高中函數(shù)的應用教案

函數(shù)的解析式及定義域。

課題：函數(shù)的解析式及定義域
教學目標：掌握求函數(shù)解析式的三種常用方法：待定系數(shù)法、配湊法、換元法，能將一些簡單實際問題中的函數(shù)的解析式表示出來；掌握定義域的常見求法及其在實際中的應用．
教學重點：能根據(jù)函數(shù)所具有的某些性質或所滿足的一些關系，列出函數(shù)關系式；含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域要對字母參數(shù)分類討論；實際問題確定的函數(shù)，其定義域除滿足函數(shù)有意義外，還要符合實際問題的要求．
教學過程：
（一）主要知識：1．函數(shù)解析式的求解；2．函數(shù)定義域的求解．
（二）主要方法：
1．求函數(shù)解析式的題型有：
（1）已知函數(shù)類型，求函數(shù)的解析式時常用待定系數(shù)法；
（2）已知求或已知求：換元法、配湊法；
（3）應用題求函數(shù)解析式常要根據(jù)實際問題的意義來布列函數(shù)關系，確定函數(shù)的定義域．
2．求函數(shù)定義域一般有三類問題：
（1）給出函數(shù)解析式的：函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合；
（2）實際問題：函數(shù)的定義域的求解除要考慮解析式有意義外，還應考慮使實際問題有意義；
（3）已知的定義域求的定義域或已知的定義域求的定義域：
①若已知的定義域，其復合函數(shù)的定義域應由解出；
②若復合函數(shù)的定義域為，則的定義域為在上的值域．
（三）例題分析：
例1．已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，則（）
例2．（1）已知，求；
（2）已知，求；
（3）已知是一次函數(shù)，且滿足，求；
（4）已知滿足，求．

例3．設函數(shù)，
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）問是否存在最大值與最小值？如果存在，請把它寫出來；如果不存在，請說明理由．
例4．已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)是奇函數(shù)．又知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時函數(shù)取得最小值．
①證明：；
②求的解析式；
③求在上的解析式．

（四）高考回顧：
考題1（2005江蘇卷）已知a,b為常數(shù)，若則.
考題2（2005湖北卷）函數(shù)的定義域是
考題3（2005全國卷Ⅰ）已知二次函數(shù)的二次項系數(shù)為，且不等式的解集為。
（Ⅰ）若方程有兩個相等的根，求的解析式；
（Ⅱ）若的最大值為正數(shù)，求的取值范圍【W(wǎng)WW.djZ525.com 勵志的句子】

考題4（2006湖北文）設f(x)＝，則的定義域為（）
A.B.(－4,－1)(1，4)
C.(－2,－1)(1，2)D.(－4,－2)(2，4)
（五）鞏固練習：
1．已知的定義域為，則的定義域為．
2．函數(shù)的定義域為
3．已知，則函數(shù)的解析式為（）
（A）（B）
（C）（D）
４．設二次函數(shù)y=f(x)的最小值為4，且f（0）=f（2）=6，求f(x)的解析式。

5.（2006年廣東卷）函數(shù)的定義域是
A.B.C.D.
(六)課后作業(yè)：
1、下列各函數(shù)解析式中，滿足的是（）
（A）（B）（C）（D）
2、已知，且，則等于（）
（A）（B）（C）（D）
3、若，則等于（）
（A）（B）（C）（D）
4.（04年江蘇卷.8）若函數(shù)的圖象過兩點(-1，0)和(0，1)，則()
(A)a=2,b=2(B)a=2,b=2(C)a=2,b=1(D)a=2,b=2
5．（04年湖北卷.理3）已知，則的解析式可取為（）
（A）（B）（C）（D）－
６.（04年湖南卷.理6）設函數(shù)若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,則關于x的方程的解的個數(shù)為（）
（A）1（B）2（C）3（D）4
７、若函數(shù)滿足關系式，則的表達式為__________.
８、設函數(shù)的圖象為，若函數(shù)的圖象與關于軸對稱，則的解析式為________________.
９、已知求的解析式。

相關閱讀

映射函數(shù)定義域值域

一種特殊的對應：映射

（1）（2）（3）（4）
1．對于集合A中的每一個元素，在集合B中都有一個（或幾個）元素與此相對應。

2．對應的形式：一對多（如①）、多對一（如③）、一對一（如②、④）

3．映射的概念（定義）：強調：兩個“一”即“任一”、“唯一”。

4．注意映射是有方向性的。

5．符號：f：AB集合A到集合B的映射。

6．講解：象與原象定義。

再舉例：1A={1,2,3,4}B={3,4,5,6,7,8,9}法則：乘2加1是映射
2A=N+B={0,1}法則：B中的元素x除以2得的余數(shù)是映射
3A=ZB=N*法則：求絕對值不是映射（A中沒有象）
4A={0,1,2,4}B={0,1,4,9,64}法則：f：ab=(a1)2是映射

一一映射

觀察上面的例圖（2）得出兩個特點：
1對于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象（單射）
2集合B中的每一個元素都是集合A中的每一個元素的象（滿射）
即集合B中的每一個元素都有原象。

從映射的觀點定義函數(shù)（近代定義）：
1函數(shù)實際上就是集合A到集合B的一個映射f：AB這里A,B非空。
2A：定義域，原象的集合
B：值域，象的集合（C）其中CB
f：對應法則xAyB
3函數(shù)符號：y=f(x)——y是x的函數(shù)，簡記f(x)

函數(shù)的三要素：對應法則、定義域、值域
只有當這三要素完全相同時，兩個函數(shù)才能稱為同一函數(shù)。

例：判斷下列各組中的兩個函數(shù)是否是同一函數(shù)？為什么？
1．解：不是同一函數(shù)，定義域不同
2。解：不是同一函數(shù)，定義域不同
3。解：不是同一函數(shù)，值域不同
4．解：是同一函數(shù)
5．解：不是同一函數(shù)，定義域、值域都不同

關于復合函數(shù)
設f(x)=2x3g(x)=x2+2則稱f[g(x)]（或g[f(x)]）為復合函數(shù)。
f[g(x)]=2(x2+2)3=2x2+1
g[f(x)]=(2x3)2+2=4x212x+11
例：已知：f(x)=x2x+3求：f()f(x+1)
解：f()=()2+3f(x+1)=(x+1)2(x+1)+3=x2+x+3

1.函數(shù)定義域的求法

分式中的分母不為零；

偶次方根下的數(shù)（或式）大于或等于零；

指數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一；

對數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一，真數(shù)大于零。

正切函數(shù)

余切函數(shù)

反三角函數(shù)的定義域(有些地方不考反三角,可以不理)

函數(shù)y＝arcsinx的定義域是[－1,1]，值域是，

函數(shù)y＝arccosx的定義域是[－1,1]，值域是[0,π]，

函數(shù)y＝arctgx的定義域是R，值域是，

函數(shù)y＝arcctgx的定義域是R，值域是(0,π).

注意，

1.復合函數(shù)的定義域。
如：已知函數(shù)的定義域為（1，3），則函數(shù)的定義域。

2.函數(shù)的定義域為,函數(shù)的定義域為,
則函數(shù)的定義域為，解不等式，最后結果才是

3.這里最容易犯錯的地方在這里：
已知函數(shù)的定義域為(1,3),求函數(shù)的定義域；或者說，已知函數(shù)的定義域為(3,4),
則函數(shù)的定義域為______?

2.函數(shù)值域的求法
函數(shù)值域的求法方法有好多,主要是題目不同,或者說稍微有一個數(shù)字出現(xiàn)問題,
對我們來說,解題的思路可能就會出現(xiàn)非常大的區(qū)別.這里我主要弄幾個出來,大家一起看一下吧.

（1）、直接觀察法
對于一些比較簡單的函數(shù)，如正比例,反比例,一次函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),等等,
其值域可通過觀察直接得到。
例求函數(shù)的值域

（2）、配方法
配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。
例、求函數(shù)的值域。

（3）、根判別式法
對二次函數(shù)或者分式函數(shù)（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其他方法進行化簡
如:

4、反函數(shù)法(原函數(shù)的值域是它的反函數(shù)的定義域)
直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。
例求函數(shù)值域。
,分母不等于0,即

5、函數(shù)有界性法
直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學過函數(shù)的有界性，來確定函數(shù)的值域。
我們所說的單調性，最常用的就是三角函數(shù)的單調性。
例求函數(shù)，，的值域。

10.倒數(shù)法
有時，直接看不出函數(shù)的值域時，把它倒過來之后，你會發(fā)現(xiàn)另一番境況
例求函數(shù)的值域

多種方法綜合運用
總之，在具體求某個函數(shù)的值域時，
首先要仔細、認真觀察其題型特征，然后再選擇恰當?shù)姆椒ǎ?br> 一般優(yōu)先考慮直接法，函數(shù)單調性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。

定義域與值域

第二十七教時
教材：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質之——定義域與值域
目的：要求學生掌握正、余弦函數(shù)的定義域與值域，尤其能靈活運用有界性求函數(shù)的最值和值域。
過程：一、復習：正弦和余弦函數(shù)圖象的作法

二、研究性質：
1．定義域：y=sinx,y=cosx的定義域為R
2．值域：
1引導回憶單位圓中的三角函數(shù)線，結論：|sinx|≤1,|cosx|≤1（有界性）
再看正弦函數(shù)線（圖象）驗證上述結論
∴y=sinx,y=cosx的值域為[-1，1]
2對于y=sinx當且僅當x=2k+kZ時ymax=1
當且僅當時x=2k-kZ時ymin=-1
對于y=cosx當且僅當x=2kkZ時ymax=1
當且僅當x=2k+kZ時ymin=-1
3．觀察R上的y=sinx,和y=cosx的圖象可知
當2kx(2k+1)(kZ)時y=sinx0
當(2k-1)x2k(kZ)時y=sinx0
當2k-x2k+(kZ)時y=cosx0
當2k+x2k+(kZ)時y=cosx0
三、例題：
例一（P53例二）略
例二直接寫出下列函數(shù)的定義域、值域：
1y=2y=
解：1當x2k-kZ時函數(shù)有意義，值域:[+∞]
2x[2k+,2k+](kZ)時有意義,值域[0,]
例三求下列函數(shù)的最值：
1y=sin(3x+)-12y=sin2x-4sinx+53y=
解：1當3x+=2k+即x=(kZ)時ymax=0
當3x+=2k-即x=(kZ)時ymin=-2
2y=(sinx-2)2+1∴當x=2k-kZ時ymax=10
當x=2k-kZ時ymin=2
3y=-1+當x=2k+kZ時ymax=2
當x=2kkZ時ymin=
例四、函數(shù)y=ksinx+b的最大值為2,最小值為-4，求k,b的值。
解：當k0時
當k0時（矛盾舍去）
∴k=3b=-1
例五、求下列函數(shù)的定義域：
1y=2y=lg(2sinx+1)+3y=
解：1∵3cosx-1-2cos2x≥0∴≤cosx≤1
∴定義域為：[2k-,2k+](kZ)
2
∴定義域為：
3∵cos(sinx)≥0∴2k-≤x≤2k+(kZ)
∵-1≤sinx≤1∴xR≤y≤1
四、小結：正弦、余弦函數(shù)的定義域、值域
五、作業(yè)：P56練習4P57-58習題4．82、9

高三數(shù)學教案：《函數(shù)的定義域復習》教學設計

本文題目：高三數(shù)學復習教案：函數(shù)的定義域復習教案

一、課前檢測

1. (2008全國)函數(shù) 的定義域是____________. 答案：

2.函數(shù) 的定義域為 ，則 的定義域為____________. 答案：

3.函數(shù) 的定義域為(　 　)

二、知識梳理

1.函數(shù)的定義域就是使函數(shù)式 的集合. 答案：有意義的自變量的取值

解讀：

2.常見的三種題型確定定義域：

① 已知函數(shù)的解析式，就是 . 答案：解不等式(組)

如：① ，則 ; ② ，則 ;

③ ，則 ; ④ ，則 ;

⑤ ，則 ; ⑥ 是整式時，定義域是全體實數(shù)。

解讀：

② 復合函數(shù)f [g(x)]的有關定義域，就要保證內函數(shù)g(x)的 域是外函數(shù)f (x)的 域.

解讀：

③實際應用問題的定義域，就是要使得 有意義的自變量的取值集合.

解讀：

三、典型例題分析

例1。求下列函數(shù)的定義域

(1) ; 答案：

(2) 答案：

變式訓練：求下列函數(shù)的定義域：?

(1) 答案：

(2)f(x)= 答案：

小結與拓展：根據(jù)基本初等函數(shù)的定義域構建不等式(組)

例2 (1)若 的定義域為[-1，1]，求函數(shù) 的定義域

解： 的定義域為[-2，0]

(2)若 的定義域是[-1，1]，求函數(shù) 的定義域

解： ， 的定義域為[0，2]

變式訓練1：已知函數(shù) 的定義域為 ，則函數(shù) 的定義域為

答案：

變式訓練2：若函數(shù)f(x)的定義域是[0，1]，則f(x+a)?f(x-a)(0

A. ? B.[a，1-a]? C.[-a，1+a]? D.[0，1]?

小結與拓展：求函數(shù)的定義域要注意是求 的取值范圍，對同一對應法則定義域是相同的。

例3 如圖，等腰梯形ABCD內接于一個半徑為r的圓，且下底AD=2r，如圖，記腰AB長為x，梯形周長為y，試用x表示y并求出函數(shù)的定義域

解：連結BD，過B向AD作垂線BE，垂足為E

∵AD為直徑，∴∠ABD=90°，又AD=2r，AB=x

在△ABE中，

小結與拓展：

對于實際問題，在求出函數(shù)解析式后，必須求出其定義域，此時的定義域要根據(jù)實際意義來確定。

變式訓練：等腰梯形ABCD的兩底分別為 ，作直線 交 于 ，交折線ABCD于 ，記 ，試將梯形ABCD位于直線 左側的面積 表示為 的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域。

答案：

四、歸納與總結(以學生為主，師生共同完成)

1.知識：

2.思想與方法：

3.易錯點：

4.教學反思(不足并查漏)：

2012屆高考數(shù)學知識梳理函數(shù)的定義域復習教案

一名優(yōu)秀的教師就要對每一課堂負責，教師要準備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓學生能夠聽懂教師所講的內容，使教師有一個簡單易懂的教學思路。那么如何寫好我們的教案呢？下面是由小編為大家整理的“2012屆高考數(shù)學知識梳理函數(shù)的定義域復習教案”，僅供參考，大家一起來看看吧。

教案15函數(shù)的定義域
一、課前檢測
1.（2008全國）函數(shù)的定義域是____________.答案：

2.函數(shù)的定義域為，則的定義域為____________.答案：

3．函數(shù)的定義域為（）
二、知識梳理
1．函數(shù)的定義域就是使函數(shù)式的集合.答案：有意義的自變量的取值
解讀：

2．常見的三種題型確定定義域：
①已知函數(shù)的解析式，就是.答案：解不等式（組）
如：①，則；②，則；
③，則；④，則；
⑤，則；⑥是整式時，定義域是全體實數(shù)。
解讀：

②復合函數(shù)f[g(x)]的有關定義域，就要保證內函數(shù)g(x)的域是外函數(shù)f(x)的域.
解讀：

③實際應用問題的定義域，就是要使得有意義的自變量的取值集合.
解讀：

三、典型例題分析
例1。求下列函數(shù)的定義域
(1)；答案：

(2)答案：
變式訓練：求下列函數(shù)的定義域：?
（1）答案：

（2）f(x)＝答案：

小結與拓展：根據(jù)基本初等函數(shù)的定義域構建不等式（組）
例2（1）若的定義域為［－1，1］，求函數(shù)的定義域
解：的定義域為［－2，0］

（2）若的定義域是［－1，1］，求函數(shù)的定義域
解：，的定義域為［0，2］
變式訓練1：已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為
答案：

變式訓練2：若函數(shù)f(x)的定義域是［0，1］，則f(x+a)f(x-a)（0＜a＜）的定義域是（B）
A.?B.［a，1-a］?C.［-a，1+a］?D.［0，1］?

小結與拓展：求函數(shù)的定義域要注意是求的取值范圍，對同一對應法則定義域是相同的。

例3如圖，等腰梯形ABCD內接于一個半徑為r的圓，且下底AD＝2r，如圖，記腰AB長為x，梯形周長為y，試用x表示y并求出函數(shù)的定義域
解：連結BD，過B向AD作垂線BE，垂足為E
∵AD為直徑，∴∠ABD＝90°，又AD＝2r，AB＝x
在△ABE中，

小結與拓展：
對于實際問題，在求出函數(shù)解析式后，必須求出其定義域，此時的定義域要根據(jù)實際意義來確定。
變式訓練：等腰梯形ABCD的兩底分別為，作直線交于，交折線ABCD于，記，試將梯形ABCD位于直線左側的面積表示為的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域。
答案：

四、歸納與總結（以學生為主，師生共同完成）
1.知識：
2.思想與方法：
3.易錯點：
4.教學反思（不足并查漏）：