高中函數(shù)的應用教案

實際問題的函數(shù)刻畫。

普通高中課程標準實驗教科書[北師版]–必修1
第四章函數(shù)應用
§4.2.1實際問題的函數(shù)刻畫（學案）
【學習目標】
１.知識技能：
（１）培養(yǎng)學生由實際問題轉化為教學問題的建模能力。
（２）使學生會利用函數(shù)圖象的和性質(zhì)，對函數(shù)進行處理，得出數(shù)學結論，并根據(jù)數(shù)學結論解決實際問題。
（３）通過學習函數(shù)基本模型的應用，初步向學生滲透理論與實踐的辨證關系。
２.過程與方法：
（１）通過實際問題情境，了解實際問題中量與量之間的變化規(guī)律，可以用函數(shù)來刻畫，研究函數(shù)的性質(zhì)就等價于研究實際問題中量與量之間的函數(shù)關系。
（２）通過學生的討論、探究，使學生會將實際問題抽象、概括，化歸為函數(shù)問題，進而逐步培養(yǎng)解決實際問題的能力。
３.情感、態(tài)度與價值觀：
（１）體會事物發(fā)展變化的“對立統(tǒng)一”規(guī)律，培養(yǎng)學生辨證唯物主義思想。
（２）教育學生愛護環(huán)境，維護生態(tài)平衡。
（３）體會研究函數(shù)問題的一般方法，體驗由具體到抽象的思維過程，感受常用的簡單重要函數(shù)模型在實際問題中的作用，領悟方程與數(shù)形結合的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的合作意識，概括歸納能力和科學的思維方式。
【學習重點】常用簡單函數(shù)模型的應用。
【學習難點】實際問題的函數(shù)刻畫化歸。
【學法指導】利用多媒體教學手段，根據(jù)教師的引導啟發(fā)，同學們之間的交流合作、討論、觀察、分析、概括、歸納、總結，達到教學目標的要求。
【課前預習】閱讀教科書P137~P139，嘗試完成以下兩題：
1．商店的一種商品每個進價80元，零售價100元．為了促進銷售，開展購一件商品贈送一個小禮品的活動，在一定的范圍內(nèi)，禮品價格每增加l元，銷售量增加10％．求利潤與禮品價格”之間的函數(shù)關系．
2．在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測量分別得到al，a2，…，an，共n個數(shù)據(jù)，我們規(guī)定所測量物理量的“最佳近似值”“是這樣一個量：與其他近似值比較，a與各數(shù)據(jù)差的平方和最?。来艘?guī)定，請用a1，a2，…，an表示出a．
【課堂互動】
[課堂引入]
有一大群兔子在喝水嬉戲，但這群兔子曾使澳大利亞人傷透了腦筋？為什么？還是從頭說起：
1859年，有人從歐洲帶進澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且兔子沒有天敵，兔子數(shù)量不斷增加，不到100年，兔子們占領了澳大利亞，數(shù)量達75億只，兔子太多，為了生存，變得可惡起來，75億只兔子，吃掉了相當于75億只羊所吃的牧草，草原的載畜率大大降低，而牛羊是澳大利亞的主要牲畜，這些使澳大利亞人頭痛不已，他們采用了各種方法，消滅兔子，直至20世紀50年代，科學家采用載液病毒殺死了90%的兔子，澳大利亞人才算松了一口氣。
問題：自然界一個種群的數(shù)量增加有無規(guī)律？能否用數(shù)學的方法來刻畫，怎么刻畫？
[活動過程1]
問題1當人的生活環(huán)境溫度改變時，人體代謝率也有相應的變化．表4—2給出了實驗的一組數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)能說明什么?
表4—2
環(huán)境溫度/（℃）410203038
代謝率／4185J／（hm2）60444040．554
分析:
（1）該問題中反映的信息中有哪些量?
（2）這幾個量之間存在怎樣的依賴關系?
（3）數(shù)據(jù)提供的信息是什么（揭示了怎
樣的規(guī)律）?
（4）上述規(guī)律有什么現(xiàn)實指導意義？
[活動過程2]
問題2某廠生產(chǎn)一種暢銷的新型工藝品，為此更新專用設備和制作模具花去廠200000元，生產(chǎn)每件上藝品的直接成本為300元，每件工藝品的售價為500元，產(chǎn)量x對總成本C、單位成本P、銷售收入R以及利潤L之間存在什么樣的函數(shù)關系?表示了什么實際含義，
（1）該問題中反映的信息中有哪些量?
（2）這幾個量之間存在怎樣的依賴關系?

[活動過程3]
問題3如圖4—7，在一條彎曲的河道上，設置了六個水文監(jiān)測站．現(xiàn)在需要在河邊建一個情報中心，從各監(jiān)測站沿河邊分別向情報中心鋪沒專用通信電纜，怎樣刻畫專用通信電纜的總長度?
解:

[課堂小結]：本節(jié)課我們通過幾例實際問題，體會到了用一次函數(shù)（分段）模型來刻畫實際問題的方法，明白數(shù)形結合法是研究函數(shù)性質(zhì)，解決實際問題的有效方法
問題1：當環(huán)境溫度改變時，人體代謝率也有相應的變化，通過對實驗數(shù)據(jù)的分析，它可以確定由環(huán)境溫度值到人體代謝率各數(shù)值的一個函數(shù)，通過對這個函數(shù)的學習，我們體會到用函數(shù)能夠刻畫（社會的）人的代謝率與溫度（自然的）的關系。
問題2：總成本C，單位成本P，銷售收入R，利潤L都是產(chǎn)量x的函數(shù)。
問題3：用“以直代曲”的辦法，可確定電纜總長度的函數(shù)。
通過以上實例可以看出函數(shù)作為描述變量之間依賴關系的數(shù)學模型在刻畫現(xiàn)實問題中具有廣泛的應用。小到一個人的成長過程，大到一個國家的人口增長；小到一架飛機的飛行路線，大到天體的運動軌跡；小到冰塊的溫度變化過程，大到全球溫度的變暖，都可利用函數(shù)進行刻畫和研究。
[課堂練習]
1．某市有甲乙兩家乒乓球俱樂部，兩家的設備和服務都很好，但收費方式不同。甲家每張球臺每小時5元，乙家按月計費，一個月中30小時（含30小時）每張球臺90元，超過30小時的部分，每張球臺每小時2元。某人準備下個月從這兩家中的一家租一張球臺，開展活動。其活動時間不少于15小時，也不超過40小時；設在甲家租一張球臺開展活動x小時的收費為f（x）元（15≤x≤40），在乙家租一張球臺開展活動x小時的收費為g（x）元（15≤x≤40）。
（1）寫出f（x）和g（x）的解析式。
（2）假設你和你的同伴想去該人處進行乒乓球訓練，按時間來算，你們該怎樣選擇，費用比較低？
提示：①利用f（x）=g（x）解方程得出x；
②在同一坐標系中利用函數(shù)圖象相交，直接觀察、分析、概括。

[達標檢測]
1．電信局為了滿足客戶不同需要，設有A、B兩種優(yōu)惠方案，這兩種方案應付話費（元）與通話時間（分鐘）之間的關系如圖所示，（其中MN//CD）

（1）分別求出方案A、B應付話費（元）與通話時間X（分鐘）的函數(shù)表達式f（x）和g（x）。
（2）假如你是一位電信局推銷人員，你是如何幫助客戶選擇A、B兩種優(yōu)惠方案？并說明理由。

2．Ａ、Ｂ兩城相距１００km，在兩地之間距Ａ城xkm處Ｄ建一核電站給Ａ、Ｂ兩城供電，為得讓城市安全，核電站距城市距離不得少于１０km。已知供電費用與供電距離得平方和和供電量之積成正比，比例系數(shù)x＝０.２５。若Ａ城供電量為２０億度／月，Ｂ城為１０億度／月，把月供電總費用y表示成x的函數(shù)，并求出定義域，并回答，應將電站建在何處，月供電總費用最低？

精選閱讀

自建函數(shù)模型解決實際問題

一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學生的理解性，高中教師要準備好教案，這是老師職責的一部分。教案可以讓學生更好的消化課堂內(nèi)容，使高中教師有一個簡單易懂的教學思路。高中教案的內(nèi)容具體要怎樣寫呢？下面是小編幫大家編輯的《自建函數(shù)模型解決實際問題》，僅供參考，希望能為您提供參考！

3.2.2函數(shù)模型的應用舉例
第二課時自建函數(shù)模型解決實際問題

課前預習學案
一、預習目標：知道5種基本初等函數(shù)及其性質(zhì)
二、預習內(nèi)容：
函數(shù)圖像定義域值域性質(zhì)
一次函數(shù)
二次函數(shù)
指數(shù)函數(shù)
對數(shù)函數(shù)
冪函數(shù)
三．提出疑惑
同學們，通過你的自主學習，你還有那些疑惑，請?zhí)钤谙旅娴谋砀裰?br> 疑惑點疑惑內(nèi)容

課內(nèi)探究學案
一、學習目標：能夠通過題意，自建模型，解決實際的問題
學習重點：收集圖表數(shù)據(jù)信息、擬合數(shù)據(jù)，建立函數(shù)模解決實際問題。
學習難點：對數(shù)據(jù)信息進行擬合，建立起函數(shù)模型，并進行模型修正。
二、探究過程：
例1、某桶裝水經(jīng)營部每天的房租、工作人員等固定成本為200元，每桶水的進價是5元。銷售單價與日銷售量的關系如圖所示:
銷售單價/元6789101112
日均銷售量/桶480[來440400360320280240
請根據(jù)以上的數(shù)據(jù)作出分析，這個經(jīng)營部怎樣定價才能獲得最大利潤？
探索以下問題：
（1）隨著銷售價格的提升，銷售量怎樣變化？成一個什么樣的函數(shù)關系？

（2）最大利潤怎么表示？潤大利潤=收入-支出

本題的解答過程：
解：

本題總結

例2．某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值發(fā)下表
（身高：cm；體重：kg）
身高60708090100110
體重6.137.909.9912.1515.0217.50
身高120130140150160170
體重20.9226.8631.1138.8547.2555.05
1）根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個地區(qū)未成年男性體重與身高ykg與身高xcm的函數(shù)模型的解析式。
2）若體重超過相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區(qū)一名身高為175cm，體重為78kg的在校男生的體重是事正常？
探索以下問題：
1）建立適當?shù)淖鴺讼担鶕?jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，畫出它們相應的散點圖；

2）觀察所作散點圖，你認為它與以前所學過的何種函數(shù)的圖象較為接近？

3）你認為選擇何種函數(shù)來描述這個地區(qū)未成年男性體重與身高的函數(shù)關系比較合適？

4）確定函數(shù)模型，并對所確定模型進行適當?shù)臋z驗和評價.

5）怎樣修正所確定的函數(shù)模型，使其擬合程度更好？
解答過程：解：
變式.將沸騰的水倒入一個杯中，然后測得不同時刻溫度的數(shù)據(jù)如下表：
時間（S）60120180240300
溫度（℃）86.8681.3776.4466.1161.32
時間（S）360420480540600
溫度（℃）53.0352.2049.9745.9642.36

1）建立適當?shù)淖鴺讼?，描點畫出水溫隨時間變化的圖象；
2）建立一個能基本反映該變化過程的水溫（℃）關于時間的函數(shù)模型，并作出其圖象，觀察它與描點畫出的圖象的吻合程度如何.
3）水杯所在的室內(nèi)溫度為18℃，根據(jù)所得的模型分析，至少經(jīng)過幾分鐘水溫才會降到室溫？再經(jīng)過幾分鐘會降到10℃？對此結果，你如何評價？
解：

課堂檢測
課本121頁B組第1題
課后鞏固練習與提高
1、一輛中型客車的營運總利潤y（單位：萬元）與營運年數(shù)x（x∈N）的變化關系如表所示，則客車的運輸年數(shù)為（）時該客車的年平均利潤最大。
（A）4（B）5（C）6（D）7
x年468…
（萬元）7117…

2、某地區(qū)1995年底沙漠面積為95萬公頃，為了解該地區(qū)沙漠面積的變化情況，進行了連續(xù)5年的觀測，并將每年年底的觀測結果記錄如下表。根據(jù)此表所給的信息進行預測：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底，該地區(qū)的沙漠面積將大約變?yōu)槎嗌偃f公頃；（2）如果從2000年底后采取植樹造林等措施，每年改造0.6萬公頃沙漠，那么到哪一年年底該地區(qū)沙漠面積減少到90萬公頃？
觀測時間1996年底1997年底1998年底1999年底2000年底
該地區(qū)沙漠比原有面積增加數(shù)（萬公頃）0.20000.40000.60010.79991.0001
3、（2003北京春，理、文21）某租賃公司擁有汽車100輛.當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出.當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛.租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元.
（1）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？
（2）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？

參考答案
1、B
故到2015年年底，該地區(qū)沙漠面積減少到90萬公頃。
3、（2003北京春，理、文21）某租賃公司擁有汽車100輛.當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出.當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛.租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元.
（1）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？
（2）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解：（1）當每輛車的月租金定為3600元時，未租出的車輛數(shù)為：=12，所以這時租出了88輛車.
（2）設每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為：f（x）=（100－）（x－150）－×50，整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050.所以，當x=4050時，f（x）最大，其最大值為f（4050）=307050.即當每輛車的月租金定為4050元時，租賃公司的月收益最大，最大收益為307050元.

應用已知函數(shù)模型解決實際問題

§3.2.2函數(shù)模型的應用實例
第一課時應用已知函數(shù)模型解決實際問題

課前預習學案
一．預習目標：熟悉幾種常見的函數(shù)增長型
二．預習內(nèi)容：閱讀課本內(nèi)容思考：主要的函數(shù)增長性有哪些
三、提出疑惑
同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中
疑惑點疑惑內(nèi)容
課內(nèi)探究學案
一．學習目標：能夠找出簡單實際問題中的函數(shù)關系式，初步體會應用一次函數(shù)、二次函數(shù)模型解決實際問題.
學習重點：運用一次函數(shù)、二次函數(shù)模型解決一些實際問題.
學習難點：將實際問題轉變?yōu)閿?shù)學模型.
二．學習過程
解決實際問題的步驟
1）首先建立直角坐標系，畫出散點圖；
2）根據(jù)散點圖設想比較接近的可能的函數(shù)模型：
一次函數(shù)模型：
二次函數(shù)模型：
冪函數(shù)模型：
指數(shù)函數(shù)模型：（＞0，）
利用待定系數(shù)法求出各解析式，并對各模型進行分析評價，選出合適的函數(shù)模型；由于嘗試的過程計算量較多，可同桌兩個同學分工合作，最后再一起討論確定.

例1某農(nóng)家旅游公司有客房300間，每間日房租為20元，每天都客滿.公司欲提高檔次，并提高租金，如果每間客房日增加2元，客房出租數(shù)就會減少10間.若不考慮其他因素，旅社將房間租金提高到多少時，每天客房的租金總收入最高？

變式：某列火車眾北京西站開往石家莊，全程277km，火車出發(fā)10min開出13km后，以120km/h勻速行駛.試寫出火車行駛的總路程S與勻速行駛的時間t之間的關系式，并求火車離開北京2h內(nèi)行駛的路程.

例2要建一個容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，試求應當怎樣設計，才能使水池總造價最低？并求此最低造價.

變式：某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量分別為1萬件，1.2萬件，1.3萬件，為了估計以后每個月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量與月份的關系，模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù).已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件，請問用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好，并說明理由.

課后練習與提高
一．選擇題
1.客車從甲地以60km/h的速度勻速行駛1小時到達乙地，在乙地停留了半小時，然后以80km/h的速度勻速行駛1小時到達丙地，下列描述客車從甲地出發(fā).經(jīng)過乙地，最后到達丙地所經(jīng)過的路程s與時間t之間關系的圖象中，正確的是（）
A.B.C.D.
2．一種商品連續(xù)兩次降價10%后，欲通過兩次連續(xù)提價恢復原價，則每次應提價（）
A．10%B．20%C．5%D．11.1%
3．今有一組實驗數(shù)據(jù)如下：
1.993.04.05.16.12
1.54.047.51218.01
現(xiàn)準備用下列函數(shù)中一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是（）
A．B．C．D．
二．填空題
4.假設某商品靠廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿足關系R=，那么廣告效應為，當A=時，取得最大廣告效應.
5．某種細菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次（一個分裂為2個）經(jīng)過3小時后，這種細菌可由1個分裂成__________個
三．解答題
6.某市居民自來水收費標準如下：每戶每月用水不超過4噸時，每噸為1.80元，當用水超過4噸時，超過部分每噸3.00元，某月甲、乙兩戶共交水費y元，已知甲、乙兩用戶該月用水量分別為5x，3x噸.?
（1）求y關于x的函數(shù)；?
（2）若甲、乙兩戶該月共交水費26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費.?

參考答案

《用函數(shù)模型解決實際問題》教學設計

一名優(yōu)秀的教師就要對每一課堂負責，教師在教學前就要準備好教案，做好充分的準備。教案可以更好的幫助學生們打好基礎，使教師有一個簡單易懂的教學思路。怎么才能讓教案寫的更加全面呢？經(jīng)過搜索和整理，小編為大家呈現(xiàn)“《用函數(shù)模型解決實際問題》教學設計”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

實際問題中導數(shù)的意義

3.2.1實際問題中導數(shù)的意義
教學過程：
一、主要知識點：
1.基本方法：
（1）函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關系：設函數(shù)y＝f（x）在某個區(qū)間內(nèi)有導數(shù)，如果在這個區(qū)間內(nèi)0，那么函數(shù)y＝f（x）為這個區(qū)間內(nèi)的增函數(shù)；如果在這個區(qū)間內(nèi)0，那么函數(shù)y＝f（x）為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù).
（2）用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：①求函數(shù)f（x）的導數(shù)f′（x）.②令f′（x）＞0解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.③令f′（x）＜0解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間.
（3）判別f（x0）是極大、極小值的方法：若滿足，且在的兩側的導數(shù)異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側滿足“左正右負”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側滿足“左負右正”，則是的極小值點，是極小值.
（4）求函數(shù)f（x）的極值的步驟：①確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)f′（x）.②求方程f（x）＝0的根.③用函數(shù)的導數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f（x）在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f（x）在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f（x）在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，即都為正或都為負，則f（x）在這個根處無極值.
（5）利用導數(shù)求函數(shù)的最值步驟：（1）求在內(nèi)的極值；（2）將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值.
2、基本思想：學習的目的，就是要會實際應用，本講主要是培養(yǎng)學生運用導數(shù)知識解決實際問題的意識，思想方法以及能力.
解決實際應用問題關鍵在于建立數(shù)學模型和目標函數(shù).把“問題情景”譯為數(shù)學語言，找出問題的主要關系，并把問題的主要關系近似化，形式化，抽象成數(shù)學問題，再化為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學方法求解.
根據(jù)題設條件作出圖形，分析各已知條件之間的關系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當選定變化區(qū)間，構造相應的函數(shù)關系，是這部分的主要技巧．

二、典型例題
例1、在邊長為60cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱子的容積最大？最大容積是多少？
思路一：設箱底邊長為xcm，則箱高cm，得箱子容積V是箱底邊長x的函數(shù)：，從求得的結果發(fā)現(xiàn)，箱子的高恰好是原正方形邊長的，這個結論是否具有一般性？
變式：從一塊邊長為a的正方形鐵皮的各角截去相等的方塊，把各邊折起來，做成一個無蓋的箱子，箱子的高是這個正方形邊長的幾分之幾時，箱子容積最大？
提示：答案：．
評注：這是一道實際生活中的優(yōu)化問題，建立的目標函數(shù)是三次函數(shù)，用過去的知識求其最值往往沒有一般方法，即使能求出，也要涉及到較高的技能技巧.而運用導數(shù)知識，求三次目標函數(shù)的最值就變得非常簡單，對于實際生活中的優(yōu)化問題，如果其目標函數(shù)為高次多項式函數(shù)，簡單的分式函數(shù)，簡單的無理函數(shù)，簡單的指數(shù)，對數(shù)函數(shù)，或它們的復合函數(shù)，均可用導數(shù)法求其最值.可見，導數(shù)的引入，大大拓寬了中學數(shù)學知識在實際優(yōu)化問題中的應用空間.

例2、（2006年福建卷）統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量為y（升），關于行駛速度（千米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為：
已知甲、乙兩地相距100千米．
（I）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？
（II）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？
解：（I）當時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，
要耗油（升）．
答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升．
（II）當速度為千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設耗油量為升，
依題意得
令得
當時，是減函數(shù)；
當時，是增函數(shù)．
當時，取到極小值
因為在上只有一個極值，所以它是最小值．
答：當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升．

例3、求拋物線上與點距離最近的點.
解：設為拋物線上一點，
則.
與同時取到極值.
令.
由得是唯一的駐點.
當或時，是的最小值點，此時.
即拋物線上與點距離最近的點是（2，2）.

例4、煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵而污染環(huán)境.已知落在地面某處的煙塵濃度與該處至煙囪距離的平方成反比，而與該煙囪噴出的煙塵量成正比，現(xiàn)有兩座煙囪相距20，其中一座煙囪噴出的煙塵量是另一座的8倍，試求出兩座煙囪連線上的一點，使該點的煙塵濃度最小.
解：不失一般性，設煙囪A的煙塵量為1，則煙囪B的煙塵量為8并設AC＝，
于是點C的煙塵濃度為，
其中為比例系數(shù).
令，有，
即.
解得在（0，20）內(nèi)惟一駐點.
由于煙塵濃度的最小值客觀上存在，并在（0，20）內(nèi)取得，
在惟一駐點處，濃度最小，即在AB間距A處處的煙塵濃度最小.

例5、已知拋物線y＝－x2+2，過其上一點P引拋物線的切線l，使l與兩坐標軸在第一象限圍成的三角形的面積最小，求l的方程.
解：設切點P（x0，－x02+2）（x0＞0），由y＝－x2+2得y′＝－2x，
∴k1＝－2x0.
∴l(xiāng)的方程為y－（－x02+2）＝－2x0（x－x0），令y＝0，得x＝令x＝0，得y＝x02+2，
∴三角形的面積為S＝（x02+2）＝.
∴S′＝.令S′＝0，得x0＝（∵x0＞0）.
∴當0＜x0＜時，S′＜0;當x0＞時，S′＞0.
∴x0＝時，S取極小值∵只有一個極值，
∴x＝時S最小，此時k1＝－，切點為（，）.
∴l(xiāng)的方程為y－＝－（x－），即2x+3y－8＝0.

例6、在甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側，乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最省？
解：設∠BCD＝Q，則BC＝，CD＝40cotθ，（0＜θ＜＝，
∴AC＝50－40cotθ
設總的水管費用為f（θ），依題意，有
f（θ）＝3a（50－40cotθ）+5a
＝150a+40a
∴f′（θ）＝40a
令f′（θ）＝0，得cosθ＝
根據(jù)問題的實際意義，當cosθ＝時，函數(shù)取得最小值，
此時sinθ＝，∴cotθ＝，
∴AC＝50－40cotθ＝20（km），即供水站建在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費用最省.

例7、（2006年江蘇卷）請您設計一個帳篷．它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐（如圖所示）．試問當帳篷的頂點O到底面中心O1的距離為多少時，帳篷的體積最大？
解：設OO1為，則
由題設可得正六棱錐底面邊長為：，
故底面正六邊形的面積為：
＝，（單位：）
帳篷的體積為：
（單位：）
求導得．
令，解得（不合題意，舍去），，
當時，，為增函數(shù)；
當時，，為減函數(shù)．
∴當時，最大．
答：當OO1為時，帳篷的體積最大，最大體積為．
點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值的基礎知識，以及運用數(shù)學知識解決實際問題的能力．
三、小結：
⑴解有關函數(shù)最大值、最小值的實際問題，需要分析問題中各個變量之間的關系，找出適當?shù)暮瘮?shù)關系式，并確定函數(shù)的定義區(qū)間；所得結果要符合問題的實際意義．
⑵根據(jù)問題的實際意義來判斷函數(shù)最值時，如果函數(shù)在此區(qū)間上只有一個極值點，那么這個極值就是所求最值，不必再與端點值比較．
⑶相當多有關最值的實際問題用導數(shù)方法解決較簡單
四、課后作業(yè)：