小學衛(wèi)生與健康教案

根與系數(shù)關系。

每個老師需要在上課前弄好自己的教案課件，大家在用心的考慮自己的教案課件。教案課件工作計劃寫好了之后，這樣接下來工作才會更上一層樓！有沒有好的范文是適合教案課件？小編特地為大家精心收集和整理了“根與系數(shù)關系”，僅供您在工作和學習中參考。

作課類別課題22.2.4一元二次方程的根與系數(shù)關系課型新授
教學媒體多媒體
教學目標知識
技能1.熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)關系.
2.靈活運用一元二次方程的根與系數(shù)關系解決實際問題.
3.提高學生綜合運用基礎知識分析解決較復雜問題的能力.
過程
方法學生經(jīng)歷探索，嘗試發(fā)現(xiàn)韋達定理，感受不完全歸納驗證以及演繹證明.
情感
態(tài)度培養(yǎng)學生觀察，分析和綜合，判斷的能力，激發(fā)學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性，激勵學生勇于探索的精神.
教學重點一元二次方程的根與系數(shù)關系
教學難點對根與系數(shù)關系的理解和推導
教學過程設計
教學程序及教學內容師生行為設計意圖
一、復習引入
導語：一元二次方程的根與系數(shù)有著密切的關系，早在16世紀法國的杰出數(shù)學家韋達發(fā)現(xiàn)了這一關系，你能發(fā)現(xiàn)嗎？
二、探究新知
1.課本思考
分析：將（x-x1）（x-x2）=0化為一般形式x2-(x1+x2)x+x1x2=0與x2+px+q=0對比,易知p=-(x1+x2)，q=x1x2.即二次項系數(shù)是1的一元二次方程如果有實數(shù)根，則一次項系數(shù)等于兩根和的相反數(shù)，常數(shù)項等于兩根之積.
2.跟蹤練習
求下列方程的兩根x1、x2.的和與積.
x2+3x+2=0；x2+2x-3=0;x2-6x+5=0;x2-6x-15=0
3.方程2x2-3x+1=0的兩根的和、積與系數(shù)之間有類似的關系嗎？
分析：這個方程的二次項系數(shù)等于2，與上面情形有所不同，求出方程兩根，再通過計算兩根的和、積，檢驗上面的結論是否成立，若不成立，新的結論是什么？
4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的兩根的和、積與系數(shù)之間有第3題中的關系嗎？
分析：利用求根公式，求出方程兩根，再通過計算兩根的和、積，得到方程的兩個根x1、x2和系數(shù)a，b，c的關系，即韋達定理，也就是任何一個一元二次方程的根與系數(shù)的關系為：兩根的和等于一次項系數(shù)與二次項系數(shù)的比的相反數(shù)，兩根之積等于常數(shù)項與二次項系數(shù)的比.求根公式是在一般形式下推導得到，根與系數(shù)的關系由求根公式得到，因此，任何一個一元二次方程化為一般形式后根與系數(shù)之間都有這一關系.
5.跟蹤練習
求下列方程的兩根x1、x2.的和與積.
○13x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0;3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0；
○25x-1=4x2；5x2-1=4x2+x
6.拓展練習
○1已知一元二次方程2x2+bx+c=0的兩個根是-1，3，則b=,c=.
○2已知關于x的方程x2+kx-2=0的一個根是1，則另一個根是,k的值是.
○3若關于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩個根互為相反數(shù)，則p=;若兩個根互為倒數(shù)，則q=.
分析：方程中含有一個字母系數(shù)時利用方程一根的值可求得另一根和這個字母系數(shù)；方程中含有兩個字母系數(shù)時利用方程的兩根的值可求得這兩個字母系數(shù).二次項系數(shù)是1時，若方程的兩根互為相反數(shù)或互為倒數(shù)，利用根與系數(shù)的關系可求得方程的一次項系數(shù)和常數(shù)項.
○4兩個根均為負數(shù)的一元二次方程是()
A.4x2+21x+5=0B.6x2-13x-5=0C.7x2-12x+5=0D.2x2+15x-8=0
○5.兩根異號，且正根的絕對值較大的方程是（）
A.4x2-3=0B.-3x2+5x-4=0C.0.5x2-4x-3=0D.2x2+x-=0
○6.若關于x的一元二次方程2x2-3x+m=0,當m時方程有兩個正根；當m時方程有兩個負根；當m時方程有一個正根一個負根，且正根的絕對值較大.
分析：根據(jù)方程的根的正負情況，結合根與系數(shù)關系，確定方程各項系數(shù)的符號，○6中還需考慮m的值還得受根的判別式的限制.
三、課堂訓練
1.完成課本練習
2.補充練習：
x1，x2是方程3x2-2x-4=0的兩根，利用根與系數(shù)的關系求下列各式的值：○1；○2○3；○4；○5
四、小結歸納
本節(jié)課應掌握：
1.韋達定理二次項系數(shù)不是1的方程根與系數(shù)的關系
2.運用韋達定理時，注意隱含條件：二次項系數(shù)不為0，△≥0；
3.韋達定理的應用常見題型：
○1不解方程，判斷兩個數(shù)數(shù)否是某一個一元二次方程的兩根；
○2已知方程和方程的一根，求另一個根和字母系數(shù)的值；
○3由給出的兩根滿足的條件，確定字母系數(shù)的值；
○4判斷兩個根的符號；
○5不解方程求含有方程的兩根的式子的值.
五、作業(yè)設計
復習鞏固作業(yè)和綜合運用為全體學生必做；拓廣探索為成績中上等學生必做；學有余力的學生，要求模仿編擬課堂上出現(xiàn)的一些補充題目進行重復練習.
補充作業(yè)：
已知一元二次方程x2+3x+1=0的兩個根是，
求的值.

教師出示問題，引出課題學生初步了解本課所要研究的問題jAb88.COm

學生通過去括號、合并得到一般形式的一元二次方程，教師適時點撥，分析總結得到結論.
學生獨自完成
鞏固上訴知識
教師出示探究問題，學生通過特殊例子入手，再通過一般形式推導證明，教師引導學生根據(jù)求根公式進行探究、交流，嘗試發(fā)現(xiàn)結論

學生獨立解決，并交流

先觀察，嘗試選用合適方法解題，之后交流，比較解法
學生嘗試歸納，師生總結

學生獨立完成，教師巡回檢查，師生集體訂正
學生歸納，總結闡述，體會，反思.并做出筆記.
創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學生好奇心，求知欲

通過思考問題，讓學生知道二次項系數(shù)為1的一元二次方程的根與系數(shù)關系，為后面繼續(xù)研究做鋪墊

讓學生通過探究問題，體會從特殊到一般的認知過程，體會數(shù)學結論的確定性

加深對韋達定理的理解，培養(yǎng)學生的應用意識和能力

通過學生親自解題的感受與經(jīng)驗，感受數(shù)學的嚴謹性和數(shù)學結論的確定性.

進一步加強對所學知識的理解和掌握

通過歸納，進一步理解韋達定理及其應用

加強教學反思，幫助學生養(yǎng)成系統(tǒng)整理知識的學習習慣，加深認識，深化提高，形成學生自己的知識體系.
板書設計
課題

二次項系數(shù)是1的方程根與系數(shù)的關系二次項系數(shù)不是1的方程根與系數(shù)的關系練習

歸納
教學反思

精選閱讀

一元二次方程的根與系數(shù)的關系

19.4一元二次方程的根與系數(shù)的關系
1.設是方程的兩根，不解方程，求下列各式的值：
①；②；③；④.

2.求作一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程的兩根的平方.
3.已知一元二次方程的兩根分別是，求的值.

4．已知方程的兩根之比為，求的值。

5.已知關于x的方程，根據(jù)下列條件，分別求出m的值：①兩根互為相反數(shù)；②兩根互為倒數(shù)；③有一根為零；④有一根為1.

6.已知是關于x的方程的兩個實根，且，求m的值.

7.已知是關于x的方程的兩個實根，k取什么值時，.

8.當k為何值時，一元二次方程的兩實根的絕對值相等，求出與k值相應的實數(shù)根.

9.已知關于x的方程有兩個正實根，求k的取值范圍.

10．若矩形的長和寬是方程的兩根，求矩形的周長和面積。

11．若方程的兩根的絕對值相等，求的值及這個方程的根。

12．已知方程
（1）求證方程必有相異實根
（2）取何值時，方程有兩個正根
（3）取何值時，兩根相異，并且負根的絕對值較大？
（4）取何值時，方程有一根為零？

參考答案
1.①；②；③；④；
2.；
3.或；
4．;
5.①；②；③；④1或3；
6.；
7.－3；
8.時，時，時，；
9.（提示：需，兩根和大于0，兩根積也大于0）.
10．周長，面積6.
11．，
12．（1）（2）（3）（4）

2.4一元二次方程根與系數(shù)的關系教案新版湘教版

2.4一元二次方程根與系數(shù)的關系
課題*2.4一元二次方程根與系數(shù)的關系授課人
教
學
目
標知識技能掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關系并會初步應用．
數(shù)學思考通過根與系數(shù)的教學，進一步培養(yǎng)學生分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力．
問題解決根據(jù)根與系數(shù)的關系確定兩根之和與兩根之積，并能根據(jù)這一關系解決簡單的數(shù)學問題．
情感態(tài)度通過情景教學過程，激發(fā)學生的求知欲，培養(yǎng)學生積極學習數(shù)學的態(tài)度，體驗數(shù)學活動中充滿著探索與創(chuàng)造，體驗數(shù)學活動中的成功感．
教學重點
根與系數(shù)的關系及其推導過程.
教學難點
根與系數(shù)的關系的推導過程及其應用．

授課類型新授課課時
教具多媒體

教學活動
教學步驟師生活動設計意圖
回顧提出問題：
(多媒體展示問題)
1．一元二次方程的一般形式是什么？
2．一元二次方程有實數(shù)根的條件是什么？
3．當Δ0，Δ＝0，Δ0時，一元二次方程的根的情況如何？
4．一元二次方程的求根公式是什么？通過對一元二次方程相關知識的復習鞏固舊知識，并為后面的學習做鋪墊.
活動
一：
創(chuàng)設
情境
導入
新課【課堂引入】
(多媒體展示)
問題：解下表中的方程，并完成填空：
方程x1x2x1＋x2x1·x2
x2－2x－3＝0
x2－3x＋2＝0
x2＋5x＋6＝0
師生活動：學生自主選擇適當?shù)姆椒ń夥匠蹋⑼瓿商羁眨缓蠼涣鞔鸢?
問題：觀察、思考方程的兩根之和與兩根之積與系數(shù)有何關系？你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
學生通過計算、觀察、分析，發(fā)現(xiàn)方程中根與系數(shù)的關系，發(fā)展學生的感性認識，體會由特殊到一般的認識過程.
活動
二：
實踐
探究
交流新知1.填寫上表后思考：
(1)兩根之和、兩根之積與系數(shù)有何關系？
(2)你能運用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題嗎？
已知方程2x2－3x－2＝0的兩根是x1和x2，則x1＋x2＝________，x1·x2＝________.
(3)如何證明以上發(fā)現(xiàn)的規(guī)律呢？
2.教師與學生共同整理證明過程.
證明：當Δ0時，由求根公式得
x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a，
所以x1＋x2＝－b＋b2－4ac2a＋－b－b2－4ac2a＝－2b2a＝－ba；
x1x2＝－b＋b2－4ac2a×－b－b2－4ac2a＝4ac4a2＝ca.
當Δ＝0時，x1＝x2＝－b2a，
所以x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.

歸納：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個根為x1和x2，則x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.
1.進一步分析、驗證所發(fā)現(xiàn)的根與系數(shù)的關系，為從感性認識到理性認識打好基礎.
2.通過設置問題(2)使學生明確利用一元二次方程根與系數(shù)的關系進行計算需要滿足Δ≥0.
3.探究根與系數(shù)關系的結論，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)膶W習態(tài)度.
活動
三：
開放
訓練
體現(xiàn)
應用【應用舉例】
例1(多媒體展示)根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，求下列方程的兩個根x1和x2的和與積．
(1)x2－6x－15＝0；(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.
師生活動：學生自主進行解答，教師做好評價和總結．
注意：把一元二次方程整理為一般形式，確定a，b，c的值，然后利用根與系數(shù)的關系代入求值．
變式一[昆明中考]已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的兩個實數(shù)根，則x1x2等于()
A．－4B．－1C．1D．4
變式二若x1，x2為方程x2－2x－1＝0的兩根，求x1＋x2－x1x2的值.設置問題，針對本課時的重點所學進行及時鞏固，培養(yǎng)學生的計算能力和記憶公式的能力．

【拓展提升】
例2解答下列問題：
(1)已知方程x2－3x＋c＝0的一個根為2，求另一個根和c的值．
(2)關于x的方程2x2＋5x＋m－1＝0的兩根互為倒數(shù)，求m的值．
例3若一元二次方程x2－x－1＝0的兩根分別為x1，x2，求1x1＋1x2的值．
師生活動：教師引導學生進行交流、討論，確定解決問題的方法，并適時點撥，提示能否用多種方法進行解答．
拓展提升是根與系數(shù)關系的綜合應用，利于提高學生思考的廣度和深度，能夠給予學生必要的知識補充.
活動
四：
課堂
總結
反思【達標測評】
1．兩根均為負數(shù)的一元二次方程是()
A．7x2－12x＋5＝0B．6x2－13x－5＝0
C．4x2＋21x＋5＝0D．x2＋15x－8＝0
2．已知方程x2＋ax＋b＝0的兩個根分別為2和3，則a＝________，b＝________．
3．已知方程x2－2x－c＝0的一個根是3，求方程的另一根及c的值．
4．已知方程2x2－4x－5＝0的兩個根分別為x1和x2，求下列式子的值．
(1)(x1＋2)(x2＋2)；(2)x21x2＋x1x22.
學生進行當堂檢測，完成后，教師進行批閱、點評、講解．

通過設置達標測評，進一步鞏固所學新知識，同時檢測學習效果，做到“堂堂清”.
【當堂訓練】
1．(1)本節(jié)課主要學習了哪些知識？學習了哪些數(shù)學思想和方法？
(2)本節(jié)課還有哪些疑惑？說一說！
2．布置作業(yè)：
教材P48習題2.4中的T1，T2，T3.指導學生養(yǎng)成系統(tǒng)整理知識的好習慣，加強教學反思，進一步提高教學效果.
【知識網(wǎng)絡】
提綱挈領，重點突出.
【教學反思】
①[授課流程反思]
在新知探究環(huán)節(jié)中，關于兩根之和與兩根之積的計算看似復雜，教師進行板演后，能夠使學生清晰認識到結論的來由，能夠順利地進行應用．課堂訓練中，學生運用新知識解答問題不甚靈活，教師的必要引導起了關鍵作用．
②[講授效果反思]
重點應用過程中，注意到：(1)運用根與系數(shù)的關系前首先要保證方程有實數(shù)根；(2)運用根與系數(shù)的關系解答問題能方便運算．
③[師生互動反思]
從教學過程來看，學生能夠在教師的引導下進行探索和交流，并能夠運用知識解答問題，應增加其興趣和思維敏捷性的訓練．
④[習題反思]
好題題號_______________________________________
錯題題號_______________________________________反思，更進一步提升.

一元二次方程根與系數(shù)的關系（1）導學案（新版新人教版）

做好教案課件是老師上好課的前提，是時候寫教案課件了。我們制定教案課件工作計劃，才能更好地安排接下來的工作！有沒有好的范文是適合教案課件？下面是由小編為大家整理的“一元二次方程根與系數(shù)的關系（1）導學案（新版新人教版）”，歡迎您參考，希望對您有所助益！

第6課時一元二次方程根與系數(shù)的關系（1）教版
一、學習目標掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系；
能運用一元二次方程根與系數(shù)的關系由已知一元二次方程的一個根求出另一個根與未知系數(shù)；
會求一元二次方程兩根的倒數(shù)和與平方數(shù)、兩根之差．
二、知識回顧1．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為（）．
2．解一元二次方程的方法有直接開方法、配方法、公式法、因式分解法．
3．一元二次方程根的情況與判別式的關系：
（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）方程有兩個相等的實數(shù)根；
（3）方程沒有實數(shù)根．
三、新知講解一元二次方程的根與系數(shù)的關系（韋達定理）
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個實數(shù)根x1，x2，那么，．此定理又叫做韋達定理．
在使用根與系數(shù)的關系時，應注意：
不是一般式的要先化成一般式；
在使用時，注意“-”不要漏寫；
能用韋達定理的前提條件是.
一元二次方程根的分布
對于一元二次方程根的分布的討論，通常有以下幾種情況：
有兩個正根的條件：
（當a0時，簡化為）；
有兩個負根的條件：
（當a0時，簡化為）；
兩根異號的條件：
（當a0時，簡化為c0）；
兩根異號，且正根絕對值大的條件：
（當a0時，簡化為）；
兩根異號，且負根絕對值大的條件：
（當a0時，簡化為）．
四、典例探究

1．不解方程求兩個根之和與積
【例1】不解方程，求方程3x2+2=1﹣4x兩根的和與積．

總結：在使用根與系數(shù)的關系時，應注意：
不是一般式的要先化成一般式；
前提條件是；
在使用時，注意“-”不要漏掉．
練1．（2014碑林區(qū)校級模擬）方程2x2﹣6x﹣5=0的兩根為x1與x2，則x1+x2和x1x2的值分別是（）
A．﹣3和﹣B．﹣3和C．3和D．3和
2．已知一元二次方程的兩根求系數(shù)
【例2】（2014春富陽市校級期末）關于x的方程x2﹣px+q=0的兩個根是0和﹣3，求p和q的值．

總結：對于含有字母系數(shù)的一元二次方程，已知兩根的值求字母系數(shù)的值，通常根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系求解，并用根的判別式進行檢驗．此方法要比直接將根代入求系數(shù)方便快捷得多．
練2．（2015棗莊）已知關于x的一元二次方程x2+mx+n=0的兩個實數(shù)根分別為x1=﹣2，x2=4，則m+n的值是（）
A．﹣10B．10C．﹣6D．2

3．已知一元二次方程的一個根求另一個根
【例3】（2015北塘區(qū)二模）已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一個根為2，則另一根為．
總結：已知含字母系數(shù)的一元二次方程的一根求另一根，一般有兩種方法：
把已知根代入方程，求得字母的值，解一元二次方程求出另一根；
（2）根據(jù)方程系數(shù)中的已知數(shù)，利用根與系數(shù)的關系，選用兩根之和或兩根之積，直接求另一根．
練3．（2014秋秭歸縣校級期中）已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x﹣c=0的一個根，求另一個根及c的值．

4．根據(jù)一元二次方程的系數(shù)判斷兩根的正負
【例4】（2008南匯區(qū)二模）方程2x2+3x﹣5=0的兩根的符號（）
A．同號B．異號C．兩根都為正D．兩根都為負
總結：
不解方程判別根的符號，需要把“根的判別式”和“根與系數(shù)的關系”結合起來進行確定；
首先計算判別式，看是大于0還是等于0，如果是等于0，則兩根相等，同號；
如果判別式大于0，則計算的值，如果，可判斷方程的根為一正一負；如果，再計算的值，若為正，則兩根同為正，若為負，則兩根同為負．
練4．（2014秋夷陵區(qū)校級月考）方程ax2+bx﹣c=0（a＞0、b＞0、c＞0）的兩個根的符號為（）
A．同號B．異號C．兩根都為正D．不能確定
五、課后小測一、選擇題
1．（2015溧水縣一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的兩個實數(shù)根分別為x1、x2，則x1+x2的值為（）
A．B．﹣C．﹣D．
2．（2015金華）一元二次方程x2+4x﹣3=0的兩根為x1、x2，則x1x2的值是（）
A．4B．﹣4C．3D．﹣3
3．（2014浠水縣校級模擬）已知x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的兩根，則（）
A．x1+x2=﹣3，x1x2=﹣1B．x1+x2=﹣3，x1x2=1
C．x1+x2=3，x1x2=﹣1D．x1+x2=3，x1x2=1
4．（2015衡陽）若關于x的方程x2+3x+a=0有一個根為﹣1，則另一個根為（）
A．﹣2B．2C．4D．﹣3
5．（2015廣西）已知實數(shù)x1，x2滿足x1+x2=7，x1x2=12，則以x1，x2為根的一元二次方程是（）
A．x2﹣7x+12=0B．x2+7x+12=0C．x2+7x﹣12=0D．x2﹣7x﹣12=0
6．（2015平南縣一模）一元二次方程x2+px=2的兩根為x1，x2，且x1=﹣2x2，則p的值為（）
A．2B．1C．1或﹣1D．﹣1
7．（2015東西湖區(qū)校級模擬）已知x=2是方程x2﹣6x+m=0的根，則該方程的另一根為（）
A．2B．3C．4D．8
8．關于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列敘述正確的是（）
A．無解B．有兩正根
C．有兩負根D．有一正根及一負根
二、填空題
9．（2015濱湖區(qū)一模）已知方程x2﹣5x+2=0的兩個解分別為x1、x2，則x1+x2的值為．
10．（2015南京）已知方程x2+mx+3=0的一個根是1，則它的另一個根是，m的值是．
11．（2015春遂寧校級期中）已知關于x的方程x2﹣4x+2=0的兩個根是m和n，則mn=，m+n=．
三、解答題
12．（2015東莞模擬）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的兩個根x1、x2；求證：x1+x2=﹣p，x1x2=q．

13．（2014秋番禺區(qū)校級月考）已知方程x2﹣kx﹣6=0的一個根是2，求它的另一個根及k的值．

14．（2013防城港）已知關于x的方程x2+x+n=0有兩個實數(shù)根﹣2，m．求m，n的值．

典例探究答案：
【例1】不解方程，求方程3x2+2=1﹣4x兩個根的和與積．
分析：先把方程化為一般式，然后根據(jù)根與系數(shù)的關系求解．
解答：解：設x1，x2是方程的兩實數(shù)根，
方程化為一般式為3x2+4x+1=0，
根據(jù)題意得，x1+x2=﹣，x1x2=．
點評：本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=，x1x2=．
練1．（2014碑林區(qū)校級模擬）方程2x2﹣6x﹣5=0的兩根為x1與x2，則x1+x2和x1x2的值分別是（）
A．﹣3和﹣B．﹣3和C．3和D．3和
分析：根據(jù)根與系數(shù)關系，已知方程2x2﹣6x﹣5=0的兩根為x1與x2．x1+x2=；x1x2=即可．
解答：解：已知方程為2x2﹣6x﹣5=0的兩根為x1與x2，
根據(jù)根與系數(shù)的關系：x1+x2==3；x1x2==．
故選D．
點評：本題主要考查根與系數(shù)關系，已知系數(shù)確定根的相關問題，屬于基礎題，關鍵熟練掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根時，x1+x2=﹣p，x1x2=q．
【例2】（2014春富陽市校級期末）關于x的方程x2﹣px+q=0的兩個根是0和﹣3，求p和q的值．
分析：根據(jù)根與系數(shù)的關系得到0﹣3=p，0×（﹣3）=q，然后解兩個方程即可．
解答：解：根據(jù)題意得0﹣3=p，0×（﹣3）=q，
所以p=﹣3，q=0．
點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關系．
練2．（2015棗莊）已知關于x的一元二次方程x2+mx+n=0的兩個實數(shù)根分別為x1=﹣2，x2=4，則m+n的值是（）
A．﹣10B．10C．﹣6D．2
分析：根據(jù)根與系數(shù)的關系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可．
解答：解：∵關于x的一元二次方程x2+mx+n=0的兩個實數(shù)根分別為x1=﹣2，x2=4，
∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，
解得：m=﹣2，n=﹣8，
∴m+n=﹣10，
故選A．
點評：本題考查了根與系數(shù)的關系的應用，能根據(jù)根與系數(shù)的關系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n是解此題的關鍵．
【例3】（2015北塘區(qū)二模）已知：一元二次方程x2﹣6x+c=0有一個根為2，則另一根為．
分析：設方程另一根為t，根據(jù)根與系數(shù)的關系得到2+t=6，然后解一次方程即可．
解答：解：設方程另一根為t，
根據(jù)題意得2+t=6，
解得t=4．
故答案為4．
點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關系．
練3．（2014秋秭歸縣校級期中）已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x﹣c=0的一個根，求另一個根及c的值．
分析：設方程另一個根為x1，先利用兩根之和計算出x1，然后利用兩根之積求出c的值．
解答：解：設方程另一個根為x1，
根據(jù)題意得x1+2﹣=4，x1（2﹣）=c，
∴x1=2+，
∴c=（2﹣）（2+）=4﹣3=1．
點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關系：若方程兩個為x1，x2，則x1+x2=﹣，x1x2=．
【例4】（2008南匯區(qū)二模）方程2x2+3x﹣5=0的兩根的符號（）
A．同號B．異號C．兩根都為正D．兩根都為負
分析：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，得到方程的兩根之和與兩根之積，再進一步結合有理數(shù)的運算法則進行分析．
解答：解：設方程的兩根是a，b，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，得
a+b=＞0，ab=﹣＜0，
根據(jù)兩數(shù)的積為負數(shù)，則兩數(shù)必異號，則a，b異號．
故選B．
點評：此題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系，同時能夠結合有理數(shù)的運算法則判斷方程的兩根的符號．
練4．（2014秋夷陵區(qū)校級月考）方程ax2+bx﹣c=0（a＞0、b＞0、c＞0）的兩個根的符號為（）
A．同號B．異號C．兩根都為正D．不能確定
分析：首先由△=b2+4ac＞0，可知方程有兩個不等的實數(shù)根，再由x1x2=﹣＜0可知兩根異號．
解答：解：∵ax2+bx﹣c=0（a＞0、b＞0、c＞0），
∴△=b2+4ac＞0，
∴方程有兩個不等的實數(shù)根，
設方程ax2+bx﹣c=0（a＞0、b＞0、c＞0）的兩個根為x1，x2，
∵x1x2=﹣＜0，
∴兩根異號．
故選B．
點評：本題考查了根與系數(shù)的關系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=，x1x2=．同時考查了根的判別式．
課后小測答案：
一、選擇題
1．（2015溧水縣一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的兩個實數(shù)根分別為x1、x2，則x1+x2的值為（）
A．B．﹣C．﹣D．
解：根據(jù)題意得x1+x2=﹣=．
故選D．
2．（2015金華）一元二次方程x2+4x﹣3=0的兩根為x1、x2，則x1x2的值是（）
A．4B．﹣4C．3D．﹣3
解：x1x2=﹣3．
故選D．
3．（2014浠水縣校級模擬）已知x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的兩根，則（）
A．x1+x2=﹣3，x1x2=﹣1B．x1+x2=﹣3，x1x2=1
C．x1+x2=3，x1x2=﹣1D．x1+x2=3，x1x2=1
解：∵x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的兩根，
∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣1．
故選A．
4．（2015衡陽）若關于x的方程x2+3x+a=0有一個根為﹣1，則另一個根為（）
A．﹣2B．2C．4D．﹣3
解：設一元二次方程的另一根為x1，
則根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，
得﹣1+x1=﹣3，
解得：x1=﹣2．
故選A．
5．（2015廣西）已知實數(shù)x1，x2滿足x1+x2=7，x1x2=12，則以x1，x2為根的一元二次方程是（）
A．x2﹣7x+12=0B．x2+7x+12=0C．x2+7x﹣12=0D．x2﹣7x﹣12=0
解：以x1，x2為根的一元二次方程x2﹣7x+12=0，
故選：A．
6．（2015平南縣一模）一元二次方程x2+px=2的兩根為x1，x2，且x1=﹣2x2，則p的值為（）
A．2B．1C．1或﹣1D．﹣1
解：∵一元二次方程x2+px=2，即x2+px﹣2=0的兩根為x1，x2，
∴x1+x2=﹣p，x1x2=﹣2，
又x1=﹣2x2，
∴x2=±1，
當x2=1時，x1=﹣2，p=1；
當x2=﹣1時，x1=2，p=﹣1．
故選C．
7．（2015東西湖區(qū)校級模擬）已知x=2是方程x2﹣6x+m=0的根，則該方程的另一根為（）
A．2B．3C．4D．8
解：設關于x的方程x2﹣6x+m=0的另一個根是t，
由根與系數(shù)的關系得出：t+2=6，
則t=4．
故選：C．
8．關于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列敘述正確的是（）
A．無解B．有兩正根
C．有兩負根D．有一正根及一負根
解：由判別式△＞0，知方程有兩個不相等的實數(shù)根，
又由根與系數(shù)的關系，知x1+x2=﹣=2＞0，x1x2==﹣＜0，
所以有一正根及一負根．
故選D．
二、填空題
9．（2015濱湖區(qū)一模）已知方程x2﹣5x+2=0的兩個解分別為x1、x2，則x1+x2的值為5．
解：∵方程x2﹣5x+2=0的兩個解分別為x1、x2，
∴x1+x2=5，
故答案為：5．
10．（2015南京）已知方程x2+mx+3=0的一個根是1，則它的另一個根是3，m的值是﹣4．
解：設方程的另一個解是a，則1+a=﹣m，1×a=3，
解得：m=﹣4，a=3．
故答案是：3，﹣4．
11．（2015春遂寧校級期中）已知關于x的方程x2﹣4x+2=0的兩個根是m和n，則mn=2，m+n=4．
解：∵m和n是方程x2﹣4x+2=0的兩個根，
∴m+n=4，mn=2．
故答案為：2，4．
三、解答題
12．（2015東莞模擬）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的兩個根x1、x2；求證：x1+x2=﹣p，x1x2=q．
證明：∵a=1，b=p，c=q
∴△=p2﹣4q
∴x=即x1=，x2=，
∴x1+x2=+=﹣p，
x1x2=.=q．
13．（2014秋番禺區(qū)校級月考）已知方程x2﹣kx﹣6=0的一個根是2，求它的另一個根及k的值．
解：設方程另一根為x2，
由題意得2x2=﹣6，解得x2=﹣3，
∵2+（﹣3）=k，
∴k=﹣1．
即它的另一個根為﹣3，k的值為﹣1．
14．（2013防城港）已知關于x的方程x2+x+n=0有兩個實數(shù)根﹣2，m．求m，n的值．
解：∵關于x的方程x2+x+n=0有兩個實數(shù)根﹣2，m，
∴，
解得，，即m，n的值分別是1、﹣2．