高中生物一輪復(fù)習(xí)教案

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)數(shù)列的通項(xiàng)與求和學(xué)案附答案。

學(xué)案31數(shù)列的通項(xiàng)與求和
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.能利用等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)求一些特殊數(shù)列的和.2.能在具體的問題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題．
自主梳理
1．求數(shù)列的通項(xiàng)
(1)數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系：
an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.
(2)當(dāng)已知數(shù)列{an}中，滿足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，則可用________求數(shù)列的通項(xiàng)an，常利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)．
(3)當(dāng)已知數(shù)列{an}中，滿足an＋1an＝f(n)，且f(1)f(2)…f(n)可求，則可用__________求數(shù)列的通項(xiàng)an，常利用恒等式an＝a1a2a1a3a2…anan－1.
(4)作新數(shù)列法：對(duì)由遞推公式給出的數(shù)列，經(jīng)過變形后化歸成等差數(shù)列或等比數(shù)列來求通項(xiàng)．
(5)歸納、猜想、證明法．
2．求數(shù)列的前n項(xiàng)的和
(1)公式法
①等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn＝____________＝________________，推導(dǎo)方法：____________；
②等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn＝，q＝1，＝，q≠1.
推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．
③常見數(shù)列的前n項(xiàng)和：
a．1＋2＋3＋…＋n＝__________；
b．2＋4＋6＋…＋2n＝__________；
c．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝______；
d．12＋22＋32＋…＋n2＝__________；
e．13＋23＋33＋…＋n3＝__________________.
(2)分組求和：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列．
(3)裂項(xiàng)(相消)法：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩項(xiàng)差的形式，相加過程消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和．
常見的裂項(xiàng)公式有：
①1nn＋1＝1n－1n＋1；
②12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1；
③1n＋n＋1＝n＋1－n.
(4)錯(cuò)位相減：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和．
(5)倒序相加：例如，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)．
自我檢測(cè)
1．(原創(chuàng)題)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的乘積為Tn＝3n2(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的()
A.32(3n－1)B.92(3n－1)
C.38(9n－1)D.98(9n－1)
2．(2011邯鄲月考)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，若{Sn}是等差數(shù)列，則q為()
A．－1B．1
C．±1D．0
3．已知等比數(shù)列{an}的公比為4，且a1＋a2＝20，設(shè)bn＝log2an，則b2＋b4＋b6＋…＋b2n等于()
A．n2＋nB．2(n2＋n)
C．2n2＋nD．4(n2＋n)
4．(2010天津高三十校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝log2n＋1n＋2(n∈N*)，設(shè){an}的前n項(xiàng)的和為Sn，則使Sn－5成立的自然數(shù)n()
A．有最大值63B．有最小值63
C．有最大值31D．有最小值31
5．(2011北京海淀區(qū)期末)設(shè)關(guān)于x的不等式x2－x2nx(n∈N*)的解集中整數(shù)的個(gè)數(shù)為an，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S100的值為________．
6．?dāng)?shù)列1,412，714，1018，…前10項(xiàng)的和為________.
探究點(diǎn)一求通項(xiàng)公式
例1已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2n＋1anan＋2n＋1，a1＝2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

變式遷移1設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

探究點(diǎn)二裂項(xiàng)相消法求和
例2已知數(shù)列{an}，Sn是其前n項(xiàng)和，且an＝7Sn－1＋2(n≥2)，a1＝2.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝1log2anlog2an＋1，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得Tnm20對(duì)所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m.

變式遷移2求數(shù)列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n，…的前n項(xiàng)和．

探究點(diǎn)三錯(cuò)位相減法求和
例3(2011荊門月考)已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)、公比都為q(q0且q≠1)的等比數(shù)列，bn＝anlog4an(n∈N*)．
(1)當(dāng)q＝5時(shí)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn；
(2)當(dāng)q＝1415時(shí)，若bnbn＋1，求n的最小值．

變式遷移3求和Sn＝1a＋2a2＋3a3＋…＋nan.

分類討論思想的應(yīng)用
例(5分)二次函數(shù)f(x)＝x2＋x，當(dāng)x∈[n，n＋1](n∈N*)時(shí)，f(x)的函數(shù)值中所有整數(shù)值的個(gè)數(shù)為g(n)，an＝2n3＋3n2gn(n∈N*)，則Sn＝a1－a2＋a3－a4＋…＋(－1)n－1an＝()
A．(－1)n－1nn＋12B．(－1)nnn＋12
C.nn＋12D．－nn＋12
【答題模板】
答案A
解析本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法求和．
當(dāng)x∈[n，n＋1](n∈N*)時(shí)，函數(shù)f(x)＝x2＋x的值隨x的增大而增大，則f(x)的值域?yàn)閇n2＋n，n2＋3n＋2](n∈N*)，∴g(n)＝2n＋3(n∈N*)，于是an＝2n3＋3n2gn＝n2.
方法一當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝a1－a2＋a3－a4＋…＋an－1－an＝(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－[3＋7＋…＋(2n－1)]＝－3＋2n－12n2＝－nn＋12；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＝(a1－a2)＋(a3－a4)＋…＋(an－2－an－1)＋an
＝Sn－1＋an＝－nn－12＋n2＝nn＋12，
∴Sn＝(－1)n－1nn＋12.
方法二a1＝1，a2＝4，S1＝a1＝1，
S2＝a1－a2＝－3，
檢驗(yàn)選擇項(xiàng)，可確定A正確．
【突破思維障礙】
在利用并項(xiàng)轉(zhuǎn)化求和時(shí)，由于數(shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)交替的，所以一般需要對(duì)項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行分類討論，但最終的結(jié)果卻往往可以用一個(gè)公式來表示．
1．求數(shù)列的通項(xiàng)：(1)公式法：例如等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)；
(2)觀察法：例如由數(shù)列的前幾項(xiàng)來求通項(xiàng)；
(3)可化歸為使用累加法、累積法；
(4)可化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后利用公式法；
(5)求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后歸納、猜想、證明．
2．?dāng)?shù)列求和的方法：
一般的數(shù)列求和，應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無通項(xiàng)，先求通項(xiàng)，然后通過對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點(diǎn)的形式，從而選擇合適的方法求和．
3．求和時(shí)應(yīng)注意的問題：
(1)直接用公式求和時(shí)，注意公式的應(yīng)用范圍和公式的推導(dǎo)過程．
(2)注意觀察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律，在分析數(shù)列通項(xiàng)的基礎(chǔ)上或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2010廣東)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，若a2a3＝2a1且a4與2a7的等差中項(xiàng)為54，則S5等于()
A．35B．33C．31D．29
2．(2011黃岡調(diào)研)有兩個(gè)等差數(shù)列{an}，{bn}，其前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若SnTn＝7n＋2n＋3，則a5b5＝()
A.6512B.378
C.7213D.94
3．如果數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝1且an－1－ananan－1＝an－an＋1anan＋1(n≥2)，則此數(shù)列的第10項(xiàng)()
A.1210B.129C.110D.15
4．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an＝1nn＋1，則S5等于()
A．1B.56C.16D.130
5．?dāng)?shù)列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n項(xiàng)和Sn1020，那么n的最小值是()
A．7B．8C．9D．10
題號(hào)12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2010東北師大附中高三月考)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且a1＝1，an＋1＝3Sn(n＝1,2,3，…)，則log4S10＝__________.
7．(原創(chuàng)題)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝－2，an＋2＝－1an，則該數(shù)列前26項(xiàng)的和為________．
8．對(duì)于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，{an}的“差數(shù)列”的通項(xiàng)為2n，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝____________.
三、解答題(共38分)
9．(12分)(2011河源月考)已知函數(shù)f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7(n∈N*)．
(1)若函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{an}，試證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離構(gòu)成數(shù)列{bn}，試求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.

10．(12分)(2011三門峽月考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝12nan＋an－c(c是常數(shù)，n∈N*)，a2＝6.
(1)求c的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)證明1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋118.【W(wǎng)ei508.com 實(shí)用文書網(wǎng)】

11．(14分)(2010北京宣武高三期中)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝3n，數(shù)列{bn}滿足b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn；
(3)若cn＝anbnn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.

答案自主梳理
1．(2)累加法(3)累積法2.(1)①n(a1＋an)2na1＋n(n－1)2d倒序相加法②na1a1(1－qn)1－qa1－anq1－q③n(n＋1)2n2＋nn2n(n＋1)(2n＋1)6n(n＋1)22
自我檢測(cè)
1．C2.B3.B4.B
5．101006.145511512
課堂活動(dòng)區(qū)
例1解題導(dǎo)引已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式這類問題要求不高，主要掌握由a1和遞推關(guān)系先求出前幾項(xiàng)，再歸納、猜想an的方法，以及累加：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1；累乘：an＝anan－1an－1an－2…a2a1a1等方法．
解已知遞推可化為
1an＋1－1an＝12n＋1，
∴1a2－1a1＝122，1a3－1a2＝123，1a4－1a3＝124，…，1an－1an－1＝12n.
將以上(n－1)個(gè)式子相加得
1an－1a1＝122＋123＋124＋…＋12n，
∴1an＝121－12n1－12＝1－12n.
∴an＝2n2n－1.
變式遷移1(1)證明由已知有
a1＋a2＝4a1＋2，
解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.
又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)
＝4an＋1－4an；
于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，
即bn＋1＝2bn.
因此數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列．
(2)解由(1)知等比數(shù)列{bn}中，b1＝3，公比q＝2，
所以an＋1－2an＝3×2n－1，
于是an＋12n＋1－an2n＝34，
因此數(shù)列an2n是首項(xiàng)為12，公差為34的等差數(shù)列，
an2n＝12＋(n－1)×34＝34n－14，
所以an＝(3n－1)2n－2.
例2解題導(dǎo)引1.利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)．再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等．
2．一般情況如下，若{an}是等差數(shù)列，
則1anan＋1＝1d1an－1an＋1，1anan＋2＝12d1an－1an＋2.
此外根式在分母上時(shí)可考慮利用有理化因式相消求和．
解(1)∵n≥2時(shí)，an＝7Sn－1＋2，∴an＋1＝7Sn＋2，
兩式相減，得an＋1－an＝7an，∴an＋1＝8an(n≥2)．
又a1＝2，∴a2＝7a1＋2＝16＝8a1，
∴an＋1＝8an(n∈N*)．
∴{an}是一個(gè)以2為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列，
∴an＝28n－1＝23n－2.
(2)∵bn＝1log2anlog2an＋1＝1(3n－2)(3n＋1)
＝13(13n－2－13n＋1)，
∴Tn＝13(1－14＋14－17＋…＋13n－2－13n＋1)
＝13(1－13n＋1)13.
∴m20≥13，∴最小正整數(shù)m＝7.
變式遷移2解an＝2n(n＋1)＝21n－1n＋1，
∴Sn＝2[1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1]＝21－1n＋1＝2nn＋1.
例3解題導(dǎo)引1.一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法．
2．用乘公比錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：
(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；
(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．
解(1)由題意得an＝qn，
∴bn＝anlog4an＝qnlog4qn
＝n5nlog45，
∴Sn＝(1×5＋2×52＋…＋n×5n)log45，
設(shè)Tn＝1×5＋2×52＋…＋n×5n，①
則5Tn＝1×52＋2×53＋…＋(n－1)×5n＋n×5n＋1，②
①－②得－4Tn＝5＋52＋53＋…＋5n－n×5n＋1
＝5(5n－1)4－n×5n＋1，
∴Tn＝516(4n×5n－5n＋1)，
Sn＝516(4n×5n－5n＋1)log45.
(2)∵bn＝anlog4an＝n1415nlog41415，
∴bn＋1－bn＝(n＋1)1415n＋1log41415－
n1415nlog41415
＝1415n1415－n15log414150，
∵1415n0，log414150，
∴1415－n150，∴n14，
即n≥15時(shí)，bnbn＋1.
故所求的n的最小值是15.
變式遷移3解當(dāng)a＝1時(shí)，
Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2，
當(dāng)a≠1時(shí)，Sn＝1a＋2a2＋3a3＋…＋nan，①
∴1aSn＝1a2＋2a3＋3a4＋…＋nan＋1，②
①－②，得1－1aSn
＝1a＋1a2＋1a3＋…＋1an－nan＋1，
1－1aSn＝1a1－1an1－1a－nan＋1
＝1－1ana－1－nan＋1，
∴Sn＝a1－1an(a－1)2－n(a－1)an.
∴Sn＝n(n＋1)2，a＝1，a1－1an(a－1)2－n(a－1)an，a≠1.
課后練習(xí)區(qū)
1．C2.A3.D4.B5.D
6．9
解析∵an＋1＝3Sn，∴an＝3Sn－1(n≥2)．
兩式相減得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，
∴an＋1＝4an，即an＋1an＝4.
∴{an}為以a2為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列．
當(dāng)n＝1時(shí)，a2＝3S1＝3，
∴n≥2時(shí)，an＝34n－2，
S10＝a1＋a2＋…＋a10
＝1＋3＋3×4＋3×42＋…＋3×48
＝1＋3×(1＋4＋…＋48)
＝1＋3×49－14－1＝1＋49－1＝49.
∴l(xiāng)og4S10＝log449＝9.
7．－10
解析依題意得，a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝12，a5＝1，a6＝－2，a7＝－1，a8＝12，所以數(shù)列周期為4，S26＝6×(1－2－1＋12)＋1－2＝－10.
8．2n＋1－2
解析依題意，有a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1，所有的代數(shù)式相加得an－a1＝2n－2，即an＝2n，所以Sn＝2n＋1－2.
9．解f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7
＝[x－(n＋1)]2＋3n－8.…………………………………………………………………(3分)
(1)由題意，an＝n＋1，
故an＋1－an＝(n＋1)＋1－(n＋1)＝1，
故數(shù)列{an}是以1為公差，2為首項(xiàng)的等差數(shù)列．……………………………………(5分)
(2)由題意，bn＝|3n－8|.……………………………………………………………………(7分)
當(dāng)1≤n≤2時(shí)，bn＝－3n＋8，
數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，b1＝5，
∴Sn＝n(5－3n＋8)2＝－3n2＋13n2；………………………………………………………(9分)
當(dāng)n≥3時(shí)，bn＝3n－8，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b3＝1.
∴Sn＝S2＋(n－2)(1＋3n－8)2＝3n2－13n＋282.…………………………………………(11分)
∴Sn＝－3n2＋13n2，1≤n≤2，3n2－13n＋282，n≥3.……………………………………………(12分)
10．(1)解因?yàn)镾n＝12nan＋an－c，
所以當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝12a1＋a1－c，
解得a1＝2c，………………………………………………………………………………(2分)
當(dāng)n＝2時(shí)，S2＝a2＋a2－c，
即a1＋a2＝2a2－c，解得a2＝3c，………………………………………………………(3分)
所以3c＝6，解得c＝2；…………………………………………………………………(4分)
則a1＝4，數(shù)列{an}的公差d＝a2－a1＝2，
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋2.……………………………………………………………(6分)
(2)證明因?yàn)?a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1
＝14×6＋16×8＋…＋1(2n＋2)(2n＋4)
＝12(14－16)＋12(16－18)＋…＋12(12n＋2－12n＋4)
＝12[(14－16)＋(16－18)＋…＋(12n＋2－12n＋4)]……………………………………………(8分)
＝12(14－12n＋4)＝18－14(n＋2).……………………………………………………………(10分)
因?yàn)閚∈N*，所以1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋118.…………………………………………(12分)
11．解(1)∵Sn＝3n，
∴Sn－1＝3n－1(n≥2)．
∴an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1(n≥2)．……………………………………………(3分)
當(dāng)n＝1時(shí)，2×31－1＝2≠S1＝a1＝3，…………………………………………………(4分)
∴an＝3，n＝1，2×3n－1，n≥2，n∈N*……………………………………………………(5分)
(2)∵bn＋1＝bn＋(2n－1)，
∴b2－b1＝1，b3－b2＝3，b4－b3＝5，…，
bn－bn－1＝2n－3.
以上各式相加得
bn－b1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)
＝(n－1)(1＋2n－3)2＝(n－1)2.
∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n.………………………………………………………………(7分)
(3)由題意得
cn＝－3，n＝1，2(n－2)×3n－1，n≥2，n∈N*.……………………………………………………(9分)
當(dāng)n≥2時(shí)，Tn＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋…＋2(n－2)×3n－1，
∴3Tn＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋…＋2(n－2)×3n，
相減得－2Tn＝6＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－2(n－2)×3n.
∴Tn＝(n－2)×3n－(3＋32＋33＋…＋3n－1)
＝(n－2)×3n－3n－32＝(2n－5)3n＋32.…………………………………………………(13分)
T1＝－3也適合．
∴Tn＝(2n－5)3n＋32(n∈N*)．…………………………………………………………(14分)

相關(guān)知識(shí)

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)函數(shù)的圖象學(xué)案附答案

學(xué)案10函數(shù)的圖象
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.掌握作函數(shù)圖象的兩種基本方法：描點(diǎn)法，圖象變換法.2.掌握?qǐng)D象變換的規(guī)律，能利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)．
自主梳理
1．應(yīng)掌握的基本函數(shù)的圖象有：一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等．
2．利用描點(diǎn)法作圖：①確定函數(shù)的定義域；②化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)(__________、__________、__________)；④畫出函數(shù)的圖象．
3．利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：
(1)平移變換：函數(shù)y＝f(x＋a)的圖象可由y＝f(x)的圖象向____(a0)或向____(a0)平移____個(gè)單位得到；函數(shù)y＝f(x)＋a的圖象可由函數(shù)y＝f(x)的圖象向____(a0)或向____(a0)平移____個(gè)單位得到．
(2)伸縮變換：函數(shù)y＝f(ax)(a0)的圖象可由y＝f(x)的圖象沿x軸伸長(zhǎng)(0a1)或縮短(____)到原來的1a倍得到；函數(shù)y＝af(x)(a0)的圖象可由函數(shù)y＝f(x)的圖象沿y軸伸長(zhǎng)(____)或縮短(________)為原來的____倍得到．(可以結(jié)合三角函數(shù)中的圖象變換加以理解)
(3)對(duì)稱變換：①奇函數(shù)的圖象關(guān)于________對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于____軸對(duì)稱；
②f(x)與f(－x)的圖象關(guān)于____軸對(duì)稱；
③f(x)與－f(x)的圖象關(guān)于____軸對(duì)稱；
④f(x)與－f(－x)的圖象關(guān)于________對(duì)稱；
⑤f(x)與f(2a－x)的圖象關(guān)于直線________對(duì)稱；
⑥曲線f(x，y)＝0與曲線f(2a－x,2b－y)＝0關(guān)于點(diǎn)________對(duì)稱；
⑦|f(x)|的圖象先保留f(x)原來在x軸________的圖象，作出x軸下方的圖象關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形，然后擦去x軸下方的圖象得到；
⑧f(|x|)的圖象先保留f(x)在y軸________的圖象，擦去y軸左方的圖象，然后作出y軸右方的圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形得到．
自我檢測(cè)
1．(2009北京)為了得到函數(shù)y＝lgx＋310的圖象，只需把函數(shù)y＝lgx的圖象上所有的點(diǎn)()
A．向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度
B．向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度
D．向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度
2．(2011煙臺(tái)模擬)已知圖1是函數(shù)y＝f(x)的圖象，則圖2中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是
()

A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|)D．y＝－f(－|x|)
3．函數(shù)f(x)＝1x－x的圖象關(guān)于()
A．y軸對(duì)稱B．直線y＝－x對(duì)稱
C．坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱D．直線y＝x對(duì)稱
4．使log2(－x)x＋1成立的x的取值范圍是()
A．(－1,0)B．[－1,0)
C．(－2,0)D．[－2,0)
5．(2011濰坊模擬)已知f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a0且a≠1)，若f(4)g(－4)0，則y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是()
探究點(diǎn)一作圖
例1(1)作函數(shù)y＝|x－x2|的圖象；
(2)作函數(shù)y＝x2－|x|的圖象；
(3)作函數(shù)的圖象．

變式遷移1作函數(shù)y＝1|x|－1的圖象．

探究點(diǎn)二識(shí)圖
例2(1)函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝g(x)的圖象如圖，
則函數(shù)y＝f(x)g(x)的圖象可能是()
(2)已知y＝f(x)的圖象如圖所示，則y＝f(1－x)的圖象為()
變式遷移2(1)(2010山東)函數(shù)y＝2x－x2的圖象大致是()
(2)函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式是()
A．f(x)＝x＋sinx
B．f(x)＝cosxx
C．f(x)＝xcosx
D．f(x)＝x(x－π2)(x－3π2)
探究點(diǎn)三圖象的應(yīng)用
例3若關(guān)于x的方程|x2－4x＋3|－a＝x至少有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

變式遷移3(2010全國(guó)Ⅰ)直線y＝1與曲線y＝x2－|x|＋a有四個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是________．
數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用
例(5分)(2010北京東城區(qū)一模)定義在R上的函數(shù)y＝f(x)是減函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于(1,0)成中心對(duì)稱，若s，t滿足不等式f(s2－2s)≤－f(2t－t2)．則當(dāng)1≤s≤4時(shí)，ts的取值范圍是()
A.－14，1B.－14，1
C.－12，1D.－12，1
【答題模板】
答案D
解析因函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于(1,0)成中心對(duì)稱，所以該函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位后的解析式為y＝f(x)，即y＝f(x)的圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱，所以y＝f(x)是奇函數(shù)．又y＝f(x)是R上的減函數(shù)，所以s2－2s≥t2－2t，令y＝x2－2x＝(x－1)2－1，
圖象的對(duì)稱軸為x＝1，
當(dāng)1≤s≤4時(shí)，要使s2－2s≥t2－2t，即s－1≥|t－1|，
當(dāng)t≥1時(shí)，有s≥t≥1，所以14≤ts≤1；
當(dāng)t1時(shí)，
即s－1≥1－t，即s＋t≥2，
問題轉(zhuǎn)化成了線性規(guī)劃問題，畫出由1≤s≤4，t1，s＋t≥2組成的不等式組的可行域.ts為可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)連線的斜率，易知－12≤ts1.綜上可知選D.
【突破思維障礙】
當(dāng)s，t位于對(duì)稱軸x＝1的兩邊時(shí)，如何由s2－2s≥t2－2t判斷s，t之間的關(guān)系式，這時(shí)s，t與對(duì)稱軸x＝1的距離的遠(yuǎn)近決定著不等式s2－2s≥t2－2t成立與否，通過數(shù)形結(jié)合判斷出關(guān)系式s－1≥1－t，從而得出s＋t≥2，此時(shí)有一個(gè)隱含條件為t1，再結(jié)合1≤s≤4及要求的式子的取值范圍就能聯(lián)想起線性規(guī)劃，從而突破了難點(diǎn)．要畫出s，t所在區(qū)域時(shí)，要結(jié)合ts的幾何意義為點(diǎn)(s，t)和原點(diǎn)連線的斜率，確定s為橫軸，t為縱軸．
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
當(dāng)?shù)玫讲坏仁絪2－2s≥t2－2t后，如果沒有函數(shù)的思想將無法繼續(xù)求解，得到二次函數(shù)后也容易只考慮s，t都在二次函數(shù)y＝x2－2x的增區(qū)間[1，＋∞)內(nèi)，忽略考慮s，t在二次函數(shù)對(duì)稱軸兩邊的情況，考慮了s，t在對(duì)稱軸的兩邊，也容易漏掉隱含條件t1及聯(lián)想不起來線性規(guī)劃．
1．掌握作函數(shù)圖象的兩種基本方法(描點(diǎn)法，圖象變換法)，在畫函數(shù)圖象時(shí)，要特別注意到用函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性等)解決問題．
2．合理處理識(shí)圖題與用圖題
(1)識(shí)圖．對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性．
(2)用圖．函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的重要工具，要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法，常用函數(shù)圖象研究含參數(shù)的方程或不等式解集的情況．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2010重慶)函數(shù)f(x)＝4x＋12x的圖象()
A．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．關(guān)于直線y＝x對(duì)稱
C．關(guān)于x軸對(duì)稱D．關(guān)于y軸對(duì)稱
2．(2010湖南)用min{a，b}表示a，b兩數(shù)中的最小值．若函數(shù)f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的圖象關(guān)于直線x＝－12對(duì)稱，則t的值為()
A．－2B．2
C．－1D．1
3．(2011北京海淀區(qū)模擬)在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的圖象，可能正確的是()
4．(2011深圳模擬)若函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝－f(x＋1)的圖象大致為
()
5．設(shè)b0，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋a2－1的圖象為下列之一，則a的值為()
A．1B．－1C.－1－52D.－1＋52
題號(hào)12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．為了得到函數(shù)y＝3×(13)x的圖象，可以把函數(shù)y＝(13)x的圖象向________平移________個(gè)單位長(zhǎng)度．
7．(2011黃山月考)函數(shù)f(x)＝2x－1x＋1的圖象對(duì)稱中心是________．
8．(2011沈陽(yáng)調(diào)研)如下圖所示，向高為H的水瓶A、B、C、D同時(shí)以等速注水，注滿為止．
(1)若水量V與水深h函數(shù)圖象是下圖的(a)，則水瓶的形狀是________；
(2)若水深h與注水時(shí)間t的函數(shù)圖象是下圖的(b)，則水瓶的形狀是________．
(3)若注水時(shí)間t與水深h的函數(shù)圖象是下圖的(c)，則水瓶的形狀是________；
(4)若水深h與注水時(shí)間t的函數(shù)的圖象是圖中的(d)，則水瓶的形狀是________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知函數(shù)f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求實(shí)數(shù)m的值；
(2)作出函數(shù)f(x)的圖象；
(3)根據(jù)圖象指出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(4)根據(jù)圖象寫出不等式f(x)0的解集；
(5)求當(dāng)x∈[1,5)時(shí)函數(shù)的值域．

10．(12分)(2011三明模擬)當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，不等式(x－1)2logax恒成立，求a的取值范圍．

11．(14分)已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x0)．
(1)若g(x)＝m有根，求m的取值范圍；
(2)確定m的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個(gè)相異實(shí)根．

答案自主梳理
2．③奇偶性單調(diào)性周期性3.(1)左右|a|上下|a|(2)a1a10a1a(3)①原點(diǎn)y②y③x④原點(diǎn)⑤x＝a⑥(a，b)⑦上方⑧右方
自我檢測(cè)
1．C[A項(xiàng)y＝lg(x＋3)＋1＝lg[10(x＋3)]，
B項(xiàng)y＝lg(x－3)＋1＝lg[10(x－3)]，
C項(xiàng)y＝lg(x＋3)－1＝lgx＋310，
D項(xiàng)y＝lg(x－3)－1＝lgx－310.]
2．C
3．C[∵f(－x)＝－1x＋x＝－1x－x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函數(shù)，即f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．]
4．A[作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的圖象知滿足條件的x∈(－1,0)．]
5．B[由f(4)g(－4)0得a2loga40，∴0a1.]
課堂活動(dòng)區(qū)
例1解(1)y＝x－x2，0≤x≤1，－x－x2，x1或x0，
即y＝－x－122＋14，0≤x≤1，x－122－14，x1或x0，
其圖象如圖所示．
(2)y＝x－122－14，x≥0，x＋122－14，x0，其圖象如圖所示．
(3)
作出y＝12x的圖象，保留y＝12x圖象中x≥0的部分，加上y＝12x的圖象中x0的部分關(guān)于y軸的對(duì)稱部分，
即得y＝12|x|的圖象．
變式遷移1解定義域是{x|x∈R且x≠±1}，且函數(shù)是偶函數(shù)．
又當(dāng)x≥0且x≠1時(shí)，y＝1x－1.
先作函數(shù)y＝1x的圖象，并將圖象向右平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y＝1x－1(x≥0且x≠1)的圖象(如圖(a)所示)．
又函數(shù)是偶函數(shù)，作關(guān)于y軸對(duì)稱圖象，
得y＝1|x|－1的圖象(如圖(b)所示)．
例2解題導(dǎo)引對(duì)于給定的函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系．
（1）?A?[從f(x)、g(x)的圖象可知它們分別為偶函數(shù)、奇函數(shù)，故f(x)g(x)是奇函數(shù)，排除B.又x0時(shí)，g(x)為增函數(shù)且為正值,f(x)也是增函數(shù)，故f(x)g(x)為增函數(shù)，且正負(fù)取決于f(x)的正負(fù)，注意到x→（從小于0趨向于0），f(x)g(x)→+∞，可排除C、D.］?（2）?A?［因?yàn)閒(1-x)=f（-(x-1)）,故y=f(1-x)的圖象可以由y=f(x)的圖象按照如下變換得到：先將y=f(x)的圖象關(guān)于y軸翻折，得y=f(-x)的圖象，然后將y=f(-x)?的圖象向右平移一個(gè)單位，即得y=f(-x+1)的圖象.］
變式遷移2(1)A[考查函數(shù)y＝2x與y＝x2的圖象可知：
當(dāng)x0時(shí)，方程2x－x2＝0僅有一個(gè)零點(diǎn)，
且→－∞；
當(dāng)x0時(shí)，方程2x－x2＝0有兩個(gè)零點(diǎn)2和4，
且→＋∞.]
(2)C[由圖象知f(x)為奇函數(shù)，排除D；
又0，±π2，±32π為方程f(x)＝0的根，故選C.]
例3解題導(dǎo)引原方程重新整理為|x2－4x＋3|＝x＋a，將兩邊分別設(shè)成一個(gè)函數(shù)并作出它們的圖象，即求兩圖象至少有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)a的取值范圍．
方程的根的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，體現(xiàn)了《考綱》中函數(shù)與方程的重要思想方法．

解原方程變形為|x2－4x＋3|＝x＋a，于是，設(shè)y＝|x2－4x＋3|，y＝x＋a，在同一坐標(biāo)系下分別作出它們的圖象．如圖．則當(dāng)直線y＝x＋a過點(diǎn)(1,0)時(shí)a＝－1；當(dāng)直線y＝x＋a與拋物線y＝－x2＋4x－3相切時(shí)，由y＝x＋ay＝－x2＋4x－3，得，x2－3x＋a＋3＝0，
由Δ＝9－4(3＋a)＝0，得a＝－34.
由圖象知當(dāng)a∈[－1，－34]時(shí)方程至少有三個(gè)根．
變式遷移3(1，54)
解析y＝x2－|x|＋a＝x－122＋a－14，x≥0，x＋122＋a－14，x0.
當(dāng)其圖象如圖所示時(shí)滿足題意．

由圖知a1，a－141，解得1a54.
課后練習(xí)區(qū)
1．D[f(x)＝2x＋2－x，因?yàn)閒(－x)＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)．所以f(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．]
2.D[令y＝|x|，y＝|x＋t|，在同一坐標(biāo)系中作出其圖象，
如圖，所以t＝1.]
3．D[選項(xiàng)A、B、C中直線方程中的a的范圍與對(duì)數(shù)函數(shù)中的a的范圍矛盾．]
4．C[函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝－f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱，函數(shù)y＝－f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位即得到函數(shù)y＝－f(x＋1)的圖象．]
5．B[∵b0，∴前兩個(gè)圖象不是給出的二次函數(shù)圖象，又后兩個(gè)圖象的對(duì)稱軸都在y軸右邊，∴－b2a0，∴a0，又∵圖象過原點(diǎn)，∴a2－1＝0，∴a＝－1.]
6．右1
解析∵y＝3×(13)x＝(13)x－1，
∴y＝(13)x向右平移1個(gè)單位便得到y(tǒng)＝(13)x－1.
7．(－1,2)
解析∵f(x)＝2x－1x＋1＝2x＋1－3x＋1＝2－3x＋1，
∴函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱中心為(－1,2)．
8．(1)A(2)D(3)B(4)C
9．解(1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.…………………………………………(2分)
(2)f(x)＝x|x－4|
＝xx－4＝x－22－4，x≥4，－xx－4＝－x－22＋4，x4.………………………………………………(4分)

f(x)的圖象如右圖所示．
(3)由圖可知，f(x)的減區(qū)間是[2,4]．……………………………………………………(8分)
(4)由圖象可知f(x)0的解集為
{x|0x4或x4}．………………………………………………………………………(10分)
(5)∵f(5)＝54，
由圖象知，函數(shù)在[1,5)上的值域?yàn)閇0,5)．……………………………………………(12分)
10.
解設(shè)f1(x)＝(x－1)2，
f2(x)＝logax，
要使當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，不等式(x－1)2logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的圖象在f2(x)＝logax的下方即可．
當(dāng)0a1時(shí)，由圖象知顯然不成立．……………………………………………………(4分)
當(dāng)a1時(shí)，如圖，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的圖象在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，
即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，……………………………………………………………(10分)
∴1a≤2.………………………………………………………………………………(12分)
11．解(1)方法一∵x0，∴g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，
等號(hào)成立的條件是x＝e.
故g(x)的值域是[2e，＋∞)，……………………………………………………………(4分)
因而只需m≥2e，則g(x)＝m就有根．…………………………………………………(6分)
方法二作出g(x)＝x＋e2x的圖象如圖：
……………………………………………………………………………………………(4分)
可知若使g(x)＝m有根，則只需m≥2e.………………………………………………(6分)
方法三解方程由g(x)＝m，得x2－mx＋e2＝0.
此方程有大于零的根，故m20Δ＝m2－4e2≥0……………………………………………(4分)
等價(jià)于m0m≥2e或m≤－2e，故m≥2e.…………………………………………………(6分)
(2)若g(x)－f(x)＝0有兩個(gè)相異的實(shí)根，即g(x)＝f(x)中函數(shù)g(x)與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
作出g(x)＝x＋e2x(x0)的圖象．
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.
其對(duì)稱軸為x＝e，開口向下，
最大值為m－1＋e2.……………………………………………………………………(10分)
故當(dāng)m－1＋e22e，即m－e2＋2e＋1時(shí)，
g(x)與f(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，
即g(x)－f(x)＝0有兩個(gè)相異實(shí)根．
∴m的取值范圍是(－e2＋2e＋1，＋∞)．……………………………………………(14分)

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)數(shù)列的綜合應(yīng)用學(xué)案（有答案）

學(xué)案32數(shù)列的綜合應(yīng)用
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.通過構(gòu)造等差、等比數(shù)列模型，運(yùn)用數(shù)列的公式、性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.2.對(duì)數(shù)列與其他知識(shí)綜合性的考查也高于考試說明的要求，另外還要注重?cái)?shù)列在生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用．
自主梳理
1．?dāng)?shù)列的綜合應(yīng)用
數(shù)列的綜合應(yīng)用一是指綜合運(yùn)用數(shù)列的各種知識(shí)和方法求解問題，二是數(shù)列與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容相聯(lián)系的綜合問題．解決此類問題應(yīng)注意數(shù)學(xué)思想及方法的運(yùn)用與體會(huì)．
(1)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，解數(shù)列題要注意運(yùn)用方程與函數(shù)的思想與方法．
(2)轉(zhuǎn)化與化歸思想是解數(shù)列有關(guān)問題的基本思想方法，復(fù)雜的數(shù)列問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列或常見的特殊數(shù)列問題．
(3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解決數(shù)列問題的重要思想．已知數(shù)列的前若干項(xiàng)求通項(xiàng)，由有限的特殊事例推測(cè)出一般性的結(jié)論，都是利用此法實(shí)現(xiàn)的．
(4)分類討論思想在數(shù)列問題中常會(huì)遇到，如等比數(shù)列中，經(jīng)常要對(duì)公比進(jìn)行討論；由Sn求an時(shí)，要對(duì)______________進(jìn)行分類討論．
2．?dāng)?shù)列的實(shí)際應(yīng)用
數(shù)列的應(yīng)用問題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的一個(gè)重要內(nèi)容，解答應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型．
(1)建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，應(yīng)明確是等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型，還是遞推數(shù)列模型，是求an還是求Sn.
(2)分期付款中的有關(guān)規(guī)定
①在分期付款中，每月的利息均按復(fù)利計(jì)算；
②在分期付款中規(guī)定每期所付款額相同；
③在分期付款時(shí)，商品售價(jià)和每期所付款額在貸款全部付清前會(huì)隨時(shí)間的推移而不斷增值；
④各期付款連同在最后一次付款時(shí)所生的利息之和，等于商品售價(jià)及從購(gòu)買時(shí)到最后一次付款的利息之和．
自我檢測(cè)
1．(原創(chuàng)題)若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S8－S3＝10，則S11的值為()
A．12B．18
C．22D．44
2．(2011汕頭模擬)在等比數(shù)列{an}中，anan＋1，且a7a11＝6，a4＋a14＝5，則a6a16等于()
A.23B.32
C．－16D．－56
3．若{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，把{an}的每一項(xiàng)都減去2后，得到一個(gè)新數(shù)列{bn}，設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)于任意的n∈N*，下列結(jié)論正確的是()
A．bn＋1＝3bn，且Sn＝12(3n－1)
B．bn＋1＝3bn－2，且Sn＝12(3n－1)
C．bn＋1＝3bn＋4，且Sn＝12(3n－1)－2n
D．bn＋1＝3bn－4，且Sn＝12(3n－1)－2n
4．“嫦娥奔月，舉國(guó)歡慶”，據(jù)科學(xué)計(jì)算，運(yùn)載“神六”的“長(zhǎng)征二號(hào)”系列火箭，在點(diǎn)火第一秒鐘通過的路程為2km，以后每秒鐘通過的路程都增加2km，在達(dá)到離地面240km的高度時(shí)，火箭與飛船分離，則這一過程需要的時(shí)間大約是()
A．10秒鐘B．13秒鐘
C．15秒鐘D．20秒鐘
5．(2011臺(tái)州月考)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝nn2＋58，則數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為()
A．第7項(xiàng)B．第8項(xiàng)
C．第7項(xiàng)或第8項(xiàng)D．不存在
6．(2011南京模擬)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是正項(xiàng)等比數(shù)列，Sn，Tn分別為數(shù)列{lgan}與{lgbn}的前n項(xiàng)和，且SnTn＝n2n＋1，則logb5a5＝________.
探究點(diǎn)一等差、等比數(shù)列的綜合問題
例1設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4構(gòu)成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；
(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

變式遷移1假設(shè)a1，a2，a3，a4是一個(gè)等差數(shù)列，且滿足0a12，a3＝4.若bn＝2an(n＝1,2,3,4)．給出以下命題：
①數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；②b24；③b432；④b2b4＝256.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()
A．1B．2C．3D．4
探究點(diǎn)二數(shù)列與方程、函數(shù)、不等式的綜合問題
例2(2011溫州月考)已知函數(shù)f(x)＝2x＋33x，數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝f1an，n∈N*，
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn；
(3)令bn＝1an－1an(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Snm－20012對(duì)一切n∈N*成立，求最小正整數(shù)m.

變式遷移2已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}滿足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中項(xiàng)．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若bn＝anlog12an，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，對(duì)任意正整數(shù)n，Sn＋(n＋m)an＋10恒成立，試求m的取值范圍．

探究點(diǎn)三數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用
例3(2011福州模擬)有一個(gè)下崗職工，1月份向銀行貸款10000元，作為啟動(dòng)資金開店，每月月底獲得的利潤(rùn)是該月月初投入資金的20%，每月月底需繳納所得稅為該月月利潤(rùn)的10%，每月的生活費(fèi)為300元，余款作為資金全部投入下個(gè)月的經(jīng)營(yíng)，如此繼續(xù)，問到這年年底這個(gè)職工有多少資金？若貸款年利息為25%，問這個(gè)職工還清銀行貸款后純收入多少元？

變式遷移3假設(shè)某市2011年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價(jià)房，預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)8%.另外，每年新建住房中，中低價(jià)房的面積均比上一年增加50萬平方米．那么，到哪一年底，
(1)該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積(以2011年為累計(jì)的第一年)將首次不少于4750萬平方米？
(2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？(參考數(shù)據(jù)：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)

1．?dāng)?shù)列實(shí)際應(yīng)用問題：(1)數(shù)學(xué)應(yīng)用問題已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的一個(gè)重要內(nèi)容，解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型，有關(guān)平均增長(zhǎng)率、利率(復(fù)利)以及等值增減等實(shí)際問題，需利用數(shù)列知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型．(2)在試題中常用的數(shù)學(xué)模型有①構(gòu)造等差、等比數(shù)列的模型，然
后再去應(yīng)用數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；②通過歸納得到結(jié)論，用數(shù)列知識(shí)求解．
2．解決數(shù)列綜合問題應(yīng)體會(huì)以下思想及方法：(1)數(shù)列與函數(shù)方程相結(jié)合時(shí)主要考查函數(shù)的思想及函數(shù)的性質(zhì)(多為單調(diào)性)．(2)數(shù)列與不等式結(jié)合時(shí)需注意放縮．(3)數(shù)列與解析幾何結(jié)合時(shí)要注意遞推思想．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2010湖北)已知等比數(shù)列an中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1，12a3,2a2成等差數(shù)列，則a9＋a10a7＋a8的值為()
A．1＋2B．1－2
C．3＋22D．3－22
2．(2011漳州模擬)數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，且a6＝b7，則有()
A．a(chǎn)3＋a9≤b4＋b10B．a(chǎn)3＋a9≥b4＋b10
C．a(chǎn)3＋a9≠b4＋b10D．a(chǎn)3＋a9與b4＋b10的大小不確定
3．有限數(shù)列A：a1，a2，…，an，Sn為其前n項(xiàng)和，定義S1＋S2＋…＋Snn為A的“凱森和”，若有99項(xiàng)的數(shù)列a1，a2，…，a99的“凱森和”為1000，則有100項(xiàng)的數(shù)列1，a1，a2，…，a99的“凱森和”為()
A．1001B．991C．999D．990
4．有一種細(xì)菌和一種病毒，每個(gè)細(xì)菌在每秒鐘末能在殺死一個(gè)病毒的同時(shí)將自身分裂為2個(gè)，現(xiàn)在有一個(gè)這樣的細(xì)菌和100個(gè)這樣的病毒，問細(xì)菌將病毒全部殺死至少需要()
A．6秒B．7秒C．8秒D．9秒
5．已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝1，且an，an＋1是函數(shù)f(x)＝x2－bnx＋2n的兩個(gè)零點(diǎn)，則b10等于()
A．24B．32C．48D．64
題號(hào)12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2011麗水月考)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝5252n－2－425n－1，數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為第x項(xiàng)，最小項(xiàng)為第y項(xiàng)，則x＋y＝________.
7．(2010江蘇)函數(shù)y＝x2(x0)的圖象在點(diǎn)(ak，a2k)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak＋1，其中k∈N*，a1＝16，則a1＋a3＋a5＝________.
8．把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)表．設(shè)aij(i，j∈N*)是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù)，如a42＝8.若aij＝2009，則i與j的和為________．
1
24
357
681012
911131517
141618202224
……………………………………
三、解答題(共38分)
9．(12分)(2011湘潭模擬)已知點(diǎn)(1，13)是函數(shù)f(x)＝ax(a0，且a≠1)的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為f(n)－c，數(shù)列{bn}(bn0)的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和Sn滿足Sn－Sn－1＝Sn＋Sn－1(n≥2)．
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列{1bnbn＋1}的前n項(xiàng)和為Tn，問滿足Tn10002009的最小正整數(shù)n是多少？

10．(12分)沿海地區(qū)甲公司響應(yīng)國(guó)家開發(fā)西部的號(hào)召，對(duì)西部地區(qū)乙企業(yè)進(jìn)行扶持性技術(shù)改造．乙企業(yè)的經(jīng)營(yíng)現(xiàn)狀是：每月收入為45萬元，但因設(shè)備老化，從下月開始需付設(shè)備維修費(fèi)，第一個(gè)月為3萬元，以后每月遞增2萬元．甲公司決定投資400萬元扶持改造乙企業(yè)．據(jù)預(yù)測(cè)，改造后乙企業(yè)第一個(gè)月收入為16萬元，在以后的4個(gè)月中，每月收入都比上個(gè)月增長(zhǎng)50%，而后每個(gè)月收入都穩(wěn)定在第5個(gè)月的水平上．若設(shè)備改造時(shí)間可忽略不計(jì)，那么從下個(gè)月開始至少經(jīng)過多少個(gè)月，改造后的乙企業(yè)的累計(jì)總收益多于仍按現(xiàn)狀生產(chǎn)所帶來的總收益？

11．(14分)(2011廣東執(zhí)信中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)f(y)且f(1)＝12.
(1)當(dāng)n∈N*時(shí)，求f(n)的表達(dá)式；
(2)設(shè)an＝nf(n)，n∈N*，求證：a1＋a2＋a3＋…＋an2；
(3)設(shè)bn＝(9－n)fn＋1fn，n∈N*，Sn為{bn}的前n項(xiàng)和，當(dāng)Sn最大時(shí)，求n的值．

答案自主梳理
1．(4)n＝1或n≥2
自我檢測(cè)
1．C2.B3.C4.C5.B
6.919
課堂活動(dòng)區(qū)
例1解題導(dǎo)引1.等差數(shù)列與等比數(shù)列相結(jié)合的綜合問題是高考考查的重點(diǎn)，特別是等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)問題是歷年命題的熱點(diǎn)．
2．利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)注意公比q的取值．同時(shí)對(duì)兩種數(shù)列的性質(zhì)，要熟悉它們的推導(dǎo)過程，利用好性質(zhì)，可降低題目的思維難度，解題時(shí)有時(shí)還需利用條件聯(lián)立方程求解．
解(1)由已知得
a1＋a2＋a3＝7(a1＋3)＋(a3＋4)2＝3a2，解得a2＝2.
設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a2＝2，
可得a1＝2q，a3＝2q.
又S3＝7，可知2q＋2＋2q＝7，
即2q2－5q＋2＝0.解得q1＝2，q2＝12.
由題意得q1，∴q＝2，∴a1＝1.
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝2n－1.
(2)由(1)得a3n＋1＝23n，
∴bn＝lna3n＋1＝ln23n＝3nln2.
又bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是等差數(shù)列，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝n(b1＋bn)2＝3n(n＋1)2ln2.
故Tn＝3n(n＋1)2ln2.
變式遷移1D[設(shè)a1，a2，a3，a4的公差為d，則a1＋2d＝4，又0a12，所以1d2.易知數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，故(1)正確；a2＝a3－d∈(2,3)，所以b2＝2a24，故(2)正確；a4＝a3＋d5，所以b4＝2a432，故(3)正確；又a2＋a4＝2a3＝8，所以b2b4＝2a2＋a4＝28＝256，故(4)正確．]
例2解題導(dǎo)引這是一道數(shù)列、函數(shù)、不等式的綜合題，利用函數(shù)關(guān)系式求通項(xiàng)an，觀察Tn特點(diǎn)，求出Tn.由an再求bn從而求Sn，最后利用不等式知識(shí)求出m.
解(1)∵an＋1＝f1an＝2an＋33an＝2＋3an3＝an＋23，
∴{an}是以23為公差的等差數(shù)列．
又a1＝1，∴an＝23n＋13.
(2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1
＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)
＝－43(a2＋a4＋…＋a2n)＝－43n53＋4n3＋132
＝－49(2n2＋3n)．
(3)當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝1an－1an＝123n－1323n＋13
＝9212n－1－12n＋1，
又b1＝3＝92×1－13，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝92×1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1
＝921－12n＋1＝9n2n＋1，
∵Snm－20012對(duì)一切n∈N*成立．
即9n2n＋1m－20012，
又∵9n2n＋1＝921－12n＋1遞增，
且9n2n＋192.∴m－20012≥92，
即m≥2010.∴最小正整數(shù)m＝2010.
變式遷移2解(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q.
依題意，有2(a3＋2)＝a2＋a4，
代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8.
∴a2＋a4＝20.∴a1q＋a1q3＝20，a3＝a1q2＝8，
解之，得q＝2，a1＝2或q＝12，a1＝32.
又{an}單調(diào)遞增，∴q＝2，a1＝2.∴an＝2n.
(2)bn＝2nlog122n＝－n2n，
∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.①
∴－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.②
∴①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n2n＋1
＝2(1－2n)1－2－n2n＋1＝2n＋1－n2n＋1－2.
由Sn＋(n＋m)an＋10，
即2n＋1－n2n＋1－2＋n2n＋1＋m2n＋10對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，
∴m2n＋12－2n＋1對(duì)任意正整數(shù)n，m12n－1恒成立．
∵12n－1－1，∴m≤－1，
即m的取值范圍是(－∞，－1]．
例3解依題意，第1個(gè)月月余款為
a1＝10000(1＋20%)－10000×20%×10%－300
＝11500，
第2個(gè)月月底余款為a2＝a1(1＋20%)－a1×20%×10%－300，
依此類推下去，設(shè)第n個(gè)月月底的余款為an元，
第n＋1個(gè)月月底的余款為an＋1元，則an＋1＝an(1＋20%)－an×20%×10%－300＝1.18an－300.
下面構(gòu)造一等比數(shù)列．
設(shè)an＋1＋xan＋x＝1.18，則an＋1＋x＝1.18an＋1.18x，
∴an＋1＝1.18an＋0.18x.
∴0.18x＝－300.
∴x＝－50003，即an＋1－50003an－50003＝1.18.
∴數(shù)列{an－50003}是一個(gè)等比數(shù)列，公比為1.18，首項(xiàng)a1－50003＝11500－50003＝295003.
∴an－50003＝295003×1.18n－1，
∴a12－50003＝295003×1.1811，
∴a12＝50003＋295003×1.1811≈62396.6(元)，
即到年底該職工共有資金62396.6元．
純收入有a12－10000(1＋25%)
＝62396.6－12500＝49896.6(元)．
變式遷移3解(1)設(shè)中低價(jià)房的面積形成的數(shù)列為{an}，
由題意可知{an}是等差數(shù)列，其中a1＝250，d＝50，
則an＝250＋(n－1)50＝50n＋200，
Sn＝250n＋n(n－1)2×50＝25n2＋225n，
令25n2＋225n≥4750，
即n2＋9n－190≥0，而n是正整數(shù)，∴n≥10.
∴到2020年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬平方米．
(2)設(shè)新建住房面積形成數(shù)列{bn}，
由題意可知{bn}是等比數(shù)列，其中b1＝400，q＝1.08，
則bn＝400(1.08)n－1.
由題意可知an0.85bn，
即50n＋200400(1.08)n－10.85.
當(dāng)n＝5時(shí)，a50.85b5，
當(dāng)n＝6時(shí)，a60.85b6，
∴滿足上述不等式的最小正整數(shù)n為6.
∴到2016年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.
課后練習(xí)區(qū)
1．C2.B3.B4.B5.D
6．37.218.107
9．解(1)∵f(1)＝a＝13，∴f(x)＝13x.…………………………………………………(1分)
a1＝f(1)－c＝13－c，
a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－29，
a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－227；
又?jǐn)?shù)列{an}成等比數(shù)列，a1＝a22a3＝481－227＝－23＝13－c，
∴c＝1；……………………………………………………………………………………(2分)
公比q＝a2a1＝13，an＝－23×13n－1＝－2×13n，n∈N*；………………………………(3分)
∵Sn－Sn－1＝Sn－Sn－1Sn＋Sn－1
＝Sn＋Sn－1(n2)，……………………………………………………………………(4分)
又bn0，Sn0，∴Sn－Sn－1＝1.
數(shù)列{Sn}構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，
Sn＝1＋(n－1)×1＝n，Sn＝n2.
當(dāng)n≥2，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1；
又當(dāng)n＝1時(shí)，也適合上式，
∴bn＝2n－1，n∈N*.……………………………………………………………………(6分)
(2)Tn＝1b1b2＋1b2b3＋1b3b4＋…＋1bnbn＋1
＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n－1)×(2n＋1)
＝121－13＋1213－15＋1215－17＋…＋
1212n－1－12n＋1＝121－12n＋1＝n2n＋1.……………………………………………(10分)
由Tn＝n2n＋110002009，得n10009，
∴滿足Tn10002009的最小正整數(shù)為112.…………………………………………………(12分)
10．解設(shè)乙企業(yè)仍按現(xiàn)狀生產(chǎn)至第n個(gè)月所帶來的總收益為An(萬元)，技術(shù)改造后生產(chǎn)至第n個(gè)月所帶來的總收益為Bn(萬元)．依題意得
An＝45n－[3＋5＋…＋(2n＋1)]
＝43n－n2，………………………………………………………………………………(4分)
當(dāng)n≥5時(shí)，Bn＝16325－132－1＋
16324(n－5)－400＝81n－594，…………………………………………………………(8分)
∴當(dāng)n≥5時(shí)，Bn－An＝n2＋38n－594，
令n2＋38n－5940，即(n＋19)2955，解得n≥12，
∴至少經(jīng)過12個(gè)月，改造后的乙企業(yè)的累計(jì)總收益多于仍按現(xiàn)狀生產(chǎn)所帶來的總收益．……………………………………………………………………………………………(12分)
11．解(1)令x＝n，y＝1，
得到f(n＋1)＝f(n)f(1)＝12f(n)，……………………………………………………………(2分)
∴{f(n)}是首項(xiàng)為12，公比為12的等比數(shù)列，
即f(n)＝(12)n.………………………………………………………………………………(5分)
(2)記Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，
∵an＝nf(n)＝n(12)n，……………………………………………………………………(6分)
∴Sn＝12＋2×(12)2＋3×(12)3＋…＋n×(12)n，
12Sn＝(12)2＋2×(12)3＋3×(12)4＋…＋(n－1)×(12)n＋n×(12)n＋1，
兩式相減得12Sn＝12＋(12)2＋…＋(12)n－n×(12)n＋1，
整理得Sn＝2－(12)n－1－n(12)n2.…………………………………………………………(9分)
(3)∵f(n)＝(12)n，而bn＝(9－n)f(n＋1)f(n)
＝(9－n)(12)n＋1(12)n＝9－n2.…………………………………………………………………(11分)
當(dāng)n≤8時(shí)，bn0；
當(dāng)n＝9時(shí)，bn＝0；
當(dāng)n9時(shí)，bn0，
∴n＝8或9時(shí)，Sn取到最大值．……………………………………………………(14分)

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法學(xué)案有答案

第六章數(shù)列
學(xué)案28數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)．
自主梳理
1．?dāng)?shù)列的定義
按________________著的一列數(shù)叫數(shù)列，數(shù)列中的______________都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)；在函數(shù)意義下，數(shù)列是________________________的函數(shù)，數(shù)列的一般形式為：______________________，簡(jiǎn)記為{an}，其中an是數(shù)列的第____項(xiàng)．
2．通項(xiàng)公式：
如果數(shù)列{an}的______與____之間的關(guān)系可以____________來表示，那么這個(gè)式子叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式．但并非每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式，也并非都是唯一的．
3．?dāng)?shù)列常用表示法有：_________、________、________.
4．?dāng)?shù)列的分類：
數(shù)列按項(xiàng)數(shù)來分，分為____________、__________；按項(xiàng)的增減規(guī)律分為________、________、__________和__________．遞增數(shù)列an＋1______an；遞減數(shù)列an＋1______an；常數(shù)列an＋1______an.
5．a(chǎn)n與Sn的關(guān)系：
已知Sn，則an＝，n＝1，，n≥2.
自我檢測(cè)
1．(2011汕頭月考)設(shè)an＝－n2＋10n＋11，則數(shù)列{an}從首項(xiàng)到第幾項(xiàng)的和最大()
A．10B．11
C．10或11D．12
2．已知數(shù)列{an}對(duì)任意的p，q∈N*滿足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于()
A．－165B．－33C．－30D．－21
3．(2011龍巖月考)已知數(shù)列－1，85，－157，249，…按此規(guī)律，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是()
A．a(chǎn)n＝(－1)nn2＋n2n＋1
B．a(chǎn)n＝(－1)nnn＋32n＋1
C．a(chǎn)n＝(－1)nn＋12－12n＋1
D．a(chǎn)n＝(－1)nnn＋22n＋3
4．下列對(duì)數(shù)列的理解：
①數(shù)列可以看成一個(gè)定義在N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函數(shù)；
②數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是有限的；
③數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn)；
④數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的．
其中說法正確的序號(hào)是()
A．①②③B．②③④
C．①③D．①②③④
5．(2011湖南長(zhǎng)郡中學(xué)月考)在數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2＝12，2an＋1＝1an＋1an＋2(n∈N*)，則該數(shù)列的通項(xiàng)an＝______.
探究點(diǎn)一由數(shù)列前幾項(xiàng)求數(shù)列通項(xiàng)
例1寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前幾項(xiàng)分別是下列各數(shù)：
(1)23，415，635，863，1099，…；
(2)12，－2，92，－8，252，….

變式遷移1寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：
(1)3,5,9,17,33，…；(2)12，2，92，8，252，…；
(3)2，5，22，11，…；(4)1,0,1,0，….

探究點(diǎn)二由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)
例2根據(jù)下列條件，寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式．
(1)a1＝2，an＋1＝an＋n；(2)a1＝1,2n－1an＝an－1(n≥2)．

變式遷移2根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；
(2)a1＝1，an＋1＝(n＋1)an；
(3)a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1n.

探究點(diǎn)三由an與Sn的關(guān)系求an
例3已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－3n＋1，求{an}的通項(xiàng)公式．

變式遷移3(2011杭州月考)(1)已知{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n＋b，求{an}的通項(xiàng)公式．
(2)已知在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，Sn表示前n項(xiàng)和且2Sn＝an＋1，求an.

函數(shù)思想的應(yīng)用
例(12分)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝(n＋1)1011n(n∈N*)，試問該數(shù)列{an}有沒有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若沒有，說明理由．
【答題模板】
解方法一令n＋11011n≥n1011n－1n＋11011n≥n＋21011n＋1[4分]
10n＋10≥11n11n＋11≥10n＋20n≤10n≥9，∴n＝9或n＝10時(shí)，an最大，[10分]
即數(shù)列{an}有最大項(xiàng)，此時(shí)n＝9或n＝10.[12分]
方法二∵an＋1－an＝(n＋2)1011n＋1－(n＋1)1011n
＝1011n9－n11，[2分]
當(dāng)n9時(shí)，an＋1－an0，即an＋1an；
當(dāng)n＝9時(shí)，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
當(dāng)n9時(shí)，an＋1－an0，即an＋1an.[8分]
故a1a2a3…a9＝a10a11a12…，[10分]
∴數(shù)列{an}中有最大項(xiàng)，為第9、10項(xiàng)．[12分]
【突破思維障礙】
有關(guān)數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)，數(shù)列有界性問題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來解決，判斷單調(diào)性常用①作差法，②作商法，③圖象法．求最大項(xiàng)時(shí)也可用an滿足an≥an＋1an≥an－1；若求最小項(xiàng)，則用an滿足an≤an－1an≤an＋1.
數(shù)列實(shí)質(zhì)就是一種特殊的函數(shù)，所以本題就是用函數(shù)的思想求最值．
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
本題解題過程中易出現(xiàn)只解出a9這一項(xiàng)，而忽視了a9＝a10，從而導(dǎo)致漏解．
1．?dāng)?shù)列的遞推公式是研究的項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，而通項(xiàng)公式則是研究的項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系．
2．求數(shù)列的通項(xiàng)公式是本節(jié)的重點(diǎn)，主要掌握三種方法：(1)由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出一個(gè)通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是善于觀察；
(2)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an的關(guān)系，要注意驗(yàn)證能否統(tǒng)一到一個(gè)式子中；
(3)由遞推公式求通項(xiàng)公式，常用方法有累加、累乘．
3．本節(jié)易錯(cuò)點(diǎn)是利用Sn求an時(shí)，忘記討論n＝1的情況．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2010安徽)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2，則a8的值為()
A．15B．16C．49D．64
2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n3n＋1，那么這個(gè)數(shù)列是()
A．遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列
C．?dāng)[動(dòng)數(shù)列D．常數(shù)列
3．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2(an－1)，則a2等于()
A．4B．2C．1D．－2
4．(2011煙臺(tái)模擬)數(shù)列{an}中，若an＋1＝an2an＋1，a1＝1，則a6等于()
A．13B.113C．11D.111
5．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋an＋1＝12(n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S21為()
A．5B.72C.92D.132
題號(hào)12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＝2an0≤an12，2an－112≤an1，若a1＝67，則a2010的值為________．
7．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且有Sn＝n2＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝__________________.
8．(2011安慶月考)將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：
1
23
456
78910
1112131415
………………
根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第n(n≥3)行從左至右的第3個(gè)數(shù)是____________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．
(1)112，223，334，445，…；
(2)－1，32，－13，34，－15，36.

10．(12分)由下列數(shù)列{an}遞推公式求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：
(1)a1＝1，an－an－1＝n(n≥2)；
(2)a1＝1，anan－1＝n－1n(n≥2)；
(3)a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)．

11．(14分)(2009安徽)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2＋2n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝2－bn.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)cn＝a2nbn，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí)，cn＋1cn.

答案自主梳理
1．一定順序排列每一個(gè)數(shù)定義域?yàn)镹*(或它的子集)a1，a2，a3，…，an，…n
2.第n項(xiàng)n用一個(gè)公式3.解析法(通項(xiàng)公式或遞推公式)列表法圖象法4.有窮數(shù)列無窮數(shù)列遞增數(shù)列遞減數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列常數(shù)列＝5.S1Sn－Sn－1
自我檢測(cè)
1．C2.C3.C4.C
5.1n
課堂活動(dòng)區(qū)
例1解題導(dǎo)引(1)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求它的一個(gè)通項(xiàng)公式，要注意觀察每一項(xiàng)的特點(diǎn)，要使用添項(xiàng)、還原、分割等方法，轉(zhuǎn)化為一些常見數(shù)列的通項(xiàng)公式來求；
(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是不完全歸納法，它蘊(yùn)涵著“從特殊到一般”的思想，得出的結(jié)論不一定可靠，在解答題中一般應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
解(1)原數(shù)列為222－1，2×242－1，2×362－1，2×482－1，2×5102－1，…，
∴an＝2n(2n)2－1＝2n4n2－1.
(2)原數(shù)列為12，－42，92，－162，252，…，
∴an＝(－1)n＋1n22.
變式遷移1解(1)∵a1＝3＝21＋1，
a2＝5＝22＋1，a3＝9＝23＋1，…，
∴an＝2n＋1.
(2)將數(shù)列中各項(xiàng)統(tǒng)一成分母為2的分?jǐn)?shù)，得
12，42，92，162，252，…，
觀察知，各項(xiàng)的分子是對(duì)應(yīng)項(xiàng)數(shù)的平方，
∴數(shù)列通項(xiàng)公式是an＝n22.
(3)將數(shù)列各項(xiàng)統(tǒng)一成f(n)的形式得
2，5，8，11，…；
觀察知，數(shù)列各項(xiàng)的被開方數(shù)逐個(gè)增加3，且被開方數(shù)加1后，又變?yōu)?,6,9,12，…，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝3n－1.
(4)從奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)角度入手，可以得到分段形式的解析式，也可看作數(shù)列1,1,1,1，…和1，－1,1，－1，…對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加之和的一半組成的數(shù)列，也可用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的最值和零點(diǎn)值來調(diào)整表示．
所以an＝1，n＝1，3，5，…，0，n＝2，4，6，…，
或an＝1＋(－1)n＋12(n∈N*)，
或an＝sinnπ2或an＝sin2nπ2(n∈N*)，
或an＝cosn－12π(n∈N*)．
例2解題導(dǎo)引利用數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，一般有以下三種方法：
(1)累加法：如果已知數(shù)列{an}的相鄰兩項(xiàng)an＋1與an的差的一個(gè)關(guān)系式，我們可依次寫出前n項(xiàng)中所有相鄰兩項(xiàng)的差的關(guān)系式，然后把這n－1個(gè)式子相加，整理求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
(2)累積法：如果已知數(shù)列{an}的相鄰兩項(xiàng)an＋1與an的商的一個(gè)關(guān)系式，我們可依次寫出前n項(xiàng)中所有相鄰兩項(xiàng)的商的關(guān)系式，然后把這n－1個(gè)式子相乘，整理求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
(3)構(gòu)造法：根據(jù)所給數(shù)列的遞推公式以及其他有關(guān)關(guān)系式，進(jìn)行變形整理，構(gòu)造出一個(gè)新的等差或等比數(shù)列，利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解．
解(1)當(dāng)n＝1,2,3，…，n－1時(shí)，可得n－1個(gè)等式，an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n－2，…，a2－a1＝1，
將其相加，
得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)．
∴an＝a1＋(1＋n－1)(n－1)2＝2＋n(n－1)2.
(2)方法一an＝anan－1an－1an－2…a3a2a2a1a1
＝12n－112n－2…122121
＝121＋2＋…＋(n－1)＝12n(n－1)2，
∴an＝12n(n－1)2.
方法二由2n－1an＝an－1，
得an＝12n－1an－1.
∴an＝12n－1an－1
＝12n－112n－2an－2
＝12n－112n－2…121a1
＝12(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝12n(n－1)2
變式遷移2解(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴an＋1＋1an＋1＝3，
∴數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，
∴an＋1＝23n－1，∴an＝23n－1－1.
(2)∵an＋1＝(n＋1)an，∴an＋1an＝n＋1.
∴anan－1＝n，an－1an－2＝n－1，
……
a3a2＝3，
a2a1＝2，
a1＝1.
累乘可得，an＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！.
故an＝n！.
(3)∵an＋1＝an＋ln1＋1n，
∴an＋1－an＝ln1＋1n＝lnn＋1n.
∴an－an－1＝lnnn－1，
an－1－an－2＝lnn－1n－2，
……
a2－a1＝ln21，
累加可得，an－a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln21
＝lnn－ln(n－1)＋ln(n－1)－ln(n－2)＋…＋ln2－ln1
＝lnn.
又a1＝2，∴an＝lnn＋2.
例3解題導(dǎo)引an與Sn的關(guān)系式an＝Sn－Sn－1的條件是n≥2，求an時(shí)切勿漏掉n＝1，即a1＝S1的情況．一般地，當(dāng)a1＝S1適合an＝Sn－Sn－1時(shí)，則需統(tǒng)一“合寫”．當(dāng)a1＝S1不適合an＝Sn－Sn－1時(shí)，則通項(xiàng)公式應(yīng)分段表示，即an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.
解當(dāng)n＝1時(shí)，
a1＝S1＝2×12－3×1＋1＝0；
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋1)－2(n－1)2＋3(n－1)－1＝4n－5；
又n＝1時(shí)，an＝4×1－5＝－1≠a1，
∴an＝0，n＝1，4n－5，n≥2.
變式遷移3解(1)a1＝S1＝3＋b，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝23n－1.
當(dāng)b＝－1時(shí)，a1適合此等式；
當(dāng)b≠－1時(shí)，a1不適合此等式．
∴當(dāng)b＝－1時(shí)，an＝23n－1；
當(dāng)b≠－1時(shí)，an＝3＋b(n＝1)23n－1(n≥2).
(2)由2Sn＝an＋1，得Sn＝an＋122，
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝a1＋122，得a1＝1；
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1
＝an＋122－an－1＋122，
整理，得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
∵數(shù)列{an}各項(xiàng)為正，∴an＋an－10.
∴an－an－1－2＝0.
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
∴an＝a1＋(n－1)×2＝2n－1.
課后練習(xí)區(qū)
1．A2.A3.A4.D5.B
6.377.2(n＝1)2n－1(n≥2，n∈N*)8.n2－n＋62
9．解(1)∵a1＝1＋12，a2＝2＋23，a3＝3＋34，…，
∴an＝n＋nn＋1(n∈N*)．…………………………………………………………………(6分)
(2)∵a1＝－2－11，a2＝2＋12，a3＝－2－13，
a4＝2＋14，…，
∴an＝(－1)n2＋(－1)nn(n∈N*)．………………………………………………………(12分)
10．解(1)由題意得，an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…，a3－a2＝3，a2－a1＝2.
將上述各式等號(hào)兩邊累加得，
an－a1＝n＋(n－1)＋…＋3＋2，
即an＝n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝n(n＋1)2，
故an＝n(n＋1)2.……………………………………………………………………………(4分)
(2)由題意得，anan－1＝n－1n，an－1an－2＝n－2n－1，…，a3a2＝23，a2a1＝12.
將上述各式累乘得，ana1＝1n，故an＝1n.……………………………………………………(8分)
(3)由an＝2an－1＋1，
得an＋1＝2(an－1＋1)，
又a1＋1＝2≠0，所以an＋1an－1＋1＝2，
即數(shù)列{an＋1}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
所以an＋1＝2n，即an＝2n－1.…………………………………………………………(12分)
11．(1)解a1＝S1＝4.……………………………………………………………………(1分)
對(duì)于n≥2有an＝Sn－Sn－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n.a1也適合，
∴{an}的通項(xiàng)公式an＝4n.………………………………………………………………(3分)
將n＝1代入Tn＝2－bn，得b1＝2－b1，故T1＝b1＝1.………………………………(4分)
(求bn方法一)對(duì)于n≥2，由Tn－1＝2－bn－1，
Tn＝2－bn，得bn＝Tn－Tn－1＝－(bn－bn－1)，
∴bn＝12bn－1，bn＝21－n.……………………………………………………………………(6分)
(求bn方法二)對(duì)于n≥2，由Tn＝2－bn得
Tn＝2－(Tn－Tn－1)，
2Tn＝2＋Tn－1，Tn－2＝12(Tn－1－2)，
Tn－2＝21－n(T1－2)＝－21－n，
Tn＝2－21－n，
bn＝Tn－Tn－1＝(2－21－n)－(2－22－n)＝21－n.
b1＝1也適合．……………………………………………………………………………(6分)
綜上，{bn}的通項(xiàng)公式bn＝21－n.…………………………………………………………(8分)
(2)證明方法一由cn＝a2nbn＝n225－n，………………………………………………(10分)
得cn＋1cn＝121＋1n2.………………………………………………………………………(12分)
當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí)，1＋1n≤432，
∴cn＋1cn12(2)2＝1，又cn＝n225－n0，
即cn＋1cn.………………………………………………………………………………(14分)
方法二由cn＝a2nbn＝n225－n，
得cn＋1－cn＝24－n[(n＋1)2－2n2]
＝24－n[－(n－1)2＋2]．…………………………………………………………………(13分)
當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí)，cn＋1－cn0，即cn＋1cn.…………………………………………(14分)

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)拋物線學(xué)案附答案

學(xué)案53拋物線

導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.掌握拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).2.理解數(shù)形結(jié)合的思想．
自主梳理
1．拋物線的概念
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(Fl)距離______的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的__________，直線l叫做拋物線的________．
2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px
(p0)y2＝－2px
(p0)x2＝2py
(p0)x2＝－2py
(p0)
p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離
圖形

頂點(diǎn)O(0,0)
對(duì)稱軸y＝0x＝0
焦點(diǎn)F(p2，0)
F(－p2，0)
F(0，p2)
F(0，－p2)

離心率e＝1
準(zhǔn)線方程x＝－p2
x＝p2
y＝－p2
y＝p2

范圍x≥0，
y∈Rx≤0，
y∈Ry≥0，
x∈Ry≤0，
x∈R
開口方向向右向左向上向下

自我檢測(cè)
1．(2010四川)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是()
A．1B．2C．4D．8
2．若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)與橢圓x26＋y22＝1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為()
A．－2B．2C．－4D．4
3．(2011陜西)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x＝－2，則拋物線的方程是()
A．y2＝－8xB．y2＝8x
C．y2＝－4xD．y2＝4x
4．已知拋物線y2＝2px(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2＝x1＋x3，則有()
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|
B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2
C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|
D．|FP2|2＝|FP1||FP3|
5．(2011佛山模擬)已知拋物線方程為y2＝2px(p0)，過該拋物線焦點(diǎn)F且不與x軸垂直的直線AB交拋物線于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A、點(diǎn)B分別作AM、BN垂直于拋物線的準(zhǔn)線，分別交準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，那么∠MFN必是()
A．銳角B．直角
C．鈍角D．以上皆有可能
探究點(diǎn)一拋物線的定義及應(yīng)用
例1已知拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

變式遷移1已知點(diǎn)P在拋物線y2＝4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2，－1)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為()
A.14，－1B.14，1
C．(1,2)D．(1，－2)
探究點(diǎn)二求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
例2(2011蕪湖調(diào)研)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上一點(diǎn)M(m，－3)到焦點(diǎn)的距離為5，求m的值、拋物線方程和準(zhǔn)線方程．

變式遷移2根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)拋物線的焦點(diǎn)F是雙曲線16x2－9y2＝144的左頂點(diǎn)；
(2)過點(diǎn)P(2，－4)．

探究點(diǎn)三拋物線的幾何性質(zhì)
例3過拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)F的直線和拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，如圖所示．
(1)若A，B的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，求證：y1y2＝－p2；
(2)若直線AO與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)C，求證：BC∥x軸．

變式遷移3已知AB是拋物線y2＝2px(p0)的焦點(diǎn)弦，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．求證：
(1)x1x2＝p24；
(2)1|AF|＋1|BF|為定值．

分類討論思想的應(yīng)用
例(12分)過拋物線y2＝2px(p0)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，過B點(diǎn)作其準(zhǔn)線的垂線，垂足為D，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，問：是否存在實(shí)數(shù)λ，使AO→＝λOD→？
多角度審題這是一道探索存在性問題，應(yīng)先假設(shè)存在，設(shè)出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到D點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)出直線AB的方程，利用方程組和向量條件求出λ.
【答題模板】
解假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使AO→＝λOD→.
拋物線方程為y2＝2px(p0)，
則Fp2，0，準(zhǔn)線l：x＝－p2，
(1)當(dāng)直線AB的斜率不存在，即AB⊥x軸時(shí)，
交點(diǎn)A、B坐標(biāo)不妨設(shè)為：Ap2，p，Bp2，－p.
∵BD⊥l，∴D－p2，－p，
∴AO→＝－p2，－p，OD→＝－p2，－p，∴存在λ＝1使AO→＝λOD→.[4分]
(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線AB的方程為y＝kx－p2(k≠0)，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則D－p2，y2，x1＝y(tǒng)212p，x2＝y(tǒng)222p，
由y＝kx－p2y2＝2px得ky2－2py－kp2＝0，∴y1y2＝－p2，∴y2＝－p2y1，[8分]
AO→＝(－x1，－y1)＝－y212p，－y1，OD→＝－p2，y2＝－p2，－p2y1，
假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使AO→＝λOD→，則－y212p＝－p2λ－y1＝－p2y1λ，解得λ＝y(tǒng)21p2，∴存在實(shí)數(shù)λ＝y(tǒng)21p2，使AO→＝λOD→.
綜上所述，存在實(shí)數(shù)λ，使AO→＝λOD→.[12分]
【突破思維障礙】
由拋物線方程得其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，按斜率存在和不存在討論，由直線方程和拋物線方程組成方程組，研究A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，求出AO→和OD→的坐標(biāo)，判斷λ是否存在．
【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】
解答本題易漏掉討論直線AB的斜率不存在的情況，出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是對(duì)直線的點(diǎn)斜式方程認(rèn)識(shí)不足．
1．關(guān)于拋物線的定義
要注意點(diǎn)F不在定直線l上，否則軌跡不是拋物線，而是一條直線．
2．關(guān)于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種不同的形式，這四種標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系與區(qū)別在于：
(1)p的幾何意義：參數(shù)p是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以p恒為正數(shù)．
(2)方程右邊一次項(xiàng)的變量與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的名稱相同，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定拋物線的開口方向．
3．關(guān)于拋物線的幾何性質(zhì)
拋物線的幾何性質(zhì)，只要與橢圓、雙曲線加以對(duì)照，很容易把握，但由于拋物線的離心率等于1，所以拋物線的焦點(diǎn)弦具有很多重要性質(zhì)，而且應(yīng)用廣泛．例如：
已知過拋物線y2＝2px(p0)的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有下列性質(zhì)：|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝2psin2α(α為AB的傾斜角)，y1y2＝－p2，x1x2＝p24等．
(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011大綱全國(guó))已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線y＝2x－4與C交于A，B兩點(diǎn)，則cos∠AFB等于()
A.45B.35
C．－35D．－45
2．(2011湖北)將兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2＝2px(p0)上，另一個(gè)頂點(diǎn)是此拋物線焦點(diǎn)的正三角形個(gè)數(shù)記為n，則()
A．n＝0B．n＝1
C．n＝2D．n≥3
3．已知拋物線y2＝2px，以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系是()
A．相離B．相交C．相切D．不確定
4．(2011泉州月考)已知點(diǎn)A(－2,1)，y2＝－4x的焦點(diǎn)是F，P是y2＝－4x上的點(diǎn)，為使|PA|＋|PF|取得最小值，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是()
A.－14，1B．(－2,22)
C.－14，－1D．(－2，－22)
5．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，若OA→AF→＝－4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為()
A．(2，±2)B．(1，±2)
C．(1,2)D．(2，2)
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2011重慶)設(shè)圓C位于拋物線y2＝2x與直線x＝3所圍成的封閉區(qū)域(包含邊界)內(nèi)，則圓C的半徑能取到的最大值為________．
7．(2011濟(jì)寧期末)已知A、B是拋物線x2＝4y上的兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(2,2)，則|AB|＝________.
8．(2010浙江)設(shè)拋物線y2＝2px(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0，2)．若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上，則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為________．
三、解答題(共38分)
9．(12分)已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線截直線y＝2x＋1所得的弦長(zhǎng)為15，求拋物線方程．

10．(12分)(2011韶關(guān)模擬)已知拋物線C：x2＝8y.AB是拋物線C的動(dòng)弦，且AB過F(0,2)，分別以A、B為切點(diǎn)作軌跡C的切線，設(shè)兩切線交點(diǎn)為Q，證明：AQ⊥BQ.

11．(14分)(2011濟(jì)南模擬)已知定點(diǎn)F(0,1)和直線l1：y＝－1，過定點(diǎn)F與直線l1相切的動(dòng)圓圓心為點(diǎn)C.
(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；
(2)過點(diǎn)F的直線l2交軌跡C于兩點(diǎn)P、Q，交直線l1于點(diǎn)R，求RP→RQ→的最小值．

學(xué)案53拋物線
自主梳理
1．相等焦點(diǎn)準(zhǔn)線
自我檢測(cè)
1．C
2．B[因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為x＝－2，所以p2＝2，所以p＝4，所以拋物線的方程是y2＝8x.所以選B.]
3．B4.C5.B
課堂活動(dòng)區(qū)
例1解題導(dǎo)引重視定義在解題中的應(yīng)用，靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化，是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的重要途徑．
解
將x＝3代入拋物線方程
y2＝2x，得y＝±6.
∵62，∴A在拋物線內(nèi)部．
設(shè)拋物線上點(diǎn)P到準(zhǔn)線l：
x＝－12的距離為d，由定義知
|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，
當(dāng)PA⊥l時(shí)，|PA|＋d最小，最小值為72，
即|PA|＋|PF|的最小值為72，
此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，代入y2＝2x，得x＝2，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,2)．
變式遷移1A[
點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離，如圖，|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故最小值在S，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)取得，此時(shí)P，Q的縱坐標(biāo)都是－1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為14，－1.]
例2解題導(dǎo)引(1)求拋物線方程時(shí)，若由已知條件可知所求曲線是拋物線，一般用待定系數(shù)法．若由已知條件可知所求曲線的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，一般用軌跡法；
(2)待定系數(shù)法求拋物線方程時(shí)既要定位(即確定拋物線開口方向)，又要定量(即確定參數(shù)p的值)．解題關(guān)鍵是定位，最好結(jié)合圖形確定方程適合哪種形式，避免漏解；
(3)解決拋物線相關(guān)問題時(shí)，要善于用定義解題，即把|PF|轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，這種“化斜為直”的轉(zhuǎn)化方法非常有效，要注意領(lǐng)會(huì)和運(yùn)用．
解方法一設(shè)拋物線方程為
x2＝－2py(p0)，
則焦點(diǎn)為F0，－p2，準(zhǔn)線方程為y＝p2.
∵M(jìn)(m，－3)在拋物線上，且|MF|＝5，
∴m2＝6p，m2＋－3＋p22＝5，解得p＝4，m＝±26.
∴拋物線方程為x2＝－8y，m＝±26，
準(zhǔn)線方程為y＝2.
方法二如圖所示，
設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p0)，
則焦點(diǎn)F0，－p2，
準(zhǔn)線l：y＝p2，作MN⊥l，垂足為N.
則|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋p2，
∴3＋p2＝5，∴p＝4.∴拋物線方程為x2＝－8y，
準(zhǔn)線方程為y＝2.由m2＝(－8)×(－3)，得m＝±26.
變式遷移2解(1)雙曲線方程化為x29－y216＝1，
左頂點(diǎn)為(－3,0)，由題意設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p0)且－p2＝－3，∴p＝6.∴方程為y2＝－12x.
(2)由于P(2，－4)在第四象限且對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，可設(shè)方程為y2＝mx(m0)或x2＝ny(n0)，代入P點(diǎn)坐標(biāo)求得m＝8，n＝－1，
∴所求拋物線方程為y2＝8x或x2＝－y.
例3解題導(dǎo)引解決焦點(diǎn)弦問題時(shí)，拋物線的定義有著廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)．焦點(diǎn)弦有以下重要性質(zhì)(AB為焦點(diǎn)弦，以y2＝2px(p0)為例)：
①y1y2＝－p2，x1x2＝p24；
②|AB|＝x1＋x2＋p.
證明(1)方法一由拋物線的方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為Fp2，0.設(shè)過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)．
①當(dāng)斜率存在時(shí)，過焦點(diǎn)的直線方程可設(shè)為
y＝kx－p2，由y＝kx－p2，y2＝2px，
消去x，得ky2－2py－kp2＝0.(*)
當(dāng)k＝0時(shí)，方程(*)只有一解，∴k≠0，
由韋達(dá)定理，得y1y2＝－p2；
②當(dāng)斜率不存在時(shí)，得兩交點(diǎn)坐標(biāo)為
p2，p，p2，－p，∴y1y2＝－p2.
綜合兩種情況，總有y1y2＝－p2.
方法二由拋物線方程可得焦點(diǎn)Fp2，0，設(shè)直線AB的方程為x＝ky＋p2，并設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則A、B坐標(biāo)滿足x＝ky＋p2，y2＝2px，
消去x，可得y2＝2pky＋p2，
整理，得y2－2pky－p2＝0，∴y1y2＝－p2.
(2)直線AC的方程為y＝y(tǒng)1x1x，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為－p2，－py12x1，yC＝－py12x1＝－p2y12px1.
∵點(diǎn)A(x1，y1)在拋物線上，∴y21＝2px1.
又由(1)知，y1y2＝－p2，∴yC＝y(tǒng)1y2y1y21＝y(tǒng)2，∴BC∥x軸．
變式遷移3證明(1)∵y2＝2px(p0)的焦點(diǎn)Fp2，0，設(shè)直線方程為y＝kx－p2(k≠0)，
由y＝kx－p2y2＝2px，消去x，得ky2－2py－kp2＝0.
∴y1y2＝－p2，x1x2＝y(tǒng)1y224p2＝p24，
當(dāng)k不存在時(shí)，直線方程為x＝p2，這時(shí)x1x2＝p24.
因此，x1x2＝p24恒成立．
(2)1|AF|＋1|BF|＝1x1＋p2＋1x2＋p2
＝x1＋x2＋px1x2＋p2x1＋x2＋p24.
又∵x1x2＝p24，代入上式得1|AF|＋1|BF|＝2p＝常數(shù)，
所以1|AF|＋1|BF|為定值．
課后練習(xí)區(qū)
1．D[方法一由y＝2x－4，y2＝4x，得x＝1，y＝－2或x＝4，y＝4.
令B(1，－2)，A(4,4)，又F(1,0)，
∴由兩點(diǎn)間距離公式得|BF|＝2，|AF|＝5，|AB|＝35.
∴cos∠AFB＝|BF|2＋|AF|2－|AB|22|BF||AF|＝4＋25－452×2×5
＝－45.
方法二由方法一得A(4,4)，B(1，－2)，F(xiàn)(1,0)，
∴FA→＝(3,4)，F(xiàn)B→＝(0，－2)，
∴|FA→|＝32＋42＝5，|FB→|＝2.
∴cos∠AFB＝FA→FB→|FA→||FB→|＝3×0＋4×－25×2＝－45.]
2．C[
如圖所示，A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為(p2，0)，設(shè)A(m，2pm)(m0)，則由拋物線定義，
|AF|＝|AA1|，
即m＋p2＝|AF|.
又|AF|＝|AB|＝22pm，
∴m＋p2＝22pm，整理，得m2－7pm＋p24＝0，①
∴Δ＝(－7p)2－4×p24＝48p20，
∴方程①有兩相異實(shí)根，記為m1，m2，且m1＋m2＝7p0，m1m2＝p240，
∴m10，m20，∴n＝2.]
3．C
4．A[過P作PK⊥l(l為拋物線的準(zhǔn)線)于K，則|PF|＝|PK|，
∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PK|.
∴當(dāng)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)與A點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同時(shí)，|PA|＋|PK|最小，此時(shí)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，把y＝1代入y2＝－4x，得x＝－14，即當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為－14，1時(shí)，|PA|＋|PF|最小．]
5．B
6.6－1
解析如圖所示，若圓C的半徑取到最大值，需圓與拋物線及直線x＝3同時(shí)相切，設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,0)(a3)，則圓的方程為(x－a)2＋y2＝(3－a)2，與拋物線方程y2＝2x聯(lián)立得x2＋(2－2a)x＋6a－9＝0，由判別式Δ＝(2－2a)2－4(6a－9)＝0，得a＝4－6，故此時(shí)半徑為3－(4－6)＝6－1.
7．42
解析由題意可設(shè)AB的方程為y＝kx＋m，與拋物線方程聯(lián)立得x2－4kx－4m＝0，線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)，x1＋x2＝4k＝4，得k＝1.
又∵y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝4，
∴m＝0.從而直線AB：y＝x，|AB|＝2|OM|＝42.
8.324
解析拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為p2，0，線段FA的中點(diǎn)B的坐標(biāo)為p4，1，代入拋物線方程得1＝2p×p4，解得p＝2，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為24，1，故點(diǎn)B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為24＋22＝324.
9．解設(shè)直線和拋物線交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
(1)當(dāng)拋物線開口向右時(shí)，設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p0)，則y2＝2pxy＝2x＋1，消去y得，
4x2－(2p－4)x＋1＝0，
∴x1＋x2＝p－22，x1x2＝14，(4分)
∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|
＝5x1＋x22－4x1x2
＝5p－222－4×14＝15，(7分)
則p24－p＝3，p2－4p－12＝0，解得p＝6(p＝－2舍去)，
拋物線方程為y2＝12x.(9分)
(2)當(dāng)拋物線開口向左時(shí)，設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p0)，仿(1)不難求出p＝2，
此時(shí)拋物線方程為y2＝－4x.(11分)
綜上可得，
所求的拋物線方程為y2＝－4x或y2＝12x.(12分)
10．證明因?yàn)橹本€AB與x軸不垂直，
設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由y＝kx＋2，y＝18x2，
可得x2－8kx－16＝0，x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.(4分)
拋物線方程為y＝18x2，求導(dǎo)得y′＝14x.(7分)
所以過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線斜率分別是
k1＝14x1，k2＝14x2，k1k2＝14x114x2
＝116x1x2＝－1.(10分)
所以AQ⊥BQ.(12分)
11．解(1)由題設(shè)點(diǎn)C到點(diǎn)F的距離等于它到l1的距離，
所以點(diǎn)C的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l1為準(zhǔn)線的拋物線，
∴所求軌跡的方程為x2＝4y.(5分)
(2)由題意直線l2的方程為y＝kx＋1，與拋物線方程聯(lián)立消去y得x2－4kx－4＝0.
記P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.(8分)
因?yàn)橹本€PQ的斜率k≠0，易得點(diǎn)R的坐標(biāo)為－2k，－1.(9分)
RP→RQ→＝x1＋2k，y1＋1x2＋2k，y2＋1
＝x1＋2kx2＋2k＋(kx1＋2)(kx2＋2)
＝(1＋k2)x1x2＋2k＋2k(x1＋x2)＋4k2＋4
＝－4(1＋k2)＋4k2k＋2k＋4k2＋4
＝4k2＋1k2＋8，(11分)
∵k2＋1k2≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k2＝1時(shí)取到等號(hào)．
RP→RQ→≥4×2＋8＝16，即RP→RQ→的最小值為16.(14分)