高中不等式教案

高三數(shù)學(xué)不等式的證明教學(xué)設(shè)計(jì)16。

6.4不等式的證明II
一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo)
1.掌握反證法、數(shù)學(xué)歸納法和放縮法的一些策略技巧；
2.了解換元法、判別式法、數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造法，了解不等式證明方法的多樣性和靈活性.提高分析問題,解決問題的能力.
二．建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)
1.反證法：正難則反.否定結(jié)論，導(dǎo)出矛盾，證實(shí)結(jié)論的否定是錯(cuò)誤的，從而肯定原結(jié)論正確。
2.放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小,利用不等式的傳遞性證明不等式.
常用的放縮手法有：
①添加或舍去一些項(xiàng)，如：；；
②將分子或分母放大（或縮?。?br> ③利用基本不等式，絕對值不等式,a2≥0等;
④若ab0,m0,則.
3.換元法：換元的目的是減少不等式中的變量，或者化繁為簡.常用的換元有三角換元和代數(shù)換元.換元法必須注意新變元的取值范圍.
4.構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程或幾何圖形,利用相關(guān)知識來證明不等式；
5.數(shù)學(xué)歸納法法:證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式
6.利用函數(shù)的單調(diào)性.利用單調(diào)函數(shù)中自變量大小與函數(shù)值之間的聯(lián)系.要特別重視這種方法,因?yàn)楦呖贾谐０巡坏仁骄C合在函數(shù)、數(shù)列或其它數(shù)學(xué)問題之中。
三、雙基題目練練手
1.已知a、b是不相等的正數(shù)，x=，y=，則x、y的關(guān)系是()
A.x＞yB.y＞xC.x＞yD.不能確定
2.設(shè)M=a+（2＜a＜3），N=log（x2+）（x∈R），那么M、N的大小關(guān)系是
A.M＞NB.M=NC.M＜ND.不能確定
3.（2005春北京）若不等式（－1）na＜2+對任意n∈N*恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
A.［－2，）B.（－2，）
C.［－3，）D.（－3，）
4.在等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}中，a1=b1＞0，a2n+1=b2n+1＞0（n=1，2，3，…），則an+1與bn+1的大小關(guān)系是____________.
5.若a＞b＞c，則+_______.（填“＞”“=”“＜”）
6.記S=，則S與1的大小關(guān)系是_________
簡答:1-3.BAA;3.當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，a＜2－，2－為增函數(shù)，
∴a＜2－=.當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，－a＜2+，a＞－2－.
而－2－為增函數(shù)，－2－＜－2，∴a≥－2.故a∈［－2，）答案：A
4.an+1=≥==bn+1.答案：an+1≥bn+1
5.a＞b＞c，（+）（a－c）=（+）［（a－b）+（b－c）］
≥4.∴+≥＞.答案：＞;6.S1
四、經(jīng)典例題做一做
【例1】已知a，b∈R，且a+b=1
求證：
證法一：比較法，作差消b,化為a的二次函數(shù)。
也可用分析法、綜合法，反證法，實(shí)質(zhì)與比較法相同。
證法二：（放縮法）∵
∴左邊＝
＝右邊
證法三：（均值換元法）∵，
所以可設(shè)，，
∴左邊＝
＝右邊
當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)，等號成立
點(diǎn)評：形如a+b=1結(jié)構(gòu)式的條件，一般可以采用均值換元
證法四：（判別式法）
設(shè)y=(a+2)2+(b+2)2，
由a+b=1，有，
所以，
因?yàn)椋裕?br> 故
◆溫馨提示:注意體驗(yàn)不等式證明方法的靈活性和各種證明方法間的內(nèi)在聯(lián)系.
【例2】（1）設(shè)，且，求證：；
（2）設(shè)，且，求證：
【證明】（1）設(shè)
則，
=。
（2）設(shè)，
∵，∴。
于是。
【例3】已知a＞1，n≥2，n∈N*.
求證：－1＜.
證法一：要證－1＜，
即證a＜（+1）n.
令a－1=t＞0，則a=t+1.
也就是證t+1＜（1+）n.
∵（1+）n=1+C+…+C（）n＞1+t，
即－1＜成立.
證法二：設(shè)a=xn，x＞1.
于是只要證＞x－1，
即證＞n.聯(lián)想到等比數(shù)列前n項(xiàng)和
=1+x+…+xn-1n.
∴＞n.
【例4】已知
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：xy0,有f(x+y)f(x)+f(y);
（3）若求證：
解:（1）對已知函數(shù)進(jìn)行降次分項(xiàng)變形,得,
（2）∵
∴
而
另法:
⑶
∴

點(diǎn)評：函數(shù)與不等式證明的綜合題在高考中?？汲Ｐ?是既考知識又考能力的好題型,在高考備考中有較高的訓(xùn)練價(jià)值.
【研討.欣賞】數(shù)列｛an｝滿足a1=1且an+1=（n≥1）?
（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：an≥2（n≥2）；?
（2）已知不等式ln（1+x）＜x對x＞0成立，證明：an＜e2（n≥1），其中無理數(shù)e=2.71828…．?
證明:（1）①當(dāng)n=2時(shí)，a2=2≥2，不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)不等式成立，即ak≥2（k≥2），
那么ak+1=≥2．這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立．?
根據(jù)①、②可知：ak≥2對所有n≥2成立．?
（2）由遞推公式及（1）的結(jié)論有?
an+1=≤，（n≥1）?
兩邊取對數(shù)并利用已知不等式得
lnan+1≤ln+lnan≤lnan+．?
故lnan+1－lnan≤，（n≥1）．?
上式從1到n－1求和可得?
lnan－lna1≤++…++++…+
=1－++…=1－+1＜2?，
即lnan＜2，故an＜e2（n≥1）．?

五．提煉總結(jié)以為師
1．高考中一般不出現(xiàn)單一的不等式的證明題，常常與函數(shù)、數(shù)列、三角、方程綜合在一起，所以，除掌握常用的三種方法外，還需了解其他方法，如函數(shù)的單調(diào)性法、判別式法、換元法（特別是三角換元）、放縮法以及數(shù)學(xué)歸納法等.
2．總結(jié)所學(xué)不等式證明的方法：

同步練習(xí)6.4不等式的證明II
【選擇題】
1.若＜＜0，則下列結(jié)論不正確的是()
A.a2＜b2B.ab＜b2
C.+＞2D.|a|+|b|＞|a+b|
2.已知a＞b＞c＞0，若P=，Q=，則()
A.P≥QB.P≤QC.P＞QD.P＜Q
3.（2005天津）已知＜＜，則()
A．2b＞2a＞2cB．2a＞2b＞2cC．2c＞2b＞2aD．2c＞2a＞2b
4.(2005江西）已知實(shí)數(shù)a、b滿足等式下列五個(gè)關(guān)系式：
①0ba②ab0③0ab④ba0⑤a=b
其中不可能成立的關(guān)系式有（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【填空題】
5.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足y＋x2＝0，0＜a＜1.則P=loga（ax＋ay）與Q=loga2＋的大小關(guān)系是___________（填“＞”“=”“＜”）.
6.已知不等式對n∈N+都成立，則實(shí)數(shù)M的取值范圍是__________。
簡答.提示：1-4.ADAB;5.ax＋ay≥2＝2.
∵x－x2＝－（x－）2≤，0＜a＜1，∴ax＋ay≥2＝2a.
∴l(xiāng)oga（ax＋ay）＜loga2a＝loga2＋.即PQ;
6.記,則,
最大.M1
【解答題】
7．已知，求證：都屬于。
【證明】由已知得：，代入中得：
∵，∴△≥0，即
解得，即y∈。同理可證x∈，z∈。

8.設(shè)，且，求證：
因?yàn)?，?br> 所以，所以a，b為方程（1）的二實(shí)根
而，故方程（1）有均大于c的二不等實(shí)根。
記，則
解得。
法2:由已知得c0,否則,由(a+b+c)2=1得
A2+b2+c2=1-2(ab+bc+ac)1,與已知矛盾.
又a+b=1-c代入c2=1-(a2+b2)得3c2-2c-10,
9.若a0,b0，且=1,
求證：(I)a＋b≥4;
(II)對于一切n∈N*,(a＋b)n－an－bn≥22n－2n＋1成立
證明：(I)=1,a＋b=()(a＋b)=1＋＋＋1≥4,
(II)當(dāng)n=1時(shí),左式＝0，右式＝0，∴n=1時(shí)成立.
假設(shè)n=k時(shí)成立，即(a＋b)k－ak－bk≥22k－2k＋1,.
則當(dāng)n=k＋1時(shí)，(a＋b)k＋1－ak＋1－bk＋1
=(a＋b)(a＋b)k－ak＋1－bk＋1
≥(a＋b)(ak＋bk＋22k－2k＋1)－ak＋1－bk＋1
=abk＋bak＋(a＋b)(22k－2k＋1)
≥22k＋1＋422k－42k＋1=22k＋2－2k＋2,
∴n=k＋1時(shí)命題成立.歸納原理知,不等式對一切n∈N*都成立
10.已知a、b為正數(shù)，求證：
（1）若+1＞，則對于任何大于1的正數(shù)x，恒有ax+＞b成立；
（2）若對于任何大于1的正數(shù)x，恒有ax+＞b成立，則+1＞.
分析：對帶條件的不等式的證明，條件的利用常有兩種方法：①證明過程中代入條件；②由條件變形得出要證的不等式.
證明：（1）ax+=a（x－1）++1+a≥2+1+a=（+1）2.
∵+1＞（b＞0），
∴（+1）2＞b.從而ax+＞b
（2）∵ax+＞b對于大于1的實(shí)數(shù)x恒成立，即x＞1時(shí)，［ax+］min＞b，
而ax+=a（x－1）++1+a≥2+1+a=（+1）2，
當(dāng)且僅當(dāng)a（x－1）=，即x=1+＞1時(shí)取等號.
故［ax+］min=（+1）2.
則（+1）2＞b，即+1＞.
評述：條件如何利用取決于要證明的不等式兩端的差異如何消除.

【探索題】（2005湖北）已知不等式,其中n為大于2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù).設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為正，且滿足
（Ⅰ）證明
（Ⅱ）試確定一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)，對任意b0，都有
解：（Ⅰ）證法1：∵當(dāng)
即
于是有
所有不等式兩邊相加可得
由已知不等式知，當(dāng)n≥3時(shí)有，
∵
證法2：設(shè)，首先利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式
（i）當(dāng)n=3時(shí)，由
知不等式成立.
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時(shí)，不等式成立，即
則
即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.
由（i）、（ii）知，
又由已知不等式得
（Ⅱ）∵
則有
故取N=1024，可使當(dāng)nN時(shí)，都有

延伸閱讀

不等式證明

題目第六章不等式不等式的證明
高考要求
1．通過復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)及常用的證明方法(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等)，使學(xué)生較靈活的運(yùn)用常規(guī)方法(即通性通法)證明不等式的有關(guān)問題；
2．掌握用“分析法”證明不等式；理解反證法、換元法、判別式法、放縮法證明不等式的步驟及應(yīng)用范圍
3．搞清分析法證題的理論依據(jù)，掌握分析法的證題格式和要求搞清各種證明方法的理論依據(jù)和具體證明方法和步驟
4通過證明不等式的過程，培養(yǎng)自覺運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)等基本數(shù)學(xué)思想方法證明不等式的能力；能較靈活的應(yīng)用不等式的基本知識、基本方法，解決有關(guān)不等式的問題
知識點(diǎn)歸納
不等式的證明方法
（1）比較法：作差比較：
作差比較的步驟：
①作差：對要比較大小的兩個(gè)數(shù)（或式）作差
②變形：對差進(jìn)行因式分解或配方成幾個(gè)數(shù)（或式）的完全平方和
③判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號
注意：若兩個(gè)正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小
（2）綜合法：由因?qū)Ч?br> （3）分析法：執(zhí)果索因基本步驟：要證……只需證……，只需證……
①“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件
②“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)
（4）反證法：正難則反
（5）放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的
放縮法的方法有：
①添加或舍去一些項(xiàng)，如：；；
②將分子或分母放大（或縮小）
③利用基本不等式，
如：；
④利用常用結(jié)論：
Ⅰ、；
Ⅱ、；（程度大）
Ⅲ、；（程度?。?br> （6）換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元如：
已知，可設(shè)；
已知，可設(shè)()；
已知，可設(shè)；
已知，可設(shè)；
（7）構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式；
證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點(diǎn)．
數(shù)學(xué)歸納法法證明不等式將在數(shù)學(xué)歸納法中專門研究
題型講解
例1若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水會變得更甜，試將這一事實(shí)用數(shù)學(xué)關(guān)系式反映出來，并證明之
分析：本例反映的事實(shí)質(zhì)上是化學(xué)問題，由濃度概念（糖水加糖甜更甜）可知
解：由題意得
證法一：（比較法）
，，
證法二：（放縮法）
，
證法三：（數(shù)形結(jié)合法）如圖，在RtABC及RtADF中，
AB=a，AC=b，BD=m，作CE∥BD
，
例2已知a，b∈R，且a+b=1
求證：
證法一：（比較法）
即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號）
證法二：（分析法）
因?yàn)轱@然成立，所以原不等式成立
點(diǎn)評：分析法是基本的數(shù)學(xué)方法，使用時(shí)，要保證“后一步”是“前一步”的充分條件
證法三：（綜合法）由上分析法逆推獲證（略）
證法四：（反證法）假設(shè)，
則
由a+b=1，得，于是有
所以，
這與矛盾
所以
證法五：（放縮法）∵
∴左邊＝
＝右邊
點(diǎn)評：根據(jù)欲證不等式左邊是平方和及a+b=1這個(gè)特點(diǎn)，選用基本不等式
證法六：（均值換元法）∵，
所以可設(shè)，，
∴左邊＝
＝右邊
當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)，等號成立
點(diǎn)評：形如a+b=1結(jié)構(gòu)式的條件，一般可以采用均值換元
證法七：（利用一元二次方程根的判別式法）
設(shè)y=(a+2)2+(b+2)2，
由a+b=1，有，
所以，
因?yàn)?，所以，?br> 故
例3設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足y+x2=0，0a1求證：
證明：（分析法）要證，
，只要證：，
又，
只需證：
∴只需證，
即證，此式顯然成立
∴原不等式成立
例4設(shè)m等于，和1中最大的一個(gè)，當(dāng)時(shí)，求證：
分析：本題的關(guān)鍵是將題設(shè)條件中的文字語言“m等于，和1中最大的一個(gè)”翻譯為符號語言“，，”，從而知
證明：（綜合法），
例5已知
的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：
（3）若求證：
解:（1）對已知函數(shù)進(jìn)行降次分項(xiàng)變形,得,
（2）∵
∴
而
⑶
∴
點(diǎn)評：函數(shù)與不等式證明的綜合題在高考中常考常新,是既考知識又考能力的好題型,在高考備考中有較高的訓(xùn)練價(jià)值
小結(jié)：
1．掌握好不等式的證明，不等式的證明內(nèi)容甚廣，證明不但用到不等式的性質(zhì)，不等式證明的技能、技巧，還要注意到橫向結(jié)合內(nèi)容的方方面面如與數(shù)列的結(jié)合，與“二次曲線”的結(jié)合，與“三角函數(shù)”的結(jié)合，與“一元二次方程，一元二次不等式、二次函數(shù)”這“三個(gè)二次”間的互相聯(lián)系、互相滲透和互相制約，這些也是近年命題的重點(diǎn)
2在不等式證明中還要注意數(shù)學(xué)方法，如比較法（包括比差和比商）、分析法、綜合法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等，還要注意一些數(shù)學(xué)技巧，如數(shù)形結(jié)合、放縮、分類討論等
3比較法是證明不等式最常用最基本的方法當(dāng)欲證的不等式兩端是多項(xiàng)式或分式時(shí)，常用差值比較法當(dāng)欲證的不等式兩端是乘積的形式或冪指不等式時(shí)常用商值比較法，即欲證
4基本思想、基本方法：
⑴用分析法和綜合法證明不等式常要用等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的換元的基本方法
⑵用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法
⑶“分析法”證明不等式就是“執(zhí)果索因”，從所證的不等式出發(fā)，不斷利用充分條件或者充要條件替換前面的不等式，直至找到顯然成立的不等式，書寫方法習(xí)慣上用“”來表達(dá)分析法是數(shù)學(xué)解題的兩個(gè)重要策略原則的具體運(yùn)用，兩個(gè)重要策略原則是：
正難則反原則：若從正面考慮問題比較難入手時(shí)，則可考慮從相反方向去探索解決問題的方法，即我們常說的逆向思維，由結(jié)論向條件追溯
簡單化原則：尋求解題思路與途徑，常把較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題，在證明較復(fù)雜的不等式時(shí)，可以考慮將這個(gè)不等式不斷地進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，得到一個(gè)較易證明的不等式
⑷凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題適宜用反證法
⑸換元法（主要指三角代換法）多用于條件不等式的證明，此法若運(yùn)用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成簡單的三角問題
⑹含有兩上字母的不等式，若可化成一邊為零，而另一邊是關(guān)于某字母的二次式時(shí)，這時(shí)可考慮判別式法，并注意根的取值范圍和題目的限制條件
⑺有些不等式若恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用放縮法可以很快得證，放縮時(shí)要看準(zhǔn)目標(biāo)，做到有的放矢，注意放縮適度
學(xué)生練習(xí)
1設(shè)，求證：
證明：
=
=
=
，則
故原不等式成立
點(diǎn)評：（1）三元因式分解因式，可以排列成一個(gè)元的降冪形式：
（2）用比較法證不等式，關(guān)鍵在于作差（或商）后結(jié)式了進(jìn)行變形，常見的變形是通分、因式分解或配方
2己知都是正數(shù)，且成等比數(shù)列，
求證：
證明：
成等比數(shù)列，
都是正數(shù)，
點(diǎn)評：兩邊相減能消去一部分、兩邊相除能約去一部分是運(yùn)用比較法的外部特征，除了通分、因式分解或配方法，局部運(yùn)用基本不等式，也是用比較法證不等式時(shí)的一種常用手段
3己知函數(shù)，當(dāng)滿足時(shí)，證明：對于任意實(shí)數(shù)都成立的充要條件是
證明：
（1）若，則
(2)當(dāng)時(shí)，
故原命題成立
4．比較的大小（其中0x1）
解：-=0(比差)
5
6
證明：
7．若，求證ab與不能都大于
證明：假設(shè)ab,(1－a)(1－b)都大于
8．已知：a3+b3=2,求證：a+b
證明：假設(shè)a+b2則b2-a
a3+b3a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2
與已知相矛盾，所以,a+b
9
10
11
13設(shè)都正數(shù)，求證：
證明：
，
14設(shè)且，求證：
證法1若，，
這與矛盾，
同理可證
證法2由知
15有甲、乙兩個(gè)糧食經(jīng)銷商每次在同一糧食生產(chǎn)基地以相同價(jià)格購進(jìn)糧食，他們共購糧三次，各次的糧食價(jià)格不同，甲每次購糧10000千克，乙每次購糧10000元三次后統(tǒng)計(jì)，誰購的糧食平均價(jià)低？為什么？
解：設(shè)第一、二、三次的糧食價(jià)格分別為元/千克、元/千克、元/千克，，則甲三次購糧的平均價(jià)格為，乙三次購糧的平均價(jià)格為，因?yàn)?br> 所以乙購的糧食價(jià)格低
說明“各次的糧食價(jià)格不同”，必須用字母表示，這樣就能把糧食平均價(jià)格用式子表示出來我們應(yīng)該從式的特征聯(lián)想到用基本不等式進(jìn)行變換

課前后備注

高二數(shù)學(xué)教案：《不等式的證明》教學(xué)設(shè)計(jì)（三）

高二數(shù)學(xué)教案：《不等式的證明》教學(xué)設(shè)計(jì)（三）

第四課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

1．掌握分析法證明不等式；

2．理解分析法實(shí)質(zhì)——執(zhí)果索因；

3．提高證明不等式證法靈活性.

教學(xué)重點(diǎn) 分析法

教學(xué)難點(diǎn) 分析法實(shí)質(zhì)的理解

教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式

教學(xué)活動

（一）導(dǎo)入新課

（教師活動）教師提出問題，待學(xué)生回答和思考后點(diǎn)評．

（學(xué)生活動）回答和思考教師提出的問題．

［問題1］我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪幾種不等式的證明方法？什么是比較法？什么是綜合法？

[點(diǎn)評]在證明不等式時(shí)，若用比較法或綜合法難以下手時(shí)，可采用另一種證明方法：分析法．（板書課題）

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)已學(xué)證明不等式的方法．指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處，

激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新的證明不等式知識的積極性，導(dǎo)入本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容：用分析法證明不等式．

（二）新課講授

【嘗試探索、建立新知】

（教師活動）教師講解綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系，然后提出問題供學(xué)生研究，并點(diǎn)評．幫助學(xué)生建立分析法證明不等式的知識體系．投影分析法證明不等式的概念．

（學(xué)生活動）與教師一道分析綜合法的邏輯關(guān)系，在教師啟發(fā)、引導(dǎo)下嘗試探索，構(gòu)建新知．

[講解]綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結(jié)論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的不等式．

［問題1］我們能不能用同樣的思考問題的方式，把要證明的不等式作為結(jié)論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？

［問題2］當(dāng)我們尋找的充分條件已經(jīng)是成立的不等式時(shí)，說明了什么呢？

［問題3］說明要證明的不等式成立的理由是什么呢？

［點(diǎn)評］從要證明的結(jié)論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結(jié)論成立．就是分析法的邏輯關(guān)系．

[投影]分析法證明不等式的概念．（見課本）

設(shè)計(jì)意圖：對比綜合法的邏輯關(guān)系，教師層層設(shè)置問題，激發(fā)學(xué)生積極思考、研究．建立新的知識；分析法證明不等式．培養(yǎng)學(xué)習(xí)創(chuàng)新意識．

【例題示范、學(xué)會應(yīng)用】

（教師活動）教師板書或投影例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會用分析法證明不等式，并點(diǎn)評用分析法證明不等式必須注意的問題．

（學(xué)生活動）學(xué)生在教師引導(dǎo)下，研究問題，與教師一道完成問題的論證．

（證法二正確，證法一錯(cuò)誤．錯(cuò)誤的原因是：雖然是從結(jié)論出發(fā)，但不是逐步逆戰(zhàn)結(jié)論成立的充分條件，事實(shí)上找到明顯成立的不等式是結(jié)論的必要條件，所以不符合分析法的邏輯原理，犯了邏輯上的錯(cuò)誤．）

設(shè)計(jì)意圖：掌握用分析法證明不等式，反饋課堂效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué)．

【分析歸納、小結(jié)解法】

（教師活動）分析歸納例題和練習(xí)的解題過程，小給用分析法證明不等式的解題方法．

（學(xué)生活動）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記．

1．分析法是證明不等式的一種常用基本方法．當(dāng)證題不知從何入手時(shí)，有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決，特別是對于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更是行之有效的．

2．用分析法證明不等式時(shí)，要正確運(yùn)用不等式的性質(zhì)逆找充分條件，注意分析法的證題格式．

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握分析法證明不等式的方法．

（三）小結(jié)

（教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識．

（學(xué)生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記．

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了用分析法證明不等式．應(yīng)用分析法證明不等式時(shí)，掌握一些常用技巧：

通分、約分、多項(xiàng)式乘法、因式分解、去分母，兩邊乘方、開方等．在使用這些技巧變形時(shí)，要注意遵循不等式的性質(zhì)．另外還要適當(dāng)掌握指數(shù)、對數(shù)的性質(zhì)、三角公式在逆推中的靈活運(yùn)用．理解分析法和綜合法是對立統(tǒng)一的兩個(gè)方面．有時(shí)可以用分析法思索，而用綜合法書寫證明，或者分析法、綜合法相結(jié)合，共同完成證明過程．

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識．

（四）布置作業(yè)

（五）課后點(diǎn)評

教學(xué)過程是不斷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的思維過程．本節(jié)課在形成分析法證明不等式認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，教師提出問題或引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，然后開拓學(xué)生思路，啟迪學(xué)生智慧，求得問題解決．一個(gè)問題解決后，及時(shí)地提出新問題，提高學(xué)生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質(zhì)，把學(xué)生的思維步步引向深入，直到完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)．總之，本節(jié)課的教學(xué)安排是讓學(xué)生的思維由問題開始，到問題深化，始終處于積極主動狀態(tài)．

本節(jié)課練中有講，講中有練，講練結(jié)合．在講與練的互相作用下，使學(xué)生的思維逐步深化．教師提出的問題和例題，先由學(xué)生自己研究，然后教師分析與概括．在教師講解中，又不斷讓學(xué)生練習(xí)，力求在練習(xí)中加深理解，盡量改變課堂上教師包括辦代替的做法．

在安排本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容時(shí)，按認(rèn)識規(guī)律，由淺入深，由易及難，逐漸展開教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生形成有序的知識結(jié)構(gòu)．

作業(yè)答案：

說明 許多數(shù)學(xué)結(jié)論是由實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題后，通過數(shù)學(xué)的運(yùn)算演變得到的。反過來，把抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際解釋也是一種數(shù)學(xué)運(yùn)用，值得大家關(guān)注。

高二數(shù)學(xué)教案：《不等式的證明》教學(xué)設(shè)計(jì)（一）

高二數(shù)學(xué)教案：《不等式的證明》教學(xué)設(shè)計(jì)（一）

教學(xué)目標(biāo)

（1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；

（2）掌握用比較法、綜合法和分析法來證簡單的不等式；

（3）能靈活根據(jù)題目選擇適當(dāng)?shù)刈C明方法來證不等式；

（4）能用不等式證明的方法解決一些實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力；

（6）通過不等式證明，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力；

（7）通過組織學(xué)生對不等式證明方法的意義和應(yīng)用的參與，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、善于思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣．

教學(xué)建議

（一）教材分析

1．知識結(jié)構(gòu)

2．重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：不等式證明的主要方法的意義和應(yīng)用；

難點(diǎn)：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的；

②綜合性問題選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法．

（1）不等式證明的意義

不等式的證明是要證明對于滿足條件的所有數(shù)都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數(shù)值去驗(yàn)證式子是否成立．

（2）比較法證明不等式的分析

①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法．

②證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑．

③求差比較法的基本步驟是：“作差——變形——斷號”．

其中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號才是目的．

變形的目的全在于判斷差的符號，而不必考慮差值是多少．

變形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，為此，有時(shí)把差變形為一個(gè)常數(shù)，或者變形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或幾個(gè)數(shù)的平方和的形式．或者變形為一個(gè)分式，或者變形為幾個(gè)因式的積的形式等．總之．能夠判斷出差的符號是正或負(fù)即可．

④作商比較法的基本步驟是：“作商——變形——判斷商式與1的大小關(guān)系”，需要注意的是，作商比較法一般用于不等號兩側(cè)的式子同號的不等式的證明．

（3）綜合法證明不等式的分析

①利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)推倒出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法．

②綜合法的思路是“由因?qū)Ч保簭囊阎牟坏仁匠霭l(fā)，通過一系列的推出變換，推倒出求證的不等式．

③綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

④利用綜合法由因?qū)ЧC明不等式，就要揭示出條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系，為此要著力分析已知與求證之間的差異和聯(lián)系、不等式左右兩端的差異和聯(lián)系，在分析所證不等式左右兩端的差異后，合理應(yīng)用已知條件，進(jìn)行有效的變換是證明不等式的關(guān)鍵．

（4）分析法證明不等式的分析

①從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認(rèn)成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法．

有時(shí)，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個(gè)已知成立的不等式，只要這個(gè)推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立．這也是用分析法，注意應(yīng)強(qiáng)調(diào)“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據(jù)．

②分析法的思路是“執(zhí)果導(dǎo)因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件直至已成立的不等式．它與綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法．

③用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：

④分析法是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，一是難在初學(xué)時(shí)不易理解它的本質(zhì)是從結(jié)論分析出使結(jié)論成立的“充分”條件，二是不易正確使用連接有關(guān)（分析推理）步驟的關(guān)鍵詞．如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定……成立”等．

⑤分析法是證明不等式時(shí)一種常用的基本方法．當(dāng)證明不知從何入手時(shí)，有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決．特別對于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更是行之有效．

（5）關(guān)于分析法與綜合法

①分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思考方法．

②在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件．即推理方

綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題．即：已知 結(jié)論．

③分析法的特點(diǎn)是：從“結(jié)論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實(shí)際上是要尋找結(jié)論的充分條件．

綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實(shí)際上是要尋找已知的必要條件．

④各有其優(yōu)缺點(diǎn)：

從尋求解題思路來看：分析法是執(zhí)果索因，利于思考，方向明確，思路自然，有希望成功；綜合法由因?qū)Ч?，往往枝?jié)橫生，不容易達(dá)到所要證明的結(jié)論．

從書寫表達(dá)過程而論：分析法敘述繁鎖，文辭冗長；綜合法形式簡潔，條理清晰．

也就是說，分析法利于思考，綜合法宜于表達(dá)．

⑤一般來說，對于較復(fù)雜的不等式，直接運(yùn)用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫又比較麻煩．因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經(jīng)常是結(jié)合在一起使用的．

（二）教法建議

①選擇例題和習(xí)題要注意層次性．

不等式證明的三種方法主要是通過例題來說明的．教師在教學(xué)中要注意例題安排要由易到難，由簡單到綜合，層層深入，啟發(fā)學(xué)生理解各種證法的意義和邏輯關(guān)系．教師選擇的訓(xùn)練題也要與所講解的例題的難易程度的層次相當(dāng)．

要堅(jiān)持精講精練的原則．通過一題多法和多變挖掘各種方法的內(nèi)在聯(lián)系，對知識進(jìn)行拓展、延伸，使學(xué)生溝通知識，有效地提高解題能力．

②在教學(xué)過程中，應(yīng)通過精心設(shè)置的一個(gè)個(gè)問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動學(xué)生在課堂活動中積極參與．

通過學(xué)生參與教學(xué)活動，理解不等式證明方法的實(shí)質(zhì)和幾種證明方法的意義，通過訓(xùn)練積累經(jīng)驗(yàn)，能夠總結(jié)出比較法的實(shí)質(zhì)是把實(shí)數(shù)的大小順序通過實(shí)數(shù)運(yùn)算變成一個(gè)數(shù)與0(或1)比較大小；復(fù)雜的習(xí)題能夠利用綜合法發(fā)展條件向結(jié)論方向轉(zhuǎn)化，利用分析法能夠把結(jié)論向條件靠攏，最終達(dá)到結(jié)合點(diǎn)，從而解決問題．

③學(xué)生素質(zhì)較好的，教師可在教學(xué)中適當(dāng)增加反證法和用函數(shù)單調(diào)性來證明不等式的內(nèi)容，但內(nèi)容不易過多過難．

第一課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

1．掌握證明不等式的方法——比較法；

2．熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟．

教學(xué)重點(diǎn) 比較法的意義和基本步驟.

教學(xué)難點(diǎn) 常見的變形技巧.

教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式.

教學(xué)過程

（－）導(dǎo)入新課

（教師活動）教師提問：根據(jù)前一節(jié)學(xué)過的知識，我們?nèi)绾斡脤?shí)數(shù)運(yùn)算來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)

（三）小結(jié)

（教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識．

（學(xué)生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記．

本節(jié)課學(xué)習(xí)了用比較法證明不等式，用比較法證明不等式的步驟中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號才是目的．掌握求差后對差式變形的常用方法：配方法和通分法．并在下節(jié)課繼續(xù)學(xué)習(xí)對差式變形的常用方法．

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識．

設(shè)計(jì)意圖，課本作業(yè)供學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識；思考題供學(xué)有余力的學(xué)生完成，培養(yǎng)其靈活掌握用比較法證明不等式的能力；研究性題是為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識．

（五）課后點(diǎn)評

1．本節(jié)課是用比較法證明不等式的第一節(jié)課，在導(dǎo)入新課時(shí)，教師提出問題，讓學(xué)生回憶所學(xué)知識中，是如何比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的，從而引入用比較法證明不等式．這樣處理合情合理，順理成章．

2．在建立新知過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生分析研究證明不等式，使學(xué)生在嘗試探索過程中形成用比較法證明不等式的感性認(rèn)識．

3．例1，例2兩道題主要目的在于讓學(xué)生歸綱、總結(jié)，求差后對差式變形、并判斷符號的方法，以及求差比較法的步驟．在這里如何對差式變形是難點(diǎn)，應(yīng)著重解決．首先讓學(xué)生明確變形目的，減少變形的盲目性；其次是總結(jié)變形時(shí)常用方法，有利于難點(diǎn)的突破．

4．本節(jié)課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，學(xué)生獲取知識必須通過學(xué)生自己一系列思維活動完成．教師通過啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，培養(yǎng)學(xué)生思維靈活、嚴(yán)謹(jǐn)、深刻等良好思維品質(zhì)．

高二數(shù)學(xué)上冊《不等式的證明》教學(xué)設(shè)計(jì)

高二數(shù)學(xué)上冊《不等式的證明》教學(xué)設(shè)計(jì)

課題

不等式的證明

課型

復(fù)習(xí)課

教者

教育教學(xué)目標(biāo)

進(jìn)一步加強(qiáng)對不等式知識的掌握與應(yīng)用,增強(qiáng)知識認(rèn)知水平與問題處理能力的提高,鞏固不等式的基本性質(zhì),基本證明思路,基本證明方法等知識儲備.

重點(diǎn)

加強(qiáng)知識的應(yīng)用能力,鞏固不等式證明基本方法的掌握

難點(diǎn)

熟練掌握不等式證明的策略與技巧,重要不等式的靈活應(yīng)用

關(guān)鍵

多練、多想、多分析、多積累

教學(xué)準(zhǔn)備

幻燈片

教學(xué)步驟

教學(xué)內(nèi)容

時(shí)間

導(dǎo)言

知識回顧

例題講解

小結(jié)

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了不等式的證明，那么下面我們來看一下不等式證明應(yīng)注意的問題?！覀儚膽?yīng)注意的問題中看得出想解決好不等式證明的問題，我們不僅應(yīng)熟練地掌握不等式的性質(zhì)，基本方法和重要不等式，那么我們學(xué)習(xí)了哪些有關(guān)這方面的知識呢？下面就讓我們系統(tǒng)地復(fù)習(xí)一下，并應(yīng)用這些用實(shí)際問題來鞏固一下知識的掌握與應(yīng)用能力。

不等式的基本性質(zhì)（見幻燈片）

不等式的基本證明方法（見幻燈片）

重要不等式（見幻燈片）

例1：已知a、b、c、d、x、y∈R+且a2+b2=x2,c2+d2=y2,求證：xy≥ac+bd

例2：對任意正數(shù)m，求證：

+

≤

|a+b|

m+|a+b|

|a|

m+|a|

|b|

m+|b|

例3：設(shè)ac,bc,c0,求證：

√c(a-c)+

√c(b-c)

≤√ab

并確定等號成立的條件

例4：解方程：2x2+27/x4=9

例5：已知a、b為正常數(shù)，x、y為正實(shí)數(shù)，且a/x+b/y=1,求x+y的最小值

板書設(shè)計(jì)

不等式的證明

基礎(chǔ)知識例題