高中函數(shù)與方程教案

3.4.1　函數(shù)與方程（2）。

3.4.1函數(shù)與方程（2）
教學(xué)目標(biāo)：
1．通過具體實(shí)例理解二分法的概念及其適用條件，并能夠根據(jù)這樣的過程進(jìn)行實(shí)際求解．了解二分法是求方程近似解的常用方法，從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實(shí)際問題中的應(yīng)用．
2．通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)到在現(xiàn)實(shí)世界中，等是相對(duì)的，而不等是絕對(duì)的，這樣可以加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解．

教學(xué)重點(diǎn)：
用二分法求方程的近似解；
教學(xué)難點(diǎn)：
二分法原理的理解．

教學(xué)方法：
講授法與合作交流相結(jié)合．

教學(xué)過程：
一、問題情境
1．情境：（1）復(fù)習(xí)函數(shù)零點(diǎn)的定義以及函數(shù)零點(diǎn)存在的條件；
（2）給出函數(shù)f(x)＝lgx＋x－3存在零點(diǎn)的區(qū)間；
2．問題：如何求方程lgx＝3－x的近似解？
二、學(xué)生活動(dòng)
用二分法探求一元二次方程x2－2x－1＝0區(qū)間(2，3)上的根的近似值．
三、建構(gòu)數(shù)學(xué)
1．對(duì)于區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，且f(a)f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地
把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．
2．給定精確度，用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟：
（1）確定f(a)f(b)＜0，從而確定零點(diǎn)存在的區(qū)間(a，b)；
（2）求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)x1，并計(jì)算f(x1)；
（3）判斷零點(diǎn)范圍：若f(x1)＝0，則x1就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)；若f(a)f(x1)＜0，則零點(diǎn)x1(a，x1)，令b＝x1，否則令a＝x1；
（4）判斷精確度：若區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的近似值相同（符合精確度要求），這個(gè)近似值即為所求，否則重復(fù)(2)～(4)．
四、數(shù)學(xué)運(yùn)用
例1求方程x2－2x－1＝0在區(qū)間(－1，0)上的近似解(精確到0.1)．
例2借助計(jì)算器用二分法求方程lgx＝3－x的近似解(精確到0.1)
變式訓(xùn)練：利用計(jì)算器求方程2x＋x＝4的近似解(精確到0.1)．
練習(xí)
1．確定下列函數(shù)f(x)的零點(diǎn)與方程的根存在的區(qū)間(k，k＋1)(kZ)：
（1）函數(shù)f(x)＝x3－3x－3有零點(diǎn)的區(qū)間是．
（2）方程5x2－7x－1＝0正根所在的區(qū)間是．
（3）方程5x2－7x－1＝0負(fù)根所在的區(qū)間是．
（4）函數(shù)f(x)＝lgx＋x－3有零點(diǎn)的區(qū)間是．
2．用二分法求方程x3－2x－5＝0在區(qū)間[2，3]內(nèi)的實(shí)根，取區(qū)間中點(diǎn)x0＝2.5，那么下一個(gè)有根區(qū)間是．
3．已知方程x3－3x－3＝0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有且只有一個(gè)根，用二分法求根的近似解(精確到0.1)．
五、要點(diǎn)歸納與方法小結(jié)
1．二分法的概念及其適用條件，并能夠根據(jù)這樣的過程進(jìn)行實(shí)際求解．
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法．
六、作業(yè)
P96練習(xí)第1，2，3題．

相關(guān)閱讀

函數(shù)與方程

作為優(yōu)秀的教學(xué)工作者，在教學(xué)時(shí)能夠胸有成竹，作為教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以讓學(xué)生能夠聽懂教師所講的內(nèi)容，幫助教師能夠井然有序的進(jìn)行教學(xué)。關(guān)于好的教案要怎么樣去寫呢？下面是小編精心收集整理，為您帶來的《函數(shù)與方程》，歡迎大家閱讀，希望對(duì)大家有所幫助。

【必修1】第四章函數(shù)應(yīng)用
第一節(jié)函數(shù)與方程(2)
利用二分法求方程的近似解
學(xué)時(shí):1學(xué)時(shí)
[學(xué)習(xí)引導(dǎo)]
一、自主學(xué)習(xí)
1.閱讀課本頁(yè)
2.回答問題：
（1）課本內(nèi)容分成幾個(gè)層次？每個(gè)層次的中心內(nèi)容是什么？
（2）層次間有什么聯(lián)系？
（3）二分法求函數(shù)零點(diǎn)的步驟是什么？
3.完成課本頁(yè)練習(xí)及習(xí)題4－1．
4.小結(jié)
二、方法指導(dǎo)
1.本節(jié)課內(nèi)容的重點(diǎn)：利用二分法求方程的近似值．
2.認(rèn)真體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想．
3.注意用計(jì)算器算近似值的步驟
【思考引導(dǎo)】
一、提問題
1.為什么要研究利用二分法求方程的近似解?
2.如何用框圖表述利用二分法求方程實(shí)數(shù)解的過程？
二、變題目
1.設(shè)f(x)=3x+3x-8，用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈（1，2）內(nèi)近似解的過程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0則方程的根落在區(qū)間（）
A.（1.25,1.5）B.(1,1.25)
C.(1.5,2)D.不能確定
2.用“二分法”求方程在區(qū)間（2，3）內(nèi)的實(shí)根，取區(qū)間中點(diǎn)為，那么下一個(gè)有根的區(qū)間是。
3.借助科學(xué)計(jì)算器用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精確到0.1）

【總結(jié)引導(dǎo)】
1.任何方程，只要它所對(duì)應(yīng)的圖象是連續(xù)曲線，而且有實(shí)根，就可用二分法借助于計(jì)算器或計(jì)算機(jī)求出方程根的近似值，二分的次數(shù)越多，根就越精確．二分法體現(xiàn)了無限逼近的數(shù)學(xué)思想
2.利用二分法求方程近似解的步驟是：
①確定區(qū)間［］，使在［］上連續(xù)，且；
②求區(qū)間的中點(diǎn)；
③計(jì)算；
（１）若則就是方程的解
（２），則方程的解；
（３），則方程的解．
（４）判斷是否達(dá)到精確度要求，若區(qū)間兩端點(diǎn)按精確度要求相等，則得到方程的近似解．
【拓展引導(dǎo)】
1.函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（）
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

2.有12個(gè)小球，質(zhì)量均勻，只有一個(gè)球是比別的球重，你用天平稱幾次可以找出這個(gè)球?要求次數(shù)越少越好.

3.某同學(xué)解決一道方程近似解的問題解答如下：求方程2x3-6x2+3=0的近似實(shí)數(shù)解（精確到0.01）.
解:f(-1)=-50,f(3)=30,
可以取初始區(qū)間[-1，3]，以后用二分法逐步求解，請(qǐng)問他的解答正確嗎？

參考答案
【思考引導(dǎo)】
一、提問題
１．因?yàn)槎址ㄇ蠓匠虒?shí)數(shù)解的思想是非常簡(jiǎn)明的，利用計(jì)算器能很快解決近似值問題．二分法的基本思想也將在以后的學(xué)習(xí)中不斷幫助我們解決大量的方程求解問題．
2.利用二分法求方程近似解的過程，可以簡(jiǎn)約地用右圖表示．
【變題目】
1、A2、（2,2.5）
3、【解析】：原方程即2x+3x=7,令f(x)=2x+3x-7,用計(jì)算器作出函數(shù)f(x)=2x+3x-7對(duì)應(yīng)值表：
x01234567
f(x)=2x+3x-7-6-2310214075142
f(1)f(2)0取區(qū)間[1,2]
區(qū)間中點(diǎn)的值中點(diǎn)函數(shù)近似值
(1,2)1.50.33
(1,1.5)1.25-0.87
(1.25,1.5)1.375-0.28
(1.375,1.5)1.43750.02
(1.375,1.4375)
由于|1.375-1.4375|=0.06250.1
此時(shí)區(qū)間(1.375,1.4375)的兩個(gè)端點(diǎn)精確到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精確到0.1的近似解為1.4。

【拓展引導(dǎo)】
1.（C）在上是增函數(shù)，0
時(shí)在（0，1）內(nèi)無零點(diǎn)。
在（1，2）和（3，4）內(nèi)均無零點(diǎn)。
而,故在（2，3）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。
2.三次
3.提示：不正確。對(duì)于這樣的高次方程，首先要確定它的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)，一般可以利用函數(shù)的單調(diào)性或函數(shù)的圖像來確定。
對(duì)于此題：
有三個(gè)零點(diǎn)

整合函數(shù)與方程教案

第三章單元小結(jié)（一）

（一）教學(xué)目標(biāo)
1．知識(shí)與技能
整合函數(shù)與方程的基本知識(shí)和基本方法，進(jìn)一步提升函數(shù)與方程思想.
2．過程與方法
通過學(xué)生自我回顧、反思、整理、歸納所學(xué)知識(shí)，從而構(gòu)建本節(jié)的知識(shí)體系
3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀
在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)會(huì)整合知識(shí)，提升自我學(xué)習(xí)的品質(zhì)，養(yǎng)成合作、交流、創(chuàng)新的良好學(xué)習(xí)品質(zhì).
（二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn)：整合單元知識(shí)；難點(diǎn)：提升綜合運(yùn)用單元知識(shí)的能力.
（三）教學(xué)方法
動(dòng)手練習(xí)與合作交流相結(jié)合，在整合知識(shí)中構(gòu)建單元知識(shí)體系，在綜合練習(xí)中提升綜合運(yùn)用單元知識(shí)的能力.
（四）教學(xué)過程
教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖
回顧反思構(gòu)建體系1．函數(shù)與方程單元知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
2．知識(shí)梳理
①二次函數(shù)的零點(diǎn)與一元二次方程根的關(guān)系
對(duì)于二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，當(dāng)f(x)=0時(shí)，就是一元二次方程ax2+bx+c=0，因此，二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的零點(diǎn)就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；也即二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象——拋物線與x軸相交時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
②函數(shù)的零點(diǎn)的理解
（1）函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)自變量取該值時(shí)，其函數(shù)值等于零.
(2)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)定義可知，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)就是f(x)=0的根，因此判斷一個(gè)函數(shù)是否有零點(diǎn)，有幾個(gè)零點(diǎn)，就是判斷方程f(x)=0是否有實(shí)根，有幾個(gè)實(shí)根.
③函數(shù)零點(diǎn)的判定
判斷一個(gè)函數(shù)是否有零點(diǎn)，首先看函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，并且是否存在f(a)f(b)＜0，若滿足，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a，b）內(nèi)必有零點(diǎn).
④用二分法求方程的近似解要注意以下問題：
（1）要看清題目要求的精確度，它決定著二分法步驟的結(jié)束.
（2）初始區(qū)間的選定一般在兩個(gè)整數(shù)間，不同的初始區(qū)間結(jié)果是相同的，但二分的次數(shù)卻相差較大.
（3）在二分法的第四步，由|a–b|＜，便可判斷零點(diǎn)近似值為a或b.
⑤用二分法求曲線的近似交點(diǎn)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
（1）曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的解，最終轉(zhuǎn)化為求方程的根；
（2）求曲線y=f(x)和y=g(x)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，實(shí)際上就是求函數(shù)y=f(x)–g(x)的零點(diǎn)，即求方程f(x)–g(x)=0的實(shí)數(shù)解.1．師生合作，繪制單元知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖
2．學(xué)生回顧口述知識(shí)要點(diǎn)，老師總結(jié)、歸納，師生共同進(jìn)行知識(shí)疏理.整理知識(shí)，培養(yǎng)歸納能力；師生共同回顧、再現(xiàn)知識(shí)與方法.
經(jīng)典例題剖析

例1利用計(jì)算器，求方程2x+2x–5=0的近似解.(精確到0.1)

例2確定函數(shù)f(x)=+x–4的零點(diǎn)個(gè)數(shù).例3（1）試說明方程2x3–6x2+3=0有3個(gè)實(shí)數(shù)解，并求出全部解的和（精確到0.01）
（2）探究方程2x3–6x2+5=0，方程2x3–6x2+8=0全部解的和，你由此可以得到什么結(jié)論？

1．學(xué)生自主完成例1、例2、例3，求解學(xué)生代表板書解答過程，老師點(diǎn)評(píng)，總結(jié).
例1【解析】設(shè)f(x)=2x+2x–5，由于函數(shù)在R上是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在R上至多一個(gè)零點(diǎn).
∵f(1)=–1＜0，f(2)=3＞0，
∴f(1)f(2)＜0，
∴函數(shù)f(x)=2x+2x–5在(1,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，則二分法逐次計(jì)算，列表如下：
取區(qū)間中點(diǎn)值中點(diǎn)函數(shù)值
(1,2)1.50.83(正數(shù))
(1,1,5)1.25–0.12(負(fù)數(shù))
(1.25,1.5)1.3750.34(正數(shù))
(1.25,1.375)1.31250.11(正數(shù))
(1.25,1.3125)
∵|1.3125–1.25|=0.0625＜0.1，
∴函數(shù)f(x)的零點(diǎn)近似值為1.3125.
∴方程2x+2x–5=0的近似解是1.3125.
例2【解析】設(shè)，則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即y1與y2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出兩函數(shù)圖象如圖.
由圖知，y1與y2在區(qū)間(0,1)內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)x=4時(shí)，y1=–2，y2=0，
當(dāng)x=8時(shí)，y1=–3，y2=–4，
∴在(4,8)內(nèi)兩曲線又有一個(gè)交點(diǎn)，又和y2=x–4均為單調(diào)函數(shù).
∴兩曲線只有兩個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
例3【解析】（1）設(shè)函數(shù)f(x)=2x3–6x2+3，
∵f(–1)=–5＜0，f(0)=3＞0，f(1)=–1＜0，
f(2)=–5＜0，f(3)=3＞0，函數(shù)y=f(x)的圖象是連續(xù)的曲線，∴方程2x3–6x2+3=0有3個(gè)實(shí)數(shù)解．
首先以區(qū)間[–1，0]為計(jì)算的初始區(qū)間，用二分法逐步計(jì)算，列表如下：
端點(diǎn)或中點(diǎn)的橫坐標(biāo)
a0=–1，b0=0
x0=(–1+0)/2=–0.5
x1=(–1–0.5)/2=–0.75
x2=(–0.75–0.5)/2=–0.625
x3=(–0.75–0.625)/2=–0.6875
x4=(–0.6875–0.625)/2=–0.65625
x5=(–0.65625–0.625)/2=–0.640625
x6=(–0.65625–0.640625)/2
=–0.6484375
x7=–0.64453125

計(jì)算端點(diǎn)或中點(diǎn)的函數(shù)值定區(qū)間
f(–1)=–5，f(0)=3[–1，0]
f(x0)=f(–0.5)=1.25＞0[–1，–0.5]
f(x1)=f(–0.75)＜0[–0.75，–0.5]
f(x2)=f(–0.625)＞0[–0.75，–0.625]
f(x3)=f(–0.6875)＜0[–0.6875，–0.625]
f(x4)=f(–0.65625)＜0[–0.65625，–0.625]
f(x5)=f(–0.640625)＞0[–0.65625，–0.640625]
f(x6)=f(–0.64843725)＜0[–0.6484375，–0.640625]
f(x7)＜0[–0.64453125，–0.640625]
由上表計(jì)算可知，區(qū)間[–0.64453125，–0.640625]的左、右兩端點(diǎn)精確到0.01所取的近似值都是–0.64，所以–0.64可以作為方程2x3–6x2+3=0在區(qū)間[–1，0]上的一個(gè)近似解．
同理可求得方程2x3–6x2+3=0在區(qū)間[0，1]和[2，3]內(nèi)且精確到0.01的近似解分別為0.83，2.81．所以方程2x3–6x2+3=0全部解的和為–0.64+0.83+2.81=3．
（2）利用同樣方法可求得方程2x3–6x2+5=0和方程2x3–6x2+8=0全部解的和也為3．
由于3只與未知數(shù)的系數(shù)比相等，即–(–6÷2)=3，所以猜想：
一般地，對(duì)于一元三次方程ax3+bx3+cx+d=0有三個(gè)根xl，x2，x3，則和為x1+x2+x3=．動(dòng)手嘗試練習(xí)提升綜合應(yīng)用知識(shí)的能力.
備選例題
例1求函數(shù)y=x3–2x2–x+2的零點(diǎn)，并畫出它的圖象.
【解析】因?yàn)閤3–2x–x+2=x2(x–2)–(x–2)=(x–2)(x2–1)=(x–2)(x–1)(x+1)，
所以已知函數(shù)的零點(diǎn)為–1，1，2.
3個(gè)零點(diǎn)把x軸分成4個(gè)區(qū)間：
，[–1，1]，[1，2]，.
在這4個(gè)區(qū)間內(nèi)，取x的一些值(包括零點(diǎn))，列出這個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)值表：
x…–1.5–1–0.500.511.522.5…
y…–4.3801.8821.130–0.6302.63…
在直角坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)連線，這個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示.
例2求函數(shù)f(x)=x3+x2–2x–2的一個(gè)為正實(shí)數(shù)的零點(diǎn)（誤差不超過0.1）.
【解析】由于f(1)=–2＜0，f(2)=6＞0，可以取區(qū)間[1，2]作為計(jì)算的初始區(qū)間.
用二分法逐次計(jì)算，列表如下：
端點(diǎn)（中點(diǎn)）坐標(biāo)計(jì)算中點(diǎn)的函數(shù)值取區(qū)間|an–bn|
[1，2]1
x0=(1+2)/2=1.5f(x0)=0.625＞0[1，1.5]0.5
x1=(1+1.5)/2=1.25f(x1)=–0.984＜0[1.25，1.5]0.25
x2=(1.25+1.5)/2=1.375f(x2)=–0.260＜0[1.375，1.5]0.125
x3=(1.375+1.5)/2=1.438
由上表的計(jì)算可知，區(qū)間[1.375，1.5]的長(zhǎng)度小于0.2，所以這個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)x3=1.438可作為所求函數(shù)誤差不超過0.1的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值.
函數(shù)f(x)=x3+x2–2x–2的圖象如圖所示.
實(shí)際上還可用二分法繼續(xù)算下去，進(jìn)而得到這個(gè)零點(diǎn)精確度更高的近似值.

3.4.1 環(huán)境問題 2

高三地理高考第一輪單元復(fù)習(xí)

環(huán)境問題

鞏固夯實(shí)基礎(chǔ)

一、人類與環(huán)境

1.關(guān)系

（1）人類的生存和發(fā)展要占據(jù)一定的空間，并從環(huán)境中獲取物質(zhì)和能量。

（2）人類的新陳代謝和消費(fèi)活動(dòng)中的廢棄物要排放到環(huán)境中。

2.環(huán)境問題產(chǎn)生的根本原因

（1）人類向環(huán)境索取資源的速度超過了資源本身及其替代品的再生速度。

（2）人類向環(huán)境排放廢棄物的數(shù)量超過了環(huán)境的自凈能力。

二、環(huán)境問題的表現(xiàn)

1.環(huán)境污染：大氣污染、水污染、土壤污染、固體廢棄物污染、噪聲污染、放射性污染、海洋污染等。

2.生態(tài)破壞：濫伐森林、水土流失、土地荒漠化、土壤鹽堿化、水源枯竭、森林減少、物種減少、大氣中二氧化碳增加和臭氧破壞等。

三、環(huán)境問題的分布

函數(shù)方程

競(jìng)賽講座15
-函數(shù)方程
一、相關(guān)知識(shí)
函數(shù)方程的解是

函數(shù)方程的解是

二、函數(shù)方程的題型
許多函數(shù)方程的解決僅以初等數(shù)學(xué)為工具，解法富于技巧，對(duì)人類的智慧具有明顯的挑戰(zhàn)
意味，因此，函數(shù)方程是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中一種常見的題型。
1、確定函數(shù)的形式
尚無一般解法，需因題而異，其解是多樣的：有無限多解的，有有限個(gè)解的，有可能無解（如：方程無解）。
2、確定函數(shù)的性質(zhì)
3、確定函數(shù)值
三、求函數(shù)的解析式
1、換元法
例題1、設(shè)函數(shù)滿足條件，求。

例題2、設(shè)函數(shù)定義于實(shí)數(shù)集，且滿足條件，求。

：函數(shù)在處沒有定義，但對(duì)所有非零實(shí)數(shù)有：，求。
答案：
：求滿足條件的。

2、賦值法
例題1、設(shè)函數(shù)定義于實(shí)數(shù)集上，且，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，都有：
，求。

例題2、設(shè)函數(shù)定義于自然數(shù)集上，且，若對(duì)于任意自然數(shù)、，都有：，求。

四、究函數(shù)的性質(zhì)
例題、設(shè)函數(shù)定義于上，且函數(shù)不恒為零，，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，恒有：。
①求證：
②求證：
③求證：

：若對(duì)常數(shù)和任意，等式都成立，求證：函數(shù)是周期函數(shù)。
：設(shè)函數(shù)定義于實(shí)數(shù)集上，函數(shù)不恒為零，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，都有：，求證：。