小學語文的教學教案
發(fā)表時間：2020-11-16《種群的增長方式》教學設計。
一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學生的理解性，作為教師準備好教案是必不可少的一步。教案可以讓學生更容易聽懂所講的內(nèi)容，幫助教師能夠更輕松的上課教學。怎么才能讓教案寫的更加全面呢？下面是由小編為大家整理的“《種群的增長方式》教學設計”，希望能對您有所幫助，請收藏。
《種群的增長方式》教學設計（第一課時）
一、教學目標的確定
在課程標準的內(nèi)容標準中規(guī)定了“嘗試建立數(shù)學模型解釋種群的數(shù)量變動”。該條內(nèi)容標準有兩層涵義：其一，“嘗試建立數(shù)學模型”屬模仿性技能目標，旨在通過原形示范（細菌的數(shù)量增長）和具體指導，學生能完成建立數(shù)學模型；其二，“解釋種群的數(shù)量變動”屬理解水平的知識目標，旨在把握數(shù)學模型（抽象）與種群的數(shù)量變動（具體）之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系。
由此，本節(jié)教學目標確定為三條（詳見前面本節(jié)的教學目標）。
二、教學設計思路
高中學生對數(shù)學模型的概念并不陌生，在學習生物學其他內(nèi)容時，學生已對運用數(shù)學解決生物學中的問題有了一定的認識，例如，對遺傳規(guī)律的認識。因此，本節(jié)是在學生已有知識的基礎上，重新建構(gòu)新的知識──建構(gòu)揭示生物學規(guī)律的數(shù)學模型。
本節(jié)的引入有兩種思路：一是按照教材的編排順序進行，即以“問題探討”引入，然后逐步展開教學，將本節(jié)的探究活動作為驗證性實驗活動；二是將本節(jié)的探究活動作為研究性學習內(nèi)容，事先布置，讓學生（或部分學生）在課外完成。從學生在活動中產(chǎn)生的問題或體驗引入，結(jié)合教材中的“問題探討”和“建構(gòu)種群增長模型的方法”，討論相關(guān)內(nèi)容，展開教學。
現(xiàn)以第一種思路為例說明，本節(jié)共2課時。
第一課時的教學應當遵循具體→抽象→再具體→再抽象……循環(huán)上升的軌跡。
1.具體。教師以“問題探討”引入，由于學生已有相關(guān)的數(shù)學知識，不難回答問題。教師應啟發(fā)學生思考：得出的數(shù)學公式有何生物學意義（說明細菌數(shù)量增長具有哪些性質(zhì)）？
2.抽象。進一步讓學生討論：細菌的數(shù)量增長模型是怎樣建構(gòu)的？數(shù)學模型的表現(xiàn)形式有哪些？由此，總結(jié)出建構(gòu)種群增長模型的方法。
3.再具體。聯(lián)系實例說明種群增長的兩種數(shù)學模型。
4.再抽象。結(jié)合細菌的數(shù)量增長模型，得出種群數(shù)量增長的“J型”數(shù)學模型；結(jié)合實例討論“K”值。
5.進一步回到具體。討論數(shù)學模型的生物學意義（說明“J型”和“S型”增長的生物學意義），列舉實例。
6.進一步抽象?？偨Y(jié)用數(shù)學模型揭示生物學現(xiàn)象與規(guī)律的意義。
在教學中，教師要引導學生對問題作深入的思考，啟發(fā)學生從現(xiàn)象揭示出本質(zhì)和規(guī)律，使學生認同運用恰當?shù)臄?shù)學模型能夠較好地表達某些生物學規(guī)律。一定要避免從數(shù)學到數(shù)學，為計算而計算的教學。
第二課時為探究活動：培養(yǎng)液中酵母菌種群數(shù)量的變化。
由于該探究活動需要較長的時間（連續(xù)觀察7d），因此，活動的管理是教學的難點。教師要在制定計劃、同伴的合作、記錄實驗數(shù)據(jù)等方面給予必要的提示。
三、教學實施的程序（第一課時）
學生活動教師的組織和引導教學意圖
學生基于已有的數(shù)學知識進行演算。播放細菌分裂的錄像或演示細菌分裂的計算機模擬動畫。
提示：在自然界中細菌無處不在，有些細菌的大量繁殖會導致疾病。假如現(xiàn)有一種細菌，在適宜的溫度、濕度等環(huán)境下，每20min左右通過分裂繁殖一代。
引導學生思考：
1.細菌的生殖方式是怎樣的？
2.72h后，由一個細菌分裂產(chǎn)生的后代數(shù)量是多少？
3.n代細菌數(shù)量是多少？通過創(chuàng)設具體的情境，讓學生感受活生生的生命現(xiàn)象。
認識細菌種群數(shù)量增長的數(shù)學規(guī)律。
學生討論，充分陳述自己的觀點。提出問題，組織討論：
1.對細菌種群數(shù)量增長而言，在什么情況下2n公式成立？
2.這個公式揭示了細菌種群數(shù)量增長的什么規(guī)律？
3.在學過的生物學內(nèi)容中，還有哪些生物學問題可以用數(shù)學語言來表示。
提示：數(shù)學工具在生物學研究中的作用越來越突出。用數(shù)學語言揭示生物學問題時，要充分考慮到生物學自身的特點。
認識到在生物學中有許多現(xiàn)象和規(guī)律可以用數(shù)學語言來表示。
學生獨立操作完成圖表，相互交流結(jié)果。請學生算出一個細菌產(chǎn)生的后代在不同時間的數(shù)量，并填寫教材中的表格，然后畫出細菌的種群數(shù)量增長曲線。
提示：這是在理想條件下對細菌種群數(shù)量的推測。
引導學生討論，同數(shù)學公式相比，曲線圖表示的模型有什么局限性？認識種群數(shù)量增長模型的另一種表現(xiàn)形式。
小結(jié)：在描述、解釋和預測種群數(shù)量的變化時，常常需要建立數(shù)學模型。數(shù)學模型的表現(xiàn)形式可以為公式、圖表等。
學生討論建立“培養(yǎng)液中酵母菌種群數(shù)量的數(shù)學模型”的方案：程序和方法。提出問題，組織討論：如何建立“培養(yǎng)液中酵母菌種群數(shù)量的數(shù)學模型”，我們應該怎么做？結(jié)合本節(jié)的探究實驗，認識建立種群增長模型的程序和方法。
學生討論：
1.野兔種群增長的原因有哪些？
2.怎樣用數(shù)學語言來描述野兔種群增長的規(guī)律？
3.如果用N0表示野兔種群的起始數(shù)量，用λ表示野兔種群數(shù)量每年的增長倍數(shù)，用Nt表示t年后野兔種群的數(shù)量，那么，Nt為多少？
4.根據(jù)上述素材，估算1869年時，野兔種群數(shù)量為多少？（說明計算方法）
5.列舉在自然界中還有哪些與素材中野兔種群數(shù)量增長相類似的情況。提出問題，組織討論：以上討論的是在實驗條件下種群的數(shù)量變化，在自然界中種群的數(shù)量變化情況如何？
提供素材：《光明日報》消息
澳大利亞野兔成災。估計在這片國土上生長著6億只野兔，它們與牛羊爭牧草，啃樹皮，造成大批樹木死亡，破壞植被導致水土流失，專家計算，這些野兔每年至少造成1億美元的財產(chǎn)損失。兔群繁殖之快，數(shù)量之多足以對澳洲的生態(tài)平衡產(chǎn)生威脅。
澳洲本來沒有兔子，1859年，一個叫托馬斯奧斯汀的英國人來澳定居，帶來了24只野兔，放養(yǎng)在他的莊園里，供他打獵取樂。奧斯汀絕對沒有想到，一個世紀之后，這24只野兔的后代達到6億只之多。（有條件的學校，教師可播放澳大利亞野兔成災的錄像片。）通過具體實例，加深對數(shù)學模型的理解，并用數(shù)學語言解釋種群數(shù)量增長的規(guī)律。
明確“J”型種群增長的原因。
小結(jié)：自然界確有類似細菌在理想條件下種群數(shù)量增長的形式。該種群數(shù)量增長的數(shù)學模型可表示為“J”型曲線，或數(shù)學公式：
Nt=NOλt
學生思考：有哪些因素制約著種群數(shù)量的增長？
學生討論。如果自然界的生物種群都是以“J”型方式增長，地球早就無法承受了。
呈現(xiàn)高斯實驗（有條件的學?？蓪⒏咚箤嶒炗糜嬎銠C模擬技術(shù)呈現(xiàn)出來）。
提出討論題：
1.你認為高斯得出種群經(jīng)過一定時間的增長后，呈“S”型曲線的原因是什么？
2.在高斯實驗的基礎上，如果要進一步搞清是空間的限制，還是資源（食物）的限制，該如何進行實驗設計？
3.如何理解K值的前提條件“在環(huán)境條件不受破壞的情況下”？請舉例說明。從資源和空間上思考種群增長問題。
用生物學語言解釋“S”型曲線（數(shù)學模型）。
培養(yǎng)實驗設計能力。
學生討論教材中“思考與討論”素材。小結(jié)：經(jīng)過一定時間，在各種因素的作用下，種群數(shù)量增長會趨于穩(wěn)定，呈“S”型曲線。在環(huán)境條件不受破壞的情況下，一定空間中所能維持的種群最大數(shù)量稱為“環(huán)境容納量──K值”。理解K值，并解釋和說明實際問題。
學生討論教材中東亞飛蝗種群數(shù)量的波動。討論影響種群數(shù)量波動的因素。提出問題：在自然界中，種群數(shù)量是否總能穩(wěn)定在K值？為什么？從多因素思考種群數(shù)量的變化？
總結(jié)：從具體的生物現(xiàn)象與規(guī)律建立抽象的數(shù)學模型，又用抽象的數(shù)學模型來解釋具體的生物學現(xiàn)象與規(guī)律，這是學習本節(jié)的要旨。把握學習方法要旨。
相關(guān)閱讀
《人口增長模式》教學設計
一名優(yōu)秀的教師在教學方面無論做什么事都有計劃和準備，作為教師就需要提前準備好適合自己的教案。教案可以讓學生能夠聽懂教師所講的內(nèi)容，幫助授課經(jīng)驗少的教師教學。所以你在寫教案時要注意些什么呢？下面是由小編為大家整理的“《人口增長模式》教學設計”，歡迎您參考，希望對您有所助益！
《人口增長模式》教學設計
一．教材
湘教版
二．章節(jié)
第一章第一節(jié)
三．學時
1個學時
四．課程標準解讀
“分析不同人口增長模式的主要特點及地區(qū)分布。”
本課標主要包含以下三個方面的內(nèi)容。首先，學生需先知道什么是人口增長模式，世界上主要的人口增長模式；之后，學生需將不同的增長模式進行比較，了解不同增長模式的特點；最后學生需學會運用資料判斷不同地區(qū)不同人口增長模式及不同人口增長模式在世界的分布。
五．教學重點和難點
1.重點
人口增長模式特點及其分布；中國人口增長狀況
2.難點
分析人口增長模式的出生率、死亡率、自然增長率的高低及其影響因素
六．教學方法
1.多媒體教學法。通過課件向?qū)W生展示豐富的文字、圖片、動畫等材料。
2.案例分析法。通過文字和圖片材料，讓學生自主分析，得出結(jié)論。
七．教學過程
“世界70億人口日”
2011年10月31日，世界人口達70億。10月31日，丹妮卡·卡馬喬在媒體聚光燈的環(huán)繞下，于31日零點前2分鐘在菲律賓首都馬尼拉一家醫(yī)院降生。她將成為全球范圍內(nèi)幾名被宣布成為象征性的世界第70億人口的嬰兒之一。
1.人口增長歷程
2、衡量人口增長速度指標：人口自然增長率
自然增長率是指一地區(qū)一年內(nèi)的自然增長人口與總?cè)丝谥?br>
出生率是指一年內(nèi)一定地區(qū)的出生人口與總?cè)丝谥?br>
死亡率是指一年內(nèi)一定地區(qū)的死亡人口與總?cè)丝谥?br>
自然增長率=出生率－死亡率
閱讀教材P3，思考為什么發(fā)達國家人口自然增長率低， 發(fā)展中國家人口自然增長率高？
發(fā)達國家人口自然增長率低的原因:
①工業(yè)化程度較高，勞動者必須具備較高的知識水平和勞動技能，并接受系統(tǒng)的教育和技術(shù)培訓，參加勞動的人口年齡較大，勞動力培訓費用比較高，對家庭造成的經(jīng)濟壓力較大，導致出生率降低;
②老年人的社會保障程度高，對子女的依賴程度低，人們逐漸消除了“養(yǎng)兒防老”的傳統(tǒng)觀念;
③婦女的受教育水平高，易于接受少生、優(yōu)生和優(yōu)育的新觀念。相反，發(fā)展中國家人口自然增長率較高。
3.影響人口增長因素
①生物學規(guī)律
②經(jīng)濟基礎與上層建筑
如:經(jīng)濟發(fā)達程度、文化教育水平、醫(yī)療衛(wèi)生條件、婦女就業(yè)狀況、婚姻生育觀、宗教信仰、風俗習慣、戰(zhàn)爭、自然災害、人口政策、社會保障等。
1.人口增長模式
人口增長模式，又稱為人口轉(zhuǎn)變模式，它反映了不同國家和地區(qū)的人口出生率、死亡率和自然增長率隨社會經(jīng)濟條件的變化而變化的規(guī)律。
①高—高—低”模式
模式
原始型人口增長模式
特點
出生率極高（﹥3％）
死亡率極高（﹥3％）
自然增長率極低（≈0）
人均壽命短，人口增長極為緩慢。
社會發(fā)展階段
狩獵文明。原始社會。
原因
以采集、狩獵經(jīng)濟為主。
生產(chǎn)力水平極為低下。
分布
熱帶森林等極落后地區(qū)
模式
傳統(tǒng)型人口增長模式
特點
出生率極高（﹥3％）
死亡率高（﹥2％）
自然增長率較低（﹥1％）
人均壽命有所延長，人口增長緩慢
社會發(fā)展階段
農(nóng)業(yè)文明。奴隸社會、封建社會、資本主義社會初期
原因
與以手工勞動為主的自然經(jīng)濟相適應
生產(chǎn)力水平低下
分布
落后的發(fā)展中國家或地區(qū)
②“高—低—高”模式（過渡型）
特點
出生率高（﹥2％），
死亡率低（﹤2％），
自然增長率高（﹥1％）。
人均壽命繼續(xù)延長，人口快速增長。
社會
發(fā)展
階段
工業(yè)文明時期（工業(yè)化初期）。
發(fā)達國家：18世紀末19世紀初～19世紀末20世紀初；
發(fā)展中國家：20世紀50年代～現(xiàn)在
原因
以近代科學技術(shù)為基礎的工業(yè)化生產(chǎn)使生產(chǎn)力水平明顯提高，醫(yī)療衛(wèi)生事業(yè)迅速發(fā)展，糧食產(chǎn)量大幅度增加
分布
亞、非、拉等洲的發(fā)展中國家或地區(qū)（如坦桑尼亞、肯尼亞等）
討論分析:
發(fā)展中國家出生率較高、人口增長快,這種狀況對資源、環(huán)境、發(fā)展等方面有何主要影響？應采取何種對策？
影響：發(fā)展中國家人口增長過快，物質(zhì)資料的需求和消費也會隨之快速增長，極易超出環(huán)境的供應和自凈能力，進而引發(fā)各種破壞資源、環(huán)境污染、生活質(zhì)量下降等問題,嚴重影響社會、經(jīng)濟的發(fā)展。
措施：大力實行計劃生育
③“低—低—低”模式（現(xiàn)代型）
特點
出生率低（﹤2％），
死亡率低（﹤2％），
自然增長率低（﹤1％）。
人均壽命進一步延長，
人口零增長或負增長。
社會發(fā)展階段
后工業(yè)文明（新技術(shù)革命）時期，目前主要是發(fā)達國家
原因
現(xiàn)代科學知識的普及和醫(yī)療衛(wèi)生技術(shù)的進步，人類生活水平和文化水平的提升，人們的生育觀念和生育行為的變化
分布
主要分布在發(fā)達國家（如意大利、匈牙利、芬蘭等）和部分發(fā)展中國家（如韓國、新加坡等）
討論分析:
發(fā)達國家為“三低”現(xiàn)代人口增長模式，人口增長緩慢；這種狀況對資源、環(huán)境、發(fā)展等方面有何主要影響?應采取何種對策？
影響：發(fā)達國家人口出生率低、人口增長慢
⑴勞動力緊缺：
①資源得不到充分的開發(fā)利用,影響經(jīng)濟的發(fā)展；②兵源不足,國家安全得不到保障
發(fā)達國家人口死亡率低
⑵老齡化現(xiàn)象嚴重：
①增加社會保障和青壯年人的生活負擔；②老年人生活孤單,也不利于社會和諧發(fā)展
措施：鼓勵生育、吸納移民
2、我國的人口增長和人口政策
①我國正由高-低-高向低-低-低的現(xiàn)代模式轉(zhuǎn)化。
②控制人口數(shù)量，提高人口素質(zhì)是我國的基本國策。
種群的特征
班級：小組：姓名：評價：
4．1種群的特征（第四章第1課時，總17課）
明確目標，勇往直前
1、知道怎樣估算種群的密度。2、知道種群的數(shù)量特征有哪些。
3、能理解各種群之間的關(guān)系。
學習增長智慧，預習是為了更好地學習。
閱讀教材P59的相關(guān)內(nèi)容，完成：
1、種群概念：在一定的內(nèi)，生物的個體形成種群。
群落概念：同一內(nèi)聚集在一定區(qū)域中各種生物的集合，構(gòu)成生物群落。
思考：下述說法中，屬于種群的有，屬于群落的有。（A一片草地上的全部蒲公英；B某村子中全部青年男女；C柳葉湖里的全部鯉魚；D柳葉湖和沅水河的鯉魚；E沅水中全部的魚；F柳葉湖中全部的動物；G柳葉湖中全部的生物；H柳葉湖中全部的生物和它們生存的無機環(huán)境）
閱讀教材P60-62相關(guān)內(nèi)容，小組討論完成：
2、估算種群密度最常用的方法有法和標志重捕法；
樣方法：取樣常用的方法有取樣法和取樣法，且取樣的關(guān)鍵是要做到。適用樣方法的有：等（P61第一段）。
標志重捕法：適用對象是動物，且他們的活動能力，活動范圍，不宜用樣方法。
3、種群的數(shù)量特征有：、出生率和、和遷出率、和性別比例。其中，種群最基本的數(shù)量特征是：；研究種群數(shù)量變化不可忽視的因素是：；可以直接決定種群數(shù)量變化的特征是：；可以預測種群數(shù)量變化方向的是：；對種群密度有一定影響的是：。
探究──發(fā)現(xiàn)新知，收獲快樂、
1、1999年5月，我國內(nèi)蒙古自治區(qū)呼倫貝爾大草原發(fā)生蝗災。為了調(diào)查蝗蟲的發(fā)生密度，生態(tài)學家在1平方公里的草原上采用五點取樣法采樣跳蝻數(shù)量，每個樣方為4M2，跳蝻數(shù)量分別為1344只、988只、1256只、1284只、1188只。請你幫助該生態(tài)學家求出跳蝻的種群密度為只/M2。
2、調(diào)查某草原田鼠數(shù)量時，在設置1公頃的調(diào)查區(qū)內(nèi)，放置100個捕鼠籠，一夜間捕獲鼠32頭，將捕獲的鼠經(jīng)標記后在原地釋放。數(shù)日后，在同一地方再放置同樣數(shù)量的捕鼠籠，這次共捕獲30頭，其中有上次標記過的個體10頭。請回答下列問題：⑴若該地區(qū)田鼠種群個體總數(shù)為N，則N=___?A.30B.32C.64D.96
⑵要使上面所計算的種群個體總數(shù)和實際相符，理論上在調(diào)查期必須滿足的2個條件是
A.有較多個體遷出調(diào)查區(qū)B.調(diào)查區(qū)內(nèi)沒有較多個體死亡
C.調(diào)查區(qū)內(nèi)沒有較多個體出生D.有較多個體遷入調(diào)查區(qū)
3、年齡組成可預測種群密度的變化趨勢：
思考：上圖三種年齡組成的種群
種群數(shù)量會越來越大，屬于增長型的是___
種群數(shù)量會越來越小，屬于衰退型的是____
種群數(shù)量會穩(wěn)定在一定的時間內(nèi)保持穩(wěn)定，
屬于穩(wěn)定型的是____。
4、請分析種群各數(shù)量特征的關(guān)系：（理科生）
請用（①決定大小②預測變化方向③影響數(shù)量變動）來說明箭頭的含義。
：
當堂我就學會，我真棒！
1、1983年我國平均每10萬人口出生1862個孩子，該年度人口出生率為。
2、近幾十年來，我國東部沿海城市人口密度急劇增長，造成這一現(xiàn)象的主要原因是
A.年齡組成呈增長型B.性別比例適當
C.遷入率大于遷出率D.出生率大于死亡率
3、下列因素能引起種群密度增大的有
A.種群中幼年個體增多B.種群性別比例改變C.環(huán)境中水熱條件適宜D.種群中幼年個體減少E.環(huán)境中天敵增多F.環(huán)境中陽光不足
G.寄生生物增多H.寄生生物減少
4、下列各項屬于種群的有
A一片農(nóng)田中的全部水稻 B一片森林中的全部蕨類 C一口池塘中全部鯽魚
D一個院子里的全部葡萄 E一片森林中的全部蛇F一個農(nóng)民種的全部水稻
G一窩螞蟻H一個狼群 I一片草原上全部老鼠
5、下圖表示種群年齡組成的一種類型
⑴此圖表示_____型的種群。
⑵該種群中________個體多，______個體少。
⑶據(jù)統(tǒng)計，70年代初我國人口（種群）年齡組成與此圖大體
相似，所以在這以后一段時間內(nèi)的發(fā)展趨勢是________。
為此，我們要認真執(zhí)行人口的________政策。
6、下列可以稱為種群密度的是
A．一定地區(qū)內(nèi)單位面積內(nèi)的人口數(shù)量B．一口池塘中鰱魚的數(shù)量
C．一片森林中單位面積內(nèi)喬木的數(shù)量D．一條江河中單位體積內(nèi)魚的數(shù)量
7、用“樣方法”調(diào)查蒲公英種群密度的過程是
①選取一個該種群分布的長方形地塊，將該地按照長度畫成10等份，在每份的中央劃一個大小為1m2的樣方
②選取一個該種群分布比較密集的長方形地塊，將該地按照長度畫成10等份，在每份的中央劃一個大小不同的樣方
③計數(shù)每個樣方內(nèi)該種群數(shù)量，取其最大值作為種群密度的估計值
④計數(shù)每個樣方內(nèi)該種群數(shù)量，取其平均值作為該種群密度的估計值
A．①③B．①④C．②③D．②④
種群數(shù)量的變動
一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學生的理解性，作為教師就要根據(jù)教學內(nèi)容制定合適的教案。教案可以讓學生更好的消化課堂內(nèi)容，幫助教師掌握上課時的教學節(jié)奏。寫好一份優(yōu)質(zhì)的教案要怎么做呢？急您所急，小編為朋友們了收集和編輯了“種群數(shù)量的變動”，相信能對大家有所幫助。
種群數(shù)量的變動
一、教學目標
1.說明建構(gòu)種群增長模型的方法。
2.通過探究培養(yǎng)液中酵母菌種群數(shù)量的變化，嘗試建構(gòu)種群增長的數(shù)學模型。
3.用數(shù)學模型解釋種群數(shù)量的變化。
4.關(guān)注人類活動對種群數(shù)量變化的影響。
二、教學重點和難點
1.教學重點
嘗試建構(gòu)種群增長的數(shù)學模型，并據(jù)此解釋種群數(shù)量的變化。
2.教學難點
建構(gòu)種群增長的數(shù)學模型。
三、教學設想
首先，教師要領(lǐng)會和把握好本節(jié)的教學要旨。課程標準關(guān)于本節(jié)的具體內(nèi)容標準為“嘗試建立數(shù)學模型解釋種群的數(shù)量變動”，并提出了相應的活動建議“探究培養(yǎng)液中酵母種群數(shù)量的動態(tài)變化”。顯然，引導學生用數(shù)學方法解釋生命現(xiàn)象，揭示生命活動規(guī)律是本節(jié)教學策略的著眼點。
其次，教師應對數(shù)學模型及其教育價值有一個基本的認識。數(shù)學模型是聯(lián)系實際問題與數(shù)學的橋梁，具有解釋、判斷、預測等重要功能。在科學研究中，數(shù)學模型是發(fā)現(xiàn)問題、解決問題和探索新規(guī)律的有效途徑之一。引導學生建構(gòu)數(shù)學模型，有利于培養(yǎng)學生透過現(xiàn)象揭示本質(zhì)的洞察能力；同時，通過科學與數(shù)學的整合，有利于培養(yǎng)學生簡約、嚴密的思維品質(zhì)。
再次，在教學中，可以循著現(xiàn)象→本質(zhì)→現(xiàn)象，或者具體→抽象→具體的思路，通過分析問題→探究數(shù)學規(guī)律→解決實際問題→建構(gòu)數(shù)學模型的方法，讓學生體驗由具體到抽象的思維轉(zhuǎn)化過程。
四、教學方法
探究—討論法
五、教學過程：
學生活動教師的組織和引導教學意圖
學生基于已有的數(shù)學知識進行演算。播放細菌分裂的錄像或演示細菌分裂的計算機模擬動畫。
提示：在自然界中細菌無處不在，有些細菌的大量繁殖會導致疾病。假如現(xiàn)有一種細菌，在適宜的溫度、濕度等環(huán)境下，每20min左右通過分裂繁殖一代。
引導學生思考：
1.細菌的生殖方式是怎樣的？
2.72h后，由一個細菌分裂產(chǎn)生的后代數(shù)量是多少？
3.n代細菌數(shù)量是多少？通過創(chuàng)設具體的情境，讓學生感受活生生的生命現(xiàn)象。
認識細菌種群數(shù)量增長的數(shù)學規(guī)律。
學生討論，充分陳述自己的觀點。提出問題，組織討論：
1.對細菌種群數(shù)量增長而言，在什么情況下2n公式成立？
2.這個公式揭示了細菌種群數(shù)量增長的什么規(guī)律？
3.在學過的生物學內(nèi)容中，還有哪些生物學問題可以用數(shù)學語言來表示。
提示：數(shù)學工具在生物學研究中的作用越來越突出。用數(shù)學語言揭示生物學問題時，要充分考慮到生物學自身的特點。
認識到在生物學中有許多現(xiàn)象和規(guī)律可以用數(shù)學語言來表示。
學生獨立操作完成圖表，相互交流結(jié)果。請學生算出一個細菌產(chǎn)生的后代在不同時間的數(shù)量，并填寫教材中的表格，然后畫出細菌的種群數(shù)量增長曲線。
提示：這是在理想條件下對細菌種群數(shù)量的推測。
引導學生討論，同數(shù)學公式相比，曲線圖表示的模型有什么局限性？認識種群數(shù)量增長模型的另一種表現(xiàn)形式。
小結(jié)：在描述、解釋和預測種群數(shù)量的變化時，常常需要建立數(shù)學模型。數(shù)學模型的表現(xiàn)形式可以為公式、圖表等。
學生討論建立“培養(yǎng)液中酵母菌種群數(shù)量的數(shù)學模型”的方案：程序和方法。提出問題，組織討論：如何建立“培養(yǎng)液中酵母菌種群數(shù)量的數(shù)學模型”，我們應該怎么做？結(jié)合本節(jié)的探究實驗，認識建立種群增長模型的程序和方法。
學生討論：
1.野兔種群增長的原因有哪些？
2.怎樣用數(shù)學語言來描述野兔種群增長的規(guī)律？
3.如果用N0表示野兔種群的起始數(shù)量，用λ表示野兔種群數(shù)量每年的增長倍數(shù)，用Nt表示t年后野兔種群的數(shù)量，那么，Nt為多少？
4.根據(jù)上述素材，估算1869年時，野兔種群數(shù)量為多少？（說明計算方法）
5.列舉在自然界中還有哪些與素材中野兔種群數(shù)量增長相類似的情況。提出問題，組織討論：以上討論的是在實驗條件下種群的數(shù)量變化，在自然界中種群的數(shù)量變化情況如何？
提供素材：《光明日報》消息
澳大利亞野兔成災。估計在這片國土上生長著6億只野兔，它們與牛羊爭牧草，啃樹皮，造成大批樹木死亡，破壞植被導致水土流失，專家計算，這些野兔每年至少造成1億美元的財產(chǎn)損失。兔群繁殖之快，數(shù)量之多足以對澳洲的生態(tài)平衡產(chǎn)生威脅。
澳洲本來沒有兔子，1859年，一個叫托馬斯奧斯汀的英國人來澳定居，帶來了24只野兔，放養(yǎng)在他的莊園里，供他打獵取樂。奧斯汀絕對沒有想到，一個世紀之后，這24只野兔的后代達到6億只之多。（有條件的學校，教師可播放澳大利亞野兔成災的錄像片。）通過具體實例，加深對數(shù)學模型的理解，并用數(shù)學語言解釋種群數(shù)量增長的規(guī)律。
明確“J”型種群增長的原因。
小結(jié)：自然界確有類似細菌在理想條件下種群數(shù)量增長的形式。該種群數(shù)量增長的數(shù)學模型可表示為“J”型曲線，或數(shù)學公式：
Nt=NOλt
學生思考：有哪些因素制約著種群數(shù)量的增長？
學生討論。如果自然界的生物種群都是以“J”型方式增長，地球早就無法承受了。
呈現(xiàn)高斯實驗（有條件的學校可將高斯實驗用計算機模擬技術(shù)呈現(xiàn)出來）。
提出討論題：
1.你認為高斯得出種群經(jīng)過一定時間的增長后，呈“S”型曲線的原因是什么？
2.在高斯實驗的基礎上，如果要進一步搞清是空間的限制，還是資源（食物）的限制，該如何進行實驗設計？
3.如何理解K值的前提條件“在環(huán)境條件不受破壞的情況下”？請舉例說明。從資源和空間上思考種群增長問題。
用生物學語言解釋“S”型曲線（數(shù)學模型）。
培養(yǎng)實驗設計能力。
學生討論教材中“思考與討論”素材。小結(jié)：經(jīng)過一定時間，在各種因素的作用下，種群數(shù)量增長會趨于穩(wěn)定，呈“S”型曲線。在環(huán)境條件不受破壞的情況下，一定空間中所能維持的種群最大數(shù)量稱為“環(huán)境容納量──K值”。理解K值，并解釋和說明實際問題。
學生討論教材中東亞飛蝗種群數(shù)量的波動。討論影響種群數(shù)量波動的因素。提出問題：在自然界中，種群數(shù)量是否總能穩(wěn)定在K值？為什么？從多因素思考種群數(shù)量的變化？
總結(jié)：從具體的生物現(xiàn)象與規(guī)律建立抽象的數(shù)學模型，又用抽象的數(shù)學模型來解釋具體的生物學現(xiàn)象與規(guī)律，這是學習本節(jié)的要旨。把握學習方法要旨
教后感：數(shù)學模型在生物學中也越來越表現(xiàn)出強大的生命力，它通過建立可以表述生命系統(tǒng)發(fā)展狀況等的數(shù)學系統(tǒng)，對生命現(xiàn)象進行量化，以數(shù)量關(guān)系描述生命現(xiàn)象，再運用邏輯推理、求解和運算等達到對生命現(xiàn)象進行研究的目的。注重培養(yǎng)學生各學科之間的聯(lián)系。
幾類不同增長的函數(shù)模型教學設計
教學設計
3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型
整體設計
教學分析
函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學模型，不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來描述．本節(jié)的教學目標是認識指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)模型的增長差異，體會直線上升、指數(shù)爆炸與對數(shù)增長的不同，應用函數(shù)模型解決簡單問題．課本對幾種不同增長的函數(shù)模型的認識及應用，都是通過實例來實現(xiàn)的．通過教學讓學生認識到數(shù)學來自現(xiàn)實生活，數(shù)學在現(xiàn)實生活中是有用的．
三維目標
1．借助信息技術(shù)，利用函數(shù)圖象及數(shù)據(jù)表格，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長差異．
2．恰當運用函數(shù)的三種表示方法(解析式、表格、圖象)并借助信息技術(shù)解決一些實際問題．
3．讓學生體會數(shù)學在實際問題中的應用價值，培養(yǎng)學生的學習興趣．
重點難點
教學重點：認識指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)模型的增長差異，體會直線上升、指數(shù)爆炸與對數(shù)增長的不同．
教學難點：應用函數(shù)模型解決簡單問題．
課時安排
2課時
教學過程
第1課時
作者：林大華
導入新課
思路1．(事例導入)
一張紙的厚度大約為0.01cm，一塊磚的厚度大約為10cm，請同學們計算將一張紙對折n次的厚度和n塊磚的厚度，列出函數(shù)關(guān)系式，并計算n＝20時它們的厚度．你的直覺與結(jié)果一致嗎？
解：紙對折n次的厚度：f(n)＝0.012n(cm)，n塊磚的厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105m，g(20)＝2m.
也許同學們感到意外，通過對本節(jié)課的學習大家對這些問題會有更深的了解．
思路2．(直接導入)
請同學們回憶指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，本節(jié)我們將通過實例比較它們的增長差異．
推進新課
新知探究
提出問題
(1)如果張紅購買了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示為x的函數(shù)．
(2)正方形的邊長為x，面積為y，把y表示為x的函數(shù)．
(3)某保護區(qū)有1單位面積的濕地，由于保護區(qū)的努力，使?jié)竦孛娣e每年以5%的增長率增長，經(jīng)過x年后濕地的面積為y，把y表示為x的函數(shù)．
(4)分別用表格、圖象表示上述函數(shù)．
(5)指出它們屬于哪種函數(shù)模型．
(6)討論它們的單調(diào)性．
(7)比較它們的增長差異．
(8)另外還有哪種函數(shù)模型與對數(shù)函數(shù)相關(guān)．
活動：先讓學生動手做題后再回答，經(jīng)教師提示、點撥，對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路．
(1)總價等于單價與數(shù)量的積．
(2)面積等于邊長的平方．
(3)由特殊到一般，先求出經(jīng)過1年、2年…
(4)列表畫出函數(shù)圖象．
(5)引導學生回憶學過的函數(shù)模型．
(6)結(jié)合函數(shù)表格與圖象討論它們的單調(diào)性．
(7)讓學生自己比較并體會．
(8)其他與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型．
討論結(jié)果：(1)y＝x.
(2)y＝x2.
(3)y＝(1＋5%)x.
(4)如下表
x123456
y＝x123456
y＝x2149162536
y＝(1＋5%)x1.051.101.161.221.281.34
它們的圖象分別為圖1，圖2，圖3.
圖1圖2圖3
(5)它們分別屬于：y＝kx＋b(直線型)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0，拋物線型)，y＝kax＋b(指數(shù)型)．
(6)從表格和圖象得出它們都為增函數(shù)．
(7)在不同區(qū)間增長速度不同，隨著x的增大y＝(1＋5%)x的增長速度越來越快，會遠遠大于另外兩個函數(shù)．
(8)另外還有與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型，形如y＝logax＋b，我們把它叫做對數(shù)型函數(shù)．
應用示例
例1假設你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：
方案一：每天回報40元；
方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；
方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番．
請問，你會選擇哪種投資方案？
活動：學生先思考或討論，再回答．教師根據(jù)實際，可以提示引導：我們可以先建立三種投資方案所對應的函數(shù)模型，再通過比較它們的增長情況，為選擇投資方案提供依據(jù)．
解：設第x天所得回報是y元，則方案一可以用函數(shù)y＝40(x∈N*)進行描述；方案二可以用函數(shù)y＝10x(x∈N*)進行描述；方案三可以用函數(shù)y＝0.4×2x－1(x∈N*)進行描述．三個模型中，第一個是常數(shù)函數(shù)，后兩個都是遞增函數(shù)模型．要對三個方案做出選擇，就要對它的增長情況進行分析．我們先用計算機計算一下三種所得回報的增長情況.
x/天方案一方案二方案三
y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元
140100.4
240020100.80.4
340030101.60.8
440040103.21.6
540050106.43.2
6400601012.86.4
7400701025.612.8
8400801051.225.6
94009010102.451.2
1040010010204.8102.4
…………………
3040030010214748364.8107374182.4
再作出三個函數(shù)的圖象(圖4)．
圖4
由表和圖4可知，方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但方案二與方案三的函數(shù)的增長情況很不相同．可以看到，盡管方案一、方案二在第1天所得回報分別是方案三的100倍和25倍，但它們的增長量固定不變，而方案三是“指數(shù)增長”，其“增長量”是成倍增加的，從第7天開始，方案三比其他兩方案增長得快得多，這種增長速度是方案一、方案二無法企及的．從每天所得回報看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一樣多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天開始，方案三比其他兩個方案所得回報多得多，到第30天，所得回報已超過2億元．
下面再看累積的回報數(shù)．通過計算機或計算器列表如下：
因此，投資1～6天，應選擇方案一；投資7天，應選擇方案一或方案二；投資8～10天，應選擇方案二；投資11天(含11天)以上，則應選擇方案三．
針對上例可以思考下面問題：
①選擇哪種方案是依據(jù)一天的回報數(shù)還是累積回報數(shù)．
②課本把兩種回報數(shù)都列表給出的意義何在？
③由此得出怎樣的結(jié)論．
答案：①選擇哪種方案依據(jù)的是累積回報數(shù)．
②讓我們體會每天回報數(shù)的增長變化．
③上述例子只是一種假想情況，但從中我們可以體會到，不同的函數(shù)增長模型，其增長變化存在很大差異.
變式訓練
某市移動通訊公司開設了兩種通訊業(yè)務：“全球通”使用者先繳50元月基礎費，然后每通話1分鐘付話費0.4元；“神州行”不繳月基礎費，每通話1分鐘付話費0.6元，若設一個月內(nèi)通話x分鐘，兩種通訊業(yè)務的費用分別為y1元和y2元，那么
(1)寫出y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)在同一直角坐標系中畫出兩函數(shù)的圖象；
(3)求出一個月內(nèi)通話多少分鐘，兩種通訊業(yè)務費用相同；
(4)若某人預計一個月內(nèi)使用話費200元，應選擇哪種通訊業(yè)務較合算．
思路分析：我們可以先建立兩種通訊業(yè)務所對應的函數(shù)模型，再通過比較它們的變化情況，為選擇哪種通訊提供依據(jù)．(1)全球通的費用應為兩種費用的和，即月基礎費和通話費，神州行的費用應為通話費用；(2)運用描點法畫圖，但應注意自變量的取值范圍；(3)可利用方程組求解，也可以根據(jù)圖象回答；(4)求出當函數(shù)值為200元時，哪個函數(shù)所對應的自變量的值較大．
解：(1)y1＝50＋0.4x(x≥0)，y2＝0.6x(x≥0)．
(2)圖象如圖5所示．
圖5
(3)根據(jù)圖中兩函數(shù)圖象的交點所對應的橫坐標為250，所以在一個月內(nèi)通話250分鐘時，兩種通訊業(yè)務的收費相同．
(4)當通話費為200元時，由圖象可知，y1所對應的自變量的值大于y2所對應的自變量的值，即選取全球通更合算．
另解：當y1＝200時有0.4x＋50＝200，∴x1＝375；
當y2＝200時有0.6x＝200，x2＝10003.顯然375＞10003，
∴選用“全球通”更合算．
點評：在解決實際問題過程中，函數(shù)圖象能夠發(fā)揮很好的作用，因此，我們應當注意提高讀圖的能力．另外，本例題用到了分段函數(shù)，分段函數(shù)是刻畫現(xiàn)實問題的重要模型.
例2某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨著利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%.現(xiàn)有三個獎勵模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪個模型能符合公司的要求？
活動：學生先思考或討論，再回答．教師根據(jù)實際，可以提示引導：某個獎勵模型符合公司要求，就是依據(jù)這個模型進行獎勵時，獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%，由于公司總的利潤目標為1000萬元，所以人員銷售利潤一般不會超過公司總的利潤．于是只需在區(qū)間[10,1000]上，檢驗三個模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函數(shù)圖象，通過觀察函數(shù)的圖象，得到初步結(jié)論，再通過具體計算，確認結(jié)果．
解：借助計算器或計算機作出函數(shù)y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的圖象(圖6)．
圖6
觀察函數(shù)的圖象，在區(qū)間[10,1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的圖象都有一部分在直線y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的圖象始終在y＝5的下方，這說明只有按模型y＝log7x＋1進行獎勵時才符合公司的要求．
下面通過計算確認上述判斷．
首先計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬．
對于模型y＝0.25x，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當x＝20時，y＝5，因此，當x＞20時，y＞5，所以該模型不符合要求；
對于模型y＝1.002x，由函數(shù)圖象，并利用計算器，可知在區(qū)間(805,806)內(nèi)有一個點x0滿足1.002x0＝5，由于它在區(qū)間[10,1000]上遞增，因此當x＞x0時，y＞5，所以該模型也不符合要求；
對于模型y＝log7x＋1，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當x＝1000時，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合獎金總數(shù)不超過5萬元的要求．
再計算按模型y＝log7x＋1獎勵時，獎金是否不超過利潤的25%，即當x∈[10,1000]時，是否有yx＝log7x＋1x≤0.25成立．
圖7
令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,1000]．利用計算器或計算機作出函數(shù)f(x)的圖象(圖7)，由函數(shù)圖象可知它是遞減的，因此
f(x)＜f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.
所以當x∈[10,1000]時，log7x＋1x＜0.25.
說明按模型y＝log7x＋1獎勵，獎金不超過利潤的25%.
綜上所述，模型y＝log7x＋1確實能符合公司的要求.
變式訓練
市場營銷人員對過去幾年某商品的價格及銷售數(shù)量的關(guān)系做數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)律：該商品的價格每上漲x%(x＞0)，銷售數(shù)量就減少kx%(其中k為正實數(shù))．目前，該商品定價為a元，統(tǒng)計其銷售數(shù)量為b個．
(1)當k＝12時，該商品的價格上漲多少，就能使銷售的總金額達到最大？
(2)在適當?shù)臐q價過程中，求使銷售總金額不斷增加時k的取值范圍．
解：依題意，價格上漲x%后，銷售總金額為
y＝a(1＋x%)b(1－kx%)＝ab10000[－kx2＋100(1－k)x＋10000]．
(1)取k＝12，y＝ab10000－12x2＋50x＋10000，
所以x＝50，
即商品價格上漲50%，y最大為98ab.
(2)因為y＝ab10000[－kx2＋100(1－k)x＋10000]，
此二次函數(shù)的開口向下，對稱軸為x＝50(1－k)k，在適當漲價過程后，銷售總金額不斷增加，即要求此函數(shù)當自變量x在{x|x＞0}的一個子集內(nèi)增大時，y也增大．
所以50(1－k)k＞0，解得0＜k＜1.
點評：這類問題的關(guān)鍵在于列函數(shù)解析式建立函數(shù)模型，然后借助不等式進行討論.
知能訓練
光線通過一塊玻璃，其強度要損失10%，把幾塊這樣的玻璃重疊起來，設光線原來的強度為k，通過x塊玻璃以后強度為y.
(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)通過多少塊玻璃以后，光線強度減弱到原來的13以下．(lg3≈0.4771)
解：(1)光線經(jīng)過1塊玻璃后強度為(1－10%)k＝0.9k；
光線經(jīng)過2塊玻璃后強度為(1－10%)0.9k＝0.92k；
光線經(jīng)過3塊玻璃后強度為(1－10%)0.92k＝0.93k；
光線經(jīng)過x塊玻璃后強度為0.9xk.
∴y＝0.9xk(x∈N*)．
(2)由題意：0.9xk＜k3.∴0.9x＜13.
兩邊取以10為底的對數(shù)，xlg0.9＜lg13.
∵lg0.9＜0，∴x＞lg13lg0.9.
∵lg13lg0.9＝lg31－2lg3≈10.4，∴xmin＝11.
∴通過11塊玻璃以后，光線強度減弱到原來的13以下．
拓展提升
某池塘中野生水葫蘆的面積與時間的函數(shù)關(guān)系的圖象(如圖8所示)．假設其關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，并給出下列說法：
①此指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2；
②在第5個月時，野生水葫蘆的面積就會超過30m2；
③野生水葫蘆從4m2蔓延到12m2只需1.5個月；
④設野生水葫蘆蔓延到2m2、3m2、6m2所需的時間分別為t1、t2、t3，則有t1＋t2＝t3；
⑤野生水葫蘆在第1到第3個月之間蔓延的平均速度等于在第2到第4個月之間蔓延的平均速度．
哪些說法是正確的？
圖8
解：①說法正確．
∵關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，
∴可設y＝ax(a＞0且a≠1)．∴由圖知2＝a1.
∴a＝2，即底數(shù)為2.
②∵25＝32＞30，∴說法正確．
③∵指數(shù)函數(shù)增長速度越來越快，
∴說法不正確．
④t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴說法正確．
⑤∵指數(shù)函數(shù)增長速度越來越快，∴說法不正確．
課堂小結(jié)
活動：學生先思考或討論，再回答．教師提示、點撥，及時評價．
引導方法：從基本知識和基本技能兩方面來總結(jié)．
答案：(1)建立函數(shù)模型；(2)利用函數(shù)圖象性質(zhì)分析問題、解決問題．
作業(yè)
課本習題3.2A組1,2.
設計感想
本節(jié)設計由學生熟悉的素材入手，結(jié)果卻出乎學生的意料，由此使學生產(chǎn)生濃厚的學習興趣．課本中兩個例題不僅讓學生學會了函數(shù)模型的應用，而且體會到它們之間的差異；我們補充的例題與之相映生輝，其難度適中，是各地高考模擬經(jīng)常選用的素材．其中拓展提升中的問題緊貼本節(jié)主題，很好地體現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)特點，是不可多得的素材．
第2課時
作者：張建國
導入新課
思路1．(情境導入)
國際象棋起源于古代印度．相傳國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者，問他要什么．發(fā)明者說：“請在棋盤的第一個格子里放上1顆麥粒，第2個格子里放上2顆麥粒，第3個格子里放上4顆麥粒，……，依次類推，每個格子里的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子．請給我足夠的麥粒以實現(xiàn)上述要求．”國王覺得這個要求不高，就欣然同意了．假定千粒麥子的質(zhì)量為40g，據(jù)查，目前世界年度小麥產(chǎn)量為6億噸，但這仍不能滿足發(fā)明者要求，這就是指數(shù)增長．本節(jié)我們討論指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的增長差異．
思路2．(直接導入)
我們知道，對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞1)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞1)與冪函數(shù)y＝xn(n＞0)在區(qū)間(0，＋∞)上都是增函數(shù)．但這三類函數(shù)的增長是有差異的．本節(jié)我們討論指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的增長差異．
推進新課
新知探究
提出問題
(1)在區(qū)間(0，＋∞)上判斷y＝log2x，y＝2x，y＝x2的單調(diào)性.
(2)列表并在同一坐標系中畫出三個函數(shù)的圖象.
(3)結(jié)合函數(shù)的圖象找出其交點坐標.
(4)請在圖象上分別標出使不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自變量x的取值范圍.
(5)由以上問題你能得出怎樣的結(jié)論？
討論結(jié)果：
(1)在區(qū)間(0，＋∞)上函數(shù)y＝log2x，y＝2x，y＝x2均為增函數(shù)．
(2)見下表與圖9.
x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…
y＝2x1.1491.51622.6393.4824.5956.063810.556…
y＝x20.040.3611.963.244.846.76911.56…
y＝log2x－2.322－0.73700.4850.8481.1381.3791.5851.766…
圖9
(3)從圖象看出y＝log2x的圖象與另外兩函數(shù)的圖象沒有交點，且總在另外兩函數(shù)的圖象的下方，y＝2x的圖象與y＝x2的圖象有交點．
(4)不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自變量x的取值范圍分別是(2,4)和(0,2)∪(4，＋∞)．
(5)我們在更大的范圍內(nèi)列表作函數(shù)圖象(圖10)，
x012345678…
y＝2x1248163264128256…
y＝x201491625364964…
圖10
容易看出：y＝2x的圖象與y＝x2的圖象有兩個交點(2,4)和(4,16)，這表明2x與x2在自變量不同的區(qū)間內(nèi)有不同的大小關(guān)系，有時2x＜x2，有時x2＜2x.
但是，當自變量x越來越大時，可以看到，y＝2x的圖象就像與x軸垂直一樣，2x的值快速增長，x2比起2x來，幾乎有些微不足道，如圖11和下表所示．
x01020304050607080…
y＝2x110241.05E＋061.07E＋091.10E＋121.13E＋151.15E＋181.18E＋211.21E＋24…
y＝x2010040090016002500360049006400…
圖11
一般地，對于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞1)和冪函數(shù)y＝xn(n＞0)，通過探索可以發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間(0，＋∞)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，ax會小于xn，但由于ax的增長快于xn的增長，因此總存在一個x0，當x＞x0時，就會有ax＞xn.
同樣地，對于對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞1)和冪函數(shù)y＝xn(n＞0)，在區(qū)間(0，＋∞)上，隨著x的增大，logax增長得越來越慢，圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣．盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，logax可能會大于xn，但由于logax的增長慢于xn的增長，因此總存在一個x0，當x＞x0時，就會有l(wèi)ogax＜xn.
綜上所述，盡管對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞1)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞1)與冪函數(shù)y＝xn(n＞0)在區(qū)間(0，＋∞)上都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上．隨著x的增大，y＝ax(a＞1)的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于y＝xn(n＞0)的增長速度，而y＝logax(a＞1)的增長速度則會越來越慢．因此，總會存在一個x0，當x＞x0時，就會有l(wèi)ogax＜xn＜ax.雖然冪函數(shù)y＝xn(n＞0)增長快于對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞1)增長，但它們與指數(shù)增長比起來相差甚遠，因此指數(shù)增長又稱“指數(shù)爆炸”．
應用示例
例1某市的一家報刊攤點，從報社買進晚報的價格是每份0.20元，賣出價是每份0.30元，賣不掉的報紙可以以每份0.05元的價格退回報社．在一個月(以30天計)里，有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，但每天從報社買進的份數(shù)必須相同，這個攤主每天從報社買進多少份，才能使每月所獲的利潤最大？并計算他一個月最多可賺得多少元？
活動：學生先思考或討論，再回答．教師根據(jù)實際，可以提示引導：
設攤主每天從報社買進x份，顯然當x∈[250,400]時，每月所獲利潤才能最大．而每月所獲利潤＝賣報收入的總價－付給報社的總價．賣報收入的總價包含三部分：①可賣出400份的20天里，收入為20×0.30x；②可賣出250份的10天里，收入為10×0.30×250；③10天里多進的報刊退回給報社的收入為10×0.05×(x－250)．付給報社的總價為30×0.20x.
解：設攤主每天從報社買進x份晚報，顯然當x∈[250,400]時，每月所獲利潤才能最大．于是每月所獲利潤y為
y＝20×0.30x＋10×0.30×250＋10×0.05×(x－250)－30×0.20x＝0.5x＋625，x∈[250,400]．
因函數(shù)y在[250,400]上為增函數(shù)，故當x＝400時，y有最大值825元．
圖12
例2某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y與時間t之間近似滿足如圖12所示的曲線．
(1)寫出服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)據(jù)測定：每毫升血液中含藥量不少于4微克時治療疾病有效，假若某病人一天中第一次服藥時間為上午7：00，問一天中怎樣安排服藥的時間(共4次)效果最佳？
解：(1)依題意，得y＝6t，0≤t≤1，－23t＋203，1t≤10.
(2)設第二次服藥時在第一次服藥后t1小時，則－23t1＋203＝4，t1＝4.因而第二次服藥應在11：00；
設第三次服藥在第一次服藥后t2小時，則此時血液中含藥量應為兩次服藥量的和，即有－23t2＋203－23(t2－4)＋203＝4，解得t2＝9，故第三次服藥應在16：00；
設第四次服藥在第一次后t3小時(t3＞10)，則此時第一次服進的藥已吸收完，此時血液中含藥量應為第二、三次的和，－23(t3－4)＋203－23(t3－9)＋203＝4，解得t3＝13.5，故第四次服藥應在20：30.
變式訓練
通過研究學生的學習行為，心理學家發(fā)現(xiàn)，學生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間：講座開始時，學生興趣激增；中間有一段不太長的時間，學生的興趣保持較理想的狀態(tài)；隨后學生的注意力開始分散．分析結(jié)果和實驗表明，用f(x)表示學生接受概念的能力[f(x)的值愈大，表示接受的能力愈強]，x表示提出和講授概念的時間(單位：分鐘)，可有以下的公式：
(1)開講后多少分鐘，學生的接受能力最強？能維持多長時間？
(2)開講后5分鐘與開講后20分鐘比較，學生的接受能力何時強一些？
解：(1)當0＜x≤10時，f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9，
知當x＝10時，[f(x)]max＝f(10)＝59；
當10＜x≤16時，f(x)＝59；當16＜x≤30時，f(x)＝－3x＋107，
知f(x)＜－3×16＋107＝59.
因此，開講后10分鐘，學生的接受能力最強，并能持續(xù)6分鐘．
(2)∵f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5，f(20)＝－3×20＋107＝47＜53.5，
∴開講后5分鐘時學生的接受能力比開講后20分鐘強．
點評：解析式與圖象的轉(zhuǎn)換是函數(shù)應用的重點，關(guān)于分段函數(shù)問題更應重點訓練.
知能訓練
某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時間的關(guān)系用圖13(1)的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖13(2)的拋物線段表示．
(1)寫出圖13(1)表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系P＝f(t)；
寫出圖13(2)表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式Q＝g(t)；
(2)認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？
(1)(2)
圖13
(注：市場售價和種植成本的單位：元/102kg，時間單位：天)
活動：學生在黑板上書寫解答．教師在學生中巡視其他學生的解答，發(fā)現(xiàn)問題及時糾正．
解：(1)由圖13(1)可得市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系為f(t)＝300－t，0≤t≤200，2t－300，200t≤300.
由圖13(2)可得種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系為g(t)＝1200(t－150)2＋100,0≤t≤300.
(2)設t時刻的純收益為h(t)，
則由題意得h(t)＝f(t)－g(t)．
即h(t)＝－1200t2＋12t＋1752，0≤t≤200，－1200t2＋72t－10252，200t≤300.
當0≤t≤200時，配方整理，得h(t)＝－1200(t－50)2＋100，
所以當t＝50時，h(t)取得區(qū)間[0,200]上的最大值100；
當200＜t≤300時，配方整理，得h(t)＝－1200(t－350)2＋100，
所以當t＝300時，h(t)取得區(qū)間[200,300]上的最大值87.5.
綜上，由100＞87.5可知，h(t)在區(qū)間[0,300]上可以取得最大值100，此時t＝50，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大．
點評：本題主要考查由函數(shù)圖象建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最大值的問題，考查運用所學知識解決實際問題的能力．
拓展提升
探究內(nèi)容
①在函數(shù)應用中如何利用圖象求解析式．
②分段函數(shù)解析式的求法．
③函數(shù)應用中的最大值、最小值問題．
舉例探究：某跨國公司是專門生產(chǎn)健身產(chǎn)品的企業(yè)，第一批產(chǎn)品A上市銷售40天內(nèi)全部售完，該公司對第一批產(chǎn)品A上市后的國內(nèi)外市場銷售情況進行調(diào)研，結(jié)果如圖14(1)、圖14(2)、圖14(3)所示．其中圖14(1)的折線表示的是國外市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系；圖14(2)的拋物線表示的是國內(nèi)市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系；圖14(3)的折線表示的是每件產(chǎn)品A的銷售利潤與上市時間的關(guān)系．
圖14
(1)分別寫出國外市場的日銷售量f(t)、國內(nèi)市場的日銷售量g(t)與第一批產(chǎn)品A上市時間t的關(guān)系式；
(2)第一批產(chǎn)品A上市后的哪幾天，這家公司的國內(nèi)和國外日銷售利潤之和超過6300萬元？
分析：1．利用圖象求解析式，先要分清函數(shù)類型再利用待定系數(shù)法求解析式．
2．在t∈[0,40]上，有幾個分界點，請同學們思考應分為幾段．
3．回憶函數(shù)最值的求法．
解：(1)f(t)＝2t，0≤t≤30，－6t＋240，30t≤40，
g(t)＝－320t2＋6t(0≤t≤40)．
(2)每件A產(chǎn)品銷售利潤h(t)＝3t，0≤t≤20，60，20t≤40.
該公司的日銷售利潤
當0≤t≤20時，F(xiàn)(t)＝3t(－320t2＋8t)，先判斷其單調(diào)性．
設0≤t1＜t2≤20，
則F(t1)－F(t2)＝3t1(－320t21＋8t1)－3t2(－320t22＋8t2)＜0.
∴F(t)在區(qū)間[0,20]上為增函數(shù)．
∴F(t)max＝F(20)＝6000＜6300.
當20＜t≤30時，
令60(－320t2＋8t)＞6300，
則703＜t＜30；
當30＜t≤40時，F(xiàn)(t)＝60(－320t2＋240)＜60(－320×302＋240)＝6300，
故在第24,25,26,27,28,29天日銷售利潤超過6300萬元．
點評：1．利用圖象求解析式，先要分清函數(shù)類型再利用待定系數(shù)法求解析式，重點是找出關(guān)鍵點．
2．在t∈[0,40]上，有幾個分界點，t＝20，t＝30兩點把區(qū)間分為三段．
3．二次函數(shù)的最值可用配方法，另外利用單調(diào)性求最值也是常用方法之一．
課堂小結(jié)
本節(jié)學習了：①指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的增長差異．②冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的應用．
作業(yè)
課本習題3.2A組3,4.
設計感想
本節(jié)設計從精彩的故事開始，讓學生從故事中體會數(shù)學帶來的震撼，然后借助計算機感受不同函數(shù)模型的巨大差異．接著通過最新題型訓練學生利用函數(shù)模型解決實際問題的能力；并且重點訓練了由圖象轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式的能力，因為這是高考的一個重點．本節(jié)的每個例題都很精彩，可靈活選用．
備課資料
【備選例題】
【例1】某西部山區(qū)的某種特產(chǎn)由于運輸?shù)脑颍L期只能在當?shù)劁N售，當?shù)卣畬υ擁椞禺a(chǎn)的銷售投資收益為：每年投入x萬元，可獲得利潤P＝－1160(x－40)2＋100萬元．當?shù)卣當M在新的十年發(fā)展規(guī)劃中加快發(fā)展此特產(chǎn)的銷售，其規(guī)劃方案為：在規(guī)劃后對該項目每年都投入60萬元的銷售投資，在未來10年的前5年中，每年都從60萬元中撥出30萬元用于修建一條公路，5年修成，通車前該特產(chǎn)只能在當?shù)劁N售；公路通車后的5年中，該特產(chǎn)既在本地銷售，也在外地銷售，在外地銷售的投資收益為：每年投入x萬元，可獲利潤Q＝－159160(60－x)2＋1192(60－x)萬元．
問從10年的累積利潤看，該規(guī)劃方案是否可行？
解：在實施規(guī)劃前，由題設P＝－1160(x－40)2＋100(萬元)，知每年只需投入40萬，即可獲得最大利潤100萬元．
則10年的總利潤為W1＝100×10＝1000(萬元)．
實施規(guī)劃后的前5年中，由題設P＝－1160(x－40)2＋100，知每年投入30萬元時，有最大利潤Pmax＝7958(萬元)．
前5年的利潤和為7958×5＝39758(萬元)．
設在公路通車的后5年中，每年用x萬元投資于本地的銷售，而用剩下的(60－x)萬元用于外地區(qū)的銷售投資，則其總利潤為
W2＝－1160(x－40)2＋100×5＋－159160x2＋1192x×5
＝－5(x－30)2＋4950.
當x＝30時，(W2)max＝4950(萬元)．
從而10年的總利潤為39758＋4950(萬元)．
∵39758＋4950＞1000，
∴該規(guī)劃方案有極大實施價值．
