小學(xué)衛(wèi)生與健康教案

直線與平面垂直的判定。

第一課時直線與平面垂直的判定

（一）教學(xué)目標(biāo)
1．知識與技能
（1）使學(xué)生掌握直線和平面垂直的定義及判定定理；
（2）使學(xué)生掌握直線和平面所成的角求法；
（3）培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，使他們在直觀感知，操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上學(xué)會歸納、概括結(jié)論.
2．過程與方法
（1）通過教學(xué)活動，使學(xué)生了解，感受直線和平面垂直的定義的形成過程；
（2）探究判定直線與平面垂直的方法.
3．情態(tài)、態(tài)度與價值觀
培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會從“感性認(rèn)識”到“理性認(rèn)識”過程中獲取新知.
（二）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：（1）直線與平面垂直的定義和判定定理；
（2）直線和平面所成的角.
難點(diǎn)：直線與平面垂直判定定理的探究.
教學(xué)過程教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖
新課導(dǎo)入問題：直線和平面平行的判定方法有幾種？師投影問題，學(xué)生回答.
生：可用定義可判斷，也可依判定定理判斷.復(fù)習(xí)鞏固
探索新知一、直線和平面垂直的定義、畫法
如果直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們說直線l與平面互相垂直，記作l⊥.直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時，它們惟一的公共點(diǎn)P叫做垂足.
畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表不平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖.
師：日常生活中我們對直線與平面垂直有很多感性認(rèn)識，如旗桿與地面，橋柱與水面等，你能舉出更多的例子來嗎？
師：在陽光下觀察，直立于地面的旗桿及它在地面的影子，它們的位置關(guān)系如何？
生：旗桿與地面內(nèi)任意一條經(jīng)B的直線垂直.
師：那么旗桿所在直線與平面內(nèi)不經(jīng)過B點(diǎn)的直線位置關(guān)系如何，依據(jù)是什么？（圖）
生：垂直，依據(jù)是異面直線垂直的定義.
師：你能嘗試給線面垂直下定義嗎？
……
師：能否將任意直線改為無數(shù)條直線？學(xué)生找一反例說明.培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力使他們在直觀感知，操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上學(xué)會歸納概括結(jié)論.
探索新知二、直線和平面垂直的判定
1．試驗(yàn)如圖，過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）.
（1）折痕AD與桌面垂直嗎？
（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面垂直？
2．直線與平面垂直的判定定理：
一條直線與一個平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.
思考：能否將直線與平面垂直的判定定理中的“兩條相交直線”改為一條直線或兩條平行直線？師：下面請同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的小紙片，我們一起來做一個實(shí)驗(yàn)，（投影問題）.
學(xué)生動手實(shí)驗(yàn)，然后回答問題.
生：當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時，AD所在直線與桌面所在平面垂直.
師：此時AD垂直上的一條直線還是兩條直線？
生：AD垂直于桌面兩條直線，而且這兩條直線相交.
師：怎么證明？
生：折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關(guān)系不變，即AD⊥CD，AD⊥BD
……
師：直線和平面垂直的判定定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力使他們在直觀感知，操作確認(rèn)的基礎(chǔ)上學(xué)會歸納概括結(jié)論.
典例剖析例1如圖，已知a∥b，a⊥，求證：b⊥.
證明：在平面內(nèi)作兩條相交直線m、n.
因?yàn)橹本€a⊥，根據(jù)直線與平面垂直的定義知
a⊥m，a⊥n.
又因?yàn)閎∥a，
所以b⊥m，b⊥n.
又因?yàn)?，m、n是兩條相交直線，
b⊥.
師：要證b⊥，需證b與內(nèi)任意一條直線的垂直，又a∥b，問題轉(zhuǎn)化為a與面內(nèi)任意直線m垂直，這個結(jié)論顯然成立.
學(xué)生依圖及分析寫出證明過程.
……
師：此結(jié)論可以直接利用，判定直線和平面垂直.鞏固所知識培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化化歸能力、書寫表達(dá)能力.
探索新知二、直線和平面所成的角
如圖，一條直線PA和一個平面相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線的平面的交點(diǎn)A叫做斜足.過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.
一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0°的角.教師借助多媒體直接講授，注意直線和平面所成的角是分三種情況定義的.借助多媒體講授，提高上課效率.
典例剖析例2如圖，在正方體ABCD–A1B1C1D1中，求A1B和平面A1B1CD所成的角.
分析：找出直線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角.
解：連結(jié)BC1交B1C于點(diǎn)O，連結(jié)A1O.
設(shè)正方體的棱長為a，因?yàn)锳1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，所以A1B1⊥平面BCC1B1.
所以A1B1⊥BC1.
又因?yàn)锽C1⊥B1C，所以B1C⊥平面A1B1CD.
所以A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角.
在Rt△A1BO中，
，，
所以，
∠BA1O=30°
因此，直線A1B和平面A1B1CD所成的角為30°.師：此題A1是斜足，要求直線A1B與平面A1B1CD所成的角，關(guān)鍵在于過B點(diǎn)作出（找到，面A1B1CD的垂線，作出（找到）了面A1B1CD的垂線，直線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影就知道了，怎樣過B作平面A1B1CD的垂線呢？
生：連結(jié)BC1即可.
師：能證明嗎？
學(xué)生分析，教師板書，共同完成求解過程.點(diǎn)拔關(guān)鍵點(diǎn)，突破難點(diǎn)，示范書寫及解題步驟.
隨堂練習(xí)1．如圖，在三棱錐V–ABC中，VA=VC，AB=BC，求證：VB⊥AC.
2．過△ABC所在平面外一點(diǎn)P，作PO⊥，垂足為O，連接PA，PB，PC.
（1）若PA=PB=PC，∠C=90°，則點(diǎn)O是AB邊的心.
（2）若PA=PB=PC，則點(diǎn)O是△ABC的心.
（3）若PA⊥PB，PB⊥PC，PB⊥PA，則點(diǎn)O是△ABC的.心.
3．兩條直線和一個平面所成的角相等，這兩條直線一定平行嗎？
4．如圖，直四棱柱A′B′C′D′–ABCD（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形ABCD滿足什么條件時，A′C⊥B′D′？
學(xué)生獨(dú)立完成
答案：
1．略
2．（1）AB邊的中點(diǎn)；（2）點(diǎn)O是△ABC的外心；（3）點(diǎn)O是△ABC的垂心.
3．不一定平行.
4．AC⊥BD.鞏固所學(xué)知識
歸納總結(jié)1．直線和平面垂直的定義判定
2．直線和平面所成的角定義與解答步驟、完善.
3．線線垂直線面垂直學(xué)生歸納總結(jié)教師補(bǔ)充鞏固學(xué)習(xí)成果，使學(xué)生逐步養(yǎng)成愛總結(jié)，會總結(jié)的習(xí)慣和能力.
課后作業(yè)2.7第一課時習(xí)案學(xué)生獨(dú)立完成強(qiáng)化知識
提升能力
備選例題
例1如圖，在空間四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，M為BD中點(diǎn)，作AO⊥MC，交MC于O．求證：AO⊥平面BCD．
【解析】連結(jié)AM
∵AB=AD，CB=CD，M為BD中點(diǎn)．
∴BD⊥AM，BD⊥CM．
又AM∩CM=M，∴BD⊥平面ACM．
∵AO平面ACM，∴BD⊥AO．
又MC⊥AO，BD∩MC=M，∴AO⊥平面貌BCD．
【評析】本題為了證明AO⊥平面BCD，先證明了平面BCD內(nèi)的直線垂直于AO所在的平面．這一方法具有典型性，即為了證明線與面的垂直，需要轉(zhuǎn)化為線與線的垂直；為了解決線與線的垂直，又需轉(zhuǎn)化為另一個線與面的垂直，再化為新的線線垂直．這樣互相轉(zhuǎn)化，螺旋式往復(fù)，最終使問題得到解決．
例2已知棱長為1的正方體ABCD–A1B1C1D1中，E是A1B1的中點(diǎn)，求直線AE與平面ABC1D1所成的角的正弦值．
【解析】取CD的中點(diǎn)F，連接EF交平面ABC1D1于O，連AO．
由已知正方體，易知EO⊥ABC1D1，所以∠EAO為所求．
在Rt△EOA中，
，
，
sin∠EAO=．
所以直線AE與平面ABC1D1所成的角的正弦值為．
【評析】求直線和平面所成角的步驟：
（1）作——作出斜線和平面所成的角；
（2）證——證明所作或找到的角就是所求的角；
（3）求——常用解三角形的方法（通常是解由垂線、斜線、射影所組成的直角形）
（4）答．
jab88.cOM

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《直線與平面垂直的判定》教學(xué)設(shè)計

直線與平面垂直的判定教學(xué)設(shè)計

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系和直線、平面平行的判定及其性質(zhì)之后進(jìn)行的，其主要內(nèi)容是直線與平面垂直的定義、直線與平面垂直的判定定理及其應(yīng)用。

直線與平面垂直是通過直線和平面內(nèi)的任意一條直線（無一例外）都垂直來定義的，定義本身也表明了直線與平面垂直的意義，即如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內(nèi)的所有直線，這也可以看成是線線垂直的一個判定方法；直線與平面垂直的判定定理本節(jié)是通過折紙試驗(yàn)來感悟的，即一條直線只要與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直就可以判定直線與平面垂直了，它把原來定義中要求與任意一條（無限）垂直轉(zhuǎn)化為只要與兩條（有限）相交直線垂直就行了，概言之，線不在多，相交就行。直線與平面垂直的判定方法除了定義法、判定定理外，還有如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面，這是直線與平面垂直判定的一種間接方法，也是十分重要的。

本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想，即“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”，“無限轉(zhuǎn)化為有限”“線線垂直與線面垂直互相轉(zhuǎn)化”等數(shù)學(xué)思想。

直線與平面垂直是研究空間中的線線關(guān)系和線面關(guān)系的橋梁，為后繼面面垂直的學(xué)習(xí)、距離的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.借助對實(shí)例、圖片的觀察，提煉直線與平面垂直的定義，并能正確理解直線與平面垂直的定義；

2.通過直觀感知，操作確認(rèn)，歸納直線與平面垂直的判定定理，并能運(yùn)用判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題；

3.在探索直線與平面垂直判定定理的過程中發(fā)展合情推理能力，同時感悟和體驗(yàn)“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”、“線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直”、“無限轉(zhuǎn)化為有限”等數(shù)學(xué)思想.

三、教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)是熟悉的日常生活中的具體直線與平面垂直的直觀形象（學(xué)生的客觀現(xiàn)實(shí)）和直線與直線垂直的定義、直線與平面平行的判定定理等數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)（學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)），這為學(xué)生學(xué)習(xí)直線與平面垂直定義和判定定理等新知識奠定基礎(chǔ)。

學(xué)生學(xué)習(xí)的困難在于如何從直線與平面垂直的直觀形象中提煉出直線與平面垂直的定義，感悟直線與平面垂直的意義；以及如何從折紙試驗(yàn)中探究出直線與平面垂直的判定定理。

教學(xué)的重點(diǎn)是直線與平面垂直的定義和直線與平面垂直判定定理的探究；教學(xué)的難點(diǎn)是操作確認(rèn)并概括出直線與平面垂直的判定定理及初步運(yùn)用。

四、學(xué)習(xí)行為分析

本節(jié)課安排在立體幾何的初始階段，是學(xué)生空間觀念形成的關(guān)鍵時期，課堂上學(xué)生通過感知、觀察、提煉直線與平面垂直的定義，進(jìn)而通過辨析討論，深化對定義的理解。進(jìn)一步，在一個具體的數(shù)學(xué)問題情境中猜想直線與平面垂直的判定定理，并在教師的指導(dǎo)下，通過動手操作、觀察分析、自主探索等活動，切身感受直線與平面垂直判定定理的形成過程,體會蘊(yùn)涵在其中的思想方法。繼而，通過課本例1的學(xué)習(xí)概括直線與平面垂直的幾種常用判定方法。再通過練習(xí)與課后小結(jié)，使學(xué)生進(jìn)一步加深對直線與平面垂直的判定定理的理解。

五、教學(xué)支持條件分析

觀察和展示現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)例與圖片，以直觀感知直線與平面垂直的形象；準(zhǔn)備三角形紙片，用于探究直線與平面垂直的判定定理；制作多媒體課件動態(tài)演示，以加深對直線與平面垂直定義及判定定理的感知與理解。

六、教學(xué)過程設(shè)計

1.從實(shí)際背景中感知直線與平面垂直的形象

問題1：空間一條直線和一個平面有哪幾種位置關(guān)系？

設(shè)計意圖：此問基于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，通過對已學(xué)相關(guān)知識的追憶，尋找新知識學(xué)習(xí)的“固著點(diǎn)”。

問題2：在日常生活中你見得最多的直線與平面相交的情形是什么？請舉例說明。

設(shè)計意圖：此問基于學(xué)生的客觀現(xiàn)實(shí)，通過對生活事例的觀察，讓學(xué)生直觀感知直線與平面相交中一種特例：直線與平面垂直的初步形象，激起進(jìn)一步探究直線與平面垂直的意義。

2.提煉直線與平面垂直的定義

問題3：你能給出直線和平面垂直的定義嗎？回憶一下直線與直線垂直是如何定義的？

設(shè)計意圖：兩直線垂直有相交垂直和異面垂直，而異面直線垂直是轉(zhuǎn)化為兩直線相交垂直，實(shí)質(zhì)上是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，讓學(xué)生回憶直線與直線垂直的定義，旨在由此得到啟發(fā)：用“平面化”的思想來思考問題，即能否用一條直線垂直于一個平面內(nèi)的直線，來定義這條直線與這個平面垂直？

問題4：結(jié)合對下列問題的思考，試著給出直線和平面垂直的定義．

(1)陽光下，旗桿AB與它在地面上的影子BC所成的角度是多少？

(2)隨著太陽的移動,影子BC的位置也會移動,而旗桿AB與影子BC所成的角度是否會發(fā)生改變?

(3)旗桿AB與地面上任意一條不過點(diǎn)B的直線B1C1的位置關(guān)系如何?依據(jù)是什么？

設(shè)計意圖：第（1）與（2）兩問旨在讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)旗桿AB所在直線始終與地面上任意一條過點(diǎn)B的直線垂直，第（3）問進(jìn)一步讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)旗桿AB所在直線始終與地面上任意一條不過點(diǎn)B的直線也垂直，在這里，主要引導(dǎo)學(xué)生通過觀察直立于地面的旗桿與它在地面的影子的位置關(guān)系來分析、歸納直線與平面垂直這一概念。

（學(xué)生敘寫定義，并建立文字、圖形、符號這三種語言的相互轉(zhuǎn)化）

思考：（1）如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線是否與這個平面垂直？

（2）如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線是否垂直于這個平面內(nèi)的所有直線？

（對問（1），在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上用直角三角板在黑板上直觀演示；對問（2）可引導(dǎo)學(xué)生給出符號語言表述：若，則)

設(shè)計意圖：通過對問題（1）的辨析討論，深化直線與平面垂直的概念。通過對問題（2）的辨析討論旨在讓學(xué)生掌握線線垂直的一種判定方法。

通常定義可以作為判定依據(jù)，但由于利用直線與平面垂直的定義直接判定直線與平面垂直需要考察平面內(nèi)的每一條直線與已知直線是否垂直，這給我們的判定帶來困難，因?yàn)槲覀儫o法去一一檢驗(yàn)。這就有必要去尋找比定義法更簡捷、可行的直線與平面垂直的判定方法。

3.探究直線與平面垂直的判定定理

創(chuàng)設(shè)情境猜想定理：某公司要安裝一根8米高的旗桿，兩位工人先從旗桿的頂點(diǎn)掛兩條長10米的繩子，然后拉緊繩子并把繩子的下端放在地面上兩點(diǎn)（和旗桿腳不在同一直線上）。如果這兩點(diǎn)都和旗桿腳距離6米，那么表明旗桿就和地面垂直了，你知道這是為什么嗎？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直觀感知以及已有經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行合情推理，猜想判定定理。

師生活動：（折紙試驗(yàn)）請同學(xué)們拿出一塊三角形紙片，我們一起做一個試驗(yàn)：過三角形的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD（如圖1），將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）

問題5：（1）折痕AD與桌面垂直嗎？

（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？

（組織學(xué)生動手操作、探究、確認(rèn)）

設(shè)計意圖：通過折紙讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時，且B、D、C不在同一直線上的翻折之后豎起的折痕AD才不偏不倚地站立著，即AD與桌面垂直（如圖2），其它位置都不能使AD與桌面垂直。

問題6：在你翻折紙片的過程中，紙片的形狀發(fā)生了變化，這是變的一面，那么不變的一面是什么呢？（可從線與線的關(guān)系考慮）如果我們把折痕抽象為直線，把BD、CD抽象為直線，把桌面抽象為平面(如圖3)，那么你認(rèn)為保證直線與平面垂直的條件是什么？

對于兩條相交直線必須在平面內(nèi)這一點(diǎn)，教師可引導(dǎo)學(xué)生操作：將紙片繞直線AD（點(diǎn)D始終在桌面內(nèi)）轉(zhuǎn)動，使得直線CD、BD不在桌面所在平面內(nèi)。問：直線AD現(xiàn)在還垂直于桌面所在平面嗎？（此處引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到直線CD、BD都必須是平面內(nèi)的直線）

設(shè)計意圖：通過操作讓學(xué)生認(rèn)識到兩條相交直線必須在平面內(nèi)，從而更凸現(xiàn)出直線與平面垂直判定定理的核心詞：平面內(nèi)兩條相交直線。

問題7：如果將圖3中的兩條相交直線、的位置改變一下，仍保證

，（如圖4）你認(rèn)為直線還垂直于平面嗎？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生明白要判定一條已知直線和一個平面是否垂直，取決于在這個平面內(nèi)能否找出兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn)，這是無關(guān)緊要的。

根據(jù)試驗(yàn)，請你給出直線與平面垂直的判定方法。

（學(xué)生敘寫判定定理，給出文字、圖形、符號這三種語言的相互轉(zhuǎn)化）

問題8：（1）與直線與平面垂直的定義相比,你覺得這個判定定理的優(yōu)越性體現(xiàn)在哪里?

（2）你覺得定義與判定定理的共同點(diǎn)是什么?

設(shè)計意圖：通過和直線與平面垂直定義的比較，讓學(xué)生體會“無限轉(zhuǎn)化為有限”的數(shù)學(xué)思想，通過尋找定義與判定定理的共同點(diǎn)，感悟和體會“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”、“線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直”的數(shù)學(xué)思想.

思考：現(xiàn)在，你知道兩位工人是根據(jù)什么原理安裝旗桿的嗎？為什么要求繩子在地面上兩點(diǎn)和旗桿腳不在同一直線上？

如果安裝完了，請你去檢驗(yàn)旗桿與地面是否垂直，你有什么好方法？

設(shè)計意圖：用學(xué)到手的知識解釋實(shí)際生活中的問題，增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識，同時通過提出“為什么要求繩子在地面上兩點(diǎn)和旗桿腳不在同一直線上？”（對該問題可引導(dǎo)學(xué)生用三角形紙片來驗(yàn)證），從而來深化對直線與平面垂直判定定理的理解。

4.直線與平面垂直判定定理的應(yīng)用

如圖5，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，請列舉與平面ABCD垂直的直線。并說明這些直線有怎樣的位置關(guān)系？

思考：如圖6，已知，則嗎？請說明理由。

（分別用直線與平面垂直的判定定理、直線與平面垂直的定義證明；并讓學(xué)生用語言敘述：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面）

設(shè)計意圖：這個例題給出了判斷直線和平面垂直的一個常用的命題，這個命題體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的聯(lián)系。

練習(xí)：如圖，在三棱錐V-ABC中，VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中點(diǎn)。

求證：AC⊥平面VKB

思考：

(1)在三棱錐V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，求證：VB⊥AC；

(2)在⑴中，若E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，試判斷EF與平面VKB的位置關(guān)系；

(3)在⑵的條件下，有人說“VB⊥AC，VB⊥EF，∴VB⊥平面ABC”，對嗎？

設(shè)計意圖：例2重在對直線與平面垂直判定定理的應(yīng)用．變式（1）在例2的基礎(chǔ)上，應(yīng)用了直線與平面垂直的意義；變式（2）是對例1判定方法的應(yīng)用；變式（3）的判斷在于進(jìn)一步鞏固直線與平面垂直的判定定理。3個小題環(huán)環(huán)相扣，匯集了本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，突出了知識間內(nèi)在聯(lián)系和融會貫通。

5.小結(jié)回授

（1）本節(jié)課你學(xué)會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？試用自己理解的語言敘述。

（2）直線與平面垂直的判定定理中體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

設(shè)計意圖：以問題討論的方式進(jìn)行小結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣，鼓勵學(xué)生運(yùn)用自己理解的語言對問題進(jìn)行質(zhì)疑和概括。

七、目標(biāo)檢測設(shè)計

1．課本P73探究：如圖2.3-7，直四棱柱A1B1C1D1-ABCD（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形ABCD滿足什么條件時，A1C⊥B1D1．

2．如圖，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，寫出圖中所有的直角三角形。

3．課本P74練習(xí)2

設(shè)計意圖：第1題是本節(jié)教材中的一道探究題，主要運(yùn)用直線與平面垂直的意義與判定定理；第2題也是活用直線與平面垂直的意義與判定定理，前兩題重在檢測本節(jié)課的知識與技能目標(biāo)，檢測運(yùn)用知識解決問題的能力；第3題通過學(xué)生探索，培養(yǎng)學(xué)生觀察——分析——?dú)w納和綜合運(yùn)用知識的能力。

《直線與平面垂直的判定》教案分析

俗話說，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。作為教師就要在上課前做好適合自己的教案。教案可以讓學(xué)生能夠在教學(xué)期間跟著互動起來，幫助教師掌握上課時的教學(xué)節(jié)奏。那么一篇好的教案要怎么才能寫好呢？為滿足您的需求，小編特地編輯了“《直線與平面垂直的判定》教案分析”，大家不妨來參考。希望您能喜歡！

《直線與平面垂直的判定》教案分析

教學(xué)目標(biāo)：
1、知識與技能目標(biāo)：描述直線與平面垂直的定義；運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理證明簡單的的空間位置關(guān)系問題.
2、過程與方法目標(biāo)：在探索直線與平面垂直判定定理的過程中感悟和體驗(yàn)“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”、“線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直”、“無限轉(zhuǎn)化為有限”等數(shù)學(xué)思想.
3、情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：通過對空間中直線與平面垂直定義的歸納，感受生活中的數(shù)學(xué)美；通過經(jīng)歷直線與平面垂直判定定理的探究，體驗(yàn)探索的樂趣
教材分析：
重點(diǎn)：直線與平面垂直的判定定理。
難點(diǎn)：探究得出出直線與平面垂直的判定定理及初步運(yùn)用．
一、教學(xué)過程：
1．復(fù)習(xí)回顧，引入新課
問題：同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了空間中直線與平面的位置關(guān)系，有哪些位置關(guān)系？
【師生活動】學(xué)生集體可能回答：直線在平面內(nèi)，直線與平面平行，直線與平面相交
【追問】有些位置關(guān)系是比較特殊的，一種是線面平行，還有一種呢？
【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生回答線面垂直這種位置關(guān)系是一種特殊的線面位置關(guān)系并揭示課題
2．逐步探索，得出定義
問題：在日常生活中你見到的線面垂直的現(xiàn)象有哪些？
【師生活動】學(xué)生列舉生活中的線面垂直現(xiàn)象，然后教師也展示生活中的一些線面垂直現(xiàn)象，例如籃球架和地面垂直，旗桿和地面垂直。對于旗桿與地面垂直的現(xiàn)象進(jìn)行抽象化，讓學(xué)生對下列問題進(jìn)行思考。
【師生活動】師生一起給出線面垂直的定義：如果直線《直線與平面垂直的判定》教學(xué)設(shè)計與平面內(nèi)《直線與平面垂直的判定》教學(xué)設(shè)計的任意一條直線都垂直，我們就說直線《直線與平面垂直的判定》教學(xué)設(shè)計與平面《直線與平面垂直的判定》教學(xué)設(shè)計互相垂直，記作：《直線與平面垂直的判定》教學(xué)設(shè)計.直線《直線與平面垂直的判定》教學(xué)設(shè)計叫做平面《直線與平面垂直的判定》教學(xué)設(shè)計的垂線，平面《直線與平面垂直的判定》教學(xué)設(shè)計叫做直線《直線與平面垂直的判定》教學(xué)設(shè)計的垂面．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點(diǎn)《直線與平面垂直的判定》教學(xué)設(shè)計叫做垂足。
3.創(chuàng)設(shè)情境，猜想定理
【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到由于利用直線與平面垂直的定義直接判定直線與平面垂直是非常困難的，需要尋找簡捷、可行的方法來判定直線與平面垂直。
問題：如果將圖3中的兩條相交直線《直線與平面垂直的判定》教學(xué)設(shè)計、《直線與平面垂直的判定》教學(xué)設(shè)計的位置改變一下，仍保證《直線與平面垂直的判定》教學(xué)設(shè)計，你認(rèn)為直線《直線與平面垂直的判定》教學(xué)設(shè)計還垂直于平面《直線與平面垂直的判定》教學(xué)設(shè)計嗎？
【設(shè)計意圖】：讓學(xué)生明白要判定一條已知直線和一個平面是否垂直，取決于在這個平面內(nèi)能否找出兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn)，這是無關(guān)緊要的。
【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)試驗(yàn)給出直線與平面垂直的判定方法。引導(dǎo)學(xué)生從文字語言、符號語言、圖形語言三個方面表述直線和平面垂直的判定定理．
文字語言：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．
強(qiáng)調(diào)：兩條相交直線，必須滿足，不可忽略.
【教師歸納】“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”、“線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直”、“無限轉(zhuǎn)化為有限”等數(shù)學(xué)思想.
4.運(yùn)用定理，證明問題
二、作業(yè)布置：教師引導(dǎo)學(xué)生從知識和方法兩個方面進(jìn)行總結(jié)．
知識方面：線面垂直的定義、線面垂直的判定定理．
方法方面：轉(zhuǎn)化思想
三、板書設(shè)計：（使用課件：是）

直線與平面垂直的判定教學(xué)設(shè)計（2）

直線與平面垂直的定義：如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，就稱直線與平面互相垂直。定義中的“任意一條直線”就是“所有直線”。

直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。定理體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想：將“直線與平面垂直”的問題轉(zhuǎn)化為“直線與直線垂直”的問題。

直線與平面垂直是直線和平面相交中的一種特殊情況，它是空間中線線垂直位置關(guān)系的拓展，又是面面垂直的基礎(chǔ)，是空間中垂直位置關(guān)系間轉(zhuǎn)化的重心，同時它又是直線和平面所成的角等內(nèi)容的基礎(chǔ)，因而它是點(diǎn)、直線、平面間位置關(guān)系中的核心概念之一。

對直線與平面垂直的定義的研究遵循“直觀感知、抽象概括”的認(rèn)知過程展開，而對直線與平面垂直的判定的研究則遵循“直觀感知、操作確認(rèn)、歸納總結(jié)、初步運(yùn)用”的認(rèn)知過程展開，通過該內(nèi)容的學(xué)習(xí)，能進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力和一定的推理論證能力，同時體會“平面化”思想和“降維”思想。

教學(xué)重點(diǎn)：直觀感知、操作確認(rèn)，概括出直線與平面垂直的定義和判定定理。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

目標(biāo)：理解直線與平面垂直的意義，掌握直線與平面垂直的判定定理。

目標(biāo)解析：

1、借助對圖片、實(shí)例的觀察，抽象概括出直線與平面垂直的定義。

2、通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納、概括出直線與平面垂直的判定定理。

3、能運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理，證明與直線和平面垂直有關(guān)的簡單命題：在平面內(nèi)選擇兩條相交直線，證明它們與平面外的直線垂直。

4、能運(yùn)用直線與平面垂直定義證明兩條直線垂直，即證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面。

三、教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線、平面平行的判定及性質(zhì)，學(xué)習(xí)了兩直線（共面或異面）互相垂直的位置關(guān)系，有了“通過觀察、操作并抽象概括等活動獲得數(shù)學(xué)結(jié)論”的體會，有了一定的空間想象能力、幾何直觀能力和推理論證能力。

在直線與平面垂直的判定定理中，為什么至少要兩條直線，并且是兩條相交直線，學(xué)生的理解有一定的困難，因?yàn)槎x中“任一條直線”指的是“所有直線”，這種用“有限”代替“無限”的過程導(dǎo)致學(xué)生形成理解上的思維障礙。同時，由于學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力有待進(jìn)一步加強(qiáng)，在直線與平面垂直判定定理的運(yùn)用中，不知如何選擇平面內(nèi)的兩條相交直線證線面垂直（抑或選擇平面證線面垂直從而得到線線垂直）導(dǎo)致證明過程中無從著手或發(fā)生錯誤。

教學(xué)難點(diǎn)：操作確認(rèn)并概括出直線與平面垂直的判定定理及初步運(yùn)用。

四、教學(xué)支持條件分析

為了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，條件許可準(zhǔn)備投影儀，多媒體課件，三角板。學(xué)生自備學(xué)具：三角形紙片、鐵絲、三角板。

五、教學(xué)過程設(shè)計

（一）、觀察歸納直線與平面垂直的定義

1、直觀感知

問題1：請同學(xué)們觀察圖片，說出旗桿與地面、大橋橋柱與水面是什么位置關(guān)系？你能舉出一些類似的例子嗎？

設(shè)計意圖：從實(shí)際背景出發(fā)，直觀感知直線和平面垂直的位置關(guān)系，使學(xué)生在頭腦中產(chǎn)生直線與地面垂直的初步印象，為下一步的數(shù)學(xué)抽象做準(zhǔn)備。

師生活動：觀察圖片，引導(dǎo)學(xué)生舉出更多直線與平面垂直的例子，如教室內(nèi)直立的墻角線和地面位置關(guān)系，桌子腿與地面的位置關(guān)系，直立書的書脊與桌面的位置關(guān)系等，由此引出課題。

2、觀察思考

思考：如何定義一條直線與一個平面垂直呢？

我們已經(jīng)學(xué)過直線和平面平行的判定和性質(zhì)，知道直線和平面平行的問題可轉(zhuǎn)化為考察直線和平面內(nèi)直線平行的關(guān)系,直線和平面垂直的問題同樣可以轉(zhuǎn)化為考察一條直線和一個平面內(nèi)直線的關(guān)系，然后加以解決。

問題2：（1）如圖1，在陽光下觀察直立于地面旗桿AB及它在地面的影子BC，旗桿所在的直線與影子所在直線位置關(guān)系是什么？

（2）旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿底部B的直線B1C1的位置關(guān)系又是什么？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生用“平面化”的思想來思考問題，通過觀察，感知直線與平面垂直的本質(zhì)屬性。

師生活動：教師用多媒體課件演示旗桿在地面上的影子隨著時間的變化而移動的過程，引導(dǎo)學(xué)生得出旗桿所在直線與地面內(nèi)的直線都垂直。

3、抽象概括

問題3、通過上述觀察分析，你認(rèn)為應(yīng)該如何定義一條直線與一個平面垂直？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生歸納、概括出直線與平面垂直的定義。

師生活動：學(xué)生思考作答，教師補(bǔ)充完善，指出定義中的“任意一條直線”與“所有直線”是同意詞，定義是說這條直線和平面內(nèi)所有直線垂直。同時給出線面垂直的記法與畫法。

定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作：l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足。

畫法：畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖2。

4、辯析舉例

辨析：下列命題是否正確，為什么？

（1）如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線與這個平面垂直。

（2）如果一條直線垂直一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內(nèi)的任一直線。

設(shè)計意圖：通過問題辨析，加深概念的理解，掌握概念的本質(zhì)屬性。由（1）使學(xué)生明確定義中的“任意一條直線”是“所有直線”的意思，定義的實(shí)質(zhì)就是直線與平面內(nèi)所有直線都垂直。由（2）使學(xué)生明確，線面垂直的定義既是線面垂直的判定又是性質(zhì)，線線垂直與線面垂直可以相互轉(zhuǎn)化。

師生活動：命題（1）判斷中引導(dǎo)學(xué)生用鐵絲表直線，用三角板兩直角邊表兩垂直直線，桌面表平面舉出反例。教師利用三角板和教鞭進(jìn)行演示，將一塊大直角三角板的一條直角邊AC放在講臺上演示，這時另一條直角邊BC就和講臺上的一條直線（即三角板與桌面的交線AC）垂直，但它不一定和講臺桌面垂直.在此基礎(chǔ)上在講臺上放一根和AC平行的教鞭EF并平行移動，那么BC始終和EF垂直，但它不一定和講臺桌面垂直，最后教師用多媒體課件展示反例的直觀圖，如圖3。

由命題（2）給出下列常用命題：

這個命題體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)系的聯(lián)系，它是判斷線線垂直的常用方法。

（二）、探究發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的判定定理

1、觀察猜想

思考：我們該如何檢驗(yàn)學(xué)校廣場上的旗桿是否與地面垂直？

雖然可以根據(jù)定義判定直線與平面垂直，但這種方法實(shí)際上難以實(shí)施。有沒有比較方便可行的方法來判斷直線和平面垂直呢？

問題4、觀察跨欄、簡易木架等實(shí)物，你能猜想出判斷一條直線與一個平面垂直的方法嗎？

設(shè)計意圖：通過問題思考與實(shí)例分析，尋找具有可操作性的判定方法，體驗(yàn)有限與無限之間的辯證關(guān)系。

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，給出猜想：一條直線與一個平面內(nèi)兩相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

2、操作確認(rèn)

問題5：如圖4，請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的一塊（任意）三角形的紙片，我們一起來做一個實(shí)驗(yàn)：過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC與桌面接觸）.觀察并思考：

（1）折痕AD與桌面垂直嗎？如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？

（2）由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直關(guān)系，即AD⊥CD，AD⊥BD發(fā)生變化嗎？由此你能得到什么結(jié)論？

設(shè)計意圖：通過實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的條件，培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力和幾何直觀能力。

師生活動：在折紙試驗(yàn)中，學(xué)生會出現(xiàn)“垂直”與“不垂直”兩種情況，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行交流，根據(jù)直線與平面垂直的定義分析“不垂直”的原因。學(xué)生再次折紙，進(jìn)而探究直線與平面垂直的條件，經(jīng)過討論交流，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要保證折痕AD是BC邊上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD就與桌面垂直，再利用多媒體演示翻折過程，增強(qiáng)幾何直觀性。

3、合情推理

問題6：根據(jù)上面的試驗(yàn)，結(jié)合兩條相交直線確定一個平面的事實(shí)，你能給出直線與平面垂直的判定方法嗎？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直觀感知及已有知識經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行合情推理，獲得判定定理。

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶出“兩條相交直線確定一個平面”，以及直觀過程中獲得的感知，將“與平面內(nèi)所有直線垂直”逐步歸結(jié)到“與平面內(nèi)兩條相交直線垂直”，進(jìn)而歸納出直線與平面垂直的判定定理。同時指出要判斷一條直線與一個平面是否垂直,取決于在這個平面內(nèi)能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn)是無關(guān)緊要的.定理充分體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

用符號語言表示為：

4、質(zhì)疑深化

辨析：如果一條直線與一個梯形的兩條邊垂直，那么這條直線垂直于梯形所在的平面嗎？

設(shè)計意圖：通過辨析，強(qiáng)化定理中“兩條相交直線”的條件。

師生活動：學(xué)生思考作答，教師再次強(qiáng)調(diào)“相交”條件。

（三）、直線與平面垂直的判定定理的初步應(yīng)用

嘗試練習(xí)1、求證：與三角形的兩條邊同時垂直的直線必與第三條邊垂直。

設(shè)計意圖：初步感受如何運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理與定義解決問題，明確運(yùn)用線面垂直判定定理的條件。

師生活動：學(xué)生根據(jù)題意畫圖（如圖6），將其轉(zhuǎn)化為幾何命題：不妨設(shè)a⊥AC,a⊥BC求證：a⊥AB。請兩位同學(xué)板演，其余同學(xué)在練習(xí)本上完成，師生共同評析，明確運(yùn)用線面垂直判定定理時的具體步驟，防止缺少條件，特別是“相交”的條件。

嘗試練習(xí)2、如圖7，已知a∥b，a⊥α，求證：b⊥α。

設(shè)計意圖：進(jìn)一步感受如何運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直，體會轉(zhuǎn)化思想在證題中的作用，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力與一定的推理論證能力。

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析思路，可利用線面垂直的定義證，也可用判定定理證，提示輔助線的添法，將思路集中在如何在平面內(nèi)α內(nèi)找到兩條與直線b垂直的相交直線上。另外，再引導(dǎo)學(xué)生將已知條件具體化的過程中，逐步明確根據(jù)異面直線所成角的概念解決問題。學(xué)生練習(xí)本上完成，對照課本P73例1,完善自己的解題步驟。同時指出：本例結(jié)果可以作為直線和平面垂直的又一個判定定理.這樣判定一條直線與已知平面垂直，可以用這條直線垂直于平面兩條相交直線來證明，也可以用這條直線的平行直線垂直于平面來證明.

嘗試練習(xí)3：如圖8，直四棱柱（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形滿足什么條件時，？

設(shè)計意圖：能合理尋找平面證線面垂直從而得出線線垂直，體會轉(zhuǎn)化思想在證題中的作用。

師生活動：學(xué)生思考討論，請一位同學(xué)用投影儀展示并分析其思路，教師參與討論。

（四）、總結(jié)反思

（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會了哪些判斷直線與平面垂直的方法？

（2）上述判斷直線與平面垂直的方法體現(xiàn)的什么數(shù)學(xué)思想？

（3）關(guān)于直線與平面垂直你還有什么問題？

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣，鼓勵學(xué)生對問題多質(zhì)疑、多概括。

師生活動：學(xué)生發(fā)言，互相補(bǔ)充，教師點(diǎn)評完善，歸納出判斷直線與平面垂直的方法，給出框圖（投影展示）。

六、目標(biāo)檢測設(shè)計

1、如圖，點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，O是對角線AC與BD的交點(diǎn)，且PA=PC，PB=PD.求證：PO⊥平面ABCD

2、課本P74練習(xí)1、2

3、課本P86A組10

4、如圖，PA⊥圓O所在平面，AB是圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，則圖中有幾個直角三角形?由此你認(rèn)為三棱錐中最多有幾個直角三角形？

（板書設(shè)計）