述數(shù)列○3；
⑵一個數(shù)列的通項公式有時是不唯一的，如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，…它的通項公式可以是，也可以是.
⑶數(shù)列通項公式的作用：①求數(shù)列中任意一項；②檢驗某數(shù)是否是該數(shù)列中的一項.
（課件第3頁）
數(shù)列的通項公式就是相應函數(shù)的解析式.
例題：
四、課堂練習：五、課后作業(yè)：（課件第5頁）
