一元二次方程高中教案

用因式分解法求解一元二次方程導(dǎo)學(xué)案（新北師大版）。

相關(guān)閱讀

用因式分解法解一元二次方程學(xué)案

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.知道什么是因式分解法。

2.學(xué)會用因式分解法解特殊的一元二次方程。

3.通過因式分解法解一元二次方程，體會數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想。

學(xué)習(xí)過程：

一.拓通準(zhǔn)備：

1.因式分解法：_____________,_______________._______________,_______________.

2.把下列各式因式分解

（1）4x2-x（2）9x2-4

(3)x2-4x+4(4)x2-5x+6

二.探求新知：

自學(xué)課本95頁內(nèi)容，歸納出：

1.什么是因式分解法：_______________________________.

2.因式分解法解一元二次方程的一般步驟：___________________.

三.自我嘗試：

直接寫出下列方程的兩個根：

（1）x(x-1)=0（2）(y-2)(y+5)=0（3）t2=2t

(3)(x+1)(3x-2)=0(4)(x-)(5x+)=0

四.典型例題

例1：用因式分解法解下列方程：（1）15x2=6x=0（2）4x2-9=0

對應(yīng)練習(xí)：解方程（1）16x2+10x=0（2）(y-3)2=1

例2：解方程（1）(2x-1)2=(x-3)2（2）x2-4x+4=0

對應(yīng)練習(xí)：用因式分解法解方程：

（1）x-2-x(x-2)=0（2）(x+1)2-25=0

(3)x2-5x+6=0(4)(2x+1)2-6(2x+1)+8=0

五.當(dāng)堂檢測：

1.（x+a）(x+b)=0與方程x2-x-30=0同解，則a+b等于（）

A:1B:-1C:11D:-11

2.用因式分解法解方程：

①x(x+3)=x+3

②x2=8x

③2x(2x+5)=(x-1)(2x+5)

用公式法求解一元二次方程導(dǎo)學(xué)案（新北師大版）

九年級數(shù)學(xué)《用因式分解法求解一元二次方程》教學(xué)設(shè)計

九年級數(shù)學(xué)《用因式分解法求解一元二次方程》教學(xué)設(shè)計

一、學(xué)生知識狀況分析

學(xué)生的知識技能基礎(chǔ)：在前幾冊學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程等知識，初步感受了方程的模型作用，并積累了求解一元一次方程的方法，熟練掌握了解一元一次方程的步驟；在八年級學(xué)生學(xué)習(xí)了因式分解，掌握了提公因式法及運(yùn)用公式法（平方差、完全平方）熟練的分解因式；在本章前幾節(jié)課中又學(xué)習(xí)了直接開平方法、配方法及公式法解一元二次方程，掌握了這兩種方法的解題思路及步驟。

學(xué)生活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：在相關(guān)知識的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了用直接開平方法、配方法和公式法求一元二次方程的解的過程，并在現(xiàn)實情景中加以應(yīng)用，切實提高了學(xué)生靈活應(yīng)用知識的能力，也感受到了解一元二次方程的必要性和作用；同時在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)的過程，具有了一定的合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，具備了一定的合作與交流的能力。

二、教學(xué)任務(wù)分析

教科書基于用因式分解法解一元二次方程是解決特殊問題的一種簡便、特殊的方法，提出了本課的具體學(xué)習(xí)任務(wù)：要求學(xué)生能根據(jù)已有的分解因式知識解決形如“x2=ax”和“x(x－a)=0”的特殊一元二次方程。經(jīng)歷由具體問題抽象出一元二次方程的過程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的一個有效數(shù)學(xué)模型，并在解一元二次方程的過程中體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的意識和能力。同時也應(yīng)力圖在學(xué)習(xí)中逐步達(dá)成學(xué)生的有關(guān)情感態(tài)度目標(biāo)。

三、教學(xué)目標(biāo)

知識與技能目標(biāo)

1、在理解因式分解法的概念、掌握因式分解方法的基礎(chǔ)上，能根據(jù)具體一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法，體會解決問題方法的多樣性；

2、會用因式分解法（提公因式法、公式法）解決某些簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；

3、通過因式分解法解一元二次方程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，并體會轉(zhuǎn)化的思想。

過程與方法目標(biāo)

1.經(jīng)歷探索因式分解法解一元二次方程的過程，發(fā)展學(xué)生合情推理的能力。

2.通過學(xué)生探究一元二次方程的解法，使學(xué)生知道分解因式法是解一元二次方程的一種簡便、特殊的方法，通過“降次”把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程；

3.通過小組合作交流，嘗試在解方程過程中，多角度地思考問題，尋求從不同角度解決問題的方法，體驗解決問題的方法的多樣性，并初步學(xué)會不同方法之間的差異，學(xué)會在與他人的交流中獲益。

情感、態(tài)度與價值觀目標(biāo)

1、經(jīng)歷觀察，歸納分解因式法解一元二次方程的過程，激發(fā)學(xué)生的求知欲；

2、進(jìn)一步豐富數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功體驗，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)良好的情感、態(tài)度和主動參與、合作交流的意識，進(jìn)一步提高觀察、分析、概括等能力，建立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。

四、教學(xué)重難點

重點：應(yīng)用因式分解法求解一元二次方程。

難點：會用因式分解法求解形如“x2=ax”的一元二次方程。

五、教學(xué)方法

合作交流法、分組討論法、練習(xí)法

六、教學(xué)準(zhǔn)備

多媒體課件

七、教學(xué)過程

本節(jié)課設(shè)計了六個教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)回顧；第二環(huán)節(jié)：情境引入，探究新知；第三環(huán)節(jié)：例題解析；第四環(huán)節(jié)：鞏固練習(xí)；第五環(huán)節(jié)：感悟與收獲；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。

第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)回顧

內(nèi)容：師：同學(xué)們，俗話說得好“結(jié)識新朋友，不忘老朋友”，老師這里有位老朋友，大家

看看，還認(rèn)識不認(rèn)識？

生：好奇地看老師

師：我今天給大家?guī)砹恕耙辉畏匠獭边@位老朋友！通過以前的學(xué)習(xí)，我們知道這位老朋友可以幫忙解決生活中的好多問題。

在這里我就要提出一個關(guān)于這位“老朋友”的問題：

我們在此之前學(xué)了哪幾種解一元二次方程的方法？（課件展示問題及答案）

生：1、直接開平方法：應(yīng)用平方根的意義解形如“x2=a(a≥0)”的方程。

2、配方法:解一元二次方程的關(guān)鍵是將方程轉(zhuǎn)化為(x+m)2=n（n≥0）的形式。

3、公式法：解一元二次方程應(yīng)先將方程化為一般形式，然后再用求根公式解。

目的：以“結(jié)識新朋友，不忘老朋友”開始本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能大大激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。然后由“老朋友”引出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考，回憶三種解一元二次方程的方法，有利于學(xué)生銜接前后知識，形成清晰的知識脈絡(luò)，為學(xué)生后面的學(xué)習(xí)作好鋪墊。

實際效果：通過復(fù)習(xí)，使學(xué)生回顧已學(xué)的解一元二次方程的方法——直接開平方法、配方法及公式法,為本節(jié)課的探究學(xué)習(xí)做好鋪墊。

第二環(huán)節(jié)：情景引入、探究新知

內(nèi)容：1.師：這幾天，有一道問題難住了我，想請同學(xué)們幫一下忙，行不行？

生：得到肯定答復(fù)。

師：出示問題：

一個數(shù)的平方與這個數(shù)的3倍有可能相等嗎？如果能，這個數(shù)是幾？你是怎樣求出來的？（課件展示問題）

生：可以通過設(shè)未知數(shù)列方程解決問題。

設(shè)這個數(shù)為x,則由題意可列方程：x2=3x

師：你們會解這個方程嗎？

說明：學(xué)生獨(dú)自完成，教師巡視指導(dǎo)，選擇不同答案準(zhǔn)備展示。

2.展示學(xué)生的不同做法。

學(xué)生A：

解：x2=3x

∴x2-3x=0

∵a=1,b=-3,c=0

∴b2-4ac=9

代入求根公式，解得：

x1=0,x2=3

∴這個數(shù)是0或3。

學(xué)生B:

解：x2=3x

∴x2-3x=0

方程兩邊同時配方得：

x2-3x+()2=()2

(x-)2=

∴x-=或x-=-

∴x1=3,x2=0

∴這個數(shù)是0或3。

學(xué)生C：

解：x2=3x

∴x2-3x=0

即x(x-3)=0

∴x=0或x-3=0

∴x1=0,x2=3

∴這個數(shù)是0或3。

學(xué)生D：

解：x2=3x

兩邊同時約去x,得

∴x=3

∴這個數(shù)是3。

3.師：同學(xué)們在下面用了多種方法解決此問題，觀察以上四個同學(xué)的做法是否正確？有沒有存在的問題?你認(rèn)為那種方法更簡便?（通過課件再次展示四種不同的解法）

生：判斷四種解法是否正確。

師：對于不正確的解法你能說說問題出在哪嗎？

生：學(xué)生代表回答。

師：這位同學(xué)的回答條理清楚并且敘述嚴(yán)密，相信下面同學(xué)的回答會一個比一個棒!(及時評價鼓勵，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情)

說明：小組內(nèi)交流,中心發(fā)言人回答,及時讓學(xué)生補(bǔ)充不同的思路，關(guān)注每一個學(xué)生的參與情況。

4.師：請用第三種方法的學(xué)生代表為大家說說他的想法好不好?

學(xué)生E：X(X-3)=0因為我想3×0=0,0×(-3)=0，0×0=0，所以，所以X1=0或X2=3

師：好，那我們把這種思想能擴(kuò)展到一般的情況嗎?

如果ab=0,那么會得到什么結(jié)論?(引導(dǎo)學(xué)生得出一般性的結(jié)論)

生：如果ab=0,那么a=0或b=0這就是說：當(dāng)兩個數(shù)的乘積為零時，那么至少有一個數(shù)為零。(注：當(dāng)一個一元二次方程降為兩個一元一次方程時，這兩個一元一次方程中用的是“或”，而不用“且”。)

5.師：再次來回顧第三位同學(xué)解方程x2=3x的方法。

他是把方程的一邊變?yōu)?，而另一邊可以分解成兩個因式的乘積，然后利用ab=0,則a=0或b=0,把一元二次方程變成一元一次方程，從而求出方程的解。

6．師：這種解一元二次方程的方法叫做什么方法？

生：因式分解法。

師：你知道什么是因式分解嗎？因式分解的方法有哪幾種？

生：把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，叫做因式分解。

因式分解的方法有：提取公因式法、運(yùn)用公式法。

7.師：你能總結(jié)一下，什么叫做用因式分解法解一元二次方程？當(dāng)一個一元二次方程滿足怎樣的條件時，我們可以用因式分解法求解方程？

生：利用分解因式解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

當(dāng)一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時，我們就采用因式分解法來解一元二次方程。

目的：通過獨(dú)立思考,小組成員協(xié)作交流,力求使學(xué)生根據(jù)方程的具體特征,靈活選取適當(dāng)?shù)慕夥?在操作活動過程中,培養(yǎng)學(xué)生積極的情感,態(tài)度，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)和思考的能力,讓學(xué)生盡可能自己探索新知,教學(xué)過程中，要關(guān)注每一位學(xué)生的發(fā)展.問題3和4進(jìn)一步點明了因式分解的理論根據(jù)及實質(zhì)。

說明：如果ab=0，那么a=0或b=0。

注意區(qū)分“或”和“且”。“或”是“二者中至少有一個成立”的意思，包括兩種情況，二者同時成立；二者有一個成立?！扒摇笔恰岸咄瑫r成立”的意思。

第三環(huán)節(jié)例題解析

內(nèi)容：解下列方程(1)5X2=4X

(2)X-2=X(X-2)

（3）x2-4=0

（4）(X+1)2-25=0

8.師：同學(xué)們思考問題（1）如何求解？

學(xué)生F：解方程（1）時，先把它化為一般形式，然后再因式分解求解。

解：（1）原方程可變形為

5X2-4X=0

∴X(5X-4)=0

∴X=0或5X-4=0

∴X1=0,X2=

師：獨(dú)立解決問題（2）

解完后回答你的解法。

學(xué)生G：解方程（2）時因為方程的左、右兩邊都有(x-2),所以我把(x-2)看作整體，然后移項，再因式分解求解。

解：(2)原方程可變形為

（X-2）-X(X-2)=0

∴(X-2)(1-X)=0

∴X-2=0或1-X=0

∴X1=2，X2=1

師：還有沒有其他的解法？

學(xué)生H：老師，解方程（2）時能否將原方程展開后再求解

師：能呀，只不過這樣的話會復(fù)雜一些，不如把(x-2)當(dāng)作整體簡便。

師：大家獨(dú)立解決下面方程.

解：（3）原方程可變形為：

（x+2）（x-2）=0

X+2=0或x-2=0

∴X1=-2，X2=2

解：(4)原方程可變形為

[(X+1)+5][(X+1)-5]=0

∴(X+6)(X-4)=0

∴X+6=0或X-4=0

∴X1=-6，X2=4

師：后面兩個題還能用其他方法求解嗎？

生：學(xué)生回答。

師：好﹗這類問題實際上我們在前幾節(jié)課時解過，當(dāng)時我們用的是直接開平方法，現(xiàn)在用的是因式分解法。你是如何用直接開平方法解這兩個一元二次方程的?

生：回答解題思路。

師：由此可知：一個一元二次方程的解法可能有多種，我們在選用時，以簡便為主。

(課后用不同的解法求解上面的方程)

目的：例題講解中,第1、2題學(xué)生獨(dú)自完成,考察了學(xué)生對引例的掌握情況,便于及時反饋，進(jìn)一步規(guī)范解題步驟。第3、4題在規(guī)范了做題步驟后，讓學(xué)生再次獨(dú)立完成，進(jìn)一步鞏固因式分解法求解一元二次方程的定義及解題步驟。并且從中發(fā)現(xiàn)解決后兩個方程的不同解法，體現(xiàn)了解題方法的多樣化。

9.師：通過以上用因式分解法求解一元二次方程的過程，你能否總結(jié)一下，用因式分解法求解一元二次方程的一般步驟嗎？

學(xué)生I：（1）化方程為一般形式，即“方程右邊為0”的形式;

（2）將方程左邊因式分解,分解成兩個一次因式的乘積;

（3）根據(jù)“至少有一個因式為零”,轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.

（4）分別解兩個一元一次方程，它們的根就是原方程的根.

師：這位同學(xué)總結(jié)的非常好（給予鼓勵）。哪位同學(xué)能把這四個步驟用一個簡記口訣表示出來呢？（鼓勵學(xué)生大膽發(fā)言）在學(xué)生總結(jié)的基礎(chǔ)上加以補(bǔ)充改進(jìn)。

第四環(huán)節(jié)：鞏固練習(xí)

內(nèi)容：1、口算解方程

（通過練習(xí)，鍛煉學(xué)生用分解因式法解一元二次方程的能力和口算能力。）

2、解下列方程：（1）(X+2)(X-4)=0

(2)4X(2X+1)=3(2X+1)

3、一個數(shù)平方的兩倍等于這個數(shù)的7倍，求這個數(shù)？

4、解方程（課本習(xí)題）

目的：華羅庚說過“學(xué)數(shù)學(xué)而不練,猶如入寶山而空返”該練習(xí)對本節(jié)知識進(jìn)行鞏固，使學(xué)生更好地理解所學(xué)知識并靈活運(yùn)用。

第五環(huán)節(jié)：感悟與收獲

內(nèi)容：師生互相交流總結(jié)

1．因式分解法解一元二次方程的定義、基本步驟。

2．在應(yīng)用因式分解法時的條件和理論依據(jù)。

目的：鼓勵學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的內(nèi)容談自己的收獲與感想。

第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

課本48頁習(xí)題2.72、3題。