小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)教案
發(fā)表時(shí)間：2020-12-08八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)歸納整理。
八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)歸納整理
平行四邊形的性質(zhì)：
⑴從邊看：平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行；平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等．
⑵從角看：平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等，鄰角互補(bǔ)．
⑶從對(duì)角線看：平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分．
平行四邊形的判定方法：
⑴按邊：①一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．
③兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形
⑵按角：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．
⑶按對(duì)角線：兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．（難點(diǎn)）
平行四邊形知識(shí)的應(yīng)用：
⑴運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)求角的度數(shù)，線段的長(zhǎng)度，證明線段相等或倍分．
⑵先判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，然后再用平行四邊形的性質(zhì)解決某些問(wèn)題．
矩形（1）矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；
（2）性質(zhì)定理：矩形的四個(gè)角都是直角；
矩形的對(duì)角線互相平分且相等．
（3）判定定理：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；
對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；
有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．
[方法]證明矩形可以先證明它是一個(gè)平行四邊形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等；也可以直接證明其中有三個(gè)角是直角．
菱形（1）矩形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
（2）性質(zhì)定理：菱形四條邊都相等；
菱形對(duì)角線互相平分且垂直；
每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；
（3）判定定理：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
四條邊都相等的四邊形是菱形．
[方法]證明菱形可以先證明它是一個(gè)平行四邊形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；也可以直接證四條邊都相等．
正方形
（1）正方形的定義：有一個(gè)角是直角,有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形（2）性質(zhì)定理：正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都等．
正方形的兩條對(duì)角線相等，且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角
（3）判定定理：有一個(gè)角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形；
[方法]有一個(gè)角是直角的菱形是正方形：有一組鄰邊相等的矩形是方形．
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2018八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)整理歸納
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2018八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)整理歸納第十六章分式
一．概念：如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式（fraction）。
二．基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘或除以一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。
三計(jì)算法則：乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為分母。
分式除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。
四．分式乘方要把分子、分母分別乘方。
a^-n=1/a^n(a≠0)這就是說(shuō)，a^-n(a≠0)是a^n的倒數(shù)。
五．分式方程檢驗(yàn)方法：將整式方程的解帶入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解不是原分式方程的解。
第十七章反比例函數(shù)
一．概念形如y=k/x（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)(inverseproportionalfunction)。
二．性質(zhì)：反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線（hyperbola）。
當(dāng)k＞0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減?。?br> 當(dāng)k＜0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大。
第十八章勾股定理
一．概念勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a^2+b^2=c^2
勾股定理逆定理：如果三角形三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a^2+b^2=c^2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。
二．命題：經(jīng)過(guò)證明被確認(rèn)正確的命題叫做定理(theorem)。
我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）
第十九章四邊形
一．平行四邊形的概念：有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
二．平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等；平行四邊形的對(duì)角相等。平行四邊形的對(duì)角線互相平分。
三．平行四邊形的判定：
1.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
2.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
3.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；
4.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
5.三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。
四．直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
五．矩形的性質(zhì)：矩形的四個(gè)角都是直角；矩形的對(duì)角線平分且相等。
六．矩形判定定理：
1.有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。
2.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。
3.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。
七．菱形的性質(zhì)：菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。
八．菱形的判定定理：
1.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形(rhombus)。
2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
3.四條邊相等的四邊形是菱形。
S菱形=1/2×ab（a、b為兩條對(duì)角線）
九．正方形的性質(zhì)：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角。
正方形既是矩形，又是菱形。
十．正方形判定定理：
1.鄰邊相等的矩形是正方形。
2.有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。
十一。梯形的概念：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形（trapezium）。
十二。等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底邊上的兩個(gè)角相等；等腰梯形的兩條對(duì)角線相等。
十三。等腰梯形判定定理：同一底上兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形。
十四。重心線段的重心就是線段的中點(diǎn)。
平行四邊形的重心是它的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)。
三角形的三條中線交于疑點(diǎn)，這一點(diǎn)就是三角形的重心。
寬和長(zhǎng)的比是（根號(hào)5-1）/2（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形。
第二十章數(shù)據(jù)的分析
一．中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(median)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。
二：眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)（mode）。
三．極差：一組數(shù)據(jù)中的最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差叫做這組數(shù)據(jù)的極差(range)。
四．方差：方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小，就越穩(wěn)定。
五.數(shù)據(jù)的收集與整理:步驟：1.收集數(shù)據(jù)2.整理數(shù)據(jù)3.描述數(shù)據(jù)4.分析數(shù)據(jù)5.撰寫調(diào)查報(bào)告6.交流
八年級(jí)數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)整理：探索規(guī)律
八年級(jí)數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)整理：探索規(guī)律
探索規(guī)律
探索規(guī)律的題目，通常按照一定的順序給出一系列量，要求我們根據(jù)這些已知的量找出一般規(guī)律。揭示的規(guī)律，常常包含著事物的序列號(hào)。所以，把變量和序列號(hào)放在一起加以比較，就比較容易發(fā)現(xiàn)其中的奧秘。
掌握探究的一般方法是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵。
（1）掌握探究規(guī)律的方法，可以通過(guò)具體到抽象、特殊到一般的方法，有時(shí)通過(guò)類比、聯(lián)想，還要充分利用已知條件或圖形特征進(jìn)行透徹分析，從中找出隱含的規(guī)律；
（2）恰當(dāng)合理的聯(lián)想、猜想，從簡(jiǎn)單的、局部的特殊情況到一般情況是基本思路，經(jīng)過(guò)歸納、提煉、加工，尋找出一般性規(guī)律，從而求解問(wèn)題。
探索規(guī)律題題型和解題思路:
1.探索條件型:結(jié)論明確,需要探索發(fā)現(xiàn)使結(jié)論成立的條件的題目;
探索條件型往往是針對(duì)條件不充分、有變化或條件的發(fā)散性等情況，解答時(shí)要注意全面性，類似于討論；解題應(yīng)從結(jié)論著手，逆推其條件，或從反面論證，解題過(guò)程類似于分析法。
2.探索結(jié)論型:給定條件,但無(wú)明確的結(jié)論或結(jié)論不唯一,而要探索發(fā)現(xiàn)與之相應(yīng)的結(jié)論的題目;
探索結(jié)論型題的特點(diǎn)是結(jié)論有多種可能，即它的結(jié)論是發(fā)散的、穩(wěn)定的、隱蔽的和存在的；
探索結(jié)論型題的一般解題思路是：
（1）從特殊情形入手，發(fā)現(xiàn)一般性的結(jié)論；
（2）在一般的情況下，證明猜想的正確性；
（3）也可以通過(guò)圖形操作驗(yàn)證結(jié)論的正確性或轉(zhuǎn)化為幾個(gè)熟悉的容易解決的問(wèn)題逐個(gè)解決。
3.探索規(guī)律型:在一定的條件狀態(tài)下,需探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的規(guī)律性或不變性的題目；
圖形運(yùn)動(dòng)題的關(guān)鍵是抓住圖形的本質(zhì)特征，并仿照原題進(jìn)行證明。在探索遞推時(shí)，往往從少到多，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，要通過(guò)比較和分析，找出每次變化過(guò)程中都具有規(guī)律性的東西和不易看清的圖形變化部分。
4.探索存在型:在一定的條件下,需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)關(guān)系是否存在的題目.而且探索題往往也是分類討論型的習(xí)題,無(wú)論從解題的思路還是書(shū)寫的格式都應(yīng)該讓學(xué)生明了基本的規(guī)范,這也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力要求。
探索存在型題的結(jié)論只有兩種可能：存在或不存在；
存在型問(wèn)題的解題步驟是：
①假設(shè)存在；
②推理得出結(jié)論（若得出矛盾，則結(jié)論不存在；若不得出矛盾，則結(jié)論存在）。
解答探索題型，必須在縝密審題的基礎(chǔ)上，利用學(xué)具，按照要求在動(dòng)態(tài)的過(guò)程中，通過(guò)歸納、想象、猜想，進(jìn)行規(guī)律的探索，提出觀點(diǎn)與看法，利用舊知識(shí)的遷移類比發(fā)現(xiàn)接替方法，或從特殊、簡(jiǎn)單的情況入手，尋找規(guī)律，找到接替方法；解答時(shí)要注意方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用；因此其成果具有獨(dú)創(chuàng)性、新穎性，其思維必須嚴(yán)格結(jié)合給定條件結(jié)論，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維，這也是數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用的能力要求。
典型例題
現(xiàn)有一根長(zhǎng)為1的鐵絲：
①若把它圍成圖1所示的矩形框，當(dāng)矩形框的長(zhǎng)a與矩形框的寬b滿足a=_____b時(shí)所圍成的矩形框面積最大；
②若把它圍成圖2所示的矩形框，當(dāng)矩形框的長(zhǎng)a與矩形框的寬b滿足a=_____b時(shí)所圍成的矩形框面積最大；
③若把它圍成圖n所示的矩形框(圖中共有n+1條寬)，當(dāng)矩形框的長(zhǎng)a與矩形框的寬b滿足a=_____b時(shí)所圍成的矩形框面積最大．
答案：1
解析:通過(guò)觀察圖形，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律．
解：根據(jù)題意：①中有2（a+b）=1，且s=ab的最大值當(dāng)且僅當(dāng)矩形為正方形時(shí)，即a=b時(shí)取到；
②中，有2個(gè)a，有3個(gè)b，當(dāng)且僅當(dāng)矩形為正方形時(shí)，即2b=3a時(shí)，s=ab取得最大值；
故③中，按此規(guī)律，有2個(gè)a，有（n+1）個(gè)b，故當(dāng)且僅當(dāng)矩形為正方形時(shí)，即（n+1）b=2a時(shí)，s=ab取得最大值．
最新試題
1.探索規(guī)律：根據(jù)圖中箭頭指向的規(guī)律，從2009到2010再到2011，箭頭的方向是()
A.
B.
C.
D.
2.觀察下列各題：
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
…
根據(jù)上面各式的規(guī)律，請(qǐng)直接寫出1+3+5+7+9+…+99=_____．
3.如圖是某同學(xué)在沙灘上用石于擺成的小房子．
觀察圖形的變化規(guī)律，寫出第9個(gè)小房子用了_____塊石子．第n個(gè)小房子用了_____塊石子．
4.一張長(zhǎng)方形桌子需配6把椅子，按如圖方式將桌子拼在一起，那么8張桌子需配椅子_____把．
5.如圖所示，由一些圓組成形如正方形，每條“邊”(包括兩個(gè)頂點(diǎn))有n(n＞1)個(gè)圓：
(1)請(qǐng)直接寫出，當(dāng)n=5時(shí)，這個(gè)圖形總的圓數(shù)是_____．
(2)當(dāng)n=6時(shí)，這個(gè)圖形總的圓數(shù)是_____．
(3)當(dāng)每邊有n個(gè)圓時(shí)，則總圓數(shù)s是多少？
6.觀察表格，當(dāng)輸入8時(shí)，輸出_____．
輸入123456…
輸出345678…
7.如圖是用棋子成的“T”字圖案．從圖案中可以出，第一個(gè)“T”字圖案需要5枚棋子，第二個(gè)“T”字圖案需要8枚棋子，第三個(gè)“T”圖案需要11枚棋子．
(1)照此規(guī)律，擺成第八個(gè)圖案需要幾枚棋子？
(2)擺成第n個(gè)圖案需要幾枚棋子？
(3)擺成第2010個(gè)圖案需要幾枚棋子？
8.觀察下面一列有規(guī)律的數(shù)：，，，，，…，由規(guī)律可知，第n個(gè)數(shù)為_(kāi)____．
9.一串有趣的圖案按一定的規(guī)律排列(如圖)：
按此規(guī)律在右邊的圓中畫出的第2014個(gè)圖案：
(把具體圖形補(bǔ)充到圈里面)
10.如圖，下列圖案是相同的小正方形按一定的規(guī)律拼搭而成：第一個(gè)圖案有2個(gè)小正方形，第2個(gè)圖案有4個(gè)小正方形，…，依次規(guī)律，第10個(gè)圖案有小正方形的個(gè)數(shù)是()
A.54個(gè)
B.55個(gè)
C.56個(gè)
D.57個(gè)
八年級(jí)數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)整理：全等圖形
學(xué)生們有一個(gè)生動(dòng)有趣的課堂，離不開(kāi)老師辛苦準(zhǔn)備的教案，是時(shí)候?qū)懡贪刚n件了。在寫好了教案課件計(jì)劃后，才能夠使以后的工作更有目標(biāo)性！你們會(huì)寫多少教案課件范文呢？小編為此仔細(xì)地整理了以下內(nèi)容《八年級(jí)數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)整理：全等圖形》，僅供參考，歡迎大家閱讀。
八年級(jí)數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)整理：全等圖形
一，全等三角形
教學(xué)目標(biāo)：1.理解全等三角形及相關(guān)概念，能夠從圖形中尋找全等三角形，探索并掌握全等三角形的性質(zhì)。
2.在圖形變換以及實(shí)際操作的過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直覺(jué)。
3.使學(xué)生在觀察、發(fā)現(xiàn)生活中的全等形和實(shí)際操作中獲得全等三角形的體念數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，并能夠利用性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。
4．三角形全等的“邊邊邊”的條件．
5．三角形全等的“邊角邊”的條件．
6．三角形全等的條件：角邊角、角角邊．
重點(diǎn)難點(diǎn)：1.探索全等三角形的性質(zhì)
2.三角形全等的表示方法與準(zhǔn)確找出全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素。
3.尋求三角形全等的條件．
4.靈活運(yùn)用三角形全等條件證明．
全等三角形的概念：在同一平面內(nèi)能夠完全重合（大小，形狀都相等的三角形）的兩個(gè)三角形稱為全等三角形。
對(duì)應(yīng)頂點(diǎn):當(dāng)兩個(gè)三角形完全重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)。
對(duì)應(yīng)邊：互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，
對(duì)應(yīng)角：互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。
1.全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊。
2.全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角。
3.有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊。
4.有公共角的，角一定是對(duì)應(yīng)角。
5.有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角。
全等三角形的性質(zhì)：
1．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。
2．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等。
3．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高對(duì)應(yīng)相等。
4．全等三角形的對(duì)應(yīng)角的角平分線相等。
5．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線相等。
6．全等三角形面積相等。
7．全等三角形周長(zhǎng)相等。
判定公理:1．三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)稱SSS或“邊邊邊”)，這一條是三角形具有穩(wěn)定性的原因。
2．兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)稱SAS或“邊角邊”)。
3．兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)稱ASA或“角邊角”)。
4．兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)稱AAS或“角角邊”)。
5．直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(簡(jiǎn)稱HL或“斜邊，直角邊”)。
SSS，SAS，ASA，AAS，HL均可作為判定三角形全等的定理。
注意：在全等的判定中，沒(méi)有AAA(角角角)和SSA(邊邊角)(特例：直角三角形為HL，因?yàn)楣垂啥ɡ?，只要確定了斜邊和一條直角邊，另一直角邊也確定，屬于SSS)，因?yàn)檫@兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀。
另外三條中線（或高、角平分線）分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形也全等。
找對(duì)應(yīng)元素的常用方法有三種：
（一）從運(yùn)動(dòng)角度看
1．平移法：沿某一方向推移使兩三角形重合來(lái)找對(duì)應(yīng)元素．
2．翻轉(zhuǎn)法：找到中心線，沿中心線翻折后能相互重合，從而發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)元素．
3．旋轉(zhuǎn)法：三角形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度能與另一三角形重合，從而發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)元素．
（二）根據(jù)位置元素來(lái)推理
1．全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊；兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊．
2．全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角；兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角．
（三）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來(lái)判斷
1.大邊對(duì)應(yīng)大邊，大角對(duì)應(yīng)大角
2.公共邊是對(duì)應(yīng)邊，公共角是對(duì)應(yīng)角
做題技巧:一般來(lái)說(shuō)考試中線段和角相等需要證明全等。因此我們可以來(lái)采取逆思維的方式。
1.想要證全等，則需要什么條件
2.要證某某邊等于某某邊，那么首先要證明含有那兩個(gè)邊的三角形全等。
3.然后把所得的等式運(yùn)用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）證明三角形全等。
4.有時(shí)還需要畫輔助線幫助解題。常用的輔助線有：倍長(zhǎng)中線，截長(zhǎng)補(bǔ)短等。
一、三角形全等的條件
首先我們看只給一個(gè)條件(一條邊或一個(gè)角)畫三角形時(shí)，畫出的三角形一定全等嗎？只給定一條邊時(shí)(如圖中的實(shí)線
)
由圖可知：這三個(gè)三角形不全等．只給定一個(gè)角時(shí)夾角(如圖中的實(shí)線)．
由畫圖可知：這三個(gè)三角形也不全等．因此，只給出一個(gè)條件時(shí)，不能保證所畫出的三角形一定全等．
接下來(lái)我們探索：給出兩個(gè)條件時(shí)，所畫的三角形一定全等嗎？（1）三角形的一個(gè)內(nèi)角為30°，一條邊為3厘米（如圖）
．
這三個(gè)三角形不全等．（2）三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為30°和50°（如圖）．它們看起來(lái)的形狀一樣，但大小不一樣．
這兩個(gè)三角形不能重合，所以也不全等．（3）三角形的兩條邊分別為4cm、6cm（如圖）．
它們也不全等．我們通過(guò)畫圖、觀察、比較知道，只給出一個(gè)條件或兩個(gè)條件時(shí)，都不能保證所畫出的三角形一定全等．那么給出三個(gè)條件時(shí)，又怎樣呢？如果給出三個(gè)條件畫三角形，有四種可能．即：三條邊，三個(gè)角，兩邊一角和兩角一邊．下面我們來(lái)逐一探索．
1．已知三角形的三個(gè)內(nèi)角如果已知一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為40°、60°、80°．能畫出這個(gè)三角形，但有的能完全重合，有的不重合，所以它們不一定重合（如圖）．
通過(guò)比較得知：給出三角形的三個(gè)內(nèi)角，得到的三角形不一定全等．
2．已知三角形的三條邊如果已知一個(gè)三角形的三條邊分別是4cm，5cm和7cm．畫出這個(gè)三角形如圖．
比較可知：這樣的所有三角形都是全等的．由此可知：已知三角形的三邊，則畫出的所有三角形都全等．這樣就得到了三角形全等的條件：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．簡(jiǎn)寫為：“邊邊邊”或“SSS”．
如下圖．
這是用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示該三角形全等的條件．
注意：三邊對(duì)應(yīng)相等是前提條件，三角形全等是結(jié)論．3．已知三角形的“兩角一邊”
如果“兩角一邊”條件中的邊是兩角所夾的邊．
如：三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是60°和80°，它們所夾的邊為2cm，我們來(lái)畫出這個(gè)三角形（如圖）．
經(jīng)過(guò)比較，它們?nèi)龋簿褪钦f(shuō)已知一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角及其夾邊，那么由此得到的三角形都是全等的．由此我們得到了判定三角形全等的另一條件：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．
簡(jiǎn)寫為：“角邊角”或“ASA”．如圖，在△ABC和△DEF中．
在“兩角一邊”中，除“兩角及其夾邊”外，還有兩角及一角的對(duì)邊．
如果“兩角及一邊”條件中的邊是其中一角的對(duì)邊，如：三角形的兩個(gè)角分別為60°和45°，一邊長(zhǎng)為3cm（如圖）．
已知兩角及一角的對(duì)邊畫三角形時(shí)，不容易畫，但如果把“兩角及一角的對(duì)邊”轉(zhuǎn)化為“兩角及其夾邊”時(shí)，就可以了．因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為180°，已知兩個(gè)內(nèi)角，那么第三個(gè)內(nèi)角就可求出，這樣就把“兩角及一角的對(duì)邊”轉(zhuǎn)化為“兩角及其夾邊”．
（1）如果60°角所對(duì)的邊為3cm時(shí)，畫出的圖形如下：
經(jīng)比較：這樣得到的三角形都全等．（2）如果45°角所對(duì)的邊為3cm時(shí)，畫出的圖形如下．
經(jīng)比較：這樣條件的所有三角形都全等．由此我們又得到了判定三角形全等的另一條件：兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．簡(jiǎn)稱“角角邊”或“AAS”．如圖．在△ABC和△DEF中．
4．已知三角形的兩邊及一角
如果已知一個(gè)三角形的兩邊及一角，有兩種情況：兩邊及這兩邊的夾角，兩邊及一邊的對(duì)角．
先看第一種情況下，兩個(gè)三角形是否全等．
如果“兩邊及一角”條件中的角是兩邊的夾角．如：三角形的兩條邊分別為2.5cm、3.5cm．它們的夾角為40°（如圖）．
經(jīng)過(guò)比較，如果已知三角形的兩邊及其夾角，那么所得的三角形都全等．
由此我們得到了三角形全等的條件：
兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．
簡(jiǎn)稱“邊角邊”或“SAS”．
如圖，在△ABC和△DEF中．
接下來(lái)我們研究第二種情況．
如果“兩邊及一角”條件中的角是其中一邊的對(duì)角．如：兩條邊分別為2.5cm、3.5cm．長(zhǎng)度為2.5cm
的邊所對(duì)的角為
40°（如圖）．
按上述條件畫的三角形不唯一，存在不同的三角形滿足上述條件，如圖．
由圖可知：這兩個(gè)三角形不全等．
所以，兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等．因此可知：“兩邊及一角”中的兩種情況中只有一種能判定三角形全等．即：兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．
二、三角形的穩(wěn)定性
如果我們?nèi)∪L(zhǎng)度適當(dāng)?shù)哪緱l，用釘子釘成一個(gè)三角形的框架，所得到的框架的形狀固定嗎？用四根木條釘成的框架的形狀固定嗎？
圖(1)是用三根木條釘成的三角形框架，它的大小和形狀是固定不變的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中是很有用的．如：房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅(jiān)固和穩(wěn)定．
圖(2)的形狀是可以改變的，它不具有穩(wěn)定性．
那么要使圖(2)的框架不能活動(dòng)，在相對(duì)的頂點(diǎn)上釘一根木條，使它變?yōu)閮蓚€(gè)三角形框架即可．
在生活中經(jīng)常會(huì)看到采用三角形的結(jié)構(gòu)去建筑．就是用到了它的穩(wěn)定性．
小結(jié)：
通過(guò)上表可以看出，兩個(gè)三角形全等至少要有三個(gè)條件對(duì)應(yīng)相等；我們常用主要是“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”．
