高中數(shù)列教案

第十四章極限與導(dǎo)數(shù)(高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準教材)。

第十四章極限與導(dǎo)數(shù)

一、基礎(chǔ)知識
1．極限定義：（1）若數(shù)列{un}滿足，對任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)m，當(dāng)nm且n∈N時，恒有|un-A|ε成立（A為常數(shù)），則稱A為數(shù)列un當(dāng)n趨向于無窮大時的極限，記為，另外=A表示x大于x0且趨向于x0時f(x)極限為A，稱右極限。類似地表示x小于x0且趨向于x0時f(x)的左極限。
2．極限的四則運算：如果f(x)=a,g(x)=b，那么[f(x)±g(x)]=a±b,[f(x)g(x)]=ab,
3.連續(xù)：如果函數(shù)f(x)在x=x0處有定義，且f(x)存在，并且f(x)=f(x0)，則稱f(x)在x=x0處連續(xù)。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5．導(dǎo)數(shù)：若函數(shù)f(x)在x0附近有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得一個增量Δx時（Δx充分小），因變量y也隨之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若存在，則稱f(x)在x0處可導(dǎo)，此極限值稱為f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)（或變化率），記作(x0)或或，即。由定義知f(x)在點x0連續(xù)是f(x)在x0可導(dǎo)的必要條件。若f(x)在區(qū)間I上有定義，且在每一點可導(dǎo)，則稱它在此敬意上可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：f(x)在點x0處導(dǎo)數(shù)(x0)等于曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處切線的斜率。
6．幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）=0（c為常數(shù)）；（2）（a為任意常數(shù)）；（3）(4);(5);(6);（7）；（8）
7．導(dǎo)數(shù)的運算法則：若u(x),v(x)在x處可導(dǎo)，且u(x)≠0,則
（1）；（2）；（3）（c為常數(shù)）；（4）；（5）。
8．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)函數(shù)y=f(u),u=(x)，已知(x)在x處可導(dǎo)，f(u)在對應(yīng)的點u(u=(x))處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[(x)]在點x處可導(dǎo)，且（f[(x)]=.
9.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)：（1）若f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f(x)在I上連續(xù)；（2）若對一切x∈(a,b)有，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞增；（3）若對一切x∈(a,b)有，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞減。
10．極值的必要條件：若函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，則
11.極值的第一充分條件：設(shè)f(x)在x0處連續(xù)，在x0鄰域(x0-δ,x0+δ)內(nèi)可導(dǎo)，（1）若當(dāng)x∈(x-δ,x0)時，當(dāng)x∈(x0,x0+δ)時，則f(x)在x0處取得極小值；（2）若當(dāng)x∈(x0-δ，x0)時，當(dāng)x∈(x0,x0+δ)時，則f(x)在x0處取得極大值。
12．極值的第二充分條件：設(shè)f(x)在x0的某領(lǐng)域(x0-δ,x0+δ)內(nèi)一階可導(dǎo)，在x=x0處二階可導(dǎo)，且。（1）若，則f(x)在x0處取得極小值；（2）若，則f(x)在x0處取得極大值。
13．羅爾中值定理：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則存在ξ∈(a,b)，使
[證明]若當(dāng)x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，則對任意x∈(a,b)，.若當(dāng)x∈(a,b)時，f(x)≠f(a)，因為f(x)在[a,b]上連續(xù)，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一個不等于f(a)，不妨設(shè)最大值mf(a)且f(c)=m，則c∈(a,b)，且f(c)為最大值，故，綜上得證。
14．Lagrange中值定理：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，則存在ξ∈(a,b)，使
[證明]令F(x)=f(x)-,則F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使=0，即
15．曲線凸性的充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，（1）如果對任意x∈I,,則曲線y=f(x)在I內(nèi)是下凸的；（2）如果對任意x∈I,,則y=f(x)在I內(nèi)是上凸的。通常稱上凸函數(shù)為凸函數(shù)，下凸函數(shù)為凹函數(shù)。
16．琴生不等式：設(shè)α1,α2,…,αn∈R+，α1+α2+…+αn=1。（1）若f(x)是[a,b]上的凸函數(shù)，則x1,x2,…,xn∈[a,b]有f(a1x1+a2x2+…+anxn)≤a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn).
二、方法與例題
1．極限的求法。
例1求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）
[解]（1）=；
（2）當(dāng)a1時，
當(dāng)0a1時，
當(dāng)a=1時，
（3）因為
而
所以
（4）
例2求下列極限：（1）(1+x)(1+x2)(1+)…(1+)(|x|1)；
（2）；（3）。
[解]（1）(1+x)(1+x2)(1+)…(1+)
=
（2）
=
（3）
=
2．連續(xù)性的討論。
例3設(shè)f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)有定義，且恒滿足f(x+1)=2f(x)，又當(dāng)x∈[0,1)時，f(x)=x(1-x)2，試討論f(x)在x=2處的連續(xù)性。
[解]當(dāng)x∈[0,1)時，有f(x)=x(1-x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t，則x=t-1，當(dāng)x∈[1,2)時，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因為t-1∈[0,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,從而t∈[1,2)時,有f(t)=2(t-1)(2-t)2；同理，當(dāng)x∈[1,2)時，令x+1=t，則當(dāng)t∈[2,3)時，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.從而f(x)=所以
，所以f(x)=f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2處連續(xù)。
3．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程。
[解]因為點(2,0)不在曲線上，設(shè)切點坐標(biāo)為(x0,y0)，則，切線的斜率為，所以切線方程為y-y0=，即。又因為此切線過點（2,0），所以，所以x0=1，所以所求的切線方程為y=-(x-2)，即x+y-2=0.
4．導(dǎo)數(shù)的計算。
例5求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y=sin(3x+1)；（2）；（3）y=ecos2x；（4）；（5）y=(1-2x)x(x0且)。
[解]（1）3cos(3x+1).
(2)
（3）
（4）
（5）
5．用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。
例6設(shè)a0，求函數(shù)f(x)=-ln(x+a)(x∈(0,+∞))的單調(diào)區(qū)間。
[解]，因為x0,a0，所以x2+(2a-4)x+a20；x2+(2a-4)x+a+0.
（1）當(dāng)a1時，對所有x0，有x2+(2a-4)x+a20，即(x)0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)a=1時，對x≠1,有x2+(2a-4)x+a20，即，所以f(x)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）內(nèi)遞增，又f(x)在x=1處連續(xù)，因此f(x)在(0,+∞)內(nèi)遞增；（3）當(dāng)0a1時，令，即x2+(2a-4)x+a20，解得x2-a-或x2-a+，因此，f(x)在(0,2-a-)內(nèi)單調(diào)遞增，在(2-a+,+∞)內(nèi)也單調(diào)遞增，而當(dāng)2-a-x2-a+時，x2+(2a-4)x+a20，即，所以f(x)在(2-a-,2-a+)內(nèi)單調(diào)遞減。
6．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式。
例7設(shè)，求證：sinx+tanx2x.
[證明]設(shè)f(x)=sinx+tanx-2x，則=cosx+sec2x-2，當(dāng)時，（因為0cosx1），所以=cosx+sec2x-2=cosx+.又f(x)在上連續(xù)，所以f(x)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈時，f(x)f(0)=0，即sinx+tanx2x.
7.利用導(dǎo)數(shù)討論極值。
例8設(shè)f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2處都取得極值，試求a與b的值，并指出這時f(x)在x1與x2處是取得極大值還是極小值。
[解]因為f(x)在(0,+∞)上連續(xù)，可導(dǎo)，又f(x)在x1=1，x2=2處取得極值，所以，又+2bx+1，所以解得
所以.
所以當(dāng)x∈(0,1)時，，所以f(x)在(0,1]上遞減；
當(dāng)x∈(1,2)時，，所以f(x)在[1，2]上遞增；
當(dāng)x∈(2,+∞)時，，所以f(x)在[2，+∞）上遞減。
綜上可知f(x)在x1=1處取得極小值，在x2=2處取得極大值。
例9設(shè)x∈[0,π],y∈[0,1]，試求函數(shù)f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。
[解]首先，當(dāng)x∈[0,π],y∈[0,1]時，
f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x=(1-y)2x，令g(x)=,
當(dāng)時，因為cosx0,tanxx，所以；
當(dāng)時，因為cosx0,tanx0,x-tanx0，所以；
又因為g(x)在(0,π)上連續(xù)，所以g(x)在(0,π)上單調(diào)遞減。
又因為0(1-y)xxπ，所以g[(1-y)x]g(x)，即，
又因為，所以當(dāng)x∈(0,π),y∈(0,1)時，f(x,y)0.
其次，當(dāng)x=0時，f(x,y)=0；當(dāng)x=π時，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π≥0.
當(dāng)y=1時，f(x,y)=-sinx+sinx=0；當(dāng)y=1時，f(x,y)=sinx≥0.
綜上，當(dāng)且僅當(dāng)x=0或y=0或x=π且y=1時，f(x,y)取最小值0。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．=_________.
2．已知，則a-b=_________.
3．_________.
4．_________.
5．計算_________.
6．若f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù)，且存在，則_________.
7．函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上可導(dǎo)，且，則_________.
8．若曲線f(x)=x4-x在點P處的切線平行于直線3x-y=0，則點P坐標(biāo)為_________.
9．函數(shù)f(x)=x-2sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是_________.
10．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_________.
11．若曲線在點處的切線的斜率為，求實數(shù)a.
12.求sin290的近似值。
13．設(shè)0ba,求證：
四、高考水平練習(xí)題
1．計算=_________.
2．計算_________.
3．函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7的單調(diào)遞增區(qū)間是_________.。
4．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是_________.
5．函數(shù)f(x)在x0鄰域內(nèi)可導(dǎo)，a,b為實常數(shù)，若，則_________.
6．函數(shù)f(x)=ex(sinx+cosx),x的值域為_________.
7．過拋物線x2=2py上一點(x0,y0)的切線方程為_________.
8．當(dāng)x0時，比較大小：ln(x+1)_________x.
9.函數(shù)f(x)=x5-5x4+5x3+1,x∈[-1,2]的最大值為_________，最小值為_________.
10．曲線y=e-x(x≥0)在點M(t,e-t)處的切線l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S(t)，則S(t)的最大值為_________.
11．若x0，求證：(x2-1)lnx≥(x-1)2.
12．函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)可導(dǎo)。導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，且0，x0∈(0,+∞).y=kx+m是曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線方程，另設(shè)g(x)=kx+m，（1）用x0,f(x0),表示m；（2）證明：當(dāng)x∈(0,+∞)時，g(x)≥f(x)；（3）若關(guān)于x的不等式x2+1≥ax+b≥在(0,+∞)上恒成立，其中a,b為實數(shù)，求b的取值范圍及a,b所滿足的關(guān)系。
13.設(shè)各項為正的無窮數(shù)列{xn}滿足lnxn+,證明：xn≤1(n∈N+).
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．設(shè)Mn={（十進制）n位純小數(shù)0只取0或1（i=1,2,…,n-1），an=1}，Tn是Mn中元素的個數(shù)，Sn是Mn中所有元素的和，則_________.
2．若(1-2x)9展開式的第3項為288，則_________.
3．設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x0時，
，且g(-3)=0，則不等式f(x)g(x)0的解集為_________.
4．曲線與的交點處的切線夾角是_________.
5．已知a∈R+，函數(shù)f(x)=x2eax的單調(diào)遞增區(qū)間為_________.
6．已知在(a,3-a2)上有最大值，則a的取值范圍是_________.
7．當(dāng)x∈(1,2]時，f(x)=恒成立，則y=lg(a2-a+3)的最小值為_________.
8．已知f(x)=ln(ex+a)(a0)，若對任意x∈[ln(3a),ln(4a)]，不等式|m-f-1(x)|+ln[]0恒成立，則實數(shù)m取值范圍是_________.
9.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,（1）求函數(shù)f(x)的最大值；（2）設(shè)0ab，證明：0g(a)+g(b)-(b-a)ln2.
10.(1)設(shè)函數(shù)f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x)(0x1)，求f(x)的最小值；（2）設(shè)正數(shù)p1,p2,…,滿足p1+p2+p3+…+=1，求證：p1log2p1+p2log2p2+…+log2≥-n.
11.若函數(shù)gA(x)的定義域A=[a,b)，且gA(x)=,其中a,b為任意的正實數(shù)，且ab，（1）求gA(x)的最小值；
（2）討論gA(x)的單調(diào)性；
（3）若x1∈Ik=[k2,(k+1)2],x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2]，證明：
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．證明下列不等式：（1）；
（2）。
2．當(dāng)0a≤b≤c≤d時，求f(a,b,c,d)=的最小值。
3．已知x,y∈(0,1)求證：xy+yx1.
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第十三章排列組合與概率(高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準教材)

第十三章排列組合與概率

一、基礎(chǔ)知識
1．加法原理：做一件事有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事一共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法。
2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n個步驟，第1步有m1種不同的方法，第2步有m2種不同的方法，……，第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法。
3．排列與排列數(shù)：從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，從n個不同元素中取出m個(m≤n)元素的所有排列個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用表示，=n(n-1)…(n-m+1)=,其中m,n∈N,m≤n,
注：一般地=1，0！=1，=n!。
4．N個不同元素的圓周排列數(shù)為=(n-1)!。
5．組合與組合數(shù)：一般地，從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合，即從n個不同元素中不計順序地取出m個構(gòu)成原集合的一個子集。從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用表示：
6．組合數(shù)的基本性質(zhì)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。
7．定理1：不定方程x1+x2+…+xn=r的正整數(shù)解的個數(shù)為。
[證明]將r個相同的小球裝入n個不同的盒子的裝法構(gòu)成的集合為A，不定方程x1+x2+…+xn=r的正整數(shù)解構(gòu)成的集合為B，A的每個裝法對應(yīng)B的唯一一個解，因而構(gòu)成映射，不同的裝法對應(yīng)的解也不同，因此為單射。反之B中每一個解(x1,x2,…,xn),將xi作為第i個盒子中球的個數(shù)，i=1,2,…,n，便得到A的一個裝法，因此為滿射，所以是一一映射，將r個小球從左到右排成一列，每種裝法相當(dāng)于從r-1個空格中選n-1個，將球分n份，共有種。故定理得證。
推論1不定方程x1+x2+…+xn=r的非負整數(shù)解的個數(shù)為
推論2從n個不同元素中任取m個允許元素重復(fù)出現(xiàn)的組合叫做n個不同元素的m可重組合，其組合數(shù)為
8．二項式定理：若n∈N+,則(a+b)n=.其中第r+1項Tr+1=叫二項式系數(shù)。
9．隨機事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機事件。在大量重復(fù)進行同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個常數(shù)，在它附近擺動，這個常數(shù)叫做事件A發(fā)生的概率，記作p(A),0≤p(A)≤1.
10.等可能事件的概率，如果一次試驗中共有n種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中事件A包含的結(jié)果有m種，那么事件A的概率為p(A)=
11.互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么A1，A2，…，An中至少有一個發(fā)生的概率為
p(A1+A2+…+An)=p(A1)+p(A2)+…+p(An).
12．對立事件：事件A，B為互斥事件，且必有一個發(fā)生，則A，B叫對立事件，記A的對立事件為。由定義知p(A)+p()=1.
13．相互獨立事件：事件A（或B）是否發(fā)生對事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。
14．相互獨立事件同時發(fā)生的概率：兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積。即p(AB)=p(A)p(B).若事件A1，A2，…，An相互獨立,那么這n個事件同時發(fā)生的概率為p(A1A2…An)=p(A1)p(A2)…p(An).
15.獨立重復(fù)試驗:若n次重復(fù)試驗中,每次試驗結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗的結(jié)果,則稱這n次試驗是獨立的.
16.獨立重復(fù)試驗的概率:如果在一次試驗中,某事件發(fā)生的概率為p,那么在n次獨立重復(fù)試驗中,這個事件恰好發(fā)生k次的概率為pn(k)=pk(1-p)n-k.
17．離散型隨機為量的分布列：如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫隨機變量，例如一次射擊命中的環(huán)數(shù)ξ就是一個隨機變量，ξ可以取的值有0,1,2,…,10。如果隨機變量的可能取值可以一一列出，這樣的隨機變量叫離散型隨機變量。
一般地，設(shè)離散型隨機變量ξ可能取的值為x1,x2,…,xi,…,ξ取每一個值xi(i=1,2,…)的概率p(ξ=xi)=pi，則稱表
ξx1x2x3…xi…
pp1p2p3…pi…
為隨機變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列，稱Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望或平均值、均值、簡稱期望，稱Dξ=(x1-Eξ)2p1+(x2-Eξ)2p2+…+(xn-Eξ)2pn+…為ξ的均方差，簡稱方差。叫隨機變量ξ的標(biāo)準差。
18．二項分布：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復(fù)試驗中，這個事件恰好發(fā)生k次的概率為p(ξ=k)=,ξ的分布列為
ξ01…xi…N
p
…
…

此時稱ξ服從二項分布，記作ξ～B(n,p).若ξ～B(n,p)，則Eξ=np,Dξ=npq,以上q=1-p.
19.幾何分布：在獨立重復(fù)試驗中，某事件第一次發(fā)生時所做試驗的次數(shù)ξ也是一個隨機變量，若在一次試驗中該事件發(fā)生的概率為p，則p(ξ=k)=qk-1p(k=1,2,…)，ξ的分布服從幾何分布，Eξ=，Dξ=(q=1-p).
二、方法與例題
1．乘法原理。
例1有2n個人參加收發(fā)電報培訓(xùn)，每兩個人結(jié)為一對互發(fā)互收，有多少種不同的結(jié)對方式？
[解]將整個結(jié)對過程分n步，第一步，考慮其中任意一個人的配對者，有2n-1種選則；這一對結(jié)好后，再從余下的2n-2人中任意確定一個。第二步考慮他的配對者，有2n-3種選擇，……這樣一直進行下去，經(jīng)n步恰好結(jié)n對，由乘法原理，不同的結(jié)對方式有
(2n-1)×(2n-3)×…×3×1=
2．加法原理。
例2圖13-1所示中沒有電流通過電流表，其原因僅因為電阻斷路的可能性共有幾種？
[解]斷路共分4類：1）一個電阻斷路，有1種可能，只能是R4；2）有2個電阻斷路，有-1=5種可能；3）3個電阻斷路，有=4種；4）有4個電阻斷路，有1種。從而一共有1+5+4+1=11種可能。
3．插空法。
例310個節(jié)目中有6個演唱4個舞蹈，要求每兩個舞蹈之間至少安排一個演唱，有多少種不同的安排節(jié)目演出順序的方式？
[解]先將6個演唱節(jié)目任意排成一列有種排法，再從演唱節(jié)目之間和前后一共7個位置中選出4個安排舞蹈有種方法，故共有=604800種方式。
4．映射法。
例4如果從1，2，…，14中，按從小到大的順序取出a1,a2,a3使同時滿足：a2-a1≥3,a3-a2≥3，那么所有符合要求的不同取法有多少種？
[解]設(shè)S={1,2,…,14}，={1，2，…，10}；T={(a1,a2,a3)|a1,a2,a3∈S,a2-a1≥3,a3-a2≥3},={()∈},若，令，則(a1,a2,a3)∈T,這樣就建立了從到T的映射，它顯然是單射，其次若(a1,a2,a3)∈T,令，則，從而此映射也是滿射，因此是一一映射，所以|T|==120，所以不同取法有120種。
5．貢獻法。
例5已知集合A={1，2，3，…，10}，求A的所有非空子集的元素個數(shù)之和。
[解]設(shè)所求的和為x，因為A的每個元素a，含a的A的子集有29個，所以a對x的貢獻為29，又|A|=10。所以x=10×29.
[另解]A的k元子集共有個，k=1,2,…,10，因此，A的子集的元素個數(shù)之和為10×29。
6．容斥原理。
例6由數(shù)字1，2，3組成n位數(shù)(n≥3)，且在n位數(shù)中，1，2，3每一個至少出現(xiàn)1次，問：這樣的n位數(shù)有多少個？
[解]用I表示由1，2，3組成的n位數(shù)集合，則|I|=3n，用A1，A2，A3分別表示不含1，不含2，不含3的由1，2，3組成的n位數(shù)的集合，則|A1|=|A2|=|A3|=2n，|A1A2|=|A2A3|=|A1A3|=1。|A1A2A3|=0。
所以由容斥原理|A1A2A3|==3×2n-3.所以滿足條件的n位數(shù)有|I|-|A1A2A3|=3n-3×2n+3個。
7．遞推方法。
例7用1，2，3三個數(shù)字來構(gòu)造n位數(shù)，但不允許有兩個緊挨著的1出現(xiàn)在n位數(shù)中，問：能構(gòu)造出多少個這樣的n位數(shù)？
[解]設(shè)能構(gòu)造an個符合要求的n位數(shù)，則a1=3，由乘法原理知a2=3×3-1=8.當(dāng)n≥3時：1）如果n位數(shù)的第一個數(shù)字是2或3，那么這樣的n位數(shù)有2an-1；2）如果n位數(shù)的第一個數(shù)字是1，那么第二位只能是2或3，這樣的n位數(shù)有2an-2，所以an=2(an-1+an-2)(n≥3).這里數(shù)列{an}的特征方程為x2=2x+2，它的兩根為x1=1+,x2=1-,故an=c1(1+)n+c2(1+)n,由a1=3,a2=8得，所以
8．算兩次。
例8m,n,r∈N+，證明：①
[證明]從n位太太與m位先生中選出r位的方法有種；另一方面，從這n+m人中選出k位太太與r-k位先生的方法有種，k=0,1,…,r。所以從這n+m人中選出r位的方法有種。綜合兩個方面，即得①式。
9．母函數(shù)。
例9一副三色牌共有32張，紅、黃、藍各10張，編號為1，2，…，10，另有大、小王各一張，編號均為0。從這副牌中任取若干張牌，按如下規(guī)則計算分值：每張編號為k的牌計為2k分，若它們的分值之和為2004，則稱這些牌為一個“好牌”組，求好牌組的個數(shù)。
[解]對于n∈{1,2,…,2004},用an表示分值之和為n的牌組的數(shù)目，則an等于函數(shù)f(x)=(1+)2(1+)3…(1+)3的展開式中xn的系數(shù)（約定|x|1），由于f(x)=[(1+)(1+)…(1+)]3=3=3。
而0≤2004211，所以an等于的展開式中xn的系數(shù)，又由于==(1+x2+x3+…+x2k+…)[1+2x+3x2+…+(2k+1)x2k+…],所以x2k在展開式中的系數(shù)為a2k=1+3+5++(2k+1)=(k+1)2,k=1,2,…,從而，所求的“好牌”組的個數(shù)為a2004=10032=1006009.
10．組合數(shù)的性質(zhì)。
例10證明：是奇數(shù)(k≥1).
[證明]=令i=pi(1≤i≤k)，pi為奇數(shù)，則，它的分子、分母均為奇數(shù)，因是整數(shù)，所以它只能是若干奇數(shù)的積，即為奇數(shù)。
例11對n≥2,證明：
[證明]1）當(dāng)n=2時，22=642；2）假設(shè)n=k時，有2k4k,當(dāng)n=k+1時，因為
又4，所以2k+1.
所以結(jié)論對一切n≥2成立。
11．二項式定理的應(yīng)用。
例12若n∈N,n≥2，求證：
[證明]首先其次因為，所以2+得證。
例13證明：
[證明]首先，對于每個確定的k，等式左邊的每一項都是兩個組合數(shù)的乘積，其中是(1+x)n-k的展開式中xm-h的系數(shù)。是(1+y)k的展開式中yk的系數(shù)。從而就是(1+x)n-k(1+y)k的展開式中xm-hyh的系數(shù)。
于是，就是展開式中xm-hyh的系數(shù)。
另一方面，===(xk-1+xk-2y+…+yk-1)，上式中，xm-hyh項的系數(shù)恰為。
所以
12．概率問題的解法。
例14如果某批產(chǎn)品中有a件次品和b件正品，采用有放回的抽樣方式從中抽取n件產(chǎn)品，問：恰好有k件是次品的概率是多少？
[解]把k件產(chǎn)品進行編號，有放回抽n次，把可能的重復(fù)排列作為基本事件，總數(shù)為(a+b)n（即所有的可能結(jié)果）。設(shè)事件A表示取出的n件產(chǎn)品中恰好有k件是次品，則事件A所包含的基本事件總數(shù)為akbn-k，故所求的概率為p(A)=
例15將一枚硬幣擲5次，正面朝上恰好一次的概率不為0，而且與正面朝上恰好兩次的概率相同，求恰好三次正面朝上的概率。
[解]設(shè)每次拋硬幣正面朝上的概率為p，則擲5次恰好有k次正面朝上的概率為(1-p)5-k(k=0,1,2,…,5)，由題設(shè)，且0p1，化簡得，所以恰好有3次正面朝上的概率為
例16甲、乙兩個乒乓球運動員進行乒乓球比賽，已知每一局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，比賽時可以用三局二勝或五局三勝制，問：在哪一種比賽制度下，甲獲勝的可能性大？
[解]（1）如果采用三局兩勝制，則甲在下列兩種情況下獲勝：A1—2：0（甲凈勝二局），A2—2：1（前二局甲一勝一負，第三局甲勝）.p(A1)=0.6×0.6=0.36,p(A2)=×0.6×0.4×0.6=0.288.
因為A1與A2互斥，所以甲勝概率為p(A1+A2)=0.648.
(2)如果采用五局三勝制，則甲在下列三種情況下獲勝：B1—3：0（甲凈勝3局），B2—3：1（前3局甲2勝1負，第四局甲勝），B3—3：2（前四局各勝2局，第五局甲勝）。因為B1，B2，B2互斥，所以甲勝概率為p(B1+B2+B3)=p(B1)+p(B2)+p(B3)=0.63+×0.62×0.4×0.6+×0.62×0.42×0.6=0.68256.
由（1），（2）可知在五局三勝制下，甲獲勝的可能性大。
例17有A，B兩個口袋，A袋中有6張卡片，其中1張寫有0，2張寫有1，3張寫有2；B袋中有7張卡片，其中4張寫有0，1張寫有1，2張寫有2。從A袋中取出1張卡片，B袋中取2張卡片，共3張卡片。求：（1）取出3張卡片都寫0的概率；（2）取出的3張卡片數(shù)字之積是4的概率；（3）取出的3張卡片數(shù)字之積的數(shù)學(xué)期望。
[解]（1）；（2）；（3）記ξ為取出的3張卡片的數(shù)字之積，則ξ的分布為
ξ0248
p

所以
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．三邊長均為整數(shù)且最大邊長為11的三角形有_________個。
2．在正2006邊形中，當(dāng)所有邊均不平行的對角線的條數(shù)為_________。
3．用1，2，3，…，9這九個數(shù)字可組成_________個數(shù)字不重復(fù)且8和9不相鄰的七位數(shù)。
4．10個人參加乒乓球賽，分五組，每組兩個人有_________種分組方法。
5．以長方體的頂點為頂點的三棱錐的個數(shù)是_________。
6．今天是星期二，再過101000天是星期_________。
7．由展開式所得的x的多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的共有_________項。
8．如果凸n邊形(n≥4)的任意三條對角線不共點，那么這些對角線在凸n邊形內(nèi)共有_________個交點。
9．袋中有a個黑球與b個白球，隨機地每次從中取出一球（不放回），第k(1≤k≤a+b)次取到黑球的概率為_________。
10．一個箱子里有9張卡片，分別標(biāo)號為1，2，…，9，從中任取2張，其中至少有一個為奇數(shù)的概率是_________。
11．某人拿著5把鑰匙去開門，有2把能打開。他逐個試，試三次之內(nèi)打開房門的概率是_________。
12．馬路上有編號為1，2，3，…，10的十盞路燈，要將其中三盞關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，則滿足條件的關(guān)燈方法種數(shù)是_________。
13．a(chǎn),b,c,d,e五個人安排在一個圓桌周圍就坐，若a,b不相鄰有_________種安排方式。
14．已知i,m,n是正整數(shù)，且1i≤m≤n。證明：（1）；（2）(1+m)n(1+n)m.
15.一項“過關(guān)游戲”規(guī)定：在第n關(guān)要拋擲一顆骰子n次，如果這n次拋擲所得到的點數(shù)之和大于2n，則算過關(guān)。問：（1）某人在這項游戲中最多能過幾關(guān)？（2）他連過前三關(guān)的概率是多少？（注：骰子是一個在各面上分別有1，2，3，4，5，6點數(shù)的均勻正方體）
四、高考水平訓(xùn)練題
1．若n∈{1,2,…,100}且n是其各位數(shù)字和的倍數(shù)，則這種n有__________個。
2．從{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任取3個不同元素作為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)，能組成過原點，且頂點在第一或第三象限的拋物線有___________條。
3．四面體的頂點和各棱的中點共10個點，在其中任取4個不共面的點，有_________種取法。
4．三個人傳球，從甲開始發(fā)球，每次接球后將球傳給另外兩人中的任意一個，經(jīng)5次傳球后，球仍回到甲手中的傳法有_________種。
5．一條鐵路原有m個車站（含起點，終點），新增加n個車站（n1），客運車票相應(yīng)地增加了58種，原有車站有_________個。
6．將二項式的展開式按降冪排列，若前三項系數(shù)成等差數(shù)列，則該展開式中x的冪指數(shù)是整數(shù)的項有_________個。
7．從1到9這九個自然數(shù)中任取兩個分別作為對數(shù)的真數(shù)和底數(shù)，共可得到_________種不同的對數(shù)值。
8．二項式(x-2)5的展開式中系數(shù)最大的項為第_________項，系數(shù)最小的項為第_________項。
9．有一批規(guī)格相同的均勻圓棒，每根被劃分成長度相同的5節(jié)，每節(jié)用紅、黃、藍三色之一涂色，可以有_________種顏色不同的圓棒？（顛倒后相同的算同一種）
10．在1，2，…，2006中隨機選取3個數(shù)，能構(gòu)成遞增等差數(shù)列的概率是_________。
11．投擲一次骰子，出現(xiàn)點數(shù)1，2，3，…，6的概率均為，連續(xù)擲6次，出現(xiàn)的點數(shù)之和為35的概率為_________。
12．某列火車有n節(jié)旅客車廂，進站后站臺上有m(m≥n)名旅客候車，每位旅客隨意選擇車廂上車，則每節(jié)車廂都有旅客上車的概率是_________。
13．某地現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%，如果人口年增長率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？（糧食單產(chǎn)=）
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．若0abcd500，有_________個有序的四元數(shù)組（a,b,c,d）滿足a+d=b+c且bc-ad=93.
2.已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3個不同的元素，并且該直線傾斜角為銳角，這樣的直線條數(shù)是_________。
3．已知A={0，1，2，3，4，5，6，7}，映射f:A→A滿足：（1）若i≠j，則f(i)≠f(j)；（2）若i+j=7，則f(i)+f(j)=7，這樣的映射的個數(shù)為_________。
4．1，2，3，4，5的排列a1,a2,a3,a4,a5具有性質(zhì)：對于1≤i≤4,a1,a2,…,ai不構(gòu)成1，2，…，i的某個排列，這種排列的個數(shù)是_________。
5．骰子的六個面標(biāo)有1，2，…，6這六個數(shù)字，相鄰兩個面上的數(shù)字之差的絕對值叫變差，變差的總和叫全變差V，則全變差V的最大值為_________，最小值為_________。
6．某次乒乓球單打比賽中，原計劃每兩名選手恰比賽一場，但有3名選手各比賽2場之后就退出了，這樣，全部比賽只進行50場，上述三名選手之間比賽場數(shù)為_________。
7．如果a,b,c,d都屬于{1,2,3,4}且a≠b,b≠c,c≠d,d≠a；且a是a,b,c,d中的最小值，則不同的四位數(shù)的個數(shù)為_________。
8．如果自然數(shù)a各位數(shù)字之和等于7，那么稱a為“吉祥數(shù)”，將所有的吉祥數(shù)從小到大排成一列a1,a2,a3,…,若an=2005，則an=_________。
9．求值：=_________。
10．投擲一次骰子，出現(xiàn)點數(shù)1，2，…，6的概率均為，連續(xù)擲10次，出現(xiàn)的點數(shù)之和是30的概率為_________。
11．將編號為1，2，…，9這九個小球隨機放置在圓周的九個等分點上，每個等分點上各有一個小球，設(shè)周圍上所有相鄰兩球的號碼之差的絕對值之和為S，求S達到最小值的放法的概率（注：如果某種放法經(jīng)旋轉(zhuǎn)或鏡面反射后可與另一放法重合，則認為是相同的放法）。
12．甲、乙兩人輪流向同一目標(biāo)射擊，第一次甲射擊，以后輪流射擊，甲每次擊中的概率為p(0p1)，乙每次擊中的概率為q(0q1)，求甲、乙首先擊中的概率各是多少？
13．設(shè)m,n∈N,0m≤n，求證：…+
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．100張卡片上分別寫有數(shù)字1到100，一位魔術(shù)師把這100張卡片放入顏色分別是紅色、白色、藍色的三個盒子里，每個盒子里至少放入一張卡片。
一位觀眾從三個盒子中挑出兩個，并從中各選取一張卡片，然后宣布這兩張卡片上的兩個數(shù)的和數(shù)，魔術(shù)師知道這個和數(shù)之后，便能夠指出哪一個是沒有被觀眾取出卡片的盒子。問：共有多少種放卡片的方法，使得這個魔術(shù)師總能夠成功？（如果至少有一張卡片被放入不同顏色的盒子，兩種方法被認為是不同的）
2．設(shè)S={1,2,…,10}，A1，A2，…，Ak是S的k個子集合，滿足：（1）|Ai|=5,i=1,2,…,k;（2）|AiAj|≤2,1≤ij≤k，求k的最大值。
3．求從集合{1,2,…,n}中任取滿足下列條件的k個數(shù){j1,j2,…,jk}的組合數(shù)；（1）1≤j1j2…jk≤n；（2）jh+1-jh≥m,h=1,2,…,k-1,其中m1為固定的正整數(shù)；（3）存在h0,1≤h0≤k-1，使得≥m+1.
4.設(shè),其中S1，S2，…，Sm都是正整數(shù)且S1S2…Sm，求證組合數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)等于2m。
5．個不同的數(shù)隨機排成圖13-2所示的三角形陣，設(shè)Mk是從上往下第k行中的最大數(shù)，求M1M2…Mn的概率。
6．證明：

高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準教材(第十一章圓錐曲線)

一名優(yōu)秀的教師在每次教學(xué)前有自己的事先計劃，作為高中教師就要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容制定合適的教案。教案可以讓學(xué)生更好的吸收課堂上所講的知識點，幫助高中教師緩解教學(xué)的壓力，提高教學(xué)質(zhì)量。那么如何寫好我們的高中教案呢？下面是小編為大家整理的“高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準教材(第十一章圓錐曲線)”，歡迎閱讀，希望您能夠喜歡并分享！

第十一章圓錐曲線

一、基礎(chǔ)知識
1．橢圓的定義，第一定義：平面上到兩個定點的距離之和等于定長（大于兩個定點之間的距離）的點的軌跡，即|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|=2c).
第二定義：平面上到一個定點的距離與到一條定直線的距離之比為同一個常數(shù)e(0e1)的點的軌跡（其中定點不在定直線上），即
(0e1).
第三定義：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)給定兩圓c1:x2+y2=a2,c2:x2+y2=b2,a,b∈R+且a≠b。從原點出發(fā)的射線交圓c1于P，交圓c2于Q，過P引y軸的平行線，過Q引x軸的平行線，兩條線的交點的軌跡即為橢圓。
2．橢圓的方程，如果以橢圓的中心為原點，焦點所在的直線為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，由定義可求得它的標(biāo)準方程，若焦點在x軸上，列標(biāo)準方程為
(ab0)，
參數(shù)方程為（為參數(shù)）。
若焦點在y軸上，列標(biāo)準方程為
(ab0)。
3．橢圓中的相關(guān)概念，對于中心在原點，焦點在x軸上的橢圓
，
a稱半長軸長，b稱半短軸長，c稱為半焦距，長軸端點、短軸端點、兩個焦點的坐標(biāo)分別為(±a,0),(0,±b),(±c,0)；與左焦點對應(yīng)的準線（即第二定義中的定直線）為，與右焦點對應(yīng)的準線為；定義中的比e稱為離心率，且，由c2+b2=a2知0e1.
橢圓有兩條對稱軸，分別是長軸、短軸。
4．橢圓的焦半徑公式：對于橢圓1(ab0),F1(-c,0),F2(c,0)是它的兩焦點。若P(x,y)是橢圓上的任意一點，則|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex.
5．幾個常用結(jié)論：1）過橢圓上一點P(x0,y0)的切線方程為
；
2）斜率為k的切線方程為；
3）過焦點F2(c,0)傾斜角為θ的弦的長為
。
6．雙曲線的定義，第一定義：
滿足||PF1|-|PF2||=2a(2a2c=|F1F2|,a0)的點P的軌跡；
第二定義：到定點的距離與到定直線距離之比為常數(shù)e(1)的點的軌跡。
7．雙曲線的方程：中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線方程為
，
參數(shù)方程為（為參數(shù)）。
焦點在y軸上的雙曲線的標(biāo)準方程為
。
8．雙曲線的相關(guān)概念，中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線
(a,b0),
a稱半實軸長，b稱為半虛軸長，c為半焦距，實軸的兩個端點為(-a,0),(a,0).左、右焦點為F1(-c,0),F2(c,0)，對應(yīng)的左、右準線方程分別為離心率，由a2+b2=c2知e1。兩條漸近線方程為，雙曲線與有相同的漸近線，它們的四個焦點在同一個圓上。若a=b，則稱為等軸雙曲線。
9．雙曲線的常用結(jié)論，1）焦半徑公式，對于雙曲線，F(xiàn)1（-c,0）,F2(c,0)是它的兩個焦點。設(shè)P(x,y)是雙曲線上的任一點，若P在右支上，則|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，則|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.
2)過焦點的傾斜角為θ的弦長是。
10．拋物線：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫焦點，直線l叫做拋物線的準線。若取經(jīng)過焦點F且垂直于準線l的直線為x軸，x軸與l相交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)|KF|=p，則焦點F坐標(biāo)為，準線方程為，標(biāo)準方程為y2=2px(p0)，離心率e=1.
11．拋物線常用結(jié)論：若P(x0,y0)為拋物線上任一點，
1）焦半徑|PF|=；
2）過點P的切線方程為y0y=p(x+x0)；
3）過焦點傾斜角為θ的弦長為。
12．極坐標(biāo)系，在平面內(nèi)取一個定點為極點記為O，從O出發(fā)的射線為極軸記為Ox軸，這樣就建立了極坐標(biāo)系，對于平面內(nèi)任意一點P，記|OP|=ρ,∠xOP=θ，則由（ρ，θ）唯一確定點P的位置，（ρ，θ）稱為極坐標(biāo)。
13．圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點的距離與到定直線的距離的比為常數(shù)e的點P，若0e1，則點P的軌跡為橢圓；若e1，則點P的軌跡為雙曲線的一支；若e=1，則點P的軌跡為拋物線。這三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程為。
二、方法與例題
1．與定義有關(guān)的問題。
例1已知定點A（2，1），F(xiàn)是橢圓的左焦點，點P為橢圓上的動點，當(dāng)3|PA|+5|PF|取最小值時，求點P的坐標(biāo)。
[解]見圖11-1，由題設(shè)a=5,b=4,c==3,.橢圓左準線的方程為，又因為，所以點A在橢圓內(nèi)部，又點F坐標(biāo)為（-3，0），過P作PQ垂直于左準線，垂足為Q。由定義知，則|PF|=|PQ|。
所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+|PF|)=3(|PA|+|PQ|)≥3|AM|(AM左準線于M)。
所以當(dāng)且僅當(dāng)P為AM與橢圓的交點時，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入橢圓方程得，又x0，所以點P坐標(biāo)為
例2已知P，為雙曲線C：右支上兩點，延長線交右準線于K，PF1延長線交雙曲線于Q，（F1為右焦點）。求證：∠F1K=∠KF1Q.
[證明]記右準線為l，作PDl于D，于E，因為//PD，則，又由定義，所以，由三角形外角平分線定理知，F(xiàn)1K為∠PF1P的外角平分線，所以∠=∠KF1Q。
2．求軌跡問題。
例3已知一橢圓及焦點F，點A為橢圓上一動點，求線段FA中點P的軌跡方程。
[解法一]利用定義，以橢圓的中心為原點O，焦點所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程：=1（ab0）.F坐標(biāo)為(-c,0).設(shè)另一焦點為。連結(jié)，OP，則。所以|FP|+|PO|=(|FA|+|A|)=a.
所以點P的軌跡是以F，O為兩焦點的橢圓（因為a|FO|=c），將此橢圓按向量m=(,0)平移，得到中心在原點的橢圓：。由平移公式知，所求橢圓的方程為
[解法二]相關(guān)點法。設(shè)點P(x,y),A(x1,y1)，則，即x1=2x+c,y1=2y.又因為點A在橢圓上，所以代入得關(guān)于點P的方程為。它表示中心為，焦點分別為F和O的橢圓。
例4長為a,b的線段AB，CD分別在x軸，y軸上滑動，且A，B，C，D四點共圓，求此動圓圓心P的軌跡。
[解]設(shè)P(x,y)為軌跡上任意一點，A，B，C，D的坐標(biāo)分別為A(x-,0),B(x+,0),C(0,y-),D(0,y+),記O為原點，由圓冪定理知|OA||OB|=|OC||OD|，用坐標(biāo)表示為，即
當(dāng)a=b時，軌跡為兩條直線y=x與y=-x；
當(dāng)ab時，軌跡為焦點在x軸上的兩條等軸雙曲線；
當(dāng)ab時，軌跡為焦點在y軸上的兩條等軸雙曲線。
例5在坐標(biāo)平面內(nèi)，∠AOB=，AB邊在直線l:x=3上移動，求三角形AOB的外心的軌跡方程。
[解]設(shè)∠xOB=θ,并且B在A的上方，則點A，B坐標(biāo)分別為B(3,3tanθ),A(3,3tan(θ-)),設(shè)外心為P(x,y)，由中點公式知OB中點為M。
由外心性質(zhì)知再由得
×tanθ=-1。結(jié)合上式有
tanθ=①
又tanθ+=②
又
所以tanθ-=兩邊平方，再將①，②代入得。即為所求。
3．定值問題。
例6過雙曲線(a0,b0)的右焦點F作B1B2軸，交雙曲線于B1，B2兩點，B2與左焦點F1連線交雙曲線于B點，連結(jié)B1B交x軸于H點。求證：H的橫坐標(biāo)為定值。
[證明]設(shè)點B，H，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為(asecα,btanα),(x0,0),(c,0)，則F1，B1，B2的坐標(biāo)分別為(-c,0),(c,),(c,)，因為F1，H分別是直線B2F，BB1與x軸的交點，所以
①
所以
。
由①得
代入上式得
即（定值）。
注：本例也可借助梅涅勞斯定理證明，讀者不妨一試。
例7設(shè)拋物線y2=2px(p0)的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A，B兩點，點C在準線上，且BC//x軸。證明：直線AC經(jīng)過定點。
[證明]設(shè)，則，焦點為，所以，，，。由于，所以y2-y1=0，即=0。因為，所以。所以，即。所以，即直線AC經(jīng)過原點。
例8橢圓上有兩點A，B，滿足OAOB，O為原點，求證：為定值。
[證明]設(shè)|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ,∠xOB=，則點A，B的坐標(biāo)分別為A(r1cosθ,r1sinθ),B(-r2sinθ,r2cosθ)。由A，B在橢圓上有
即①
②
①+②得（定值）。
4．最值問題。
例9設(shè)A，B是橢圓x2+3y2=1上的兩個動點，且OAOB（O為原點），求|AB|的最大值與最小值。
[解]由題設(shè)a=1，b=,記|OA|=r1,|OB|=r2,，參考例8可得=4。設(shè)m=|AB|2=,
因為，且a2b2，所以，所以b≤r1≤a，同理b≤r2≤a.所以。又函數(shù)f(x)=x+在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t=1即|OA|=|OB|時，|AB|取最小值1；當(dāng)或時，|AB|取最大值。
例10設(shè)一橢圓中心為原點，長軸在x軸上，離心率為，若圓C：1上點與這橢圓上點的最大距離為，試求這個橢圓的方程。
[解]設(shè)A，B分別為圓C和橢圓上動點。由題設(shè)圓心C坐標(biāo)為，半徑|CA|=1，因為|AB|≤|BC|+|CA|=|BC|+1，所以當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C共線，且|BC|取最大值時，|AB|取最大值，所以|BC|最大值為
因為；所以可設(shè)橢圓半長軸、半焦距、半短軸長分別為2t,,t，橢圓方程為，并設(shè)點B坐標(biāo)為B(2tcosθ,tsinθ)，則|BC|2=(2tcosθ)2+=3t2sin2θ-3tsinθ++4t2=-3(tsinθ+)2+3+4t2.
若，則當(dāng)sinθ=-1時，|BC|2取最大值t2+3t+，與題設(shè)不符。
若t,則當(dāng)sinθ=時，|BC|2取最大值3+4t2，由3+4t2=7得t=1.
所以橢圓方程為。
5．直線與二次曲線。
例11若拋物線y=ax2-1上存在關(guān)于直線x+y=0成軸對稱的兩點，試求a的取值范圍。
[解]拋物線y=ax2-1的頂點為(0,-1)，對稱軸為y軸，存在關(guān)于直線x+y=0對稱兩點的條件是存在一對點P(x1,y1)，(-y1,-x1)，滿足y1=a且-x1=a(-y1)2-1，相減得x1+y1=a(),因為P不在直線x+y=0上，所以x1+y1≠0,所以1=a(x1-y1)，即x1=y1+
所以此方程有不等實根，所以，求得，即為所求。
例12若直線y=2x+b與橢圓相交，（1）求b的范圍；（2）當(dāng)截得弦長最大時，求b的值。
[解]二方程聯(lián)立得17x2+16bx+4(b2-1)=0.由Δ0，得b；設(shè)兩交點為P(x1,y1),Q(x2,y2)，由韋達定理得|PQ|=。所以當(dāng)b=0時，|PQ|最大。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．A為半徑是R的定圓⊙O上一定點，B為⊙O上任一點，點P是A關(guān)于B的對稱點，則點P的軌跡是________.
2．一動點到兩相交直線的距離的平方和為定值m2(0)，則動點的軌跡是________.
3．橢圓上有一點P，它到左準線的距離是10，它到右焦點的距離是________.
4．雙曲線方程，則k的取值范圍是________.
5．橢圓，焦點為F1，F(xiàn)2，橢圓上的點P滿足∠F1PF2=600，則ΔF1PF2的面積是________.
6．直線l被雙曲線所截的線段MN恰被點A（3，-1）平分，則l的方程為________.
7．ΔABC的三個頂點都在拋物線y2=32x上，點A（2，8），且ΔABC的重心與這條拋物線的焦點重合，則直線BC的斜率為________.
8．已知雙曲線的兩條漸近線方程為3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一條準線方程為5y+4=0，則雙曲線方程為________.
9．已知曲線y2=ax，與其關(guān)于點（1，1）對稱的曲線有兩個不同的交點，如果過這兩個交點的直線的傾斜角為450，那么a=________.
10.P為等軸雙曲線x2-y2=a2上一點，的取值范圍是________.
11．已知橢圓與雙曲線有公共的焦點F1，F(xiàn)2，設(shè)P是它們的一個焦點，求∠F1PF2和ΔPF1F2的面積。
12．已知（i）半圓的直徑AB長為2r；（ii）半圓外的直線l與BA的延長線垂直，垂足為T，設(shè)|AT|=2a(2a)；（iii）半圓上有相異兩點M，N，它們與直線l的距離|MP|，|NQ|滿足求證：|AM|+|AN|=|AB|。
13．給定雙曲線過點A（2，1）的直線l與所給的雙曲線交于點P1和P2，求線段P1P2的中點的軌跡方程。
四、高考水平測試題
1．雙曲線與橢圓x2+4y2=64共焦點，它的一條漸近線方程是=0，則此雙曲線的標(biāo)準方程是_________.
2．過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A，B兩點，若A，B在拋物線準線上的射影分別是A1，B1，則∠A1FB1=_________.
3．雙曲線的一個焦點為F1，頂點為A1，A2，P是雙曲線上任一點，以|PF1|為直徑的圓與以|A1A2|為直徑的圓的位置關(guān)系為_________.
4．橢圓的中心在原點，離心率，一條準線方程為x=11，橢圓上有一點M橫坐標(biāo)為-1，M到此準線異側(cè)的焦點F1的距離為_________.
5．4a2+b2=1是直線y=2x+1與橢圓恰有一個公共點的_________條件.
6．若參數(shù)方程（t為參數(shù)）表示的拋物線焦點總在一條定直線上，這條直線的方程是_________.
7．如果直線y=kx+1與焦點在x軸上的橢圓總有公共點，則m的范圍是_________.
8．過雙曲線的左焦點，且被雙曲線截得線段長為6的直線有_________條.
9．過坐標(biāo)原點的直線l與橢圓相交于A，B兩點，若以AB為直徑的圓恰好通過橢圓的右焦點F，則直線l的傾斜角為_________.
10．以橢圓x2+a2y2=a2(a1)的一個頂點C（0，1）為直角頂點作此橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，這樣的三角形最多可作_________個.
11．求橢圓上任一點的兩條焦半徑夾角θ的正弦的最大值。
12．設(shè)F，O分別為橢圓的左焦點和中心，對于過點F的橢圓的任意弦AB，點O都在以AB為直徑的圓內(nèi)，求橢圓離心率e的取值范圍。
13．已知雙曲線C1：(a0)，拋物線C2的頂點在原點O，C2的焦點是C1的左焦點F1。
（1）求證：C1，C2總有兩個不同的交點。
（2）問：是否存在過C2的焦點F1的弦AB，使ΔAOB的面積有最大值或最小值？若存在，求直線AB的方程與SΔAOB的最值，若不存在，說明理由。
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．在平面直角坐標(biāo)系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲線為橢圓，則m的取值范圍是_________.
2．設(shè)O為拋物線的頂點，F(xiàn)為焦點，且PQ為過F的弦，已知|OF|=a，|PQ|=b，ΔOPQ面積為_________.
3．給定橢圓，如果存在過左焦點F的直線交橢圓于P，Q兩點，且OPOQ，則離心率e的取值范圍是_________.
4．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線(ab0)的左、右焦點，P為雙曲線上的動點，過F1作∠F1PF2平分線的垂線，垂足為M，則M的軌跡為_________.
5．ΔABC一邊的兩頂點坐標(biāo)為B（0，）和C（0，），另兩邊斜率的乘積為，若點T坐標(biāo)為(t,0)(t∈R+),則|AT|的最小值為_________.
6．長為l(l1)的線段AB的兩端點在拋物線y=x2上滑動，則線段AB的中點M到x軸的最短距離等于_________.
7．已知拋物線y2=2px及定點A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b2≠2pa，M是拋物線上的點，設(shè)直線AM，BM與拋物線的另一個交點分別為M1，M2，當(dāng)M變動時，直線M1M2恒過一個定點，此定點坐標(biāo)為_________.
8．已知點P（1，2）既在橢圓內(nèi)部（含邊界），又在圓x2+y2=外部（含邊界），若a,b∈R+,則a+b的最小值為_________.
9．已知橢圓的內(nèi)接ΔABC的邊AB，AC分別過左、右焦點F1，F(xiàn)2，橢圓的左、右頂點分別為D，E，直線DB與直線CE交于點P，當(dāng)點A在橢圓上變動時，試求點P的軌跡。
10．設(shè)曲線C1：（a為正常數(shù)）與C2：y2=2(x+m)在x軸上方有一個公共點P。（1）求實數(shù)m的取值范圍（用a表示）；
（2）O為原點，若C1與x軸的負半軸交于點A，當(dāng)0a時，試求ΔOAP面積的最大值（用a表示）。
11．已知直線l過原點，拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上，若點A（-1，0）和B（0，8）關(guān)于l的對稱點都在C上，求直線l和拋物線的方程。
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，在CD上取一點E，BE與AC相交于F，延長DF交BC于G，求證：∠GAC=∠EAC。
2．求證：在坐標(biāo)平面上不存在一條具有奇數(shù)個頂點，每段長都為1的閉折線，它的每個頂點坐標(biāo)都是有理數(shù)。
3．以B0和B1為焦點的橢圓與ΔAB0B1的邊ABi交于Ci(i=0,1)，在AB0的延長線上任取點P0，以B0為圓心，B0P0為半徑作圓弧交C1B0的延長線于Q0；以C1為圓心，C1Q0為半徑作圓弧Q0P1交B1A的延長線于P1；B1為圓心，B1P1為半徑作圓弧P1Q1交B1C0的延長線于Q1；以C0為圓心，C0Q1為半徑作圓弧Q1，交AB0的延長線于。求證：（1）點與點P0重合，且圓弧P0Q0與P0Q1相內(nèi)切于P0；（2）P0，Q0，P1，Q1共圓。
4．在坐標(biāo)平面內(nèi)，從原點出發(fā)以同一初速度v0和不同發(fā)射角（即發(fā)射方向與x軸正向之間的夾角）α(α∈[0,π],α≠)射出的質(zhì)點，在重力的作用下運動軌跡是拋物線，所有這些拋物線組成一個拋物線族，若兩條拋物線在同一個交點處的切線互相垂直，則稱這個交點為正交點。證明：此拋物線族的所有正交點的集合是一段橢圓弧，并求此橢圓弧的方程（確定變量取值范圍）。
5．直角ΔABC斜邊為AB，內(nèi)切圓切BC，CA，AB分別于D，E，F(xiàn)點，AD交內(nèi)切圓于P點。若CPBP，求證：PD=AE+AP。
6．已知BCCD，點A為BD中點，點Q在BC上，AC=CQ，又在BQ上找一點R，使BR=2RQ，CQ上找一點S，使QS=RQ，求證：∠ASB=2∠DRC。
答案：
基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．圓。設(shè)AO交圓于另一點是A關(guān)于的對稱點。則因為AB，所以P在以為直徑的圓上。
2．圓或橢圓。設(shè)給定直線為y=±kx(k0),P(x,y)為軌跡上任一點，則。化簡為2k2x2+2y2=m2(1+k2).
當(dāng)k≠1時，表示橢圓；當(dāng)k=1時，表示圓。
3．12．由題設(shè)a=10,b=6,c=8，從而P到左焦點距離為10e=10×=8,所以P到右焦點的距離為20-8=12。
4．-2k2或k5.由(|k|-2)(5-k)0解得k5或-2k2.
5.設(shè)兩條焦半徑分別為m,n，則因為|F1F2|=12,m+n=20.由余弦定理得122=m2+n2-2mncos600,即(m+n)2-3mn=144.所以，
6．3x+4y-5=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)，則兩式相減得-(y1+y2)(y1-y2)=0.由，得。故方程y+1=(x-3).
7.-4.設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2)，則=0，所以y1+y2=-8，故直線BC的斜率為
8．=1。由漸近線交點為雙曲線中心，解方程組得中心為(2,1)，又準線為，知其實軸平行于y軸，設(shè)其方程為=1。其漸近線方程為=0。所以y-1=(x-1).由題設(shè)，將雙曲線沿向量m=(-2,-1)平移后中心在原點，其標(biāo)準方程為=1。由平移公式平移后準線為，再結(jié)合，解得a2=9，b2=16，故雙曲線為=1。
9．2．曲線y2=ax關(guān)于點（1，1）的對稱曲線為(2-y)2=a(2-x),
由得y2-2y+2-a=0,故y1+y2=2,從而=
=1，所以a=2.
10．（2，]。設(shè)P(x1,y1)及，由|PF1|=ex1+a
,|PF2|=ex1-a,|PF1|+|PF2|=2ex1,所以，即。因，所以，所以即2t≤2.
11.解：由對稱性，不妨設(shè)點P在第一象限，由題設(shè)|F1F2|2=4=4c2，又根據(jù)橢圓與雙曲線定義
解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2.
在ΔF1PF2中，由余弦定理
從而
又sin∠F1PF2=
所以
12．解：以直線AB為x軸，AT的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則由定義知M，N兩點既在拋物線y2=4ax上，又在圓[x-(a+r)]2+y2=r2上，兩方程聯(lián)立得x2+(2a-2r)x+2ra+a2=0，設(shè)點M，N坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)，則x1+x2=2r-2a.又|AM|=|MP|=x1+a，|AN|=|NP|=x2+a.|AB|=2r，所以
|AM|+|AN|=x1+x2+2a=2r=|AB|.
得證。
13．解：若直線l垂直于x軸，因其過點A(2,1)，根據(jù)對稱性，P1P2的中點為（2，0）。
若l不垂直于x軸，設(shè)l的方程為y-1=k(x-2)，即
y=kx+1-2k.①
將①代入雙曲線方程消元y得
(2-k2)x2+2k(2k-1)x-(4k2-4k+3)=0.②
這里且Δ=[2k(2k-1)]2+4(2-k)2(4k2-4k+3)=8(3k2-4k+3)0,
設(shè)x1,x2是方程②的兩根，由韋達定理
③
由①，③得y1+y2=kx1+(1-2k)+kx2+(1-2k)
=k(x1+x2)+2(1-2k)=④
設(shè)P1P2的中點P坐標(biāo)(x,y)，由中點公式及③，④得
消去k得
點（2，0）滿足此方程，故這就是點P的軌跡方程。
高考水平測試題
1．由橢圓方程得焦點為，設(shè)雙曲線方程，漸近線為由題設(shè)，所以a2=3b2,又,c2=a2+b2.所以b2=12,a2=36.
2.900。見圖1，由定義得|FA|=|AA1|,|FB|=|BB1|，有∠1=∠BFB1，∠2=∠AFA1，又∠1=∠3，∠2=∠4，所以∠3+∠4=∠BFB1+∠AFA1=900。
3．相切，若P(x,y)在左支上，設(shè)F1為左焦點，F(xiàn)2為右焦點，M為PF1中點，則|MO|=|PF2|=(a-ex)，又|PF1|=-a-ex，所以兩圓半徑之和(-a-ex)+a=(a-ex)=|MO|，所以兩圓外切。當(dāng)P(x,y)在右支上時，同理得兩圓內(nèi)切。
4．與F1對應(yīng)的另一條準線為x=-11，因|MF1|與M到直線x=-11距離d1之比為e，且d1=|xm+11|=10.所以，所以|MF1|=
5．充要。將y=2x+1代入橢圓方程得(b2+4a2)x2+4a2x+a2(1-b2)=0.①
若Δ=(4a2)2-4(b2+4a2)a2(1-b2)=0，則直線與橢圓僅有一個公共點，即b2+4a2=1；反之，4a2+b2=1，直線與橢圓有一個公共點。
6．y=2(x-1)。消去參數(shù)得(y-2m)2=4(x-m)，焦點為它在直線y=2(x-1)上。
7．1≤m5。直線過定點(0,1)，所以0≤1.又因為焦點在x軸上，所以5m,所以1≤m5。
8．3．雙曲線實軸長為6，通徑為4，故線段端點在異支上一條，在同支上有二條，一共有三條。
9．或。設(shè)直線l:y=kx與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)，把y=kx代入橢圓方程得(1+3k2)x2-6x+3=0，由韋達定理得
①
②
因F（1，0），AFBF，所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即
x1x2-(x1+x2)+1+k2x1x2=0.③
把①，②代入③得，所以傾斜角為或
10．3．首先這樣的三角形一定存在，不妨設(shè)A，B分別位于y軸左、右兩側(cè)，設(shè)CA斜率為k(k0)，CA的直線方程為y=kx+1，代入橢圓方程為(a2k2+1)x2+2a2kx=0，得x=0或，于是，|CA|=
由題設(shè)，同理可得|CB|=,利用|CA|=|CB|可得
(k-1)[k2-(a2-1)k+1]=0,
解得k=1或k2-(a2-1)k+1]=0。①
對于①，當(dāng)1a時，①無解；當(dāng)時，k=1；當(dāng)a時，①有兩個不等實根，故最多有3個。
11．解設(shè)焦點為F1，F(xiàn)2，橢圓上任一點為P(x0,y0),∠F1PF2=θ,根據(jù)余弦定理得
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ,
又|PF1|+|PF2|=2a，則4c2=(2a)2-2|PF1||PF2|(1+cosθ),再將|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0及a2=b2+c2代入得4b2=2(a2-e2)(1+cosθ).
于是有
由0，得，所以。因θ∈[0，π]，所以cosθ為減函數(shù)，故0
當(dāng)2b2a2即時，，arccos，sinθ為增函數(shù)，sinθ取最大值；當(dāng)2b2≤a2時，arccos,θ∈[0,π]，則sinθ最大值為1。
12．解設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，若AB斜率不為0，設(shè)為k，直線AB方程為y=k(x+c)，代入橢圓方程并化簡得
(b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2(k2c2-b2)=0.①
則x1,x2為方程①的兩根，由韋達定理得
②
③
因為y1y2=k2(x1+c)(x2+c)，再由②，③得
所以=x1x2+y1y2=,O點在以AB為直徑的圓內(nèi)，等價0，即k2(a2c2-b4)-a2b20對任意k∈R成立，等價于a2c2-b2≤0,即ac-b2≤0,即e2+e-1≤0.所以0e≤
若斜率不存在，問題等價于即，綜上
13．解（1）由雙曲線方程得，所以F1(,0)，拋物線焦點到準線的距離，拋物線
①
把①代入C1方程得
②
Δ=64a20，所以方程②必有兩個不同實根，設(shè)為x1,x2,由韋達定理得x1x2=-a20，所以②必有一個負根設(shè)為x1,把x1代入①得y2=,所以（因為x1≠0），所以C1，C2總有兩個不同交點。
（2）設(shè)過F1(,0)的直線AB為my=(x+a),由得y2+4may-12a2=0，因為Δ=48m2a2+48a20，設(shè)y1,y2分別為A，B的縱坐標(biāo)，則y1+y2=,y1y2=-12a2.所以(y1-y2)2=48a2(m2+1).所以SΔAOB=|y1-y2||OF1|=aa，當(dāng)且僅當(dāng)m=0時，SΔAOB的面積取最小值；當(dāng)m→+∞時，SΔAOB→+∞，無最大值。所以存在過F的直線x=使ΔAOB面積有最小值6a2.
聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．m5.由已知得，說明(x,y)到定點（0,-1）與到定直線x-2y+3=0的距離比為常數(shù)，由橢圓定義1，所以m5.
2.因為b=|PQ|=|PF|+|QF|=,所以。所以SΔOPQ=absinθ=.
3.。設(shè)點P坐標(biāo)為(r1cosθ,r1sinθ),點Q坐標(biāo)為(-r2sinθ,r2cosθ)，因為P，Q在橢圓上，可得，RtΔOPQ斜邊上的高為≤|OF|=c.所以a2b2≤c2(a2+b2)，解得≤e1.
4.以O(shè)為圓心，a為半徑的圓。延長F1M交PF2延長線于N，則F2N，而|F2N|=|PN|-|PF2|=|PF1|-|PF2|=2a，所以|OM|=a.
5.t∈(0,1]時|AT|min=,t1時|AT|min=|t-2|.由題設(shè)kABkAC=-,設(shè)A(x,y)，則(x≠0)，整理得=1(x≠0)，所以|AT|2=(x-t)2+y2=(x-t)2+(x-2t)2+2-t2.因為|x|≤2,所以當(dāng)t∈(0,1]時取x=2t,|AT|取最小值。當(dāng)t1時，取x=2，|AT|取最小值|t-2|.
6.設(shè)點M(x0,y0)，直線AB傾斜角為θ，并設(shè)A(x0-),B(x0+),因為A，B在拋物線上，所以
①
②
由①，②得2x0cosθ=sinθ.③
所以
因為l21，所以函數(shù)f(x)=.在（0，1]在遞減，
所以。當(dāng)cosθ=1即l平行于x軸時，距離取最小值
7．設(shè)，由A，M，M1共線得y1=，同理B，M，M2共線得，設(shè)(x,y)是直線M1M2上的點，則y1y2=y(y1+y2)-2px，將以上三式中消去y1,y2得
y02(2px-by)+y02pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0.
當(dāng)x=a,y=時上式恒成立，即定點為
8．。由題設(shè)且a2+2b2≤15，解得5≤b2≤6.
所以a+b≥(t=b2-4∈[1,2])，而
，又t≤2可得上式成立。
9．解設(shè)A(2cosθ,),B(2cosα,sinα),C(2cosβ,sinβ)，這里α≠β，則過A，B的直線為lAB：，由于直線AB過點F1(-1,0)，代入有(sinθ-sinα)(1+2cosθ)=2sinθ(cosθ-cosα)，即2sin(α-θ)=sinθ-sinα=2,故，即。又lBD:(x+2)=，同理得。lCE:(x-2)=
(x-2).
兩直線方程聯(lián)立，得P點坐標(biāo)為，消去得點P(x,y)在橢圓上（除去點(-2,0),(2,0)）.
10.解（1）由消去y得x2+2a2x+2a2m-a2=0,①設(shè)f(x)=x2+2a2x+2a2m-a2，問題（1）轉(zhuǎn)化為方程①在x∈(-a,a)上有唯一解或等根。只需討論以下三種情況：
10．Δ=0，得，此時xp=-a2，當(dāng)且僅當(dāng)-a-a2a即0a1時適合；20。f(a)f(-a)0，當(dāng)且僅當(dāng)-ama時適合；30。f(-a)=0得m=a，此時xp=a-2a2，當(dāng)且僅當(dāng)-aa-2a2a即0a1時適合。令f(a)=0得m=-a，此時xp=-a-2a2.由于-a-2a2-a，從而m≠-a.綜上當(dāng)0a1時，或-am≤a；當(dāng)a≥1時，-ama.
(2)ΔOAP的面積因為0a,故當(dāng)-am≤a時，0-a2+,由唯一性得xp=-a2+.當(dāng)m=a時，xp取最小值。由于xp0，從而時取值最大，此時，故；當(dāng)時，xp=-a2，yp=,此時以下比較與的大小。令，得，故當(dāng)0a≤時，，此時；當(dāng)時，有，此時
11．解：設(shè)A，B關(guān)于l的對稱點分別為A1(x2,y2),B1(x1,y1)，則AA1中點在l上，
所以y2=k(x2-1)①
又lAA1,所以
②
由①，②得
同理，由BB1中點在l上，且lBB1,解得
設(shè)拋物線方程為y2=2px，將A1，B1坐標(biāo)代入并消去p得k2-k-1=0.
所以，由題設(shè)k0，所以，從而
所以直線l的方程為，拋物線C的方程為
聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．以A為原點，直線AC為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)C(c,0),F(f,0),D(xD,kxD),B(xB,-kxB)，則直線DF的方程為
①
直線BC的方程為②
c×①-f×②得
(c-f)x+③
③表示一條直線，它過原點，也過DF與BC的交點G，因而③就是直線AG的方程。
同理
，直線AE的方程為
(c-f)x+④
③，④的斜率互為相反數(shù)，所以∠GAC=∠EAC。
2．證明假設(shè)這樣的閉折線存在，不妨設(shè)坐標(biāo)原點是其中一個頂點，記它為A0，其他頂點坐標(biāo)為：，…，，其中都是既約分數(shù)，并記An+1=A0.若p與q奇偶性相同，則記p≡q，否則記p≠q，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。
bk≡1,dk≡1(k=1,2,…,n)，ak+ck≠ak-1+ck-1(k=1,2,…,n,n+1)。
當(dāng)k=1時，由，得，因為a1,b1互質(zhì)，所以d1被b1整除，反之亦然（即b1被d1整除）。
因此b1=±d1，從而不可能都是偶數(shù)（否則b1也是偶數(shù)，與互質(zhì)矛盾）；不可能都是奇數(shù)，因為兩個奇數(shù)的平方和模8余2不是4的倍數(shù)，也不可能是完全平方數(shù)，因此，a1≠c1,b1≡d1≡1，并且a1+c1≠0=a0+c0.
設(shè)結(jié)論對k=1,2,…,m-1≤n都成立，令
這里是既約分數(shù)，因為每一段的長為1，所以=1，與k=1情況類似：a≡c,d≡b≡1，又因為，分數(shù)既約，所以bm是bbm-1的一個因子，bm≡1.
同理可知dm≡1,又am≡abm-1+bam-1（同理cm≡cdm-1+dcm-1）.
因此(am+cm-am-1-cm-1)≡(abm-1+bam-1+cdm-1+dcm-1-am-1-cm-1)≡am-1(b-1)+abm-1+cm-1(d-1)+cdm-1≡a+c≡1.
所以am+cm≠am-1+cm-1，結(jié)論成立，于是在頂點數(shù)n+1為奇數(shù)時，an+1+cn+1≠a0+c0，故折線不可能是閉的。
3．證明（1）由已知B0P0=B0Q0，并由圓弧P0Q0和Q0P0，Q0P1和P1Q1，P1Q1和Q1P1分別相內(nèi)切于點Q0，P1，Q1，得C1B0+B0Q0=C1P1，B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1以及C0Q1=C0B0+，四式相加，利用B1C1+C1B0=B1C0+C0B0，以及。在B0P0或其延長線上，有B0P0=B0，從而可知點與點P0重合。由于圓弧Q1P0的圓心C0，圓弧P0Q0的圓心B0以及P0在同一直線上，所以圓弧Q1P0和P0Q0相內(nèi)切于點P0。
（2）現(xiàn)分別過點P0和P1引上述相應(yīng)相切圓弧的公切線P0T和P1T交于點T。又過點Q1引相應(yīng)相切圓弧的公切線R1S1，分別交P0T和P1T于點R1和S1，連接P0Q1和P1Q1，得等腰ΔP0Q1R1和ΔP1Q1S1，由此得∠P0Q1P1=π-∠P0Q1P1-∠P1Q1S1=π-(∠P1P0T-∠Q1P0P)-(∠P0P1T-∠Q1P1P0),而π-∠P0Q1P1=∠Q1P0P1+∠Q1P1P0，代入上式后，即得∠P0Q1P1=π-(∠P0B0Q0+∠P1C1Q0).
同理得∠P0Q0P1=π-(∠P0B0Q0+∠P1C1Q0)，所以P0，Q0，Q1，P1共圓。
4．證明引理：拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)在(x0,y0)處的切線斜率是2ax0+b.
引理的證明：設(shè)(x0,y0)處的切線方程為y-y0=k(x-x0)，代入拋物線方程得
ax2+(b-k)x+c+kx0-y0=0.①
又
故①可化簡成(x-x0)[a(x+x0)+b-k]=0,②
因為②只有一個實根，所以k=2ax0+b.引理得證。
設(shè)P(x0,y0)為任一正交點，則它是由線y=xtanx2與y=xtanx2的交點，則兩條切線的斜率分別為（由引理）
又由題設(shè)k1k2=-1，所以
③
又因為P(x0,y0)在兩條拋物線上，所以代入③式得
（※）
又因為tanα1,tanα2是方程t2-t+=0的兩根，所以
tanα1+tanα2=④
tanα1tanα2=。⑤
把④，⑤代入（※）式得
，即
5．證明以C為原點，CB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)∠ADC=θ，|PD|=r.各點坐標(biāo)分別為D(x1,0),E(0,x1),A(0,x1tanθ),B(x0,0),P(x1-rcosθ,rsinθ).
則lAB方程為，即x1x+x0cotθy-x1x0=0,因為lAB與圓相切，可得x1=x0x1cotθ-x1x0|，約去x1,再兩邊平方得
，所以x1.①
又因為點P在圓上，所以(rcos)2+(x1-rsin)2=，化簡得r=2x1sin.②
要證DP=AP+AE2DP=AD+AE2r=+x1tan-x11+sin-cos=4sincos.③
又因為，所以
因為=(x1-x0-rcosθ,rsinθ),=(x1-rcosθ,rsinθ),
所以(x1-rcosθ)(x1-rcosθ-x0)+r2sin2θ=0.④
把②代入④化簡得
⑤
由①得x0=x1
代入⑤并約去x1,化簡得4sin22-3sin2=0，因為sin2≠0，所以sin2=，又因為sin==cos，所以sin-cos0.
所以sin-cos=，所以1+sin-cos==4sincos，即③成立。所以DP=AP+AE。
6．證明設(shè)BC=d，CD=b，BD=c，則AC=CQ=，取BC中點M，則AMBC，以M為原點，直線BC為x軸建立直角坐標(biāo)系，則各點坐標(biāo)分別為，，，，，因為，所以點，所以
因為0∠DRC，0∠ASQπ，所以只需證tan∠ASQ=tan2∠DRC,即，化簡得9d2-9c2-9b2=0即d2=b2+c2，顯然成立。所以命題得證。

第十二章立體幾何(高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準教材)

高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準教材(第十章直線與圓的方程)

第十章直線與圓的方程

一、基礎(chǔ)知識
1．解析幾何的研究對象是曲線與方程。解析法的實質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何.首先是通過映射建立曲線與方程的關(guān)系，即如果一條曲線上的點構(gòu)成的集合與一個方程的解集之間存在一一映射，則方程叫做這條曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。如x2+y2=1是以原點為圓心的單位圓的方程。
2．求曲線方程的一般步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；(2)寫出滿足條件的點的集合；(3)用坐標(biāo)表示條件，列出方程；(4)化簡方程并確定未知數(shù)的取值范圍；（5）證明適合方程的解的對應(yīng)點都在曲線上，且曲線上對應(yīng)點都滿足方程（實際應(yīng)用常省略這一步）。
3．直線的傾斜角和斜率：直線向上的方向與x軸正方向所成的小于1800的正角，叫做它的傾斜角。規(guī)定平行于x軸的直線的傾斜角為00，傾斜角的正切值（如果存在的話）叫做該直線的斜率。根據(jù)直線上一點及斜率可求直線方程。
4．直線方程的幾種形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）點斜式：y-y0=k(x-x0)；（3）斜截式：y=kx+b；（4）截距式：；（5）兩點式：；（6）法線式方程：xcosθ+ysinθ=p（其中θ為法線傾斜角，|p|為原點到直線的距離）；（7）參數(shù)式：（其中θ為該直線傾斜角），t的幾何意義是定點P0（x0,y0）到動點P（x,y）的有向線段的數(shù)量（線段的長度前添加正負號，若P0P方向向上則取正，否則取負）。
5．到角與夾角：若直線l1,l2的斜率分別為k1,k2，將l1繞它們的交點逆時針旋轉(zhuǎn)到與l2重合所轉(zhuǎn)過的最小正角叫l(wèi)1到l2的角；l1與l2所成的角中不超過900的正角叫兩者的夾角。若記到角為θ，夾角為α，則tanθ=,tanα=.
6．平行與垂直：若直線l1與l2的斜率分別為k1,k2。且兩者不重合，則l1//l2的充要條件是k1=k2；l1l2的充要條件是k1k2=-1。
7．兩點P1(x1,y1)與P2(x2,y2)間的距離公式：|P1P2|=。
8．點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離公式：。
9．直線系的方程：若已知兩直線的方程是l1：A1x+B1y+C1=0與l2：A2x+B2y+C2=0，則過l1,l2交點的直線方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2=0；由l1與l2組成的二次曲線方程為（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0；與l2平行的直線方程為A1x+B1y+C=0().
10．二元一次不等式表示的平面區(qū)域，若直線l方程為Ax+By+C=0.若B0，則Ax+By+C0表示的區(qū)域為l上方的部分，Ax+By+C0表示的區(qū)域為l下方的部分。
11．解決簡單的線性規(guī)劃問題的一般步驟：（1）確定各變量，并以x和y表示；（2）寫出線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)；（3）畫出滿足約束條件的可行域；（4）求出最優(yōu)解。
12．圓的標(biāo)準方程：圓心是點(a,b)，半徑為r的圓的標(biāo)準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，其參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）。
13．圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)。其圓心為，半徑為。若點P(x0,y0)為圓上一點，則過點P的切線方程為
①
14．根軸：到兩圓的切線長相等的點的軌跡為一條直線（或它的一部分），這條直線叫兩圓的根軸。給定如下三個不同的圓：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0,i=1,2,3.則它們兩兩的根軸方程分別為(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0;(D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0;(D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不難證明這三條直線交于一點或者互相平行，這就是著名的蒙日定理。
二、方法與例題
1．坐標(biāo)系的選取：建立坐標(biāo)系應(yīng)講究簡單、對稱，以便使方程容易化簡。
例1在ΔABC中，AB=AC，∠A=900，過A引中線BD的垂線與BC交于點E，求證：∠ADB=∠CDE。
[證明]見圖10-1，以A為原點，AC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系。設(shè)點B，C坐標(biāo)分別為（0,2a）,(2a,0)，則點D坐標(biāo)為（a,0）。直線BD方程為，①直線BC方程為x+y=2a，②設(shè)直線BD和AE的斜率分別為k1,k2，則k1=-2。因為BDAE，所以k1k2=-1.所以，所以直線AE方程為，由解得點E坐標(biāo)為。
所以直線DE斜率為因為k1+k3=0.
所以∠BDC+∠EDC=1800，即∠BDA=∠EDC。
例2半徑等于某個正三角形高的圓在這個三角形的一條邊上滾動。證明：三角形另兩條邊截圓所得的弧所對的圓心角為600。
[證明]以A為原點，平行于正三角形ABC的邊BC的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系見圖10-2，設(shè)⊙D的半徑等于BC邊上的高，并且在B能上能下滾動到某位置時與AB，AC的交點分別為E，F(xiàn)，設(shè)半徑為r，則直線AB，AC的方程分別為,.設(shè)⊙D的方程為(x-m)2+y2=r2.①設(shè)點E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)，則，分別代入①并消去y得
所以x1,x2是方程4x2-2mx+m2-r2=0的兩根。
由韋達定理，所以
|EF|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+3(x1-x2)2
=4(x1+x2)2-4x1x2=m2-(m2-r2)=r2.
所以|EF|=r。所以∠EDF=600。
2．到角公式的使用。
例3設(shè)雙曲線xy=1的兩支為C1，C2，正ΔPQR三頂點在此雙曲線上，求證：P，Q，R不可能在雙曲線的同一支上。
[證明]假設(shè)P，Q，R在同一支上，不妨設(shè)在右側(cè)一支C1上，并設(shè)P，Q，R三點的坐標(biāo)分別為且0x1x2x3.記∠RQP=θ，它是直線QR到PQ的角，由假設(shè)知直線QR，PQ的斜率分別為，
由到角公式
所以θ為鈍角，與ΔPQR為等邊三角形矛盾。所以命題成立。
3．代數(shù)形式的幾何意義。
例4求函數(shù)的最大值。
[解]因為表示動點P(x,x2)到兩定點A(3,2),B(0,1)的距離之差，見圖10-3，當(dāng)AB延長線與拋物線y=x2的交點C與點P重合時，f(x)取最大值|AB|=
4．最值問題。
例5已知三條直線l1:mx-y+m=0,l2:x+my-m(m+1)=0,l3:(m+1)x-y+m+1=0圍成ΔABC，求m為何值時，ΔABC的面積有最大值、最小值。
[解]記l1,l2,l3的方程分別為①，②，③。在①，③中取x=-1,y=0，知等式成立，所以A(-1,0)為l1與l3的交點；在②，③中取x=0,y=m+1，等式也成立，所以B(0,m+1)為l2與l3的交點。設(shè)l1,l2斜率分別為k1,k2,若m0，則k1k2=,SΔABC=，由點到直線距離公式|AC|=，|BC|=。
所以SΔABC=。因為2m≤m2+1，所以SΔABC≤。又因為-m2-1≤2m，所以，所以SΔABC≥
當(dāng)m=1時，（SΔABC）max=；當(dāng)m=-1時，（SΔABC）min=.
5．線性規(guī)劃。
例6設(shè)x,y滿足不等式組
（1）求點(x,y)所在的平面區(qū)域；
（2）設(shè)a-1，在（1）區(qū)域里，求函數(shù)f(x,y)=y-ax的最大值、最小值。
[解]（1）由已知得或
解得點(x,y)所在的平面區(qū)域如圖10-4所示，其中各直線方程如圖所示。AB：y=2x-5；CD：y=-2x+1；AD：x+y=1；BC：x+y=4.
(2)f(x,y)是直線l:y-ax=k在y軸上的截距，直線l與陰影相交，因為a-1，所以它過頂點C時，f(x,y)最大，C點坐標(biāo)為（-3，7），于是f(x,y)的最大值為3a+7.如果-1a≤2，則l通過點A（2，-1）時，f(x,y)最小，此時值為-2a-1；如果a2，則l通過B（3，1）時，f(x,y)取最小值為-3a+1.
6．參數(shù)方程的應(yīng)用。
例7如圖10-5所示，過原點引直線交圓x2+(y-1)2=1于Q點，在該直線上取P點，使P到直線y=2的距離等于|PQ|，求P點的軌跡方程。
[解]設(shè)直線OP的參數(shù)方程為（t參數(shù)）。
代入已知圓的方程得t2-t2sinα=0.
所以t=0或t=2sinα。所以|OQ|=2|sinα|，而|OP|=t.
所以|PQ|=|t-2sinα|，而|PM|=|2-tsinα|.
所以|t-2sinα|=|2-tsinα|.化簡得t=2或t=-2或sinα=-1.
當(dāng)t=±2時，軌跡方程為x2+y2=4；當(dāng)sinα=1時，軌跡方程為x=0.
7．與圓有關(guān)的問題。
例8點A，B，C依次在直線l上，且AB=ABC，過C作l的垂線，M是這條垂線上的動點，以A為圓心，AB為半徑作圓，MT1與MT2是這個圓的切線，確定ΔAT1T2垂心的軌跡。
[解]見圖10-6，以A為原點，直線AB為x軸建立坐標(biāo)系，H為OM與圓的交點，N為T1T2與OM的交點，記BC=1。
以A為圓心的圓方程為x2+y2=16，連結(jié)OT1，OT2。因為OT2MT2，T1HMT2，所以O(shè)T2//HT1，同理OT1//HT2，又OT1=OT2，所以O(shè)T1HT2是菱形。所以2ON=OH。
又因為OMT1T2，OT1MT1，所以O(shè)NOM。設(shè)點H坐標(biāo)為（x,y）。
點M坐標(biāo)為(5,b)，則點N坐標(biāo)為，將坐標(biāo)代入=ONOM，再由得
在AB上取點K，使AK=AB，所求軌跡是以K為圓心，AK為半徑的圓。
例9已知圓x2+y2=1和直線y=2x+m相交于A，B，且OA，OB與x軸正方向所成的角是α和β，見圖10-7，求證：sin(α+β)是定值。
[證明]過D作ODAB于D。則直線OD的傾斜角為，因為ODAB，所以2,
所以。所以
例10已知⊙O是單位圓，正方形ABCD的一邊AB是⊙O的弦，試確定|OD|的最大值、最小值。
[解]以單位圓的圓心為原點，AB的中垂線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別為A(cosα,sinα),B(cosα,-sinα)，由題設(shè)|AD|=|AB|=2sinα，這里不妨設(shè)A在x軸上方，則α∈(0,π).由對稱性可設(shè)點D在點A的右側(cè)（否則將整個圖形關(guān)于y軸作對稱即可），從而點D坐標(biāo)為(cosα+2sinα,sinα)，
所以|OD|=
=
因為，所以
當(dāng)時，|OD|max=+1；當(dāng)時，|OD|min=
例11當(dāng)m變化且m≠0時，求證：圓(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2的圓心在一條定直線上，并求這一系列圓的公切線的方程。
[證明]由消去m得a-2b+1=0.故這些圓的圓心在直線x-2y+1=0上。設(shè)公切線方程為y=kx+b，則由相切有2|m|=，對一切m≠0成立。即(-4k-3)m2+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)2=0對一切m≠0成立
所以即當(dāng)k不存在時直線為x=1。所以公切線方程y=和x=1.
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．已知兩點A(-3,4)和B(3,2)，過點P(2,-1)的直線與線段AB有公共點，則該直線的傾斜角的取值范圍是__________.
2．已知θ∈[0,π]，則的取值范圍是__________.
3．三條直線2x+3y-6=0,x-y=2,3x+y+2=0圍成一個三角形，當(dāng)點P(x,y)在此三角形邊上或內(nèi)部運動時，2x+y的取值范圍是__________.
4．若三條直線4x+y=4,mx+y=0,2x-3my=4能圍成三角形，則m的范圍是__________.
5．若λ∈R。直線(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0與點P(-2,2)的距離為d，比較大?。篸__________.
6．一圓經(jīng)過A(4,2),B(-1,3)兩點，且在兩個坐標(biāo)軸上的四個截距的和為14，則此圓的方程為__________.
7．自點A(-3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上被x軸反射，其反射光線所在的直線與圓C：x2+y2-4x-4y+7=0相切，則光線l所在的方程為__________.
8．D2=4F且E≠0是圓x2+y2+Dx+Ey+F=0與x軸相切的__________條件.
9．方程|x|-1=表示的曲線是__________.
10．已知點M到點A（1，0），B（a,2）及到y(tǒng)軸的距離都相等，若這樣的點M恰好有一個，則a可能值的個數(shù)為__________.
11．已知函數(shù)S=x+y，變量x,y滿足條件y2-2x≤0和2x+y≤2，試求S的最大值和最小值。
12．A，B是x軸正半軸上兩點，OA=a，OB=b(ab)，M是y軸正半軸上的動點。
（1）求∠AMB的最大值；
（2）當(dāng)∠AMB取最大值時，求OM長；
（3）當(dāng)∠AMB取最大值時，求過A，B，M三點的圓的半徑。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．已知ΔABC的頂點A(3,4)，重心G(1,1)，頂點B在第二象限，垂心在原點O，則點B的坐標(biāo)為__________.
2．把直線繞點（-1，2）旋轉(zhuǎn)300得到的直線方程為__________.
3．M是直線l:上一動點，過M作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A，B，則在線段AB上滿足的點P的軌跡方程為__________.
4．以相交兩圓C1：x2+y2+4x+y+1=0及C2：x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦為直徑的圓的方程為__________.
5．已知M={(x,y)|y=,a0},N={(x,y)|(x-1)2+(y-)2=a2,a0}.MN，a的最大值與最小值的和是__________.
6．圓x2+y2+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0交于P，Q兩點，O為原點，OPOQ，則m=__________.
7．已知對于圓x2+(y-1)2=1上任意一點P(x,y)，使x+y+m≥0恒成立，m范圍是__________.
8．當(dāng)a為不等于1的任何實數(shù)時，圓x2-2ax+y2+2(a-2)y+2=0均與直線l相切，則直線l的方程為__________.
9．在ΔABC中，三個內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c，若lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差數(shù)列，那么直線xsin2A+ysinA=a與直線xsin2B+ysinC=c的位置關(guān)系是__________.
10．設(shè)A={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2},B={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x-4}是坐標(biāo)平面xOy上的點集，C=所圍成圖形的面積是__________.
11．求圓C1：x2+y2+2x+6y+9=0與圓C2：x2+y2-6x+2y+1=0的公切線方程。
12．設(shè)集合L={直線l與直線y=2x相交，且以交點的橫坐標(biāo)為斜率}。
（1）點(-2,2)到L中的哪條直線的距離最??？
（2）設(shè)a∈R+，點P(-2,a)到L中的直線的距離的最小值設(shè)為dmin，求dmin的表達式。
13．已知圓C：x2+y2-6x-8y=0和x軸交于原點O和定點A，點B是動點，且∠OBA=900，OB交⊙C于M，AB交⊙C于N。求MN的中點P的軌跡。
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．在直角坐標(biāo)系中縱橫坐標(biāo)都是有理數(shù)的點稱為有理點。若a為無理數(shù)，過點(a,0)的所有直線中，每條直線上至少存在兩個有理點的直線有_______條。
2．等腰ΔABC的底邊BC在直線x+y=0上，頂點A(2,3)，如果它的一腰平行于直線x-4y+2=0，則另一腰AC所在的直線方程為__________.
3．若方程2mx2+(8+m2)xy+4my2+(6-m)x+(3m-4)y-3=0表示表示條互相垂直的直線，則m=__________.
4．直線x+7y-5=0分圓x2+y2=1所成的兩部分弧長之差的絕對值是__________.
5．直線y=kx-1與曲線y=有交點，則k的取值范圍是__________.
6．經(jīng)過點A(0,5)且與直線x-2y=0,2x+y=0都相切的圓方程為__________.
7．在直角坐標(biāo)平面上，同時滿足條件：y≤3x,y≥x,x+y≤100的整點個數(shù)是__________.
8．平面上的整點到直線的距離中的最小值是__________.
9．y=lg(10-mx2)的定義域為R，直線y=xsin(arctanm)+10的傾斜角為__________.
10．已知f(x)=x2-6x+5，滿足的點(x,y)構(gòu)成圖形的面積為__________.
11．已知在ΔABC邊上作勻速運動的點D，E，F(xiàn)，在t=0時分別從A，B，C出發(fā)，各以一定速度向B，C，A前進，當(dāng)時刻t=1時，分別到達B，C，A。
（1）證明：運動過程中ΔDEF的重心不變；
（2）當(dāng)ΔDEF面積取得最小值時，其值是ΔABC面積的多少倍？
12．已知矩形ABCD，點C(4,4)，點A在圓O：x2+y2=9(x0,y0)上移動，且AB，AD兩邊始終分別平行于x軸、y軸。求矩形ABCD面積的最小值，以及取得最小值時點A的坐標(biāo)。
13．已知直線l:y=x+b和圓C：x2+y2+2y=0相交于不同兩點A，B，點P在直線l上，且滿足|PA||PB|=2,當(dāng)b變化時，求點P的軌跡方程。
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．設(shè)點P(x,y)為曲線|5x+y|+|5x-y|=20上任意一點，求x2-xy+y2的最大值、最小值。
2．給定矩形Ⅰ（長為b，寬為a），矩形Ⅱ（長為c、寬為d），其中adcb，求證：矩形Ⅰ能夠放入矩形Ⅱ的充要條件是：(ac-bd)2+(ad-bc)2≥(a2-b2)2.
3．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)給定凸五邊形ABCDE，它的頂點都是整點，求證：見圖10-8，A1，B1，C1，D1，E1構(gòu)成的凸五邊形內(nèi)部或邊界上至少有一個整點。
4．在坐標(biāo)平面上，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為整點，試證：存在一個同心圓的集合，使得：（1）每個整點都在此集合的某一圓周上；（2）此集合的每個圓周上，有且只有一個整點。
5．在坐標(biāo)平面上，是否存在一個含有無窮多條直線l1,l2,…，ln，…的直線族，它滿足條件：（1）點（1,1）∈ln,n=1,2,3,…；（2）kn+1≥an-bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分別是ln在x軸和y軸上的截距，n=1,2,3,…；（3）knkn+1≥0,n=1,2,3,….并證明你的結(jié)論。
6．在坐標(biāo)平面內(nèi)，一圓交x軸正半徑于R，S，過原點的直線l1,l2都與此圓相交，l1交圓于A，B，l2交圓于D，C，直線AC，BD分別交x軸正半軸于P，Q，求證：