人音版高中音樂教案

高三數(shù)學(xué)《簡單線性規(guī)劃問題》學(xué)案人教A版。

高三數(shù)學(xué)《簡單線性規(guī)劃問題》學(xué)案人教A版

一、教學(xué)內(nèi)容解析
線性規(guī)劃是運籌學(xué)中研究較早、發(fā)展較快、應(yīng)用廣泛、方法較成熟的一個重要分支，是輔助人們進(jìn)行科學(xué)管理的數(shù)學(xué)方法，為合理地利用有限的人力、物力、財力等資源作出最優(yōu)決策.
本節(jié)的教學(xué)重點是線性規(guī)劃問題的圖解法.數(shù)形結(jié)合和化歸思想是研究線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題的數(shù)學(xué)理論和方法,本節(jié)教學(xué)內(nèi)容中蘊含了豐富的屬性結(jié)合素材，具體表現(xiàn)為:(1)不定方程的解與平面內(nèi)點的坐標(biāo)的結(jié)合，進(jìn)而產(chǎn)生了直線的方程.(2)線性目標(biāo)函數(shù)解析式與直線的斜截式方程的結(jié)合.(3)線性目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)值與直線的縱截距的結(jié)合.(4)二元一次不等式(組)與為平面內(nèi)點的坐標(biāo)的結(jié)合.(5)線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最值與直線過可行域內(nèi)的點時縱截距的最值的結(jié)合.這樣就能使學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的理解和應(yīng)用更透徹,為以后解析幾何的學(xué)習(xí)和研究奠定了基礎(chǔ),使學(xué)生從更深層次地理解“以形助數(shù)”的作用。
二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置
(1)知識與技能：使學(xué)生了解二元一次不等式表示平面區(qū)域;了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念;理解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡單的實際問題;
(2)過程與方法：在實驗探究的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力、探究能力、合情推理能力;在應(yīng)用圖解法解題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想解題的能力。
(3)情態(tài)、態(tài)度與價值觀：讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)源于生活，服務(wù)于生活;體會數(shù)學(xué)活動充滿著探索與創(chuàng)造，培養(yǎng)學(xué)生動手操作、勇于探索的精神。
教學(xué)重點:求線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解
教學(xué)難點:學(xué)生對為什么要將求目標(biāo)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為經(jīng)過可行域的直線在y軸上的截距的最值問題以及如何想到這樣轉(zhuǎn)化存在疑惑，在教學(xué)中應(yīng)緊扣實際，突出知識的形成發(fā)展過程。
三、學(xué)生學(xué)情分析
本節(jié)課學(xué)生在學(xué)習(xí)了不等式、直線方程的基礎(chǔ)上，通過實例理解了平面區(qū)域的意義，并會畫出平面區(qū)域，還能初步用數(shù)學(xué)關(guān)系表示簡單的二元線性規(guī)劃的限制條件，將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題。從數(shù)學(xué)知識上看，問題涉及多個已知數(shù)據(jù)，多個字母變量、多個不等關(guān)系，從數(shù)學(xué)方法上看，學(xué)生對圖解法的認(rèn)識還很少，數(shù)形結(jié)合的思想方法的掌握還需時日，這成了學(xué)生學(xué)習(xí)的困難。
四、教學(xué)策略分析
本課以問題為載體，以學(xué)生為主體，以數(shù)學(xué)實驗為手段，以問題解決為目的，激發(fā)學(xué)生動手操作、觀察思考、猜想探究的興趣。注重引導(dǎo)幫助學(xué)生充分體驗“從實際問題到數(shù)學(xué)問題”的建構(gòu)過程，“從具體到一般”的抽象過程。應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會分析問題，解決問題的能力。
五、教學(xué)過程
教學(xué)環(huán)節(jié)
教學(xué)內(nèi)容
師生互動
設(shè)計意圖
一、回顧舊知
請同學(xué)們作出不等式組所表示的平面區(qū)域
請一位學(xué)生上黑板，按要求規(guī)范作圖，老師巡視不僅起到溫故的作用，同時為后引例中的可行域服務(wù)
二、提出問題激發(fā)熱情
創(chuàng)設(shè)情境：
李詠主持的《非常6+1》是大家很喜歡的娛樂節(jié)目。為了提高更多收視率，央視準(zhǔn)備為宣傳《非常6+1》播放兩套宣傳片：其中宣傳片甲播放時間為4分，其中廣告時間為30秒，收視觀眾為60萬，宣傳片乙播放時間為2分鐘，其中廣告時間為1分鐘，收視觀眾為10萬。廣告公司規(guī)定每周至少有3.5分鐘廣告，而電視臺每周只能為該欄目宣傳片提供不多于16分鐘的節(jié)目時間，電視臺每周應(yīng)播放兩套宣傳片各多少次，才能使收視觀眾最多?
問題1：如何將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題?
問題2：應(yīng)設(shè)什么為變量？它們要滿足什么關(guān)系？
問題3：轉(zhuǎn)化為解決什么樣的數(shù)學(xué)問題？
師：現(xiàn)在問題轉(zhuǎn)化為已知x,y滿足關(guān)系中
，求z=6x+y最值問題。
師:我們先來學(xué)習(xí)幾個有關(guān)概念。
問題4：已知x,y滿足條件
，求z=6x+y最值問題。
問題5：求最值有什么方法?
生：函數(shù)法、幾何法
師：能否將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量。
生：不能。沒有x，y的等量關(guān)系。
師：那么能否從x,y滿足的圖形入手呢?
生：可以，x,y是平面區(qū)域上有限個點，可以將坐標(biāo)代入求z值。
師：通過已經(jīng)設(shè)置好的表格，完成最優(yōu)解。
教師引導(dǎo)學(xué)生得出：設(shè)甲宣傳片x次，乙宣傳片y次，滿足
即
(1)
設(shè)收視觀眾人數(shù)為z(萬人)，建立目標(biāo)函數(shù)：
Z=6x+y,其中x,y滿足不等式組(1)
教師介紹線性規(guī)劃的有關(guān)概念，并啟發(fā)學(xué)生思考如何解決最值問題，同時學(xué)生不斷進(jìn)行嘗試。
問題情景使學(xué)生感到數(shù)學(xué)是自然的、有用的。
讓學(xué)生經(jīng)歷實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的整個模型建立過程，體會數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活。
通過問題串將難點分解，同時將思維層層遞進(jìn)。
利用信息技術(shù)得到圖解的特殊法—代點計算。
三、實驗操作深入探究
問題6：這種方法有什么局限性?
生：它只能解決x,y有限個點的問題。
問題7：若將約束條件改成
，求z=6x+y最值問題，我們應(yīng)該如何解決?(學(xué)生思考)
問題8：你能從幾何角度來研究z=6x+y嗎?它對應(yīng)圖形是什么?
問題9：z的最值問題可以轉(zhuǎn)化為求與直線有關(guān)的什么問題?
轉(zhuǎn)化為：直線y=-6x+z在區(qū)域中變化時縱截距的最值問題。
師：幾何畫板動態(tài)演示，學(xué)生觀察z值變化與截距關(guān)系。
問題10：縱截距的最大值是否一定是z的最大值

生：是（不是）
師：到底是不是，我們一起來研究下。(學(xué)生操作幾何畫板，演示)提示：如果我們變換目標(biāo)函數(shù)，那z值與縱截距的關(guān)系有什么變化。
問題11：通過演示你有什么發(fā)現(xiàn)?
問題12：z=ax+by，z與截距關(guān)系主要由哪個字母決定。
結(jié)論1：最優(yōu)解通常在交點處取得。
2：z的最值問題可以轉(zhuǎn)化為直線在y軸的截距問題。
將有限點上升到區(qū)域問題，體現(xiàn)特殊到一般的思想。
通過學(xué)生實驗，老師幾何畫板的演示，以及師生不斷探究歸納出Z最值問題可轉(zhuǎn)化為直線縱截距的最值問題。
學(xué)生思維的最近發(fā)現(xiàn)區(qū)是上節(jié)的相關(guān)知識，教師有目的引導(dǎo)學(xué)生直觀感知，操作確認(rèn)，這樣引導(dǎo)出教科書給出的數(shù)形結(jié)合的合理性。
四、例題展示規(guī)范答題
1.回歸引例：
例1已知x，y滿足條件
，求Z=6x+y的最大值。
變式1.已知x，y滿足條件
，求Z=6x-2y的最值。
小結(jié)：形如：Z=ax+by(b
0)的最值，即直線
在平面區(qū)域內(nèi)有公共解時，縱截距的最值。
備用題：
1.錯在哪兒?
變式2.已知x，y滿足條件
，設(shè)z=ax+y(a0)，在(3,2)取最大值求a取值范圍。
變式3.(備用)已知x，y滿足條件
，設(shè)z=ax+y(a0)，若Z取得最大值時對應(yīng)點有無數(shù)個，求a的值。
教師規(guī)范解題過程：解線性規(guī)劃問題的步驟：畫、移、求、答。
通過學(xué)生對變式1的練習(xí)教師的講解，引導(dǎo)學(xué)生思考Z的最值與直線縱截距之間的關(guān)系。
教師展示變式訓(xùn)練1中的錯誤的解法，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤。
備用題將學(xué)生的思維從動態(tài)的角度體會目標(biāo)函數(shù)。
利用信息技術(shù)突破難點，得到引例的最終結(jié)論，這是本節(jié)課的中心所在。
通過例題的不斷深入讓學(xué)生進(jìn)一步體會x、y的約束條件，以及幾何法求最值的特點。
五、課堂小結(jié)、布置作業(yè)
(一)課堂小結(jié)：
以提問形式給出小結(jié)：
1、解線性規(guī)劃問題的一般步驟是什么?
(畫—移—求—答)
2、目標(biāo)函數(shù)z的最值問題可轉(zhuǎn)化為直線在y軸上的截距的最值問題。
（二）作業(yè)布置：
1、書面作業(yè)：書P91練習(xí)1、2
2、課外拓展:上網(wǎng)查閱有關(guān)線性規(guī)劃的資料，了解它的實際應(yīng)用。
學(xué)生自己思考，小結(jié)可寫在自己的筆記本上，也可以口頭交流，教師可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小結(jié)（wWw.yjs21.CoM 幼兒教師教育網(wǎng)）

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俗話說，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以讓學(xué)生們能夠更好的找到學(xué)習(xí)的樂趣，幫助高中教師緩解教學(xué)的壓力，提高教學(xué)質(zhì)量。您知道高中教案應(yīng)該要怎么下筆嗎？考慮到您的需要，小編特地編輯了“簡單線性規(guī)劃教案”，相信能對大家有所幫助。

教學(xué)設(shè)計
3．5.2簡單線性規(guī)劃
整體設(shè)計
教學(xué)分析
本節(jié)內(nèi)容在教材中有著重要的地位與作用．線性規(guī)劃是利用數(shù)學(xué)為工具，來研究一定的人、財、物等資源在一定條件下，如何精打細(xì)算巧安排，用最少的資源，取得最大的經(jīng)濟(jì)效益．它是數(shù)學(xué)規(guī)劃中理論較完整、方法較成熟、應(yīng)用較廣泛的一個分支，并能解決科學(xué)研究、工程設(shè)計、經(jīng)濟(jì)管理等許多方面的實際問題．中學(xué)所學(xué)的線性規(guī)劃只是規(guī)劃論中的極小一部分，但這部分內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的工具性、應(yīng)用性，同時也滲透了化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，為學(xué)生今后解決實際問題提供了一種重要的解題方法——數(shù)學(xué)建模法．通過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在解決實際問題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和解決實際問題的能力．
把實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答是本節(jié)的重點也是難點．對許多學(xué)生來說，解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的最常見的困難是不會將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，即不會建模，所以把實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題作為本節(jié)的難點．對學(xué)生而言，解決應(yīng)用問題的障礙主要有三類：①不能正確理解題意，弄清各元素之間的關(guān)系；②不能分清問題的主次關(guān)系，因而抓不住問題的本質(zhì)，無法建立數(shù)學(xué)模型；③孤立地考慮單個的問題情境，不能多方面聯(lián)想，形成正遷移．針對這些障礙以及題目本身文字過長等因素，將本節(jié)設(shè)計為計算機(jī)輔助教學(xué)，充分利用現(xiàn)代化教學(xué)工具，從而將實際問題鮮活直觀地展現(xiàn)在學(xué)生面前，以利于理解．
實際教學(xué)中注意以下幾個問題：①用圖解法解決線性規(guī)劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵．可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組(方程組)尋求約束條件，并就題目所述找到目標(biāo)函數(shù)．②可行域就是二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側(cè)開放的無限大的平面區(qū)域．③如果可行域是一個凸多邊形，那么一般在其頂點處使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值，最優(yōu)解一般就是多邊形的某個頂點．到底哪個頂點為最優(yōu)解，可有兩種確定方法：一是將目標(biāo)函數(shù)的直線平行移動，最先通過或最后通過的頂點便是；另一種方法可利用圍成可行域的直線的斜率來判斷．④若實際問題要求的最優(yōu)解是整數(shù)解，而我們利用圖解法得到的解為非整數(shù)解(近似解)，應(yīng)作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整．其方法應(yīng)以與線性目標(biāo)函數(shù)的直線的距離為依據(jù)，在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點，不要在用圖解法所得到的近似解附近尋找．如果可行域中的整點數(shù)目很少，采用逐個試驗法也是很有效的辦法．⑤在線性規(guī)劃的實際問題中，主要掌握兩種類型：一是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運用這些資源能使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；二是給定一項任務(wù)，問怎樣統(tǒng)籌安排，能使完成的這項任務(wù)耗費的人力、物力資源最?。?br> 如果條件允許，可將本節(jié)的思考與討論融入課堂．
三維目標(biāo)
1．使學(xué)生了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念；了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡單的實際問題．
2．通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生“建?！焙徒鉀Q實際問題的能力．
3．通過本節(jié)學(xué)習(xí)，理解線性規(guī)劃求最優(yōu)解的原理，明確線性規(guī)劃在現(xiàn)實生活中的意義．
重點難點
教學(xué)重點：求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識，理解線性規(guī)劃最優(yōu)解的原理．
教學(xué)難點：把實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答．
課時安排
2課時
教學(xué)過程
第1課時
導(dǎo)入新課
思路1.(問題引入)由身邊的線性規(guī)劃問題導(dǎo)入課題，同時闡明其重要意義．如6枝玫瑰花與3枝康乃馨的價格之和大于24元．而4枝玫瑰與5枝康乃馨的價格之和小于22元．如果想買2枝玫瑰與3枝康乃馨，那么價格比較結(jié)果是怎樣的呢？可由學(xué)生列出不等關(guān)系，并畫出平面區(qū)域．由此導(dǎo)入新課．
思路2.(章頭問題引入)在生產(chǎn)與營銷活動中，我們常常需要考慮：怎樣利用現(xiàn)在的資源取得最大的收益，或者怎樣以最少的資源投入去完成一項給定的任務(wù)．我們把這一類問題稱為“最優(yōu)化”問題．線性規(guī)劃知識恰是解決這類問題的得力工具．由此展開新課．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
1回憶二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐標(biāo)系中的平面區(qū)域的確定方法.
2怎樣從實際問題中抽象出不等式組，并畫出所確定的平面區(qū)域？
3閱讀教材，明確什么是目標(biāo)函數(shù)，線性目標(biāo)函數(shù)，約束條件，線性約束條件，線性規(guī)劃問題，最優(yōu)解，可行域.,4你能給出解決線性規(guī)劃問題的一般步驟嗎？
活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧二元一次不等式表示平面區(qū)域常用的方法是：直線定界、原點定域，即先畫出對應(yīng)直線，再將原點坐標(biāo)代入直線方程中，看其值比零大還是比零?。徊坏仁浇M表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面點集的交集，是它們平面區(qū)域的公共部分．
教師引導(dǎo)學(xué)生探究教材本節(jié)開頭的問題．根據(jù)上節(jié)所學(xué)，學(xué)生很容易設(shè)出計劃生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x工時，生產(chǎn)乙種產(chǎn)品y工時，且很容易地列出獲得利潤總額為f＝30x＋40y，①

及x，y滿足的條件
3x＋2y≤1200，x＋2y≤800，x≥0，y≥0.②
教師引導(dǎo)學(xué)生畫出上述不等式組表示的區(qū)域，如下圖．
結(jié)合圖形，教師與學(xué)生一起探究，原問題就是在x，y滿足②的情況下，求f的最大值．也就是在圖中陰影部分內(nèi)找一點，把它的坐標(biāo)代入式子30x＋40y時，使該式值最大．若令30x＋40y＝0，則此方程表示通過原點的一條直線，記為l0，則在區(qū)域OABC內(nèi)有30x＋40y≥0.設(shè)這個區(qū)域內(nèi)任意一點P(x，y)到l0的距離為d，則d＝|30x＋40y|302＋402＝30x＋40y302＋402，即30x＋40y＝302＋402d.
由此可發(fā)現(xiàn)，點P(x，y)到直線l0的距離d越大，式子30x＋40y的值就越大．這樣問題又轉(zhuǎn)化為：在區(qū)域OABC內(nèi)，找與直線l0距離最大的點．觀察圖象易發(fā)現(xiàn)，平移直線l0，最后經(jīng)過的點為B，易知區(qū)域OABC內(nèi)的點B即為所求．
解方程組3x＋2y＝1200，x＋2y＝800，得B(200,300)，代入式子①，得fmax＝30×200＋40×300＝18000.
即問題中，用200工時生產(chǎn)甲種產(chǎn)品，用300工時生產(chǎn)乙種產(chǎn)品，能獲得最大利潤18000元．
進(jìn)一步探究上述問題，不等式組是一組對變量x、y的約束條件，由于這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件．z＝2x＋y是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，我們把它稱為目標(biāo)函數(shù)．由于z＝2x＋y又是關(guān)于x、y的一次解析式，所以又可叫做線性目標(biāo)函數(shù)．線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．[
一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題．例如：我們剛才研究的就是求線性目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y在線性約束條件下的最大值和最小值的問題，即為線性規(guī)劃問題．滿足線性約束條件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域．其中，使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個問題的最優(yōu)解，接著讓學(xué)生說出上述問題中的目標(biāo)函數(shù)，約束條件，可行域，最優(yōu)解分別是什么．
根據(jù)以上探究，我們可以得出用圖解法解決線性規(guī)劃問題的一般步驟：
(1)分析并將已知數(shù)據(jù)列出表格；
(2)確定線性約束條件；
(3)確定線性目標(biāo)函數(shù)；
(4)畫出可行域；
(5)利用線性目標(biāo)函數(shù)求出最優(yōu)解．在可行域內(nèi)平行移動目標(biāo)函數(shù)，從圖中能判定問題有唯一最優(yōu)解，或者是無窮最優(yōu)解，或是無最優(yōu)解；
(6)實際問題需要整數(shù)解時，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整確定最優(yōu)解．
討論結(jié)果：
(1)～(4)略．
應(yīng)用示例
例1已知x、y滿足不等式x＋2y≥2，2x＋y≥1，x≥0，y≥0，求z＝3x＋y的最小值．
活動：可先找出可行域，平行移動直線l0：3x＋y＝0找出可行解，進(jìn)而求出目標(biāo)函數(shù)的最小值．
解：不等式x＋2y≥2表示直線x＋2y＝2上及其右上方的點的集合；
不等式2x＋y≥1表示直線2x＋y＝1上及其右上方的點的集合．
可行域如圖所示．
作直線l0：3x＋y＝0，作一組與直線l0平行的直線l：3x＋y＝t(t∈R)．
∵x、y是上面不等式組表示的區(qū)域內(nèi)的點的橫縱坐標(biāo)，
由圖可知，當(dāng)直線l：3x＋y＝z通過點P(0,1)時，z取到最小值1，即zmin＝1.
點評：簡單線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的．
(1)尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；
(2)由二元一次不等式表示的平面區(qū)域作出可行域；
(3)在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.
變式訓(xùn)練
若變量x，y滿足2x＋y≤40，x＋2y≤50，x≥0，y≥0，則z＝3x＋2y的最大值是________．
答案：70
解析：由不等式組2x＋y≤40，?x＋2y≤50，?x≥0，?y≥0畫出可行域如下圖．
結(jié)合圖形，
由2x＋y＝40，x＋2y＝50x＝10，y＝20，
于是zmax＝3×10＋2×20＝70.

例2(教材本小節(jié)例2)
活動：教材此例的數(shù)據(jù)以表格的形式給出．這樣可使量與量之間的關(guān)系一目了然，非常有助于我們順利地找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，特別是對于那些量比較多的問題．本例難度不大，可由學(xué)生自己完成，教師給予適當(dāng)點撥．
點評：完成此例后，可讓學(xué)生對應(yīng)用線性規(guī)劃解決實際問題作一簡單歸納．對較好的學(xué)生，教師可結(jié)合思考與討論進(jìn)行歸納.
變式訓(xùn)練
某家具廠有方木料90m3，五合板600m2，準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售．已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1m3、五合板2m2；生產(chǎn)每個書櫥需要方木料0.2m3、五合板1m2.出售一張書桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤120元，如果只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤多少？如果只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利潤多少？怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤最大？
解：(1)設(shè)只生產(chǎn)書桌x張，可獲得利潤z元，
則0.1x≤90，2x≤600x≤900，x≤300x≤300.
z＝80x，∴當(dāng)x＝300時，zmax＝80×300＝24000(元)，
即如果只安排生產(chǎn)書桌，最多可生產(chǎn)300張書桌，獲得利潤24000元．
(2)設(shè)只生產(chǎn)書櫥y張，可獲利潤z元，
則0.2y≤90，y≤600y≤450，y≤600y≤450.
z＝120y，∴當(dāng)y＝450時，zmax＝120×450＝54000(元)，
即如果只安排生產(chǎn)書櫥，最多可生產(chǎn)450個，獲得利潤54000元．
(3)設(shè)生產(chǎn)書桌x張，書櫥y個，利潤總額為z元．
則0.1x＋0.2y≤90，2x＋y≤600，x≥0，y≥0x＋2y≤900，2x＋y≤600，x≥0，y≥0，
z＝80x＋120y，可行域如圖．
由圖可知：當(dāng)直線y＝－23x＋z120經(jīng)過可行域上的點M時，截距z120最大，即z最大，解方程組x＋2y＝900，?2x＋y＝600，得M的坐標(biāo)為(100,400)．
∴zmax＝80x＋120y＝80×100＋120×400＝56000(元)．
因此，生產(chǎn)書桌100張、書櫥400個，可使所得利潤最大，最大利潤為56000元.

例3某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1t需耗A種礦石10t、B種礦石5t、煤4t；生產(chǎn)乙種產(chǎn)品需耗A種礦石4t、B種礦石4t、煤9t．每1t甲種產(chǎn)品的利潤是600元，每1t乙種產(chǎn)品的利潤是1000元．工廠在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中要求消耗A種礦石不超過300t、B種礦石不超過200t、煤不超過360t，甲、乙兩種產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少(精確到0.1t)，能使利潤總額達(dá)到最大？
活動：將已知數(shù)據(jù)列成下表，然后按線性規(guī)劃解決實際問題的步驟完成，本例可由學(xué)生自己完成．

解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為xt、yt，利潤總額為z元，
那么10x＋4y≤300，5x＋4y≤200，4x＋9y≤360，x≥0，y≥0；
目標(biāo)函數(shù)為z＝600x＋1000y.
作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域如圖．
作直線l：600x＋1000y＝0，即直線l：3x＋5y＝0.
把直線l向右上方平移至l1的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點M，且與原點距離最大，此時z＝600x＋1000y取最大值．
解方程組5x＋4y＝200，4x＋9y＝360，得x＝36029≈12.4，y＝100029≈34.4.∴M的坐標(biāo)為(12.4,34.4)．
答：應(yīng)生產(chǎn)甲產(chǎn)品約12.4t，乙產(chǎn)品34.4t，能使利潤總額達(dá)到最大．
知能訓(xùn)練
1．設(shè)變量x，y滿足約束條件：y≥x，x＋2y≤2，x≥－2，則z＝x－3y的最小值為()
A．－2B．－4C．－6D．－8
2．醫(yī)院用甲、乙兩種原料為手術(shù)后的病人配營養(yǎng)餐．甲種原料每10g含5單位蛋白質(zhì)和10單位鐵質(zhì)，售價3元；乙種原料每10g含7單位蛋白質(zhì)和4單位鐵質(zhì)，售價2元．若病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì)和40單位鐵質(zhì)．試問：應(yīng)如何使用甲、乙原料，才能既滿足營養(yǎng)，又使費用最省？
答案：
1．D解析：在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出不等式組y≥x，x＋2y≤2，x≥－2所表示的平面區(qū)域，作出直線x－3y＝0，平移該直線，并結(jié)合圖形(圖略)知點(－2,2)為最優(yōu)解．所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為zmin＝－2－3×2＝－8，故選D.
2．活動：將已知數(shù)據(jù)列成下表：

原料/10g蛋白質(zhì)/單位鐵質(zhì)/單位
甲510
乙74
費用32

設(shè)甲、乙兩種原料分別用10xg和10yg，則需要的費用為z＝3x＋2y；病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì)，可表示為5x＋7y≥35；同理，對鐵質(zhì)的要求可以表示為10x＋4y≥40，這樣，問題成為在約束條件5x＋7y≥35，10x＋4y≥40，x≥0，y≥0下，求目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋2y的最小值．
解：設(shè)甲、乙兩種原料分別用10xg和10yg，總費用為z，那么5x＋7y≥35，10x＋4y≥40，x≥0，y≥0；
目標(biāo)函數(shù)為z＝3x＋2y，
作出可行域如圖．
把z＝3x＋2y變形為y＝－32x＋z2，得到斜率為－32，在y軸上的截距為z2，隨z變化的一組平行直線．
由圖可知，當(dāng)直線y＝－32x＋z2經(jīng)過可行域上的點A時，截距z2最小，即z最?。?br> 由10x＋4y＝40，5x＋7y＝35，得A(145，3)，∴zmin＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲種原料使用145×10＝28(g)，乙種原料使用3×10＝30(g)時，費用最?。?br> 課堂小結(jié)
1．讓學(xué)生自己歸納整合本節(jié)所學(xué)的知識方法及用線性規(guī)劃解決實際問題的方法步驟，自己在本節(jié)中的最大收獲有哪些？
2．教師強(qiáng)調(diào)，通過本節(jié)學(xué)習(xí)，需掌握如何用線性規(guī)劃解決實際問題的解題思路：首先，應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)題意找出約束條件，確定線性目標(biāo)函數(shù)．然后，用圖解法求得數(shù)學(xué)模型的解，即畫出可行域，在可行域內(nèi)求得使目標(biāo)函數(shù)取得最值的解．最后，還要根據(jù)實際意義將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實際問題的解，即結(jié)合實際情況求得最優(yōu)解．
作業(yè)
習(xí)題3—5A組3、4、5；習(xí)題3—5B組3.
設(shè)計感想
1．本節(jié)內(nèi)容與實際問題聯(lián)系緊密，有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識以及解決實際問題的能力．本節(jié)內(nèi)容滲透了多種數(shù)學(xué)思想，是向?qū)W生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的典型教材，也是培養(yǎng)學(xué)生觀察、作圖能力的典型教材．
2．通過實例給出解題步驟，讓其更深入了解并掌握新知．這里強(qiáng)調(diào)的還有作圖的規(guī)范問題，這是學(xué)生容易忽視的，但這又是本節(jié)課很重要的一部分．
3．關(guān)于難度把握問題，依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》及教材分析，二元一次不等式表示平面區(qū)域以及線性規(guī)劃的有關(guān)概念比較抽象，按高二學(xué)生現(xiàn)有的知識和認(rèn)知水平難以透徹理解，再加上學(xué)生對代數(shù)問題等價轉(zhuǎn)化為幾何問題，以及數(shù)學(xué)建模方法解決實際問題有一個學(xué)習(xí)消化的過程，故本節(jié)知識內(nèi)容定為了解層次．但這個了解不同于其他的了解，應(yīng)注意讓學(xué)生切實學(xué)會從實際問題抽象出約束條件及目標(biāo)函數(shù)，并注意規(guī)范書寫解答步驟．
(設(shè)計者：鄭吉星)
第2課時
導(dǎo)入新課
思路1.(直接導(dǎo)入)上一節(jié)課我們探究了用線性規(guī)劃解決實際問題的一種類型，這節(jié)課我們進(jìn)一步探究有關(guān)線性規(guī)劃的一些問題，看看用線性規(guī)劃還能解決哪些實際問題．教師出示多媒體課件，提出問題，由此引入新課．
思路2.(問題導(dǎo)入)關(guān)于線性規(guī)劃的整點問題是個難點，我們是用平移直線的辦法來解決的，需要畫圖精確，令學(xué)生很頭痛．下面我們探究調(diào)整最優(yōu)值法來確定最優(yōu)整數(shù)解的方法．教師用多媒體出示以下問題：
某人有樓房一座，室內(nèi)面積共有180平方米，擬分隔成兩類房間作為旅游客房，大房間每間面積為18平方米，可住游客5名，每名游客每天住宿費40元，小房間每間面積15平方米，可住游客3名，每名游客每天住宿費50元；裝修大房間每間需1000元，裝修小房間每間需600元．如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應(yīng)隔出大房間和小房間各多少間，能獲得最大收益？
學(xué)生很容易設(shè)隔出大房間x間，小房間y間時收益為z元，則x，y滿足
18x＋15y≤180，1000x＋600y≤8000，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N.
作出可行域(出示多媒體課件)，作直線l：200x＋150y＝0，即l：4x＋3y＝0，把直線l向右上方平移，直線經(jīng)過可行域上的點B時，與原點距離最大，此時z＝200x＋150y取得最大值，解方程組6x＋5y＝60，5x＋3y＝40，得點B的坐標(biāo)為(207，607)，由于B的坐標(biāo)不是整數(shù)，而最優(yōu)解(x，y)中，x、y必須都是整數(shù)，所以可行域內(nèi)的點B不是最優(yōu)解．
以下教師與學(xué)生共同探究調(diào)整最優(yōu)值法來確定最優(yōu)整點的方法：
將B點坐標(biāo)代入4x＋3y＝z，得z＝3717，所以令4x＋3y＝37.
所以y＝37－4x3，x＝37－3y4，代入約束條件得y＝9，x無解；
再令4x＋3y＝36，所以y＝36－4x3，x＝36－3y4，代入約束條件得7≤y≤12,0≤x≤4.
又因為4x＋3y＝36，所以得最優(yōu)解為(0,12)和(3,8)，此時z的最大值是36，最大利潤是1800元．
用圖解法解決時，容易丟一組解，而選擇調(diào)整最優(yōu)值法，即可避免丟解問題，只是需要一定的不等式及不定方程的知識．鼓勵學(xué)生課外進(jìn)一步探究其他方法．
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
1回憶上節(jié)課我們利用線性規(guī)劃解決實際問題的方法、步驟、格式，解題時應(yīng)注意哪些問題？
2前面我們解決了可行域中整點問題，明確了求可行域中最優(yōu)解問題，請思考最優(yōu)解的個數(shù)有可能為無數(shù)個嗎？
活動：教師與學(xué)生一起回憶上節(jié)課利用線性規(guī)劃解決實際問題時應(yīng)注意：①在尋求約束條件時，要注意挖掘隱含條件；②在確定最優(yōu)解時，首先要賦予因變量的幾何意義，然后利用圖形的直觀來確定最優(yōu)解；③在確定最優(yōu)解時，用直線的斜率來定位．
關(guān)于可行域中的整點求法，是以與線性目標(biāo)函數(shù)的直線的距離為依據(jù)，在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點．如果可行域中的整點數(shù)目很少，采用逐個試驗法也是很有效的辦法．下面我們進(jìn)一步探究最優(yōu)解問題以及用線性規(guī)劃解決的另一類實際問題．
討論結(jié)果：(1)略．
(2)求最優(yōu)解，若沒有特殊要求，一般為邊界交點．但取得最值的最優(yōu)解可能有無窮多個．若通過圖形觀察不易分辨時，可把邊界交點代入驗證．
應(yīng)用示例
例1某公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元．甲、乙電視臺的收費標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘．假定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大？最大收益是多少萬元？
活動：這是高考中繼江蘇卷線性規(guī)劃大題后第二個線性規(guī)劃大題，教師引導(dǎo)學(xué)生按前面的方法列出表格，則各量之間的關(guān)系即一目了然．本題難度不大，可由學(xué)生自己解決．列表如下：

甲乙合計
時間x分鐘y分鐘300
收費500元/分鐘200元/分鐘9萬元

解：設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元．
由題意得x＋y≤300，500x＋200y≤90000，x≥0，y≥0.目標(biāo)函數(shù)為z＝3000x＋2000y.
二元一次不等式組等價于x＋y≤300，5x＋2y≤900，x≥0，y≥0.
作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖．
作直線l：3000x＋2000y＝0，即3x＋2y＝0.
平移直線l，從圖中可知，當(dāng)直線l過M點時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值．
聯(lián)立x＋y＝300，5x＋2y＝900，解得x＝100，y＝200.∴點M的坐標(biāo)為(100,200)．
∴zmax＝3000x＋2000y＝700000(元)．
答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元．
例2(教材本小節(jié)例3)
活動：本例是整數(shù)線性規(guī)劃問題．整數(shù)線性規(guī)劃問題的可行域是由滿足不等式的整點組成的集合，所求的最優(yōu)解必須是整數(shù)解．我們知道，最優(yōu)解一般都為邊界的交點，若這個交點不是整數(shù)，則需要平移直線找到附近的最優(yōu)解．本例可由教師與學(xué)生共同完成．
點評：找整數(shù)最優(yōu)解是個難點，要求畫圖精確，要使學(xué)生明白如何找整數(shù)最優(yōu)解的原理.
變式訓(xùn)練
某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y必須滿足約束條件5x－11y≥－22，2x＋3y≥9，2x≤11，則z＝10x＋10y的最大值是()
A．80B．85C．90D．95
答案：C
解析：畫出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖所示．
由x＝112，5x－11y＝－22，
解得A(112，92)．
而由題意知x和y必須是正整數(shù)，直線y＝－x＋z10平移經(jīng)過的整點為(5,4)時，z＝10x＋10y取得最大值90.

例3某人承攬一項業(yè)務(wù)，需做文字標(biāo)牌2個，繪畫標(biāo)牌3個，現(xiàn)有兩種規(guī)格的原料，甲種規(guī)格每張3m2，可做文字標(biāo)牌1個，繪畫標(biāo)牌2個，乙種規(guī)格每張2m2，可做文字標(biāo)牌2個，繪畫標(biāo)牌1個，求兩種規(guī)格的原料各用多少張，才能使總的用料面積最??？
解：設(shè)用甲種規(guī)格原料x張，乙種規(guī)格原料y張，則可做文字標(biāo)牌x＋2y個，繪畫標(biāo)牌2x＋y個，
由題意可得x＋2y≥2，2x＋y≥3，x≥0，y≥0.
所用原料的總面積為z＝3x＋2y，作出可行域，如圖陰影所示．作直線l0：3x＋2y＝0，作一組與直線l0平行的直線l：3x＋2y＝t(t∈R)，當(dāng)直線l通過2x＋y＝3與直線x＋2y＝2的交點A(43，13)時，t取得最小值為133.
因為43，13都不是整數(shù)，而最優(yōu)解(x，y)中，x、y必須都是整數(shù)，所以可行域內(nèi)點(43，13)不是最優(yōu)解．經(jīng)過可行域內(nèi)整點，點B(1,1)滿足3x＋2y＝5，使t最?。?br> 所以最優(yōu)解為B(1,1)，即用甲種規(guī)格原料1張，乙種規(guī)格原料1張，可使所用原料總面積最小為5m2.
知能訓(xùn)練
1．設(shè)變量x，y滿足約束條件x－y≥0，x＋y≤1，x＋2y≥1，則目標(biāo)函數(shù)z＝5x＋y的最大值為()
A．2B．3C．4D．5
2．設(shè)x、y滿足約束條件x－4y≤－3，3x＋5y≤25，x≥1，分別求下列各式的最大值、最小值：
(1)z＝6x＋10y；
(2)z＝2x－y；
(3)z＝2x－y(x，y均為整數(shù))．
答案：
1．D解析：如圖，由可行域知目標(biāo)函數(shù)z＝5x＋y過點A(1,0)時z取得最大值，zmax＝5.
2．解：(1)先作出可行域，如下圖所示的△ABC的區(qū)域，且求得A(5,2)、B(1,1)、C(1，225)．
作出直線l0：6x＋10y＝0，再將直線l0平移，
當(dāng)l0的平行線l1過B點時，可使z＝6x＋10y達(dá)到最小值；
當(dāng)l0的平行線l2過A點時，可使z＝6x＋10y達(dá)到最大值．
∴zmin＝6×1＋10×1＝16；zmax＝6×5＋10×2＝50.
(2)同上，作出直線l0：2x－y＝0，再將直線l0平移，當(dāng)l0的平行線l1過C點時，
可使z＝2x－y達(dá)到最小值；
當(dāng)l0的平行線l2過A點時，可使z＝2x－y達(dá)到最大值．∴zmax＝8，zmin＝－125.
(3)同上，作出直線l0：2x－y＝0，再將直線l0平移，
當(dāng)l0的平行線l2過A點時，可使z＝2x－y達(dá)到最大值，∴zmax＝8.
當(dāng)l0的平行線l1過C點時，可使z＝2x－y達(dá)到最小值，
但由于225不是整數(shù)，而最優(yōu)解(x，y)中，x、y必須都是整數(shù)，
∴可行域內(nèi)的點C(1，225)不是最優(yōu)解．
當(dāng)l0的平行線經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(1,4)時，可使z＝2x－y達(dá)到最小值．
∴zmin＝2×1－4＝－2.
課堂小結(jié)
1．我們用線性規(guī)劃解決了哪些實際問題？
2．教師點撥學(xué)生：你能用精練的幾個字來說明利用線性規(guī)劃解決實際問題的方法與步驟嗎？
(1)找：找出實際問題中的約束條件及目標(biāo)函數(shù)；(2)畫：畫出線性約束條件所表示的可行域；(3)移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線；(4)求：通過解方程組求出最優(yōu)解；(5)答：作出答案．即可用5個字來概括：找、畫、移、求、答．
作業(yè)
一、習(xí)題3—5A組6；習(xí)題3—5B組4、5.
二、閱讀本章小結(jié)
設(shè)計感想
1．本課時設(shè)計注重學(xué)生的操作練習(xí)．通過學(xué)生積極參與，動手操作，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維、增強(qiáng)創(chuàng)新意識，使認(rèn)知在練習(xí)中加深，興趣在練習(xí)中勃發(fā)，情感在練習(xí)中陶冶，質(zhì)量在練習(xí)中提高，目標(biāo)在練習(xí)中實現(xiàn)．
2．本課時注重了學(xué)生的能力訓(xùn)練．通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想，深化對知識的理解和掌握，體驗發(fā)現(xiàn)的快樂，增強(qiáng)創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識．
3．本課時設(shè)計強(qiáng)化使用現(xiàn)代化教學(xué)手段．充分發(fā)揮多媒體教學(xué)的優(yōu)勢，利用計算機(jī)作為輔助工具，更清楚地展示區(qū)域問題，有利于發(fā)現(xiàn)區(qū)域問題的異同點，將信息技術(shù)和數(shù)學(xué)課件有機(jī)地結(jié)合起來，有利于突出重點，突破難點，有利于教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn)．
備課資料
一、備選例題
【例1】某糖果廠生產(chǎn)A、B兩種糖果，A種糖果每箱獲利潤40元，B種糖果每箱獲利潤50元，其生產(chǎn)過程分為混合、烹調(diào)、包裝三道工序，下表為每箱糖果生產(chǎn)過程中所需平均時間：(單位：分鐘)

混合烹調(diào)包裝
A153
B241

每種糖果的生產(chǎn)過程中，混合的設(shè)備至多能用12小時，烹調(diào)的設(shè)備至多能用30小時，包裝的設(shè)備至多能用15小時，試求每種糖果各生產(chǎn)多少箱可獲得最大利潤？
活動：找約束條件，建立目標(biāo)函數(shù)．
解：設(shè)生產(chǎn)A種糖果x箱，B種糖果y箱，可獲得利潤z元，則此問題的約束條件x＋2y≤720，5x＋4y≤1800，3x＋y≤900，x≥0，y≥0下，求目標(biāo)函數(shù)z＝40x＋50y的最大值，作出可行域如圖，其邊界OA：y＝0，AB：3x＋y－900＝0，BC：5x＋4y－1800＝0，CD：x＋2y－720＝0，DO：x＝0.
由z＝40x＋50y，得y＝－45x＋z50，它表示斜率為－45，截距為z50的平行直線系，z50越大，z越大，從而可知過C點時截距最大，z取得了最大值．
解方程組x＋2y＝7205x＋4y＝1800C(120,300)．
∴zmax＝40×120＋50×300＝19800，即生產(chǎn)A種糖果120箱，生產(chǎn)B種糖果300箱，可得最大利潤19800元．
點評：由于生產(chǎn)A種糖果120箱，生產(chǎn)B種糖果300箱，就使得兩種糖果共計使用的混合時間為120＋2×300＝720(分)，烹調(diào)時間5×120＋4×300＝1800(分)，包裝時間3×120＋300＝660(分)，這說明該計劃已完全利用了混合設(shè)備與烹調(diào)設(shè)備的可用時間，但對包裝設(shè)備卻有240分鐘的包裝時間未加利用，這種“過?！眴栴}構(gòu)成了該問題的“松弛”部分，有待于改進(jìn)研究．
【例2】要將甲、乙兩種大小不同的鋼板截成A、B兩種規(guī)格，每張鋼板可同時截得A、B兩種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示：

已知庫房中現(xiàn)有甲、乙兩種鋼板的數(shù)量分別為5張和10張，市場急需A、B兩種規(guī)格的成品數(shù)分別為15塊和27塊．
(1)問各截這兩種鋼板多少張可得到所需的成品數(shù)，且使所用的鋼板張數(shù)最少？
(2)若某人對線性規(guī)劃知識了解不多，而在可行域的整點中隨意取出一解，求其恰好取到最優(yōu)解的概率．
解：設(shè)需截甲、乙兩種鋼板的張數(shù)分別為x、y，則2x＋y≥15，x＋3y≥27，0≤x≤5，0≤y≤10，
作出可行域如圖．
(1)因為目標(biāo)函數(shù)為z＝x＋y(x、y為整數(shù))，所以在一組平行直線x＋y＝t(t為參數(shù))中，經(jīng)過可行域內(nèi)的整點且與原點距離最近的直線是x＋y＝12，其經(jīng)過的整點是(3,9)和(4,8)，它們都是最優(yōu)解．
(2)因為可行域內(nèi)的整點個數(shù)為8，而最優(yōu)解有兩個，所以所求的概率為p＝28＝0.25.
答：兩種鋼板的張數(shù)分別為3、9或4、8，概率為0.25.
二、利潤的線性預(yù)測
問題：某企業(yè)1999年的利潤為5萬元，2000年的利潤為7萬元，2001年的利潤為8萬元．請你根據(jù)以上信息擬定兩個不同的利潤增長直線方程，從而預(yù)測2003年企業(yè)的利潤，請問你幫該企業(yè)預(yù)測的利潤是多少萬元？
解：建立平面直角坐標(biāo)系，1999年的利潤為5萬元，對應(yīng)的點為A(0,5)，2000年的利潤為7萬元，2001年的利潤為8萬元分別對應(yīng)點B(1,7)和C(2,8)，那么
(1)過A、B兩點的直線作為預(yù)測直線l1，其方程為y＝2x＋5，這樣預(yù)測2003年的利潤為13萬元．
(2)過A、C兩點的直線作為預(yù)測直線l2，其方程為y＝32x＋5，這樣預(yù)測2003年的利潤為11萬元．
(3)過B、C兩點的直線作為預(yù)測直線l3，其方程為y＝x＋6，這樣預(yù)測2003年的利潤為10萬元．
(4)過A及線段BC的中點E(32，152)的直線作為預(yù)測直線l4，其方程為y＝53x＋5，這樣預(yù)測2003年的利潤約為11.667萬元．
(5)過A及△ABC的重心F(1，203)(注：203為3年的年平均利潤)的直線作為預(yù)測直線l5，其方程為y＝53x＋5，這樣預(yù)測2003年的利潤為11.667萬元．
(6)過C及△ABC的重心F(1，203)(注：203為3年的年平均利潤)的直線作為預(yù)測直線l6，其方程為y＝43x＋163，這樣預(yù)測2003年的利潤為10.667萬元．
(7)過A及以線段BC的斜率kBC＝1作為預(yù)測直線斜率，則預(yù)測直線l7的方程為y＝x＋5，這樣預(yù)測2003年的利潤為9萬元．
(8)過B及以線段AC的斜率kAC＝32作為預(yù)測直線斜率，則預(yù)測直線l8的方程為y＝32x＋112，這樣預(yù)測2003年的利潤為11.5萬元．
(9)過C及以線段AB的斜率kAB＝2作為預(yù)測直線斜率，則預(yù)測直線l9的方程為y＝2x＋4，這樣預(yù)測2003年的利潤為12萬元．
(10)過A及以線段AB的斜率kAB與線段AC的斜率kAC的平均數(shù)作為預(yù)測直線斜率，則預(yù)測直線l10的方程為y＝74x＋5，這樣預(yù)測2003年的利潤為12萬元．
還有其他方案，在此不一一列舉．
點評：(1)讀完以上的各種預(yù)測方案后，請你先思考兩個問題：
①第(5)種方案與第(4)種方案的結(jié)果完全一致，這是為什么？
②第(7)種方案中，kBC的現(xiàn)實意義是什么？
(2)本題可從以下兩個方面進(jìn)一步拓展，其一是根據(jù)以上的基本解題思路，提出新的方案，如方案(6)過△ABC的重心F(1，203)，找出以m為斜率的直線中與A、C兩點距離的平方和最小的直線作為預(yù)測直線；其二是根據(jù)以上結(jié)論及你自己的答案估計利潤的范圍，你預(yù)測的利潤頻率出現(xiàn)最多的是哪一個值？你認(rèn)為將你預(yù)測的結(jié)論作怎樣的處理，使之得到的利潤預(yù)測更有效？如果不要求用線性預(yù)測，你能得出什么結(jié)果？

簡單的線性規(guī)劃問題

簡單的線性規(guī)劃問題
使用說明1.課前完成語系學(xué)案上的問題導(dǎo)學(xué)及例題.
2.認(rèn)真限時完成，規(guī)范書寫，課堂小組合作探討，答疑解惑.
學(xué)習(xí)目標(biāo)：（1）了解線性規(guī)劃的意義及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等概念；
（2）能根據(jù)條件，建立線性目標(biāo)函數(shù)；
（3）了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并會用圖解法求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值
問題導(dǎo)學(xué)：
1.對于關(guān)于兩個變量x,y的不等關(guān)系表示成的不等式（組），稱為（），如果約束條件中都是關(guān)于x,y的一次不等式，稱為（）
2.在線性約束條件下，欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的關(guān)于變量x,y的函數(shù)解析式=f(x,y),稱為（），當(dāng)f(x,y)是關(guān)于x,y的一次解析式時，z=f(x,y)稱為（）
3.在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為（），滿足線性約束條件的解（x,y）叫做（）由所有可行解組成的集合叫做（），使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個問題的（），使x,y均為整數(shù)的最優(yōu)解叫做（）。
4.解線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟：
1.設(shè)出_________
２.列出_________，確定_________
3.畫出_________
4.作目標(biāo)函數(shù)表示的一族平行直線，使其中某條直線與_________有交點，
5.判斷_________求出目標(biāo)函數(shù)的_________，并回到原問題中作答。.
典型例題：
例1.（1）求z=2x+y的最大值，使x、y滿足約束條件

（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使x、y滿足約束條件

例2.某工廠用A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個A配件耗時1h,每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個B配件耗時2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，，生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大？（按每天8h計算）

基礎(chǔ)測評：
一.選擇題.
1.若x0,y0,且x+y1,則z=x+y的最大值為()
A－1B1
C2D－2
2.目標(biāo)函數(shù)z=2x-y,將其看成直線方程時，z的意義是（）
A,該直線的截距
B.該直線的縱截距
C.該直線的縱截距的相反數(shù)
D.該直線的橫截距
3.不等式組x–y+5≥0x+y≥0x≤3表示的平面區(qū)域的面積等于（）
A、32B、1214C、1154D、632

4.有5輛6噸的汽車，4輛4噸的汽車，要運送最多的貨物，完成這項運輸任務(wù)的線性目標(biāo)函數(shù)為（）
A,Z=6x+4yBz=5x+4y
Cz=x+yDz=4x+5y
5.．如圖，表示的平面區(qū)域是（）
6.給出平面區(qū)域如圖7-28所示，其中A（5，3），B（1，1），C（1，5），若使目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(a0)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，則a的值是（）
A．B．C．2D．
二填空題
7．z=3x+2y，x、y滿足，在直線x=3上找出三個整點可行解為__________。
8．給出下面的線性規(guī)劃問題：求z=3x+5y的最大值和最小值，使x、y滿足約束條件，欲使目標(biāo)函數(shù)z只有最小值而無最大值，請你設(shè)計一種改變約束條件的辦法（仍由三個不等式構(gòu)成，且只能改變其中一個不等式），那么結(jié)果是__________。

9.已知變量x,y滿足條件x-4y-3
3x+5y25
x1
，設(shè)z=2x+y,取點（3，2）可求得z=8;取點（5，2）可求得=12;取點（1，1）可求得=3；取點（0，0）可求得z=0，點（3，2）叫做__________。
，點（0，0）叫做__________。點（5，2）和點（1，1）均叫做_________。
三解答題；
10.已知x、y滿足不等式組，求z=3x+y的最小值。

11.已知點（x,y）滿足不等式組,求在這些點中,
①使目標(biāo)函數(shù)k＝6x+8y取得最大值的點P的坐標(biāo)；
②使目標(biāo)函數(shù)k＝8x+6y取得最大值的點P的坐標(biāo).

12.下表給出X、Y、Z三種食品的維生素含量及其成本

XYZ
維生素A/單位/千克400500300
維生素B/單位/千克700100300
成本/（元/千克）643

現(xiàn)欲將三種食物混合成100千克的混合食品，要求至少含35000單位維生素A，40000單位維生素B，采用何種配比成本最小？

高三數(shù)學(xué)教案：《簡單的線性規(guī)劃》教學(xué)設(shè)計

本文題目：高三數(shù)學(xué)教案：簡單的線性規(guī)劃

●知識梳理

1.二元一次不等式表示平面區(qū)域

在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線Ax+By+C=0，坐標(biāo)平面內(nèi)的點P(x0，y0).

B>0時，①Ax0+By0+C>0，則點P(x0，y0)在直線的上方;②Ax0+By0+C

對于任意的二元一次不等式Ax+By+C>0(或

當(dāng)B>0時，①Ax+By+C>0表示直線Ax+By+C=0上方的區(qū)域;②Ax+By+C

2.線性規(guī)劃

求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題.

滿足線性約束條件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域(類似函數(shù)的定義域);使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解.生產(chǎn)實際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題.

線性規(guī)劃問題一般用圖解法，其步驟如下：

(1)根據(jù)題意，設(shè)出變量x、y;

(2)找出線性約束條件;

(3)確定線性目標(biāo)函數(shù)z=f(x，y);

(4)畫出可行域(即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域);

(5)利用線性目標(biāo)函數(shù)作平行直線系f(x，y)=t(t為參數(shù));

(6)觀察圖形，找到直線f(x，y)=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以確定最優(yōu)解，給出答案.

●點擊雙基

1.下列命題中正確的是

A.點(0，0)在區(qū)域x+y≥0內(nèi)

B.點(0，0)在區(qū)域x+y+1

C.點(1，0)在區(qū)域y>2x內(nèi)

D.點(0，1)在區(qū)域x-y+1>0內(nèi)

解析：將(0，0)代入x+y≥0，成立.

答案：A

2.(2005年海淀區(qū)期末練習(xí)題)設(shè)動點坐標(biāo)(x，y)滿足

(x-y+1)(x+y-4)≥0，

x≥3，

A. B. C. D.10

解析：數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)x=3，y=1時，x2+y2的最小值為10.

答案：D

2x-y+1≥0，

x-2y-1≤0，

x+y≤1

A.正三角形及其內(nèi)部

B.等腰三角形及其內(nèi)部

C.在第一象限內(nèi)的一個無界區(qū)域

D.不包含第一象限內(nèi)的點的一個有界區(qū)域

解析：將(0，0)代入不等式組適合C，不對;將( ， )代入不等式組適合D，不對;又知2x-y+1=0與x-2y-1=0關(guān)于y=x對稱且所夾頂角α滿足

tanα= = .

∴α≠ .

答案：B

4.點(-2，t)在直線2x-3y+6=0的上方，則t的取值范圍是________________.

解析：(-2，t)在2x-3y+6=0的上方，則2×(-2)-3t+6 .

答案：t>

5.不等式組 表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點)共有____________個.

解析：(1，1)，(1，2)，(2，1)，共3個.

答案：3

●典例剖析

【例1】 求不等式|x-1|+|y-1|≤2表示的平面區(qū)域的面積.

剖析：依據(jù)條件畫出所表達(dá)的區(qū)域，再根據(jù)區(qū)域的特點求其面積.

解：|x-1|+|y-1|≤2可化為

x≥1， x≥1， x≤1， x≤1，

y≥1， y≤1， y≥1， y≤1，

x+y ≤4 x-y ≤2 y-x ≤2 x+y≥0.

其平面區(qū)域如圖.

∴面積S= ×4×4=8.

評述：畫平面區(qū)域時作圖要盡量準(zhǔn)確，要注意邊界.

深化拓展

若再求：① ;② 的值域，你會做嗎?

答案： ①(-∞，- ]∪[ ，+∞);②[1，5].

【例2】 某人上午7時，乘摩托艇以勻速v n mile/h(4≤v≤20)從A港出發(fā)到距50 n mile的B港去，然后乘汽車以勻速w km/h(30≤w≤100)自B港向距300 km的C市駛?cè)?應(yīng)該在同一天下午4至9點到達(dá)C市.設(shè)乘汽車、摩托艇去所需要的時間分別是x h、y h.

(1)作圖表示滿足上述條件的x、y范圍;

(2)如果已知所需的經(jīng)費

p=100+3×(5-x)+2×(8-y)(元)，

那么v、w分別是多少時走得最經(jīng)濟(jì)?此時需花費多少元?

剖析：由p=100+3×(5-x)+2×(8-y)可知影響花費的是3x+2y的取值范圍.

解：(1)依題意得v= ，w= ，4≤v≤20，30≤w≤100.

∴3≤x≤10， ≤y≤ . ①

由于乘汽車、摩托艇所需的時間和x+y應(yīng)在9至14個小時之間，即9≤x+y≤14.②

因此，滿足①②的點(x，y)的存在范圍是圖中陰影部分(包括邊界).

(2)∵p=100+3?(5-x)+2?(8-y)，

∴3x+2y=131-p.

設(shè)131-p=k，那么當(dāng)k最大時，p最小.在通過圖中的陰影部分區(qū)域(包括邊界)且斜率為- 的直線3x+2y=k中，使k值最大的直線必通過點(10，4)，即當(dāng)x=10，y=4時，p最小.

此時，v=12.5，w=30，p的最小值為93元.

評述：線性規(guī)劃問題首先要根據(jù)實際問題列出表達(dá)約束條件的不等式.然后分析要求量的幾何意義.

【例3】 某礦山車隊有4輛載重量為10 t的甲型卡車和7輛載重量為6 t的乙型卡車，有9名駕駛員.此車隊每天至少要運360 t礦石至冶煉廠.已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次.甲型卡車每輛每天的成本費為252元，乙型卡車每輛每天的成本費為160元.問每天派出甲型車與乙型車各多少輛，車隊所花成本費最低?

剖析：弄清題意，明確與運輸成本有關(guān)的變量的各型車的輛數(shù)，找出它們的約束條件，列出目標(biāo)函數(shù)，用圖解法求其整數(shù)最優(yōu)解.

解：設(shè)每天派出甲型車x輛、乙型車y輛，車隊所花成本費為z元，那么

x+y≤9，

10×6x+6×8x≥360，

0≤x≤4，

0≤y≤7.

z=252x+160y，

其中x、y∈N.

作出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖.

作出直線l0：252x+160y=0，把直線l向右上方平移，使其經(jīng)過可行域上的整點，且使在y軸上的截距最小.觀察圖形，可見當(dāng)直線252x+160y=t經(jīng)過點(2，5)時，滿足上述要求.

此時，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5時，zmin=252×2+160×5=1304.

答：每天派出甲型車2輛，乙型車5輛，車隊所用成本費最低.

評述：用圖解法解線性規(guī)劃題時，求整數(shù)最優(yōu)解是個難點，對作圖精度要求較高，平行直線系f(x，y)=t的斜率要畫準(zhǔn)，可行域內(nèi)的整點要找準(zhǔn)，最好使用“網(wǎng)點法”先作出可行域中的各整點.

●闖關(guān)訓(xùn)練

夯實基礎(chǔ)

1.(x-1)2+(y-1)2=1是|x-1|+|y-1|≤1的__________條件.

A.充分而不必要 B.必要而不充分

C.充分且必要 D.既不充分也不必要

解析：數(shù)形結(jié)合.

答案：B

2.(x+2y+1)(x-y+4)≤0表示的平面區(qū)域為

解析：可轉(zhuǎn)化為

x+2y+1≥0， x+2y+1≤0，

x-y+4≤0 x-y+4≥0.

答案：B

3.(2004年全國卷Ⅱ，14)設(shè)x、y滿足約束條件

x≥0，

x≥y，

2x-y≤1，則z=3x+2y的最大值是____________.

解析：如圖，當(dāng)x=y=1時，zmax=5.

答案：5

x-4y+3≤0，

3x+5y-25≤0，

x≥1，

_________.

解析：作出可行域，如圖.當(dāng)把z看作常數(shù)時，它表示直線y=zx的斜率，因此，當(dāng)直線y=zx過點A時，z最大;當(dāng)直線y=zx過點B時，z最小.

x=1，

3x+5y-25=0，得A(1， ).

x-4y+3=0，

3x+5y-25=0，

∴zmax= = ，zmin= .

答案：

5.畫出以A(3，-1)、B(-1，1)、C(1，3)為頂點的△ABC的區(qū)域(包括各邊)，寫出該區(qū)域所表示的二元一次不等式組，并求以該區(qū)域為可行域的目標(biāo)函數(shù)z=3x-2y的最大值和最小值.

分析：本例含三個問題：①畫指定區(qū)域;②寫所畫區(qū)域的代數(shù)表達(dá)式——不等式組; ③求以所寫不等式組為約束條件的給定目標(biāo)函數(shù)的最值.

解：如圖，連結(jié)點A、B、C，則直線AB、BC、CA所圍成的區(qū)域為所求△ABC區(qū)域.

直線AB的方程為x+2y-1=0，BC及CA的直線方程分別為x-y+2=0，2x+y-5=0.

在△ABC內(nèi)取一點P(1，1)，分別代入x+2y-1，x-y+2，2x+y-5得x+2y-1>0，x-y+2>0，2x+y-5

因此所求區(qū)域的不等式組為

x+2y-1≥0，

x-y+2≥0，

2x+y-5≤0.

作平行于直線3x-2y=0的直線系3x-2y=t(t為參數(shù))，即平移直線y= x，觀察圖形可知：當(dāng)直線y= x- t過A(3，-1)時，縱截距- t最小.此時t最大，tmax=3×3-2× (-1)=11;

當(dāng)直線y= x- t經(jīng)過點B(-1，1)時，縱截距- t最大，此時t有最小值為tmin= 3×(-1)-2×1=-5.

因此，函數(shù)z=3x-2y在約束條件

x+2y-1≥0，

x-y+2≥0，

2x+y-5≤0

6.某?；锸抽L期以面粉和大米為主食，面食每100 g含蛋白質(zhì)6個單位，含淀粉4個單位，售價0.5元，米食每100 g含蛋白質(zhì)3個單位，含淀粉7個單位，售價0.4元，學(xué)校要求給學(xué)生配制盒飯，每盒盒飯至少有8個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的淀粉，問應(yīng)如何配制盒飯，才既科學(xué)又費用最少?

解：設(shè)每盒盒飯需要面食x(百克)，米食y(百克)，

所需費用為S=0.5x+0.4y，且x、y滿足

6x+3y≥8，

4x+7y≥10，

x≥0，

y≥0，

由圖可知，直線y=- x+ S過A( ， )時，縱截距 S最小，即S最小.

故每盒盒飯為面食 百克，米食 百克時既科學(xué)又費用最少.

培養(yǎng)能力

7.配制A、B兩種藥劑，需要甲、乙兩種原料，已知配一劑A種藥需甲料3 mg，乙料5 mg;配一劑B種藥需甲料5 mg，乙料4 mg.今有甲料20 mg，乙料25 mg，若A、B兩種藥至少各配一劑，問共有多少種配制方法?

解：設(shè)A、B兩種藥分別配x、y劑(x、y∈N)，則

x≥1，

y≥1，

3x+5y≤20，

5x+4y≤25.

上述不等式組的解集是以直線x=1，y=1，3x+5y=20及5x+4y=25為邊界所圍成的區(qū)域，這個區(qū)域內(nèi)的整點為(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(3，1)、(3，2)、(4，1).所以，在至少各配一劑的情況下，共有8種不同的配制方法.

8.某公司計劃在今年內(nèi)同時出售變頻空調(diào)機(jī)和智能洗衣機(jī)，由于這兩種產(chǎn)品的市場需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實際情況(如資金、勞動力)確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量，以使得總利潤達(dá)到最大.已知對這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動力，通過調(diào)查，得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：

資 金 單位產(chǎn)品所需資金(百元) 月資金供應(yīng)量(百元)

空調(diào)機(jī) 洗衣機(jī)

成 本 30 20 300

勞動力(工資) 5 10 110

單位利潤 6 8

試問：怎樣確定兩種貨物的月供應(yīng)量，才能使總利潤達(dá)到最大，最大利潤是多少?

解：設(shè)空調(diào)機(jī)、洗衣機(jī)的月供應(yīng)量分別是x、y臺，總利潤是P，則P=6x+8y，由題意有

30x+20y≤300，

5x+10y≤110，

x≥0，

y≥0，

x、y均為整數(shù).

由圖知直線y=- x+ P過M(4，9)時，縱截距最大.這時P也取最大值Pmax=6×4+8×9=96(百元).

故當(dāng)月供應(yīng)量為空調(diào)機(jī)4臺，洗衣機(jī)9臺時，可獲得最大利潤9600元.

探究創(chuàng)新

9.實系數(shù)方程f(x)=x2+ax+2b=0的一個根在(0，1)內(nèi)，另一個根在(1，2)內(nèi)，求：

(1) 的值域;

(2)(a-1)2+(b-2)2的值域;

(3)a+b-3的值域.

f(0)>0

f(1)

f(2)>0

b>0，

a+b+1

a+b+2>0.

如圖所示. A(-3，1)、B(-2，0)、C(-1，0).

又由所要求的量的幾何意義知，值域分別為(1)( ，1);(2)(8，17);(3)(-5，-4).

●思悟小結(jié)

簡單的線性規(guī)劃在實際生產(chǎn)生活中應(yīng)用非常廣泛，主要解決的問題是：在資源的限制下，如何使用資源來完成最多的生產(chǎn)任務(wù);或是給定一項任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的資源來完成.如常見的任務(wù)安排問題、配料問題、下料問題、布局問題、庫存問題，通常解法是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，歸結(jié)為線性規(guī)劃，使用圖解法解決.

圖解法解決線性規(guī)劃問題時，根據(jù)約束條件畫出可行域是關(guān)鍵的一步.一般地，可行域可以是封閉的多邊形，也可以是一側(cè)開放的非封閉平面區(qū)域.第二是畫好線性目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的平行直線系，特別是其斜率與可行域邊界直線斜率的大小關(guān)系要判斷準(zhǔn)確.通常最優(yōu)解在可行域的頂點(即邊界線的交點)處取得，但最優(yōu)整數(shù)解不一定是頂點坐標(biāo)的近似值.它應(yīng)是目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線平移進(jìn)入可行域最先或最后經(jīng)過的那一整點的坐標(biāo).

●教師下載中心

教學(xué)點睛

線性規(guī)劃是新增添的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)予以足夠重視.

線性規(guī)劃問題中的可行域，實際上是二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域，是解決線性規(guī)劃問題的基礎(chǔ)，因為在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(x，y)實數(shù)Ax+By+C的符號相同，所以只需在此直線的某一側(cè)任取一點(x0，y0)〔若原點不在直線上，則取原點(0，0)最簡便〕，把它的坐標(biāo)代入Ax+By+C=0，由其值的符號即可判斷二元一次不等式Ax+By+C>0(或

在求線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by的最大值或最小值時，設(shè)ax+by=t，則此直線往右(或左)平移時，t值隨之增大(或減小)，要會在可行域中確定最優(yōu)解.

解線性規(guī)劃應(yīng)用題步驟：(1)設(shè)出決策變量，找出線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù); (2)利用圖象在線性約束條件下找出決策變量，使線性目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大(或最小).

拓展題例

【例1】 已知f(x)=px2-q且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，求f(3)的范圍.

解：∵-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，

p-q≤-1，

p-q≥-4，

4p-q≤5，

4p-q≥-1.

求z=9p-q的最值.

p=0，

q=1，

zmin=-1，

p=3，

q=7，

∴-1≤f(3)≤20.

【例2】 某汽車公司有兩家裝配廠，生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號的汽車，若A廠每小時可完成1輛甲型車和2輛乙型車;B廠每小時可完成3輛甲型車和1輛乙型車.今欲制造40輛甲型車和20輛乙型車，問這兩家工廠各工作幾小時，才能使所費的總工作時數(shù)最少?

解：設(shè)A廠工作x h，B廠工作y h，總工作時數(shù)為t h，則t=x+y，且x+3y≥40，2x+y≥20，x≥0，y≥0，可行解區(qū)域如圖.而符合問題的解為此區(qū)域內(nèi)的格子點(縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為格子點)，于是問題變?yōu)橐诖丝尚薪鈪^(qū)域內(nèi)，找出格子點(x，y)，使t=x+y的值為最小.

由圖知當(dāng)直線l：y=-x+t過Q點時，縱、橫截距t最小，但由于符合題意的解必須是格子點，我們還必須看Q點是否是格子點.

x+3y=40，

2x+y=20，

得Q(4，12)為格子點.

故A廠工作4 h，B廠工作12 h，可使所費的總工作時數(shù)最少.

簡單的線性規(guī)劃

一名優(yōu)秀的教師在每次教學(xué)前有自己的事先計劃，作為教師就要好好準(zhǔn)備好一份教案課件。教案可以讓學(xué)生們有一個良好的課堂環(huán)境，幫助授課經(jīng)驗少的教師教學(xué)。那么如何寫好我們的教案呢？下面是小編為大家整理的“簡單的線性規(guī)劃”，相信能對大家有所幫助。

3.4.4簡單的線性規(guī)劃
授課類型：新授課
【教學(xué)目標(biāo)】
1．知識與技能：掌握線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡單的實際問題；
2．過程與方法：經(jīng)歷從實際情境中抽象出簡單的線性規(guī)劃問題的過程，提高數(shù)學(xué)建模能力；
3．情態(tài)與價值：引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實事求是、理論與實際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德。
【教學(xué)重點】
利用圖解法求得線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解；
【教學(xué)難點】
把實際問題轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題，并給出解答，解決難點的關(guān)鍵是根據(jù)實際問題中的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用圖解法求得最優(yōu)解。
【教學(xué)過程】
1.課題導(dǎo)入
[復(fù)習(xí)引入]：
1、二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）
2、目標(biāo)函數(shù),線性目標(biāo)函數(shù)，線性規(guī)劃問題,可行解，可行域,最優(yōu)解:
2.講授新課
線性規(guī)劃在實際中的應(yīng)用：
線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應(yīng)用，一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務(wù)；二是給定一項任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務(wù)
下面我們就來看看線性規(guī)劃在實際中的一些應(yīng)用：
[范例講解]
例5營養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白質(zhì)，0.14kg脂肪，花費28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白質(zhì)，0.07kg脂肪，花費21元。為了滿足營養(yǎng)專家指出的日常飲食要求，同時使花費最低，需要同時食用食物A和食物B多少kg？

指出:要完成一項確定的任務(wù),如何統(tǒng)籌安排,盡量做到用最少的資源去完成它,這是線性規(guī)劃中最常見的問題之一.
例6在上一節(jié)例3中，若根據(jù)有關(guān)部門的規(guī)定，初中每人每年可收取學(xué)費1600元，高中每人每年可收取學(xué)費2700元。那么開設(shè)初中班和高中班各多少個，每年收取的學(xué)費總額最高多？

指出:資源數(shù)量一定,如何安排使用它們,使得效益最好,這是線性規(guī)劃中常見的問題之一

結(jié)合上述兩例子總結(jié)歸納一下解決這類問題的思路和方法：
簡單線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：
（1）尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；
（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；
（3）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解
3.隨堂練習(xí)
課本第103頁練習(xí)2

4.課時小結(jié)
線性規(guī)劃的兩類重要實際問題的解題思路：
首先，應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)題意找出約束條件，確定線性目標(biāo)函數(shù)。然后，用圖解法求得數(shù)學(xué)模型的解，即畫出可行域，在可行域內(nèi)求得使目標(biāo)函數(shù)取得最值的解，最后，要根據(jù)實際意義將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實際問題的解，即結(jié)合實際情況求得最優(yōu)解。
5.評價設(shè)計
課本第105頁習(xí)題3.3[A]組的第3題
【板書設(shè)計】