高中函數(shù)與方程教案

高一數(shù)學《函數(shù)與方程》知識點總結。

一名優(yōu)秀的教師在每次教學前有自己的事先計劃，高中教師要準備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓學生們能夠在上課時充分理解所教內(nèi)容，幫助高中教師提高自己的教學質量。怎么才能讓高中教案寫的更加全面呢？下面是由小編為大家整理的“高一數(shù)學《函數(shù)與方程》知識點總結”，大家不妨來參考。希望您能喜歡！

高一數(shù)學《函數(shù)與方程》知識點總結

1．函數(shù)的零點
(1)定義：
對于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點．
(2)函數(shù)的零點與相應方程的根、函數(shù)的圖象與x軸交點間的關系：
方程f(x)＝0有實數(shù)根函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)y＝f(x)有零點．
(3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理)：
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a0)的圖象與零點的關系

3.二分法
對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．
4.函數(shù)的零點不是點：
函數(shù)y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實數(shù)根，也就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標，所以函數(shù)的零點是一個數(shù)，而不是一個點．在寫函數(shù)零點時，所寫的一定是一個數(shù)字，而不是一個坐標．
5．對函數(shù)零點存在的判斷中，必須強調：
(1)f(x)在[a，b]上連續(xù)；
(2)f(a)·f(b)0；
(3)在(a，b)內(nèi)存在零點．
這是零點存在的一個充分條件，但不必要．
6．對于定義域內(nèi)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號．

延伸閱讀

高一數(shù)學《函數(shù)及其表示》知識點總結

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高一數(shù)學《函數(shù)及其表示》知識點總結

考點一映射的概念

1．了解對應大千世界的對應共分四類，分別是：一對一多對一一對多多對多

2．映射：設A和B是兩個非空集合，如果按照某種對應關系f，對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都存在唯一的一個元素y與之對應，那么，就稱對應f：A→B為集合A到集合B的一個映射(mapping).映射是特殊的對應，簡稱“對一”的對應。包括：一對一多對一

考點二函數(shù)的概念

1．函數(shù)：設A和B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關系f，對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都存在唯一確定的數(shù)y與之對應，那么，就稱對應f：A→B為集合A到集合B的一個函數(shù)。記作y=f(x),xA.其中x叫自變量，x的取值范圍A叫函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y的值函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。函數(shù)是特殊的映射，是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射。

2．函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應關系。這是判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)的依據(jù)。

3．區(qū)間的概念：設a,bR,且ab.我們規(guī)定：

①(a,b)={xaxb}②[a,b]={xa≤x≤b}③[a,b)={xa≤xb}④(a,b]={xax≤b}

⑤(a,+∞)={xxa}⑥[a,+∞)={xx≥a}⑦(-∞,b)={xxb}⑧(-∞,b]={xx≤b}⑨(-∞,+∞)=R

考點三函數(shù)的表示方法

1．函數(shù)的三種表示方法列表法圖象法解析法

2．分段函數(shù)：定義域的不同部分，有不同的對應法則的函數(shù)。注意兩點：①分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要誤認為是幾個函數(shù)。②分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集。

能力知識清單

考點一求定義域的幾種情況

①若f(x)是整式，則函數(shù)的定義域是實數(shù)集R；

②若f(x)是分式，則函數(shù)的定義域是使分母不等于0的實數(shù)集；

③若f(x)是二次根式，則函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于0的實數(shù)集合；

④若f(x)是對數(shù)函數(shù)，真數(shù)應大于零。

⑤.因為零的零次冪沒有意義，所以底數(shù)和指數(shù)不能同時為零。

⑥若f(x)是由幾個部分的數(shù)學式子構成的，則函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合；

⑦若f(x)是由實際問題抽象出來的函數(shù)，則函數(shù)的定義域應符合實際問題

高一數(shù)學《反函數(shù)、冪函數(shù)》知識點

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高一數(shù)學《反函數(shù)、冪函數(shù)》知識點

1.反函數(shù)的定義
設函數(shù)y=f(x)的定義域是A，值域是C．我們從式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y)．如果對于y在C中的任何一個值，通過式子x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它對應，那么式子x=φ(y)叫函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，記作x=f-1(y)，習慣表示為y=f-1(x)．注意：函數(shù)y=f(x)的定義域和值域，分別是反函數(shù)y=f-1(x)的值域和定義域，
例如：f(x)的定義域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函數(shù)定義域為[0，+∞），值域是[-1，+∞)。
2．反函數(shù)存在的條件
按照函數(shù)定義，y=f(x)定義域中的每一個元素x，都唯一地對應著值域中的元素y，如果值域中的每一個元素y也有定義域中的唯一的一個元素x和它相對應，即定義域中的元素x和值域中的元素y，通過對應法則y=f(x)存在著一一對應關系，那么函數(shù)y=f(x)存在反函數(shù)，否則不存在反函數(shù)．例如：函數(shù)y=x2,x∈R，定義域中的元素±1，都對應著值域中的同一個元素1，所以，沒有反函數(shù)．而y=x2,x≥1表示定義域到值域的一一對應，因而存在反函數(shù)．
3．函數(shù)與反函數(shù)圖象間的關系
函數(shù)y=f(x)和它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象關于y=x對稱．若點(a,b)在y=f(x)的圖象上，那么點(b,a)在它的反函數(shù)y=f-1(x)的圖象上．
4．反函數(shù)的幾個簡單命題
（1）一個奇函數(shù)y=f(x)如果存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù)y=f-1(x)一定是奇函數(shù)．
（2）一個函數(shù)在某一區(qū)間是（減）函數(shù)，并且存在反函數(shù)，那么它的反函數(shù)在相應區(qū)間也是增（減）函數(shù)．

定義：
形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。
定義域和值域：
當a為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：如果a為任意實數(shù)，則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù)；如果a為負數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù)；如果同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)。當x為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：在x大于0時，函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。在x小于0時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進入函數(shù)的值域
性質：
對于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：
首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(x的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0，+∞)。當指數(shù)n是負整數(shù)時，設a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負數(shù)，那么我們就可以知道：
排除了為0與負數(shù)兩種可能，即對于x0，則a可以是任意實數(shù)；
排除了為0這種可能，即對于x0和x0的所有實數(shù)，q不能是偶數(shù)；
排除了為負數(shù)這種可能，即對于x為大于且等于0的所有實數(shù)，a就不能是負數(shù)。
總結起來，就可以得到當a為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：
如果a為任意實數(shù)，則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù)；
如果a為負數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù)；如果同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)。
在x大于0時，函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。
在x小于0時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。
而只有a為正數(shù)，0才進入函數(shù)的值域。
由于x大于0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況.
可以看到：
(1)所有的圖形都通過(1，1)這點。
(2)當a大于0時，冪函數(shù)為單調遞增的，而a小于0時，冪函數(shù)為單調遞減函數(shù)。
(3)當a大于1時，冪函數(shù)圖形下凹；當a小于1大于0時，冪函數(shù)圖形上凸。
(4)當a小于0時，a越小，圖形傾斜程度越大。
(5)a大于0，函數(shù)過(0，0)；a小于0，函數(shù)不過(0，0)點。
(6)顯然冪函數(shù)無界。

1冪函數(shù)解析式的右端是個冪的形式。冪的底數(shù)是自變量，指數(shù)是常數(shù)，可以為任何實數(shù)；與指數(shù)函數(shù)的形式正好相反。
2冪函數(shù)的圖像和性質比較復雜，高考只要求掌握指數(shù)為1、2、3、-1、時冪函數(shù)的圖像和性質。
3了解其它冪函數(shù)的圖像和性質，主要有：
①當自變量為正數(shù)時，冪函數(shù)的圖像都在第一象限。指數(shù)為負數(shù)的冪函數(shù)都是過點(1，1)的減函數(shù)，以坐標軸為漸近線，指數(shù)越小越靠近
x軸。指數(shù)為正數(shù)的冪函數(shù)都是過原點和(1，1)的增函數(shù)；在x=1的右側指數(shù)越大越遠離x軸。
②冪函數(shù)的定義域可以根據(jù)冪的意義去求出：要么是x≥0，要么是關于原點對稱。前者只在第一象限有圖像；后者一定具有奇偶性，利用對稱性可以畫出二或三象限的圖像。注意第四象限絕對不會有圖像。
③定義域關于原點對稱的冪函數(shù)一定具有奇偶性。當指數(shù)是偶數(shù)或分子是偶數(shù)的分數(shù)時是偶函數(shù)；否則是奇函數(shù)。
4冪函數(shù)奇偶性的一般規(guī)律：
⑴指數(shù)是偶數(shù)的冪函數(shù)是偶函數(shù)。
⑵指數(shù)是奇數(shù)的冪函數(shù)是奇函數(shù)。
⑶指數(shù)是分母為偶數(shù)的分數(shù)時，定義域x0或x≥0，沒有奇偶性。
⑷指數(shù)是分子為偶數(shù)的分數(shù)時，冪函數(shù)是偶函數(shù)。
⑸指數(shù)是分子分母為奇數(shù)的分數(shù)時，冪函數(shù)是奇數(shù)函數(shù)。

高一數(shù)學上冊《函數(shù)與方程》知識點歸納新人教版

經(jīng)驗告訴我們，成功是留給有準備的人。高中教師要準備好教案，這是高中教師需要精心準備的。教案可以讓學生能夠在課堂積極的參與互動，幫助高中教師更好的完成實現(xiàn)教學目標。你知道怎么寫具體的高中教案內(nèi)容嗎？為了讓您在使用時更加簡單方便，下面是小編整理的“高一數(shù)學上冊《函數(shù)與方程》知識點歸納新人教版”，僅供參考，大家一起來看看吧。

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一、函數(shù)的概念與表示
1、映射
(1)映射：設A、B是兩個集合,如果按照某種映射法則f,對于集合A中的任一個元素,在集合B中都有唯一的元素和它對應,則這樣的對應(包括集合A、B以及A到B的對應法則f)叫做集合A到集合B的映射,記作f：A→B.
注意點：(1)對映射定義的理解.(2)判斷一個對應是映射的方法.一對多不是映射,多對一是映射
2、函數(shù)
構成函數(shù)概念的三要素①定義域②對應法則③值域
兩個函數(shù)是同一個函數(shù)的條件：三要素有兩個相同
二、函數(shù)的解析式與定義域
1、求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：
(1)分式的分母不為零;
(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零,零取零次方?jīng)]有意義;
(3)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;
(4)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;
三、函數(shù)的值域
1求函數(shù)值域的方法
①直接法：從自變量x的范圍出發(fā),推出y=f(x)的取值范圍,適合于簡單的復合函數(shù);
②換元法：利用換元法將函數(shù)轉化為二次函數(shù)求值域,適合根式內(nèi)外皆為一次式;
③判別式法：運用方程思想,依據(jù)二次方程有根,求出y的取值范圍;適合分母為二次且∈R的分式;
④分離常數(shù)：適合分子分母皆為一次式(x有范圍限制時要畫圖);
⑤單調性法：利用函數(shù)的單調性求值域;
⑥圖象法：二次函數(shù)必畫草圖求其值域;
⑦利用對號函數(shù)
⑧幾何意義法：由數(shù)形結合,轉化距離等求值域.主要是含絕對值函數(shù)
四.函數(shù)的奇偶性
1.定義:設y=f(x),x∈A,如果對于任意∈A,都有,則稱y=f(x)為偶函數(shù).
如果對于任意∈A,都有,則稱y=f(x)為奇
函數(shù).
2.性質：
①y=f(x)是偶函數(shù)y=f(x)的圖象關于軸對稱,y=f(x)是奇函數(shù)y=f(x)的圖象關于原點對稱,
②若函數(shù)f(x)的定義域關于原點對稱,則f(0)=0
③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[兩函數(shù)的定義域D1,D2,D1∩D2要關于原點對稱]
3.奇偶性的判斷
①看定義域是否關于原點對稱②看f(x)與f(-x)的關系
五、函數(shù)的單調性
1、函數(shù)單調性的定義：
2設是定義在M上的函數(shù),若f(x)與g(x)的單調性相反,則在M上是減函數(shù);若f(x)與g(x)的單調性相同,則在M上是增函數(shù).

高一數(shù)學《函數(shù)的應用》知識點總結

高一數(shù)學《函數(shù)的應用》知識點總結

一、方程的根與函數(shù)的零點

1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。

2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標。

即：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點．

3、函數(shù)零點的求法：

1（代數(shù)法）求方程的實數(shù)根；

2（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質找出零點．

4、二次函數(shù)的零點：

二次函數(shù)．

（1）△＞０，方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點．

（2）△＝０，方程有兩相等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點．

（3）△＜０，方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點．

5.函數(shù)的模型

檢驗
收集數(shù)據(jù)
畫散點圖
選擇函數(shù)模型
求函數(shù)模型
用函數(shù)模型解釋實際問題
符合實際