高中三角函數(shù)教案

增城市派潭中學高三二輪復習專題《三角恒等變換、圖象與性質》教案。

一名優(yōu)秀的教師在教學時都會提前最好準備，作為高中教師準備好教案是必不可少的一步。教案可以讓學生們充分體會到學習的快樂，幫助高中教師提前熟悉所教學的內容。那么一篇好的高中教案要怎么才能寫好呢？考慮到您的需要，小編特地編輯了“增城市派潭中學高三二輪復習專題《三角恒等變換、圖象與性質》教案”，供大家借鑒和使用，希望大家分享！

第7講三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質
教學重點：掌握三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質的應用
教學難點：三角恒等變換及數(shù)形結合的應用
近兩年高考考點：2010年：11題正余弦定理的應用
16題三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質的應用
2011年：16題三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質的應用
一、知識復習：
1．⑴角度制與弧度制的互化：弧度，弧度，弧度
⑵弧長公式：；扇形面積公式：。
2．三角函數(shù)定義：角中邊上任意一點為，設則：
3．三角函數(shù)符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；
4．誘導公式記憶規(guī)律：“奇變偶不變，符號看象限”；
sin(2kπ+α)=________,cos(2kπ+α)=________,tan(2kπ+α)=_________;
sin(-α)=_________,cos(-α)=_________,tan(-α)=_________;
sin(π-α)=_________,cos(π-α)=_________,tan(π-α)=_________;
sin(π+α)=________,cos(π+α)=________,tan(π+α)=__________;
sin(2π-α)=_________,cos(2π-α)=_________,tan(2π-α)=__________;
sin(-α)=_____,cos(-α)=______,sin(+α)=_____,cos(+α)=______,
sin(-α)=_____,cos(-α)=______,sin(+α)=_____,cos(+α)=______,
5．同角三角函數(shù)的基本關系：，；
6．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：①=

②=③=。

④
7．二倍角公式：①；=
②
，，；
③，=。
8．常用降冪公式：
=__________，=__________，=__________，=___________.
=________,=_________,
9.常用合一變形:
=__________________________.
=__________________,=__________________,
=__________________,=__________________,=________________,=_____________.
10．三角函數(shù)的圖像和性質

圖像
定義域
值域
最小正周期
奇偶性
對稱軸
對稱中心
遞增區(qū)間
遞減區(qū)間
最大值
最小值
注意：⑴對稱軸：；對稱中心：；
⑵對稱軸：；對稱中心：；
二、體驗高考
1.（2011山東理6）若函數(shù)(ω0)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，則ω=
A．3B．2C．D．
2.（2011全國新課標理11）設函數(shù)的最小正周期為，且則
（A）在單調遞減（B）在單調遞減
（C）在單調遞增（D）在單調遞增
3.（2011遼寧理16）已知函數(shù)=Atan（x+）（），y=的部分圖像如右圖，則
4.（2011湖北理3）已知函數(shù)，若，則x的取值范圍為
A.B．
C．D．

5.（2011江蘇9）函數(shù)是常數(shù)，的部分圖象如圖所示，則f(0)=

6.（2011廣東理16）已知函數(shù)
(1)求的值；
(2)設求的值.

三、例題講解
考向一：三角恒等變換及其求值
例1、已知，則

例2、（1）．已知.(I)求的值；(II)求的值。

(2）．已知，求的值.

考向二：函數(shù)的解析式及圖象變換
例3：（1）（2011年浙江寧波模擬）設偶函數(shù)，其中，的部分圖象如圖所示。為等腰直角三角形，，KL＝1，則
A.B.C.D.

（2）.（2011年揭陽一模）已知函數(shù)的圖象與軸的兩個相鄰交點的距離等于，則為得到函數(shù)的圖象可以把函數(shù)的圖象上所有的點
A.向右平移，再將所得圖象上所有的點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍;
B.向右平移，再將所得圖象上所有的點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍;
C.向左平移，再將所得圖象上所有的點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋?
D.向左平移，再將所得圖象上所有的點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍.
例4：（2011年山東濰坊一模）函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示。
（1）求的解析式；
（2）設，求函數(shù)在上的最大值，并確定此時x的值。

考向三：三角函數(shù)的奇偶性與對稱性
例5：（1）（2011年湖南長沙模擬）定義行列式運算a1a2a3a4＝a1a4－a2a3.將函數(shù)f(x)＝3sinx1cosx的圖象向左平移n(n0)個單位，所得圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù)，則n的最小值為________．
（2）（2011年安徽合肥質檢）已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，且，則的最小值為
A.2B.4C.6D.8
考向四：三角函數(shù)的周期性與單調性
例6：已知函數(shù)在時取得最大值，（1）在上的單調增區(qū)間為
A.B.C.D.

（2）若A＝2，請畫出在上的圖象。

例7：已知，，。設函數(shù)
（1）函數(shù)的最小正周期
（2）函數(shù)的單調區(qū)間；
（3）函數(shù)的最大值及對應的取值的集合，最小值及對應的取值的集合
（4）當時，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍

四、鞏固練習

1、已知函數(shù)（其中）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最低點為.
(Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）當，求的值域.

2、已知函數(shù)（其中，）的最大值為2，直線、是圖象的任意兩條對稱軸，且的最小值為．
⑴求，的值；⑵若，求的值．

3、（2011廣東省三校聯(lián)考）
已知函數(shù)
（1）求的值域；
（2）若（x0）的圖象與直線交點的橫坐標由小到大依次是，求數(shù)列的前2n項的和。

4．已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象關于直線對稱，當
時，函數(shù)，其圖象如圖.

（1）求函數(shù)在的表達式；
（2）求方程的解.

第7講三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質
教學重點：掌握三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質的應用
教學難點：三角恒等變換及數(shù)形結合的應用
近兩年高考考點：2010年：11題正余弦定理的應用
16題三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質的應用
2011年：16題三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質的應用

一、知識復習：
1．⑴角度制與弧度制的互化：弧度，弧度，弧度
⑵弧長公式：；扇形面積公式：。
2．三角函數(shù)定義：角中邊上任意一點為，設則：
3．三角函數(shù)符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；
4．誘導公式記憶規(guī)律：“奇變偶不變，符號看象限”；
sin(2kπ+α)=________,cos(2kπ+α)=________,tan(2kπ+α)=_________;
sin(-α)=_________,cos(-α)=_________,tan(-α)=_________;
sin(π-α)=_________,cos(π-α)=_________,tan(π-α)=_________;
sin(π+α)=________,cos(π+α)=________,tan(π+α)=__________;
sin(2π-α)=_________,cos(2π-α)=_________,tan(2π-α)=__________;
sin(-α)=_____,cos(-α)=______,sin(+α)=_____,cos(+α)=______,
sin(-α)=_____,cos(-α)=______,sin(+α)=_____,cos(+α)=______,
5．同角三角函數(shù)的基本關系：，；
6．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：①=

②=③=。

④
7．二倍角公式：①；=
②
，，；
③，=。
8．常用降冪公式：
=__________，=__________，=__________，=___________.
=________,=_________,
9.常用合一變形:
=__________________________.
=__________________,=__________________,
=__________________,=__________________,=________________,=_____________.
10．三角函數(shù)的圖像和性質
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圖像
定義域
值域
最小正周期
奇偶性
對稱軸
對稱中心
遞增區(qū)間
遞減區(qū)間
最大值
最小值
注意：⑴對稱軸：；對稱中心：；
⑵對稱軸：；對稱中心：；

二、體驗高考
1.（2011山東理6）若函數(shù)(ω0)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，則ω=
A．3B．2C．D．
【答案】C
2.（2011全國新課標理11）設函數(shù)的最小正周期為，且則
（A）在單調遞減（B）在單調遞減
（C）在單調遞增（D）在單調遞增
【答案】A

3.（2011遼寧理16）已知函數(shù)=Atan（x+）（），y=的部分圖像如下圖，則．

【答案】
4.（2011湖北理3）已知函數(shù)，若，則x的取值范圍為
A．B．
C．D．
【答案】B
5.（江蘇9）函數(shù)是常數(shù)，的部分圖象如圖所示，則f(0)=
【答案】
6.（2011廣東理16）已知函數(shù)
(3)求的值；
(4)設求的值.
解：（1）
故
三、例題講解
考向一：三角恒等變換及其求值
例1、（2011年安徽八校聯(lián)考）已知，則

例2、（1）．已知.(I)求的值；(II)求的值。

（2）．已知，求的值.

考向二：函數(shù)的解析式及圖象變換
例3：（1）（2011年浙江寧波模擬）設偶函數(shù)，其中，的部分圖象如圖所示。為等腰直角三角形，，KL＝1，則
A.B.C.D.

（2）.（2011年揭陽一模）已知函數(shù)的圖象與軸的兩個相鄰交點的距離等于，則為得到函數(shù)的圖象可以把函數(shù)的圖象上所有的點
A.向右平移，再將所得圖象上所有的點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍;
B.向右平移，再將所得圖象上所有的點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍;
C.向左平移，再將所得圖象上所有的點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋?
D.向左平移，再將所得圖象上所有的點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍.
6.依題意知，故，故選A.
例4：（2011年山東濰坊一模）函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示。
（3）求的解析式；
（4）設，求函數(shù)在上的最大值，并確定此時x的值。

考向三：三角函數(shù)的奇偶性與對稱性
例5：（1）（2011年湖南長沙模擬）定義行列式運算a1a2a3a4＝a1a4－a2a3.將函數(shù)f(x)＝3sinx1cosx的圖象向左平移n(n0)個單位，所得圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù)，則n的最小值為________．
解析：f(x)＝3sinx1cosx＝3cosx－sinx＝2cos(x＋π6)，
圖象向左平移n(n0)個單位，
得f(x＋n)＝2cos(x＋n＋π6)，則當n取得最小值56π時，函數(shù)為偶函數(shù)．
答案：56π
（2）（2011年安徽合肥質檢）已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，且，則的最小值為
A.2B.4C.6D.8

考向四：三角函數(shù)的周期性與單調性
例6：已知函數(shù)在時取得最大值，則在上的單調增區(qū)間為
A.B.C.D.
例7：（2011年廣東六校聯(lián)考）已知，，。
（5）函數(shù)的最大值和最小正周期；
（6）函數(shù)的單調遞增區(qū)間。

四、鞏固練習

1、設函數(shù)
（1）若，求①函數(shù)的單調區(qū)間；
②求最大值及對應的取值的集合，求最小值及對應的取值的集合
③畫出函數(shù)在此范圍內的圖像
（2）當時，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍

2、已知函數(shù)（其中）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最低點為.
(Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）當，求的值域.

3、已知函數(shù)（其中，）的最大值為2，直線、是圖象的任意兩條對稱軸，且的最小值為．
⑴求，的值；⑵若，求的值．

4、（2011廣東省三校聯(lián)考）
已知函數(shù)
（1）求的值域；
（2）若（x0）的圖象與直線交點的橫坐標由小到大依次是，求數(shù)列的前2n項的和。

5．已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象關于直線對稱，當
時，函數(shù)，其圖象如圖.

（1）求函數(shù)在的表達式；
（2）求方程的解.

延伸閱讀

三角函數(shù)的圖象與性質

4.6三角函數(shù)的圖象與性質（二）

●知識梳理
1.三角函數(shù)的圖象和性質
函數(shù)
性質y=sinxy=cosxy=tanx
定義域
值域
圖象
奇偶性
周期性
單調性
對稱性
注：讀者自己填寫.
2.圖象與性質是一個密不可分的整體，研究性質要注意聯(lián)想圖象.
●點擊雙基
1.函數(shù)y=sin（－2x）+sin2x的最小正周期是
A.2πB.πC.D.4π
解析：y=cos2x－sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=sin（+2x），T=π.
答案：B
2.若f（x）sinx是周期為π的奇函數(shù)，則f（x）可以是
A.sinxB.cosxC.sin2xD.cos2x
解析：檢驗.
答案：B
3.函數(shù)y=2sin（－2x）（x∈［0，π］）為增函數(shù)的區(qū)間是
A.［0，］B.［，］
C.［，］D.［，π］
解析：由y=2sin（－2x）=－2sin（2x－）其增區(qū)間可由y=2sin（2x－）的減區(qū)間得到，即2kπ+≤2x－≤2kπ+，k∈Z.
∴kπ+≤x≤kπ+，k∈Z.
令k=0，故選C.
答案：C
4.把y=sinx的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)____________的圖象；再把所得圖象上的所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，而縱坐標保持不變，得到函數(shù)____________的圖象.
解析：向左平移個單位，即以x+代x，得到函數(shù)y=sin（x+），再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，即以x代x，得到函數(shù)：y=sin（x+）.
答案：y=sin（x+）y=sin（x+）
5.函數(shù)y=lg（cosx－sinx）的定義域是_______.
解析：由cosx－sinx＞0cosx＞sinx.由圖象觀察，知2kπ－＜x＜2kπ+（k∈Z）.
答案：2kπ－＜x＜2kπ+（k∈Z）
●典例剖析
【例1】（1）y=cosx+cos（x+）的最大值是_______；
（2）y=2sin（3x－）的圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是_______.
剖析：（1）y=cosx+cosx－sinx
=cosx－sinx=（cosx－sinx）
=sin（－x）.
所以ymax=.
（2）T=，相鄰對稱軸間的距離為.
答案：
【例2】（1）已知f（x）的定義域為［0，1），求f（cosx）的定義域；
（2）求函數(shù)y=lgsin（cosx）的定義域.
剖析：求函數(shù)的定義域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，這里的cosx以它的值充當角.
解：（1）0≤cosx＜12kπ－≤x≤2kπ+，且x≠2kπ（k∈Z）.
∴所求函數(shù)的定義域為{x｜x∈［2kπ－，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z｝.
（2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）.又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1.故所求定義域為{x｜x∈（2kπ－，2kπ+），k∈Z｝.
評述：求三角函數(shù)的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函數(shù)線.
【例3】求函數(shù)y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x為何值時，y有最大值.
剖析：將原函數(shù)化成y=Asin（ωx+）+B的形式，即可求解.
解：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4x－sin2xcos2x+cos4x）=1－3sin2xcos2x=1－sin22x=cos4x+.
∴T=.
當cos4x=1，即x=（k∈Z）時，ymax=1.
深化拓展
函數(shù)y=tan（ax+θ）（a＞0）當x從n變化為n+1（n∈Z）時，y的值恰好由－∞變?yōu)?∞，則a=_______.
分析：你知道函數(shù)的周期T嗎?
答案：π
●闖關訓練
夯實基礎
1.若函數(shù)f（x）=sin（ωx+）的圖象（部分）如下圖所示，則ω和的取值是
A.ω=1，=B.ω=1，=－
C.ω=，=D.ω=，=－
解析：由圖象知，T=4（+）=4π=，∴ω=.
又當x=時，y=1，∴sin（×+）=1，
+=2kπ+，k∈Z，當k=0時，=.
答案：C
2.f（x）=2cos2x+sin2x+a（a為實常數(shù)）在區(qū)間［0，］上的最小值為－4，那么a的值等于
A.4B.－6C.－4D.－3
解析：f（x）=1+cos2x+sin2x+a
=2sin（2x+）+a+1.
∵x∈［0，］，∴2x+∈［，］.
∴f（x）的最小值為2×（－）+a+1=－4.
∴a=－4.
答案：C
3.函數(shù)y=的定義域是_________.
解析：－sin≥0sin≤02kπ－π≤≤2kπ6kπ－3π≤x≤6kπ（k∈Z）.
答案：6kπ－3π≤x≤6kπ（k∈Z）
4.函數(shù)y=tanx－cotx的最小正周期為____________.
解析：y=－=－2cot2x，T=.
答案：
5.求函數(shù)f（x）=的最小正周期、最大值和最小值.
解：f（x）=
==（1+sinxcosx）
=sin2x+，
所以函數(shù)f（x）的最小正周期是π，最大值是，最小值是.
6.已知x∈［，］，函數(shù)y=cos2x－sinx+b+1的最大值為，試求其最小值.
解：∵y=－2（sinx+）2++b，
又－1≤sinx≤，∴當sinx=－時，
ymax=+b=b=－1；
當sinx=時，ymin=－.
培養(yǎng)能力
7.求使=sin（－）成立的θ的區(qū)間.
解：=sin（－）
=（sin－cos）｜sin－cos｜=sin－cos
sin≥cos2kπ+≤≤2kπ+（k∈Z）.
因此θ∈［4kπ+，4kπ+］（k∈Z）.
8.已知方程sinx+cosx=k在0≤x≤π上有兩解，求k的取值范圍.
解：原方程sinx+cosx=ksin（x+）=k，在同一坐標系內作函數(shù)y1=sin（x+）與y2=k的圖象.對于y=sin（x+），令x=0，得y=1.
∴當k∈［1，）時，觀察知兩曲線在［0，π］上有兩交點，方程有兩解.
評述：本題是通過函數(shù)圖象交點個數(shù)判斷方程實數(shù)解的個數(shù)，應重視這種方法.
探究創(chuàng)新
9.已知函數(shù)f（x）=
（1）畫出f（x）的圖象，并寫出其單調區(qū)間、最大值、最小值；
（2）判斷f（x）是否為周期函數(shù).如果是，求出最小正周期.
解：（1）實線即為f（x）的圖象.
單調增區(qū)間為［2kπ+，2kπ+］，［2kπ+，2kπ+2π］（k∈Z），
單調減區(qū)間為［2kπ，2kπ+］，［2kπ+，2kπ+］（k∈Z），
f（x）max=1，f（x）min=－.
（2）f（x）為周期函數(shù)，T=2π.
●思悟小結
1.三角函數(shù)是函數(shù)的一個分支，它除了符合函數(shù)的所有關系和共性外，還有它自身的屬性.
2.求三角函數(shù)式的最小正周期時，要盡可能地化為只含一個三角函數(shù)，且三角函數(shù)的次數(shù)為1的形式，否則很容易出現(xiàn)錯誤.
●教師下載中心
教學點睛
1.知識精講由學生填寫，起到回顧作用.
2.例2、例4作為重點講解，例1、例3誘導即可.
拓展題例
【例1】已知sinα＞sinβ，那么下列命題成立的是
A.若α、β是第一象限角，則cosα＞cosβ
B.若α、β是第二象限角，則tanα＞tanβ
C.若α、β是第三象限角，則cosα＞cosβ
D.若α、β是第四象限角，則tanα＞tanβ
解析：借助三角函數(shù)線易得結論.
答案：Ｄ
【例2】函數(shù)f（x）=－sin2x+sinx+a，若1≤f（x）≤對一切x∈R恒成立，求a的取值范圍.
解：f（x）=－sin2x+sinx+a
=－（sinx－）2+a+.
由1≤f（x）≤
1≤－（sinx－）2+a+≤
a－4≤（sinx－）2≤a－.①
由－1≤sinx≤1－≤sinx－≤
（sinx－）=，（sinx－）=0.
∴要使①式恒成立，
只需3≤a≤4.

高三數(shù)學《三角函數(shù)圖象與性質》知識點總結

高三數(shù)學《三角函數(shù)圖象與性質》知識點總結

1．周期函數(shù)
(1)周期函數(shù)的定義：
對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)．T叫做這個函數(shù)的周期．
(2)最小正周期：
如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．
2．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質

3.解題方法
1.求三角函數(shù)的單調區(qū)間時，應先把函數(shù)式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω0)的形式，再根據三角函數(shù)的單調區(qū)間，求出x所在的區(qū)間．應特別注意，考慮問題應在函數(shù)的定義域內．
注意區(qū)分下列兩種形式的函數(shù)單調性的不同：
(1)y＝sin(ωx-π/4)；(2)y＝sin(π/4-ωx).
2．周期性是函數(shù)的整體性質，要求對于函數(shù)整個定義域內的每一個x值都滿足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不為零的常數(shù)．如果只有個別的x值滿足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一個x值不滿足f(x＋T)＝f(x)，都不能說T是函數(shù)f(x)的周期．
3．求三角函數(shù)定義域實際上是解簡單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解．
4．求解涉及三角函數(shù)的值域(最值)的題目一般常用以下方法：
(1)利用sinx、cosx的值域；
(2)形式復雜的函數(shù)應化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范圍，根據正弦函數(shù)單調性寫出函數(shù)的值域(如本例以題試法(2))；
(3)換元法：把sinx或cosx看作一個整體，可化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的值域(最值)問題．

高二數(shù)學下冊《三角恒等變換》復習學案

高二數(shù)學下冊《三角恒等變換》復習學案

三角恒等變換知識點：

知識結構：

1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

重點：通過探索和討論交流，導出兩角差與和的三角函數(shù)的十一個公式，并了解它們的內在聯(lián)系。

難點：兩角差的余弦公式的探索和證明。

2.簡單的三角恒等變換

重點：掌握三角變換的內容、思路和方法，體會三角變換的特點.

難點：公式的靈活應用.

三角函數(shù)幾點說明：

1.對弧長公式只要求了解，會進行簡單應用，不必在應用方面加深.

2.用同角三角函數(shù)基本關系證明三角恒等式和求值計算，熟練配角和sin和cos的計算.

3.已知三角函數(shù)值求角問題，達到課本要求即可，不必拓展.

4.熟練掌握函數(shù)y=Asin(wx+j)圖象、單調區(qū)間、對稱軸、對稱點、特殊點和最值.

5.積化和差、和差化積、半角公式只作為練習，不要求記憶.

6.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

練習題：

1．已知sin2α＝－2425，α∈－π4，0，則sinα＋cosα＝()

A．－15

B.15

C．－75

D.75

解析∵α∈－π4，0，∴cosα0sinα且cosα|sinα|，則sinα＋cosα＝1＋sin2α＝1－2425＝15.

答案B

2．若sinπ4＋α＝13，則cosπ2－2α等于()

A.429

B．－429

C.79

D．－79

解析據已知可得cosπ2－2α＝sin2α

＝－cos2π4＋α＝－1－2sin2π4＋α＝－79.

答案D

高三數(shù)學教案：《三角函數(shù)的圖象與性質》教學設計

本文題目：高三數(shù)學教案：三角函數(shù)的圖象與性質

●知識梳理

1.三角函數(shù)的圖象和性質

函 數(shù)

性 質 y=sinx y=cosx y=tanx

定義域

值域

圖象

奇偶性

周期性

單調性

對稱性

注：讀者自己填寫.

2.圖象與性質是一個密不可分的整體，研究性質要注意聯(lián)想圖象.

●點擊雙基

1.函數(shù)y=sin( -2x)+sin2x的最小正周期是

A.2π B.π C. D.4π

解析：y= cos2x- sin2x+sin2x= cos2x+ sin2x=sin( +2x)，T=π.

答案：B

2.若f(x)sinx是周期為π的奇函數(shù)，則f(x)可以是

A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x

解析：檢驗.

答案：B

3.函數(shù)y=2sin( -2x)(x∈[0，π])為增函數(shù)的區(qū)間是

A.[0， ] B.[ ， ]

C.[ ， ] D.[ ，π]

解析：由y=2sin( -2x)=-2sin(2x- )其增區(qū)間可由y=2sin(2x- )的減區(qū)間得到，即2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ，k∈Z.

∴kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z.

令k=0，故選C.

答案：C

4.把y=sinx的圖象向左平移 個單位，得到函數(shù)____________的圖象;再把所得圖象上的所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，而縱坐標保持不變，得到函數(shù)____________的圖象.

解析：向左平移 個單位，即以x+ 代x，得到函數(shù)y=sin(x+ )，再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，即以 x代x，得到函數(shù)：y=sin( x+ ).

答案：y=sin(x+ ) y=sin( x+ )

5.函數(shù)y=lg(cosx-sinx)的定義域是_______.

解析：由cosx-sinx>0 cosx>sinx.由圖象觀察，知2kπ-

答案：2kπ-

●典例剖析

【例1】 (1)y=cosx+cos(x+ )的最大值是_______;

(2)y=2sin(3x- )的圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是_______.

剖析：(1)y=cosx+ cosx- sinx

= cosx- sinx= ( cosx- sinx)

= sin( -x).

所以ymax= .

(2)T= ，相鄰對稱軸間的距離為 .

答案：

【例2】 (1)已知f(x)的定義域為[0，1)，求f(cosx)的定義域;

(2)求函數(shù)y=lgsin(cosx)的定義域.

剖析：求函數(shù)的定義域：(1)要使0≤cosx≤1，(2)要使sin(cosx)>0，這里的cosx以它的值充當角.

解：(1)0≤cosx

∴所求函數(shù)的定義域為{x|x∈[2kπ- ，2kπ+ ]且x≠2kπ，k∈Z｝.

(2)由sin(cosx)>0 2kπ

評述：求三角函數(shù)的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函數(shù)線.

【例3】 求函數(shù)y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x為何值時，y有最大值.

剖析：將原函數(shù)化成y=Asin(ωx+ )+B的形式，即可求解.

解：y=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=1-3sin2xcos2x=1- sin22x= cos4x+ .

∴T= .

當cos4x=1，即x= (k∈Z)時，ymax=1.

深化拓展

函數(shù)y=tan(ax+θ)(a>0)當x從n變化為n+1(n∈Z)時，y的值恰好由-∞變?yōu)?∞，則a=_______.

分析：你知道函數(shù)的周期T嗎?

答案：π

●闖關訓練

夯實基礎

1.若函數(shù)f(x)=sin(ωx+ )的圖象(部分)，則ω和 的取值是

A.ω=1， = B.ω=1， =-

C.ω= ， = D.ω= ， =-

解析：由圖象知，T=4( + )=4π= ，∴ω= .

又當x= 時，y=1，∴sin( × + )=1，

+ =2kπ+ ，k∈Z，當k=0時， = .

答案：C

2. f(x)=2cos2x+ sin2x+a(a為實常數(shù))在區(qū)間[0， ]上的最小值為-4，那么a的值等于

A.4 B.-6 C.-4 D.-3

解析：f(x)=1+cos2x+ sin2x+a

=2sin(2x+ )+a+1.

∵x∈[0， ]，∴2x+ ∈[ ， ].

∴f(x)的最小值為2×(- )+a+1=-4.

∴a=-4.

答案：C

3.函數(shù)y= 的定義域是_________.

解析：-sin ≥0 sin ≤0 2kπ-π≤ ≤2kπ 6kπ-3π≤x≤6kπ(k∈Z).

答案：6kπ-3π≤x≤6kπ(k∈Z)

4.函數(shù)y=tanx-cotx的最小正周期為____________.

解析：y= - =-2cot2x，T= .

答案：

5.求函數(shù)f(x)= 的最小正周期、最大值和最小值.

解：f(x)=

= = (1+sinxcosx)

= sin2x+ ，

所以函數(shù)f(x)的最小正周期是π，最大值是 ，最小值是 .

6.已知x∈[ ， ]，函數(shù)y=cos2x-sinx+b+1的最大值為 ，試求其最小值.

解：∵y=-2(sinx+ )2+ +b，

又-1≤sinx≤ ，∴當sinx=- 時，

ymax= +b= b=-1;

當sinx= 時，ymin=- .

培養(yǎng)能力

7.求使 = sin( - )成立的θ的區(qū)間.

解： = sin( - )

= ( sin - cos ) |sin -cos |=sin -cos

sin ≥cos 2kπ+ ≤ ≤2kπ+ (k∈Z).

因此θ∈[4kπ+ ，4kπ+ ](k∈Z).

8.已知方程sinx+cosx=k在0≤x≤π上有兩解，求k的取值范圍.

解：原方程sinx+cosx=k sin(x+ )=k，在同一坐標系內作函數(shù)y1= sin(x+ )與y2=k的圖象.對于y= sin(x+ )，令x=0，得y=1.

∴當k∈[1， )時，觀察知兩曲線在[0，π]上有兩交點，方程有兩解.

評述：本題是通過函數(shù)圖象交點個數(shù)判斷方程實數(shù)解的個數(shù)，應重視這種方法.

探究創(chuàng)新

9.已知函數(shù)f(x)=

(1)畫出f(x)的圖象，并寫出其單調區(qū)間、最大值、最小值;

(2)判斷f(x)是否為周期函數(shù).如果是，求出最小正周期.

解：(1)實線即為f(x)的圖象.

單調增區(qū)間為[2kπ+ ，2kπ+ ]，[2kπ+ ，2kπ+2π](k∈Z)，

單調減區(qū)間為[2kπ，2kπ+ ]，[2kπ+ ，2kπ+ ](k∈Z)，

f(x)max=1，f(x)min=- .

(2)f(x)為周期函數(shù)，T=2π.

●思悟小結

1.三角函數(shù)是函數(shù)的一個分支，它除了符合函數(shù)的所有關系和共性外，還有它自身的屬性.

2.求三角函數(shù)式的最小正周期時，要盡可能地化為只含一個三角函數(shù)，且三角函數(shù)的次數(shù)為1的形式，否則很容易出現(xiàn)錯誤.

●教師下載中心

教學點睛

1.知識精講由學生填寫，起到回顧作用.

2.例2、例4作為重點講解，例1、例3誘導即可.

拓展題例

【例1】 已知sinα>sinβ，那么下列命題成立的是

A.若α、β是第一象限角，則cosα>cosβ

B.若α、β是第二象限角，則tanα>tanβ

C.若α、β是第三象限角，則cosα>cosβ

D.若α、β是第四象限角，則tanα>tanβ

解析：借助三角函數(shù)線易得結論.

答案：D

【例2】 函數(shù)f(x)=-sin2x+sinx+a，若1≤f(x)≤ 對一切x∈R恒成立，求a的取值范圍.

解：f(x)=-sin2x+sinx+a

=-(sinx- )2+a+ .

由1≤f(x)≤

1≤-(sinx- )2+a+ ≤

a-4≤(sinx- )2≤a- . ①

由-1≤sinx≤1 - ≤sinx- ≤

(sinx- ) = ，(sinx- ) =0.

∴要使①式恒成立，

只需 3≤a≤4.