高中函數(shù)與方程教案

函數(shù)與方程。

作為優(yōu)秀的教學工作者，在教學時能夠胸有成竹，作為教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以讓學生能夠聽懂教師所講的內容，幫助教師能夠井然有序的進行教學。關于好的教案要怎么樣去寫呢？下面是小編精心收集整理，為您帶來的《函數(shù)與方程》，歡迎大家閱讀，希望對大家有所幫助。

【必修1】第四章函數(shù)應用
第一節(jié)函數(shù)與方程(2)
利用二分法求方程的近似解
學時:1學時
[學習引導]
一、自主學習
1.閱讀課本頁
2.回答問題：
（1）課本內容分成幾個層次？每個層次的中心內容是什么？
（2）層次間有什么聯(lián)系？
（3）二分法求函數(shù)零點的步驟是什么？
3.完成課本頁練習及習題4－1．
4.小結
二、方法指導
1.本節(jié)課內容的重點：利用二分法求方程的近似值．
2.認真體會數(shù)形結合的思想．
3.注意用計算器算近似值的步驟
【思考引導】
一、提問題
1.為什么要研究利用二分法求方程的近似解?
2.如何用框圖表述利用二分法求方程實數(shù)解的過程？
二、變題目
1.設f(x)=3x+3x-8，用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈（1，2）內近似解的過程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0則方程的根落在區(qū)間（）
A.（1.25,1.5）B.(1,1.25)
C.(1.5,2)D.不能確定
2.用“二分法”求方程在區(qū)間（2，3）內的實根，取區(qū)間中點為，那么下一個有根的區(qū)間是。
3.借助科學計算器用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精確到0.1）

【總結引導】
1.任何方程，只要它所對應的圖象是連續(xù)曲線，而且有實根，就可用二分法借助于計算器或計算機求出方程根的近似值，二分的次數(shù)越多，根就越精確．二分法體現(xiàn)了無限逼近的數(shù)學思想
2.利用二分法求方程近似解的步驟是：
①確定區(qū)間［］，使在［］上連續(xù)，且；
②求區(qū)間的中點；
③計算；
（１）若則就是方程的解
（２），則方程的解；
（３），則方程的解．
（４）判斷是否達到精確度要求，若區(qū)間兩端點按精確度要求相等，則得到方程的近似解．
【拓展引導】
1.函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是（）
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)jAB88.cOM

2.有12個小球，質量均勻，只有一個球是比別的球重，你用天平稱幾次可以找出這個球?要求次數(shù)越少越好.

3.某同學解決一道方程近似解的問題解答如下：求方程2x3-6x2+3=0的近似實數(shù)解（精確到0.01）.
解:f(-1)=-50,f(3)=30,
可以取初始區(qū)間[-1，3]，以后用二分法逐步求解，請問他的解答正確嗎？

參考答案
【思考引導】
一、提問題
１．因為二分法求方程實數(shù)解的思想是非常簡明的，利用計算器能很快解決近似值問題．二分法的基本思想也將在以后的學習中不斷幫助我們解決大量的方程求解問題．
2.利用二分法求方程近似解的過程，可以簡約地用右圖表示．
【變題目】
1、A2、（2,2.5）
3、【解析】：原方程即2x+3x=7,令f(x)=2x+3x-7,用計算器作出函數(shù)f(x)=2x+3x-7對應值表：
x01234567
f(x)=2x+3x-7-6-2310214075142
f(1)f(2)0取區(qū)間[1,2]
區(qū)間中點的值中點函數(shù)近似值
(1,2)1.50.33
(1,1.5)1.25-0.87
(1.25,1.5)1.375-0.28
(1.375,1.5)1.43750.02
(1.375,1.4375)
由于|1.375-1.4375|=0.06250.1
此時區(qū)間(1.375,1.4375)的兩個端點精確到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精確到0.1的近似解為1.4。

【拓展引導】
1.（C）在上是增函數(shù)，0
時在（0，1）內無零點。
在（1，2）和（3，4）內均無零點。
而,故在（2，3）內至少有一個零點。
2.三次
3.提示：不正確。對于這樣的高次方程，首先要確定它的實數(shù)解的個數(shù)，一般可以利用函數(shù)的單調性或函數(shù)的圖像來確定。
對于此題：
有三個零點

精選閱讀

整合函數(shù)與方程教案

第三章單元小結（一）

（一）教學目標
1．知識與技能
整合函數(shù)與方程的基本知識和基本方法，進一步提升函數(shù)與方程思想.
2．過程與方法
通過學生自我回顧、反思、整理、歸納所學知識，從而構建本節(jié)的知識體系
3．情感、態(tài)度與價值觀
在學習過程中，學會整合知識，提升自我學習的品質，養(yǎng)成合作、交流、創(chuàng)新的良好學習品質.
（二）教學重點與難點
重點：整合單元知識；難點：提升綜合運用單元知識的能力.
（三）教學方法
動手練習與合作交流相結合，在整合知識中構建單元知識體系，在綜合練習中提升綜合運用單元知識的能力.
（四）教學過程
教學環(huán)節(jié)教學內容師生互動設計意圖
回顧反思構建體系1．函數(shù)與方程單元知識網(wǎng)絡
2．知識梳理
①二次函數(shù)的零點與一元二次方程根的關系
對于二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，當f(x)=0時，就是一元二次方程ax2+bx+c=0，因此，二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的零點就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；也即二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象——拋物線與x軸相交時，交點的橫坐標就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
②函數(shù)的零點的理解
（1）函數(shù)的零點是一個實數(shù)，當自變量取該值時，其函數(shù)值等于零.
(2)根據(jù)函數(shù)零點定義可知，函數(shù)f(x)的零點就是f(x)=0的根，因此判斷一個函數(shù)是否有零點，有幾個零點，就是判斷方程f(x)=0是否有實根，有幾個實根.
③函數(shù)零點的判定
判斷一個函數(shù)是否有零點，首先看函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，并且是否存在f(a)f(b)＜0，若滿足，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a，b）內必有零點.
④用二分法求方程的近似解要注意以下問題：
（1）要看清題目要求的精確度，它決定著二分法步驟的結束.
（2）初始區(qū)間的選定一般在兩個整數(shù)間，不同的初始區(qū)間結果是相同的，但二分的次數(shù)卻相差較大.
（3）在二分法的第四步，由|a–b|＜，便可判斷零點近似值為a或b.
⑤用二分法求曲線的近似交點應注意以下幾點：
（1）曲線的交點坐標是方程組的解，最終轉化為求方程的根；
（2）求曲線y=f(x)和y=g(x)的交點的橫坐標，實際上就是求函數(shù)y=f(x)–g(x)的零點，即求方程f(x)–g(x)=0的實數(shù)解.1．師生合作，繪制單元知識網(wǎng)絡圖
2．學生回顧口述知識要點，老師總結、歸納，師生共同進行知識疏理.整理知識，培養(yǎng)歸納能力；師生共同回顧、再現(xiàn)知識與方法.
經(jīng)典例題剖析

例1利用計算器，求方程2x+2x–5=0的近似解.(精確到0.1)

例2確定函數(shù)f(x)=+x–4的零點個數(shù).例3（1）試說明方程2x3–6x2+3=0有3個實數(shù)解，并求出全部解的和（精確到0.01）
（2）探究方程2x3–6x2+5=0，方程2x3–6x2+8=0全部解的和，你由此可以得到什么結論？

1．學生自主完成例1、例2、例3，求解學生代表板書解答過程，老師點評，總結.
例1【解析】設f(x)=2x+2x–5，由于函數(shù)在R上是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在R上至多一個零點.
∵f(1)=–1＜0，f(2)=3＞0，
∴f(1)f(2)＜0，
∴函數(shù)f(x)=2x+2x–5在(1,2)內有一個零點，則二分法逐次計算，列表如下：
取區(qū)間中點值中點函數(shù)值
(1,2)1.50.83(正數(shù))
(1,1,5)1.25–0.12(負數(shù))
(1.25,1.5)1.3750.34(正數(shù))
(1.25,1.375)1.31250.11(正數(shù))
(1.25,1.3125)
∵|1.3125–1.25|=0.0625＜0.1，
∴函數(shù)f(x)的零點近似值為1.3125.
∴方程2x+2x–5=0的近似解是1.3125.
例2【解析】設，則f(x)的零點個數(shù)即y1與y2的交點個數(shù)，作出兩函數(shù)圖象如圖.
由圖知，y1與y2在區(qū)間(0,1)內有一個交點，
當x=4時，y1=–2，y2=0，
當x=8時，y1=–3，y2=–4，
∴在(4,8)內兩曲線又有一個交點，又和y2=x–4均為單調函數(shù).
∴兩曲線只有兩個交點，
即函數(shù)有兩個零點.
例3【解析】（1）設函數(shù)f(x)=2x3–6x2+3，
∵f(–1)=–5＜0，f(0)=3＞0，f(1)=–1＜0，
f(2)=–5＜0，f(3)=3＞0，函數(shù)y=f(x)的圖象是連續(xù)的曲線，∴方程2x3–6x2+3=0有3個實數(shù)解．
首先以區(qū)間[–1，0]為計算的初始區(qū)間，用二分法逐步計算，列表如下：
端點或中點的橫坐標
a0=–1，b0=0
x0=(–1+0)/2=–0.5
x1=(–1–0.5)/2=–0.75
x2=(–0.75–0.5)/2=–0.625
x3=(–0.75–0.625)/2=–0.6875
x4=(–0.6875–0.625)/2=–0.65625
x5=(–0.65625–0.625)/2=–0.640625
x6=(–0.65625–0.640625)/2
=–0.6484375
x7=–0.64453125

計算端點或中點的函數(shù)值定區(qū)間
f(–1)=–5，f(0)=3[–1，0]
f(x0)=f(–0.5)=1.25＞0[–1，–0.5]
f(x1)=f(–0.75)＜0[–0.75，–0.5]
f(x2)=f(–0.625)＞0[–0.75，–0.625]
f(x3)=f(–0.6875)＜0[–0.6875，–0.625]
f(x4)=f(–0.65625)＜0[–0.65625，–0.625]
f(x5)=f(–0.640625)＞0[–0.65625，–0.640625]
f(x6)=f(–0.64843725)＜0[–0.6484375，–0.640625]
f(x7)＜0[–0.64453125，–0.640625]
由上表計算可知，區(qū)間[–0.64453125，–0.640625]的左、右兩端點精確到0.01所取的近似值都是–0.64，所以–0.64可以作為方程2x3–6x2+3=0在區(qū)間[–1，0]上的一個近似解．
同理可求得方程2x3–6x2+3=0在區(qū)間[0，1]和[2，3]內且精確到0.01的近似解分別為0.83，2.81．所以方程2x3–6x2+3=0全部解的和為–0.64+0.83+2.81=3．
（2）利用同樣方法可求得方程2x3–6x2+5=0和方程2x3–6x2+8=0全部解的和也為3．
由于3只與未知數(shù)的系數(shù)比相等，即–(–6÷2)=3，所以猜想：
一般地，對于一元三次方程ax3+bx3+cx+d=0有三個根xl，x2，x3，則和為x1+x2+x3=．動手嘗試練習提升綜合應用知識的能力.
備選例題
例1求函數(shù)y=x3–2x2–x+2的零點，并畫出它的圖象.
【解析】因為x3–2x–x+2=x2(x–2)–(x–2)=(x–2)(x2–1)=(x–2)(x–1)(x+1)，
所以已知函數(shù)的零點為–1，1，2.
3個零點把x軸分成4個區(qū)間：
，[–1，1]，[1，2]，.
在這4個區(qū)間內，取x的一些值(包括零點)，列出這個函數(shù)的對應值表：
x…–1.5–1–0.500.511.522.5…
y…–4.3801.8821.130–0.6302.63…
在直角坐標系內描點連線，這個函數(shù)的圖象如圖所示.
例2求函數(shù)f(x)=x3+x2–2x–2的一個為正實數(shù)的零點（誤差不超過0.1）.
【解析】由于f(1)=–2＜0，f(2)=6＞0，可以取區(qū)間[1，2]作為計算的初始區(qū)間.
用二分法逐次計算，列表如下：
端點（中點）坐標計算中點的函數(shù)值取區(qū)間|an–bn|
[1，2]1
x0=(1+2)/2=1.5f(x0)=0.625＞0[1，1.5]0.5
x1=(1+1.5)/2=1.25f(x1)=–0.984＜0[1.25，1.5]0.25
x2=(1.25+1.5)/2=1.375f(x2)=–0.260＜0[1.375，1.5]0.125
x3=(1.375+1.5)/2=1.438
由上表的計算可知，區(qū)間[1.375，1.5]的長度小于0.2，所以這個區(qū)間的中點x3=1.438可作為所求函數(shù)誤差不超過0.1的一個正實數(shù)零點的近似值.
函數(shù)f(x)=x3+x2–2x–2的圖象如圖所示.
實際上還可用二分法繼續(xù)算下去，進而得到這個零點精確度更高的近似值.

函數(shù)方程

競賽講座15
-函數(shù)方程
一、相關知識
函數(shù)方程的解是

函數(shù)方程的解是

二、函數(shù)方程的題型
許多函數(shù)方程的解決僅以初等數(shù)學為工具，解法富于技巧，對人類的智慧具有明顯的挑戰(zhàn)
意味，因此，函數(shù)方程是數(shù)學競賽中一種常見的題型。
1、確定函數(shù)的形式
尚無一般解法，需因題而異，其解是多樣的：有無限多解的，有有限個解的，有可能無解（如：方程無解）。
2、確定函數(shù)的性質
3、確定函數(shù)值
三、求函數(shù)的解析式
1、換元法
例題1、設函數(shù)滿足條件，求。

例題2、設函數(shù)定義于實數(shù)集，且滿足條件，求。

：函數(shù)在處沒有定義，但對所有非零實數(shù)有：，求。
答案：
：求滿足條件的。

2、賦值法
例題1、設函數(shù)定義于實數(shù)集上，且，若對于任意實數(shù)、，都有：
，求。

例題2、設函數(shù)定義于自然數(shù)集上，且，若對于任意自然數(shù)、，都有：，求。

四、究函數(shù)的性質
例題、設函數(shù)定義于上，且函數(shù)不恒為零，，若對于任意實數(shù)、，恒有：。
①求證：
②求證：
③求證：

：若對常數(shù)和任意，等式都成立，求證：函數(shù)是周期函數(shù)。
：設函數(shù)定義于實數(shù)集上，函數(shù)不恒為零，且對于任意實數(shù)、，都有：，求證：。

函數(shù)與方程（1）教案蘇教版必修1

3.4.1函數(shù)與方程（1）
教學目標：
1．理解函數(shù)的零點的概念，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系．
2．理解“在函數(shù)的零點兩側函數(shù)值乘積小于0”這一結論的實質，并運用其解決有關一元二次方程根的分布問題．
3．通過函數(shù)零點內容的學習，分析解決對一元二次方程根的分布的有關問題，轉變學生對數(shù)學學習的態(tài)度，加強學生對數(shù)形結合、分類討論等數(shù)學思想的進一步認識．

教學重點：
函數(shù)零點存在性的判斷．
教學難點：
數(shù)形結合思想，轉化化歸思想的培養(yǎng)與應用．

教學方法：
在相對熟悉的問題情境中，通過學生自主探究，在合作交流中完成學習任務．嘗試指導與自主學習相結合．

教學過程：
一、問題情境
1．情境：在第3.2.1節(jié)中，我們利用對數(shù)求出了方程0.84x＝0.5的近似解；
2．問題：利用函數(shù)的圖象能求出方程0.84x＝0.5的近似解嗎？
二、學生活動
1．如圖1，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與x軸交于點(－2，0)，試根據(jù)圖象填空：
（1）k0，b0；
（2）方程kx＋b＝0的解是；
（3）不等式kx＋b＜0的解集；
2．如果二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交于點(－3，0)和(1，0)，且開口方向向下，試畫出圖象，并根據(jù)圖象填空：
（1）方程ax2＋bx＋c＝0的解是；
（2）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為；
ax2＋bx＋c＜0的解集為．
三、建構數(shù)學
1．函數(shù)y＝f(x)零點的定義；
2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)與二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象之間關系：
△＝b2－4ac△＞0△＝0△＜0
ax2＋bx＋c＝0的根
y＝ax2＋bx＋c的圖象
y＝ax2＋bx＋c的零點
3．函數(shù)零點存在的條件：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上不間斷，且f(a)f(b)＜0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點．
四、數(shù)學運用
例1函數(shù)y＝f(x)(x[－5，3])的圖象如圖所示，根據(jù)圖象，寫出函數(shù)f(x)的零點及不等式f(x)＞0與f(x)＜0的解集．

例2求證：二次函數(shù)y＝2x2＋3x－7有兩個不同的零點．
例3判斷函數(shù)f(x)＝x2－2x－1在區(qū)間(2，3)上是否存在零點？
例4求證：函數(shù)f(x)＝x3＋x2＋1在區(qū)間(－2，－1)上存在零點．
練習：（1）函數(shù)f(x)＝2x2－5x＋2的零點是_______．
（2）若函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a沒有零點，則實數(shù)a的取值范圍是___________；
（3）二次函數(shù)y＝2x2＋px＋15的一個零點是－3，則另一個零點是；
（4）已知函數(shù)f(x)＝x3－3x＋3在R上有且只有一個零點，且該零點在區(qū)間[t，t＋1]上，則實數(shù)t＝_____．
五、要點歸納與方法小結
1．函數(shù)零點的概念、求法．
2．函數(shù)與方程的相互轉化，即轉化思想；以及數(shù)形結合思想．
六、作業(yè)
課本P97－習題2，5．

方程的根與函數(shù)的零點

作為杰出的教學工作者，能夠保證教課的順利開展，作為高中教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以保證學生們在上課時能夠更好的聽課，幫助高中教師掌握上課時的教學節(jié)奏。那么，你知道高中教案要怎么寫呢？下面是小編幫大家編輯的《方程的根與函數(shù)的零點》，大家不妨來參考。希望您能喜歡！

§3.1.1方程的根與函數(shù)的零點
學習目標
1.結合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)，從而了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系；
2.掌握零點存在的判定定理.
舊知提示（預習教材P86~P88，找出疑惑之處）
復習1：一元二次方程+bx+c=0(a0)的解法.
判別式=.
當0，方程有兩根，為；當0，方程有一根，為；當0，方程無實根.
復習2：方程+bx+c=0(a0)的根與二次函數(shù)y=ax+bx+c(a0)的圖象之間有什么關系？
判別式一元二次方程二次函數(shù)圖象
合作探究
探究1：①方程的解為，函數(shù)的圖象與x軸有個交點，坐標為.
②方程的解為，函數(shù)的圖象與x軸有個交點，坐標為.
③方程的解為，函數(shù)的圖象與x軸有個交點，坐標為.
根據(jù)以上結論，可以得到：
一元二次方程的根就是相應二次函數(shù)的圖象與x軸交點的.你能將結論進一步推廣到嗎？
新知：函數(shù)零點與方程的根的關系

反思：函數(shù)的零點、方程的實數(shù)根、函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標，三者有什么關系？

試試：（1）函數(shù)的零點為；（2）函數(shù)的零點為.
小結：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與x軸有交點函數(shù)有零點.
探究2：①作出的圖象，求的值，觀察和的符號
②觀察下面函數(shù)的圖象，
在區(qū)間上零點；0；
在區(qū)間上零點；0；
在區(qū)間上零點；0.
新知：零點存在性定理

討論：零點個數(shù)一定是一個嗎？逆定理成立嗎？試結合圖形來分析.

典型例題
例1求函數(shù)的零點的個數(shù).

小結：函數(shù)零點的求法.
①代數(shù)法：求方程的實數(shù)根；
②幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質找出零點．
課堂小結
①零點概念；②零點、與x軸交點、方程的根的關系；③零點存在性定理
知識拓展
圖象連續(xù)的函數(shù)的零點的性質：
（1）函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當它通過零點時（非偶次零點），函數(shù)值變號.
推論：函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)的，且，那么函數(shù)在區(qū)間上至少有一個零點.
（2）相鄰兩個零點之間的函數(shù)值保持同號.
學習評價
1.函數(shù)的零點個數(shù)為（）.
A.1B.2C.3D.4
2.若函數(shù)在上連續(xù)，且有．則函數(shù)在上（）.
A.一定沒有零點B.至少有一個零點
C.只有一個零點D.零點情況不確定
3.函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）.
A.B.C.D.
4.函數(shù)的零點為，的零點為，的零點為.
5.若函數(shù)為定義域是R的奇函數(shù)，且在上有一個零點．則的零點個數(shù)為.
6.已知二次方程的兩個根分別屬于(-1,0)和(0,2)，求的取值范圍.

課外作業(yè)
1．下列函數(shù)中在區(qū)間[1,2]上有零點的是()
A．f(x)＝3x2－4x＋5B．f(x)＝x3－5x－5
C．f(x)＝lnx－3x＋6D．f(x)＝ex＋3x－6
2．函數(shù)f(x)＝lgx－9x的零點所在的大致區(qū)間是()
A．(6,7)B．(7,8)C．(8,9)D．(9,10)
3．若函數(shù)f(x)＝ax＋b的零點是2，則函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點是()
A．0,2B．0，12C．0，－12D．2，－12
4．函數(shù)f(x)＝x2＋2x－3，x≤0，－2＋lnx，x0的零點個數(shù)為()
A．0B．1C．2D．3
5．二次函數(shù)中，，則函數(shù)的零點個數(shù)是（）
A．0B．1C．2D．無法確定
6．有下列四個結論：
①函數(shù)f(x)＝lg(x＋1)＋lg(x－1)的定義域是(1，＋∞)
②若冪函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(2,4)，則該函數(shù)為偶函數(shù)
③函數(shù)y＝5|x|的值域是(0，＋∞)
④函數(shù)f(x)＝x＋2x在(－1,0)有且只有一個零點．
其中正確結論的個數(shù)為()
A．1B．2C．3D．4
7．已知關于x的不等式ax－1x＋10的解集是(－∞，－1)∪－12，＋∞.則a＝________.
8.二次函數(shù)有一個零點大于1，一個零點小于1，則實數(shù)的取值范圍是.
9.已知函數(shù).
（1）為何值時，函數(shù)的圖象與軸有兩個零點；
（2）若函數(shù)至少有一個零點在原點右側，求值.

10．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的零點是－2和3，當x∈(－2,3)時，f(x)0，且f(－6)＝36，求二次函數(shù)的解析式．