高中向量的教案

向量的概念及表示。

課時6向量的概念及表示
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
要求學(xué)生掌握向量的意義、表示方法以及有關(guān)概念，并能作一個向量與已知向量相等，根據(jù)圖形判定向量是否平行、共線、相等。
一、知識梳理
1．?dāng)?shù)量：僅用一個實數(shù)就可以表示的量叫數(shù)量。如距離、時間、面積等。
2．向量：叫向量。如物理中的位移、速度、力等。
3．向量的表示：常用一條有向線段來表示，
有向線段的長度表示向量的大小，箭頭表示所指的方向。
以A為起點。以B為終點的向量記為，也可以用來表示。如

注：兩個向量的模可以比較大小，但向量不能比較大小。
4．向量的叫向量的模。記為
5．特殊向量：零向量：
單位向量：
6、平行向量：
規(guī)定：零向量與任一向量平行
7、相等向量：
8、共線向量：任意一組平行向量都可以平移到同一條直線上。故平移向量又稱共線向量
9、相反向量：我們把與的向量叫做的相反向量-
規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量
二、基礎(chǔ)訓(xùn)練
1．下列各題中，哪些是數(shù)量，哪些是向量？
質(zhì)量，密度，角，位移，距離，浮力，速度，功，加速度，溫度，電流強(qiáng)度，濃度，向心力

2．判斷下列說法是否正確，并說明理由。
（1）溫度有零上和零下之分。所以溫度是向量（）
（2）=0（）
（3）共線向量就是平行向量（）
（4）若，為非零向量，且=，則=（）
（5）若=-則∥（）
（6）對任意向量，，，若=，=，則=（）
（7）對任意向量，，，若∥，∥，則∥（）
（8）平行向量方向一定相同（）
（9）共線向量一定在同一條直線上（）
（10）若=則∥（）
三、典型例題
例1．已知O為正六邊形ABCDEF的中心，在圖中所標(biāo)出的向量中；
（1）試找出與共線的向量
（2）確定與相等的向量
（3）與相等嗎？[心得體會大全 www.XD63.COm]

例2、如圖，△ABC和△是在各邊的相交的
兩個全等的正三角形，設(shè)正△ABC的邊長為a，圖
中列出了長度均為的若干個向量。
求：（1）與相等的向量；
（2）與共線的向量；
（3）與平行的向量。

例3、在圖45的方格紙中有一個向量，分別以圖中的格點為起點和終點，其中：（1）與相等的向量有多少？（2）與長度相等的共線向量有多少？(3)與共線的向量有多少？（除外）

三．課后作業(yè)：
1、下列命題中，正確的是
AB
CD
2、下列命題中真命題為
①向量的長度與向量的長度相等；②，則的方向相同或相反；
③兩個有共起點且相等的向量，其終點必相同；④兩個有共起點且相等的向量，一定是共線向量；⑤與是共線向量，則點A、B、C、D必在同一直線上；
⑥有向線段就是向量，向量就是有向線段。
3、設(shè)O為的重心，則是
A相等向量B平行向量C模相等向量D終點相同的向量

4、設(shè)ABCD為正方形，則可用同一條有向線段表示的兩個向量為
A和B和C和D和
5、若是兩個不平行的非零向量，并且，則=

6、已知ABCD為菱形，=1，，求，

7、在梯形ABCD中，若E，F(xiàn)分別為腰AB、DC的三等分點，且=2，=5，求。

8、在直角坐標(biāo)系中，畫出下列向量：
（1）=2，的方向與x軸正方向的夾角為，與y軸正方向的夾角為；
（2）=4，的方向與x軸正方向的夾角為，與y軸正方向的夾角為；
（3）=4，的方向與x軸正方向的夾角為，與y軸正方向的夾角為；

9、如圖，D、E、F分別是的三邊AB、BC、AC的中點，以A、B、C、D、E、F中的一點為始點，而另一點為終點的向量中：
（1）寫出與相等的向量；
（2）寫出與共線的向量。

10、如下圖，每格點邊長為0.5，以圖中各格點為起點和終點的向量中，與向量相等的向量共有幾個？與向量平行且模為的向量共有幾個？與向量方向相同且模為的向量共有幾個？

11、一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了100公里到達(dá)B點，然后又改變方向向西偏北走了200公里到達(dá)C點，最后又改變方向，向東行駛了100公里到達(dá)D點。（1）作出向量；（2）求。

問題統(tǒng)計與分析

精選閱讀

《向量的概念及表示》教學(xué)實錄

《向量的概念及表示》教學(xué)實錄

1基本情況分析

1.1授課對象

學(xué)生來自四星級普通高中，學(xué)生基礎(chǔ)相對較好，進(jìn)入高中后，經(jīng)過培養(yǎng)，課堂上初步具有思考、交流、探究的意識和能力．

1.2教材分析

所用教材為《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)（必修4）》（蘇教版）．本節(jié)內(nèi)容為第２章第１節(jié)第１課時．向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實際背景．

在教學(xué)中，我們通過位移、力等實例，了解向量的實際背景，通過物理中矢量和標(biāo)量的區(qū)別，認(rèn)識向量和數(shù)量的區(qū)別，理解平面向量的含義．向量是數(shù)形結(jié)合的載體，教科書一直堅持從形和數(shù)兩個方面來建構(gòu)和研究向量，且這種數(shù)形結(jié)合的方法一直貫穿本章的始終．

教學(xué)目標(biāo)（１）了解向量的物理實際背景，理解平面向量的一些基本概念，能正確進(jìn)行平面向量的幾何表示；（２）經(jīng)歷類比方法學(xué)習(xí)向量及其幾何表示的過程，體驗對比理解向量基本概念的簡易性，從而養(yǎng)成科學(xué)的學(xué)習(xí)方法；（３）通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受向量的概念、方法源于現(xiàn)實世界，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．

教學(xué)重點向量及其幾何表示，相等向量、平行向量的概念．

教學(xué)難點向量的概念，對平行向量（也叫做共線向量）的理解．

2教學(xué)過程

2.1創(chuàng)設(shè)情境，引入概念

問題1由于大陸和臺灣沒有直航，因此2006年春節(jié)探親，乘飛機(jī)要先從臺北到香港，再從香港到上海，這里發(fā)生了兩次位移.

在物理學(xué)中，我們用一條帶箭頭的線段表示位移．位移是矢量，矢量有什么特征？

設(shè)計意圖通過物理課中學(xué)過的位移這一矢量，抽象形成數(shù)學(xué)中的向量概念，建立學(xué)習(xí)向量的認(rèn)知基礎(chǔ)．

2.2學(xué)生活動，理解概念

師：能否再舉一些既有距離又有方向的量？

生：力，速度，加速度等．

設(shè)計意圖通過實例使學(xué)生認(rèn)識理解向量概念的實質(zhì)，讓學(xué)生大量舉例，體驗到數(shù)學(xué)中的向量源于現(xiàn)實．

2.3建構(gòu)數(shù)學(xué)，完善概念

師：我們把既有大小又有方向的量稱為向量．向量常用一條有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．以A為起點、B為終點的向量記為，向量也可用小寫字母a，b，c來表示．

師:向量的大小稱為向量的長度（或稱為模），記作．

師：既然向量只有大小和方向這兩個要素，接下來我們就抓住這兩要素來研究向量．如果從向量的大小角度來考慮，同學(xué)們覺得有哪些向量比較特殊?

生：我覺得有兩類向量比較特殊，一類是模為１的向量，還有一類是模為０的向量．

師：在實數(shù)中我們有兩個特殊的數(shù)：０和１．類似的，我們在向量中也有兩類比較特殊的向量：模為１和０的向量．我們把１個單位長度的向量稱為單位向量．單位向量的模為１，它的方向確定嗎？

生：方向不能確定，是任意的．

師：單位向量有且只有一個嗎？

生：不是．各個方向上都有單位向量．

師：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，起點在原點的單位向量，它們的終點的軌跡是什么圖形？

生：它們終點的軌跡是以原點為圓心，１為半徑的圓．

師：很好，這位同學(xué)觀察地非常仔細(xì)！在PPT屏幕（圖1）上我們可以看到任何一方向上都有單位向量，如果我們將這些向量的模不斷縮?。▌赢嬔菔荆?，直至模為０時，得到一個新的向量，大家覺得這樣的向量怎么命名比較合理？

生：零向量．

師：很好，我們把長度為０的向量稱為零向量，記作０．

師：０與０有什么區(qū)別呢？

生：數(shù)０只有大??；而０是個向量，既有大小又有方向．

師：０的大小是０，而方向又如何呢？

生：它的方向是任意的．

師：很好！因為它的起點與終點重合，所以方向是任意的．

概念辨析：

辨析1：單位向量有且只有一個嗎？

辨析2：零向量有且只有一個嗎？

設(shè)計意圖教師在課堂教學(xué)時應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)現(xiàn)過程，體驗獲得知識與能力的成功與喜悅．筆者從特殊實數(shù)０和１的研究類比到特殊向量（零向量、單位向量）的研究，抓住向量概念中的關(guān)鍵詞“大小”，引出單位向量與零向量這兩個特殊向量，利用單位向量變零向量的動畫演示，使學(xué)生直觀感受零向量的方向是任

意的，真正理解教材中零向量方向規(guī)定的合理性．通過概念辨析，進(jìn)一步理解單位向量和零向量這兩個概念．

師：剛剛我們是從向量的大小角度來考慮的，如果僅從向量的方向角度來研究，你覺得還有哪些特殊關(guān)系的向量呢？

生：方向相同或相反向量．比如圖2中a與ｂ方向相反，a與ｃ方向相同．

師：我們把方向相同或相反的非零向量稱為平行向量．

師：這里定義的平行向量全面嗎？

生：還少了０．

師：很好！我們規(guī)定０與任意向量都平行．因此平行向量這個定義是分兩類來說明的，今后我們談到向量平行時同學(xué)們不能忘記零向量的情況．

概念辨析：

辨析3:由上述結(jié)論可知a0，b0，那么ab嗎?

辨析4:若ab，bc，則ac，這個結(jié)論對嗎?

辨析5:若a，b是不平行的兩個向量，若存在一個c使得ac，bc，則c=．

設(shè)計意圖：通過概念辨析，對“零向量與任一向量平行”這一規(guī)定有全面正確的理解．

教師接下來出示了一道練習(xí)題：如圖3，a與ｂ是平行向量嗎？

生：這兩個向量的方向相反，所以它們是平行向量．

師：很好．在平行向量里如果再把大小考慮在內(nèi)，大家覺得又會有什么更加特殊的平行向量呢？

生：模相等的平行向量．

師：我們把長度相等且方向相同的向量稱為相等向量．同學(xué)們，你能構(gòu)造一個圖形其中有相等向量嗎？

生：如圖4，在平行四邊形ABCD中,．

師：在此平行四邊形ABCD中，可以看作是平移得到的．雖然這兩個向量對應(yīng)的有向線段的起點不同，一個是Ａ，另一個是Ｄ，但平移過程中它們的大小和方向都未改變，因此這兩個向量相等．由此它能說明什么？

F

C

D

E

BA

A

圖5

生：向量與表示它的有向線段的起點無關(guān)，只與向量的大小和方向有關(guān)．

師：不錯．我們可以通過這個辦法將向量隨意平移，比如圖5中我們可再將上述的平移，得到一個，．由此通過這個辦法我們可得到一系列的相等向量．

師：在圖4的平行四邊形ABCD中，與是什么關(guān)系呢？

生：這兩個向量長度相等方向相反．

師：很好．我們把與a長度相等，方向相反的向量叫作a的相反向量，記作－a．規(guī)定：－０＝０．

師：剛才提到向量與表示它的有向線段的起點是無關(guān)的，即它們是“自由”的．如果一直線與三個向量都平行（圖6），那么我們可以將這三個向量都平移到直線上．因此，“平行向量”我們又可以稱什么？

生：共線向量．

師：很好．“平行向量”與“共線向量”是同一個概念．

設(shè)計意圖筆者抓住向量概念中的關(guān)鍵詞“方向”，引出向量間的特殊關(guān)系：平行向量．抓住向量的“大小”和“方向”，引出了向量間的另兩種特殊關(guān)系：相等向量與相反向量．通過學(xué)生舉例找相等向量的過程，發(fā)現(xiàn)向量與表示它的有向線段的起點沒有關(guān)系，進(jìn)而引出共線向量的概念．

概念辨析：

辨析6:若向量，則直線ABCD對嗎?

辨析7:若直線ABCD，則向量對嗎?

設(shè)計意圖針對平行向量與共線向量的理解不易到位，筆者創(chuàng)設(shè)了一串辨析題，讓學(xué)生類比聯(lián)想平面幾何中的“平行”與“共線”，明確向量平行（共線）與直線平行（共線）的區(qū)別與聯(lián)系，深化了學(xué)生對概念的理解．

2.4例題示范，運用概念

例1：已知為正六邊形ABCDEF的中心，在圖7所標(biāo)出的向量中：（１）確定與相等的向量；（２）確定與相反的向量；（３）找出與共線的向量；（４）找出與長度相等且平行的向量．

B

圖8

A

例2：在圖8中的方格紙中有一個向量，分別以圖中的格點為起點和終點作向量，其中與相等的向量有多少個？與長度相等的共線向量有多少個？（除外）

設(shè)計意圖這一環(huán)節(jié)主要是讓學(xué)生鞏固所學(xué)的向量概念．

2.5回顧反思，總結(jié)提升

向量主要是從兩個方面來刻畫的:一個是大小，一個是方向．

設(shè)計意圖通過小結(jié)，既讓學(xué)生鞏固本課重點、難點，又讓學(xué)生進(jìn)一步體會利用數(shù)學(xué)認(rèn)識問題、解決問題的一般方法，培養(yǎng)其思維能力．

2.6課外作業(yè)，鞏固概念

概念辨析

（1）模相等的兩個平行向量是相等的向量；

（2）若和都是單位向量，則；

（3）任一向量與它的相反向量都不相等；

（4）共線的向量，若起點不同，則終點也不同；

（5）若，則ABCD；

（6）若ABCD，則；

（7）與共線，與共線，則與也共線；

（8）向量與不共線，則與都不是零向量．

書本P59，感受理解3．

《向量的概念及表示》教學(xué)反思

一名優(yōu)秀的教師就要對每一課堂負(fù)責(zé)，高中教師要準(zhǔn)備好教案為之后的教學(xué)做準(zhǔn)備。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動起來，有效的提高課堂的教學(xué)效率。關(guān)于好的高中教案要怎么樣去寫呢？以下是小編為大家精心整理的“《向量的概念及表示》教學(xué)反思”，僅供您在工作和學(xué)習(xí)中參考。

《向量的概念及表示》教學(xué)反思

（1）創(chuàng)設(shè)合理的問題情境是課堂教學(xué)的基礎(chǔ)

本課通過位移的合成，了解向量的實際背景．通過物理中矢量和標(biāo)量的區(qū)別，認(rèn)識向量和數(shù)量的區(qū)別，理解平面向量的含義．在學(xué)生回答了位移和距離的區(qū)別以后，要求學(xué)生再舉出一些類似的例子，讓學(xué)生參與建立向量概念的活動．向量既是重要的數(shù)學(xué)模型，又是重要的物理模型，學(xué)生不僅可以掌握一種新的數(shù)學(xué)工具，而且可以幫助學(xué)生體會數(shù)學(xué)的內(nèi)部聯(lián)系，數(shù)學(xué)與實際生活的聯(lián)系，以及數(shù)學(xué)在解決實際問題中的作用．

（2）找準(zhǔn)知識點的內(nèi)在聯(lián)系

本節(jié)課，大多數(shù)教師都認(rèn)為比較難上，原因就在于概念多，關(guān)系復(fù)雜，如何讓概念在學(xué)生活動中自然生成出來，是令教師感到為難的地方．比如本節(jié)課，向量主要是從兩個方面來刻畫的:一個是大小，一個是方向．為了認(rèn)識它，人們就從這兩個方面來進(jìn)行分類:按大小，就有了零向量、單位向量等特殊向量;按方向，就有了平行與不平行之分．由于研究的是自由向量，平行就是共線，于是就出現(xiàn)了共線向量的類別了．這樣諸多概念就串在一條線索上了，這樣的課堂就不會零碎和散亂了．

（3）通過概念辨析，突破教學(xué)難點

從方向上去刻畫向量，產(chǎn)生了平行的概念，但由于研究的是自由向量，同時又規(guī)定零向量的方向任意，從而造成了“向量的平行”與“直線平行”兩者之間有了區(qū)別，這就需要學(xué)生調(diào)整原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)來適應(yīng)新的內(nèi)容，產(chǎn)生“順應(yīng)”的心理過程，凡是“順應(yīng)”，基本都是難點．針對這些難點，再講解完知識點后有概念辨析之一環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生突破難點．

（4）關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不僅僅是接受，記憶，機(jī)械地模仿和練習(xí)，還包括自主探索、合作交流和動手實踐等學(xué)習(xí)方式，學(xué)生在豐富的活動中以“再創(chuàng)造”的形式學(xué)習(xí)知識，體驗數(shù)學(xué)生成和發(fā)展的創(chuàng)造歷程，發(fā)展創(chuàng)造能力和創(chuàng)新意識，培養(yǎng)積極的情感．

集合的概念及其表示

第二章平面向量第1課時2.1向量的概念及表示教案

第1課時§2.1向量的概念及表示
【教學(xué)目標(biāo)】
一、知識與技能
1．理解向量的概念，掌握向量的二要素（長度、方向），能正確地表示向量；
2．注意向量的特點：可以平行移動（長度、方向確定，起點不確定）；
3．理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量、相反向量等概念。
二、過程與方法
（1）從對不同問題的思考中感受什么是向量。
（2）通過師生互動、交流與學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生探求新知識的學(xué)習(xí)品質(zhì).
三、情感、態(tài)度與價值觀
（1）通過向量包含大小和方向，概念的學(xué)習(xí)感知數(shù)學(xué)美。
（2）向量的方向包含正反兩方面，正反關(guān)系的對照培養(yǎng)學(xué)生辨證唯物主義思維
【教學(xué)重點難點】：1．向量、相等向量、共線向量等概念；
2．向量的幾何表示
【教學(xué)過程】
一、問題情境：
問題1、湖面上有3個景點O，A，B，如圖所示.一游艇將游客從景點O送至景點A，半小時后，游艇再將游客送至景點B，從景點O到景點A有一個位移，從景點A到景點B也有一個位移.位移與距離這兩個量有什么不同？

問題2、下列物理量中，那些量分別與位移和距離這兩個量類似：
（1）物體在重力作用下發(fā)生位移，重力所做的功；
（2）物體所受重力；
（3）物體的質(zhì)量為a千克；
（4）1月1日的4級偏南風(fēng)的風(fēng)速。
問題3、上述的物理量中有什么區(qū)別嗎？
二、新課講解：
（一）概念辨析：
（1）向量的定義：

（2）向量的表示：

（3）向量的大小及表示
（4）零向量：

（5）單位向量：

（二）向量的關(guān)系：
問題4：在平行四邊形ABCD中，向量與，與有什么關(guān)系？
（1）平行向量

（2）相等向量

（3）相反向量

說明：（1）規(guī)定：零向量與任一向量平行，記作；
（2）零向量與零向量相等，記作；
（3）任意二個非零相等向量可用同一條有向線段表示，與有向線段的起點無關(guān)。
問題5：1.向量能否平移？

2.要確定一個向量必須確定什么？要確定一個有向線段必須確定什么？兩者有何區(qū)別？

二、例題分析：
例1、已知O為正六邊形ABCDEF的中心，如圖，所標(biāo)出的向量中：
（1）試找出與FE共線的向量；
（2）確定與FE相等的向量；
（3）OA與BC向量相等么？
例2、判斷：
（1）平行向量是否一定方向相同？
（2）不相等的向量是否一定不平行？
（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？
（4）與任意向量都平行的向量是什么向量？
（5）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？
（6）兩個非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)什么？
（7）共線向量一定在同一直線上嗎？

例3、如圖，在4×5的方格紙中有一個向量AB，分別以圖中的格點為起點和終點作向量，其中與AB相等的向量有多少個？與AB長度相等的共線向量有多少個？（AB除外）
課時小結(jié)：
（1）向量是既有大小又有方向的量，向量有兩個要素：方向和長度，稱為自由向量；有向線段具有三個要素：起點，方向和長度；
（2）數(shù)量（標(biāo)量）與向量的區(qū)別與聯(lián)系：向量不同于數(shù)量。數(shù)量是只有大小的量，而向量是既有大小又有方向的量；數(shù)量可以比較大小，而向量不能比較大小，只有它的?？梢员容^大小；記號“”是沒有意義的，而||＞||才有意義。