小學(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)教案

八年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：有序數(shù)對(duì)。

八年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：有序數(shù)對(duì)

有序數(shù)對(duì):
通過像“九排七號(hào)”、“第一排第五列”這樣含有兩個(gè)數(shù)的詞來表示一個(gè)確定的位置，其中兩個(gè)數(shù)各自表示不同的含義，例如前邊的表示“排數(shù)”，后邊的表示“號(hào)數(shù)”。我們把這種有順序的兩個(gè)數(shù)A與B組成的數(shù)對(duì)叫做有序數(shù)對(duì)，記做（A,B），常用在平面直角坐標(biāo)系中。
平面上的點(diǎn)的坐標(biāo):
比如(1,2)就代表橫坐標(biāo)為1縱坐標(biāo)為2;而(2,1)就代表橫坐標(biāo)為2縱坐標(biāo)為1;
因?yàn)樗鼈兎催^來表示的點(diǎn)不同所以是有序的。
利用有序數(shù)對(duì)，可以準(zhǔn)確的表達(dá)出一個(gè)位置。

典型例題

(1)市政府在廣場()方向上，距離是()米．
(2)工人文化宮在廣場()偏()度的方向上，距離是()米．
(3)電信大樓在廣場的()偏()度的方向上，距離是()米．
答案：正東
400
東
北40
500
北
西60
300
解析:（1）100×4=400（米），
則市政府在廣場正東方向上，距離是400米．
（2）100×5=500（米），
則工人文化宮在廣場東偏北40度的方向上，距離是500米．
（3）100×3=300（米），
則電信大樓在廣場的北偏西60度的方向上，距離是300米．
故答案為：（1）正東、400；（2）東、北40、500；
（3）北、西60、300．
1.在地圖上，上海在北京的南偏東約30°的方向上，那么北京一定在上海的北偏西約30°的方向上．______．
查看答案
2.下面的小學(xué)校園平面圖是長方形，請(qǐng)根據(jù)這個(gè)平面圖完成以下各題．

(1)．量一量，算一算．(測量圖上距離時(shí)取整厘米．)
①校園平面圖的長是______厘米，寬是______厘米．
②校園實(shí)際長______米，寬______米，占地面積是______平方米．
(2)．根據(jù)上面校園平面圖填一填并動(dòng)手操作．
①教學(xué)樓在花壇的______面，校門在跑道的______面；校園的西北角有______．
②如果在校園的東北角建一個(gè)長25米，寬10米的食堂，請(qǐng)?jiān)谛@平面圖上按比例畫出食堂的位置．
3.小紅在教室里的位置可以用電(4，6)表示，(4，6)表明小紅坐______列______行．
4.先寫出三角形各個(gè)頂點(diǎn)的位置，再畫出三角形向右平移6個(gè)單位后的圖形．

5.下面是某校集合時(shí)各個(gè)班級(jí)的位置。
5六年級(jí)三班六年級(jí)二班六年級(jí)一班五年級(jí)三班
4四年級(jí)二班四年級(jí)三班五年級(jí)一班五年級(jí)二班
3四年級(jí)一班三年級(jí)四班三年級(jí)三班三年級(jí)二班
2二年級(jí)一班二年級(jí)二班二年級(jí)三班三年級(jí)一班
1一年級(jí)一班一年級(jí)二班一年級(jí)三班一年級(jí)四班
1234
1．說一說各年級(jí)一班所在的位置，并用數(shù)對(duì)表示。
2．表示某班位置的數(shù)對(duì)是(x，4)，可能是哪個(gè)班？
3．表示某班位置的數(shù)對(duì)是(4，y)，可能是哪個(gè)班？
6.歡歡和樂樂在同一個(gè)班級(jí)，樂樂的座位在第3列，第4行，記作()；歡歡的位置在第6列，第8行，記作()。
7.如果用(1，4)表示E點(diǎn)的位置，請(qǐng)你在下面的方格圖里描出下列各點(diǎn)，并把新描的這幾個(gè)點(diǎn)順次連接成一個(gè)封閉圖形，你能發(fā)現(xiàn)什么？

A(3，1)B(8，1)C(4，4)D(9，4)
8.下圖是8路公交車行車路線圖。

1．張宏從社區(qū)上車去圖書館，他先向()方向到公園，再向()方向到圖書館。
2．小亮乘8路公交車坐了3站在超市下車，他可能是從()站上車的。
9.

(1)用數(shù)對(duì)表示位置．學(xué)校(______，______)，花店(______，______)．
(2)在圖中找到下面場所的位置，標(biāo)出來．游泳館(3，3)，幼兒園(4，9)．
(3)明明家住在學(xué)校以西120米，再往南走160米處，他家的位置是(______，______)，在圖中標(biāo)出來．
10.

先寫出三角形ABC各頂點(diǎn)的位置，再畫出三角形ABC向右平移8個(gè)單位后的圖形三角形ABC，并標(biāo)明所得圖形各項(xiàng)點(diǎn)的位置．

相關(guān)知識(shí)

八年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：圖形旋轉(zhuǎn)

八年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：圖形旋轉(zhuǎn)

一、知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)
1.圖形的旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為圖形的旋轉(zhuǎn)。這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角度稱為旋轉(zhuǎn)角。
注意：圖形旋轉(zhuǎn)后一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線就是旋轉(zhuǎn)角。圖形的旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀、大小，只改變圖形的位置.
2.旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)
（1）旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等
（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等
（3）每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角彼此相等.
（4）圖形的旋轉(zhuǎn)是由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)的角度決定.
3.旋轉(zhuǎn)的要素：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角度；
4.明白順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)
5.中心對(duì)陣
中心對(duì)稱定義：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度,如果它能與另一個(gè)圖形重合,就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)成中心對(duì)稱.所有的中心對(duì)稱圖形都是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形。
中心對(duì)稱的性質(zhì):
（1）中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形
（2）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形,對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱中心且被對(duì)稱中心平分
（3）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形,對(duì)稱線段平行且相等
中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形是兩個(gè)既有聯(lián)系又有區(qū)別的概念
區(qū)別:中心對(duì)稱指兩個(gè)全等圖形的相互位置關(guān)系；中心對(duì)稱圖形指一個(gè)圖形本身成中心對(duì)稱。
聯(lián)系:如果將中心對(duì)稱圖形的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體,則它們是中心對(duì)稱圖形
如果將中心對(duì)稱圖形,把對(duì)稱的部分看成兩個(gè)圖形,則它們是關(guān)于中心對(duì)稱。
6.軸對(duì)稱
定義：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形（axialsymmetricfigure)，這條直線叫做對(duì)稱軸;這時(shí),我們也說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。比如說圓、正方形等。例如等腰三角形、正方形、等邊三角形、等腰梯形和圓和正多邊形都是軸對(duì)稱圖形.有的軸對(duì)稱圖形有不止一條對(duì)稱軸,但軸對(duì)稱圖形最少有一條對(duì)稱軸.圓有無數(shù)條對(duì)稱軸，都是經(jīng)過圓心的直線。
要特別注意線段,有兩條對(duì)稱軸,一條是這條線段所在的直線,另一條是這條線段的中垂線.
性質(zhì)：
（1）對(duì)稱軸是一條直線。
（2）垂直并且平分一條線段的直線稱為這條線段的垂直平分線，或中垂線。線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等。
（3）在軸對(duì)稱圖形中，對(duì)稱軸兩側(cè)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸兩側(cè)的距離相等。
（4）在軸對(duì)稱圖形中，沿對(duì)稱軸將它對(duì)折，左右兩邊完全重合。
（5）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線
（6）圖形對(duì)稱。
7.總結(jié)
軸對(duì)稱圖形一定要沿某直線折疊后直線兩旁的部分互相重合，關(guān)鍵抓兩點(diǎn)：一是沿某直線折疊，二是兩部分互相重合；中心對(duì)稱圖形是圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，關(guān)鍵也是抓兩點(diǎn)：一是繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，二是與原圖形重合．實(shí)際區(qū)別時(shí)軸對(duì)稱圖形要像折紙一樣折疊能重合的是軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱圖形只需把圖形倒置，觀察有無變化，沒變的是中心對(duì)稱圖形。
現(xiàn)將教材中常見的圖形歸類如下：
既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的有：直線，線段，兩條相交直線，矩形，菱形，正方形，圓等。
只是軸對(duì)稱圖形的有：射線，角?等腰三角形，等邊三角形，等腰梯形等。
只是中心對(duì)稱圖形的有：平行四邊形等；中心對(duì)稱的多邊形很多，如邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形都是中心對(duì)稱圖形。
既不是軸對(duì)稱圖形又不是中心對(duì)稱圖形有：不等邊三角形，非等腰梯形等。
軸對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形
有一條對(duì)稱軸——直線有一個(gè)對(duì)稱中心
圖形沿軸對(duì)折圖形繞這個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度對(duì)稱
對(duì)折部分與另一部分重合旋轉(zhuǎn)后與原圖重合

一、選擇題
1、下列圖形：①平行四邊形；②菱形；③圓；④梯形；⑤等腰三角形；⑥直角三角形；⑦國旗上的五角星．這些圖形中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的有（）
A.、1種B、2種C、3種D、4種
2、下列圖案中是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形的是（）
3、如圖，將△AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△
A′OB′，若∠AOB=15°，則∠AOB′的度數(shù)是（）
A．25°B．30°C．35°D．40°
4、如圖，O是正△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3，OB=4，OC=5，將線
段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，下列
結(jié)論：①△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；
②點(diǎn)O與O′的距離為4；③∠AOB=150°；④S四邊形
AOBO=6?3；⑤S△AOC+S△AOB=6+9．4
其中正確的結(jié)論是（）
A．①②③⑤B．①②③④C．①②③④⑤D．①②③
5、如圖Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，且AC
在直線l上，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到①，可得到點(diǎn)P1，此時(shí)
AP1=2；將位置①的三角形繞點(diǎn)P1順時(shí)針
旋轉(zhuǎn)到位置②，可得到點(diǎn)P2，此時(shí)
AP2=2?；將位置②的三角形繞點(diǎn)P2
順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置③，可得到點(diǎn)P3，此時(shí)
AP3=3?；…按此規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直
到點(diǎn)P2012為止，則AP2012等于（）A.2011?B.2012?C.2013?D.2014?
6、如圖，A（,1）B（1，）．將△AOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)150°
得到△A′OB′，則此時(shí)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（）
A．（?，-1）B．（-2，0）
C。（-1，?）或（-2，0）D。（?，-1）或（-2，0）
7、如圖，P是等腰直角△ABC外一點(diǎn)，把BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°
到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，
則P′A：PB=（）
A．1：B．1：2C．：2D．1：
8、如圖，小紅做了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，將正六邊形ABCDEF繞點(diǎn)F順時(shí)
針旋轉(zhuǎn)后到達(dá)A′B′C′D′E′F′的位置，所轉(zhuǎn)過的度數(shù)是
（）A．60°B．72°C．108°D．120
9、如圖，在方格紙中，△ABC經(jīng)過變換得到△DEF，正確的變
換是（）
A．把△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移2格
B．把△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移5格
C．把△ABC向下平移4格，再繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°
D．把△ABC向下平移5格，再繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°
10、如圖，菱形OABC的一邊OA在x軸上，將菱形OABC繞原
點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°至OA′B′C′的位置，若OB=2，
∠C=120°，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（）A.(3,)B.(3,-)C.(,)D.(,-)
11、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．將
△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)n度后得到△EDC，此時(shí)點(diǎn)D在
AB邊上，斜邊DE交AC邊于點(diǎn)F，則n的大小和圖中陰影部分的面積分別為（）
A．30，2B．60，2C．60，3D．60，2
12、如圖，在菱形ABCD中，AB=BD．點(diǎn)E、F分別在AB、AD
上，且AE=DF．連接BF與DE相交于點(diǎn)G，連接CG與BD相
交于點(diǎn)H．下列結(jié)論：①△AED≌△DFB；②S四邊形
BCDG=3CG2；③若AF=2DF，則BG=6GF．4
其中正確的結(jié)論（）
A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③
二、填空題
13.如圖，兩塊相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，
AC=10，把上面一塊繞直角頂點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A′BC′
的位置，點(diǎn)C′在AC上，A′C′與AB相交于點(diǎn)D，則
C′D=________．
14、如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，
將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△A′B′C′，使得點(diǎn)A′恰
好落在AB上，連接BB′，則BB′的長度為____________．
15、如圖，在等邊△ABC中，D是邊AC上一點(diǎn)，連接BD．將△
BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BAE，連接ED．若BC=10，
BD=9，則△AED的周長是_____________．
16、如圖，平行四邊形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得到平行
四邊形AB′C′D′（點(diǎn)B′與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)C′與點(diǎn)C是對(duì)
應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)D′與點(diǎn)D是對(duì)應(yīng)點(diǎn)），點(diǎn)B′恰好落在BC邊上，則∠
C=___________度．
17、如圖，在△ABC．中，AB=BC，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α
度，得到△A1BC1，A1B交AC于點(diǎn)E，A1C1分別交AC、BC于點(diǎn)
D、F，下列結(jié)論：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，④A1F=CE．其中正確的是__________（寫出正確結(jié)論的序號(hào)）．
18、如圖，等腰直角三角形ABC的直角邊AB的長為6cm，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°后得到△AB′C′，則圖中陰影部分面積等于___________cm2．
19、如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，將腰CD以D為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ED，連接AE、DE，△ADE的面積為3，則BC的長_________．
20、如圖，邊長為6的正方形ABCD繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到正方形EBGF，EF交CD于點(diǎn)H，則FH的長為________________．四邊形BEHC的面積為
___________________（結(jié)果保留根號(hào)）

有序數(shù)對(duì)

每個(gè)老師為了上好課需要寫教案課件，大家應(yīng)該開始寫教案課件了。教案課件工作計(jì)劃寫好了之后，才能夠使以后的工作更有目標(biāo)性！有沒有好的范文是適合教案課件？小編特地為大家精心收集和整理了“有序數(shù)對(duì)”，大家不妨來參考。希望您能喜歡！

6.1．1有序數(shù)對(duì)
[教學(xué)目標(biāo)]
1.理解有序數(shù)對(duì)的應(yīng)用意義，了解平面上確定點(diǎn)的常用方法
2.培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.
[教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)]
重點(diǎn):有序數(shù)對(duì)及平面內(nèi)確定點(diǎn)的方法.
難點(diǎn):利用有序數(shù)對(duì)表示平面內(nèi)的點(diǎn).
[教學(xué)設(shè)計(jì)]
[設(shè)計(jì)說明]一.問題探知
1．一位居民打電話給供電部門：“衛(wèi)星路第8根電線桿
的路燈壞了，”維修人員很快修好了路燈同學(xué)們欣賞下面圖案.
2．地質(zhì)部門在某地埋下一個(gè)標(biāo)志樁，上面寫著“北緯44.2°，東經(jīng)125.7°”。
3．某人買了一張8排6號(hào)的電影票，很快找到了自己的座位。
分析以上情景，他們分別利用那些數(shù)據(jù)找到位置的。
你能舉出生活中利用數(shù)據(jù)表示位置的例子嗎？
二.概念確定
有序數(shù)對(duì)：用含有兩個(gè)數(shù)的詞表示一個(gè)確定的位置，其中各個(gè)數(shù)表示不同的含義，我們把這種有順序的兩個(gè)數(shù)a與b組成的數(shù)對(duì)，叫做有序數(shù)對(duì)（orderedpair）,記作（a,b）
利用有序數(shù)對(duì)，可以很準(zhǔn)確地表示出一個(gè)位置。
與3大道例1如圖，點(diǎn)A表示3街與5大道的十字路口，點(diǎn)B表示5街與3大道的十字路口，如果用（3，5）（4，5）→（5，5）→（5，4）→（5，3）表示由A到B的一條路徑，那么你能用同樣的方法寫出由A到B的其他幾條路徑嗎？
6大道
5大道
4大道A
3大道B
2大道
1大道1街2街3街4街5街6街
分析：圖中確定點(diǎn)用前一個(gè)數(shù)表示大街，后一個(gè)數(shù)表示大道。
解：其他的路徑可以是：
（3，5）→（4，5）→（4，4）→（5，4）→（5，3）；
（3，5）→（4，5）→（4，4）→（4，3）→（5，3）；
（3，5）→（3，4）→（4，4）→（5，4）→（5，3）；
（3，5）→（3，4）→（4，4）→（4，3）→（5，3）；
（3，5）→（3，4）→（3，3）→（4，3）→（5，3）；
根據(jù)描述的情景找出表示地點(diǎn)的數(shù)量

學(xué)生舉例說明生活中的類似確定點(diǎn)的我位置的例子

明確數(shù)對(duì)的表示含義和格式

尋找規(guī)律確定路線

1．在教室里，根據(jù)座位圖，確定數(shù)學(xué)課代表的位置
2．教材46頁練習(xí)
三.方法歸類
常見的確定平面上的點(diǎn)位置常用的方法
（1）以某一點(diǎn)為原點(diǎn)（0，0）將平面分成若干個(gè)小正方形的方格，利用點(diǎn)所在的行和列的位置來確定點(diǎn)的位置。
（2）以某一點(diǎn)為觀察點(diǎn)，用方位角、目標(biāo)到這個(gè)點(diǎn)的距離這兩個(gè)數(shù)來確定目標(biāo)所在的位置。
1．如圖，A點(diǎn)為原點(diǎn)（0，0），則B點(diǎn)記為（3，1
？
2．如圖，以燈塔A為觀測點(diǎn)，小島B在燈塔A北偏東45，距燈塔3km處。
例2如圖是某次海戰(zhàn)中敵我雙方艦艇對(duì)峙示意圖
，對(duì)我方艦艇來說：
（1）北偏東方向上有哪些目標(biāo)？要想確定敵艦B的位置，還需要什么數(shù)據(jù)？
（2）距我方潛艇圖上距離為1cm處的敵艦有哪幾艘？
（3）要確定每艘敵艦的位置，各需要幾個(gè)數(shù)據(jù)？
[鞏固練習(xí)]
1．如圖是某城市市區(qū)的一部分示意圖，對(duì)市政府來說：
（1）北偏東60的方向有哪些單位？要想確定單位的位置。還需要哪些數(shù)據(jù)？
（2）火車站與學(xué)校分別位于市政府的什么方向，怎樣確

結(jié)合實(shí)際問題歸納方法

學(xué)生嘗試描述位置

定他們的位置？
2．如圖，馬所處的位置為（2，3）.
（1）你能表示出象的位置嗎？
（2）寫出馬的下一步可以到達(dá)的位置。
[小結(jié)]
1.為什么要用有序數(shù)對(duì)表示點(diǎn)的位置，沒有順序可以嗎？
2.幾種常用的表示點(diǎn)位置的方法.
[作業(yè)]
必做題:教科書49頁:1題

仿照前面方法確定位置關(guān)系

可以變化出其他的象棋盤上的位置，也可以引申到圍棋盤或其他棋類。

八年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：黃金分割數(shù)

八年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：黃金分割數(shù)

黃金分割數(shù)：
把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比。其比值是一個(gè)無理數(shù)，取其前三位數(shù)字的近似值是0.618。由于按此比例設(shè)計(jì)的造型十分美麗，因此稱為黃金分割，也稱為中外比。
黃金分割:
黃金分割又稱黃金律，是指事物各部分間一定的數(shù)學(xué)比例關(guān)系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等于整體與較大部分之比，其比值約為1∶0.618或1.618∶1，即長段為全段的0.618。0.618被公認(rèn)為最具有審美意義的比例數(shù)字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被稱為黃金分割。
黃金分割線:
黃金分割線是一種古老的數(shù)學(xué)方法。黃金分割的創(chuàng)始人是古希臘的畢達(dá)哥拉斯，他在當(dāng)時(shí)十分有限的科學(xué)條件下大膽斷言：
一條線段的某一部分與另一部分之比，如果正好等于另一部分同整個(gè)線段的比即0.618，那么，這樣比例會(huì)給人一種美感。
后來，這一神奇的比例關(guān)系被古希臘著名哲學(xué)家、美學(xué)家柏拉圖譽(yù)為“黃金分割律”。黃金分割線的神奇和魔力，在數(shù)學(xué)界上還沒有明確定論，但它屢屢在實(shí)際中發(fā)揮著意想不到的作用。
黃金分割線的最基本公式，是將1分割為0．618和0．382，它們有如下一些特點(diǎn)：
（1）數(shù)列中任一數(shù)字都是由前兩個(gè)數(shù)字之和構(gòu)成。
（2）前一數(shù)字與后一數(shù)字之比例，趨近于一固定常數(shù)，即0．618。
（3）后一數(shù)字與前一數(shù)字之比例，趨近于1．618。
（4）1．618與0．618互為倒數(shù)，其乘積則約等于1。
（5）任一數(shù)字如與前面第二個(gè)數(shù)字相比，其值趨近于2．618；如與后面第二個(gè)數(shù)字相比，其值則趨近于0．382。
理順下來，上列奇異數(shù)字組合除能反映黃金分割的兩個(gè)基本比值0．618和0．382以外，尚存在下列兩組神秘比值。
即：（1）0．191、0．382、0．5、0．618、0．809（2）1、1．382、1．5、1．618、2、2．382、2．618
黃金分割點(diǎn):
把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比。其比值是一個(gè)無理數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示為(√5-1)/2，取其前三位數(shù)字的近似值是0.618。由于按此比例設(shè)計(jì)的造型十分美麗，因此稱為黃金分割，也稱為中外比。這個(gè)分割點(diǎn)就叫做黃金分割點(diǎn)（goldensectionratio通常用φ表示）這是一個(gè)十分有趣的數(shù)字，我們以0.618來近似表示，通過簡單的計(jì)算就可以發(fā)現(xiàn)：(1-0.618)/0.618=0.6一條線段上有兩個(gè)黃金分割點(diǎn)。
無限不循環(huán)小數(shù)
a，b
a:b=(a+b):a
通常用希臘字母Ф表示這個(gè)值。
黃金分割奇妙之處，在于其比例與其倒數(shù)是一樣的。例如：1.618的倒數(shù)是0.618，而1.618:1與1:0.618是一樣的。
確切值為（√5-1）/2(x^2+x-1=0的一個(gè)根）
黃金分割數(shù)前面的32位為：0.61803398874989484820458683436565
黃金分割三角形:
正五邊形對(duì)角線連滿后出現(xiàn)的所有三角形，都是黃金分割三角形。
黃金分割三角形有一個(gè)特殊性，所有的三角形都可以用四個(gè)與其本身全等的三角形來生成與其本身相似的三角形，但黃金分割三角形是唯一一種可以用5個(gè)而不是4個(gè)與其本身全等的三角形來生成與其本身相似的三角形的三角形。由于五角形的頂角是36度，這樣也可以得出黃金分割的數(shù)值為2sin18°（即2*sin(π/10)）。
將一個(gè)正五邊形的所有對(duì)角線連接起來，所產(chǎn)生的五角星里面的所有三角形都是黃金分割三角形。
黃金矩形:
若矩形的寬與長的比等于（√5-1）/2≈0.618，那么這個(gè)矩形稱為黃金矩形（又稱根號(hào)矩形）。
黃金分割線:
由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，并類似地給出“黃金分割線”的定義：直線L將一個(gè)面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1、S2，如果S1:S=S2:S1，那么稱直線L為該圖形的黃金分割線。
與數(shù)列的關(guān)系:
讓我們首先從一個(gè)數(shù)列開始，它的前面兩個(gè)數(shù)是：1、1，后面的每個(gè)數(shù)都是它前面的兩個(gè)數(shù)之和。
例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..這個(gè)數(shù)列的名字叫做“斐波那契數(shù)列”，這些數(shù)被稱為“斐波那契數(shù)”
斐波那契數(shù)列與黃金分割有什么關(guān)系呢？經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，相鄰兩個(gè)菲波那契數(shù)的比值是隨序號(hào)的增加而逐漸趨于黃金分割比的。
即f(n)/f(n+1）-→0.618…。由于斐波那契數(shù)都是整數(shù)，兩個(gè)整數(shù)相除之商是有理數(shù)，所以只是逐漸逼近黃金分割比這個(gè)無理數(shù)。
但是當(dāng)我們繼續(xù)計(jì)算出后面更大的斐波那契數(shù)時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)相鄰兩數(shù)之比確實(shí)是非常接近黃金分割比的。
一個(gè)很能說明問題的例子是五角星/正五邊形。五角星是非常美麗的，中國的國旗上就有五顆，還有不少國家的國旗也用五角星，因?yàn)樵谖褰切侵锌梢哉业降乃芯€段之間的長度關(guān)系都是符合黃金分割比的。
分?jǐn)?shù)與根式:
有限段的黃金比1/X=X/（1-X），有X2=1-X，X（1+X)=1，得X=1/（1+X）。
有限式=無限式
對(duì)等式右邊分母中的X又以1/（1+X）代替，可得X=1/（1+1/（1+X））；
以此類推，可得無窮連分?jǐn)?shù)：X=1/（1+1/（1+1/（1+1/（1+...。
對(duì)等式進(jìn)行類似的代替，可得：X=√（1+√（1+√（1+√（1+...。
這樣一個(gè)簡潔的無窮連分式和無窮套根式給人以有序而無窮的印象，使人具有言而不喻的美感。
黃金分割法在攝影中的應(yīng)用：
一幅優(yōu)秀的攝影作品，不僅要有深刻的主題思想和內(nèi)容，同時(shí)還應(yīng)具備與內(nèi)容相一致的優(yōu)美形式和協(xié)調(diào)的構(gòu)圖。初學(xué)攝影，在取景時(shí)了解和掌握黃金分割法。對(duì)于提高作品美學(xué)價(jià)值很有幫助。
黃金分割法，就是把一條直線段分成兩部分，其中一部分對(duì)全部的比等于其余一部分對(duì)這一部分的比，常用2：3，3：5，5：8等近似值的比例關(guān)系迸引美術(shù)設(shè)計(jì)和攝影構(gòu)圖，這種比例也稱黃金律。在攝影構(gòu)圖中，常使用的概略方法，就是在畫面上橫、豎各畫兩條與邊平行、等分的直線，將畫面分成9個(gè)相等的方塊，稱九宮圖。直線和橫線相交的4個(gè)點(diǎn)，稱黃金分割點(diǎn)。
根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，將主體景物安排在黃金分割點(diǎn)附近，能更好地發(fā)揮主體景物在圖面上的組織作用，有利于周圍景物的協(xié)調(diào)和聯(lián)系，容易引起美感，產(chǎn)生較好的視覺效果，使主體景物更加鮮明、突出。
另外，人們看圖片和書刊有個(gè)習(xí)慣，就是由左向右移動(dòng)，視線經(jīng)過運(yùn)動(dòng)，往往視點(diǎn)落于右側(cè)，所以在構(gòu)圖時(shí)把主要景物、醒目的形象安置在右邊，更能收到良好的效果。
初學(xué)攝影取景，可選選用“黃金分割法”的練習(xí)構(gòu)圖，經(jīng)過多次實(shí)踐，有了自己的經(jīng)驗(yàn)和體會(huì)以后，就可根據(jù)實(shí)際情況自己進(jìn)行創(chuàng)作了。如果都千篇一律，生搬硬套這一種形式，也不可取，時(shí)間久了反而會(huì)束縛自己的創(chuàng)作思想，使拍出的照片四平八穩(wěn)，缺乏變化，貧乏無味，就談不上有什么藝術(shù)性。
用黃金分割法確定主體的位置，并沒有完成構(gòu)圖的整個(gè)過程，還應(yīng)注意安排必要的空間，考慮主體與陪體之間的呼應(yīng)，充分表達(dá)主題的思想內(nèi)容。同時(shí)，還要考慮影調(diào)，光線處理，色彩的表現(xiàn)等等。
為了提高基本功，還有很重要的一點(diǎn)，就是要認(rèn)真學(xué)習(xí)美學(xué)知識(shí)，加強(qiáng)美學(xué)修養(yǎng)，并通過拍攝實(shí)踐，不斷總結(jié)，積累經(jīng)驗(yàn)，多拍出一些有較高藝術(shù)水平的照片來。
發(fā)現(xiàn)歷史：
由于公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此現(xiàn)代數(shù)學(xué)家們推斷當(dāng)時(shí)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)觸及甚至掌握了黃金分割。
公元前4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯第一個(gè)系統(tǒng)研究了這一問題，并建立起比例理論。
公元前300年前后歐幾里得撰寫《幾何原本》時(shí)吸收了歐多克索斯的研究成果，進(jìn)一步系統(tǒng)論述了黃金分割，成為最早的有關(guān)黃金分割的論著。
中世紀(jì)后，黃金分割被披上神秘的外衣，意大利數(shù)家帕喬利稱中末比為神圣比例，并專門為此著書立說。德國天文學(xué)家開普勒稱黃金分割為神圣分割。
到19世紀(jì)黃金分割這一名稱才逐漸通行。黃金分割數(shù)有許多有趣的性質(zhì)，人類對(duì)它的實(shí)際應(yīng)用也很廣泛。最著名的例子是優(yōu)選學(xué)中的黃金分割法或0.618法，是由美國數(shù)學(xué)家基弗于1953年首先提出的，70年代在中國推廣。

黃金分割數(shù)：
把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比。其比值是一個(gè)無理數(shù)，取其前三位數(shù)字的近似值是0.618。由于按此比例設(shè)計(jì)的造型十分美麗，因此稱為黃金分割，也稱為中外比。
黃金分割:
黃金分割又稱黃金律，是指事物各部分間一定的數(shù)學(xué)比例關(guān)系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等于整體與較大部分之比，其比值約為1∶0.618或1.618∶1，即長段為全段的0.618。0.618被公認(rèn)為最具有審美意義的比例數(shù)字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被稱為黃金分割。
黃金分割線:
黃金分割線是一種古老的數(shù)學(xué)方法。黃金分割的創(chuàng)始人是古希臘的畢達(dá)哥拉斯，他在當(dāng)時(shí)十分有限的科學(xué)條件下大膽斷言：
一條線段的某一部分與另一部分之比，如果正好等于另一部分同整個(gè)線段的比即0.618，那么，這樣比例會(huì)給人一種美感。
后來，這一神奇的比例關(guān)系被古希臘著名哲學(xué)家、美學(xué)家柏拉圖譽(yù)為“黃金分割律”。黃金分割線的神奇和魔力，在數(shù)學(xué)界上還沒有明確定論，但它屢屢在實(shí)際中發(fā)揮著意想不到的作用。
黃金分割線的最基本公式，是將1分割為0．618和0．382，它們有如下一些特點(diǎn)：
（1）數(shù)列中任一數(shù)字都是由前兩個(gè)數(shù)字之和構(gòu)成。
（2）前一數(shù)字與后一數(shù)字之比例，趨近于一固定常數(shù)，即0．618。
（3）后一數(shù)字與前一數(shù)字之比例，趨近于1．618。
（4）1．618與0．618互為倒數(shù)，其乘積則約等于1。
（5）任一數(shù)字如與前面第二個(gè)數(shù)字相比，其值趨近于2．618；如與后面第二個(gè)數(shù)字相比，其值則趨近于0．382。
理順下來，上列奇異數(shù)字組合除能反映黃金分割的兩個(gè)基本比值0．618和0．382以外，尚存在下列兩組神秘比值。
即：（1）0．191、0．382、0．5、0．618、0．809（2）1、1．382、1．5、1．618、2、2．382、2．618
黃金分割點(diǎn):
把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比。其比值是一個(gè)無理數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示為(√5-1)/2，取其前三位數(shù)字的近似值是0.618。由于按此比例設(shè)計(jì)的造型十分美麗，因此稱為黃金分割，也稱為中外比。這個(gè)分割點(diǎn)就叫做黃金分割點(diǎn)（goldensectionratio通常用φ表示）這是一個(gè)十分有趣的數(shù)字，我們以0.618來近似表示，通過簡單的計(jì)算就可以發(fā)現(xiàn)：(1-0.618)/0.618=0.6一條線段上有兩個(gè)黃金分割點(diǎn)。
無限不循環(huán)小數(shù)
a，b
a:b=(a+b):a
通常用希臘字母Ф表示這個(gè)值。
黃金分割奇妙之處，在于其比例與其倒數(shù)是一樣的。例如：1.618的倒數(shù)是0.618，而1.618:1與1:0.618是一樣的。
確切值為（√5-1）/2(x^2+x-1=0的一個(gè)根）
黃金分割數(shù)前面的32位為：0.61803398874989484820458683436565
黃金分割三角形:
正五邊形對(duì)角線連滿后出現(xiàn)的所有三角形，都是黃金分割三角形。
黃金分割三角形有一個(gè)特殊性，所有的三角形都可以用四個(gè)與其本身全等的三角形來生成與其本身相似的三角形，但黃金分割三角形是唯一一種可以用5個(gè)而不是4個(gè)與其本身全等的三角形來生成與其本身相似的三角形的三角形。由于五角形的頂角是36度，這樣也可以得出黃金分割的數(shù)值為2sin18°（即2*sin(π/10)）。
將一個(gè)正五邊形的所有對(duì)角線連接起來，所產(chǎn)生的五角星里面的所有三角形都是黃金分割三角形。
黃金矩形:
若矩形的寬與長的比等于（√5-1）/2≈0.618，那么這個(gè)矩形稱為黃金矩形（又稱根號(hào)矩形）。
黃金分割線:
由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，并類似地給出“黃金分割線”的定義：直線L將一個(gè)面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1、S2，如果S1:S=S2:S1，那么稱直線L為該圖形的黃金分割線。
與數(shù)列的關(guān)系:
讓我們首先從一個(gè)數(shù)列開始，它的前面兩個(gè)數(shù)是：1、1，后面的每個(gè)數(shù)都是它前面的兩個(gè)數(shù)之和。
例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..這個(gè)數(shù)列的名字叫做“斐波那契數(shù)列”，這些數(shù)被稱為“斐波那契數(shù)”
斐波那契數(shù)列與黃金分割有什么關(guān)系呢？經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，相鄰兩個(gè)菲波那契數(shù)的比值是隨序號(hào)的增加而逐漸趨于黃金分割比的。
即f(n)/f(n+1）-→0.618…。由于斐波那契數(shù)都是整數(shù)，兩個(gè)整數(shù)相除之商是有理數(shù)，所以只是逐漸逼近黃金分割比這個(gè)無理數(shù)。
但是當(dāng)我們繼續(xù)計(jì)算出后面更大的斐波那契數(shù)時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)相鄰兩數(shù)之比確實(shí)是非常接近黃金分割比的。
一個(gè)很能說明問題的例子是五角星/正五邊形。五角星是非常美麗的，中國的國旗上就有五顆，還有不少國家的國旗也用五角星，因?yàn)樵谖褰切侵锌梢哉业降乃芯€段之間的長度關(guān)系都是符合黃金分割比的。
分?jǐn)?shù)與根式:
有限段的黃金比1/X=X/（1-X），有X2=1-X，X（1+X)=1，得X=1/（1+X）。
有限式=無限式
對(duì)等式右邊分母中的X又以1/（1+X）代替，可得X=1/（1+1/（1+X））；
以此類推，可得無窮連分?jǐn)?shù)：X=1/（1+1/（1+1/（1+1/（1+...。
對(duì)等式進(jìn)行類似的代替，可得：X=√（1+√（1+√（1+√（1+...。
這樣一個(gè)簡潔的無窮連分式和無窮套根式給人以有序而無窮的印象，使人具有言而不喻的美感。