高中數(shù)列教案

數(shù)列求和。

一名優(yōu)秀的教師在每次教學(xué)前有自己的事先計劃，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以讓學(xué)生能夠聽懂教師所講的內(nèi)容，幫助授課經(jīng)驗少的教師教學(xué)。寫好一份優(yōu)質(zhì)的教案要怎么做呢？小編經(jīng)過搜集和處理，為您提供數(shù)列求和，供大家借鑒和使用，希望大家分享！

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等差數(shù)列求和公式的

俗話說，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。作為教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以更好的幫助學(xué)生們打好基礎(chǔ)，幫助教師更好的完成實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。那么一篇好的教案要怎么才能寫好呢？下面是小編為大家整理的“等差數(shù)列求和公式的”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

問題1：著名數(shù)學(xué)家高斯10歲時，曾解過一道題：1+2+3+…+100=?你們知道怎么解嗎？

問題2：1+2+3+…+n=?

在探求中有學(xué)生問：n是偶數(shù)還是奇數(shù)？教師反問：能否避免奇偶討論呢？并引導(dǎo)學(xué)生從問題1感悟問題的實質(zhì)：大小搭配，以求平衡

設(shè)=1+2+3+…+n,又有=+++…+1

=+++…+，得=

問題3：等差數(shù)列=？

學(xué)生容易從問題2中獲得方法（倒序相加法）。但遇到===…=呢？利用等差數(shù)列的定義容易理解這層等量關(guān)系，進(jìn)一步的推廣可得重要結(jié)論：m+n=p+q

問題4：還有新的方法嗎？

（引導(dǎo)學(xué)生利用問題2的結(jié)論），經(jīng)過討論有學(xué)生有解法：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則=+（）+（）+…+[]

==（這里應(yīng)用了問題2的結(jié)論）

問題5：==？

學(xué)生容易從問題4中得到聯(lián)想：==。顯然，這又是一個等差數(shù)列的求和公式。

等差數(shù)列的求和對初學(xué)數(shù)列求和的離學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展水平較遠(yuǎn)，教師通過“弱化”的問題1和問題2將問題轉(zhuǎn)化到學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，由于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)是不斷變化的，學(xué)生解決了問題2，就說明學(xué)生的潛在的發(fā)展水平已經(jīng)轉(zhuǎn)化為其新的現(xiàn)有發(fā)展水平，在新的現(xiàn)有發(fā)展水平基礎(chǔ)上教師提出了問題3，學(xué)生解決了問題3，他們潛在的發(fā)展水平已經(jīng)轉(zhuǎn)化為其新的現(xiàn)有發(fā)展水平，在此基礎(chǔ)上教師提出了問題4，這個案例的設(shè)計體現(xiàn)教師搭“腳手架”的作用不可低估,教師自始至終都應(yīng)堅持“道而弗牽,強而弗抑,開而弗達(dá)”(《禮記·學(xué)記》),誘導(dǎo)學(xué)生自己探究數(shù)學(xué)結(jié)論,處理好“放”與“扶”的關(guān)系。

2012屆高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)：數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學(xué)生的理解性，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師的任務(wù)之一。教案可以讓學(xué)生更好地進(jìn)入課堂環(huán)境中來，讓教師能夠快速的解決各種教學(xué)問題。關(guān)于好的教案要怎么樣去寫呢？下面是小編為大家整理的“2012屆高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)：數(shù)列求和及綜合應(yīng)用”，相信能對大家有所幫助。

專題三：數(shù)列
第二講數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

【最新考綱透析】
1．了解數(shù)列求和的基本方法。
2．能在具體問題情景中識別數(shù)列的等差、等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)問題。
3．了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。

【核心要點突破】
要點考向1：可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的求和問題

考情聚焦：1．可轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和問題，已經(jīng)成為高考考查的重點內(nèi)容之一。
2．該類問題出題背景選擇面廣，易與函數(shù)方程、遞推數(shù)列等知識綜合，在知識交匯點處命題。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)，屬于中、高檔題目。
考向鏈接：某些遞推數(shù)列可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列解決，其轉(zhuǎn)化途徑有：
1．湊配、消項變換——如將遞推公式（q、d為常數(shù)，q≠0，≠1）。通過湊配變成；或消常數(shù)轉(zhuǎn)化為
2．倒數(shù)變換—如將遞推公式（c、d為非零常數(shù)）取倒數(shù)得
3．對數(shù)變換——如將遞推公式取對數(shù)得
4．換元變換——如將遞推公式（q、d為非零常數(shù)，q≠1，d≠1）變換成，令，則轉(zhuǎn)化為的形式。
例1：（2010福建高考文科Ｔ１7）數(shù)列{}中＝，前n項和滿足-＝（n）.
(I)求數(shù)列{}的通項公式以及前n項和；
（II）若S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差數(shù)列，求實數(shù)t的值。
【命題立意】本題考查數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想。
【思路點撥】第一步先求的通項，可知為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項和求解出；第二步利用等差中項列出方程求出t
【規(guī)范解答】(I)由得，又，故，從而
（II）由(I)從而由S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差數(shù)列可得解得。
【方法技巧】要求數(shù)列通項公式，由題目提供的是一個遞推公式，如何通過遞推公式來求數(shù)列的通項。題目要求的是項的問題，這就涉及有關(guān)“項”與“和”如何轉(zhuǎn)化的問題。一般地，含有的遞推關(guān)系式，一般利用化“和”為“項”。
要點考向2：錯位相減法求和
考情聚焦：1．錯位相減法求和，是高中數(shù)學(xué)中重要的數(shù)列求和方法，是近年來高考的重點考查內(nèi)容。
2．該類問題背景選擇面廣，可與等差、等比數(shù)列、函數(shù)、不等式等知識綜合，在知識交匯點處命題。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)，屬于中、高檔題。
考向鏈接：幾種求通項及求和方法
（1）已知，求可用疊加法，即
（2）已知，求可用疊乘法，即
（3）設(shè){}為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項和可用錯位相減法。
例2：（2010海南寧夏高考理科T17）設(shè)數(shù)列滿足，
（Ⅰ)求數(shù)列的通項公式：
（Ⅱ）令，求數(shù)列的前n項和.
【命題立意】本題主要考查了數(shù)列通項公式以及前項和的求法，解決本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察形式，找到規(guī)律，利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題.
【思路點撥】由給出的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的通項公式，在求數(shù)列的前n項和.
【規(guī)范解答】（Ⅰ)由已知，當(dāng)時，
而，滿足上述公式，
所以的通項公式為.
（Ⅱ）由可知，
①
從而②
①②得
即
【方法技巧】利用累加法求數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法求數(shù)列的和.
要點考向3：裂項相消法求和
考情聚焦：1．裂項相消求和是高中數(shù)學(xué)中的一個重要的數(shù)列求和方法，是近年來高考的重點考查內(nèi)容。
2．該類問題背景選擇面廣，可與等差、等比數(shù)列、函數(shù)、不等式等知識綜合，在知識交匯點處命題。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)，屬中、高檔題目。
考向鏈接：裂項求和的幾種常見類型
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）若是公差為d的等差數(shù)列，則
；
（6）；
（7）
（8）。
例3：（2010山東高考理科Ｔ18）已知等差數(shù)列滿足：，，的前n項和為．
（1）求及；
（2）令(nN*)，求數(shù)列的前n項和．
【命題立意】本題考查等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的應(yīng)用、裂項法求數(shù)列的和,考查了考生的邏輯推理、等價變形和運算求解能力.
【思路點撥】(1)設(shè)出首項和公差，根據(jù)已知條件構(gòu)造方程組可求出首項和公差，進(jìn)而求出求及；(2)由(1)求出的通項公式，再根據(jù)通項的特點選擇求和的方法.
【規(guī)范解答】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為，，所以有
，解得，
所以；==.
（2）由（1）知，所以bn===，
所以==，
即數(shù)列的前n項和=.
【方法技巧】數(shù)列求和的常用方法：
1、直接由等差、等比數(shù)列的求和公式求和，注意對公比的討論.
2、錯位相減法：主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.
3、分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項分成兩項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.
4、裂項相消法：主要用于通項為分式的形式，通項拆成兩項之差求和，正負(fù)項相消剩下首尾若干項，注意一般情況下剩下正負(fù)項個數(shù)相同.
5、倒序相加法：把數(shù)列正著寫和倒著寫相加(即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣).
要點考向4：與不等式有關(guān)的數(shù)列問題
考情聚焦：1．?dāng)?shù)列綜合問題，特別是數(shù)列與不等式的綜合問題是高考中經(jīng)?？疾榈闹匾獌?nèi)容。
2．該類問題可與函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式、導(dǎo)數(shù)函數(shù)等知識交匯，綜合命題。
3．多以解答題的形式出現(xiàn)，屬高檔題。
例4：（2010天津高考文科Ｔ22）在數(shù)列中，=0，且對任意k，成等差數(shù)列，其公差為2k.
（Ⅰ）證明成等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式；
（Ⅲ）記，證明.
【命題立意】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及前n項和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法．
【思路點撥】（Ⅰ）（Ⅱ）應(yīng)用定義法證明、求解；（Ⅲ）對n分奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論．
【規(guī)范解答】（I）由題設(shè)可知，，，，，。從而，所以，，成等比數(shù)列．
（II）由題設(shè)可得
所以
.
由，得，從而.
所以數(shù)列的通項公式為或?qū)憺?，?br> （III）由（II）可知，，
以下分兩種情況進(jìn)行討論：
當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n=2m
若，則，
若，則
.
所以，從而
（２）當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)．
所以，從而
綜合（1）和（2）可知，對任意有

【高考真題探究】
1．（2010天津高考理科Ｔ6）已知是首項為1的等比數(shù)列，是的前n項和，且，則數(shù)列的前5項和為()
（A）或5（B）或5（C）（D）
【命題立意】考查等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式．
【思路點撥】求出數(shù)列的通項公式是關(guān)鍵．
【規(guī)范解答】選C．設(shè)，則，
即，，．
2．（2010天津高考文科Ｔ１5）設(shè){an}是等比數(shù)列，公比，Sn為{an}的前n項和．
記設(shè)為數(shù)列{}的最大項，則=．
【命題立意】考查等比數(shù)列的通項公式、前n項和、均值不等式等基礎(chǔ)知識．
【思路點撥】化簡利用均值不等式求最值．
【規(guī)范解答】
∴
∵當(dāng)且僅當(dāng)即，所以當(dāng)n=4，即時，最大．
【答案】4.
3．（2010安徽高考理科Ｔ20）設(shè)數(shù)列中的每一項都不為0．
證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何，都有
．
【命題立意】本題主要考查等差數(shù)列與充要條件等知識，考查考生推理論證，運算求解能力．
【思路點撥】證明可分為兩步，先證明必要性，適宜采用列項相消法，再證明充分性，可采用數(shù)學(xué)歸納法或綜合法．
【規(guī)范解答】已知數(shù)列中的每一項都不為0，
先證
若數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，
當(dāng)時，有，
即對任何，有成立；
當(dāng)時，顯然也成立．
再證
對任意，有①，
②，
由②-①得：-
上式兩端同乘，得③，
同理可得④，
由③-④得：，所以為等差數(shù)列
【方法技巧】
1、在進(jìn)行數(shù)列求和問題時，要善于觀察關(guān)系式特點，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危绶纸M、裂項等，轉(zhuǎn)化為常見的類型進(jìn)行求和；
2、對數(shù)列中的含n的式子，注意可以把式子中的n換為或得到相關(guān)的式子，再進(jìn)行化簡變形處理；也可以把n取自然數(shù)中的具體的數(shù)1，2，3…等，得到一些等式歸納證明.
4．（2010安徽高考文科Ｔ21）設(shè)是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在軸的正半軸上，且都與直線相切，對每一個正整數(shù),圓都與圓相互外切，以表示的半徑，已知為遞增數(shù)列.
(1)證明：為等比數(shù)列；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.

【命題立意】本題主要考查等比數(shù)列的基本知識，利用錯位相減法求和等基本方法，考察考生的抽象概括能力以及推理論證能力．
【思路點撥】（1）求直線傾斜角的正弦，設(shè)的圓心為，得，同理得，結(jié)合兩圓相切得圓心距與半徑間的關(guān)系，得兩圓半徑之間的關(guān)系，即中與的關(guān)系，可證明為等比數(shù)列；
（2）利用（1）的結(jié)論求的通項公式，代入數(shù)列，然后采用錯位相減法求和.
【規(guī)范解答】
．
【方法技巧】
1、對數(shù)列中的含n的式子，注意可以把式子中的n換為或得到相關(guān)的式子，再進(jìn)行化簡變形處理；
2、在進(jìn)行數(shù)列求和問題時，要善于觀察關(guān)系式特點，進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚?，如分組、列項相消、錯位相減等，轉(zhuǎn)化為常見的類型進(jìn)行求和．
5．（2010江蘇高考Ｔ１9）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式（用表示）；
（2）設(shè)為實數(shù)，對滿足的任意正整數(shù)，不等式都成立。求證：的最大值為．
【命題立意】本題主要考查等差數(shù)列的通項、求和、基本不等式以及不等式的恒成立問題等有關(guān)知識，考查探索、分析及論證的能力．
【思路點撥】（1）先求，然后利用的關(guān)系求解；（2）利用（1）中所求利用基本不等式解決．
【規(guī)范解答】（1）由題意知：，
，
化簡，得：
，
當(dāng)時，，適合情形．
故所求．
（2）（方法一）
，恒成立．
又，，
故，即的最大值為．
（方法二）由及，得，．
于是，對滿足題設(shè)的，，有
．
所以的最大值．
另一方面，任取實數(shù)．設(shè)為偶數(shù)，令，則符合條件，且．
于是，只要，即當(dāng)時，．
所以滿足條件的，從而．
因此的最大值為．
6．（2010重慶高考理科Ｔ21）在數(shù)列中，=1，，其中實數(shù)。
（1）求的通項公式；
（2）若對一切有，求的取值范圍。
【命題立意】本小題考查歸納、猜想解題，考查數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用，考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查分類討論的思想.
【思路點撥】（1）先求出數(shù)列的前幾項，歸納猜想得出結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）對恒成立問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，
【規(guī)范解答】（1）【方法1】：由，，
，
，猜測（），
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
當(dāng)n=1時，等式成立；
假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，即，則當(dāng)n=k+1時，
綜上可知，對任何都成立.
【方法2】：由原式，
令，則，，因此對有
因此，，。又當(dāng)n=1時上式成立。
因此，，。
（2）【方法1】：由，得
因，所以
解此不等式得：對一切，有或，其中
易知（因為的分子、分母的最高次項都是2，且系數(shù)都是8，所以極限值是）；用放縮法得：
，所以，
因此由對一切成立得；
又，易知單調(diào)遞增，故對一切成立，因此由對一切成立得：
，從而c的取值范圍為.
【方法2】：由，得，
因，所以對恒成立.
記，下分三種情況討論。
（i）當(dāng)即或時，代入驗證可知只有滿足要求
（ii）當(dāng)時，拋物線開口向下，因此當(dāng)正整數(shù)k充分大時，，不符合題意，此時無解。
（iii）當(dāng)，即或時，拋物線開口向上，其對稱軸必在直線的左側(cè)，因此，在上是增函數(shù)。
所以要使對恒成立，只需即可。
由解得或
結(jié)合或得或
綜合以上三種情況，的取值范圍為.
【方法技巧】（1）第（1）問有兩種方法解答：①歸納猜想并用數(shù)學(xué)歸納法證明；②數(shù)列的迭代法（或累加消項法）；（2）第（2）問中對條件“恒成立”進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解或轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)進(jìn)行討論；（3）放縮法的運用

【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題(每小題6分，共36分)
1.已知{an}為等差數(shù)列，若-1,且它的前n項和Sn有最大值，那么使Sn0的n的最大值為()
(A)11(B)20(C)19(D)21
2.已知等比數(shù)列{an}中,a2=1,則其前3項的和S3的取值范圍是()
(A)(-∞，-1］
(B)(-∞,0)∪(1,+∞)
(C)［3,+∞)
(D)(-∞,-1］∪［3,+∞)
3.首項為b,公比為a的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,對任意的n∈N*，點(Sn，Sn+1)在()
(A)直線y=ax+b上
(B)直線y=bx+a上
(C)直線y=bx-a上
(D)直線y=ax-b上
4.在數(shù)列中，若存在非零整數(shù)，使得對于任意的正整數(shù)均成立，那么稱數(shù)列為周期數(shù)列，其中叫做數(shù)列的周期.若數(shù)列滿足，如，當(dāng)數(shù)列的周期最小時，該數(shù)列的前2010項的和是（）
5.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù).比如：
他們研究過圖1中的1,3,6,10,…,由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1，4，9，16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()
(A)289(B)1024(C)1225(D)1378
6.（2010屆安徽省安慶市高三二模（文））已知實數(shù)、滿足：(其中是虛數(shù)單位)，若用表示數(shù)列的前項和，則的最大值是()
A.12B.14C.15D.16
二、填空題（每小題6分，共18分）
7.已知等比數(shù)列滿足，且，則當(dāng)時，
________
8.類比是一個偉大的引路人。我們知道，等差數(shù)列和等比數(shù)列有許多相似的性質(zhì)，請閱讀下表并根據(jù)等差數(shù)列的結(jié)論，類似的得出等比數(shù)列的兩個結(jié)論：，
9.將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖所示的0-1三角數(shù)表，從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，…，第n次全行的數(shù)都為1的是第_______行；第61行中1的個數(shù)是_______.
三、解答題(10、11題每題15分，12題16分，共46分)
10.已知數(shù)列{an}的首項a1=5，前n項和為Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）.
(1)證明數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；
(2)令f(x)=a1x+a2x2+…+anxn，求函數(shù)f(x)在點x=1處的導(dǎo)數(shù)f′(1).
11.已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=6x-2.數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
12.在數(shù)列中，.
（1）求的值；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）求的最大值.

參考答案
一、選擇題
1.【解析】選C.∵等差數(shù)列{an}中，-1且它的前n項和Sn有最大值，∴a100,a110,故a11-a10.
即a11+a100,而a10+a100,
∴使Sn0的n的最大值為19.
2.
3.
4.D
5.【解析】選C.從圖中觀察知
圖1中an=1+2+…+n=
圖2中bn=n2,
顯然1225在an中n=49,
在bn中n=35.
6.D
二、填空題
7.
8.，
9.【解析】①第1次全行的數(shù)都是1的是第1行，
第2次全行的數(shù)都是1的是第3行，
第3次全行的數(shù)都是1的是第7行，
……
第n次全行的數(shù)都是1的是第2n-1行，
②由上面結(jié)論知第63行有64個1，
則1100……0011……61行
1010……101……62行
1111……11……63行
從上面幾行可知第61行數(shù)的特點是兩個1兩個0交替出現(xiàn)，最后兩個為1，
∴在第61行的62個數(shù)中有32個1.
答案：2n-132
三、解答題
10.【解析】（1）由已知Sn+1=2Sn+n+5,
∴n≥2時，Sn=2Sn-1+n+4，
兩式相減，得Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1，
即an+1=2an+1.
從而an+1+1=2(an+1).
當(dāng)n=1時，S2=2S1+1+5,
∴a1+a2=2a1+6,
又a1=5,∴a2=11,
∴a2+1=2(a1+1)，故總有an+1+1=2(an+1),n∈N*.
又∵a1=5,∴an+1≠0，
即{an+1}是以a1+1=6為首項，2為公比的等比數(shù)列.
（2）由(1)知an=3×2n-1.
∵f(x)=a1x+a2x2+…+anxn,
∴f′(x)=a1+2a2x+…+nanxn-1.
11.【解析】(1)依題意可設(shè)f(x)=ax2+bx(a≠0)，
則f′(x)=2ax+b.
由f′(x)=6x-2得a=3,b=-2,
所以f(x)=3x2-2x.
又由點(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上得Sn=3n2-2n.
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1
=(3n2-2n)-［3(n-1)2-2(n-1)］=6n-5;
當(dāng)n=1時，a1=S1=3×12-2×1=1=6×1-5.
所以an=6n-5(n∈N*).
12.【解析】（1）由且…）
得．
（2）由變形得
，
是首項為公比為的等比數(shù)列
即（）
（3）①當(dāng)是偶數(shù)時
隨增大而減少
當(dāng)為偶數(shù)時，最大值是．
②當(dāng)是奇數(shù)時
隨增大而增大且
綜上最大值為

【備課資源】
1.已知等比數(shù)列{an}的公比q0，前n項的和為Sn,則S4a5與S5a4的大小關(guān)系是()
(A)S4a5=S5a4(B)S4a5S5a4
(C)S4a5S5a4(D)不能確定

高考數(shù)學(xué)（理科）一輪復(fù)習(xí)數(shù)列的通項與求和學(xué)案附答案

學(xué)案31數(shù)列的通項與求和
導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.能利用等差、等比數(shù)列前n項和公式及其性質(zhì)求一些特殊數(shù)列的和.2.能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題．
自主梳理
1．求數(shù)列的通項
(1)數(shù)列前n項和Sn與通項an的關(guān)系：
an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.
(2)當(dāng)已知數(shù)列{an}中，滿足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，則可用________求數(shù)列的通項an，常利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)．
(3)當(dāng)已知數(shù)列{an}中，滿足an＋1an＝f(n)，且f(1)f(2)…f(n)可求，則可用__________求數(shù)列的通項an，常利用恒等式an＝a1a2a1a3a2…anan－1.
(4)作新數(shù)列法：對由遞推公式給出的數(shù)列，經(jīng)過變形后化歸成等差數(shù)列或等比數(shù)列來求通項．
(5)歸納、猜想、證明法．
2．求數(shù)列的前n項的和
(1)公式法
①等差數(shù)列前n項和Sn＝____________＝________________，推導(dǎo)方法：____________；
②等比數(shù)列前n項和Sn＝，q＝1，＝，q≠1.
推導(dǎo)方法：乘公比，錯位相減法．
③常見數(shù)列的前n項和：
a．1＋2＋3＋…＋n＝__________；
b．2＋4＋6＋…＋2n＝__________；
c．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝______；
d．12＋22＋32＋…＋n2＝__________；
e．13＋23＋33＋…＋n3＝__________________.
(2)分組求和：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列．
(3)裂項(相消)法：有時把一個數(shù)列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程消去中間項，只剩有限項再求和．
常見的裂項公式有：
①1nn＋1＝1n－1n＋1；
②12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1；
③1n＋n＋1＝n＋1－n.
(4)錯位相減：適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘構(gòu)成的數(shù)列求和．
(5)倒序相加：例如，等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)．
自我檢測
1．(原創(chuàng)題)已知數(shù)列{an}的前n項的乘積為Tn＝3n2(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項的()
A.32(3n－1)B.92(3n－1)
C.38(9n－1)D.98(9n－1)
2．(2011邯鄲月考)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是其前n項和，若{Sn}是等差數(shù)列，則q為()
A．－1B．1
C．±1D．0
3．已知等比數(shù)列{an}的公比為4，且a1＋a2＝20，設(shè)bn＝log2an，則b2＋b4＋b6＋…＋b2n等于()
A．n2＋nB．2(n2＋n)
C．2n2＋nD．4(n2＋n)
4．(2010天津高三十校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的通項公式an＝log2n＋1n＋2(n∈N*)，設(shè){an}的前n項的和為Sn，則使Sn－5成立的自然數(shù)n()
A．有最大值63B．有最小值63
C．有最大值31D．有最小值31
5．(2011北京海淀區(qū)期末)設(shè)關(guān)于x的不等式x2－x2nx(n∈N*)的解集中整數(shù)的個數(shù)為an，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S100的值為________．
6．?dāng)?shù)列1,412，714，1018，…前10項的和為________.
探究點一求通項公式
例1已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2n＋1anan＋2n＋1，a1＝2，求數(shù)列{an}的通項公式．

變式遷移1設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式．

探究點二裂項相消法求和
例2已知數(shù)列{an}，Sn是其前n項和，且an＝7Sn－1＋2(n≥2)，a1＝2.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝1log2anlog2an＋1，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，求使得Tnm20對所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m.

變式遷移2求數(shù)列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n，…的前n項和．

探究點三錯位相減法求和
例3(2011荊門月考)已知數(shù)列{an}是首項、公比都為q(q0且q≠1)的等比數(shù)列，bn＝anlog4an(n∈N*)．
(1)當(dāng)q＝5時，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn；
(2)當(dāng)q＝1415時，若bnbn＋1，求n的最小值．

變式遷移3求和Sn＝1a＋2a2＋3a3＋…＋nan.

分類討論思想的應(yīng)用
例(5分)二次函數(shù)f(x)＝x2＋x，當(dāng)x∈[n，n＋1](n∈N*)時，f(x)的函數(shù)值中所有整數(shù)值的個數(shù)為g(n)，an＝2n3＋3n2gn(n∈N*)，則Sn＝a1－a2＋a3－a4＋…＋(－1)n－1an＝()
A．(－1)n－1nn＋12B．(－1)nnn＋12
C.nn＋12D．－nn＋12
【答題模板】
答案A
解析本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及并項轉(zhuǎn)化法求和．
當(dāng)x∈[n，n＋1](n∈N*)時，函數(shù)f(x)＝x2＋x的值隨x的增大而增大，則f(x)的值域為[n2＋n，n2＋3n＋2](n∈N*)，∴g(n)＝2n＋3(n∈N*)，于是an＝2n3＋3n2gn＝n2.
方法一當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn＝a1－a2＋a3－a4＋…＋an－1－an＝(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－[3＋7＋…＋(2n－1)]＝－3＋2n－12n2＝－nn＋12；
當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn＝(a1－a2)＋(a3－a4)＋…＋(an－2－an－1)＋an
＝Sn－1＋an＝－nn－12＋n2＝nn＋12，
∴Sn＝(－1)n－1nn＋12.
方法二a1＝1，a2＝4，S1＝a1＝1，
S2＝a1－a2＝－3，
檢驗選擇項，可確定A正確．
【突破思維障礙】
在利用并項轉(zhuǎn)化求和時，由于數(shù)列的各項是正負(fù)交替的，所以一般需要對項數(shù)n進(jìn)行分類討論，但最終的結(jié)果卻往往可以用一個公式來表示．
1．求數(shù)列的通項：(1)公式法：例如等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項；
(2)觀察法：例如由數(shù)列的前幾項來求通項；
(3)可化歸為使用累加法、累積法；
(4)可化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后利用公式法；
(5)求出數(shù)列的前幾項，然后歸納、猜想、證明．
2．?dāng)?shù)列求和的方法：
一般的數(shù)列求和，應(yīng)從通項入手，若無通項，先求通項，然后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點的形式，從而選擇合適的方法求和．
3．求和時應(yīng)注意的問題：
(1)直接用公式求和時，注意公式的應(yīng)用范圍和公式的推導(dǎo)過程．
(2)注意觀察數(shù)列的特點和規(guī)律，在分析數(shù)列通項的基礎(chǔ)上或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2010廣東)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，Sn是它的前n項和，若a2a3＝2a1且a4與2a7的等差中項為54，則S5等于()
A．35B．33C．31D．29
2．(2011黃岡調(diào)研)有兩個等差數(shù)列{an}，{bn}，其前n項和分別為Sn，Tn，若SnTn＝7n＋2n＋3，則a5b5＝()
A.6512B.378
C.7213D.94
3．如果數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝1且an－1－ananan－1＝an－an＋1anan＋1(n≥2)，則此數(shù)列的第10項()
A.1210B.129C.110D.15
4．?dāng)?shù)列{an}的前n項和為Sn，若an＝1nn＋1，則S5等于()
A．1B.56C.16D.130
5．?dāng)?shù)列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n項和Sn1020，那么n的最小值是()
A．7B．8C．9D．10
題號12345
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2010東北師大附中高三月考)數(shù)列{an}的前n項和為Sn且a1＝1，an＋1＝3Sn(n＝1,2,3，…)，則log4S10＝__________.
7．(原創(chuàng)題)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝－2，an＋2＝－1an，則該數(shù)列前26項的和為________．
8．對于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，{an}的“差數(shù)列”的通項為2n，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝____________.
三、解答題(共38分)
9．(12分)(2011河源月考)已知函數(shù)f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7(n∈N*)．
(1)若函數(shù)f(x)的圖象的頂點的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{an}，試證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象的頂點到x軸的距離構(gòu)成數(shù)列{bn}，試求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.

10．(12分)(2011三門峽月考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝12nan＋an－c(c是常數(shù)，n∈N*)，a2＝6.
(1)求c的值及數(shù)列{an}的通項公式；
(2)證明1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋118.

11．(14分)(2010北京宣武高三期中)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝3n，數(shù)列{bn}滿足b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；
(2)求數(shù)列{bn}的通項公式bn；
(3)若cn＝anbnn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.

答案自主梳理
1．(2)累加法(3)累積法2.(1)①n(a1＋an)2na1＋n(n－1)2d倒序相加法②na1a1(1－qn)1－qa1－anq1－q③n(n＋1)2n2＋nn2n(n＋1)(2n＋1)6n(n＋1)22
自我檢測
1．C2.B3.B4.B
5．101006.145511512
課堂活動區(qū)
例1解題導(dǎo)引已知遞推關(guān)系求通項公式這類問題要求不高，主要掌握由a1和遞推關(guān)系先求出前幾項，再歸納、猜想an的方法，以及累加：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1；累乘：an＝anan－1an－1an－2…a2a1a1等方法．
解已知遞推可化為
1an＋1－1an＝12n＋1，
∴1a2－1a1＝122，1a3－1a2＝123，1a4－1a3＝124，…，1an－1an－1＝12n.
將以上(n－1)個式子相加得
1an－1a1＝122＋123＋124＋…＋12n，
∴1an＝121－12n1－12＝1－12n.
∴an＝2n2n－1.
變式遷移1(1)證明由已知有
a1＋a2＝4a1＋2，
解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3.
又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)
＝4an＋1－4an；
于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，
即bn＋1＝2bn.
因此數(shù)列{bn}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列．
(2)解由(1)知等比數(shù)列{bn}中，b1＝3，公比q＝2，
所以an＋1－2an＝3×2n－1，
于是an＋12n＋1－an2n＝34，
因此數(shù)列an2n是首項為12，公差為34的等差數(shù)列，
an2n＝12＋(n－1)×34＝34n－14，
所以an＝(3n－1)2n－2.
例2解題導(dǎo)引1.利用裂項相消法求和時，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項．再就是將通項公式裂項后，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等．
2．一般情況如下，若{an}是等差數(shù)列，
則1anan＋1＝1d1an－1an＋1，1anan＋2＝12d1an－1an＋2.
此外根式在分母上時可考慮利用有理化因式相消求和．
解(1)∵n≥2時，an＝7Sn－1＋2，∴an＋1＝7Sn＋2，
兩式相減，得an＋1－an＝7an，∴an＋1＝8an(n≥2)．
又a1＝2，∴a2＝7a1＋2＝16＝8a1，
∴an＋1＝8an(n∈N*)．
∴{an}是一個以2為首項，8為公比的等比數(shù)列，
∴an＝28n－1＝23n－2.
(2)∵bn＝1log2anlog2an＋1＝1(3n－2)(3n＋1)
＝13(13n－2－13n＋1)，
∴Tn＝13(1－14＋14－17＋…＋13n－2－13n＋1)
＝13(1－13n＋1)13.
∴m20≥13，∴最小正整數(shù)m＝7.
變式遷移2解an＝2n(n＋1)＝21n－1n＋1，
∴Sn＝2[1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1]＝21－1n＋1＝2nn＋1.
例3解題導(dǎo)引1.一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{anbn}的前n項和時，可采用錯位相減法．
2．用乘公比錯位相減法求和時，應(yīng)注意：
(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；
(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．
解(1)由題意得an＝qn，
∴bn＝anlog4an＝qnlog4qn
＝n5nlog45，
∴Sn＝(1×5＋2×52＋…＋n×5n)log45，
設(shè)Tn＝1×5＋2×52＋…＋n×5n，①
則5Tn＝1×52＋2×53＋…＋(n－1)×5n＋n×5n＋1，②
①－②得－4Tn＝5＋52＋53＋…＋5n－n×5n＋1
＝5(5n－1)4－n×5n＋1，
∴Tn＝516(4n×5n－5n＋1)，
Sn＝516(4n×5n－5n＋1)log45.
(2)∵bn＝anlog4an＝n1415nlog41415，
∴bn＋1－bn＝(n＋1)1415n＋1log41415－
n1415nlog41415
＝1415n1415－n15log414150，
∵1415n0，log414150，
∴1415－n150，∴n14，
即n≥15時，bnbn＋1.
故所求的n的最小值是15.
變式遷移3解當(dāng)a＝1時，
Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2，
當(dāng)a≠1時，Sn＝1a＋2a2＋3a3＋…＋nan，①
∴1aSn＝1a2＋2a3＋3a4＋…＋nan＋1，②
①－②，得1－1aSn
＝1a＋1a2＋1a3＋…＋1an－nan＋1，
1－1aSn＝1a1－1an1－1a－nan＋1
＝1－1ana－1－nan＋1，
∴Sn＝a1－1an(a－1)2－n(a－1)an.
∴Sn＝n(n＋1)2，a＝1，a1－1an(a－1)2－n(a－1)an，a≠1.
課后練習(xí)區(qū)
1．C2.A3.D4.B5.D
6．9
解析∵an＋1＝3Sn，∴an＝3Sn－1(n≥2)．
兩式相減得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，
∴an＋1＝4an，即an＋1an＝4.
∴{an}為以a2為首項，公比為4的等比數(shù)列．
當(dāng)n＝1時，a2＝3S1＝3，
∴n≥2時，an＝34n－2，
S10＝a1＋a2＋…＋a10
＝1＋3＋3×4＋3×42＋…＋3×48
＝1＋3×(1＋4＋…＋48)
＝1＋3×49－14－1＝1＋49－1＝49.
∴l(xiāng)og4S10＝log449＝9.
7．－10
解析依題意得，a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝12，a5＝1，a6＝－2，a7＝－1，a8＝12，所以數(shù)列周期為4，S26＝6×(1－2－1＋12)＋1－2＝－10.
8．2n＋1－2
解析依題意，有a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1，所有的代數(shù)式相加得an－a1＝2n－2，即an＝2n，所以Sn＝2n＋1－2.
9．解f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7
＝[x－(n＋1)]2＋3n－8.…………………………………………………………………(3分)
(1)由題意，an＝n＋1，
故an＋1－an＝(n＋1)＋1－(n＋1)＝1，
故數(shù)列{an}是以1為公差，2為首項的等差數(shù)列．……………………………………(5分)
(2)由題意，bn＝|3n－8|.……………………………………………………………………(7分)
當(dāng)1≤n≤2時，bn＝－3n＋8，
數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，b1＝5，
∴Sn＝n(5－3n＋8)2＝－3n2＋13n2；………………………………………………………(9分)
當(dāng)n≥3時，bn＝3n－8，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b3＝1.
∴Sn＝S2＋(n－2)(1＋3n－8)2＝3n2－13n＋282.…………………………………………(11分)
∴Sn＝－3n2＋13n2，1≤n≤2，3n2－13n＋282，n≥3.……………………………………………(12分)
10．(1)解因為Sn＝12nan＋an－c，
所以當(dāng)n＝1時，S1＝12a1＋a1－c，
解得a1＝2c，………………………………………………………………………………(2分)
當(dāng)n＝2時，S2＝a2＋a2－c，
即a1＋a2＝2a2－c，解得a2＝3c，………………………………………………………(3分)
所以3c＝6，解得c＝2；…………………………………………………………………(4分)
則a1＝4，數(shù)列{an}的公差d＝a2－a1＝2，
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋2.……………………………………………………………(6分)
(2)證明因為1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1
＝14×6＋16×8＋…＋1(2n＋2)(2n＋4)
＝12(14－16)＋12(16－18)＋…＋12(12n＋2－12n＋4)
＝12[(14－16)＋(16－18)＋…＋(12n＋2－12n＋4)]……………………………………………(8分)
＝12(14－12n＋4)＝18－14(n＋2).……………………………………………………………(10分)
因為n∈N*，所以1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋118.…………………………………………(12分)
11．解(1)∵Sn＝3n，
∴Sn－1＝3n－1(n≥2)．
∴an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1(n≥2)．……………………………………………(3分)
當(dāng)n＝1時，2×31－1＝2≠S1＝a1＝3，…………………………………………………(4分)
∴an＝3，n＝1，2×3n－1，n≥2，n∈N*……………………………………………………(5分)
(2)∵bn＋1＝bn＋(2n－1)，
∴b2－b1＝1，b3－b2＝3，b4－b3＝5，…，
bn－bn－1＝2n－3.
以上各式相加得
bn－b1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)
＝(n－1)(1＋2n－3)2＝(n－1)2.
∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n.………………………………………………………………(7分)
(3)由題意得
cn＝－3，n＝1，2(n－2)×3n－1，n≥2，n∈N*.……………………………………………………(9分)
當(dāng)n≥2時，Tn＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋…＋2(n－2)×3n－1，
∴3Tn＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋…＋2(n－2)×3n，
相減得－2Tn＝6＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－2(n－2)×3n.
∴Tn＝(n－2)×3n－(3＋32＋33＋…＋3n－1)
＝(n－2)×3n－3n－32＝(2n－5)3n＋32.…………………………………………………(13分)
T1＝－3也適合．
∴Tn＝(2n－5)3n＋32(n∈N*)．…………………………………………………………(14分)

數(shù)列

教學(xué)目標(biāo)

1．使學(xué)生理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項．

（1）理解數(shù)列是按一定順序排成的一列數(shù)，其每一項是由其項數(shù)唯一確定的．

（2）了解數(shù)列的各種表示方法，理解通項公式是數(shù)列第項與項數(shù)的關(guān)系式，能根據(jù)通項公式寫出數(shù)列的前幾項，并能根據(jù)給出的一個數(shù)列的前幾項寫出該數(shù)列的一個通項公式．

（3）已知一個數(shù)列的遞推公式及前若干項，便確定了數(shù)列，能用代入法寫出數(shù)列的前幾項．

2．通過對一列數(shù)的觀察、歸納，寫出符合條件的一個通項公式，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和抽象概括能力．

3．通過由求的過程，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度及良好的思維習(xí)慣．

教學(xué)建議

（1）為激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的興趣，體會數(shù)列知識在實際生活中的作用，可由實際問題引入，從中抽象出數(shù)列要研究的問題，使學(xué)生對所要研究的內(nèi)容心中有數(shù)，如書中所給的例子，還有物品堆放個數(shù)的計算等．

（2）數(shù)列中蘊含的函數(shù)思想是研究數(shù)列的指導(dǎo)思想，應(yīng)及早引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系．在教學(xué)中強調(diào)數(shù)列的項是按一定順序排列的，“次序”便是函數(shù)的自變量，相同的數(shù)組成的數(shù)列，次序不同則就是不同的數(shù)列．函數(shù)表示法有列表法、圖象法、解析式法，類似地，數(shù)列就有列舉法、圖示法、通項公式法．由于數(shù)列的自變量為正整數(shù)，于是就有可能相鄰的兩項（或幾項）有關(guān)系，從而數(shù)列就有其特殊的表示法——遞推公式法．

（3）由數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列的前幾項是簡單的代入法，教師應(yīng)精心設(shè)計例題，使這一例題為寫通項公式作一些準(zhǔn)備，尤其是對程度差的學(xué)生，應(yīng)多舉幾個例子，讓學(xué)生觀察歸納通項公式與各項的結(jié)構(gòu)關(guān)系，盡量為寫通項公式提供幫助．

（4）由數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式使學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個難點，要幫助學(xué)生分析各項中的結(jié)構(gòu)特征（整式，分式，遞增，遞減，擺動等），由學(xué)生歸納一些規(guī)律性的結(jié)論，如正負(fù)相間用來調(diào)整等．如果學(xué)生一時不能寫出通項公式，可讓學(xué)生依據(jù)前幾項的規(guī)律，猜想該數(shù)列的下一項或下幾項的值，以便尋求項與項數(shù)的關(guān)系．

（5）對每個數(shù)列都有求和問題，所以在本節(jié)課應(yīng)補充數(shù)列前項和的概念，用表示的問題是重點問題，可先提出一個具體問題讓學(xué)生分析與的關(guān)系，再由特殊到一般，研究其一般規(guī)律，并給出嚴(yán)格的推理證明（強調(diào)的表達(dá)式是分段的）；之后再到特殊問題的解決，舉例時要兼顧結(jié)果可合并及不可合并的情況．

（6）給出一些簡單數(shù)列的通項公式，可以求其最大項或最小項，又是函數(shù)思想與方法的體現(xiàn)，對程度好的學(xué)生應(yīng)提出這一問題，學(xué)生運用函數(shù)知識是可以解決的．

教學(xué)設(shè)計示例

數(shù)列的概念

教學(xué)目標(biāo)

1．通過教學(xué)使學(xué)生理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列的表示法，能夠根據(jù)通項公式寫出數(shù)列的項．

2．通過數(shù)列定義的歸納概括，初步培養(yǎng)學(xué)生的觀察、抽象概括能力；滲透函數(shù)思想．

3．通過有關(guān)數(shù)列實際應(yīng)用的介紹，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)研究數(shù)列的積極性．

教學(xué)重點，難點

教學(xué)重點是數(shù)列的定義的歸納與認(rèn)識；教學(xué)難點是數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別．

教學(xué)用具：電腦，課件（媒體資料），投影儀，幻燈片

教學(xué)方法：講授法為主

教學(xué)過程

一．揭示課題

今天開始我們研究一個新課題．

先舉一個生活中的例子：場地上堆放了一些圓鋼，最底下的一層有100根，在其上一層（稱作第二層）碼放了99根，第三層碼放了98根，依此類推，問：最多可放多少層？第57層有多少根？從第1層到第57層一共有多少根？我們不能滿足于一層層的去數(shù)，而是要但求如何去研究，找出一般規(guī)律．實際上我們要研究的是這樣的一列數(shù)

（板書）象這樣排好隊的數(shù)就是我們的研究對象——數(shù)列．

（板書）第三章數(shù)列

（一）數(shù)列的概念

二．講解新課

要研究數(shù)列先要知道何為數(shù)列，即先要給數(shù)列下定義，為幫助同學(xué)概括出數(shù)列的定義，再給出幾列數(shù)：

（幻燈片）①

自然數(shù)排成一列數(shù)：

②

3個1排成一列：

③

無數(shù)個1排成一列：

④

的不足近似值，分別近似到排列起來：

⑤

正整數(shù)的倒數(shù)排成一列數(shù)：

⑥

函數(shù)當(dāng)依次取時得到一列數(shù)：

⑦

函數(shù)當(dāng)依次取時得到一列數(shù)：

⑧

請學(xué)生觀察8列數(shù)，說明每列數(shù)就是一個數(shù)列，數(shù)列中的每個數(shù)都有自己的特定的位置，這樣數(shù)列就是按一定順序排成的一列數(shù)．

（板書）1．?dāng)?shù)列的定義：按一定次序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列．

為表述方便給出幾個名稱：項，項數(shù)，首項（以幻燈片的形式給出）．以上述八個數(shù)列為例，讓學(xué)生練習(xí)指出某一個數(shù)列的首項是多少，第二項是多少，指出某一個數(shù)列的一些項的項數(shù)．

由此可以看出，給定一個數(shù)列，應(yīng)能夠指明第一項是多少，第二項是多少，……，每一項都是確定的，即指明項數(shù)，對應(yīng)的項就確定．所以數(shù)列中的每一項與其項數(shù)有著對應(yīng)關(guān)系，這與我們學(xué)過的函數(shù)有密切關(guān)系．

（板書）2．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系

數(shù)列可以看作特殊的函數(shù)，項數(shù)是其自變量，項是項數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值，數(shù)列的定義域是正整數(shù)集，或是正整數(shù)集的有限子集．

于是我們研究數(shù)列就可借用函數(shù)的研究方法，用函數(shù)的觀點看待數(shù)列．

遇到數(shù)學(xué)概念不單要下定義，還要給其數(shù)學(xué)表示，以便研究與交流，下面探討數(shù)列的表示法．

（板書）3．?dāng)?shù)列的表示法

數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應(yīng)與函數(shù)的表示法有聯(lián)系，首先請學(xué)生回憶函數(shù)的表示法：列表法，圖象法，解析式法．相對于列表法表示一個函數(shù)，數(shù)列有這樣的表示法：用表示第一項，用表示第一項，……，用表示第項，依次寫出成為

（板書）（1）列舉法

．（如幻燈片上的例子）簡記為．

一個函數(shù)的直觀形式是其圖象，我們也可用圖形表示一個數(shù)列，把它稱作圖示法．

（板書）（2）圖示法

啟發(fā)學(xué)生仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形．具體方法是以項數(shù)為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項為縱坐標(biāo)，即以為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中做出點（以前面提到的數(shù)列為例，做出一個數(shù)列的圖象），所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點都在軸的右側(cè)，而點的個數(shù)取決于數(shù)列的項數(shù)．從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到大變化而變化的趨勢．

有些函數(shù)可以用解析式來表示，解析式反映了一個函數(shù)的函數(shù)值與自變量之間的數(shù)量關(guān)系，類似地有一些數(shù)列的項能用其項數(shù)的函數(shù)式表示出來，即，這個函數(shù)式叫做數(shù)列的通項公式．

（板書）（3）通項公式法

如數(shù)列的通項公式為；

的通項公式為；

的通項公式為；

數(shù)列的通項公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第項，又是這個數(shù)列中所有各項的一般表示．通項公式反映了一個數(shù)列項與項數(shù)的函數(shù)關(guān)系，給了數(shù)列的通項公式，這個數(shù)列便確定了，代入項數(shù)就可求出數(shù)列的每一項．

例如，數(shù)列的通項公式，則．

值得注意的是，正如一個函數(shù)未必能用解析式表示一樣，不是所有的數(shù)列都有通項公式，即便有通項公式，通項公式也未必唯一．

除了以上三種表示法，某些數(shù)列相鄰的兩項（或幾項）有關(guān)系，這個關(guān)系用一個公式來表示，叫做遞推公式．

（板書）（4）遞推公式法

如前面所舉的鋼管的例子，第層鋼管數(shù)與第層鋼管數(shù)的關(guān)系是，再給定，便可依次求出各項．再如數(shù)列中，，這個數(shù)列就是．

像這樣，如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系用一個公式來表示，這個公式叫做這個數(shù)列的遞推公式．遞推公式是數(shù)列所特有的表示法，它包含兩個部分，一是遞推關(guān)系，一是初始條件，二者缺一不可．

可由學(xué)生舉例，以檢驗學(xué)生是否理解．

三．小結(jié)

1．?dāng)?shù)列的概念

2．?dāng)?shù)列的四種表示

四．作業(yè)略

五．板書設(shè)計

數(shù)列

（一）數(shù)列的概念涉及的數(shù)列及表示

1．?dāng)?shù)列的定義

2．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系

3．?dāng)?shù)列的表示法

（1）列舉法

（2）圖示法

（3）通項公式法

（4）遞推公式法

將邊長為厘米的正方形分成個邊長為1厘米的正方形，數(shù)出其中所有正方形的個數(shù)．

解：當(dāng)時，共有正方形個；當(dāng)時，共有正方形個；當(dāng)時，共有正方形個；當(dāng)時，共有正方形個；當(dāng)時，共有正方形個；歸納猜想邊長為厘米的正方形中的正方形共有個．