小學三年級數(shù)學教案

八年級數(shù)學上冊知識點：勾股定理。

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八年級數(shù)學上冊知識點：勾股定理

一、勾股定理：
1.勾股定理內(nèi)容：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，斜邊長為c，那么a2+b2=c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
２.勾股定理的證明：
勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法
用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是：
（1）圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變；
（2）根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理。jab88.COm

4.勾股定理的適用范圍：
勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征。
二、勾股定理的逆定理
1.逆定理的內(nèi)容：如果三角形三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形，其中c為斜邊。
說明：（1）勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，若它們相等時，以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形；
（2）定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長a，b，c滿足a2+b2=c，那么以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但此時的斜邊是b.
2.利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否為直角三角形的一般步驟：
（1）確定最大邊；
（2）算出最大邊的平方與另兩邊的平方和；
（3）比較最大邊的平方與別兩邊的平方和是否相等，若相等，則說明是直角三角形。
三、勾股數(shù)
能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù).
四、一個重要結(jié)論：
由直角三角形三邊為邊長所構(gòu)成的三個正方形滿足“兩個較小面積和等于較大面積”。
五、勾股定理及其逆定理的應(yīng)用
解決圓柱側(cè)面兩點間的距離問題、航海問題，折疊問題、梯子下滑問題等，常直接間接運用勾股定理及其逆定理的應(yīng)用。
常見考法
（1）直接考查勾股定理及其逆定理；（2）應(yīng)用勾股定理建立方程；（3）實際問題中應(yīng)用勾股定理及其逆定理。
誤區(qū)提醒
（1）忽略勾股定理的適用范圍；（2）誤以為直角三角形中的一定是斜邊。
【典型例題】（2010湖北孝感）
[問題情境]
勾股定理是一條古老的數(shù)學定理，它有很多種證明方法，我國漢代數(shù)學家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法進行證明，著名數(shù)學家華羅庚曾提出把“數(shù)形關(guān)系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進行第一次“談話”的語言。
[定理表述]
請你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號語言敘述）；
[嘗試證明]
以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a、b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2），請你利用圖2，驗證勾股定理；
[知識拓展]

勾股定理
一、勾股定理概述
直角三角形中，兩直邊的平方和等于斜邊的平方。
即令直角三角形ABC中，其中角C=90°，直邊BC的長度為a，AC的長度為b，斜邊AB的長度為c,則有a+b=c
①勾股定理應(yīng)用的前提是這個三角函數(shù)必須是直角三角形，解題時，只能是同一直角三角形中時，才能利用它求第三邊邊長
②在式子a+b=c中，a、b代表直角三角形的兩條直角邊，c代表斜邊，它們之間的關(guān)系不能弄錯
③遇到直角三角形中線段求值問題（知識點詳解見解直角三角形），要首先向到勾股定理，勾股定理把“數(shù)”與“形”有機結(jié)合起來，把直角三角形這一“形”與三邊關(guān)系這一“數(shù)”結(jié)合起來，是屬性結(jié)合思想方法的典型。
④勾股定理的變式
在Rt△ABC中，其中角C=90°，直邊BC的長度為a，AC的長度為b，斜邊AB的長度為c，則
c=a+b
a=c-b=（c-b）(c+b)
b=c-a=(c-a)(c=a)
c=根號下（a+b）
a=根號下（c-b）
b=根號下（c-a）
二、勾股定理證明方法
1.面積法
一個直角梯形由2個直角邊分別為a、b，斜邊為c的直角三角形和1個直角邊為c的等腰直角三角形拼成。因為三個直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所以可以列出等式
1/2c2+2*1/2ab=(a+b)(b+a)/2，化簡c2=a2+b2
2.趙爽證明法
以a、b為直角邊（ba），以c為斜邊作四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于1/2ab.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀.
∵RtΔDAH≌RtΔABE,
∴∠HDA=∠EAB.
∵∠HAD+∠HAD=90，
∴∠EAB+∠HAD=90，
∴ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等于c2.
∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90.
∴EFGH是一個邊長為b―a的正方形，它的面積等于(b-a)2.
∴4*1/2ab+(b-a)2=c2
∴a2+b2=c2
三、勾股定理的逆定理
如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形。最長邊所對的角為直角。
勾股定理的逆定理是識別一個三角形是直角三角形的一種理論依據(jù)，它通過數(shù)形結(jié)合來確定三角形的形狀，在運用這一定理時，可以用兩短邊的平方和a+b與較長邊的平方c做比較，如果a+b=c，則此三角形為直角三角形，若a+b＞c，此三角形為銳角三角形，若a+b＜c，則此三角形為鈍角三角形

擴展閱讀

八年級數(shù)學下冊《勾股定理》知識點分析

八年級數(shù)學下冊《勾股定理》知識點分析

1.勾股定理的內(nèi)容：如果直角三角形的兩直角邊分別是a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.即直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
注：勾最短的邊、股較長的直角邊、弦斜邊。
勾股定理又叫畢達哥拉斯定理
2.勾股定理的逆定理：
如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。
3.勾股數(shù)：
滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).勾股數(shù)擴大相同倍數(shù)后，仍為勾股數(shù).常用勾股數(shù)：3、4、5;5、12、13;7、24、25;8、15、17。
4.勾股定理常常用來算線段長度，對于初中階段的線段的計算起到很大的作用
例題精講：
練習：
例1：若一個直角三角形三邊的長分別是三個連續(xù)的自然數(shù)，則這個三角形的周長為
解析：可知三邊長度為3，4，5，因此周長為12
(變式)一個直角三角形的三邊為三個連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別為
解析：可知三邊長度為6，8，10，則周長為24
例2：已知直角三角形的兩邊長分別為3、4，求第三邊長.
解析：第一種情況：當直角邊為3和4時，則斜邊為5
第二種情況：當斜邊長度為4時，一條直角邊為3，則另一邊為根號7
《點評》此題是一道易錯題目，同學們應(yīng)該認真審題!
例3：一個直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4，下列說法正確的是()
A.斜邊長為25
B.三角形周長為25
C.斜邊長為5
D.三角形面積為20
解析：根據(jù)勾股定理，可知斜邊長度為5，選擇C

八年級數(shù)學下冊《勾股定理》知識點總結(jié)

八年級數(shù)學下冊《勾股定理》知識點總結(jié)

1.勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2=c2。
2.勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a,b,c滿足a2＋b2=c2。，那么這個三角形是直角三角形。
3.經(jīng)過證明被確認正確的命題叫做定理。
我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）

4.直角三角形的性質(zhì)
（1）、直角三角形的兩個銳角互余?？杀硎救缦拢骸螩=90°∠A+∠B=90°
（2）、在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。
∠A=30°
可表示如下：BC=AB
∠C=90°
（3）、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
∠ACB=90°
可表示如下：CD=AB=BD=AD
D為AB的中點
5、攝影定理
在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項，每條直角邊是它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項
∠ACB=90°
CD⊥AB
6、常用關(guān)系式
由三角形面積公式可得：ABCD=ACBC
7、直角三角形的判定
1、有一個角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系，那么這個三角形是直角三角形。
8、命題、定理、證明
1、命題的概念
判斷一件事情的語句，叫做命題。
理解：命題的定義包括兩層含義：
（1）命題必須是個完整的句子；
（2）這個句子必須對某件事情做出判斷。
2、命題的分類（按正確、錯誤與否分）
真命題（正確的命題）
命題
假命題（錯誤的命題）
所謂正確的命題就是：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題。
所謂錯誤的命題就是：如果題設(shè)成立，不能證明結(jié)論總是成立的命題。
3、公理
人們在長期實踐中總結(jié)出來的得到人們公認的真命題，叫做公理。
4、定理
用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理。
5、證明
判斷一個命題的正確性的推理過程叫做證明。
6、證明的一般步驟
（1）根據(jù)題意，畫出圖形。
（2）根據(jù)題設(shè)、結(jié)論、結(jié)合圖形，寫出已知、求證。
（3）經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。

9、三角形中的中位線
連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。
（1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個新的三角形。
（2）要會區(qū)別三角形中線與中位線。
三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。
三角形中位線定理的作用：
位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。
數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系。
常用結(jié)論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：
結(jié)論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。
結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。
結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。
結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。
結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。

10數(shù)學口訣.
平方差公式:平方差公式有兩項，符號相反切記牢，首加尾乘首減尾，莫與完全公式相混淆。
完全平方公式:完全平方有三項，首尾符號是同鄉(xiāng)，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括號帶平方，尾項符號隨中央。
四邊形
1．四邊形的內(nèi)角和與外角和定理：
（1）四邊形的內(nèi)角和等于360°；
（2）四邊形的外角和等于360°.
2．多邊形的內(nèi)角和與外角和定理：
（1）n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)180°；
（2）任意多邊形的外角和等于360°.
3．平行四邊形的性質(zhì)：
因為ABCD是平行四邊形
4.平行四邊形的判定：

5.矩形的性質(zhì)：
因為ABCD是矩形

6.矩形的判定：
四邊形ABCD是矩形.
7．菱形的性質(zhì)：
因為ABCD是菱形
8．菱形的判定：
四邊形四邊形ABCD是菱形.
9．正方形的性質(zhì)：
因為ABCD是正方形
（1）（2）（3）
10．正方形的判定：
四邊形ABCD是正方形.
(3)∵ABCD是矩形
又∵AD=AB
∴四邊形ABCD是正方形
11．等腰梯形的性質(zhì)：
因為ABCD是等腰梯形
12．等腰梯形的判定：
四邊形ABCD是等腰梯形
(3)∵ABCD是梯形且AD∥BC
∵AC=BD∴ABCD四邊形是等腰梯形
14．三角形中位線定理：
三角形的中位線平行第三邊，并且等于它的一半.

15．梯形中位線定理：
梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半.

一基本概念：四邊形，四邊形的內(nèi)角，四邊形的外角，多邊形，平行線間的距離，平行四邊形，矩形，菱形，正方形，中心對稱，中心對稱圖形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位線，梯形中位線.
二定理：中心對稱的有關(guān)定理
※1．關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形.
※2．關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分.
※3．如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱.
三公式：
1．S菱形=ab=ch.（a、b為菱形的對角線,c為菱形的邊長，h為c邊上的高）
2．S平行四邊形=ah.a為平行四邊形的邊，h為a上的高）
3．S梯形=（a+b）h=Lh.（a、b為梯形的底，h為梯形的高,L為梯形的中位線）
四常識：
※1．若n是多邊形的邊數(shù)，則對角線條數(shù)公式是：.
2．規(guī)則圖形折疊一般“出一對全等，一對相似”.
3．如圖：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的從屬關(guān)系.
4．常見圖形中，僅是軸對稱圖形的有：角、等腰三角形、等邊三角形、正奇邊形、等腰梯形……；僅是中心對稱圖形的有：平行四邊形……；是雙對稱圖形的有：線段、矩形、菱形、正方形、正偶邊形、圓…….注意：線段有兩條對稱軸.

八年級數(shù)學上冊《探索勾股定理》知識點北師大版

八年級數(shù)學上冊《探索勾股定理》知識點北師大版

1.勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2。
2.勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2。，那么這個三角形是直角三角形。
3.經(jīng)過證明被確認正確的命題叫做定理。
我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。(例：勾股定理與勾股定理逆定理)
4.直角三角形的性質(zhì)
(1)、直角三角形的兩個銳角互余?？杀硎救缦拢骸螩=90°∠A+∠B=90°
(2)、在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。∠A=30°
可表示如下：BC=AB∠C=90°
(3)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
∠ACB=90°
可表示為：CD=AB=BD=AD
D為AB的中點
5、攝影定理
在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項，每條直角邊是它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項
∠ACB=90°
CD⊥AB
6、常用關(guān)系式
由三角形面積公式可得：ABCD=ACBC
7、直角三角形的判定
1、有一個角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系，那么這個三角形是直角三角形。