高中三角函數(shù)的教案

高三數(shù)學(xué)幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教案2。

1.2.1幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

教學(xué)目標(biāo)：
1．使學(xué)生應(yīng)用由定義求導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟推導(dǎo)四種常見(jiàn)函數(shù)、、、的導(dǎo)數(shù)公式；
2．掌握并能運(yùn)用這四個(gè)公式正確求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
教學(xué)重點(diǎn)：四種常見(jiàn)函數(shù)、、、的導(dǎo)數(shù)公式及應(yīng)用
教學(xué)難點(diǎn)：四種常見(jiàn)函數(shù)、、、的導(dǎo)數(shù)公式
教學(xué)過(guò)程：
一．創(chuàng)設(shè)情景
我們知道，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線(xiàn)在某一點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率，物理意義是運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度．那么，對(duì)于函數(shù)，如何求它的導(dǎo)數(shù)呢？
由導(dǎo)數(shù)定義本身，給出了求導(dǎo)數(shù)的最基本的方法，但由于導(dǎo)數(shù)是用極限來(lái)定義的，所以求導(dǎo)數(shù)總是歸結(jié)到求極限這在運(yùn)算上很麻煩，有時(shí)甚至很困難，為了能夠較快地求出某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這一單元我們將研究比較簡(jiǎn)捷的求導(dǎo)數(shù)的方法，下面我們求幾個(gè)常用的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
二．新課講授
1．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，因?yàn)?br> 所以
函數(shù)導(dǎo)數(shù)
表示函數(shù)圖像（圖3.2-1）上每一點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率都為0．若表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則可以解釋為某物體的瞬時(shí)速度始終為0，即物體一直處于靜止?fàn)顟B(tài)．
2．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
因?yàn)?br> 所以
函數(shù)導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)圖像（圖3.2-2）上每一點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率都為1．若表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則可以解釋為某物體做瞬時(shí)速度為1的勻速運(yùn)動(dòng)．

3．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
因?yàn)?br> 所以
函數(shù)導(dǎo)數(shù)jaB88.com

表示函數(shù)圖像（圖3.2-3）上點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率都為，說(shuō)明隨著的變化，切線(xiàn)的斜率也在變化．另一方面，從導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)在一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率來(lái)看，表明：當(dāng)時(shí)，隨著的增加，函數(shù)減少得越來(lái)越慢；當(dāng)時(shí)，隨著的增加，函數(shù)增加得越來(lái)越快．若表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則可以解釋為某物體做變速運(yùn)動(dòng)，它在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為．
4．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
因?yàn)?br> 所以
函數(shù)導(dǎo)數(shù)（2）推廣：若，則
三．課堂練習(xí)
1．課本P13探究1
2．課本P13探究2
4．求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

四．回顧總結(jié)
函數(shù)導(dǎo)數(shù)

五．布置作業(yè)

擴(kuò)展閱讀

高三數(shù)學(xué)教案：《簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)

俗話(huà)說(shuō)，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以更好的幫助學(xué)生們打好基礎(chǔ)，幫助高中教師營(yíng)造一個(gè)良好的教學(xué)氛圍。優(yōu)秀有創(chuàng)意的高中教案要怎樣寫(xiě)呢？下面是小編精心收集整理，為您帶來(lái)的《高三數(shù)學(xué)教案：《簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)》，歡迎大家閱讀，希望對(duì)大家有所幫助。

本文題目： 高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教案；簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

【高考要求】：簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(B).

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】：1.了解復(fù)合函數(shù)的概念，理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax+b))的導(dǎo)數(shù).

2.會(huì)用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像或曲線(xiàn)的特征.

3.會(huì)用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值.

【知識(shí)復(fù)習(xí)與自學(xué)質(zhì)疑】

1.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則是什么?

2.(1)若 ，則 ________.(2)若 ，則 _____.(3)若 ，則 ___________.(4)若 ，則 ___________.

3.函數(shù) 在區(qū)間_____________________________上是增函數(shù), 在區(qū)間__________________________上是減函數(shù).

4.函數(shù) 的單調(diào)性是_________________________________________.

5.函數(shù) 的極大值是___________.

6.函數(shù) 的最大值,最小值分別是______,_________.

【例題精講】

1. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) ;(2) .

2.已知曲線(xiàn) 在點(diǎn) 處的切線(xiàn)與曲線(xiàn) 在點(diǎn) 處的切線(xiàn)相同,求 的值.

【矯正反饋】

1.與曲線(xiàn) 在點(diǎn) 處的切線(xiàn)垂直的一條直線(xiàn)是___________________.

2.函數(shù) 的極大值點(diǎn)是_______,極小值點(diǎn)是__________.

(不好解)3.設(shè)曲線(xiàn) 在點(diǎn) 處的切線(xiàn)斜率為 ,若 ,則函數(shù) 的周期是 ____________.

4.已知曲線(xiàn) 在點(diǎn) 處的切線(xiàn)與曲線(xiàn) 在點(diǎn) 處的切線(xiàn)互相垂直, 為原點(diǎn),且 ,則 的面積為_(kāi)_____________.

5.曲線(xiàn) 上的點(diǎn)到直線(xiàn) 的最短距離是___________.

【遷移應(yīng)用】

1.設(shè) , 若存在 ,使得 ,求 的取值范圍.

2.已知 ,若對(duì)任意 都有 ,試求 的取值范圍.

高三數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用教案18

11．5導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo)
了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，會(huì)用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求解函數(shù)不等式的問(wèn)題；
二．建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
1．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求單調(diào)區(qū)間的方法（見(jiàn)上一節(jié)）；
2．利用導(dǎo)數(shù)解不等式問(wèn)題：（高考中的一類(lèi)新題型）
（1）利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，
（2）利用單調(diào)性研究不等式。
三、雙基題目練練手
1．已知a0，函數(shù)f（x）=x3－ax在［1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是
A．0B．1C．2D．3
2．函數(shù)f（x）=sin（3x－）在點(diǎn)（,）處的切線(xiàn)方程是（）
A．3x+2y+－=0,B．3x－2y+－=0
C．3x－2y－－=0,D．3x+2y－－=0
3．(2006湖北)若的大小關(guān)系（）
A．B．C．D．與x的取值有關(guān)
4．（2006江西）對(duì)于上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x),若滿(mǎn)足(x－1)f′(x)≥0,則必有（）
A．f(0)+f(2)2f(1)B．f(0)+f(2)≤2f(1)
C．f(0)+f(2)≥2f(1)D．f(0)+f(2)2f(1)
5．若函數(shù)y=－x3+bx有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則b的取值范圍是________．
6．方程x3－3x+c=0在［0，1］上至多有_______個(gè)實(shí)數(shù)根．

簡(jiǎn)答:1－4．DBDC；
5．y′=－4x2+b，若y′值有正、有負(fù)，則b0．答案：b0
6．設(shè)f（x）=x3－3x+c，則（x）=3x2－3=3（x2－1）．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，（x）0恒成立．
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減．
∴f（x）的圖象與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn)．
因此方程x3－3x+c=0在［0，1）上至多有一實(shí)根．
四、經(jīng)典例題做一做
【例1】證明：當(dāng)x0時(shí)，有
證明：設(shè)f(x)=x-sinx,于是f(0)=0．
∵f/(x)=1-cosx(僅在x=2kπ(k∈Z)處f/(x)=0
∴當(dāng)x0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，從而有f(x)f(0)
即x-sinx0,xsinx(x0)
為證不等式，設(shè)
g(x)=sinx-x+,則g(0)=0,
于是g/(x)0,∴g(x)在x0時(shí)遞增，從而有g(shù)(x)g(0)=0
即
故當(dāng)x0時(shí)有
提煉方法：證不等式的依據(jù)I：
（1）若函數(shù)f(x)在xa可導(dǎo)，且遞增，則f(x)f(a);
（2）若函數(shù)f(x)在xa可導(dǎo)，且遞減，則f(x)《f(a);
關(guān)鍵在于構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，一般是左-右，右-左，左÷右等。

【例2】已知
求證：函數(shù)f(x)圖像上的點(diǎn)不可能在函數(shù)g(x)圖像的上方。
證明：設(shè)F(x)=(2-x)ex-1,(x2)
∵F/(x)=(1-x)ex-1,
當(dāng)x1時(shí)，F(xiàn)/（x）0,當(dāng)1x2時(shí)，F(xiàn)/(x)0．
∴x=1時(shí)，F(xiàn)(x)有極大值，也就是最大值。
∴F(x)≤F(1)=1,又x2,
∴
∴函數(shù)f(x)圖像上的點(diǎn)不可能在函數(shù)g(x)圖像的上方。

提煉方法：證不等式的依據(jù)II：
(1)若函數(shù)f(x)在某一范圍內(nèi)有最小值m,則f(x)≥m．
(2)若函數(shù)f(x)在某一范圍內(nèi)有最大值M，則f(x)≤m．

【例3】(2006全國(guó)Ⅰ）已知函數(shù)
（Ⅰ）設(shè)a0，討論y=f(x)的單調(diào)性；
（Ⅱ）若對(duì)任意x∈(0,1)恒有f(x)1，求a的取值范圍
解(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)?－∞,1)∪(1,+∞)。對(duì)f(x)求導(dǎo)數(shù)得f(x)=ax2+2－a(1－x)2e－ax
(ⅰ)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=2x2(1－x)2e－2x,f(x)在(－∞,0),(0,1)和(1,+∞)均大于0,所以f(x)在(－∞,1),(1,+∞)為增函數(shù)；
(ⅱ)當(dāng)0a2時(shí),f(x)0,f(x)在(－∞,1),(1,+∞)為增函數(shù)；
(ⅲ)當(dāng)a2時(shí),0a－2a1,令f(x)=0,解得x1=－,x2=
當(dāng)x變化時(shí),f(x)和f(x)的變化情況如下表：
x(-∞,-)
(-,)
(,1)
(1,+∞)
f(x)＋－＋＋
f(x)↗↘↗↗
f(x)在(－∞,－),(,1),(1,+∞)為增函數(shù),f(x)在(－,)為減函數(shù)。
(Ⅱ)(ⅰ)當(dāng)0a≤2時(shí),由(Ⅰ)知:對(duì)任意x∈(0,1)恒有f(x)f(0)=1
(ⅱ)當(dāng)a2時(shí),取x0=12∈(0,1),則由(Ⅰ)知f(x0)f(0)=1
(ⅲ)當(dāng)a≤0時(shí),對(duì)任意x∈(0,1),恒有1+x1－x1且e－ax≥1,得
f(x)=1+x1－xe－ax≥1+x1－x1綜上當(dāng)且僅當(dāng)a∈(－∞,2]時(shí),對(duì)任意x∈(0,1)恒有f(x)1。

特別提示：對(duì)于求單調(diào)區(qū)間、極值、最值問(wèn)題，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)把定義區(qū)間分開(kāi)，列出表格，再分析各區(qū)間導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間、極值最值，清楚直觀不易出錯(cuò)。
【例4】(2006全國(guó)Ⅰ)在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)以和為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線(xiàn)C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與軸的交點(diǎn)分別為A、B，且向量求：
（Ⅰ）點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）的最小值。
解:橢圓方程可寫(xiě)為:y2a2+x2b2=1式中ab0,且a2－b2=33a=32得a2=4,b2=1,所以曲線(xiàn)C的方程為:x2+y24=1(x0,y0)y=21－x2(0x1)y=－2x1－x2
設(shè)P(x0,y0),因P在C上,有0x01,y0=21－x02,y|x=x0=－4x0y0,得切線(xiàn)AB的方程為:
y=－4x0y0(x－x0)+y0設(shè)A(x,0)和B(0,y),由切線(xiàn)方程得x=1x0,y=4y0
由OM→=OA→+OB→得M的坐標(biāo)為(x,y),由x0,y0滿(mǎn)足C的方程,得點(diǎn)M的軌跡方程為:
1x2+4y2=1(x1,y2)
(Ⅱ)|OM→|2=x2+y2,y2=41－1x2=4+4x2－1,
∴|OM→|2=x2－1+4x2－1+5≥4+5=9且當(dāng)x2－1=4x2－1,即x=31時(shí),上式取等號(hào)
故|OM→|的最小值為3
【研討欣賞】(2006湖北)設(shè)x=3是函數(shù)f(x)=(x2+ax+b)e3-x(x∈R)的一個(gè)極值點(diǎn)．
（1）求a與b的關(guān)系式（用a表示b），并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)0，=（）．若存在使得||1成立，求的取值范圍．
解：（1）
由f′(3)=0得
所以
令f′(x)=0得
由于x=3是f(x)的極值點(diǎn)，故x1≠x2，即a≠-4
當(dāng)時(shí)，，故f(x)在上為減函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)
當(dāng)a4時(shí)，x1x2，故f(x)在(－∞,－a－1]上為減函數(shù)，在[－a－1,3]上為增函數(shù)，在[3,+∞)上為減函數(shù)．
（2）當(dāng)a0時(shí)，－a－10，故f(x)在[0,3]上為增函數(shù)，在[3,4]上為減函數(shù)，在[3,+∞)上為減函數(shù)
因此f(x)在[0,4]上的值域?yàn)?br> 而在[0,4]上為增函數(shù)，所以值域?yàn)?br> 注意到，
故由假設(shè)知解得
故的取值范圍是
考查知識(shí)：函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．
五．提煉總結(jié)以為師
1．利用導(dǎo)數(shù)求解不等式問(wèn)題的核心是利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，這就轉(zhuǎn)化為一般的函數(shù)問(wèn)題；
2．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式有兩種方法：
3．導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)問(wèn)題的工具，注意它在其它數(shù)學(xué)問(wèn)題中的綜合與應(yīng)用。

同步練習(xí)11．5導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
【選擇題】
1某物體作s=2（1－t）2的直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則t=0．8s時(shí)的瞬時(shí)速度為()
A．4B．－4C－4．8D－0．8
2．已知函數(shù)f（x）=x4－4x3+10x2，則方程f（x）=0在區(qū)間［1，2］上的根有
A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)
3．若f(x)是在（－L，L）內(nèi)的可導(dǎo)的偶函數(shù)，且不恒為0，則（）
（A）必定是（－L，L）內(nèi)的偶函數(shù)
（B）必定是（－L，L）內(nèi)的奇函數(shù)
（C）必定是（－L，L）內(nèi)的非奇非偶函數(shù)
（D）可能是（－L，L）內(nèi)的奇函數(shù)，可能是偶函
4．已知的值是（）
A．B．0C．8D．不存在

【填空題】
5．曲線(xiàn)y=上的點(diǎn)到直線(xiàn)2x－y+3=0的最短距離為
6設(shè)底為等邊三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時(shí)，底面邊長(zhǎng)為_(kāi)_______
簡(jiǎn)答．提示：1－4．DDBC;
2．（x）=4x（x2－3x+5）在［1，2］上，（x）0，
∴f（x）在［1，2］上單調(diào)遞增．∴f（x）≥f（1）=7．
∴f（x）=0在［1，2］上無(wú)根．答案：D
3．由f(－x)=f(x)，求導(dǎo)得．
4．，
5．;6．設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，則高為h=，
∴S表=3×x+2×x2=+x2
∴S′=－+x令S′=0，得x=．答案：
【解答題】
7．已知x∈R,求證：ex≥x+1．
證明:設(shè)f（x）=ex－x－1,則f′（x）=ex－1．
∴當(dāng)x=0時(shí)，f′（x）=0,f（x）=0．
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0,∴f（x）在（0,+∞）上是增函數(shù)．∴f（x）＞f（0）=0．
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0,f（x）在（－∞,0）上是減函數(shù)，∴f（x）＞f（0）=0．
∴對(duì)x∈R都有f（x）≥0．∴ex≥x+1．
8．（2006江西）已知函數(shù)在與時(shí)都取得極值．
（1）求、的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
（2）若對(duì)x∈[-1,2],不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范圍．
解:
f/(x)=3x2－x－2=(3x－2)(x-1),函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間如下表：
f/(x)

f(x)
極大值
極小值

所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為與;
遞減區(qū)間為．
9．（2006重慶）已知函數(shù)f(x)=(x2+bx+c)ex，其中b,c∈R為常數(shù)。
（Ⅰ）若b24(c-1)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
（Ⅱ）若，且，試證：。
解（I）求導(dǎo)得f/(x)=[x2+(b+2)x+b+e]ex
∵b24(c-1)故方程f/(x)=0即x2+(b+2)x+b+e=0有兩個(gè)實(shí)根
令f/(x)0,解得xx1,或xx2．
又令f/(x)0,解得x1xx2．
故當(dāng)x∈(－∞,x1)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，x∈(x2,+∞)時(shí)，f(x)也是函數(shù)，當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí)，f(x)是減函數(shù)。
（II）易知
∴
∴由已知條件得
解得
10．(2006浙江)已知函數(shù)f(x)=x+x，數(shù)列｜x｜(x＞0)的第一項(xiàng)x＝1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：曲線(xiàn)x=f(x)在處的切線(xiàn)與經(jīng)過(guò)（0，0）和（x,f(x)）兩點(diǎn)的直線(xiàn)平行（如圖）．
求證：當(dāng)n時(shí)，
(Ⅰ)x
（Ⅱ）
證明：（I）因?yàn)?br> 所以曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率
因?yàn)檫^(guò)和兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率是
所以．
（II）因?yàn)楹瘮?shù)當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，
而，
所以，即
因此
又因?yàn)榱顒t
因?yàn)樗?br> 因此故

【探索題】已知函數(shù)f(x)=f(x)的導(dǎo)函數(shù)是對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，

證法一：由，得
∴
下面證明對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù),有恒成立
即證成立
∵
設(shè)，則
令得，列表如下：

極小值

∴
∴對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，恒有
證法二：由，得
∴
∵是兩個(gè)不相等的正數(shù)
∴
設(shè)，
則，列表：

極小值

∴即
∴
即對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，恒有

高三數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算教案17

11.3導(dǎo)數(shù)概念與運(yùn)算
一、明確復(fù)習(xí)目標(biāo)
1.了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景(如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線(xiàn)切線(xiàn)的斜率等)；
2.掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念;
3.熟記基本導(dǎo)數(shù)公式；
4.掌握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則;
5.了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
二．建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
1．導(dǎo)數(shù)的概念：設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=x0處附近有定義，如果Δx→0時(shí)，Δy與Δx的比（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限即無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)，我們把這個(gè)極限值叫做函數(shù)y=f(x)在Δx→0處的導(dǎo)數(shù)，記作
；
2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)（x0，y0）處的切線(xiàn)的斜率，即斜率為f′(x0).
過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)方程為：y-y0=f′(x0)(x-x0).
3.導(dǎo)函數(shù)、可導(dǎo)：如果函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，即對(duì)于每一個(gè)x∈(a,b)，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f′(x0)，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)f′(x0),稱(chēng)這個(gè)函數(shù)f′(x0)為函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)。此時(shí)稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).
4．可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).
5.依定義求導(dǎo)數(shù)的方法：
（1）求函數(shù)的改變量
（2）求平均變化率
（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)＝
6．幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(C為常數(shù))；()；；；；；；。
7．導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：
；；
；
8．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)u=(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)u′x=′(x)，函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處有導(dǎo)數(shù)y′u=f′(u)，則復(fù)合函數(shù)y=f((x))在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù)，且或=f′(u)′(x).
9.求導(dǎo)數(shù)的方法:
(1)求導(dǎo)公式;(2)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則;
(3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式;(4)導(dǎo)數(shù)定義.

三、雙基題目練練手
1.在曲線(xiàn)y=x2+1的圖象上取一點(diǎn)（1,2）及鄰近一點(diǎn)（1+Δx,2+Δy）,則為（）
A.Δx++2B.Δx－－2C.Δx+2D.2+Δx－
2.設(shè)f（x）=ax3+3x2+2,若f′（－1）=4,則a的值等于（）
A.B.C.D.
3．(2005湖南)設(shè)f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，則f2005(x)＝（）
A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx
4.(2006湖南)設(shè)函數(shù),集合,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()
A．B．C．D．
5.(2006全國(guó)Ⅰ)設(shè)函數(shù)若是奇函數(shù)，則__________
6．設(shè)函數(shù)若該函數(shù)在實(shí)數(shù)集R上可導(dǎo)，則該函數(shù)的最小值是____．

7.(2005北京)過(guò)原點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為，切線(xiàn)的斜率為.
8．對(duì)正整數(shù)n，設(shè)曲線(xiàn)在x＝2處的切線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式是

簡(jiǎn)答:1－4.CDCC；5.π6；
6.答案:－14.依題意
作圖易得函數(shù)的最小值是f(12)＝－14

7.（1，e）e；8.2n+1-2.
四、經(jīng)典例題做一做
【例1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
（1）y=（2）y=ln（x＋）;
（３）y=;
解:（1）y′=
=
=
（2）y′=（x＋）′
=（1＋）=
（３）y′==
◆提煉方法：題（1）是導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則；題（2）（3）是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法.都是導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ).
【例2】（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)（1，1）處的切線(xiàn)方程；
（2）運(yùn)動(dòng)曲線(xiàn)方程為，求t=3時(shí)的速度
分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率瞬時(shí)速度是位移函數(shù)S(t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)
解：（1），
，即曲線(xiàn)在點(diǎn)（1，1）處的切線(xiàn)斜率k=0
因此曲線(xiàn)在（1，1）處的切線(xiàn)方程為y=1
（2）
解題點(diǎn)評(píng):切線(xiàn)是導(dǎo)數(shù)的“幾何形象”,是函數(shù)單調(diào)性的“幾何”解釋,要熟練掌握求切線(xiàn)方程的方法.
【例3】若f（x）在R上可導(dǎo)，（1）求f（－x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)與f（x）在x=－a處的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；（2）證明：若f（x）為偶函數(shù)，則f′（x）為奇函數(shù).
分析:（1）需求f（－x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)與f（x）在x=－a處的導(dǎo)數(shù)；（2）求f′（x），然后判斷其奇偶性.
（1）解:設(shè)f（－x）=g（x）,則
g′（a）=
=
=－=－f′（－a）
∴f（－x）在x=a處的導(dǎo)數(shù)與f（x）在x=－a處的導(dǎo)數(shù)互為相反數(shù).
（2）證明:f′（－x）=
=
=－=－f′（x）
∴f′（x）為奇函數(shù).
解題點(diǎn)注:用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)時(shí)，要注意Δy中自變量的變化量應(yīng)與Δx一致.
【例4】（2006浙江）已知函數(shù)＝x3+x2，數(shù)列{xn}（xn0）的第一項(xiàng)x1＝1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：曲線(xiàn)y＝在處的切線(xiàn)與經(jīng)過(guò)（0，0）和（xn，f（xn））兩點(diǎn)的直線(xiàn)平行（如圖）。求證：當(dāng)n時(shí)：
（I）；（II）

證明：（I）∵
∴曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率
∵過(guò)和兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率是
∴.
（II）∵函數(shù)當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，
而
，
∴，即
因此
又∵
令則
∵∴
因此故
考查知識(shí)：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，以及不等式的證明，同時(shí)考查邏輯推理能力。
五．提煉總結(jié)以為師
1．了解導(dǎo)數(shù)的概念，初步會(huì)用定義式解決一些問(wèn)題；
2．會(huì)用定義式求導(dǎo)數(shù)；
3．了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；會(huì)求切線(xiàn)方程；
4．掌握常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并會(huì)正確運(yùn)用；
5．掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。

同步練習(xí)11.3導(dǎo)數(shù)概念與運(yùn)算
【選擇題】
1.設(shè)函數(shù)f（x）在x=x0處可導(dǎo),則（）
A與x0,h都有關(guān)B僅與x0有關(guān)而與h無(wú)關(guān)
C僅與h有關(guān)而與x0無(wú)關(guān)D與x0、h均無(wú)關(guān)
2.已知函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)為3,則f（x）的解析式可能為（）
Af（x）=（x－1）2+3（x－1）Bf（x）=2（x－1）
Cf（x）=2（x－1）2Df（x）=x－1
3．(2005湖北)在函數(shù)的圖象上，其切線(xiàn)的傾斜角小于的點(diǎn)中，坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）
A．3B．2C．1D．0

4.(2006安徽)若曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則的方程為（）
A．B．C．D．
【填空題】
5.一點(diǎn)沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過(guò)t秒后的距離為，那么速度為零的時(shí)刻是________

6．過(guò)點(diǎn)（0，－4）與曲線(xiàn)y＝x3＋x－2相切的直線(xiàn)方程是．
7.設(shè)f（x）在x=1處連續(xù)，且f（1）=0,=2,則f′（1）=_______
8.曲線(xiàn)y=2－x2與y=x3－2在交點(diǎn)處的切線(xiàn)夾角是__________（以弧度數(shù)作答）

簡(jiǎn)答.提示：1－4.BADA；5.1，2，4秒末；
6．y＝4x－4；7.∵f（1）=0,=2,
∴f′（1）====2

8.由消y得：（x－2）（x2+4x+8）=0,∴x=2
∵y′=（2－x2）′=－x,∴y′|x=2=－2
又y′=（－2）′=x2,∴當(dāng)x=2時(shí),y′=3
∴兩曲線(xiàn)在交點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率分別為－2、3,
||=1∴夾角為
【解答題】
9．下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
①
②
③f（x）=e－x（cosx+sinx）
分析：利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算求導(dǎo)數(shù)
①法一：
∴
法二：
=+
②
∴
③f/(x)=－e－x（cosx+sinx）+e－x（－sinx+cosx）
=－2e－xsinx,
10．如果曲線(xiàn)的某一切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線(xiàn)方程．
解：切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，斜率為4
又切線(xiàn)在點(diǎn)的斜率為
∵∴
或
∴切點(diǎn)為（1，-8）或（-1，-12）
切線(xiàn)方程為或
即或
11．(2005福建)已知函數(shù)
的圖象過(guò)點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)M（－1，f（－1））處的切線(xiàn)方程為．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f(x)的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間．
解：（Ⅰ）由f(x)的圖象經(jīng)過(guò)P（0，2），知d=2，
所以
由在M(-1,f(-1))處的切線(xiàn)方程是，知
故所求的解析式是
（Ⅱ）
解得
當(dāng)
當(dāng)
故內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)．
考查知識(shí)：函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．

12.證明：過(guò)拋物線(xiàn)y=a（x－x1）（x－x2）（a≠0，x1x2）上兩點(diǎn)A（x1，0）、B（x2，0）的切線(xiàn)，與x軸所成的銳角相等.
解：y′=2ax－a（x1+x2），
y′|=a（x1－x2），即kA=a（x1－x2），y′|=a（x2－x1），即kB=a（x2－x1）.
設(shè)兩條切線(xiàn)與x軸所成的銳角為、β，則tan=|kA|=|a（x1－x2）|，
tanβ=|kB|=|a（x2－x1）|，故tan=tanβ.
又、β是銳角，則=β.

高三數(shù)學(xué)下冊(cè)《導(dǎo)數(shù)》知識(shí)點(diǎn)

高三數(shù)學(xué)下冊(cè)《導(dǎo)數(shù)》知識(shí)點(diǎn)

一、綜述

導(dǎo)數(shù)是微積分的初步知識(shí)，是研究函數(shù)，解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具。在高中階段對(duì)于導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，主要是以下幾個(gè)方面：

1.導(dǎo)數(shù)的常規(guī)問(wèn)題：

(1)刻畫(huà)函數(shù)(比初等方法精確細(xì)微);(2)同幾何中切線(xiàn)聯(lián)系(導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線(xiàn)的切線(xiàn));(3)應(yīng)用問(wèn)題(初等方法往往技巧性要求較高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡(jiǎn)便)等關(guān)于次多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題屬于較難類(lèi)型。

2.關(guān)于函數(shù)特征，最值問(wèn)題較多，所以有必要專(zhuān)項(xiàng)討論，導(dǎo)數(shù)法求最值要比初等方法快捷簡(jiǎn)便。

3.導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問(wèn)題是一種重要類(lèi)型，也是高考中考察綜合能力的一個(gè)方向，應(yīng)引起注意。

二、知識(shí)整合

1.導(dǎo)數(shù)概念的理解。

2.利用導(dǎo)數(shù)判別可導(dǎo)函數(shù)的極值的方法及求一些實(shí)際問(wèn)題的最大值與最小值。

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則是微積分中的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容。課本中先通過(guò)實(shí)例，引出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，接下來(lái)對(duì)法則進(jìn)行了證明。

練習(xí)題：

1．已知某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y′＝12(x－1)，則這個(gè)函數(shù)可能是()

A．y＝ln1－x

B．y＝ln11－x

C．y＝ln(1－x)D．y＝ln11－x

答案：A

解析：對(duì)選項(xiàng)求導(dǎo)．

(ln1－x)′＝11－x(1－x)′

＝11－x12(1－x)－12(－1)

＝12(x－1).故選A.

2．設(shè)函數(shù)f(x)＝g(x)＋x2，曲線(xiàn)y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線(xiàn)方程為y＝2x＋1，則曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處切線(xiàn)的斜率為()

A．4

B．－14

C．2

D．－12

答案：A

解析：f′(x)＝g′(x)＋2x.

∵y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線(xiàn)方程為y＝2x＋1，

∴g′(1)＝2，∴f′(1)＝g′(1)＋2×1＝2＋2＝4，

∴y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處切線(xiàn)斜率為4.

3．曲線(xiàn)y＝xx－2在點(diǎn)(1，－1)處的切線(xiàn)方程為()

A．y＝x－2B．y＝－3x＋2

C．y＝2x－3D．y＝－2x＋1

答案：D

解析：y′＝(xx－2)′＝－2(x－2)2，

∴k＝y(tǒng)′|x＝1＝－2.

l：y＋1＝－2(x－1)，則y＝－2x＋1.故選D.