小學三年級數(shù)學教案

八年級數(shù)學下冊《勾股定理》知識點分析。

八年級數(shù)學下冊《勾股定理》知識點分析

1.勾股定理的內(nèi)容：如果直角三角形的兩直角邊分別是a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.即直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
注：勾最短的邊、股較長的直角邊、弦斜邊。
勾股定理又叫畢達哥拉斯定理
2.勾股定理的逆定理：
如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。
3.勾股數(shù)：
滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).勾股數(shù)擴大相同倍數(shù)后，仍為勾股數(shù).常用勾股數(shù)：3、4、5;5、12、13;7、24、25;8、15、17。
4.勾股定理常常用來算線段長度，對于初中階段的線段的計算起到很大的作用
例題精講：
練習：
例1：若一個直角三角形三邊的長分別是三個連續(xù)的自然數(shù)，則這個三角形的周長為
解析：可知三邊長度為3，4，5，因此周長為12
(變式)一個直角三角形的三邊為三個連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別為
解析：可知三邊長度為6，8，10，則周長為24
例2：已知直角三角形的兩邊長分別為3、4，求第三邊長.
解析：第一種情況：當直角邊為3和4時，則斜邊為5
第二種情況：當斜邊長度為4時，一條直角邊為3，則另一邊為根號7
《點評》此題是一道易錯題目，同學們應該認真審題!
例3：一個直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4，下列說法正確的是()
A.斜邊長為25
B.三角形周長為25
C.斜邊長為5
D.三角形面積為20
解析：根據(jù)勾股定理，可知斜邊長度為5，選擇CJAb88.cOM

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八年級數(shù)學上冊知識點：勾股定理

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八年級數(shù)學上冊知識點：勾股定理

一、勾股定理：
1.勾股定理內(nèi)容：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，斜邊長為c，那么a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
２.勾股定理的證明：
勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法
用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是：
（1）圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變；
（2）根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理。

4.勾股定理的適用范圍：
勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征。
二、勾股定理的逆定理
1.逆定理的內(nèi)容：如果三角形三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形，其中c為斜邊。
說明：（1）勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，若它們相等時，以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形；
（2）定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長a，b，c滿足a2+b2=c，那么以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但此時的斜邊是b.
2.利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否為直角三角形的一般步驟：
（1）確定最大邊；
（2）算出最大邊的平方與另兩邊的平方和；
（3）比較最大邊的平方與別兩邊的平方和是否相等，若相等，則說明是直角三角形。
三、勾股數(shù)
能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù).
四、一個重要結(jié)論：
由直角三角形三邊為邊長所構(gòu)成的三個正方形滿足“兩個較小面積和等于較大面積”。
五、勾股定理及其逆定理的應用
解決圓柱側(cè)面兩點間的距離問題、航海問題，折疊問題、梯子下滑問題等，常直接間接運用勾股定理及其逆定理的應用。
常見考法
（1）直接考查勾股定理及其逆定理；（2）應用勾股定理建立方程；（3）實際問題中應用勾股定理及其逆定理。
誤區(qū)提醒
（1）忽略勾股定理的適用范圍；（2）誤以為直角三角形中的一定是斜邊。
【典型例題】（2010湖北孝感）
[問題情境]
勾股定理是一條古老的數(shù)學定理，它有很多種證明方法，我國漢代數(shù)學家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法進行證明，著名數(shù)學家華羅庚曾提出把“數(shù)形關(guān)系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進行第一次“談話”的語言。
[定理表述]
請你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號語言敘述）；
[嘗試證明]
以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a、b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2），請你利用圖2，驗證勾股定理；
[知識拓展]

勾股定理
一、勾股定理概述
直角三角形中，兩直邊的平方和等于斜邊的平方。
即令直角三角形ABC中，其中角C=90°，直邊BC的長度為a，AC的長度為b，斜邊AB的長度為c,則有a+b=c
①勾股定理應用的前提是這個三角函數(shù)必須是直角三角形，解題時，只能是同一直角三角形中時，才能利用它求第三邊邊長
②在式子a+b=c中，a、b代表直角三角形的兩條直角邊，c代表斜邊，它們之間的關(guān)系不能弄錯
③遇到直角三角形中線段求值問題（知識點詳解見解直角三角形），要首先向到勾股定理，勾股定理把“數(shù)”與“形”有機結(jié)合起來，把直角三角形這一“形”與三邊關(guān)系這一“數(shù)”結(jié)合起來，是屬性結(jié)合思想方法的典型。
④勾股定理的變式
在Rt△ABC中，其中角C=90°，直邊BC的長度為a，AC的長度為b，斜邊AB的長度為c，則
c=a+b
a=c-b=（c-b）(c+b)
b=c-a=(c-a)(c=a)
c=根號下（a+b）
a=根號下（c-b）
b=根號下（c-a）
二、勾股定理證明方法
1.面積法
一個直角梯形由2個直角邊分別為a、b，斜邊為c的直角三角形和1個直角邊為c的等腰直角三角形拼成。因為三個直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所以可以列出等式
1/2c2+2*1/2ab=(a+b)(b+a)/2，化簡c2=a2+b2
2.趙爽證明法
以a、b為直角邊（ba），以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于1/2ab.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀.
∵RtΔDAH≌RtΔABE,
∴∠HDA=∠EAB.
∵∠HAD+∠HAD=90，
∴∠EAB+∠HAD=90，
∴ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等于c2.
∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90.
∴EFGH是一個邊長為b―a的正方形，它的面積等于(b-a)2.
∴4*1/2ab+(b-a)2=c2
∴a2+b2=c2
三、勾股定理的逆定理
如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形。最長邊所對的角為直角。
勾股定理的逆定理是識別一個三角形是直角三角形的一種理論依據(jù)，它通過數(shù)形結(jié)合來確定三角形的形狀，在運用這一定理時，可以用兩短邊的平方和a+b與較長邊的平方c做比較，如果a+b=c，則此三角形為直角三角形，若a+b＞c，此三角形為銳角三角形，若a+b＜c，則此三角形為鈍角三角形

八年級數(shù)學上冊知識點歸納：勾股定理的逆定理

八年級數(shù)學上冊知識點歸納：勾股定理的逆定理

知識點總結(jié)
一、勾股定理：
1.勾股定理內(nèi)容：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，斜邊長為c，那么a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
２.勾股定理的證明：
勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法
用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是：
（1）圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變；
（2）根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理。
4.勾股定理的適用范圍：
勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征。
二、勾股定理的逆定理
1.逆定理的內(nèi)容：如果三角形三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形，其中c為斜邊。

說明：（1）勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，若它們相等時，以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形；
（2）定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長a，b，c滿足a2+b2=c，那么以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但此時的斜邊是b.
2.利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否為直角三角形的一般步驟：
（1）確定最大邊；
（2）算出最大邊的平方與另兩邊的平方和；
（3）比較最大邊的平方與別兩邊的平方和是否相等，若相等，則說明是直角三角形。
三、勾股數(shù)
能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù).
四、一個重要結(jié)論：
由直角三角形三邊為邊長所構(gòu)成的三個正方形滿足“兩個較小面積和等于較大面積”。
五、勾股定理及其逆定理的應用
解決圓柱側(cè)面兩點間的距離問題、航海問題，折疊問題、梯子下滑問題等，常直接間接運用勾股定理及其逆定理的應用。
常見考法
（1）直接考查勾股定理及其逆定理；（2）應用勾股定理建立方程；（3）實際問題中應用勾股定理及其逆定理。
誤區(qū)提醒
（1）忽略勾股定理的適用范圍；（2）誤以為直角三角形中的一定是斜邊。
【典型例題】（2010湖北孝感）
[問題情境]
勾股定理是一條古老的數(shù)學定理，它有很多種證明方法，我國漢代數(shù)學家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法進行證明，著名數(shù)學家華羅庚曾提出把“數(shù)形關(guān)系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進行第一次“談話”的語言。
[定理表述]
請你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號語言敘述）；
[嘗試證明]
以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a、b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2），請你利用圖2，驗證勾股定理；
[知識拓展]

一、選擇題(共10小題，每小題4分，滿分40分)
1.△ABC的三邊分別為下列各組值，其中不是直角三角形三邊的是()
A.a=41，b=40，c=9B.a=1.2，b=1.6，c=2
C.a=12，b=13，c=14D.a=35，b=45，c=1
2.以下列數(shù)組為三角形的邊長：(1)5，12，13;(2)10，12，13;(3)7，24，25;(4)6，8，10，其中能構(gòu)成直角三角形的有()
A.4組B.3組C.2組D.1組
3.五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形，如圖，其中正確的是()
A.
B.
C.
D.
4.下列命題中，真命題是()
A.如果三角形三個角的度數(shù)比是3：4：5，那么這個三角形是直角三角形;
B.如果直角三角形兩直角邊的長分別為a和b，那么斜邊的長為a2+b2;
C.若三角形三邊長的比為1：2：3，則這個三角形是直角三角形;
D.如果直角三角形兩直角邊分別為a和b，斜邊為c，那么斜邊上的高h的長為abc顯示解析5.下列命題的逆命題是真命題的是()
A.若a=b，則a2=b2
B.全等三角形的周長相等
C.若a=0，則ab=0
D.有兩邊相等的三角形是等腰三角形
顯示解析6.△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，下列命題中的假命題是()
A.如果∠C-∠B=∠A，則△ABC是直角三角形
B.如果c2=b2-a2，則△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C.如果(c+a)(c-a)=b2，則△ABC是直角三角形
D.如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，則△ABC是直角三角形
7.下列四條線段不能組成直角三角形的是()
A.a=8，b=15，c=17B.a=9，b=12，c=15
C.a=5，b=3，c=2
D.a：b：c=2：3：4
8.以下面每組中的三條線段為邊的三角形中，是直角三角形的是()
A.5cm，12cm，13cmB.5cm，8cm，11cm
C.5cm，13cm，11cmD.8cm，13cm，11cm
9.△ABC中，如果三邊滿足關(guān)系BC2=AB2+AC2，則△ABC的直角是()
A.∠CB.∠AC.∠BD.不能確定
10.三角形的三邊長為a，b，c，且滿足(a+b)2=c2+2ab，則這個三角形是()
A.等邊三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.銳角三角形
二、填空題(共16小題，滿分40分)
11.已知△ABC的三邊長a，b，c分別為6，8，10，則△ABC(請?zhí)睢笆恰被颉安皇恰?直角三角形.顯示解析12.△ABC中，AB=7，AC=24，BC=25，則∠A=度.顯示解析13.△ABC中，BC=n2-1，AC=2n，AB=n2+1(n1)，則這個三角形是三角形.顯示解析14.如果三角形的三邊長為1.5，2，2.5，那么這個三角形最短的高為.顯示解析15.已知一個三角形的三邊長分別為k+1，k+2，k+3，那么當k=時，此三角形是直角三角形.☆☆☆☆☆顯示解析16.在△ABC中，若a2+b2=25，a2-b2=7，c=5，則最大邊上的高為.顯示解析17.若一個三角形的三邊之比為5：12：13，且周長為60cm，則它的面積為cm2.★☆☆☆☆顯示解析18.三角形的兩邊長為5和4，要使它成為直角三角形，則第三邊的平方為.顯示解析19.如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這條邊所對的角等于度.☆☆☆☆☆顯示解析三、解答題(共8小題，滿分0分)
27.如圖所示，四邊形ABCD中，BA⊥DA，AB=2，AD=23，CD=3，BC=5，則∠ADC=度.顯示解析
28.如圖所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周長為36cm，點P從點A開始沿AB邊向B點以每秒1cm的速度移動;點Q從點B沿BC邊向點C以每秒2cm的速度移動，如果同時出發(fā)，則過3秒時，△BPQ的面積為cm2.☆☆☆☆☆顯示解析
29.已知：如圖，四邊形ABCD，AB=1，BC=34，CD=134，AD=3，且AB⊥BC.則四邊形ABCD的面積為.顯示解析
30.如圖，小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計算一下土地的面積，以便計算一下產(chǎn)量.小明找了一卷米尺，測得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90度.那么這塊土地的面積為平方米.顯示解析
31.如圖，在操場上豎直立著一根長為2米的測影竿，早晨測得它的影長為4米，中午測得它的影長為1米，則A、B、C三點構(gòu)成直角三角形(請?zhí)睢澳堋被颉安荒堋?顯示解析32.如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個基地前去攔截，六分鐘后同時到達C地將其攔截.已知甲巡邏艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行50海里，航向為北偏西40°，則甲巡邏艇的航向為北偏東度.
33.能夠成為直角三角形三邊長的三個正整數(shù)，我們稱之為一組勾股數(shù)，觀察下列表格所給出的三個數(shù)a，b，c，a
(1)試找出它們的共同點，并證明你的結(jié)論;
(2)寫出當a=17時，b，c的值.3，4，532+42=52
5，12，13，52+122=132
7，24，2572+242=252
9，40，4192+402=412……17，b，c172+b2=c2
34.已知：在△ABC中，CD⊥AB于D，且CD2=ADBD.
求證：△ABC總是直角三角形.

八年級數(shù)學勾股定理

北師大版八年級數(shù)學（上）第一章勾股定理
教學分析與建議
一、主要內(nèi)容
勾股定理在數(shù)學的發(fā)展歷史上起過重要的作用，在現(xiàn)實世界中也有著廣泛的應用。它的發(fā)現(xiàn)、證明和應用都蘊涵著豐富的數(shù)學的、文化的內(nèi)涵。它是幾何學中的重要的定理之一。
教材為學生設(shè)計了自主探索勾股定理內(nèi)容以及驗證它的素材和空間，教學中要使學生經(jīng)歷觀察、歸納、猜想和驗證的數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程
教材的設(shè)計過程中，希望學生能夠利用方格紙?zhí)剿鞴垂啥ɡ韮?nèi)容，并且能利用拼圖驗證勾股定理，再次就是通過測量獲得勾股定理的逆定理
教材提供了較為豐富的歷史的或現(xiàn)實的例子，以展示勾股定理及其逆定理的應用，體現(xiàn)其文化價值。當然限于學生的已有知識，問題解決中所涉及的數(shù)據(jù)均為完全平方數(shù)，本章更多的關(guān)注學生對勾股定理及其逆定理的理解和應用，不追求復雜計算。
二，評價建議
1，關(guān)注對探索勾股定理等活動的評價。一方面要關(guān)注學生是否積極參與，是否能與同伴進行有效合作交流；另一方面也要關(guān)注學生在活動中能否進行積極的思考，能否探索出解決問題的方法，是否能夠進行積極的思考，在活動中學生所表現(xiàn)出的歸納，概括能力，學生是否能夠有條理地表達活動過程和所獲得的結(jié)論等。
2，關(guān)注考查對勾股定理及其逆定理的理解和應用。注意評價時，不應以復雜運算為主，我們應更另關(guān)注學生對有關(guān)結(jié)論的正確使用。
三、教學目標
l．經(jīng)歷探索勾股定理及一個三角形是直角三角形的條件的過程，發(fā)展合情推理能力，體會數(shù)形結(jié)合的思想．
2．掌握勾股定理，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法，并能運用勾股定理解決一些實際問題。
3．掌握判斷一個三角形是直角三角形的條件，并能運用它解決一些實際問題。
4．通過實例了解勾股定理的歷史和應用，體會勾股定理的文化價值。

四、教材特點
勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結(jié)論，它有著悠久的歷史，在數(shù)學發(fā)展中起過重要的作用，在現(xiàn)實世界中也有著廣泛的應用。勾股定理的發(fā)現(xiàn)、驗證和應用蘊涵著豐富的文化價值。勾股定理從邊的角度進一步刻畫了直角三角形的特征，通過對勾股定理的學習，學生將在原有的基礎(chǔ)上對直角三角形有進一步的認識和理解。
為了使學生能更好地認識勾股定理、發(fā)展推理能力，教科書設(shè)計了在方格紙上通過計算面積的方法探索勾股定理的活動，同時又安排了用拼圖的方法驗證勾股定理的內(nèi)容，試圖讓學生經(jīng)歷觀察、歸納、猜想和驗證的數(shù)學發(fā)現(xiàn)的過程，同時也滲透了代數(shù)運算與幾何圖形之間的關(guān)系（如將a2,b2,c2與正方形的面積聯(lián)系起來，再由比較同一正方形面積的幾種不同的代數(shù)表示得到勾股定理）。
勾股定理的逆定理也有著重要的地位，但在本章中不要求學生從邏輯上對定理與逆定理進行一般的認識，因此，教科書中沒有給出勾股定理逆定理的名稱，而是稱之為直角三角形的判別條件。教科書以歷史上古埃及人作直角的方法引人“三角形的三邊長如果滿足a2+b2=c2是否能得到一個直角三角形”的問題，然后通過讓學生按已知數(shù)據(jù)作出三角形，并測量三角形三個內(nèi)角的度數(shù)來獲得一個三角形是直角三角形的有關(guān)邊的條件。
為了讓學生更好地體會勾股定理及逆定理在解決實際問題中的作用，教科書提供了較為豐富的歷史的或現(xiàn)實的例子來展示它們的應用，體現(xiàn)了它們的文化價值。限于學生已有的知識，有關(guān)應用中涉及的數(shù)均為完全平方數(shù)，本章更多關(guān)注的是對勾股定理的理解和實際應用，而不追求計算上的復雜。在學生學習了無理數(shù)之后，可以再利用勾股定理解決一些涉及無理數(shù)運算的實際問題。
五、課時安排建議
1．探索勾股定理2課時
2．能得到直角三角形嗎1課時
3．螞蟻怎樣走最近1課時
六、具體內(nèi)容分析
1、探索勾股定理（第一課時）
本節(jié)核心內(nèi)容：勾股定理及它的探索過程
在教學中，我們可以通過介紹我國數(shù)學家華羅庚的建議——向宇宙發(fā)射勾股定理的圖形與外星人聯(lián)系，并說明勾股定理是我國古代數(shù)學家于2000年前就發(fā)現(xiàn)了的，激發(fā)學生對勾股定理的興趣和自豪感，引入課題．其中課本中的，做一做”采用的是數(shù)方格的方法；“議一議”對歸納基礎(chǔ)的加強；“想一想”是一個有趣的實際問題；
教科書設(shè)計了在方格紙上通過計算面積的方法探索勾股定理的活動，教師應鼓勵學生充分經(jīng)歷這一觀察、歸納、猜想的過程！鼓勵學生嘗試求出方格中三個正方形的面積，比較這三個正方形的面積，由此得到直角三角形三邊的關(guān)系，通過對幾個特殊例子的考察歸納出直角三角形三邊之間的一般規(guī)律，運用自己的語言表達探索過程和所得結(jié)論．當然教學時，教師也可以根據(jù)學生的實際情況，設(shè)計其他的探索情景。
勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，是直角三角形的一個重要性質(zhì)．如有條件，還可以利用計算機（幾何畫板軟件動態(tài)顯示）的優(yōu)越條件，提供足夠充分的典型材料——形狀大小、位置發(fā)生變化的各種直角三角形，讓學生觀察分析，歸納概括，探索出直角三角形三邊之間的關(guān)系式，并通過與銳角、鈍角三角形的對比，強調(diào)直角三角形的這個特有性質(zhì)，啟發(fā)學生獨立分析問題、發(fā)現(xiàn)問題、總結(jié)規(guī)律的教學方法．
教學中要注意：a，多采取小組合作討論的方式b,給學生留下充分的探索實踐的時間和空間c,介紹相關(guān)的背景材料

2，探索勾股定理（第二課時）
本節(jié)核心內(nèi)容：用拼圖來驗證勾股定理及其一個簡單運用。
在勾股定理的探索和驗證過程中，數(shù)形結(jié)合的思想有較多的體現(xiàn)．教師在教學中應注意滲透這種思想，鼓勵學生從代數(shù)表示聯(lián)想到有關(guān)的幾何圖形，由幾何圖形聯(lián)想到有關(guān)的代數(shù)表示，這有助于學生認識數(shù)學的內(nèi)在聯(lián)系。例如，在探索勾股定理的過程中，教師應引導學生由正方形的面積想到a2,b2,c2，而在勾股定理的驗證過程中，教師又應引導學生由數(shù)“a2+b2=c2想到正方形的面積?！痹诮虒W中，“議一議”使學生進一步體會直角三角形三邊的關(guān)系，要給學生充分的討論空間。
勾股定理的發(fā)現(xiàn)、驗證及應用的過程蘊涵了豐富的文化價值，古代很多國家和民族都對勾股定理有不同程度的認識和了解，我國是最早了解勾股定理的國家之一．當考慮等腰直角三角形的斜邊時，這一定理又導致了無理數(shù)的產(chǎn)生一數(shù)學歷史上的第一次數(shù)學危機。教師應鼓勵每一個學生閱讀教科書提供的勾股定理的歷史，并可以向?qū)W生再展示一些歷史資料。教師還可以引導學生自己從書籍、網(wǎng)絡上查閱資料，了解更多的有關(guān)勾股定理的內(nèi)容，體會它的文化價值．

3，能得到直角三角形嗎
本節(jié)的核心內(nèi)容是：掌握直角三角形的判別條件。
課本創(chuàng)設(shè)了古埃及人利用結(jié)繩的方法作出直角，教師還可以創(chuàng)設(shè)其他現(xiàn)實情境或鼓勵學生自己尋找有關(guān)問題，進一步展現(xiàn)勾股定理和逆定理在解決問題中的作用，認識現(xiàn)實世界中蘊涵著豐富的數(shù)學信息。在教學中，“做一做”是用計算、畫圖再測量的方法歸納出勾股定理的逆定理。歸納的基礎(chǔ)應盡可能的厚實一些，但此處有一定的作圖困難。教師可對其正確性予以說明。還要讓學生熟悉一些常用的勾股數(shù)。
3，螞蟻怎樣走最近
本節(jié)的核心內(nèi)容是：勾股定理及其判別條件的簡單運用。
這一節(jié)內(nèi)容，可以讓學生先自主探索，再引導其考慮側(cè)面展開圖來解決問題，培養(yǎng)空間觀念。本節(jié)課要以教師為主導，以學生為主體，以知識為載體，以培養(yǎng)學生的思維能力，動手能力，探究能力為重點的教學思想。在課堂教學中，盡量為學生提供“做中學”的空間，小組合作，探究交流得到了真正體現(xiàn)。數(shù)學源于生活，并運用于生活是整節(jié)課的一條暗線貫穿其中。
這節(jié)課的目標具體的可以分為：
1、初步運用勾股定理及直角三角形的判別條件（即勾股定理的逆定理）解決簡單的實際問題。
2、能在實際問題中構(gòu)造直角三角形，提高建模能力，進一步深化對構(gòu)造法和代數(shù)計算法和理解。
3、在解決實際問題的過程中，體驗空間圖形展開成平面圖形時，對應的點，線的位置關(guān)系，從中培養(yǎng)空間觀念。
4、在解決實際問題的過程中，進一步培養(yǎng)從“形”到“數(shù)”和從“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學生的轉(zhuǎn)化、推理能力。
5、通過研究勾股定理的歷史，了解中華民族文化的發(fā)展對數(shù)學發(fā)展的貢獻，激發(fā)學生的愛國熱情和學習數(shù)學的興趣。
總之，我們要培養(yǎng)學生從空間到平面的想象能力，運用數(shù)學方法解決實際問題的創(chuàng)新能力及探究意識。

課題學習
拼圖與勾股定理
一，教學建議
l．本課題具有一定的挑戰(zhàn)性，學生可以采用小組合作的方式進行研究。在小組活動中，教師應提供給學生充分實踐、探索和交流的時間，鼓勵他們積極思考解決問題的方法，并與他人進行合作與交流。教師應深入到各小組中傾聽學生們的討論，了解他們的思考過程并給予一定的指導．在小組活動的基礎(chǔ)上，教師要組織各小組在全班充分交流自己的成果。
2．教科書只是提供了該課題研究的基本線索，教師可以根據(jù)學生的特點自己設(shè)置若干小課題，以保證所有的人都能參與本課題的討論．但由于課題學習的主要目標是培養(yǎng)學生綜合運用所學知識和方法解決挑戰(zhàn)性問題的能力，不宜將課題分解成一個一個的小問題，限制學生的思維．
二，評價建議
1．由于課題學習更關(guān)注解決問題的過程，所以教師在評價時應首先關(guān)注學生在小組活動中的表現(xiàn)。對此的評價主要包括兩個方面．一是學生參與活動的積極程度，包括是否積極思考，探索解決問題的方法；是否樂于與小組其他成員進行合作，愿意與同伴交流各自的想法；是否有解決問題的自信心，能夠不回避遇到的困難等。二是學生在活動中所表現(xiàn)出來的思考水平，包括是否能夠通過動手操作和獨立思考獲得解決問題的思路；能否找到有效解決問題的方法，嘗試從不同的角度去思考問題；是否理解他人的思路，并在與同伴交流中獲益；是否有反思自己思考過程的意識等，即要對學生的動手操作能力、推理能力、空間觀念、口頭表達能力等作出綜合的評價．
2．教師要注意觀察學生的活動過程，特別是及時記錄學生獨特的解決問題的想法。教師要注意了解學生的差異（思維特征與活動水平），學生只要能積極投人到活動中都要給予鼓勵，同時促進每一個學生得到不同的發(fā)展。

三，教學目標：
1，經(jīng)歷綜合運用已有知識解決問題的過程，在此過程中，加深對勾股定理、整式運算、面積等的認識。
2．經(jīng)歷用不同的拼圖方法驗證勾股定理的過程！體驗解決同一問題方法的多樣性，進一步體會勾股定理的文化價值。
3，通過驗證過程中數(shù)與形的結(jié)合，體會數(shù)形結(jié)合的思想以及數(shù)學知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。
4．通過豐富有趣的拼圖活動，經(jīng)歷觀察、比較、拼圖、計算，推理、交流等過程，發(fā)展空間觀念和有條理地思考與表達的能力，獲得一些研究問題與合作交流的方法與經(jīng)驗。
5．通過獲得成功的體驗和克服困難的經(jīng)歷，增進數(shù)學學習的信心。
四，教材特點
勾股定理是數(shù)學中一個非常重要的定理。長期以來，人們對它進行了大量的研究，找到了許多不同的驗證方法。這些方法不僅驗證了勾股定理，而且豐富了研究問題的手段，促進了數(shù)學的發(fā)展。
本課學習給出了中國古代歷史上利用拼圖的方法對勾股定理進行驗證的幾種思路，也介紹了國外一些驗證勾股定理的方法。在本課題中，設(shè)計了豐富的拼圖活動！學生經(jīng)過自己的操作與思考，一方面經(jīng)歷了驗證勾股定理的過程，感受了解決同一問題的不同方法，激發(fā)了數(shù)學學習的興趣，積累了數(shù)學活動經(jīng)驗；另一方面通過對中外多種方法的了解，開闊了視野，感受到了古代人民的聰明才智。
課題學習中給出的驗證方法，雖然都與圖形的拼擺、分割有關(guān)，但又各有特點．第一部分的拼圖方法與第一章第一節(jié)中驗證方法有共同之處，都是將數(shù)與形聯(lián)系起來，由所拼圖形的面積表達式之間的關(guān)系，通過代數(shù)恒等變形驗證勾股定理。第二部分介紹的是“青朱出人圖”，它是我國古代數(shù)學家利用拼圖來驗證勾股定理的一種著名方法，這種方法是利用拼圖來說明以勾、股為邊長的正方形（分別稱為朱和青），經(jīng)過割補可以拼成以弦為邊長的正方形．在這部分的學習中，主要以學生的實踐活動為主。
第三部分介紹了意大利著名畫家達芬奇對勾股定理的一種研究結(jié)果，他的方法新穎，具有一定的操作性，可以開闊學生的視野、豐富學生的想像。

五，課時安排建議
2課時

六，教學建議
本節(jié)課的核心內(nèi)容是：用多種拼圖方法來驗證勾股定理的過程。
第一課時可以完成議一議。在教學中，教師可以首先回顧第一章中進行過的驗證勾股定理的過程，指明本課題學習的目的，激發(fā)學生的探索欲望。課題提出后，教師可以不馬上進入到下一環(huán)節(jié)，而是讓學生先獨立思考和討論一段時間在學生思維遇到困難而又迫切希望行到幫助的時候，自然引入下一環(huán)節(jié)。在做議一議的時候，教師應該先讓學生觀察圖1，讓學生感知由數(shù)到形的過程。然后鼓勵學生用同樣的思路擺出不同的圖形，并讓學生得到充分的實踐。最后讓成功者上來演示，強化他的成功的感覺，激發(fā)其他同學渴求成功的欲望。完成做一做，在做一做中，必須要讓學生先回家準備好兩副五巧板，在做五巧板的時候
本節(jié)課的核心內(nèi)容：利用五巧板來驗證勾股定理。
第二課時，完成青朱出入圖的討論與想一想。經(jīng)過上一節(jié)課五巧板的拼圖，學生已有一點的經(jīng)驗。教師現(xiàn)在展示“青朱出入圖”學生會感覺到親切。并讓學生根據(jù)拼圖幫助理解“青朱出入圖”意思。學生理解后拼出展示過的“青朱出入圖”，學生通過拼圖，從而抓住拼圖的要點，即用已有的兩副“五巧板”拼成分別“長”在直角三角形三邊上的三個正方形。注意，教學中，要給學生留有充分的時間和空間來拼擺圖形，引導要適度，不要限制學生的思維。同時鼓勵學生在拼圖的過程中進行交流合作。
整個教學過程中，教師要注意引導學生及時反思自己的活動過程以及在小組活動中的表現(xiàn)，積累數(shù)學活動與合作交流的經(jīng)驗。

素材精選：
1.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是_____________.

2．.印度數(shù)學家什迦邏（1141年-1225年）曾提出過“荷花問題”：
“平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；
出泥不染亭亭立，忽被強風吹一邊，
漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠；
能算諸君請解題，湖水如何知深淺？”
請用學過的數(shù)學知識回答這個問題。

3．如圖，A、B是筆直公路l同側(cè)的兩個村莊，且兩個村莊到直路的距離分別是300m和500m，兩村莊之間的距離為d(已知d2=400000m2)，現(xiàn)要在公路上建一汽車?？空?，使兩村到?？空镜木嚯x之和最小。問最小是多少？

4．圖，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，則OD2=____________.

5．寒冷的冬天，你需要一杯熱熱的朱古力?？墒窃谡{(diào)制的過程中，老師遇到了這樣一個問題：攪拌棒的長度太短了，不能攪拌到底部的飲料。已知圓柱形水杯的底面直徑為5cm，高為12cm，你能幫老師計算一下攪拌棒至少要多長嗎？老師新買的一根長為24cm的攪拌棒，如果設(shè)其露在杯子外面的長為hcm，你能求出h的取值范圍嗎？
處理方式：1）分小組活動，動手實驗。
2）畫圖，并計算。

6．如圖是棱長為4cm的立方體木塊，一只螞蟻現(xiàn)在A點，
若在B點處有一塊糖，它想盡快吃到這塊糖，則螞蟻沿正
方體表面爬行的最短路程是cm；

7．如圖，一塊草坪的形狀為四邊形ABCD，其中∠B=90，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m，求這塊草坪的面積。