小學(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)教案

八年級(jí)數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)整理：相交線(xiàn)。

八年級(jí)數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)整理：相交線(xiàn)

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
一、相交線(xiàn)：
性質(zhì)：兩條直線(xiàn)相交，有且只有一個(gè)交點(diǎn)。
二、對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角：
1.對(duì)頂角：如圖，直線(xiàn)AB和CD相交于點(diǎn)O，∠1與∠2有公共頂點(diǎn)O，它們的兩邊互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)，這樣的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。
說(shuō)明：兩個(gè)角是對(duì)頂角必需滿(mǎn)足兩個(gè)條件：（1）有公共頂點(diǎn)；（2）兩邊互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)。
2.鄰補(bǔ)角：如圖，∠1和∠2有一條公共邊OC，它們的另一條邊OA、OB互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)，顯然它們互補(bǔ)。具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為鄰補(bǔ)角。

3.性質(zhì)：（1）對(duì)頂角相等；（2）互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角的和等于。
三、有關(guān)垂線(xiàn)的概念和性質(zhì)：1.概念：如果兩條直線(xiàn)相交所成的四個(gè)角中，有一角是直角，就說(shuō)這兩條直線(xiàn)互相垂直，其中的一條叫做另一條直線(xiàn)的垂線(xiàn)，它們的交點(diǎn)叫做垂足。
說(shuō)明：垂直是相交的一種特殊情況。
2.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離：直線(xiàn)外一點(diǎn)到這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線(xiàn)的距離。
說(shuō)明：垂線(xiàn)是直線(xiàn)，而垂線(xiàn)段是一條線(xiàn)段，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離不是指垂線(xiàn)段，而是指垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度。
3.平行線(xiàn)間的距離：同時(shí)垂直于兩條平行線(xiàn)，并且?jiàn)A在這兩條平行線(xiàn)間的線(xiàn)段的長(zhǎng)度，叫做這兩條平行線(xiàn)間的距離。平行線(xiàn)間的距離處處相等。
4.性質(zhì)：（1）互相垂直的兩條直線(xiàn)相交所成的四個(gè)角都是直角；（2）過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)或直線(xiàn)外一點(diǎn)畫(huà)已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)，并且只能畫(huà)出一條垂線(xiàn)；（3）連結(jié)直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上各點(diǎn)的所有線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短。簡(jiǎn)單地說(shuō)：垂線(xiàn)段最短；（4）平行線(xiàn)間的距離處處相等。
四、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角：
如圖，直線(xiàn)AB、CD被第三條直線(xiàn)EF所截，構(gòu)成八個(gè)角，簡(jiǎn)稱(chēng)“三線(xiàn)八角”。

1.同位角：∠1與∠5，∠2與∠6,∠3與∠7，∠4與∠8，它們分別在AB、CD同側(cè)，且在EF同側(cè)。同位角呈“F”形；
2.內(nèi)錯(cuò)角：∠3與∠5，∠4與∠6，它們分夾在AB、CD之間，同時(shí)又各在EF兩側(cè)。內(nèi)錯(cuò)角呈“Z”形；
3.同旁?xún)?nèi)角：∠4與∠5，∠3與∠6，它們分別夾在AB、CD之間，同時(shí)又在EF同側(cè)。同旁?xún)?nèi)角呈“U”形。
說(shuō)明：（1）同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角是指具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角；
（2）這三類(lèi)角都是由兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截形成的；
（3）同位角特征：截線(xiàn)同旁，被截兩線(xiàn)的同方向；內(nèi)錯(cuò)角特征：截線(xiàn)兩旁，被截兩線(xiàn)段之間；同旁?xún)?nèi)角特征：截線(xiàn)同旁，被截兩線(xiàn)段之間；
（4）兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截成的八個(gè)角中，同位角4對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角2對(duì)，同旁?xún)?nèi)角2對(duì)。
常見(jiàn)考法
（1）對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁?xún)?nèi)角，在中考中必有所涉及，一般是綜合其它知識(shí)一起考查；（2）垂線(xiàn)段最短的性質(zhì)在生活中有廣泛應(yīng)用，在中考中一般以填空、作圖出現(xiàn)，主是根據(jù)要求作出垂線(xiàn)段或用性質(zhì)解釋理由。
誤區(qū)提醒
（1）對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角以及垂線(xiàn)的概念理解有誤；（2）在復(fù)雜圖形中辨認(rèn)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角時(shí)產(chǎn)生遺漏或錯(cuò)認(rèn)。
【典型例題】如圖，∠BAC=90°，AD⊥BC，則下面的結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是（）個(gè)。
①點(diǎn)B到AC的垂線(xiàn)段是線(xiàn)段AB；
②線(xiàn)段AC是點(diǎn)C到AB的垂線(xiàn)段；
③線(xiàn)段AD是點(diǎn)D到BC的垂線(xiàn)段；
④線(xiàn)段BD是點(diǎn)B到AD的垂線(xiàn)段.
A．1B．2C．3D．4

【解析】③是錯(cuò)誤的，其余的均是正確的，故本題選C

一、目標(biāo)與要求
1.理解對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的概念，能在圖形中辨認(rèn);
2.掌握對(duì)頂角相等的性質(zhì)和它的推證過(guò)程;
3.通過(guò)在圖形中辨認(rèn)對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角，培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力。
二、重點(diǎn)
在較復(fù)雜的圖形中準(zhǔn)確辨認(rèn)對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角;
兩條直線(xiàn)互相垂直的概念、性質(zhì)和畫(huà)法;
同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的概念與識(shí)別。
三、難點(diǎn)
在較復(fù)雜的圖形中準(zhǔn)確辨認(rèn)對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角;
對(duì)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的概念的理解;
對(duì)平行線(xiàn)本質(zhì)屬性的理解，用幾何語(yǔ)言描述圖形的性質(zhì);
能區(qū)分平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定，平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定的混合應(yīng)用。
四、知識(shí)框架
五、知識(shí)點(diǎn)、概念總結(jié)
1.鄰補(bǔ)角：兩條直線(xiàn)相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角。
2.對(duì)頂角：一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)叫的兩邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)，像這樣的兩個(gè)角互為對(duì)頂角。
3.對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角的關(guān)系
4.垂直：兩條直線(xiàn)、兩個(gè)平面相交，或一條直線(xiàn)與一個(gè)平面相交，如果交角成直角，叫做互相垂直。
5.垂線(xiàn)：兩條直線(xiàn)相交成直角時(shí)，叫做互相垂直，其中一條叫做另一條的垂線(xiàn)。
6.垂足：如果兩直線(xiàn)的夾角為直角，那么就說(shuō)這兩條直線(xiàn)互相垂直，它們的交點(diǎn)叫做垂足。
7.垂線(xiàn)性質(zhì)
(1)在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直。
(2)連接直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上各點(diǎn)的所有線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短。簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線(xiàn)段最短。
(3)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離：直線(xiàn)外一點(diǎn)到這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線(xiàn)的距離。
8.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角：
同位角：∠1與∠5像這樣具有相同位置關(guān)系的一對(duì)角叫做同位角。
內(nèi)錯(cuò)角：∠2與∠6像這樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角。
同旁?xún)?nèi)角：∠2與∠5像這樣的一對(duì)角叫做同旁?xún)?nèi)角。
9.平行：在平面上兩條直線(xiàn)、空間的兩個(gè)平面或空間的一條直線(xiàn)與一平面之間沒(méi)有任何公共點(diǎn)時(shí)，稱(chēng)它們平行。
10.平行線(xiàn)：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線(xiàn)叫做平行線(xiàn)。
11.命題：判斷一件事情的語(yǔ)句叫命題。
12.真命題：正確的命題，即如果命題的題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立。
13.假命題：條件和結(jié)果相矛盾的命題是假命題。
14.平移：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，圖形的這種移動(dòng)叫做平移平移變換，簡(jiǎn)稱(chēng)平移。
15.對(duì)應(yīng)點(diǎn)：平移后得到的新圖形中每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這樣的兩個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)。
16.定理與性質(zhì)
對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等。
17.垂線(xiàn)的性質(zhì)：
性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直。
性質(zhì)2：連接直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上各點(diǎn)的所有線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短。
18.平行公理：經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行。
平行公理的推論：如果兩條直線(xiàn)都與第三條直線(xiàn)平行，那么這兩條直線(xiàn)也互相平行。
19.平行線(xiàn)的性質(zhì)：
性質(zhì)1：兩直線(xiàn)平行，同位角相等。
性質(zhì)2：兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。
性質(zhì)3：兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)。
20.平行線(xiàn)的判定：
判定1：同位角相等，兩直線(xiàn)平行。
判定2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行。
判定3：同旁?xún)?nèi)角相等，兩直線(xiàn)平行。
充要條件。（JT56W.cOM 檢討書(shū)大全）

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八年級(jí)數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)整理：全等圖形

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八年級(jí)數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)整理：全等圖形

一，全等三角形
教學(xué)目標(biāo)：1.理解全等三角形及相關(guān)概念，能夠從圖形中尋找全等三角形，探索并掌握全等三角形的性質(zhì)。
2.在圖形變換以及實(shí)際操作的過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直覺(jué)。
3.使學(xué)生在觀察、發(fā)現(xiàn)生活中的全等形和實(shí)際操作中獲得全等三角形的體念數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，并能夠利用性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。
4．三角形全等的“邊邊邊”的條件．
5．三角形全等的“邊角邊”的條件．
6．三角形全等的條件：角邊角、角角邊．
重點(diǎn)難點(diǎn)：1.探索全等三角形的性質(zhì)
2.三角形全等的表示方法與準(zhǔn)確找出全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素。
3.尋求三角形全等的條件．
4.靈活運(yùn)用三角形全等條件證明．
全等三角形的概念：在同一平面內(nèi)能夠完全重合（大小，形狀都相等的三角形）的兩個(gè)三角形稱(chēng)為全等三角形。
對(duì)應(yīng)頂點(diǎn):當(dāng)兩個(gè)三角形完全重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)。
對(duì)應(yīng)邊：互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，
對(duì)應(yīng)角：互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。
1.全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊。
2.全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角。
3.有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊。
4.有公共角的，角一定是對(duì)應(yīng)角。
5.有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角。
全等三角形的性質(zhì)：
1．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。
2．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等。
3．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高對(duì)應(yīng)相等。
4．全等三角形的對(duì)應(yīng)角的角平分線(xiàn)相等。
5．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線(xiàn)相等。
6．全等三角形面積相等。
7．全等三角形周長(zhǎng)相等。
判定公理:1．三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)稱(chēng)SSS或“邊邊邊”)，這一條是三角形具有穩(wěn)定性的原因。
2．兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)稱(chēng)SAS或“邊角邊”)。
3．兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)稱(chēng)ASA或“角邊角”)。
4．兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)稱(chēng)AAS或“角角邊”)。
5．直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(簡(jiǎn)稱(chēng)HL或“斜邊，直角邊”)。
SSS，SAS，ASA，AAS，HL均可作為判定三角形全等的定理。
注意：在全等的判定中，沒(méi)有AAA(角角角)和SSA(邊邊角)(特例：直角三角形為HL，因?yàn)楣垂啥ɡ?，只要確定了斜邊和一條直角邊，另一直角邊也確定，屬于SSS)，因?yàn)檫@兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀。
另外三條中線(xiàn)（或高、角平分線(xiàn)）分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形也全等。
找對(duì)應(yīng)元素的常用方法有三種：
（一）從運(yùn)動(dòng)角度看
1．平移法：沿某一方向推移使兩三角形重合來(lái)找對(duì)應(yīng)元素．
2．翻轉(zhuǎn)法：找到中心線(xiàn)，沿中心線(xiàn)翻折后能相互重合，從而發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)元素．
3．旋轉(zhuǎn)法：三角形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度能與另一三角形重合，從而發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)元素．
（二）根據(jù)位置元素來(lái)推理
1．全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊；兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊．
2．全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角；兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角．
（三）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來(lái)判斷
1.大邊對(duì)應(yīng)大邊，大角對(duì)應(yīng)大角
2.公共邊是對(duì)應(yīng)邊，公共角是對(duì)應(yīng)角
做題技巧:一般來(lái)說(shuō)考試中線(xiàn)段和角相等需要證明全等。因此我們可以來(lái)采取逆思維的方式。
1.想要證全等，則需要什么條件
2.要證某某邊等于某某邊，那么首先要證明含有那兩個(gè)邊的三角形全等。
3.然后把所得的等式運(yùn)用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）證明三角形全等。
4.有時(shí)還需要畫(huà)輔助線(xiàn)幫助解題。常用的輔助線(xiàn)有：倍長(zhǎng)中線(xiàn)，截長(zhǎng)補(bǔ)短等。

一、三角形全等的條件
首先我們看只給一個(gè)條件(一條邊或一個(gè)角)畫(huà)三角形時(shí)，畫(huà)出的三角形一定全等嗎？只給定一條邊時(shí)(如圖中的實(shí)線(xiàn)
)
由圖可知：這三個(gè)三角形不全等．只給定一個(gè)角時(shí)夾角(如圖中的實(shí)線(xiàn))．
由畫(huà)圖可知：這三個(gè)三角形也不全等．因此，只給出一個(gè)條件時(shí)，不能保證所畫(huà)出的三角形一定全等．
接下來(lái)我們探索：給出兩個(gè)條件時(shí)，所畫(huà)的三角形一定全等嗎？（1）三角形的一個(gè)內(nèi)角為30°，一條邊為3厘米（如圖）
．
這三個(gè)三角形不全等．（2）三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為30°和50°（如圖）．它們看起來(lái)的形狀一樣，但大小不一樣．
這兩個(gè)三角形不能重合，所以也不全等．（3）三角形的兩條邊分別為4cm、6cm（如圖）．
它們也不全等．我們通過(guò)畫(huà)圖、觀察、比較知道，只給出一個(gè)條件或兩個(gè)條件時(shí)，都不能保證所畫(huà)出的三角形一定全等．那么給出三個(gè)條件時(shí)，又怎樣呢？如果給出三個(gè)條件畫(huà)三角形，有四種可能．即：三條邊，三個(gè)角，兩邊一角和兩角一邊．下面我們來(lái)逐一探索．
1．已知三角形的三個(gè)內(nèi)角如果已知一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為40°、60°、80°．能畫(huà)出這個(gè)三角形，但有的能完全重合，有的不重合，所以它們不一定重合（如圖）．
通過(guò)比較得知：給出三角形的三個(gè)內(nèi)角，得到的三角形不一定全等．
2．已知三角形的三條邊如果已知一個(gè)三角形的三條邊分別是4cm，5cm和7cm．畫(huà)出這個(gè)三角形如圖．
比較可知：這樣的所有三角形都是全等的．由此可知：已知三角形的三邊，則畫(huà)出的所有三角形都全等．這樣就得到了三角形全等的條件：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．簡(jiǎn)寫(xiě)為：“邊邊邊”或“SSS”．
如下圖．
這是用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示該三角形全等的條件．
注意：三邊對(duì)應(yīng)相等是前提條件，三角形全等是結(jié)論．3．已知三角形的“兩角一邊”
如果“兩角一邊”條件中的邊是兩角所夾的邊．
如：三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是60°和80°，它們所夾的邊為2cm，我們來(lái)畫(huà)出這個(gè)三角形（如圖）．
經(jīng)過(guò)比較，它們?nèi)龋簿褪钦f(shuō)已知一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角及其夾邊，那么由此得到的三角形都是全等的．由此我們得到了判定三角形全等的另一條件：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．
簡(jiǎn)寫(xiě)為：“角邊角”或“ASA”．如圖，在△ABC和△DEF中．
在“兩角一邊”中，除“兩角及其夾邊”外，還有兩角及一角的對(duì)邊．
如果“兩角及一邊”條件中的邊是其中一角的對(duì)邊，如：三角形的兩個(gè)角分別為60°和45°，一邊長(zhǎng)為3cm（如圖）．
已知兩角及一角的對(duì)邊畫(huà)三角形時(shí)，不容易畫(huà)，但如果把“兩角及一角的對(duì)邊”轉(zhuǎn)化為“兩角及其夾邊”時(shí)，就可以了．因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為180°，已知兩個(gè)內(nèi)角，那么第三個(gè)內(nèi)角就可求出，這樣就把“兩角及一角的對(duì)邊”轉(zhuǎn)化為“兩角及其夾邊”．
（1）如果60°角所對(duì)的邊為3cm時(shí)，畫(huà)出的圖形如下：
經(jīng)比較：這樣得到的三角形都全等．（2）如果45°角所對(duì)的邊為3cm時(shí)，畫(huà)出的圖形如下．
經(jīng)比較：這樣條件的所有三角形都全等．由此我們又得到了判定三角形全等的另一條件：兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．簡(jiǎn)稱(chēng)“角角邊”或“AAS”．如圖．在△ABC和△DEF中．
4．已知三角形的兩邊及一角
如果已知一個(gè)三角形的兩邊及一角，有兩種情況：兩邊及這兩邊的夾角，兩邊及一邊的對(duì)角．
先看第一種情況下，兩個(gè)三角形是否全等．
如果“兩邊及一角”條件中的角是兩邊的夾角．如：三角形的兩條邊分別為2.5cm、3.5cm．它們的夾角為40°（如圖）．
經(jīng)過(guò)比較，如果已知三角形的兩邊及其夾角，那么所得的三角形都全等．
由此我們得到了三角形全等的條件：
兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．
簡(jiǎn)稱(chēng)“邊角邊”或“SAS”．
如圖，在△ABC和△DEF中．
接下來(lái)我們研究第二種情況．
如果“兩邊及一角”條件中的角是其中一邊的對(duì)角．如：兩條邊分別為2.5cm、3.5cm．長(zhǎng)度為2.5cm
的邊所對(duì)的角為
40°（如圖）．
按上述條件畫(huà)的三角形不唯一，存在不同的三角形滿(mǎn)足上述條件，如圖．
由圖可知：這兩個(gè)三角形不全等．
所以，兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等．因此可知：“兩邊及一角”中的兩種情況中只有一種能判定三角形全等．即：兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．
二、三角形的穩(wěn)定性
如果我們?nèi)∪L(zhǎng)度適當(dāng)?shù)哪緱l，用釘子釘成一個(gè)三角形的框架，所得到的框架的形狀固定嗎？用四根木條釘成的框架的形狀固定嗎？
圖(1)是用三根木條釘成的三角形框架，它的大小和形狀是固定不變的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中是很有用的．如：房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅(jiān)固和穩(wěn)定．
圖(2)的形狀是可以改變的，它不具有穩(wěn)定性．
那么要使圖(2)的框架不能活動(dòng)，在相對(duì)的頂點(diǎn)上釘一根木條，使它變?yōu)閮蓚€(gè)三角形框架即可．
在生活中經(jīng)常會(huì)看到采用三角形的結(jié)構(gòu)去建筑．就是用到了它的穩(wěn)定性．
小結(jié)：
通過(guò)上表可以看出，兩個(gè)三角形全等至少要有三個(gè)條件對(duì)應(yīng)相等；我們常用主要是“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”．

八年級(jí)數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)整理：探索規(guī)律

八年級(jí)數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)整理：探索規(guī)律

探索規(guī)律
探索規(guī)律的題目，通常按照一定的順序給出一系列量，要求我們根據(jù)這些已知的量找出一般規(guī)律。揭示的規(guī)律，常常包含著事物的序列號(hào)。所以，把變量和序列號(hào)放在一起加以比較，就比較容易發(fā)現(xiàn)其中的奧秘。
掌握探究的一般方法是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。
（1）掌握探究規(guī)律的方法，可以通過(guò)具體到抽象、特殊到一般的方法，有時(shí)通過(guò)類(lèi)比、聯(lián)想，還要充分利用已知條件或圖形特征進(jìn)行透徹分析，從中找出隱含的規(guī)律；
（2）恰當(dāng)合理的聯(lián)想、猜想，從簡(jiǎn)單的、局部的特殊情況到一般情況是基本思路，經(jīng)過(guò)歸納、提煉、加工，尋找出一般性規(guī)律，從而求解問(wèn)題。
探索規(guī)律題題型和解題思路:
1.探索條件型:結(jié)論明確,需要探索發(fā)現(xiàn)使結(jié)論成立的條件的題目;
探索條件型往往是針對(duì)條件不充分、有變化或條件的發(fā)散性等情況，解答時(shí)要注意全面性，類(lèi)似于討論；解題應(yīng)從結(jié)論著手，逆推其條件，或從反面論證，解題過(guò)程類(lèi)似于分析法。
2.探索結(jié)論型:給定條件,但無(wú)明確的結(jié)論或結(jié)論不唯一,而要探索發(fā)現(xiàn)與之相應(yīng)的結(jié)論的題目;
探索結(jié)論型題的特點(diǎn)是結(jié)論有多種可能，即它的結(jié)論是發(fā)散的、穩(wěn)定的、隱蔽的和存在的；
探索結(jié)論型題的一般解題思路是：
（1）從特殊情形入手，發(fā)現(xiàn)一般性的結(jié)論；
（2）在一般的情況下，證明猜想的正確性；
（3）也可以通過(guò)圖形操作驗(yàn)證結(jié)論的正確性或轉(zhuǎn)化為幾個(gè)熟悉的容易解決的問(wèn)題逐個(gè)解決。
3.探索規(guī)律型:在一定的條件狀態(tài)下,需探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的規(guī)律性或不變性的題目；
圖形運(yùn)動(dòng)題的關(guān)鍵是抓住圖形的本質(zhì)特征，并仿照原題進(jìn)行證明。在探索遞推時(shí)，往往從少到多，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，要通過(guò)比較和分析，找出每次變化過(guò)程中都具有規(guī)律性的東西和不易看清的圖形變化部分。
4.探索存在型:在一定的條件下,需探索發(fā)現(xiàn)某種數(shù)學(xué)關(guān)系是否存在的題目.而且探索題往往也是分類(lèi)討論型的習(xí)題,無(wú)論從解題的思路還是書(shū)寫(xiě)的格式都應(yīng)該讓學(xué)生明了基本的規(guī)范,這也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力要求。
探索存在型題的結(jié)論只有兩種可能：存在或不存在；
存在型問(wèn)題的解題步驟是：
①假設(shè)存在；
②推理得出結(jié)論（若得出矛盾，則結(jié)論不存在；若不得出矛盾，則結(jié)論存在）。
解答探索題型，必須在縝密審題的基礎(chǔ)上，利用學(xué)具，按照要求在動(dòng)態(tài)的過(guò)程中，通過(guò)歸納、想象、猜想，進(jìn)行規(guī)律的探索，提出觀點(diǎn)與看法，利用舊知識(shí)的遷移類(lèi)比發(fā)現(xiàn)接替方法，或從特殊、簡(jiǎn)單的情況入手，尋找規(guī)律，找到接替方法；解答時(shí)要注意方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用；因此其成果具有獨(dú)創(chuàng)性、新穎性，其思維必須嚴(yán)格結(jié)合給定條件結(jié)論，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維，這也是數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用的能力要求。

典型例題
現(xiàn)有一根長(zhǎng)為1的鐵絲：
①若把它圍成圖1所示的矩形框，當(dāng)矩形框的長(zhǎng)a與矩形框的寬b滿(mǎn)足a=_____b時(shí)所圍成的矩形框面積最大；
②若把它圍成圖2所示的矩形框，當(dāng)矩形框的長(zhǎng)a與矩形框的寬b滿(mǎn)足a=_____b時(shí)所圍成的矩形框面積最大；
③若把它圍成圖n所示的矩形框(圖中共有n+1條寬)，當(dāng)矩形框的長(zhǎng)a與矩形框的寬b滿(mǎn)足a=_____b時(shí)所圍成的矩形框面積最大．

答案：1
解析:通過(guò)觀察圖形，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律．
解：根據(jù)題意：①中有2（a+b）=1，且s=ab的最大值當(dāng)且僅當(dāng)矩形為正方形時(shí)，即a=b時(shí)取到；
②中，有2個(gè)a，有3個(gè)b，當(dāng)且僅當(dāng)矩形為正方形時(shí)，即2b=3a時(shí)，s=ab取得最大值；
故③中，按此規(guī)律，有2個(gè)a，有（n+1）個(gè)b，故當(dāng)且僅當(dāng)矩形為正方形時(shí)，即（n+1）b=2a時(shí)，s=ab取得最大值．
最新試題
1.探索規(guī)律：根據(jù)圖中箭頭指向的規(guī)律，從2009到2010再到2011，箭頭的方向是()
A.

B.

C.

D.

2.觀察下列各題：
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
…
根據(jù)上面各式的規(guī)律，請(qǐng)直接寫(xiě)出1+3+5+7+9+…+99=_____．
3.如圖是某同學(xué)在沙灘上用石于擺成的小房子．
觀察圖形的變化規(guī)律，寫(xiě)出第9個(gè)小房子用了_____塊石子．第n個(gè)小房子用了_____塊石子．

4.一張長(zhǎng)方形桌子需配6把椅子，按如圖方式將桌子拼在一起，那么8張桌子需配椅子_____把．

5.如圖所示，由一些圓組成形如正方形，每條“邊”(包括兩個(gè)頂點(diǎn))有n(n＞1)個(gè)圓：
(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出，當(dāng)n=5時(shí)，這個(gè)圖形總的圓數(shù)是_____．
(2)當(dāng)n=6時(shí)，這個(gè)圖形總的圓數(shù)是_____．
(3)當(dāng)每邊有n個(gè)圓時(shí)，則總圓數(shù)s是多少？

6.觀察表格，當(dāng)輸入8時(shí)，輸出_____．
輸入123456…
輸出345678…
7.如圖是用棋子成的“T”字圖案．從圖案中可以出，第一個(gè)“T”字圖案需要5枚棋子，第二個(gè)“T”字圖案需要8枚棋子，第三個(gè)“T”圖案需要11枚棋子．

(1)照此規(guī)律，擺成第八個(gè)圖案需要幾枚棋子？
(2)擺成第n個(gè)圖案需要幾枚棋子？
(3)擺成第2010個(gè)圖案需要幾枚棋子？
8.觀察下面一列有規(guī)律的數(shù)：，，，，，…，由規(guī)律可知，第n個(gè)數(shù)為_(kāi)____．
9.一串有趣的圖案按一定的規(guī)律排列(如圖)：

按此規(guī)律在右邊的圓中畫(huà)出的第2014個(gè)圖案：

(把具體圖形補(bǔ)充到圈里面)
10.如圖，下列圖案是相同的小正方形按一定的規(guī)律拼搭而成：第一個(gè)圖案有2個(gè)小正方形，第2個(gè)圖案有4個(gè)小正方形，…，依次規(guī)律，第10個(gè)圖案有小正方形的個(gè)數(shù)是()

A.54個(gè)
B.55個(gè)
C.56個(gè)
D.57個(gè)

八年級(jí)數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)整理：公因式

八年級(jí)數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)整理：公因式

因式分解
因式分解定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式的變形叫把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解。
因式分解要素：①結(jié)果必須是整式②結(jié)果必須是積的形式③結(jié)果是等式④
因式分解與整式乘法的關(guān)系：m(a+b+c)
公因式：一個(gè)多項(xiàng)式每項(xiàng)都含有的公共的因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。
公因式確定方法：①系數(shù)是整數(shù)時(shí)取各項(xiàng)最大公約數(shù)。②相同字母取最低次冪③系數(shù)最大公約數(shù)與相同字母取最低次冪的積就是這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。
提取公因式步驟：
①確定公因式。②確定商式③公因式與商式寫(xiě)成積的形式。
分解因式注意；
①不準(zhǔn)丟字母
②不準(zhǔn)丟常數(shù)項(xiàng)注意查項(xiàng)數(shù)
③雙重括號(hào)化成單括號(hào)
④結(jié)果按數(shù)單字母單項(xiàng)式多項(xiàng)式順序排列
⑤相同因式寫(xiě)成冪的形式
⑥首項(xiàng)負(fù)號(hào)放括號(hào)外
⑦括號(hào)內(nèi)同類(lèi)項(xiàng)合并。

基礎(chǔ)訓(xùn)練
1．多項(xiàng)式8x3y2-12xy3z的公因式是_________．
2．多項(xiàng)式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（）
A．-6ab2cB．-ab2C．-6ab2D．-6a3b2c
3．下列用提公因式法因式分解正確的是（）
A．12abc-9a2b2=3abc（4-3ab）B．3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2y）
C．-a2+ab-ac=-a（a-b+c）D．x2y+5xy-y=y（x2+5x）
4．下列多項(xiàng)式應(yīng)提取公因式5a2b的是（）
A．15a2b-20a2b2B．30a2b3-15ab4-10a3b2
C．10a2b-20a2b3+50a4bD．5a2b4-10a3b3+15a4b2
5．下列因式分解不正確的是（）
A．-2ab2+4a2b=2ab（-b+2a）B．3m（a-b）-9n（b-a）=3（a-b）（m+3n）
C．-5ab+15a2bx+25ab3y=-5ab（-3ax-5b2y）;D．3ay2-6ay-3a=3a（y2-2y-1）
6．填空題：
（1）ma+mb+mc=m（________）；（2）多項(xiàng)式32p2q3-8pq4m的公因式是_________；
（3）3a2-6ab+a=_________（3a-6b+1）；（4）因式分解：km+kn=_________；
（5）-15a2+5a=________（3a-1）；（6）計(jì)算：21×3.14-31×3.14=_________．
7．用提取公因式法分解因式：
（1）8ab2-16a3b3；（2）-15xy-5x2；
（3）a3b3+a2b2-ab；（4）-3a3m-6a2m+12am．
8．因式分解：-（a-b）mn-a+b．
提高訓(xùn)練
9．多項(xiàng)式m（n-2）-m2（2-n）因式分解等于（）
A．（n-2）（m+m2）B．（n-2）（m-m2）
C．m（n-2）（m+1）D．m（n-2）（m-1）
10．將多項(xiàng)式a（x-y）+2by-2bx分解因式，正確的結(jié)果是（）
A．（x-y）（-a+2b）B．（x-y）（a+2b）
C．（x-y）（a-2b）D．-（x-y）（a+2b）
11．把下列各式分解因式：
（1）（a+b）-（a+b）2；（2）x（x-y）+y（y-x）；
（3）6（m+n）2-2（m+n）；（4）m（m-n）2-n（n-m）2；
（5）6p（p+q）-4q（q+p）．
應(yīng)用拓展
12．多項(xiàng)式-2an-1-4an+1的公因式是M，則M等于（）
A．2an-1B．-2anC．-2an-1D．-2an+1
13．用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：39×37-13×34=_______．
14．因式分解：x（6m-nx）-nx2．
參考答案
1．4xy22．C3．C4．A5．C
6．（1）a+b+c（2）8pq3（3）a（4）k（m+n）
（5）-5a（6）-31.4
7．（1）8ab2（1-2a2b）（2）-5x（3y+x）
（3）ab（a2b2+ab-1）（4）-3am（a2+2a-4）
8．-（a-b）（mn+1）
9．C
10．C
11．（1）（a+b）（1-a-b）（2）（x-y）2（3）2（m+n）（3m+3n-1）
（4）（m-n）3（5）2（p+q）（3p-2q）
12．C13．39014．2x（3m-nx）