高中向量教案
發(fā)表時(shí)間：2020-10-13平面向量應(yīng)用舉例。
2.5平面向量應(yīng)用舉例
課前預(yù)習(xí)學(xué)案
一、預(yù)習(xí)目標(biāo)
預(yù)習(xí)《平面向量應(yīng)用舉例》，體會(huì)向量是一種處理幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題等的工具，建立實(shí)際問(wèn)題與向量的聯(lián)系。
二、預(yù)習(xí)內(nèi)容
閱讀課本內(nèi)容，整理例題，結(jié)合向量的運(yùn)算，解決實(shí)際的幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題。另外，在思考一下幾個(gè)問(wèn)題：
1.例1如果不用向量的方法，還有其他證明方法嗎？
2.利用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”是什么？
3．例3中，⑴為何值時(shí)，|F1|最小，最小值是多少？
⑵|F1|能等于|G|嗎？為什么？
三、提出疑惑
同學(xué)們，通過(guò)你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中
疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容
課內(nèi)探究學(xué)案
一、學(xué)習(xí)內(nèi)容
1.運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)（向量加減法與向量數(shù)量積的運(yùn)算法則等）解決平面幾何和解析
幾何中直線或線段的平行、垂直、相等、夾角和距離等問(wèn)題.
2.運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的物理問(wèn)題.
二、學(xué)習(xí)過(guò)程
探究一：（１）向量運(yùn)算與幾何中的結(jié)論＂若，則，且所在直線平行或重合＂相類(lèi)比，你有什么體會(huì)？
（２）舉出幾個(gè)具有線性運(yùn)算的幾何實(shí)例．
例1．證明：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和．
已知：平行四邊形ABCD．
求證：．
試用幾何方法解決這個(gè)問(wèn)題
利用向量的方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”？
（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，
（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，
（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。
變式訓(xùn)練：中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，BF與CD交于點(diǎn)O，設(shè)
（1）證明A、O、E三點(diǎn)共線；
（2）用表示向量。
例2，如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的
中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？
探究二：兩個(gè)人提一個(gè)旅行包,夾角越大越費(fèi)力.在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng),兩臂夾角越小越省力.這些力的問(wèn)題是怎么回事？
例3．在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上作引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力．你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？
請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合剛才這個(gè)問(wèn)題，思考下面的問(wèn)題：
⑴為何值時(shí)，|F1|最小，最小值是多少？
⑵|F1|能等于|G|嗎？為什么？
例4如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度m，一艘船從A處出發(fā)到河對(duì)岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，問(wèn)行駛航程最短時(shí)，所用的時(shí)間是多少(精確到0.1min)？
變式訓(xùn)練：兩個(gè)粒子A、B從同一源發(fā)射出來(lái)，在某一時(shí)刻，它們的位移分別為
，（1）寫(xiě)出此時(shí)粒子B相對(duì)粒子A的位移s;(2)計(jì)算s在方向上的投影。
三、反思總結(jié)
結(jié)合圖形特點(diǎn)，選定正交基底，用坐標(biāo)表示向量進(jìn)行運(yùn)算解決幾何問(wèn)題，體現(xiàn)幾何問(wèn)題
代數(shù)化的特點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)的淋漓盡致。向量作為橋梁工具使得運(yùn)算簡(jiǎn)練標(biāo)致，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美。有關(guān)長(zhǎng)方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等問(wèn)題常用此法。
本節(jié)主要研究了用向量知識(shí)解決平面幾何問(wèn)題和物理問(wèn)題；掌握向量法和坐標(biāo)法，以及用向量解決實(shí)際問(wèn)題的步驟。
四、當(dāng)堂檢測(cè)
1.已知，求邊長(zhǎng)c。
2.在平行四邊形ABCD中，已知AD=1，AB=2，對(duì)角線BD=2，求對(duì)角線AC的長(zhǎng)。
3.在平面上的三個(gè)力作用于一點(diǎn)且處于平衡狀態(tài)，的夾角為，求：（1）的大??；（2）與夾角的大小。
課后練習(xí)與提高
一、選擇題
1.給出下面四個(gè)結(jié)論：
①若線段AC=AB+BC，則向量；
②若向量，則線段AC=AB+BC；
③若向量與共線，則線段AC=AB+BC;
④若向量與反向共線，則.
其中正確的結(jié)論有（）
A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)
2.河水的流速為2，一艘小船想以垂直于河岸方向10的速度駛向?qū)Π叮瑒t小
船的靜止速度大小為（）
A.10B.C.D.12
3.在中，若=0，則為(）
A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.無(wú)法確定
二、填空題
4.已知兩邊的向量，則BC邊上的中線向量用、表示為
5.已知，則、、兩兩夾角是
課后練習(xí)答案
1.B2.B3.C4.
擴(kuò)展閱讀
平面向量的綜合應(yīng)用
作為杰出的教學(xué)工作者，能夠保證教課的順利開(kāi)展，高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以保證學(xué)生們?cè)谏险n時(shí)能夠更好的聽(tīng)課，幫助高中教師有計(jì)劃有步驟有質(zhì)量的完成教學(xué)任務(wù)。所以你在寫(xiě)高中教案時(shí)要注意些什么呢？考慮到您的需要，小編特地編輯了“平面向量的綜合應(yīng)用”，大家不妨來(lái)參考。希望您能喜歡！
向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來(lái)的，反過(guò)來(lái)，向量的理論和方法，又成為解決物理學(xué)和工程技術(shù)的重要工具，向量之所以有用，關(guān)鍵是它具有一套良好的運(yùn)算性質(zhì)。注重基本概念和基本運(yùn)算的教學(xué)，對(duì)概念要理解深刻到位，運(yùn)算要準(zhǔn)確，尤其是向量互相垂直、平行的充要條件和平面向量基本定理（包括坐標(biāo)運(yùn)算），應(yīng)當(dāng)達(dá)到運(yùn)用自如、熟練掌握的程度；其次教學(xué)中應(yīng)把向量與其他知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行整合，將幾何問(wèn)題、函數(shù)問(wèn)題、三角問(wèn)題、以后學(xué)到的解析幾何問(wèn)題等轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，特別是坐標(biāo)形式的向量運(yùn)算問(wèn)題，充分揭示數(shù)學(xué)中化歸思想的深刻含義，同時(shí)也顯示出向量的巨大威力。由于向量具有兩個(gè)明顯特點(diǎn)--"形"的特點(diǎn)和"數(shù)"的特點(diǎn)，這就使得向量成了數(shù)形結(jié)合的橋梁，向量的坐標(biāo)實(shí)際是把點(diǎn)與數(shù)聯(lián)系了起來(lái)，進(jìn)而可把曲線與方程聯(lián)系起來(lái)，這樣就可用代數(shù)方程研究幾何問(wèn)題，同時(shí)也可以用幾何的觀點(diǎn)處理某些代數(shù)問(wèn)題；加強(qiáng)向量在數(shù)學(xué)知識(shí)中的應(yīng)用 ，注意突出向量的工具性；因此這部分知識(shí)還滲透了數(shù)形結(jié)合的解析幾何思想。
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課時(shí)12平面向量的應(yīng)用
一位優(yōu)秀的教師不打無(wú)準(zhǔn)備之仗，會(huì)提前做好準(zhǔn)備，作為高中教師就需要提前準(zhǔn)備好適合自己的教案。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動(dòng)起來(lái)，幫助高中教師有計(jì)劃有步驟有質(zhì)量的完成教學(xué)任務(wù)。我們要如何寫(xiě)好一份值得稱(chēng)贊的高中教案呢？下面是小編精心為您整理的“課時(shí)12平面向量的應(yīng)用”，歡迎您參考，希望對(duì)您有所助益！
課時(shí)12平面向量的應(yīng)用
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1．經(jīng)歷用向量的方法解決某些簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)向量是某一種數(shù)學(xué)工具。
2．發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力
二、重點(diǎn)與難點(diǎn)：
1．利用向量數(shù)量積的相關(guān)知識(shí)解決平面幾何、物理學(xué)中的垂直、夾角、模長(zhǎng)和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)等相關(guān)問(wèn)題。
2．用向量的共線定理解決三點(diǎn)共線、動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題。
3．提高學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)和方法的遷移（轉(zhuǎn)化）能力。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練：
1、已知向量，若點(diǎn)C在函數(shù)的圖象上，實(shí)數(shù)的值為
2、平面向量=（x，y），=（x2，y2），=（1，1），=（2，2），若==1，則這樣的向量有
3、如果向量與的夾角為，那么我們稱(chēng)為向量與的“向量積”，是一個(gè)向量，它的長(zhǎng)度為，如果，則的值為
4．在平行四邊形ABCD中，,則=______________
5．設(shè)中，，且，判斷的形狀。
6、=(cosθ，－sinθ)，=（－2－sinθ，－2+cosθ），其中θ∈[0，π2]，則||的最大值為
7、有兩個(gè)向量，，今有動(dòng)點(diǎn)，從開(kāi)始沿著與向量相同的方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為；另一動(dòng)點(diǎn)，從開(kāi)始沿著與向量相同的方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為．設(shè)、在時(shí)刻秒時(shí)分別在、處，則當(dāng)時(shí)，秒．
四、例題研究
例1．已知向量滿足條件，且，求證是正三角形。
例2、已知，.求證：
思考：能否畫(huà)一個(gè)幾何圖形來(lái)解釋例2
變題：用向量方法證明梯形中位線定理。
例3、已知在△ABC中BC，CA，AB的長(zhǎng)分別為a，b，c，試用向量方法證明：
（1）（2）
五、課后作業(yè)：
1．設(shè)=（1，3），A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，3）、（2，0），則與的大小關(guān)系為
2．當(dāng)|a|＝|b|≠0且a、b不共線時(shí)，a＋b與a－b的關(guān)系是
3．下面有五個(gè)命題，①單位向量都相等；②長(zhǎng)度不等且方向相反的兩個(gè)向量不一定是共線向量；③若a，b滿足|a|＞|b|且a與b同向，則a＞b；④由于零向量方向不確定，故0不能與任何向量平行；⑤對(duì)于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|。其中正確的命題序號(hào)為
4．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，＝a，＝b，＝c，則a＋b＋c的模等于
5．下面有五個(gè)命題，①|(zhì)a|2＝a2；②；③（ab）2＝a2b2；④（a－b）2＝a2－2ab＋b2；⑤若ab＝0，則a＝0或b＝0其中正確命題的序號(hào)是
6．已知m，n是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，則a＝2m＋n和b＝－3m＋2n的夾角是
7．如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量，其中的夾角是120°，的夾角為30°，，若，
則=。
8．已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC邊上的高為AD，求點(diǎn)D和向量AD的坐標(biāo).
9．設(shè)i，j是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)x軸，y軸正方向上的兩個(gè)單位向量，且＝4i＋2j，＝3i＋4j，證明△ABC是直角三角形，并求它的面積.
10．已知△ABC頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為A（3，4），B（0，0）C（c，0）
（1）若c=5，求sinA的值;（2）若A為鈍角，求c的取值范圍。
11．已知向量，，
（1）向量、是否共線？并說(shuō)明理由;（2）求函數(shù)的最大值
12．在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量又點(diǎn)A（8，0），，（1）若，且，求向量；
（2）向量與共線，當(dāng)，且取最大值4，求
問(wèn)題統(tǒng)計(jì)與分析
平面向量
俗話說(shuō)，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師工作中的一部分。教案可以讓學(xué)生們充分體會(huì)到學(xué)習(xí)的快樂(lè)，減輕高中教師們?cè)诮虒W(xué)時(shí)的教學(xué)壓力。您知道高中教案應(yīng)該要怎么下筆嗎？下面是小編精心為您整理的“平面向量”，僅供您在工作和學(xué)習(xí)中參考。
第七教時(shí)教材：5.3實(shí)數(shù)與向量的積綜合練習(xí)
目的：通過(guò)練習(xí)使學(xué)生對(duì)實(shí)數(shù)與積，兩個(gè)向量共線的充要條件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用來(lái)解決一些簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題。
過(guò)程：一、復(fù)習(xí)：1．實(shí)數(shù)與向量的積(強(qiáng)調(diào)：“?！迸c“方向”兩點(diǎn))
2．三個(gè)運(yùn)算定律（結(jié)合律，第一分配律，第二分配律）
3．向量共線的充要條件
4．平面向量的基本定理（定理的本身及其實(shí)質(zhì)）
1．當(dāng)λZ時(shí)，驗(yàn)證：λ(+)=λ+λ
證：當(dāng)λ=0時(shí)，左邊=0(+)=右邊=0+0=分配律成立
當(dāng)λ為正整數(shù)時(shí)，令λ=n,則有：
n(+)=(+)+(+)+…+(+)
=++…+++++…+=n+n
即λ為正整數(shù)時(shí)，分配律成立
當(dāng)為負(fù)整數(shù)時(shí)，令λ=n（n為正整數(shù)），有
n(+)=n[(+)]=n[()+()]=n()+n()=n+(n)=nn
分配律仍成立
綜上所述，當(dāng)λ為整數(shù)時(shí)，λ(+)=λ+λ恒成立。
2．如圖，在△ABC中，=,=AD為邊BC的中線，G為△ABC的重心，求向量
解一：∵=,=則==
∴=+=+而=
∴=+
解二：過(guò)G作BC的平行線，交AB、AC于E、F
∵△AEF∽△ABC
====
==
∴=+=+
3．在ABCD中，設(shè)對(duì)角線=，=試用,表示，
解一：====
∴=+==
=+=+=+
解二：設(shè)=，=
則+=+=∴=()
===(+)
即：=()=(+)
4．設(shè),是兩個(gè)不共線向量，已知=2+k,=+3,=2,若三點(diǎn)A,B,D共線，求k的值。
解：==(2)(+3)=4
∵A,B,D共線∴,共線∴存在λ使=λ
即2+k=λ(4)∴∴k=8
5．如圖，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M,N分別是DC,AB中點(diǎn)，設(shè)=,=，試以,為基底表示,,
解：==連ND則DC╩ND
∴===
又：==
∴===
=(+)=
6．1kg的重物在兩根細(xì)繩的支持下，處于平衡狀態(tài)（如圖），已知兩細(xì)繩與水平線分別成30,60角，問(wèn)兩細(xì)繩各受到多大的力？
解：將重力在兩根細(xì)繩方向上分解，兩細(xì)繩間夾角為90
=1(kg)P1OP=60P2OP=30
∴=cos60=1=0.5(kg)
=cos30=1=0.87(kg)
即兩根細(xì)繩上承受的拉力分別為0.5kg和0.87kg
平面向量教案
二、復(fù)習(xí)要求
1、向量的概念;
2、向量的線性運(yùn)算:即向量的加減法,實(shí)數(shù)與向量的乘積,兩個(gè)向量的數(shù)量積等的定義,運(yùn)算律;
3、向量運(yùn)算的運(yùn)用
三、學(xué)習(xí)指導(dǎo)
1、向量是數(shù)形結(jié)合的典范。向量的幾何表示法--有向線段表示法是運(yùn)用幾何性質(zhì)解決向量問(wèn)題的基礎(chǔ)。在向量的運(yùn)算過(guò)程中,借助于圖形性質(zhì)不僅可以給抽象運(yùn)算以直觀解釋,有時(shí)甚至更簡(jiǎn)捷。
向量運(yùn)算中的基本圖形:①向量加減法則:三角形或平行四邊形;②實(shí)數(shù)與向量乘積的幾何意義--共線;③定比分點(diǎn)基本圖形--起點(diǎn)相同的三個(gè)向量終點(diǎn)共線等。
2、向量的三種線性運(yùn)算及運(yùn)算的三種形式。
向量的加減法,實(shí)數(shù)與向量的乘積,兩個(gè)向量的數(shù)量積都稱(chēng)為向量的線性運(yùn)算,前兩者的結(jié)果是向量,兩個(gè)向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量。每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式:圖形、符號(hào)、坐標(biāo)語(yǔ)言。
主要內(nèi)容列表如下:
運(yùn)算圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言坐標(biāo)語(yǔ)言
加法與減法
=
-=
記=(x1,y1),=(x1,y2)
則=(x1x2,y1y2)
-=(x2-x1,y2-y1)=
實(shí)數(shù)與向量
的乘積
=λ
λ∈R記=(x,y)
則λ=(λx,λy)兩個(gè)向量
的數(shù)量積
·=||||
cos,
記=(x1,y1),=(x2,y2)
則·=x1x2y1y2
3、運(yùn)算律
加法:=,()=()
實(shí)數(shù)與向量的乘積:λ()=λλ;(λμ)=λμ,λ(μ)=
(λμ)
兩個(gè)向量的數(shù)量積:·=·;(λ)·=·(λ)=λ(·),()·=··
說(shuō)明:根據(jù)向量運(yùn)算律可知,兩個(gè)向量之間的線性運(yùn)算滿足實(shí)數(shù)多項(xiàng)式乘積的運(yùn)算法則,正確遷移實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以簡(jiǎn)化向量的運(yùn)算,例如(±)2=
4、重要定理、公式
(1)平面向量基本定理;如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于該平面內(nèi)任一向量,有且只有一對(duì)數(shù)數(shù)λ1,λ2,滿足=λ1λ2,稱(chēng)λ1λλ2為,的線性組合。
根據(jù)平面向量基本定理,任一向量與有序數(shù)對(duì)(λ1,λ2)一一對(duì)應(yīng),稱(chēng)(λ1,λ2)為在基底{,}下的坐標(biāo),當(dāng)取{,}為單位正交基底{,}時(shí)定義(λ1,λ2)為向量的平面直角坐標(biāo)。
向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系:當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí),定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo),即若A(x,y),則=(x,y);當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí),向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo),即若A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1)
(2)兩個(gè)向量平行的充要條件
符號(hào)語(yǔ)言:若∥,≠,則=λ
坐標(biāo)語(yǔ)言為:設(shè)=(x1,y1),=(x2,y2),則∥(x1,y1)=λ(x2,y2),即,或x1y2-x2y1=0
在這里,實(shí)數(shù)λ是唯一存在的,當(dāng)與同向時(shí),λ0;當(dāng)與異向時(shí),λ0。
|λ|=,λ的大小由及的大小確定。因此,當(dāng),確定時(shí),λ的符號(hào)與大小就確定了。這就是實(shí)數(shù)乘向量中λ的幾何意義。
(3)兩個(gè)向量垂直的充要條件
符號(hào)語(yǔ)言:⊥·=0
坐標(biāo)語(yǔ)言:設(shè)=(x1,y1),=(x2,y2),則⊥x1x2y1y2=0
(4)線段定比分點(diǎn)公式
如圖,設(shè)
則定比分點(diǎn)向量式:
定比分點(diǎn)坐標(biāo)式:設(shè)P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)
則
特例:當(dāng)λ=1時(shí),就得到中點(diǎn)公式:
,
實(shí)際上,對(duì)于起點(diǎn)相同,終點(diǎn)共線三個(gè)向量,,(O與P1P2不共線),總有=uv,uv=1,即總可以用其中兩個(gè)向量的線性組合表示第三個(gè)向量,且系數(shù)和為1。
(5)平移公式:
①點(diǎn)平移公式,如果點(diǎn)P(x,y)按=(h,k)平移至P(x,y),則
分別稱(chēng)(x,y),(x,y)為舊、新坐標(biāo),為平移法則
在點(diǎn)P新、舊坐標(biāo)及平移法則三組坐標(biāo)中,已知兩組坐標(biāo),一定可以求第三組坐標(biāo)
②圖形平移:設(shè)曲線C:y=f(x)按=(h,k)平移,則平移后曲線C對(duì)應(yīng)的解析式為y-k=f(x-h)
當(dāng)h,k中有一個(gè)為零時(shí),就是前面已經(jīng)研究過(guò)的左右及上下移
利用平移變換可以化簡(jiǎn)函數(shù)解析式,從而便于研究曲線的幾何性質(zhì)
(6)正弦定理,余弦定理
正弦定理:
余弦定理:a2=b2c2-2cbcosA
b2=c2a2-2cacosB
c2=a2b2-2abcosc
定理變形:cosA=,cosB=,cosC=
正弦定理及余弦定理是解決三角形的重要而又基本的工具。通過(guò)閱讀課本,理解用向量法推導(dǎo)正、余弦定理的重要思想方法。
5、向量既是重要的數(shù)學(xué)概念,也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直,線線平行,求夾角等,特別是直角坐標(biāo)系的引入,體現(xiàn)了向量解決問(wèn)題的程序性特點(diǎn)。
四、典型例題
例1、如圖,,為單位向量,與夾角為1200,與的夾角為450,||=5,用,表示。
分析:
以,為鄰邊,為對(duì)角線構(gòu)造平行四邊形
把向量在,方向上進(jìn)行分解,如圖,設(shè)=λ,=μ,λ0,μ0
則=λμ
∵||=||=1
∴λ=||,μ=||
△OEC中,∠E=600,∠OCE=750,由得:
∴
∴
說(shuō)明:用若干個(gè)向量的線性組合表示一個(gè)向量,是向量中的基本而又重要的問(wèn)題,通常通過(guò)構(gòu)造平行四邊形來(lái)處理
例2、已知△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC邊上的高為AD,求點(diǎn)D和向量坐標(biāo)。
分析:
用解方程組思想
設(shè)D(x,y),則=(x-2,y1)
∵=(-6,-3),·=0
∴-6(x-2)-3(y1)=0,即2xy-3=0①
∵=(x-3,y-2),∥
∴-6(y-2)=-3(x-3),即x-2y1=0②
由①②得:
∴D(1,1),=(-1,2)
例3、求與向量=,-1)和=(1,)夾角相等,且模為的向量的坐標(biāo)。
分析:
用解方程組思想
法一:設(shè)=(x,y),則·=x-y,·=xy
∵,=,
∴
(2)若∠PED=450,求證:P、D、C、E四點(diǎn)共圓。
分析:
利用坐標(biāo)系可以確定點(diǎn)P位置
如圖,建立平面直角坐標(biāo)系
則C(2,0),D(2,3),E(1,0)
設(shè)P(0,y)
∴=(1,3),=(-1,y)
∴
·=3y-1
代入cos450=
解之得(舍),或y=2
∴點(diǎn)P為靠近點(diǎn)A的AB三等分處
(3)當(dāng)∠PED=450時(shí),由(1)知P(0,2)
∴=(2,1),=(-1,2)
∴·=0
∴∠DPE=900
又∠DCE=900
∴D、P、E、C四點(diǎn)共圓
說(shuō)明:利用向量處理幾何問(wèn)題一步要驟為:①建立平面直角坐標(biāo)系;②設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo);③求出有關(guān)向量的坐標(biāo);④利用向量的運(yùn)算計(jì)算結(jié)果;⑤得到結(jié)論。
同步練習(xí)
(一)選擇題
1、平面內(nèi)三點(diǎn)A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),若∥,則x的值為:
A、-5B、-1C、1D、5
2、平面上A(-2,1),B(1,4),D(4,-3),C點(diǎn)滿足,連DC并延長(zhǎng)至E,使||=||,則點(diǎn)E坐標(biāo)為:
A、(-8,)B、()C、(0,1)D、(0,1)或(2,)
2、點(diǎn)(2,-1)沿向量平移到(-2,1),則點(diǎn)(-2,1)沿平移到:
3、A、(2,-1)B、(-2,1)C、(6,-3)D、(-6,3)
4、△ABC中,2cosB·sinC=sinA,則此三角形是:
A、直角三角形B、等腰三角形C、等邊三角形D、以上均有可能
5、設(shè),,是任意的非零平面向量,且相互不共線,則:
①(·)-(·)=0
②||-|||-|
③(·)-(·)不與垂直
④(32)·(3-2)=9||2-4|2中,
真命題是:
A、①②B、②③C、③④D、②④
6、△ABC中,若a4b4c4=2c2(a2b2),則∠C度數(shù)是:
A、600B、450或1350C、1200D、300
7、△OAB中,=,=,=,若=,t∈R,則點(diǎn)P在
A、∠AOB平分線所在直線上B、線段AB中垂線上
C、AB邊所在直線上D、AB邊的中線上
8、正方形PQRS對(duì)角線交點(diǎn)為M,坐標(biāo)原點(diǎn)O不在正方形內(nèi)部,且=(0,3),=(4,0),則=
A、()B、()C、(7,4)D、()
(二)填空題
9、已知{,|是平面上一個(gè)基底,若=λ,=-2λ-,若,共線,則λ=__________。
10、已知||=,||=1,·=-9,則與的夾角是________。
11、設(shè),是兩個(gè)單位向量,它們夾角為600,
則(2-)·(-32)=____________。
12、把函數(shù)y=cosx圖象沿平移,得到函數(shù)___________的圖象。
(三)解答題
13、設(shè)=(3,1),=(-1,2),⊥,∥,試求滿足=的的坐 14、若=(2,-8),-=(-8,16),求、及與夾角θ的余弦值。
15、已知||=,||=3,和夾角為450,求當(dāng)向量λ與λ夾角為銳角時(shí),λ的取值范圍。
參考答案
(一)1、C2、B3、D4、B5、D6、B7、A8、A
(二)9、10、11、12、y=sinx1
(三)13、(11,6)
14、=(-3,4),=(5,-12),
15、λ,或λ且λ≠
