高中經(jīng)濟(jì)生活的教案
發(fā)表時(shí)間:2020-11-12§1.4.2生活中的優(yōu)化問題舉例(2)。
俗話說,凡事預(yù)則立,不預(yù)則廢。作為教師準(zhǔn)備好教案是必不可少的一步。教案可以讓學(xué)生們能夠在上課時(shí)充分理解所教內(nèi)容,讓教師能夠快速的解決各種教學(xué)問題。所以你在寫教案時(shí)要注意些什么呢?小編經(jīng)過搜集和處理,為您提供§1.4.2生活中的優(yōu)化問題舉例(2),歡迎大家與身邊的朋友分享吧!
§1.4.2生活中的優(yōu)化問題舉例(2)
【學(xué)情分析】:
在基本方法已經(jīng)掌握的基礎(chǔ)上,本節(jié)課重點(diǎn)放在提高學(xué)生的應(yīng)用能力上。
【教學(xué)目標(biāo)】:
1.掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的基本方法。
2.提高將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.提高學(xué)生綜合、靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識解決生活中問題的能力
3.體會導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用.
【教學(xué)重點(diǎn)】:
利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題.
【教學(xué)難點(diǎn)】:
將生活中的問題轉(zhuǎn)化為用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題,再用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題,從而得出問題的最優(yōu)化選擇。
【教法、學(xué)法設(shè)計(jì)】:
練---講---練.
【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】:
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動設(shè)計(jì)意圖
(1)復(fù)習(xí)引入:1、建立數(shù)學(xué)模型(確立目標(biāo)函數(shù))是解決應(yīng)用性性問題的關(guān)鍵
2、要注意不能漏掉函數(shù)的定義域?yàn)檎n題作鋪墊.
(2)典型例題講解例1、用總長為14.8m的鋼條制作一個(gè)長方體容器的框架,如果所制作的容器的底面的一邊比另一邊長0.5m,那么高為多少時(shí)容器的容積最大?并求出它的最大容積。
解:設(shè)容器底面短邊長為xm,則另一邊長為
(x+0.5)m,高為(14.8-4x-4(x+0.5))/4=(3.2-2x)m
則3.2–2x0,x0,得0x1.6.
設(shè)容器體積為ym3,則y=x(x+0.5)(3.2–2x)
=-2x3+2.2x2+1.6x(0x1.6)
y=-6x2+4.4x+1.6,
令y=0得x=1或x=-4/15(舍去),
∴當(dāng)0x1時(shí),y0,當(dāng)1x1.6時(shí),y0,
∴在x=1處,y有最大值,此時(shí)高為1.2m,
最大容積為1.8m3。
選擇一個(gè)學(xué)生感覺不是很難的題目作為例題,讓學(xué)生自己體驗(yàn)一下應(yīng)用題中最優(yōu)化化問題的解。
(4)加強(qiáng)鞏固1例2、有甲、乙兩個(gè)工廠,甲廠位于一直線河岸的岸邊A處,乙廠與甲廠在河的兩側(cè),乙廠位于離河岸40km的B處,乙廠到河岸的垂足D與A相距50km,兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C,從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元,問供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最?。浚ㄗⅲ翰挥?jì)河寬)
解:設(shè),(0),
.
設(shè)總的水管費(fèi)用為().依題意,有
()=)+.
()==.
令()=0,得.根據(jù)問題的實(shí)際意義,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值,此時(shí),,,,即供水站建在A、D之間距甲廠20km處,可使水管費(fèi)用最省。
使學(xué)生能熟練步驟.
(5)加強(qiáng)鞏固2例3、已知某廠生產(chǎn)件產(chǎn)品的成本為C=(元),問:
(1)要使平均成本最低,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?
(2)若產(chǎn)品以每件500元售出,要使利潤最大,應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?
解:(1)設(shè)平均成本為y元,則
.
.
令,得,
當(dāng)在附近左側(cè)時(shí),0;在=1000附近右側(cè)時(shí),0,
故當(dāng)=1000時(shí),y取得最小值,因此,要使平均成本最低,應(yīng)生產(chǎn)1000件產(chǎn)品.
(2)利潤函數(shù)為,
.
令,解得.
當(dāng)在附近左側(cè)時(shí),0;在附近右側(cè)時(shí),0.
故當(dāng)時(shí),L取得極大值.由于函數(shù)只有一個(gè)使的點(diǎn),且函數(shù)在該點(diǎn)有極大值,那么函數(shù)在該點(diǎn)取得最大值.因此,要使利潤最大,應(yīng)生產(chǎn)6000件產(chǎn)品.提高提高問題的綜合性,鍛煉學(xué)生能力。
(6)課堂小結(jié)1、讓學(xué)生自己總結(jié)生活中的最優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)背景主要有:立體幾何、解析幾何、三角函數(shù)等。
2、自變量的引入不是固定的,要注意引入自變量的技巧。
(7)作業(yè)布置:教科書P104A組4,5,6。
(8備用題目:
1、用邊長為的正方形鐵皮做一個(gè)無蓋的鐵盒時(shí),在鐵皮的四角各剪去一個(gè)面積相等的小正方形,然后把四邊折起,就能焊成鐵盒,所做的鐵盒容積最大時(shí),在四角剪去的正方形的邊長為(B)
ABCD
3、做一個(gè)容積為底面為正方形的無蓋長方體水箱,它的高為4時(shí),最省料。
4、某公司規(guī)定:對于小于或等于150件的訂購合同,每件售價(jià)為280元,對于多于150的訂購合同,每超過一件,則每件售價(jià)比原來減少1元,當(dāng)公司的收益最大時(shí)訂購件數(shù)為215。
5、某賓館有50個(gè)房間供游客居住,當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)為180元時(shí),房間會全部住滿;房間的單價(jià)每增加10元,就會有一個(gè)房間空閑.如果游客居住房間,賓館每天每間需花費(fèi)20元的各種維修費(fèi).房間定價(jià)多少時(shí),賓館的利潤最大?
解:設(shè)賓館定價(jià)為(180+10x)元時(shí),賓館的利潤W最大
其中
6、一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比,已知速度為每小時(shí)10km,燃料費(fèi)是每小時(shí)6元,而其他與速度無關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元,求這艘輪船在以何種速度航行時(shí),能使航行1km的費(fèi)用總和最小?
解:設(shè)船速為(0),航行1km的費(fèi)用總和為,設(shè)每小時(shí)燃料費(fèi)為則
.(其中);.
令,解得.
當(dāng)
,即以每小時(shí)20公里的速度航行時(shí),航行1km的費(fèi)用總和最小。
延伸閱讀
生活中的優(yōu)化問題舉例
一名優(yōu)秀負(fù)責(zé)的教師就要對每一位學(xué)生盡職盡責(zé),準(zhǔn)備好一份優(yōu)秀的教案往往是必不可少的。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動起來,有效的提高課堂的教學(xué)效率。我們要如何寫好一份值得稱贊的高中教案呢?以下是小編為大家收集的“生活中的優(yōu)化問題舉例”相信您能找到對自己有用的內(nèi)容。
§3.4生活中的優(yōu)化問題舉例教學(xué)目標(biāo):
1.要細(xì)致分析實(shí)際問題中各個(gè)量之間的關(guān)系,正確設(shè)定所求最大值或最小值的變量與自變量,把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,即列出函數(shù)解析式,根據(jù)實(shí)際問題確定函數(shù)的定義域;
2.要熟練掌握應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的步驟,細(xì)心運(yùn)算,正確合理地做答.
重點(diǎn):求實(shí)際問題的最值時(shí),一定要從問題的實(shí)際意義去考察,不符合實(shí)際意義的理論值應(yīng)予舍去。
難點(diǎn):在實(shí)際問題中,有常常僅解到一個(gè)根,若能判斷函數(shù)的最大(?。┲翟诘淖兓瘏^(qū)間內(nèi)部得到,則這個(gè)根處的函數(shù)值就是所求的最大(小)值。
教學(xué)方法:嘗試性教學(xué)
教學(xué)過程:
前置測評:
(1)求曲線y=x2+2在點(diǎn)P(1,3)處的切線方程.
(2)若曲線y=x3上某點(diǎn)切線的斜率為3,求此點(diǎn)的坐標(biāo)。
【情景引入】生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題,這些問題通常稱為優(yōu)化問題.通過前面的學(xué)習(xí),我們知道,導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大(?。┲档挠辛ぞ撸@一節(jié),我們利用導(dǎo)數(shù),解決一些生活中的優(yōu)化問題
例1.汽油的使用效率何時(shí)最高
材料:隨著我國經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展,能源短缺的矛盾突現(xiàn),建設(shè)節(jié)約性社會是眾望所歸。現(xiàn)實(shí)生活中,汽車作為代步工具,與我們的生活密切相關(guān)。眾所周知,汽車的每小時(shí)耗油量與汽車的速度有一定的關(guān)系。如何使汽車的汽油使用效率最高(汽油使有效率最高是指每千米路程的汽油耗油量最少)呢?
通過大量統(tǒng)計(jì)分析,得到汽油每小時(shí)的消耗量g(L/h)與汽車行駛的平均速度v(km/h)之間的函數(shù)關(guān)系g=f(v)如圖3.4-1,根據(jù)圖象中的信息,試說出汽車的速度v為多少時(shí),汽油的使用效率最高?
解:因?yàn)镚=w/s=(w/t)/(s/t)=g/v
這樣,問題就轉(zhuǎn)化為求g/v的最小值,從圖象上看,g/v
表示經(jīng)過原點(diǎn)與曲線上點(diǎn)(v,g)的直線的斜率。繼續(xù)觀察圖像,我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)直線與曲線相切時(shí),其斜率最小,在此點(diǎn)處速度約為90km/h,從樹枝上看,每千米的耗油量就是途中切線的斜率,即f’(90),約為0.67L.
例2.磁盤的最大存儲量問題
【背景知識】計(jì)算機(jī)把數(shù)據(jù)存儲在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤,并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道,扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長弧段可作為基本存儲單元,根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1,這個(gè)基本單元通常被稱為比特(bit)。
為了保障磁盤的分辨率,磁道之間的寬度必需大于,每比特所占用的磁道長度不得小于。為了數(shù)據(jù)檢索便利,磁盤格式化時(shí)要求所有磁道要具有相同的比特?cái)?shù)。
問題:現(xiàn)有一張半徑為的磁盤,它的存儲區(qū)是半徑介于與之間的環(huán)形區(qū)域.
是不是越小,磁盤的存儲量越大?
為多少時(shí),磁盤具有最大存儲量(最外面的磁道不存儲任何信息)?
解:由題意知:存儲量=磁道數(shù)×每磁道的比特?cái)?shù)。
設(shè)存儲區(qū)的半徑介于與R之間,由于磁道之間的寬度必需大于,且最外面的磁道不存儲任何信息,故磁道數(shù)最多可達(dá)。由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同,為獲得最大存儲量,最內(nèi)一條磁道必須裝滿,即每條磁道上的比特?cái)?shù)可達(dá)。所以,磁盤總存儲量
×
(1)它是一個(gè)關(guān)于的二次函數(shù),從函數(shù)解析式上可以判斷,不是越小,磁盤的存儲量越大.
(2)為求的最大值,計(jì)算.
令,解得
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
因此時(shí),磁盤具有最大存儲量。此時(shí)最大存儲量為
例3.飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響
(1)你是否注意過,市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些?
(2)是不是飲料瓶越大,飲料公司的利潤越大?
【背景知識】某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料.瓶子的制造成本是分,其中是瓶子的半徑,單位是厘米。已知每出售1mL的飲料,制造商可獲利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm
問題:(1)瓶子的半徑多大時(shí),能使每瓶飲料的利潤最大?
(2)瓶子的半徑多大時(shí),每瓶的利潤最???
【引導(dǎo)】先建立目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,然后利用導(dǎo)數(shù)求最值.
(1)半徑為cm時(shí),利潤最小,這時(shí),表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本,此時(shí)利潤是負(fù)值.
(2)半徑為cm時(shí),利潤最大.
【思考】根據(jù)以上三個(gè)例題,總結(jié)用導(dǎo)數(shù)求解優(yōu)化問題的基本步驟.
【總結(jié)】(1)認(rèn)真分析問題中各個(gè)變量之間的關(guān)系,正確設(shè)定最值變量與自變量,把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,列出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式,并確定函數(shù)的定義區(qū)間;
(2)求,解方程,得出所有實(shí)數(shù)根;
(3)比較函數(shù)在各個(gè)根和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小,
根據(jù)問題的實(shí)際意義確定函數(shù)的最大值或最小值。
作業(yè):P114習(xí)題3.4第2、4題
生活中的優(yōu)化問題舉例導(dǎo)學(xué)案及練習(xí)題
【學(xué)習(xí)要求】1.了解導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用.2.掌握利用導(dǎo)數(shù)解決簡單的實(shí)際生活中的優(yōu)化問題.
【學(xué)法指導(dǎo)】1.在利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的過程中體會建模思想.2.感受導(dǎo)數(shù)知識在解決實(shí)際問題中的作用,自覺形成將數(shù)學(xué)理論與實(shí)際問題相結(jié)合的思想,提高分析問題、解決問題的能力.
1.在經(jīng)濟(jì)生活中,人們常常遇到最優(yōu)化問題.例如,為使經(jīng)營利潤最大、生產(chǎn)效率最高,或?yàn)槭褂昧ψ钍?、用料最少、消耗最省等,需要尋求相?yīng)的最佳方案或最佳策略,這些都是
2.利用導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化問題的實(shí)質(zhì)是.
3.解決優(yōu)化問題的基本思路是
上述解決優(yōu)化問題的過程是一個(gè)典型的過程.
引言數(shù)學(xué)源于生活,寓于生活,用于生活.在我們的生活中處處存在數(shù)學(xué)知識,只要你留意,就會發(fā)現(xiàn)經(jīng)常遇到如何才能使“選址最佳”“用料最省”“流量最大”“利潤最大”等問題,這些問題通常稱為最優(yōu)化問題,在數(shù)學(xué)上就是最大值、最小值問題.導(dǎo)數(shù)可以解決這些問題嗎?如何解決呢?
探究點(diǎn)一面積、體積的最值問題
問題如何利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的最優(yōu)化問題?
例1學(xué)校或班級舉行活動,通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳.現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖所示的豎向張貼的海報(bào),要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm.如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸,才能使四周空白面積最???
跟蹤訓(xùn)練1如圖,四邊形ABCD是一塊邊長為4km的正方形地域,地域內(nèi)有一條河流MD,其經(jīng)過的路線是以AB的中點(diǎn)M為頂點(diǎn)且開口向右的拋物線(河流寬度忽略不計(jì)).新長城公司準(zhǔn)備投資建一個(gè)大型矩形游樂園PQCN,問如何施工才能使游樂園的面積最大?并求出最大面積.
探究點(diǎn)二利潤最大問題
例2某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料.瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r(單位:cm)是瓶子的半徑,已知每出售1mL的飲料,制造商可獲利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm.
(1)瓶子半徑多大時(shí),能使每瓶飲料的利潤最大?(2)瓶子半徑多大時(shí),每瓶飲料的利潤最?。?br>
跟蹤訓(xùn)練2某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價(jià)格x(單位:元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)=ax-3+10(x-6)2,其中3x6,a為常數(shù).已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí),每日可售出該商品11千克.
(1)求a的值;
(2)若該商品的成本為3元/千克,試確定銷售價(jià)格x的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.
探究點(diǎn)三費(fèi)用(用材)最省問題
例3已知A、B兩地相距200km,一只船從A地逆水行駛到B地,水速為8km/h,船在靜水中的速度為vkm/h(8v≤v0).若船每小時(shí)的燃料費(fèi)與其在靜水中的速度的平方成正比,當(dāng)v=12km/h時(shí),每小時(shí)的燃料費(fèi)為720元,為了使全程燃料費(fèi)最省,船的實(shí)際速度為多少?
跟蹤訓(xùn)練3現(xiàn)有一批貨物由海上從A地運(yùn)往B地,已知輪船的最大航行速度為35海里/時(shí),A地至B地之間的航行距離約為500海里,每小時(shí)的運(yùn)輸成本由燃料費(fèi)和其余費(fèi)用組成,輪船每小時(shí)的燃料費(fèi)與輪船速度的平方成正比(比例系數(shù)為0.6),其余費(fèi)用為每小時(shí)960元.
(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度x(海里/時(shí))的函數(shù);
(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小,輪船應(yīng)以多大速度行駛?
【達(dá)標(biāo)檢測】
1.方底無蓋水箱的容積為256,則最省材料時(shí),它的高為()
A.4B.6C.4.5D.8
2.某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù),經(jīng)預(yù)算,存款量與存款利率的平方成正比,比例系數(shù)為k(k0).已知貸款的利率為0.0486,且假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去.設(shè)存款利率為x,x∈(0,0.0486),若使銀行獲得最大收益,則x的取值為()
A.0.0162B.0.0324
C.0.0243D.0.0486
3.統(tǒng)計(jì)表明:某種型號的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為y=1128000x3-380x+8(0x≤120).已知甲、乙兩地相距100千米,當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升?
2.1生活中的變量關(guān)系
一名優(yōu)秀的教師在教學(xué)時(shí)都會提前最好準(zhǔn)備,高中教師要準(zhǔn)備好教案為之后的教學(xué)做準(zhǔn)備。教案可以讓學(xué)生更好地進(jìn)入課堂環(huán)境中來,幫助高中教師有計(jì)劃有步驟有質(zhì)量的完成教學(xué)任務(wù)。您知道高中教案應(yīng)該要怎么下筆嗎?考慮到您的需要,小編特地編輯了“2.1生活中的變量關(guān)系”,僅供參考,歡迎大家閱讀。
2.1生活中的變量關(guān)系
一、教學(xué)目標(biāo):
1.通過高速公路上的實(shí)際例子,引起積極的思考和交流,從而認(rèn)識到生活中處處可以遇到變量間的依賴關(guān)系.能夠利用初中對函數(shù)的認(rèn)識,了解依賴關(guān)系中有的是函數(shù)關(guān)系,有的則不是函數(shù)關(guān)系.
2.培養(yǎng)廣泛聯(lián)想的能力和熱愛數(shù)學(xué)的態(tài)度.
二、教學(xué)重點(diǎn):在于讓學(xué)生領(lǐng)悟生活中處處有變量,變量之間充滿了關(guān)系
教學(xué)難點(diǎn):培養(yǎng)廣泛聯(lián)想的能力和熱愛數(shù)學(xué)的態(tài)度
三、教學(xué)方法:探究交流法
四、教學(xué)過程
(一)、知識探索:
閱讀課文P25頁。實(shí)例分析:書上在高速公路情境下的問題。
在高速公路情景下,你能發(fā)現(xiàn)哪些函數(shù)關(guān)系?
2.對問題3,儲油量v對油面高度h、油面寬度w都存在依賴關(guān)系,兩種依賴關(guān)系都有函數(shù)關(guān)系嗎?
問題小結(jié):
1.生活中變量及變量之間的依賴關(guān)系隨處可見,并非有依賴關(guān)系的兩個(gè)變量都有函數(shù)關(guān)系,只有滿足對于一個(gè)變量的每一個(gè)值,另一個(gè)變量都有唯一確定的值與之對應(yīng),才稱它們之間有函數(shù)關(guān)系。
2.構(gòu)成函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量,必須是對于自變量的每一個(gè)值,因變量都有唯一確定的y值與之對應(yīng)。
3.確定變量的依賴關(guān)系,需分清誰是自變量,誰是因變量,如果一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的變化而變化,那么這個(gè)變量是因變量,另一個(gè)變量是自變量。
(二)、新課探究——函數(shù)概念
1.初中關(guān)于函數(shù)的定義:
2.從集合的觀點(diǎn)出發(fā),函數(shù)定義:
給定兩個(gè)非空數(shù)集A和B,如果按照某個(gè)對應(yīng)關(guān)系f,對于A中的任何一個(gè)數(shù)x,在集合B中都存在唯一確定的數(shù)f(x)與之對應(yīng),那么就把這種對應(yīng)關(guān)系f叫做定義在A上的函數(shù),記作或f:A→B,或y=f(x),x∈A.;
此時(shí)x叫做自變量,集合A叫做函數(shù)的定義域,集合{f(x)︱x∈A}叫作函數(shù)的值域。習(xí)慣上我們稱y是x的函數(shù)。
3.函數(shù)的三要素:
定義域,值域,對應(yīng)法則;
4.函數(shù)值
當(dāng)x=a時(shí),我們用f(a)表示函數(shù)y=f(x)的函數(shù)值。
(三)、知識體驗(yàn)(課堂練習(xí)及課外作業(yè))
1.某電器商店以2000元一臺的價(jià)格進(jìn)了一批電視機(jī),然后以2100元的價(jià)格售出,隨著售出臺數(shù)的變化,商店獲得的收入是,它們之間是______關(guān)系.
【函數(shù)y=100x,x∈D】
2.現(xiàn)實(shí)生活中,與時(shí)間存在函數(shù)關(guān)系的量_______________________.(三個(gè)以上)
【路程與時(shí)間;炮彈的射高與時(shí)間的變化關(guān)系問題;用電量與時(shí)間的關(guān)系?!?br>
3.坐電梯時(shí),電梯距地面的高度與時(shí)間之間存在______________關(guān)系.【函數(shù)】
4.在一定量的水中加入蔗糖,糖水的質(zhì)量濃度與所加蔗糖的質(zhì)量之間存在怎樣的依賴關(guān)系?如果是函數(shù)關(guān)系,指出自變量和因變量.
【是函數(shù)關(guān)系;自變量是所加蔗糖的質(zhì)量;因變量是糖水的質(zhì)量濃度?!?br>
5.日期與星期之間存在怎樣的依賴關(guān)系?這種依賴關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎?如果是,指出自變量和因變量.
【是函數(shù)關(guān)系;自變量是日期;因變量是星期。】
6.下列過程中變量之間是否存在依賴關(guān)系,其中哪些是函數(shù)關(guān)系:
(1)地球繞太陽公轉(zhuǎn)的過程中,二者的距離與時(shí)間的關(guān)系;
(2)在空中作斜拋運(yùn)動的鉛球,鉛球距地面的高度與時(shí)間的關(guān)系;
(3)某水文觀測點(diǎn)記錄的水位與時(shí)間的關(guān)系;
(4)某十字路口,通過汽車的數(shù)量與時(shí)間的關(guān)系;
(5)等邊三角形的邊長與面積之間的關(guān)系.
7.下列各式是否表示y是x的函數(shù)關(guān)系?如果是,寫出這個(gè)函數(shù)的解析式。
(1)5x+2y=1(xR);
(2)xy=-3(x0);
(3)(x(-1,0))
(4)(xR)
五、課后反思:
5.7生活中的圓周運(yùn)動學(xué)案(人教版必修2)
俗話說,磨刀不誤砍柴工。作為教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以讓學(xué)生們能夠在上課時(shí)充分理解所教內(nèi)容,幫助教師掌握上課時(shí)的教學(xué)節(jié)奏。教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢?下面是小編幫大家編輯的《5.7生活中的圓周運(yùn)動學(xué)案(人教版必修2)》,歡迎您閱讀和收藏,并分享給身邊的朋友!
5.7生活中的圓周運(yùn)動學(xué)案(人教版必修2)
1.火車轉(zhuǎn)彎時(shí)實(shí)際是在做圓周運(yùn)動,因而具有____________,需要__________.
如果轉(zhuǎn)彎時(shí)內(nèi)外軌一樣高,則由____________________提供向心力,這樣,鐵軌和車輪
易受損.
如果轉(zhuǎn)彎處外軌略高于內(nèi)軌,火車轉(zhuǎn)彎時(shí)鐵軌對火車的支持力不再是豎直向上的,而是
________________,它與重力的合力指向________,為火車提供了一部分向心力,減輕
了輪緣與外軌的擠壓.適當(dāng)設(shè)計(jì)內(nèi)外軌的高度差,使火車以規(guī)定的速度行駛時(shí),轉(zhuǎn)彎需
要的向心力幾乎完全由________________________提供.
2.當(dāng)汽車以相同的速率分別行駛在凸形橋的最高點(diǎn)和凹形橋的最低點(diǎn)時(shí),汽車對橋的壓
力的區(qū)別如下表所示.
內(nèi)容
項(xiàng)目凸形橋凹形橋
受力分析圖
以a方向?yàn)?br>
正方向,根據(jù)
牛頓第二定
律列方程mg-FN1=mv2r
FN1=mg-mv2r
FN2-mg=mv2r
FN2=mg+mv2r
牛頓第三定律FN1′=FN1
=mg-mv2r
FN2′=FN2
=mg+mv2r
討論v增大,F(xiàn)N1′減小;當(dāng)v增大到gr時(shí),F(xiàn)N1′=0v增大,F(xiàn)N2′增大,只要v≠0,F(xiàn)N1′FN2′
由列表比較可知,汽車在凹形橋上行駛對橋面及輪胎損害大,但在凸形橋上,最高點(diǎn)速
率不能超過________.當(dāng)汽車以v≥gr的速率行駛時(shí),將做__________,不再落到橋面
上.
3.(1)航天器中的物體做圓周運(yùn)動需要的向心力由__________提供.
(2)當(dāng)航天器的速度____________時(shí),航天器所受的支持力FN=0,此時(shí)航天器及其內(nèi)部
的物體處于__________狀態(tài).
4.(1)離心現(xiàn)象:如果一個(gè)正在做勻速圓周運(yùn)動的物體在運(yùn)動過程中向心力突然消失或
合力不足以提供所需的向心力時(shí),物體就會沿切線方向飛出或________圓心運(yùn)動,這就
是離心現(xiàn)象.離心現(xiàn)象并非受“離心力”作用的運(yùn)動.
(2)做圓周運(yùn)動的物體所受的合外力F合指向圓心,且F合=mv2r,物體做穩(wěn)定的
________________;所受的合外力F合突然增大,即F合mv2/r時(shí),物體就會向內(nèi)側(cè)移動,
做________運(yùn)動;所受的合外力F合突然減小,即F合mv2/r時(shí),物體就會向外側(cè)移動,
做________運(yùn)動,所受的合外力F合=0時(shí),物體做離心運(yùn)動,沿切線方向飛出.
5.勻速圓周運(yùn)動、離心運(yùn)動、向心運(yùn)動比較:
勻速圓周運(yùn)動離心運(yùn)動向心運(yùn)動
受力
特點(diǎn)________等于做圓周運(yùn)動所需的向心力合外力__________或者_(dá)_______提供圓周運(yùn)動所需的向心力合外力________做圓周運(yùn)動所需的向心力
圖示
力學(xué)
方程F____mrω2F____mrω2
(或F=0)F____mrω2
【概念規(guī)律練】
知識點(diǎn)一火車轉(zhuǎn)彎問題
1.在某轉(zhuǎn)彎處,規(guī)定火車行駛的速率為v0,則下列說法中正確的是()
A.當(dāng)火車以速率v0行駛時(shí),火車的重力與支持力的合力方向一定沿水平方向
B.當(dāng)火車的速率vv0時(shí),火車對外軌有向外的側(cè)向壓力
C.當(dāng)火車的速率vv0時(shí),火車對內(nèi)軌有向內(nèi)的擠壓力
D.當(dāng)火車的速率vv0時(shí),火車對內(nèi)軌有向內(nèi)側(cè)的壓力
2.修鐵路時(shí),兩軌間距是1435mm,某處鐵路轉(zhuǎn)彎的半徑是300m,若規(guī)定火車通過
這里的速度是72km/h.請你運(yùn)用學(xué)過的知識計(jì)算一下,要想使內(nèi)外軌均不受輪緣的擠壓,
內(nèi)外軌的高度差應(yīng)是多大?
知識點(diǎn)二汽車過橋問題
3.汽車駛向一凸形橋,為了在通過橋頂時(shí),減小汽車對橋的壓力,司機(jī)應(yīng)()
A.以盡可能小的速度通過橋頂
B.適當(dāng)增大速度通過橋頂
C.以任何速度勻速通過橋頂
D.使通過橋頂?shù)南蛐募铀俣缺M可能小
4.如圖1所示,
圖1
質(zhì)量m=2.0×104kg的汽車以不變的速率先后駛過凹形橋面和凸形橋面,兩橋面的圓弧
半徑均為20m.如果橋面承受的壓力不得超過3.0×105N,則:
(1)汽車允許的最大速率是多少?
(2)若以所求速度行駛,汽車對橋面的最小壓力是多少?(g取10m/s2)
知識點(diǎn)三圓周運(yùn)動中的超重、失重現(xiàn)象
5.在下面所介紹的各種情況中,哪種情況將出現(xiàn)超重現(xiàn)象()
①小孩蕩秋千經(jīng)過最低點(diǎn)②汽車過凸形橋③汽車過凹形橋④在繞地球做勻速圓周
運(yùn)動的飛船中的儀器
A.①②B.①③C.①④D.③④
知識點(diǎn)四離心運(yùn)動
6.下列關(guān)于離心現(xiàn)象的說法正確的是()
A.當(dāng)物體所受的離心力大于向心力時(shí)產(chǎn)生離心現(xiàn)象
B.做勻速圓周運(yùn)動的物體,當(dāng)它所受的一切力都突然消失后,物體將做背離圓心的圓
周運(yùn)動
C.做勻速圓周運(yùn)動的物體,當(dāng)它所受的一切力都突然消失后,物體將沿切線方向做勻
速直線運(yùn)動
D.做勻速圓周運(yùn)動的物體,當(dāng)它所受的一切力都突然消失后,物體將做曲線運(yùn)動
7.
圖2
如圖2所示,光滑水平面上,小球m在拉力F作用下做勻速圓周運(yùn)動,若小球運(yùn)動到P
點(diǎn)時(shí),拉力F發(fā)生變化,下列關(guān)于小球運(yùn)動情況的說法正確的是()
A.若拉力突然消失,小球?qū)⒀剀壽EPa做離心運(yùn)動
B.若拉力突然變小,小球?qū)⒀剀壽EPa做離心運(yùn)動
C.若拉力突然變小,小球?qū)⒖赡苎剀壽EPb做離心運(yùn)動
D.若拉力突然變大,小球?qū)⒖赡苎剀壽EPc做向心運(yùn)動
【方法技巧練】
豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動問題的分析方法
8.如圖3所示,
圖3
小球m在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運(yùn)動,下列說法中正確的是()
A.小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度是v=gR
B.小球通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為0
C.小球在水平線ab以下的管道中運(yùn)動時(shí)內(nèi)側(cè)管壁對小球一定無作用力
D.小球在水平線ab以上的管道中運(yùn)動時(shí)外側(cè)管壁對小球一定無作用力
圖4
9.雜技演員在做“水流星”表演時(shí),用一根細(xì)繩系著盛水的杯子,掄起繩子,讓杯子在
豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動.如圖4所示,杯內(nèi)水的質(zhì)量m=0.5kg,繩長l=60cm.求:
(1)在最高點(diǎn)水不流出的最小速率.
(2)水在最高點(diǎn)速率v=3m/s時(shí),水對杯底的壓力大?。?br>
參考答案
課前預(yù)習(xí)練
1.向心加速度向心力外軌對輪緣的彈力斜向彎道的內(nèi)側(cè)圓心重力G和支持力FN的合力
2.gr平拋運(yùn)動
3.(1)萬有引力(2)等于gR完全失重
4.(1)遠(yuǎn)離(2)勻速圓周運(yùn)動向心離心
5.合外力突然消失不足以大于=
課堂探究練
1.ABD
2.0.195m
解析火車在轉(zhuǎn)彎時(shí)所需的向心力由火車所受的重力和軌道對火車支持力的合力提供的,如圖所示,圖中h為兩軌高度差,d為兩軌間距,mgtanα=mv2r,tanα=v2gr,又由于軌道平面和水平面間的夾角一般較小,可近似認(rèn)為:tanα≈sinα=hd.
因此:hd=v2gr,則h=v2dgr=202×1.4359.8×300m=0.195m.
點(diǎn)評近似計(jì)算是本題的關(guān)鍵一步,即當(dāng)角度很小時(shí):sinα≈tanα.
3.B
4.(1)10m/s(2)105N
解析(1)汽車在凹形橋底部時(shí)對橋面壓力最大,由牛頓第二定律得:
FN-mg=mv2maxr.
代入數(shù)據(jù)解得vmax=10m/s.
(2)汽車在凸形橋頂部時(shí)對橋面壓力最小,由牛頓第二定律得:
mg-FN′=mv2r.
代入數(shù)據(jù)解得FN′=105N.
由牛頓第三定律知汽車對橋面的最小壓力等于105N.
點(diǎn)評(1)汽車行駛時(shí),在凹形橋最低點(diǎn),加速度方向豎直向上,汽車處于超重狀態(tài),故對橋面的壓力大于重力;在凸形橋最高點(diǎn),加速度方向豎直向下,處于失重狀態(tài),故對橋面的壓力小于重力.
(2)汽車在拱形橋的最高點(diǎn)對橋面的壓力小于或等于汽車的重力.
①當(dāng)v=gR時(shí),F(xiàn)N=0.
②當(dāng)vgR時(shí),汽車會脫離橋面,發(fā)生危險(xiǎn).
③當(dāng)0≤vgR時(shí),0FN≤mg.
5.B[物體在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動,受重力和拉力(支持力)的作用,若向心加速度向下,則mg-FN=mv2R,有FNmg,物體處于失重狀態(tài);若向心加速度向上,則FN-mg=mv2R,有FNmg,物體處于超重狀態(tài);若mg=mv2R,則FN=0.]
點(diǎn)評物體在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動時(shí),在最高點(diǎn)處于失重狀態(tài);在最低點(diǎn)處于超重狀態(tài).
6.C[物體之所以產(chǎn)生離心現(xiàn)象是由于F合=F向mω2r,并不是因?yàn)槲矬w受到離心力的作用,故A錯(cuò);物體在做勻速圓周運(yùn)動時(shí),若它所受到的力突然都消失,根據(jù)牛頓第一定律,它從這時(shí)起做勻速直線運(yùn)動,故C正確,B、D錯(cuò).]
7.ACD[由F=mv2r知,拉力變小,F(xiàn)不能提供所需向心力、r變大、小球做離心運(yùn)動;反之,F(xiàn)變大,小球做向心運(yùn)動.]
8.BC[小球沿管道做圓周運(yùn)動的向心力由重力及管道對小球的支持力的合力沿半徑方向的分力提供.由于管道的內(nèi)、外壁都可以提供支持力,因此過最高點(diǎn)的最小速度為0,A錯(cuò)誤,B正確;小球在水平線ab以下受外側(cè)管壁指向圓心的支持力作用,C正確;在ab線以上是否受外側(cè)管壁的作用力由速度大小決定,D錯(cuò)誤.]
9.(1)2.42m/s(2)2.6N
解析(1)在最高點(diǎn)水不流出的條件是水的重力不大于水做圓周運(yùn)動所需要的向心力,即mg≤mv2l,則所求最小速率v0=lg=0.6×9.8m/s=2.42m/s.
(2)當(dāng)水在最高點(diǎn)的速率大于v0時(shí),只靠重力已不足以提供向心力,此時(shí)水杯底對水有一豎直向下的力,設(shè)為FN,由牛頓第二定律有FN+mg=mv2l
即FN=mv2l-mg=2.6N
由牛頓第三定律知,水對杯底的作用力FN′=FN=2.6N,方向豎直向上.
方法總結(jié)對于豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動,在最高點(diǎn)的速度v=gR往往是臨界速度,若速度大于此臨界速度,則重力不足以提供所需向心力,不足的部分由向下的壓力或拉力提供;若速度小于此臨界速度,側(cè)重力大于所需向心力,要保證物體不脫離該圓周,物體必須受到一個(gè)向上的力.