高中數(shù)列教案

數(shù)列復(fù)習(xí)。

課題:數(shù)列復(fù)習(xí)專題（3）
班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：第學(xué)習(xí)小組
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】初步了解通過數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)的方法；初步了解通過數(shù)列前項(xiàng)和求通項(xiàng)以及相關(guān)內(nèi)容的方法
【課前預(yù)習(xí)】
1．如果已知數(shù)列為等差（或等比）數(shù)列，可直接根據(jù)等差（或等比）數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得，（或），然后直接套用公式．

2．對(duì)于形如型或形如型的數(shù)列，其中又是等差數(shù)列或等比數(shù)列，可以根據(jù)遞推公式，寫出取到時(shí)的所有遞推關(guān)系式，然后將它們分別相加（或相乘）即可得到通項(xiàng)公式．

3．有些數(shù)列本身不是等差或等比數(shù)列，但可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃危瑯?gòu)造出一個(gè)新的等差或等比數(shù)列，從而利用這個(gè)數(shù)列求其通相公式，這叫做構(gòu)造法．
例如：在數(shù)列中，，如何求通項(xiàng)公式？

4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和求通項(xiàng)時(shí)，常用公式，用此公式時(shí)應(yīng)注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個(gè)表達(dá)式。

【課堂研討】
例1已知數(shù)列中，（1），求；
（2），求；
（3），求．

例2.已知數(shù)列中，，求的通項(xiàng)．
例3.已知數(shù)列中，，（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求的通項(xiàng)公式；（3）求的前項(xiàng)和．

例4.已知數(shù)列滿足，
求的通項(xiàng)和前項(xiàng)和．

課題:數(shù)列復(fù)習(xí)（3）檢測(cè)案
班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：第學(xué)習(xí)小組
【課堂檢測(cè)】
1．已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)．
2．根據(jù)下列條件求的通項(xiàng)：
（1）；

（2）．

【課外作業(yè)】
1．已知數(shù)列中，，求：（1）的通項(xiàng)；
（2）令，的通項(xiàng)；（3）的前項(xiàng)和
2.已知數(shù)列中，，
（1）求的通項(xiàng)；（2）當(dāng)為何值時(shí)，是等比數(shù)列．
3．已知數(shù)列中，，
（1）求證是等比數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)．
4．已知數(shù)列中，，
（1）求的通項(xiàng)；（2）求．

精選閱讀

數(shù)列

教學(xué)目標(biāo)

1．使學(xué)生理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)．

（1）理解數(shù)列是按一定順序排成的一列數(shù)，其每一項(xiàng)是由其項(xiàng)數(shù)唯一確定的．

（2）了解數(shù)列的各種表示方法，理解通項(xiàng)公式是數(shù)列第項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系式，能根據(jù)通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，并能根據(jù)給出的一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．

（3）已知一個(gè)數(shù)列的遞推公式及前若干項(xiàng)，便確定了數(shù)列，能用代入法寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)．

2．通過對(duì)一列數(shù)的觀察、歸納，寫出符合條件的一個(gè)通項(xiàng)公式，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和抽象概括能力．

3．通過由求的過程，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度及良好的思維習(xí)慣．

教學(xué)建議

（1）為激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的興趣，體會(huì)數(shù)列知識(shí)在實(shí)際生活中的作用，可由實(shí)際問題引入，從中抽象出數(shù)列要研究的問題，使學(xué)生對(duì)所要研究的內(nèi)容心中有數(shù)，如書中所給的例子，還有物品堆放個(gè)數(shù)的計(jì)算等．

（2）數(shù)列中蘊(yùn)含的函數(shù)思想是研究數(shù)列的指導(dǎo)思想，應(yīng)及早引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系．在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)數(shù)列的項(xiàng)是按一定順序排列的，“次序”便是函數(shù)的自變量，相同的數(shù)組成的數(shù)列，次序不同則就是不同的數(shù)列．函數(shù)表示法有列表法、圖象法、解析式法，類似地，數(shù)列就有列舉法、圖示法、通項(xiàng)公式法．由于數(shù)列的自變量為正整數(shù)，于是就有可能相鄰的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)）有關(guān)系，從而數(shù)列就有其特殊的表示法——遞推公式法．

（3）由數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)是簡(jiǎn)單的代入法，教師應(yīng)精心設(shè)計(jì)例題，使這一例題為寫通項(xiàng)公式作一些準(zhǔn)備，尤其是對(duì)程度差的學(xué)生，應(yīng)多舉幾個(gè)例子，讓學(xué)生觀察歸納通項(xiàng)公式與各項(xiàng)的結(jié)構(gòu)關(guān)系，盡量為寫通項(xiàng)公式提供幫助．

（4）由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式使學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，要幫助學(xué)生分析各項(xiàng)中的結(jié)構(gòu)特征（整式，分式，遞增，遞減，擺動(dòng)等），由學(xué)生歸納一些規(guī)律性的結(jié)論，如正負(fù)相間用來調(diào)整等．如果學(xué)生一時(shí)不能寫出通項(xiàng)公式，可讓學(xué)生依據(jù)前幾項(xiàng)的規(guī)律，猜想該數(shù)列的下一項(xiàng)或下幾項(xiàng)的值，以便尋求項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系．

（5）對(duì)每個(gè)數(shù)列都有求和問題，所以在本節(jié)課應(yīng)補(bǔ)充數(shù)列前項(xiàng)和的概念，用表示的問題是重點(diǎn)問題，可先提出一個(gè)具體問題讓學(xué)生分析與的關(guān)系，再由特殊到一般，研究其一般規(guī)律，并給出嚴(yán)格的推理證明（強(qiáng)調(diào)的表達(dá)式是分段的）；之后再到特殊問題的解決，舉例時(shí)要兼顧結(jié)果可合并及不可合并的情況．

（6）給出一些簡(jiǎn)單數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以求其最大項(xiàng)或最小項(xiàng)，又是函數(shù)思想與方法的體現(xiàn)，對(duì)程度好的學(xué)生應(yīng)提出這一問題，學(xué)生運(yùn)用函數(shù)知識(shí)是可以解決的．

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

數(shù)列的概念

教學(xué)目標(biāo)

1．通過教學(xué)使學(xué)生理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列的表示法，能夠根據(jù)通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的項(xiàng)．

2．通過數(shù)列定義的歸納概括，初步培養(yǎng)學(xué)生的觀察、抽象概括能力；滲透函數(shù)思想．

3．通過有關(guān)數(shù)列實(shí)際應(yīng)用的介紹，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)研究數(shù)列的積極性．

教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)是數(shù)列的定義的歸納與認(rèn)識(shí)；教學(xué)難點(diǎn)是數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別．

教學(xué)用具：電腦，課件（媒體資料），投影儀，幻燈片

教學(xué)方法：講授法為主

教學(xué)過程

一．揭示課題

今天開始我們研究一個(gè)新課題．

先舉一個(gè)生活中的例子：場(chǎng)地上堆放了一些圓鋼，最底下的一層有100根，在其上一層（稱作第二層）碼放了99根，第三層碼放了98根，依此類推，問：最多可放多少層？第57層有多少根？從第1層到第57層一共有多少根？我們不能滿足于一層層的去數(shù)，而是要但求如何去研究，找出一般規(guī)律．實(shí)際上我們要研究的是這樣的一列數(shù)

（板書）象這樣排好隊(duì)的數(shù)就是我們的研究對(duì)象——數(shù)列．

（板書）第三章數(shù)列

（一）數(shù)列的概念

二．講解新課

要研究數(shù)列先要知道何為數(shù)列，即先要給數(shù)列下定義，為幫助同學(xué)概括出數(shù)列的定義，再給出幾列數(shù)：

（幻燈片）①

自然數(shù)排成一列數(shù)：

②

3個(gè)1排成一列：

③

無數(shù)個(gè)1排成一列：

④

的不足近似值，分別近似到排列起來：

⑤

正整數(shù)的倒數(shù)排成一列數(shù)：

⑥

函數(shù)當(dāng)依次取時(shí)得到一列數(shù)：

⑦

函數(shù)當(dāng)依次取時(shí)得到一列數(shù)：

⑧

請(qǐng)學(xué)生觀察8列數(shù)，說明每列數(shù)就是一個(gè)數(shù)列，數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都有自己的特定的位置，這樣數(shù)列就是按一定順序排成的一列數(shù)．

（板書）1．?dāng)?shù)列的定義：按一定次序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列．

為表述方便給出幾個(gè)名稱：項(xiàng)，項(xiàng)數(shù)，首項(xiàng)（以幻燈片的形式給出）．以上述八個(gè)數(shù)列為例，讓學(xué)生練習(xí)指出某一個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)是多少，第二項(xiàng)是多少，指出某一個(gè)數(shù)列的一些項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)．

由此可以看出，給定一個(gè)數(shù)列，應(yīng)能夠指明第一項(xiàng)是多少，第二項(xiàng)是多少，……，每一項(xiàng)都是確定的，即指明項(xiàng)數(shù)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)就確定．所以數(shù)列中的每一項(xiàng)與其項(xiàng)數(shù)有著對(duì)應(yīng)關(guān)系，這與我們學(xué)過的函數(shù)有密切關(guān)系．

（板書）2．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系

數(shù)列可以看作特殊的函數(shù)，項(xiàng)數(shù)是其自變量，項(xiàng)是項(xiàng)數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，數(shù)列的定義域是正整數(shù)集，或是正整數(shù)集的有限子集．

于是我們研究數(shù)列就可借用函數(shù)的研究方法，用函數(shù)的觀點(diǎn)看待數(shù)列．

遇到數(shù)學(xué)概念不單要下定義，還要給其數(shù)學(xué)表示，以便研究與交流，下面探討數(shù)列的表示法．

（板書）3．?dāng)?shù)列的表示法

數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應(yīng)與函數(shù)的表示法有聯(lián)系，首先請(qǐng)學(xué)生回憶函數(shù)的表示法：列表法，圖象法，解析式法．相對(duì)于列表法表示一個(gè)函數(shù)，數(shù)列有這樣的表示法：用表示第一項(xiàng)，用表示第一項(xiàng)，……，用表示第項(xiàng)，依次寫出成為

（板書）（1）列舉法

．（如幻燈片上的例子）簡(jiǎn)記為．

一個(gè)函數(shù)的直觀形式是其圖象，我們也可用圖形表示一個(gè)數(shù)列，把它稱作圖示法．

（板書）（2）圖示法

啟發(fā)學(xué)生仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形．具體方法是以項(xiàng)數(shù)為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)為縱坐標(biāo)，即以為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中做出點(diǎn)（以前面提到的數(shù)列為例，做出一個(gè)數(shù)列的圖象），所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點(diǎn)，因?yàn)闄M坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在軸的右側(cè)，而點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于數(shù)列的項(xiàng)數(shù)．從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢(shì)．

有些函數(shù)可以用解析式來表示，解析式反映了一個(gè)函數(shù)的函數(shù)值與自變量之間的數(shù)量關(guān)系，類似地有一些數(shù)列的項(xiàng)能用其項(xiàng)數(shù)的函數(shù)式表示出來，即，這個(gè)函數(shù)式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式．

（板書）（3）通項(xiàng)公式法

如數(shù)列的通項(xiàng)公式為；

的通項(xiàng)公式為；

的通項(xiàng)公式為；

數(shù)列的通項(xiàng)公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第項(xiàng)，又是這個(gè)數(shù)列中所有各項(xiàng)的一般表示．通項(xiàng)公式反映了一個(gè)數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系，給了數(shù)列的通項(xiàng)公式，這個(gè)數(shù)列便確定了，代入項(xiàng)數(shù)就可求出數(shù)列的每一項(xiàng)．

例如，數(shù)列的通項(xiàng)公式，則．

值得注意的是，正如一個(gè)函數(shù)未必能用解析式表示一樣，不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，即便有通項(xiàng)公式，通項(xiàng)公式也未必唯一．

除了以上三種表示法，某些數(shù)列相鄰的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)）有關(guān)系，這個(gè)關(guān)系用一個(gè)公式來表示，叫做遞推公式．

（板書）（4）遞推公式法

如前面所舉的鋼管的例子，第層鋼管數(shù)與第層鋼管數(shù)的關(guān)系是，再給定，便可依次求出各項(xiàng)．再如數(shù)列中，，這個(gè)數(shù)列就是．

像這樣，如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系用一個(gè)公式來表示，這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．遞推公式是數(shù)列所特有的表示法，它包含兩個(gè)部分，一是遞推關(guān)系，一是初始條件，二者缺一不可．

可由學(xué)生舉例，以檢驗(yàn)學(xué)生是否理解．

三．小結(jié)

1．?dāng)?shù)列的概念

2．?dāng)?shù)列的四種表示

四．作業(yè)略

五．板書設(shè)計(jì)

數(shù)列

（一）數(shù)列的概念涉及的數(shù)列及表示

1．?dāng)?shù)列的定義

2．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系

3．?dāng)?shù)列的表示法

（1）列舉法

（2）圖示法

（3）通項(xiàng)公式法

（4）遞推公式法

將邊長(zhǎng)為厘米的正方形分成個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的正方形，數(shù)出其中所有正方形的個(gè)數(shù)．

解：當(dāng)時(shí)，共有正方形個(gè)；當(dāng)時(shí)，共有正方形個(gè)；當(dāng)時(shí)，共有正方形個(gè)；當(dāng)時(shí)，共有正方形個(gè)；當(dāng)時(shí)，共有正方形個(gè)；歸納猜想邊長(zhǎng)為厘米的正方形中的正方形共有個(gè)．

2013屆高考數(shù)學(xué)數(shù)列復(fù)習(xí)教案

經(jīng)驗(yàn)告訴我們，成功是留給有準(zhǔn)備的人。高中教師要準(zhǔn)備好教案為之后的教學(xué)做準(zhǔn)備。教案可以讓學(xué)生能夠在課堂積極的參與互動(dòng)，幫助授課經(jīng)驗(yàn)少的高中教師教學(xué)。所以你在寫高中教案時(shí)要注意些什么呢？小編特地為大家精心收集和整理了“2013屆高考數(shù)學(xué)數(shù)列復(fù)習(xí)教案”，希望對(duì)您的工作和生活有所幫助。

2013高中數(shù)學(xué)精講精練第五章數(shù)列

【知識(shí)圖解】
【方法點(diǎn)撥】
1．學(xué)會(huì)從特殊到一般的觀察、分析、思考，學(xué)會(huì)歸納、猜想、驗(yàn)證．
2．強(qiáng)化基本量思想，并在確定基本量時(shí)注重設(shè)變量的技巧與解方程組的技巧．
3．在重點(diǎn)掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式、中項(xiàng)等基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，會(huì)針對(duì)可化為等差（比）數(shù)列的比較簡(jiǎn)單的數(shù)列進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化．
4．一些簡(jiǎn)單特殊數(shù)列的求通項(xiàng)與求和問題，應(yīng)注重通性通法的復(fù)習(xí)．如錯(cuò)位相減法、迭加法、迭乘法等．
5．增強(qiáng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，會(huì)針對(duì)有關(guān)應(yīng)用問題，建立數(shù)學(xué)模型，并求出其解．

第1課數(shù)列的概念
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1．了解數(shù)列（含等差數(shù)列、等比數(shù)列）的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式），了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)；
2．理解數(shù)列的通項(xiàng)公式的意義和一些基本量之間的關(guān)系；
3．能通過一些基本的轉(zhuǎn)化解決數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的問題。
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.已知數(shù)列滿足，則=。
分析:由a1=0,得由此可知:數(shù)列是周期變化的,且三個(gè)一循環(huán),所以可得:
2．在數(shù)列中，若，，則該數(shù)列的通項(xiàng)2n-1。
3．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，則____2__.
4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則其通項(xiàng)．
【范例導(dǎo)析】
例1．設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是，則
（1）70是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)嗎？如果是，是第幾項(xiàng)？
（2）寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)，并作出前5項(xiàng)的圖象；
（3）這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)中有沒有最小的項(xiàng)？如果有，是第幾項(xiàng)？
分析：70是否是數(shù)列的項(xiàng)，只要通過解方程就可以知道；而作圖時(shí)則要注意數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別，數(shù)列的圖象是一系列孤立的點(diǎn)；判斷有無最小項(xiàng)的問題可以用函數(shù)的觀點(diǎn)來解決，一樣的是要注意定義域問題。
解：（1）由得：或
所以70是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，是第13項(xiàng)。
（2）這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)是；（圖象略）
（3）由函數(shù)的單調(diào)性：是減區(qū)間，是增區(qū)間，
所以當(dāng)時(shí)，最小，即最小。
點(diǎn)評(píng)：該題考察數(shù)列通項(xiàng)的定義，會(huì)判斷數(shù)列項(xiàng)的歸屬，要注重函數(shù)與數(shù)列之間的聯(lián)系，用函數(shù)的觀點(diǎn)解決數(shù)列的問題有時(shí)非常方便。
例2．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)y＝3x－2的圖像上,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
分析：根據(jù)題目的條件利用與的關(guān)系：，（要特別注意討論n=1的情況）求出數(shù)列的通項(xiàng)。
解：依題意得，即。
當(dāng)n≥2時(shí)，;
當(dāng)n=1時(shí)，所以。
例3．已知數(shù)列｛a｝滿足,
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列滿足,證明：是等差數(shù)列;
分析：本題第1問采用構(gòu)造等比數(shù)列來求通項(xiàng)問題，第2問依然是構(gòu)造問題。
解：（I）
是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。
即
（II）
①
②；
②－①，得即③
∴④
③－④，得即是等差數(shù)列。
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查數(shù)列、不等式等基本知識(shí)，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法，考查綜合解題能力。

【反饋演練】
1．若數(shù)列前8項(xiàng)的值各異，且對(duì)任意n∈N*都成立，則下列數(shù)列中可取遍前8項(xiàng)值的數(shù)列為（2）。
（1）（2）（3）（4）
2．設(shè)Sn是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且Sn=n2，則是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列。
3．設(shè)f（n）=（n∈N），那么f（n+1）－f（n）等于。
4．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果，預(yù)測(cè)某種家用商品從年初開始的n個(gè)月內(nèi)累積的需求量Sn（萬件）近似地滿足Sn=（21n－n2－5）（n=1，2，……，12）.按此預(yù)測(cè)，在本年度內(nèi)，需求量超過1.5萬件的月份是7月、8月。
5．在數(shù)列中，則505。
6．?dāng)?shù)列中，已知，
（1）寫出，，；（2）是否是數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第幾項(xiàng)？
解：（1）∵，∴，
，；
（2）令，解方程得，
∵，∴，即為該數(shù)列的第15項(xiàng)。

第2課等差、等比數(shù)列
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1．掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式，能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單的問題；
2．理解等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，了解等差、等比數(shù)列與函數(shù)之間的關(guān)系；
3．注意函數(shù)與方程思想方法的運(yùn)用。
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1．在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，首項(xiàng)a1=-2，公差d=3。
2．一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18，則它的第1項(xiàng)是，第2項(xiàng)是8。
3．設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，，則。
4．公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a2，a3，a6依次成等比數(shù)列，則公比等于3。
【范例導(dǎo)析】
例1．（1）若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列有
13項(xiàng)。
（2）設(shè)數(shù)列{an}是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是2。
解：（1）答案：13
法1：設(shè)這個(gè)數(shù)列有n項(xiàng)
∵∴
∴n＝13
法2：設(shè)這個(gè)數(shù)列有n項(xiàng)
∵
∴∴
又∴n＝13
（2）答案：2因?yàn)榍叭?xiàng)和為12，∴a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝＝4
又a1a2a3＝48，∵a2＝4，∴a1a3＝12，a1＋a3＝8，
把a(bǔ)1，a3作為方程的兩根且a1＜a3，
∴x2－8x＋12＝0，x1＝6，x2＝2，∴a1＝2，a3＝6，∴選B.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用和學(xué)生分析問題、解決問題的能力。
例2．（1）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明
分析：（1）借助通過等差數(shù)列的定義求出數(shù)列的公差，再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，（2）求和還是要先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用通項(xiàng)公式進(jìn)行求和。
解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
由即d=1。
所以即
（II）證明：因?yàn)椋?br> 所以
點(diǎn)評(píng)：該題通過求通項(xiàng)公式，最終通過通項(xiàng)公式解釋復(fù)雜的不等問題，屬于綜合性的題目，解題過程中注意觀察規(guī)律。
例3．已知數(shù)列的首項(xiàng)（是常數(shù)，且），（），數(shù)列的首項(xiàng)，（）。
（1）證明：從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列；
（2）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值。
分析：第（1）問用定義證明，進(jìn)一步第（2）問也可以求出。
解：（1）∵∴
(n≥2)
由得，，∵，∴，
即從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列。
（2）
當(dāng)n≥2時(shí)，
∵是等比數(shù)列,∴(n≥2)是常數(shù)，∴3a+4=0，即。
點(diǎn)評(píng)：本題考查了用定義證明等比數(shù)列，分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的綜合性。
【反饋演練】
1．已知等差數(shù)列中，，則前10項(xiàng)的和＝210。
2．在等差數(shù)列中，已知?jiǎng)t＝42。
3．已知等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差是3。
4．如果成等比數(shù)列，則3，-9。
5．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=12,S120,S130.
(1)求公差d的取值范圍；
(2)指出S1、S2、…、S12中哪一個(gè)值最大，并說明理由.
解：(1)依題意有：
解之得公差d的取值范圍為－＜d＜－3.
(2)解法一：由d＜0可知a1a2a3…a12a13,因此，在S1，S2，…，S12中Sk為最大值的條件為：ak≥0且ak+1＜0,即
∵a3=12,∴，∵d＜0,∴2－＜k≤3－
∵－＜d＜－3,∴＜－＜4,得5.5＜k＜7.
因?yàn)閗是正整數(shù)，所以k=6,即在S1，S2，…，S12中，S6最大.
解法二：由d＜0得a1a2…a12a13，
因此若在1≤k≤12中有自然數(shù)k,使得ak≥0,且ak+1＜0,則Sk是S1，S2，…，S12中的最大值。又2a7=a1+a13=S13＜0,∴a7＜0,a7+a6=a1+a12=S120,∴a6≥－a70
故在S1，S2，…，S12中S6最大.
解法三：依題意得：
最小時(shí)，Sn最大；
∵－＜d＜－3,∴6＜(5－)＜6.5.
從而，在正整數(shù)中，當(dāng)n=6時(shí)，［n－(5－)］2最小，所以S6最大.
點(diǎn)評(píng)：該題的第(1)問通過建立不等式組求解屬基本要求，難度不高，入手容易.
第(2)問難度較高，為求{Sn}中的最大值Sk（1≤k≤12）：思路之一是知道Sk為最大值的充要條件是ak≥0且ak+1＜0；而思路之二則是通過等差數(shù)列的性質(zhì)等和性探尋數(shù)列的分布規(guī)律，找出“分水嶺”，從而得解；思路之三是可視Sn為n的二次函數(shù)，借助配方法可求解，它考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、邏輯思維能力和計(jì)算能力，較好地體現(xiàn)了高考試題注重能力考查的特點(diǎn).

第3課數(shù)列的求和
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
對(duì)于一般數(shù)列求和是很困難的，在推導(dǎo)等差、等比數(shù)列的和時(shí)出現(xiàn)了一些方法可以遷移到一般數(shù)列的求和上，掌握數(shù)列求和的常見方法有：
（1）公式法：⑴等差數(shù)列的求和公式，⑵等比數(shù)列的求和公式
（2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式求和有困難時(shí)常，將“和式”中的“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和（如：通項(xiàng)中含因式，周期數(shù)列等等）
（3）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列｛a｝，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，則可用把正著寫和與倒著寫和的兩個(gè)和式相加，就得到了一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。特征：an+a1=an-1+a2
（4）錯(cuò)項(xiàng)相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所組成，此時(shí)求和可采用錯(cuò)位相減法。
（5）裂項(xiàng)相消法：把一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)之和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和。
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1．已知公差不為0的正項(xiàng)等差數(shù)列｛an｝中,Sn為前n項(xiàng)之和,lga1、lga2、lga4成等差數(shù)列，若a5=10,
則S5=30。
2．已知數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列,且a2=8,a8=26,從｛an｝中依次取出第3項(xiàng),第9項(xiàng),第27項(xiàng)…,第3n項(xiàng),按原來的順序構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列｛bn｝,則bn=__3n+1+2___
3．若數(shù)列滿足：，2，3….則.
【范例導(dǎo)析】
例1.已知等比數(shù)列分別是某等差數(shù)列的第5項(xiàng)、第3項(xiàng)、第2項(xiàng)，且
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列
解：（I）依題意
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的基本性質(zhì)和等差數(shù)列的求和，本題還考查了轉(zhuǎn)化的思想。
例2．?dāng)?shù)列前項(xiàng)之和滿足：
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列的公比為,數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）定義數(shù)列為，，求數(shù)列的前項(xiàng)之和。
解：（1）由得：
兩式相減得：即,
∴數(shù)列是等比數(shù)列。
（2），則有∴。
（3），
∴
點(diǎn)評(píng)：本題考查了與之間的轉(zhuǎn)化問題，考查了基本等差數(shù)列的定義，還有裂項(xiàng)相消法求和問題。
例3．已知數(shù)列滿足，．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（Ⅲ）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為．求證：對(duì)任意的，．
分析：本題所給的遞推關(guān)系式是要分別“取倒”再轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列，對(duì)數(shù)列中不等式的證明通常是放縮通項(xiàng)以利于求和。
解：（Ⅰ），，
又，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．
，即.
（Ⅱ）．
．
（Ⅲ），．
當(dāng)時(shí)，則
．
，對(duì)任意的，．
點(diǎn)評(píng)：本題利用轉(zhuǎn)化思想將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成我們熟悉的結(jié)構(gòu)求得數(shù)列的通項(xiàng)，第二問分組求和法是非常常見的方法，第三問不等式的證明要用到放縮的辦法，放縮的目的是利于求和，所以通常會(huì)放成等差、等比數(shù)列求和，或者放縮之后可以裂項(xiàng)相消求和。

【反饋演練】
1．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和為75。
2．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則377。
3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為。
4．已知數(shù)列中，且有，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為
，前項(xiàng)和為。
5．?dāng)?shù)列{an}滿足a1=2，對(duì)于任意的n∈N*都有an＞0,且(n+1)an2+anan+1－nan+12=0，
又知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn=2n－1+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an及它的前n項(xiàng)和Sn；
(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；
解：(1）可解得，從而an=2n，有Sn=n2+n，
(2)Tn=2n+n－1.
6．?dāng)?shù)列{an}中，a1=8,a4=2且滿足an+2=2an+1－an,(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)Sn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜,求Sn;
(3)設(shè)bn=(n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N*均有Tn＞成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.
解：(1）由an+2=2an+1－anan+2－an+1=an+1－an可知{an}成等差數(shù)列，?
d==－2,∴an=10－2n.
(2)由an=10－2n≥0可得n≤5，當(dāng)n≤5時(shí)，Sn=－n2+9n，當(dāng)n＞5時(shí)，Sn=n2－9n+40，
故Sn=
(3)bn=
；要使Tn＞總成立，需＜T1=成立，即m＜8且m∈Z，故適合條件的m的最大值為7.
第4課數(shù)列的應(yīng)用
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1．能在具體的問題情景中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差、等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題。
2．注意基本數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，構(gòu)造思想：已知數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列，轉(zhuǎn)化思想：將非等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列。
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1．若數(shù)列中，，且對(duì)任意的正整數(shù)、都有，則.
2．設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，則的值為。
3．已知等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則。
【范例導(dǎo)析】
例1．已知正數(shù)組成的兩個(gè)數(shù)列，若是關(guān)于的方程的兩根
（1）求證：為等差數(shù)列；
（2）已知分別求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)。
（1）證明：由的兩根得：
是等差數(shù)列
（2）由（1）知
∴又也符合該式，
（3）①
②
①—②得
.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的構(gòu)造，數(shù)列的轉(zhuǎn)化思想，乘公比錯(cuò)項(xiàng)相減法求和等。
例2．設(shè)數(shù)列滿足，且數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列。
（I）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（II）是否存在，使，若存在，求出，若不存在，說明理由。
解：由題意得：
＝；
由已知得公比
（2）
，所以當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)。
又，所以當(dāng)時(shí)，
又，所以不存在，使。

【反饋演練】
1．制造某種產(chǎn)品，計(jì)劃經(jīng)過兩年要使成本降低，則平均每年應(yīng)降低成本。
2．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則54。
3．設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，為數(shù)列｛｝的前項(xiàng)和，則．
4.已知數(shù)列
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證數(shù)列是等比數(shù)列；
（3）求使得的集合.
解：（1）設(shè)數(shù)列，由題意得：
解得：
（2）由題意知：，
為首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列
（3）由
5.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，對(duì)于任意，滿足關(guān)系.
證明：是等比數(shù)列；
證明：∵①∴②
②－①，得
∵
故:數(shù)列{an}是等比數(shù)列

2012屆高三理科數(shù)學(xué)數(shù)列總復(fù)習(xí)

一名優(yōu)秀的教師就要對(duì)每一課堂負(fù)責(zé)，作為教師就要早早地準(zhǔn)備好適合的教案課件。教案可以讓學(xué)生能夠聽懂教師所講的內(nèi)容，幫助教師提前熟悉所教學(xué)的內(nèi)容。那么怎么才能寫出優(yōu)秀的教案呢？下面是小編為大家整理的“2012屆高三理科數(shù)學(xué)數(shù)列總復(fù)習(xí)”，相信您能找到對(duì)自己有用的內(nèi)容。

第六章數(shù)列

高考導(dǎo)航

考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
1.數(shù)列的概念和簡(jiǎn)單表示法?
（1）了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式）；?（2）了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).?
2.等差數(shù)列、等比數(shù)列?
（1）理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念；?
（2）掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；?
（3）能在具體問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題；?
（4）了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.本章重點(diǎn)：1.等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式及有關(guān)性質(zhì);
2.注重提煉一些重要的思想和方法，如：觀察法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、倒序相加求和法、錯(cuò)位相減求和法、裂項(xiàng)相消求和法、分組求和法、函數(shù)與方程思想、數(shù)學(xué)模型思想以及離散與連續(xù)的關(guān)系.?
本章難點(diǎn)：1.數(shù)列概念的理解；2.等差等比數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用；3.數(shù)列通項(xiàng)與求和方法的運(yùn)用.仍然會(huì)以客觀題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式及性質(zhì)，在解答題中，會(huì)保持以前的風(fēng)格，注重?cái)?shù)列與其他分支的綜合能力的考查，在高考中，數(shù)列?？汲Ｐ?，其主要原因是它作為一個(gè)特殊函數(shù)，使它可以與函數(shù)、不等式、解析幾何、三角函數(shù)等綜合起來，命出開放性、探索性強(qiáng)的問題，更體現(xiàn)了知識(shí)交叉命題原則得以貫徹；又因?yàn)閿?shù)列與生產(chǎn)、生活的聯(lián)系，使數(shù)列應(yīng)用題也倍受歡迎.

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

6.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

典例精析
題型一歸納、猜想法求數(shù)列通項(xiàng)
【例1】根據(jù)下列數(shù)列的前幾項(xiàng)，分別寫出它們的一個(gè)通項(xiàng)公式：
(1)7,77,777,7777，…
(2)23，－415，635，－863，…
(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9，…
【解析】(1)將數(shù)列變形為79(10－1)，79(102－1)，79(103－1)，…，79(10n－1)，
故an＝79(10n－1).
(2)分開觀察，正負(fù)號(hào)由(－1)n＋1確定，分子是偶數(shù)2n，分母是1×3,3×5,5×7，…，(2n－1)(2n＋1)，故數(shù)列的通項(xiàng)公式可寫成an＝(－1)n＋1.
(3)將已知數(shù)列變?yōu)?＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1,9＋0，….
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝n＋.
【點(diǎn)撥】聯(lián)想與轉(zhuǎn)換是由已知認(rèn)識(shí)未知的兩種有效的思維方法，觀察歸納是由特殊到一般的有效手段，本例的求解關(guān)鍵是通過分析、比較、聯(lián)想、歸納、轉(zhuǎn)換獲得項(xiàng)與項(xiàng)序數(shù)的一般規(guī)律，從而求得通項(xiàng).
【變式訓(xùn)練1】如下表定義函數(shù)f(x)：
x12345
f(x)54312
對(duì)于數(shù)列{an}，a1＝4，an＝f(an－1)，n＝2,3,4，…，則a2008的值是()
A.1B.2C.3D.4
【解析】a1＝4，a2＝1，a3＝5，a4＝2，a5＝4，…，可得an＋4＝an.
所以a2008＝a4＝2，故選B.
題型二應(yīng)用an＝求數(shù)列通項(xiàng)
【例2】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，分別求其通項(xiàng)公式：
(1)Sn＝3n－2；
(2)Sn＝18(an＋2)2(an＞0).
【解析】(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝31－2＝1，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2×3n－1，
又a1＝1不適合上式，
故an＝
(2)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝18(a1＋2)2，解得a1＝2，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝18(an＋2)2－18(an－1＋2)2，
所以(an－2)2－(an－1＋2)2＝0，所以(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0，
又an＞0，所以an－an－1＝4，
可知{an}為等差數(shù)列，公差為4，
所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)4＝4n－2，
a1＝2也適合上式，故an＝4n－2.
【點(diǎn)撥】本例的關(guān)鍵是應(yīng)用an＝求數(shù)列的通項(xiàng)，特別要注意驗(yàn)證a1的值是否滿足“n≥2”的一般性通項(xiàng)公式.
【變式訓(xùn)練2】已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是()
A.2n－1B.(n＋1n)n－1C.n2D.n
【解析】由an＝n(an＋1－an)an＋1an＝n＋1n.
所以an＝anan－1×an－1an－2×…×a2a1＝nn－1×n－1n－2×…×32×21＝n，故選D.
題型三利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)
【例3】已知在數(shù)列{an}中a1＝1，求滿足下列條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式：
(1)an＋1＝an1＋2an；(2)an＋1＝2an＋2n＋1.
【解析】(1)因?yàn)閷?duì)于一切n∈N*，an≠0，
因此由an＋1＝an1＋2an得1an＋1＝1an＋2，即1an＋1－1an＝2.
所以{1an}是等差數(shù)列，1an＝1a1＋(n－1)2＝2n－1，即an＝12n－1.
(2)根據(jù)已知條件得an＋12n＋1＝an2n＋1，即an＋12n＋1－an2n＝1.
所以數(shù)列{an2n}是等差數(shù)列，an2n＝12＋(n－1)＝2n－12，即an＝(2n－1)2n－1.
【點(diǎn)撥】通項(xiàng)公式及遞推關(guān)系是給出數(shù)列的常用方法，尤其是后者，可以通過進(jìn)一步的計(jì)算，將其進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新數(shù)列求通項(xiàng)，進(jìn)而可以求得所求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【變式訓(xùn)練3】設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，求an.
【解析】因?yàn)閿?shù)列{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，
所以anan＋1≠0，所以(n＋1)an＋1an－nanan＋1＋1＝0，
令an＋1an＝t，所以(n＋1)t2＋t－n＝0，
所以[(n＋1)t－n](t＋1)＝0，
得t＝nn＋1或t＝－1(舍去)，即an＋1an＝nn＋1.
所以a2a1a3a2a4a3a5a4…anan－1＝12233445…n－1n，所以an＝1n.
總結(jié)提高
1.給出數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)時(shí)，常用特征分析法與化歸法，所求通項(xiàng)不唯一.
2.由Sn求an時(shí)，要分n＝1和n≥2兩種情況.
3.給出Sn與an的遞推關(guān)系，要求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.

6.2等差數(shù)列

典例精析
題型一等差數(shù)列的判定與基本運(yùn)算
【例1】已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn＝n2－9n.
(1)求證：{an}為等差數(shù)列；(2)記數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn的表達(dá)式.
【解析】(1)證明：n＝1時(shí)，a1＝S1＝－8，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－[(n－1)2－9(n－1)]＝2n－10，
當(dāng)n＝1時(shí)，也適合該式，所以an＝2n－10(n∈N*).
當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1＝2，所以{an}為等差數(shù)列.
(2)因?yàn)閚≤5時(shí)，an≤0，n≥6時(shí)，an＞0.
所以當(dāng)n≤5時(shí)，Tn＝－Sn＝9n－n2，
當(dāng)n≥6時(shí)，Tn＝a1＋a2＋…＋a5＋a6＋…＋an
＝－a1－a2－…－a5＋a6＋a7＋…＋an
＝Sn－2S5＝n2－9n－2×(－20)＝n2－9n＋40，

所以，

【點(diǎn)撥】根據(jù)定義法判斷數(shù)列為等差數(shù)列，靈活運(yùn)用求和公式.
【變式訓(xùn)練1】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S21＝42，若記bn＝，則數(shù)列{bn}()
A.是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列B.是等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列
C.既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列D.既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列
【解析】本題考查了兩類常見數(shù)列，特別是等差數(shù)列的性質(zhì).根據(jù)條件找出等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)與公差之間的關(guān)系從而確定數(shù)列{bn}的通項(xiàng)是解決問題的突破口.{an}是等差數(shù)列，則S21＝21a1＋21×202d＝42.
所以a1＋10d＝2，即a11＝2.所以bn＝＝22－(2a11)＝20＝1，即數(shù)列{bn}是非0常數(shù)列，既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列.答案為C.
題型二公式的應(yīng)用
【例2】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.
(1)求公差d的取值范圍；
(2)指出S1，S2，…，S12中哪一個(gè)值最大，并說明理由.
【解析】(1)依題意，有
S12＝12a1＋12×(12－1)d2＞0，S13＝13a1＋13×(13－1)d2＜0，
即
由a3＝12，得a1＝12－2d.③
將③分別代入①②式，得
所以－247＜d＜－3.
(2)方法一：由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13，
因此，若在1≤n≤12中存在自然數(shù)n，使得an＞0，an＋1＜0，
則Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值.
由于S12＝6(a6＋a7)＞0，S13＝13a7＜0，
即a6＋a7＞0，a7＜0，因此a6＞0，a7＜0，
故在S1，S2，…，S12中，S6的值最大.
方法二：由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13，
因此，若在1≤n≤12中存在自然數(shù)n，使得an＞0，an＋1＜0，
則Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值.
故在S1，S2，…，S12中，S6的值最大.
【變式訓(xùn)練2】在等差數(shù)列{an}中，公差d＞0，a2008，a2009是方程x2－3x－5＝0的兩個(gè)根，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，那么滿足條件Sn＜0的最大自然數(shù)n＝.
【解析】由題意知又因?yàn)楣頳＞0，所以a2008＜0，a2009＞0.當(dāng)
n＝4015時(shí)，S4015＝a1＋a40152×4015＝a2008×4015＜0；當(dāng)n＝4016時(shí)，S4016＝a1＋a40162×4016＝a2008＋a20092×4016＞0.所以滿足條件Sn＜0的最大自然數(shù)n＝4015.
題型三性質(zhì)的應(yīng)用
【例3】某地區(qū)2010年9月份曾發(fā)生流感，據(jù)統(tǒng)計(jì)，9月1日該地區(qū)流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人數(shù)比前一天增加40人；但從9月11日起，該地區(qū)醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制，每天的新感染者人數(shù)比前一天減少10人.
(1)分別求出該地區(qū)在9月10日和9月11日這兩天的流感病毒的新感染者人數(shù)；
(2)該地區(qū)9月份(共30天)該病毒新感染者共有多少人？
【解析】(1)由題意知，該地區(qū)9月份前10天流感病毒的新感染者的人數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為40，公差為40的等差數(shù)列.
所以9月10日的新感染者人數(shù)為40＋(10－1)×40＝400(人).
所以9月11日的新感染者人數(shù)為400－10＝390(人).
(2)9月份前10天的新感染者人數(shù)和為S10＝10(40＋400)2＝2200(人)，
9月份后20天流感病毒的新感染者的人數(shù)，構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為390，公差為－10的等差數(shù)列.
所以后20天新感染者的人數(shù)和為T20＝20×390＋20(20－1)2×(－10)＝5900(人).
所以該地區(qū)9月份流感病毒的新感染者共有2200＋5900＝8100(人).
【變式訓(xùn)練3】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為
.
【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4≥10，S5≤15，

所以5＋3d2≤a4≤3＋d，即5＋3d≤6＋2d，所以d≤1，
所以a4≤3＋d≤3＋1＝4，故a4的最大值為4.
總結(jié)提高
1.在熟練應(yīng)用基本公式的同時(shí)，還要會(huì)用變通的公式，如在等差數(shù)列中，am＝an＋(m－n)d.
2.在五個(gè)量a1、d、n、an、Sn中，知其中的三個(gè)量可求出其余兩個(gè)量，要求選用公式要恰當(dāng)，即善于減少運(yùn)算量，達(dá)到快速、準(zhǔn)確的目的.
3.已知三個(gè)或四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列這類問題，要善于設(shè)元，目的仍在于減少運(yùn)算量，如三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，除了設(shè)a，a＋d，a＋2d外，還可設(shè)a－d，a，a＋d；四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，可設(shè)為a－3m，a－m，a＋m，a＋3m.
4.在求解數(shù)列問題時(shí)，要注意函數(shù)思想、方程思想、消元及整體消元的方法的應(yīng)用.

6.3等比數(shù)列

典例精析
題型一等比數(shù)列的基本運(yùn)算與判定
【例1】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝n＋2nSn(n＝1,2,3，…).求證：
(1)數(shù)列{Snn}是等比數(shù)列；(2)Sn＋1＝4an.
【解析】(1)因?yàn)閍n＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n＋2nSn，
所以(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn).
整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，所以Sn＋1n＋1＝2Snn，
故{Snn}是以2為公比的等比數(shù)列.
(2)由(1)知Sn＋1n＋1＝4Sn－1n－1＝4ann＋1(n≥2)，
于是Sn＋1＝4(n＋1)Sn－1n－1＝4an(n≥2).
又a2＝3S1＝3，故S2＝a1＋a2＝4.
因此對(duì)于任意正整數(shù)n≥1，都有Sn＋1＝4an.
【點(diǎn)撥】①運(yùn)用等比數(shù)列的基本公式，將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于等比數(shù)列的特征量a1、q的方程是求解等比數(shù)列問題的常用方法之一，同時(shí)應(yīng)注意在使用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)充分討論公比q是否等于1；②應(yīng)用定義判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列是最直接，最有依據(jù)的方法，也是通法，若判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列可用an＋1an＝q(常數(shù))恒成立，也可用a2n＋1＝anan＋2恒成立，若判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列則只需舉出反例即可，也可以用反證法.
【變式訓(xùn)練1】等比數(shù)列{an}中，a1＝317，q＝－12.記f(n)＝a1a2…an，則當(dāng)f(n)最大時(shí)，n的值為()
A.7B.8C.9D.10
【解析】an＝317×(－12)n－1，易知a9＝317×1256＞1，a10＜0,0＜a11＜1.又a1a2…a9＞0，故f(9)＝a1a2…a9的值最大，此時(shí)n＝9.故選C.
題型二性質(zhì)運(yùn)用
【例2】在等比數(shù)列{an}中，a1＋a6＝33，a3a4＝32，an＞an＋1(n∈N*).
(1)求an；
(2)若Tn＝lga1＋lga2＋…＋lgan，求Tn.
【解析】(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a1a6＝a3a4＝32，
又a1＋a6＝33，a1＞a6，解得a1＝32，a6＝1，
所以a6a1＝132，即q5＝132，所以q＝12，
所以an＝32(12)n－1＝26－n.
(2)由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，{lgan}是等差數(shù)列，
因?yàn)閘gan＝lg26－n＝(6－n)lg2，lga1＝5lg2，
所以Tn＝(lga1＋lgan)n2＝n(11－n)2lg2.
【點(diǎn)撥】歷年高考對(duì)性質(zhì)考查較多，主要是利用“等積性”，題目“小而巧”且背景不斷更新，要熟練掌握.
【變式訓(xùn)練2】在等差數(shù)列{an}中，若a15＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a29－n(n＜29，n∈N*)成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地在等比數(shù)列{bn}中，若b19＝1，能得到什么等式？
【解析】由題設(shè)可知，如果am＝0，在等差數(shù)列中有
a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a2m－1－n(n＜2m－1，n∈N*)成立，
我們知道，如果m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq，
而對(duì)于等比數(shù)列{bn}，則有若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq，
所以可以得出結(jié)論：
若bm＝1，則有b1b2…bn＝b1b2…b2m－1－n(n＜2m－1，n∈N*)成立.
在本題中則有b1b2…bn＝b1b2…b37－n(n＜37，n∈N*).
題型三綜合運(yùn)用
【例3】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，其中an≠0，a1為常數(shù)，且－a1，Sn，an＋1成等差數(shù)列.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝1－Sn，問是否存在a1，使數(shù)列{bn}為等比數(shù)列？若存在，則求出a1的值；若不存在，說明理由.
【解析】(1)由題意可得2Sn＝an＋1－a1.
所以當(dāng)n≥2時(shí)，有
兩式相減得an＋1＝3an(n≥2).
又a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，
所以{an}是以首項(xiàng)為a1，公比為q＝3的等比數(shù)列.
所以an＝a13n－1.
(2)因?yàn)镾n＝a1(1－qn)1－q＝－12a1＋12a13n，所以bn＝1－Sn＝1＋12a1－12a13n.
要使{bn}為等比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)1＋12a1＝0，即a1＝－2，此時(shí)bn＝3n.
所以{bn}是首項(xiàng)為3，公比為q＝3的等比數(shù)列.
所以{bn}能為等比數(shù)列，此時(shí)a1＝－2.
【變式訓(xùn)練3】已知命題：若{an}為等差數(shù)列，且am＝a，an＝b(m＜n，m、n∈N*)，則am＋n＝bn－amn－m.現(xiàn)在已知數(shù)列{bn}(bn＞0，n∈N*)為等比數(shù)列，且bm＝a，bn＝b(m＜n，m，n∈N*)，類比上述結(jié)論得bm＋n＝.
【解析】n－mbnam.
總結(jié)提高
1.方程思想，即等比數(shù)列{an}中五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可“知三求二”，通過求和與通項(xiàng)兩公式列方程組求解.
2.對(duì)于已知數(shù)列{an}遞推公式an與Sn的混合關(guān)系式，利用公式an＝Sn－Sn－1(n≥2)，再引入輔助數(shù)列，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題求解.
3.分類討論思想：當(dāng)a1＞0，q＞1或a1＜0,0＜q＜1時(shí)，等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列；當(dāng)a1＞0,0＜q＜1或a1＜0，q＞1時(shí)，{an}為遞減數(shù)列；q＜0時(shí)，{an}為擺動(dòng)數(shù)列；q＝1時(shí)，{an}為常數(shù)列.

6.4數(shù)列求和

典例精析
題型一錯(cuò)位相減法求和
【例1】求和：Sn＝1a＋2a2＋3a3＋…＋nan.
【解析】(1)a＝1時(shí)，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2.
(2)a≠1時(shí)，因?yàn)閍≠0，
Sn＝1a＋2a2＋3a3＋…＋nan，①
1aSn＝1a2＋2a3＋…＋n－1an＋nan＋1.②
由①－②得(1－1a)Sn＝1a＋1a2＋…＋1an－nan＋1＝1a(1－1an)1－1a－nan＋1，
所以Sn＝a(an－1)－n(a－1)an(a－1)2.
綜上所述，Sn＝
【點(diǎn)撥】(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，則求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法；
(2)當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為字母時(shí)，應(yīng)對(duì)字母是否為1進(jìn)行討論；
(3)當(dāng)將Sn與qSn相減合并同類項(xiàng)時(shí)，注意錯(cuò)位及未合并項(xiàng)的正負(fù)號(hào).
【變式訓(xùn)練1】數(shù)列{2n－32n－3}的前n項(xiàng)和為()
A.4－2n－12n－1B.4＋2n－72n－2C.8－2n＋12n－3D.6－3n＋22n－1
【解析】取n＝1，2n－32n－3＝－4.故選C.
題型二分組并項(xiàng)求和法
【例2】求和Sn＝1＋(1＋12)＋(1＋12＋14)＋…＋(1＋12＋14＋…＋12n－1).
【解析】和式中第k項(xiàng)為ak＝1＋12＋14＋…＋12k－1＝1－(12)k1－12＝2(1－12k).
所以Sn＝2[(1－12)＋(1－122)＋…＋(1－12n)]
＝－(12＋122＋…＋12n)]
＝2[n－12(1－12n)1－12]＝2[n－(1－12n)]＝2n－2＋12n－1.
【變式訓(xùn)練2】數(shù)列1,1＋2,1＋2＋22，1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n項(xiàng)和為()
A.2n－1B.n2n－n
C.2n＋1－nD.2n＋1－n－2
【解析】an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，
Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝2n＋1－n－2.故選D.
題型三裂項(xiàng)相消法求和
【例3】數(shù)列{an}滿足a1＝8，a4＝2，且an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝1n(14－an)(n∈N*)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn(n∈N*)，若對(duì)任意非零自然數(shù)n，Tn＞m32恒成立，求m的最大整數(shù)值.
【解析】(1)由an＋2－2an＋1＋an＝0，得an＋2－an＋1＝an＋1－an，
從而可知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則d＝a4－a14－1＝－2，
所以an＝8＋(n－1)×(－2)＝10－2n.
(2)bn＝1n(14－an)＝12n(n＋2)＝14(1n－1n＋2)，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝14[(11－13)＋(12－14)＋…＋(1n－1n＋2)]
＝14(1＋12－1n＋1－1n＋2)＝38－14(n＋1)－14(n＋2)＞m32，
上式對(duì)一切n∈N*恒成立.
所以m＜12－8n＋1－8n＋2對(duì)一切n∈N*恒成立.
對(duì)n∈N*，(12－8n＋1－8n＋2)min＝12－81＋1－81＋2＝163，
所以m＜163，故m的最大整數(shù)值為5.
【點(diǎn)撥】(1)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)能轉(zhuǎn)化為f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂項(xiàng)相消法求和.
(2)使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)，消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng).
【變式訓(xùn)練3】已知數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和為An，Bn，記cn＝anBn＋bnAn－anbn(n∈N*)，則數(shù)列{cn}的前10項(xiàng)和為()
A.A10＋B10B.A10＋B102C.A10B10D.A10B10
【解析】n＝1，c1＝A1B1；n≥2，cn＝AnBn－An－1Bn－1，即可推出{cn}的前10項(xiàng)和為A10B10，故選C.
總結(jié)提高
1.常用的基本求和法均對(duì)應(yīng)數(shù)列通項(xiàng)的特殊結(jié)構(gòu)特征，分析數(shù)列通項(xiàng)公式的特征聯(lián)想相應(yīng)的求和方法既是根本，也是關(guān)鍵.
2.數(shù)列求和實(shí)質(zhì)就是求數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式，它幾乎涵蓋了數(shù)列中所有的思想策略、方法和技巧，對(duì)學(xué)生的知識(shí)和思維有很高的要求，應(yīng)充分重視并系統(tǒng)訓(xùn)練.

6.5數(shù)列的綜合應(yīng)用

典例精析
題型一函數(shù)與數(shù)列的綜合問題
【例1】已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，設(shè)f(a1)，f(a2)，…，f(an)(n∈N*)是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列.
(1)設(shè)a是常數(shù)，求證：{an}成等比數(shù)列；
(2)若bn＝anf(an)，{bn}的前n項(xiàng)和是Sn，當(dāng)a＝2時(shí)，求Sn.
【解析】(1)f(an)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，即logaan＝2n＋2，所以an＝a2n＋2，
所以anan－1＝a2n＋2a2n＝a2(n≥2)為定值，所以{an}為等比數(shù)列.
(2)bn＝anf(an)＝a2n＋2logaa2n＋2＝(2n＋2)a2n＋2，
當(dāng)a＝2時(shí)，bn＝(2n＋2)(2)2n＋2＝(n＋1)2n＋2，
Sn＝223＋324＋425＋…＋(n＋1)2n＋2，
2Sn＝224＋325＋…＋n2n＋2＋(n＋1)2n＋3，
兩式相減得
－Sn＝223＋24＋25＋…＋2n＋2－(n＋1)2n＋3＝16＋24(1－2n－1)1－2－(n＋1)2n＋3，
所以Sn＝n2n＋3.
【點(diǎn)撥】本例是數(shù)列與函數(shù)綜合的基本題型之一，特征是以函數(shù)為載體構(gòu)建數(shù)列的遞推關(guān)系，通過由函數(shù)的解析式獲知數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而問題得到求解.
【變式訓(xùn)練1】設(shè)函數(shù)f(x)＝xm＋ax的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝2x＋1，則數(shù)列{1f(n)}(n∈N*)的前n項(xiàng)和是()
A.nn＋1B.n＋2n＋1C.nn＋1D.n＋1n
【解析】由f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1得m＝2，a＝1.
所以f(x)＝x2＋x，則1f(n)＝1n(n＋1)＝1n－1n＋1.

所以Sn＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.故選C.
題型二數(shù)列模型實(shí)際應(yīng)用問題
【例2】某縣位于沙漠地帶，人與自然長(zhǎng)期進(jìn)行著頑強(qiáng)的斗爭(zhēng)，到2009年底全縣的綠化率已達(dá)30%，從2010年開始，每年將出現(xiàn)這樣的局面：原有沙漠面積的16%將被綠化，與此同時(shí)，由于各種原因，原有綠化面積的4%又被沙化.
(1)設(shè)全縣面積為1,2009年底綠化面積為a1＝310，經(jīng)過n年綠化面積為an＋1，求證：an＋1＝45an＋425；
(2)至少需要多少年(取整數(shù))的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60%？
【解析】(1)證明：由已知可得an確定后，an＋1可表示為an＋1＝an(1－4%)＋(1－an)16%，
即an＋1＝80%an＋16%＝45an＋425.
(2)由an＋1＝45an＋425有，an＋1－45＝45(an－45)，
又a1－45＝－12≠0，所以an＋1－45＝－12(45)n，即an＋1＝45－12(45)n，
若an＋1≥35，則有45－12(45)n≥35，即(45)n－1≤12，(n－1)lg45≤－lg2，
(n－1)(2lg2－lg5)≤－lg2，即(n－1)(3lg2－1)≤－lg2，
所以n≥1＋lg21－3lg2＞4，n∈N*，
所以n取最小整數(shù)為5，故至少需要經(jīng)過5年的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60%.
【點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵是如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過反復(fù)讀題，列出有關(guān)信息，轉(zhuǎn)化為數(shù)列的有關(guān)問題.
【變式訓(xùn)練2】規(guī)定一機(jī)器狗每秒鐘只能前進(jìn)或后退一步，現(xiàn)程序設(shè)計(jì)師讓機(jī)器狗以“前進(jìn)3步，然后再后退2步”的規(guī)律進(jìn)行移動(dòng).如果將此機(jī)器狗放在數(shù)軸的原點(diǎn)，面向正方向，以1步的距離為1單位長(zhǎng)移動(dòng)，令P(n)表示第n秒時(shí)機(jī)器狗所在的位置坐標(biāo)，且P(0)＝0，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()
A.P(2006)＝402B.P(2007)＝403
C.P(2008)＝404D.P(2009)＝405
【解析】考查數(shù)列的應(yīng)用.構(gòu)造數(shù)列{Pn}，由題知P(0)＝0，P(5)＝1，P(10)＝2，P(15)＝3.所以P(2005)＝401，P(2006)＝401＋1＝402，P(2007)＝401＋1＋1＝403，P(2008)＝401＋
3＝404，P(2009)＝404－1＝403.故D錯(cuò).
題型三數(shù)列中的探索性問題
【例3】{an}，{bn}為兩個(gè)數(shù)列，點(diǎn)M(1,2)，An(2，an)，Bn(n－1n，2n)為直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn).
(1)對(duì)n∈N*，若點(diǎn)M，An，Bn在同一直線上，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列{bn}滿足log2Cn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbna1＋a2＋…＋an，其中{Cn}是第三項(xiàng)為8，公比為4的等比數(shù)列，求證：點(diǎn)列(1，b1)，(2，b2)，…，(n，bn)在同一直線上，并求此直線方程.
【解析】(1)由an－22－1＝2n－2n－1n－1，得an＝2n.
(2)由已知有Cn＝22n－3，由log2Cn的表達(dá)式可知：
2(b1＋2b2＋…＋nbn)＝n(n＋1)(2n－3)，①
所以2[b1＋2b2＋…＋(n－1)bn－1]＝(n－1)n(2n－5).②
①－②得bn＝3n－4，所以{bn}為等差數(shù)列.
故點(diǎn)列(1，b1)，(2，b2)，…，(n，bn)共線，直線方程為y＝3x－4.
【變式訓(xùn)練3】已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1及公差d都是整數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*).若a1＞1，a4＞3，S3≤9，則通項(xiàng)公式an＝.
【解析】本題考查二元一次不等式的整數(shù)解以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.
由a1＞1，a4＞3，S3≤9得
令x＝a1，y＝d得
在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域如圖所示.符合要求的整數(shù)點(diǎn)只有(2,1)，即a1＝2，d＝1.所以an＝2＋n－1＝n＋1.故答案填n＋1.
總結(jié)提高
1.數(shù)列模型應(yīng)用問題的求解策略
(1)認(rèn)真審題，準(zhǔn)確理解題意；
(2)依據(jù)問題情境，構(gòu)造等差、等比數(shù)列，然后應(yīng)用通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及性質(zhì)求解，或通過探索、歸納構(gòu)造遞推數(shù)列求解；
(3)驗(yàn)證、反思結(jié)果與實(shí)際是否相符.
2.數(shù)列綜合問題的求解策略
(1)數(shù)列與函數(shù)綜合問題或應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決數(shù)列問題，或以函數(shù)為載體構(gòu)造數(shù)列，應(yīng)用數(shù)列的知識(shí)求解；
(2)數(shù)列的幾何型綜合問題，探究幾何性質(zhì)和規(guī)律特征建立數(shù)列的遞推關(guān)系式，然后求解問題.

數(shù)列求和

一名優(yōu)秀的教師在每次教學(xué)前有自己的事先計(jì)劃，教師要準(zhǔn)備好教案，這是教師需要精心準(zhǔn)備的。教案可以讓學(xué)生能夠聽懂教師所講的內(nèi)容，幫助授課經(jīng)驗(yàn)少的教師教學(xué)。寫好一份優(yōu)質(zhì)的教案要怎么做呢？小編經(jīng)過搜集和處理，為您提供數(shù)列求和，供大家借鑒和使用，希望大家分享！