小學數(shù)學角教案

高一數(shù)學《兩角差的余弦公式》學案。

一位優(yōu)秀的教師不打無準備之仗，會提前做好準備，作為高中教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以讓學生能夠在教學期間跟著互動起來，幫助高中教師營造一個良好的教學氛圍。怎么才能讓高中教案寫的更加全面呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“高一數(shù)學《兩角差的余弦公式》學案”，供大家參考，希望能幫助到有需要的朋友。

高一數(shù)學《兩角差的余弦公式》學案

一、教材分析
《兩角差的余弦公式》是人教A版高中數(shù)學必修4第三章《三角恒等變換》第一節(jié)《兩角和與差的正弦、余弦和正切公式》第一課時內(nèi)容。本節(jié)主要給出了兩角差的余弦公式的推導，要引導學生主動參與，獨立思考，合作交流，獲得相應(yīng)結(jié)論。
二、教學目標
1.知識與技能：引導學生建立兩角差的余弦公式，通過公式的簡單應(yīng)用，體會公式的結(jié)構(gòu)和作用，為建立其他和差角的三角公式打下基礎(chǔ)。
2.過程與方法：在探究公式的過程中，逐步培養(yǎng)學生分析轉(zhuǎn)化、探究解決問題的能力，培養(yǎng)學生合作交流的能力。
3.情感、態(tài)度與價值觀：通過引例的設(shè)計，增強學生的應(yīng)用意識，激發(fā)學生學習的積極性。
三、教學重難點
重點：兩角差的余弦公式的推導和簡單應(yīng)用
難點：兩角差的余弦公式的推導過程的組織和引導
四、學情分析
前面已經(jīng)學習了三角函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)，及平面向量的運算和應(yīng)用，在這個基礎(chǔ)上考慮用的正余弦值來表示，熟練掌握這個公式，并在此基礎(chǔ)上學好下一節(jié)。
五、教學方法
1.自主學習法：通過課前自學掌握兩角差的余弦公式
2.合作探究學習法：通過分析、探究，掌握兩角差的余弦公式的推導方法
3.反饋練習法：通過反饋練習檢驗知識的掌握情況，同時檢測找出疑惑點、總結(jié)規(guī)律
六、教學過程
（一）創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題
1.現(xiàn)在我們有工具：皮尺、測角儀，要測量一下我校的桅桿標志的高，要求在地面上測量。
2.問題：（1）不用計算器能不能計算的值？
（2）是不是有成立？
（二）研探新知
1.三角函數(shù)線
問題：（1）怎樣做出角的終邊？
（2）怎樣做出角的余弦線？
(3)怎么樣利用幾何直觀尋找的表達式？
公式推導的前提條件是都是銳角，且.
2.向量法
問題：（1）結(jié)合圖形，明確應(yīng)選哪那幾個向量，它們怎么表示？
（2）怎樣利用向量的數(shù)量積的概念及計算公式得到結(jié)果？
（3）對探索的過程進一步嚴謹?shù)乃伎己吞幚?，從而得到合理的科學結(jié)論。
作單位圓如圖，
則
由向量的數(shù)量積的概念得，
由向量數(shù)量積的坐標運算得，
因為是任意角，所以也是任意角，
但是由誘導公式在內(nèi)總可以找到一個角，，
于是對任意角總有，簡記為
例1.利用兩角差的余弦公式求.
變式：利用兩角差的余弦公式推導下列誘導公式
例2.已知是第三象限的角，求的值.
變式：已知是第二象限角，求的值.
（三）質(zhì)疑、排憂解難
（四）
本課小結(jié)
1.知識上：學會了的推導，熟記的結(jié)構(gòu)，能熟練應(yīng)用公式.
2.思想方法：在公式的正用、逆用、靈活運用過程中，體現(xiàn)了變角、拆角的化歸轉(zhuǎn)化思想方法.
解題過程中注意的象限，也就是符號問題.
（五）自我檢測
1.求值：
2．——.
3.化簡.
4.已知是銳角，，求.
七、教學反思:通過課前應(yīng)用實例的解決，可以培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識，以及培養(yǎng)小組之間的合作能力。通過直觀猜測，再到理性驗證，體會知識的獲得過程，感受茫然無知到柳暗花明，感受獲得知識的快樂。

延伸閱讀

兩角差的余弦公式

【教學目標】

【知識與技能】

①了解兩角差的余弦公式的推導；

②掌握兩角差的余弦公式并能對公式進行初步的應(yīng)用。

【過程與方法】

①經(jīng)歷大膽猜想---初步驗證---理論證明---應(yīng)用與拓展的數(shù)學化的過程讓學生感受到知識的產(chǎn)生和發(fā)展；

②利用信息技術(shù)揭示單角的三角函數(shù)值與兩角差的余弦值之間的關(guān)系，激發(fā)學生探究數(shù)學的積極性；

③培養(yǎng)學生獲取數(shù)學知識、數(shù)學交流的能力；

【情感態(tài)度價值觀】

①使學生體會聯(lián)想轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學思想；

②培養(yǎng)學生大膽猜想、敢于探索、勇于置疑、嚴謹、求實的科學態(tài)度。

【教學重點、難點】

重點：兩角差余弦公式的探索和初步應(yīng)用。
難點：探索過程的組織和引導。
【教學手段】用幾何畫板和powerpoint演示。
【教學流程】

創(chuàng)設(shè)問題情景，揭示課題

感知猜想

利用幾何畫板驗證猜想

組織和引導學生共同合作探索公式

通過例題、練習，加強對公式的理解

回顧與反思

布置作業(yè)，引發(fā)其他公式的探究

【教學設(shè)計】

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境，揭示課題
先讓學生口答的正弦余弦值，再提出

問題1.有什么關(guān)系？

（）

問題2.對于a、b、c

（讓學生討論，老師歸納其討論結(jié)果，并指出不成立。因為

）

問題3.對于任意角α、β，
（設(shè)計意圖：由特殊問題引發(fā)一般問題，喚起學生解決問題的意識，拋出新知識引起學生的疑惑，在興趣和疑惑中，激發(fā)學生的求知欲，引導學習方向。）
（二）感性認知，提出猜想

問題：如何用任意角α和β的正弦、余弦值來表示cos（α－β）？

雖然但學生自然猜想到它們之間有一定的等量關(guān)系，于是讓學生憑借直覺，發(fā)揮想象，將sinα、sinβ、cosα、cosβ隨意組合，構(gòu)造出結(jié)果的表示形式。

（三）驗證猜想

借助幾何畫板，呈現(xiàn)猜想的式子，計算出cos（α－β）和各式子的值，發(fā)現(xiàn)當隨意變換角度α和β時，總有cos（α－β）和

cosαcosβ+sinαsinβ的結(jié)果相等，所以猜測公式的形式可能是：

cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ

（第一組驗證）

（第二組驗證）

（設(shè)計意圖：使學生看到現(xiàn)代化信息技術(shù)對探討數(shù)學問題的幫助，從而引導學生在今后的學習和工作中能重視現(xiàn)代信息技術(shù)的應(yīng)用。）
（四）聯(lián)想轉(zhuǎn)化、探索論證

讓學生加強新舊知識的聯(lián)系，尋找已有知識點的理論支持，選定探討方法，適時提問，逐步引導，層層推進。

問題(1)剛才的驗證可靠嗎？為什么？

（不可靠，它并不能代表一般性）

問題(2)對于任意的α和β,你如何證明上式恒成立呢？你聯(lián)想到哪些相關(guān)知識？
1.根據(jù)學生的回答，先利用向量來證明。

問題（3）你是如何聯(lián)想到向量？用向量證明得先做哪些準備？

問題（4）在圖中選擇哪些向量，它們?nèi)绾伪硎荆?/p>

問題（5）如何利用向量的運算構(gòu)造出等式的左右兩邊？

問題（6）證明是否嚴密？若有，請你補充。
（設(shè)計意圖：讓學生經(jīng)歷利用向量知識解決一個數(shù)學問題的過程，體會向量方法解決數(shù)學問題的簡潔性。）

2.利用學生對舊知識的聯(lián)想提出利用三角函數(shù)線來證明。

讓學生研讀教材，并提出相應(yīng)的問題，拓寬學生的思維。

問題（1）如何構(gòu)造三角函數(shù)線來證明公式？

問題（2）證明前提是什么?證明完成了嗎？

(是在三個角都是銳角的前提下證明的,不具備一般性)

問題（3）兩種證明方法用的是哪一種數(shù)學思想方法？

問題（4）你認為哪一種方法好？

（設(shè)計意圖：分化難點，突出重點，拓寬思維，養(yǎng)成研讀教材，善于思考，善于提問，小組合作的好習慣）
3.分析公式結(jié)構(gòu)特點，尋求簡單記憶

(記作,諧音記憶為:烤烤曬曬符號反)

【拓展與應(yīng)用】
1.利用差角余弦公式求的值
（求解過程讓學生獨立完成，注意引導學生多方向、多維度思考問題）

2.

（讓學生結(jié)合公式，明確需要再求哪些三角函數(shù)值，可使問題得到解決。并使學生體會到思維的有序性和表達的條理性是三角變換的基本要求。）

變式：去掉α的范圍，對結(jié)果有影響嗎？

（提醒學生注意三角函數(shù)的符號問題，并培養(yǎng)學生分類討論的思想）

3.①求的值

②求的值

③求的值

（設(shè)置題目由簡單到復(fù)雜，由具體角度到任意角，培養(yǎng)學生的靈活變換能力和逆向思維能力）

4．
（讓學生結(jié)合公式，明確需要先求哪些三角函數(shù)值，可使問題得到解決。）

（讓學生自主練習，收集學生的解法，對比點評，培養(yǎng)學生對角進行拆分，構(gòu)造出差角，靈活運用公式）

變式二：

（鞏固對角的拆分，突出靈活的重要性）
（例題和習題的設(shè)計意圖：通過基礎(chǔ)訓練和變式訓練，加強學生對公式的理解和應(yīng)用，體驗公式既可正用、逆用，還可變用.還可使學生掌握“變角”和“拆角”的思想方法解決問題，培養(yǎng)了學生的靈活思維品質(zhì)，提高學生的數(shù)學交流能力，促進思維的創(chuàng)新。）
【回顧與反思】

1.回顧公式的推導過程，讓學生口述并輔以簡單的流程圖。

2．體會其中蘊涵的數(shù)學思想。

3．你在公式的推導過程中有什么啟發(fā)和感受？

4．公式的應(yīng)用過程中應(yīng)該注意什么問題，你有什么體會？

(設(shè)計意圖：讓學生通過自己小結(jié)，反思學習過程，加深對公式的推導和應(yīng)用過程的理解，促進知識的內(nèi)化。)
【設(shè)置作業(yè)和思考題】.

作業(yè):的1,4題

思考:你能利用如何用cos(α－β)繼續(xù)探究α±β的三角函數(shù)？
(設(shè)計意圖：鞏固本節(jié)課的知識,并根據(jù)本節(jié)課所講的知識提出問題，而用下一節(jié)課要學的知識解決問題作為課堂教學的結(jié)束，使新舊知識建立聯(lián)系，給學生留下懸念。使學生在探索學習的過程中，充滿好奇心和興趣，充分調(diào)動了學生的主觀能動性。)

《兩角和與差的余弦公式》學案

一名合格的教師要充分考慮學習的趣味性，作為教師就要精心準備好合適的教案。教案可以讓學生們能夠更好的找到學習的樂趣，幫助教師掌握上課時的教學節(jié)奏。那么，你知道教案要怎么寫呢？小編收集并整理了“《兩角和與差的余弦公式》學案”，僅供參考，希望能為您提供參考！

《兩角和與差的余弦公式》學案

【學習目標】
1.了解兩角差的余弦公式的產(chǎn)生背景；
2.熟悉用向量的數(shù)量積推導兩角差的余弦公式的過程，通過對比，體會向量法的優(yōu)越性；
3.把握兩角和與差的余弦公式的結(jié)構(gòu)特點，熟記公式，并能靈活運用.
【重點難點】
用向量的數(shù)量積推導兩角差的余弦公式
【預(yù)習指導】
1.左圖是我校桅桿標志，你有什么辦法可以知道其高度：
（1）；
（2）；

（3）如果有皮尺和測角儀等工具你會怎么辦？畫圖說明

（4）桅桿底部外側(cè)正在施工，有皮尺和測角儀等工具你會怎么辦？畫圖說明
2.閱讀課本P124_126,想想學好這節(jié)課該做好哪些知識準備：
（1）如何在單位圓中定義三角函數(shù)？如何用角表示終邊上點的坐標？
（2）三角函數(shù)線的意義？
（3）向量的夾角的定義及求法？
（4）向量的投影的定義？回顧一下我們是如何用投影證明向量的數(shù)量積的分配律？
【典型例題】
例1.利用兩角和與差的余弦公式求.
變式：利用兩角和與差的余弦公式推導下列誘導公式

例2.已知是第四象限的角，求的值.

變式：已知是第二象限角，求的值.

例3.已知均為銳角，且，求的值.

變式：

【當堂檢測】
1.求值：

2．
3.化簡

4.已知是銳角求
【課下拓展】
1.已知均為銳角，，求的值.
2.已知中，，求的值.
【思考】
你能由和差的余弦公式得到和差的正弦、正切公式嗎？

高中數(shù)學必修四3.1.1兩角差的余弦公式導學案

3.1兩角和與差的正弦、余弦和正切
3.1.1兩角差的余弦公式

【學習目標】
1.理解用三角函數(shù)線或向量方法推導兩角差的余弦公式.
2.掌握兩角差的余弦公式及其應(yīng)用.
【新知自學】
知識回顧
1、三角函數(shù)線的有關(guān)定義？
2、三角函數(shù)中，已學習了哪些基本的三角函數(shù)公式？
新知梳理
1、設(shè)為兩個任意角,你能判斷恒成立嗎?
2、我們設(shè)想的值與的三角函數(shù)值有一定關(guān)系，觀察下表中的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？
cos(60°－30°)cos60°cos30°sin60°sin30°

cos(120°－60°)cos120°cos60°sin120°sin60°

猜想：=
3、試推導上述公式（利用三角函數(shù)線）
思考感悟
1、公式中的角適用于任意角嗎？
2、公式的特點是什么？如何記憶？公式能逆用嗎？
對點練習
cos17等于（）
A.cos20cos3-sin20sin3
B.cos20cos3+sin20sin3
C.sin20sin3-cos20cos3
D.cos20sin20+sin3cos3

【合作探究】
典例精析：
例1、利用差角余弦公式求的值.

變式練習：1、利用差角余弦公式求的值.

變式練習：2、=

例2、利用兩角差的余弦公式證明等式.

變式練習：3、利用兩角差的余弦公式證明等式.

例3、已知，
是第三象限角，求的值.

變式練習：
4、，，則=（）
A.B.
C.D.

【課堂小結(jié)】

【當堂達標】
1.=（）
A.B.
C.D.

【課時作業(yè)】
1.計算的結(jié)果是（）
A.1B.C.D.

2.已知，則=（）
A.B.
C.D.
*3.化簡=（）
A.
B.
C.
D.
*4已知則

*5.已知
，求的值.

6.已知sin，是第三象限角，求的值.

*7.已知都是銳角，
，求的值.

兩角和與差的余弦

第三章三角恒等變換
【學習導航】
1．本章利用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式，并由此公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式；二倍角的正弦、余弦、正切公式等，以及運用這些公式進行簡單的恒等變換。
2．三角恒等變換位于三角函數(shù)與數(shù)學變換的結(jié)合點上。三角恒等變換公式反映了角的相加、相減、二倍角運算引起三角函數(shù)值變化的規(guī)律，是研究三角函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用的一種工具。學習和應(yīng)用三角恒等變換，有利于發(fā)展推理能力和運算能力。
3、三角恒等變換具有幾何和物理的應(yīng)用背景。以向量為橋梁將三角恒等變換的算式與直觀的幾何圖形相互溝通和轉(zhuǎn)化，有助于學習和應(yīng)用三角恒等變換，還能提高學習數(shù)學的興趣，體會數(shù)學是一個有機聯(lián)系的整體，而不是各不相關(guān)的內(nèi)容的堆積。

知識結(jié)構(gòu)

學習要求
1.了解用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用；
2.理解以兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；
3.運用上述公式進行簡單的恒等變換，推導半角公式，積化和差、和差化積公式作為基本訓練，進一步提高運用轉(zhuǎn)化的觀點去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數(shù)學思想在三角恒等變換中的應(yīng)用。
3.1兩角和與差的三角函數(shù)
第1課時
【學習導航】
學習要求
1、理解向量法推導兩角和與差的余弦公式，并能初步運用解決具體問題；
2、應(yīng)用公式，求三角函數(shù)值.
3．培養(yǎng)探索和創(chuàng)新的能力和意識.
【自學評價】
1．探究
反例：
問題：的關(guān)系？
解決思路：探討三角函數(shù)問題的最基本的工具是直角坐標系中的單位圓及單位圓中的三角函數(shù)線
2．探究：在坐標系中、角構(gòu)造+角
3．探究：作單位圓，構(gòu)造全等三角形
4．探究：寫出4個點的坐標
，
，
，
5．計算，
=
=
6．探究由=導出公式
展開并整理得
所以
可記為
7．探究特征
①熟悉公式的結(jié)構(gòu)和特點；
②此公式對任意、都適用
③公式記號
8．探究cos()的公式
以代得：
公式記號
【精典范例】
例1計算①cos105②cos15
③coscossinsin
【解】
例2已知sin=，cos=求cos()的值.
【解】

例3已知cos(2α-β)=-,sin(α-2β)=,且α,0β,
求cos(α+β)的值。
分析：已知條件中的角與所求角雖然不同，但它們之間有內(nèi)在聯(lián)系，
即(2α-β)-(α-2β)=α+β由α、β角的取值范圍，分別求出2α-β、α-2β角的正弦和余弦值，再利用公式即可求解。
【解】

例4不查表，求下列各式的值.
（1）
（2）
（3）

在三角變換中，首先應(yīng)考慮角的變換,如何變換角？一定要根據(jù)題目的條件與結(jié)論來變，簡單地說就是“據(jù)果變形”，創(chuàng)造出使用三角公式的條件，以達到求值、化簡和證明的目的.常用的變換角的方法有：
α=(α+β)-β,α+2β=(α+β)+α,
【追蹤訓練】：
1．sinsin=，coscos=，(0,),(0,),求cos()的值。

2．求cos75的值

3．計算：cos65cos115cos25sin115

4計算：cos70cos20+sin110sin20

5．已知銳角,滿足cos=cos(+)=求cos.

6．已知cos()=,求(sin+sin)2+(cos+cos)2的值.

【選修延伸】
例5已知，
是第三象限角，求的值.

例6，
且，
求的值.

【追蹤訓練】：
學生質(zhì)疑
教師釋疑
1．滿足的一組的值是（）
A.B.
C.D.

2．若，則的值為（）
A.0B.1C.D.—1
3．已知cosα=35,α∈（3π2，2π），則cos（α－π3）=。
4．化簡：
=。
5．利用兩角和與差的余弦公式證明下列誘導公式：
（1）
（2）
（3）
（4）