一元二次方程高中教案
發(fā)表時間：2020-09-08冀教版初一數(shù)學下冊《二元一次方程組》知識點總結(jié)。
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冀教版初一數(shù)學下冊《二元一次方程組》知識點總結(jié)
一、二元一次方程組
1.二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程，一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0)。
如果一個方程含有兩個未知數(shù)，并且所含未知項都為1次方，那么這個整式方程就叫做二元一次方程，有無窮個解，若加條件限定有有限個解。二元一次方程組，則一般有一個解，有時沒有解，有時有無數(shù)個解。
2.二元一次方程組：把兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。
3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做二元一次方程組的解。
二、二元一次方程組的解法
代入消元法。我們先把第一個方程看成只有一個未知數(shù)(另一個字母看成已知數(shù))，通過移項去括號等把它寫成字母等于的形式。
然后我們把第二個方程里面的那個字母換成剛才我們得到的代數(shù)式，這樣我們就得到了一個一元一次方程。
把這個一元一次方程解出來，得到其中一個未知數(shù)的值。
三、二元一次方程組的應(yīng)用
1.行程問題：
(1)追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種，它的特點是同向而行。這類問題比較直觀，畫線段,用圖便于理解與分析。其等量關(guān)系式是:兩者的行程差=開始時兩者相距的路程;
(2)相遇問題:相遇問題也是行程問題中很重要的一種，它的特點是相向而行。這類問題也比較直觀，因而也畫線段圖幫助理解與分析。這類問題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和=總路程。
(3)航行問題：
①船在靜水中的速度+水速=船的順水速度;
②船在靜水中的速度-水速=船的逆水速度;
四、簡單的三元一次方程組
1.三元一次方程組解法：
主要的解法就是加減消元法和代入消元法，通常采用加減消元法，若方程難解就用代入消元法，因題而異。
2.簡單的三元一次方程組的解法步驟：
(1)思路：解三元一次方程組的基本思想仍是消元，其基本方法是代入法和加減法。
(2)步驟：①利用代入法或加減法，消去一個未知數(shù)，得出一個二元一次方程組;
②解這個二元一次方程組，求得兩個未知數(shù)的值;
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二元一次方程組
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課題
第十章二元一次方程組
課時分配
本課（章節(jié)）需2課時
本節(jié)課為第2課時
為本學期總第課時
10.3解二元一次方程組（加減消元法）
教學目標
1.使學生會用加減法解二元一次方程組。
2.學生通過解決問題，了解代入法與加減法的共性及個性。
重點
探尋用加減法解二元一次的方程組的進程。
難點
消元轉(zhuǎn)化的過程
教學方法
講練結(jié)合、探索交流
課型
新授課
教具
投影儀
教師活動
學生活動
情景設(shè)置：
小明買了兩份水果，一份是3kg蘋果、2kg香蕉，共用去13.2元；另一份是2kg蘋果、5kg香蕉，共用去19.8元。設(shè)蘋果x元/kg，香蕉y元/kg.列出方程。
新課講解：
列出方程組
1.解方程組
分析：關(guān)鍵的出方程〈1〉中的2y與方程〈2〉中的-2y互為相反數(shù)。想象出如果相加兩個方程，會是什么結(jié)果？
板演：
解：〈1〉+〈2〉得：
4x=6
x=
把x=代入〈1〉得
+2y=1
解出這個方程，得
y=
所以原方程組的解是
2.解方程組
通過議一議，讓學生都有感覺消去含x或y的項都可以，但哪個更簡便？
解：〈1〉3，得
15x-6y=12〈3〉
〈2〉2，得
4x-6y=-10〈4〉
〈3〉-〈4〉，得
11x=22
x=2
將x=2代入〈1〉，得
52-2y=4
y=3
所以原方程組的解是
加減消元法：把方程組的兩個防城（或先作適當變形）相加或相減，消去其中一個未知數(shù)，把解二元一次方程組轉(zhuǎn)化為解一元一次方程。
練一練：
解方程組
小結(jié)：
加減消元法關(guān)鍵是如何消元，化二元為一元。
先觀察后確定消元。
教學素材：
A組題：解下列方程組：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
B組題：運用“轉(zhuǎn)化”的思想方法，你能解下面的三元一次方程組嗎？
（1）
（2）
學生讀題，議一議
學生想一想，如感到困難則看道簡單題。
由學生觀察，如何求出x,y的值，學生再討論。
試一試。學生口述。
老師板演
得到一元一次方程
學生再觀察，議一議
①消去哪個未知數(shù)
②怎樣消去？
P1121(1)(2)(3)(4)
作業(yè)
習題11.3P1121(3)(4)3,4
板書設(shè)計
方程組解方程組
(1)
(2)
(3)
教學后記
解二元一次方程組
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第七章二元一次方程組總課時：8課時使用人：
備課時間：第九周上課時間：第十三周
第2課時：7、2解二元一次方程組（1）
教學目標
知識與技能：會用代入消元法解二元一次方程組.
過程與方法：了解“消元”思想，初步體會數(shù)學研究中“化未知為已知”的化歸思想.
情感態(tài)度與價值觀：讓學生經(jīng)歷自主探索過程，化未知為已知，從中獲得成功的體驗，從而激發(fā)學生的學習興趣.
教學重點
用代入消元法解二元一次方程組.
教學難點
在解題過程中體會“消元”思想和“化未知為已知”的化歸思想.
教學準備：多媒體課件
教學過程：
第一環(huán)節(jié)：情境引入（5分鐘，學生理解題意，小組討論解決方案）
內(nèi)容：
教師引導學生共同回憶上一節(jié)課討論的“買門票”問題，想一想當時是怎么獲得二元一次方程組的解的.
設(shè)他們中有x個成人，y個兒童，我們得到了方程組成人和兒童到底去了多少人呢？在上一節(jié)課的“做一做”中，我們通過檢驗是不是方程x+y=8和方程5x+3y=34的解，從而得知這個解既是x+y=8的解，也是5x+3y=34的解，根據(jù)二元一次方程組的解的定義，得出是方程組的解.所以成人和兒童分別去了5人和3人.
提出問題：每一個二元一次方程的解都有無數(shù)多個，而方程組的解是方程組中各個方程的公共解，前面的方法中卻好我們找到了這個公共解，但如果數(shù)據(jù)不巧，這可沒那么容易，那么，有什么方法可以獲得任意一個二元一次方程組的解呢？
第二環(huán)節(jié)：探索新知（10分鐘，教師引導學生分析方程中的數(shù)量關(guān)系，找到方法）
內(nèi)容：回顧七年級第一學期學習的一元一次方程，是不是也曾碰到過類似的問題，能否利用一元一次方程求解該問題？（由學生獨立思考解決，教師注意指導學生規(guī)范表達）
解：設(shè)去了x個成人，則去了(8－x)個兒童，根據(jù)題意，得：
5x+3(8－x)=34.
解得：x=5.
將x=5代入8－x=8－5=3.
答：去了5個成人，3個兒童.
在學生解決的基礎(chǔ)上，引導學生進行比較：列二元一次方程組和列一元一次方程設(shè)未知數(shù)有何不同？列出的方程和方程組又有何聯(lián)系？對你解二元一次方程組有何啟示？
（先讓學生獨立思考，然后在學生充分思考的前提下，進行小組討論，在此基礎(chǔ)上由學生代表回答，老師適時地引導與補充，力求通過學生觀察、思考與討論后能得出以下的一些要點.）
1.列二元一次方程組設(shè)有兩個未知數(shù)：x個成人，y個兒童.列一元一次方程只設(shè)了一個未知數(shù)：x個成人，兒童去的個數(shù)通過去的總?cè)藬?shù)與去的成人數(shù)相比較，得出(8－x)個.因此y應(yīng)該等于(8－x).而由二元一次方程組的一個方程x+y=8，根據(jù)等式的性質(zhì)可以推出y=8－x.
2.發(fā)現(xiàn)一元一次方程中5x+3(8－x)=34與方程組中的第二個方程5x+3y=34相類似，只需把5x+3y=34中的“y”用“（8－x）”代替就轉(zhuǎn)化成了一元一次方程.
教師引導學生發(fā)現(xiàn)了新舊知識之間的聯(lián)系，便可尋求到解決新問題的方法——即將新知識（二元一次方程組）轉(zhuǎn)化為舊知識（一元一次方程）便可.
（由學生來回答）上一節(jié)課我們就已知道方程組中相同的字母表示的是同一個未知量.所以將中的①變形，得y=8－x③，我們把y=8－x代入方程②，即將②中的y用（8－x）代替，這樣就有5x+3(8－x)=34.“二元”化成“一元”.
教師總結(jié)：同學們很善于思考.這就是我們在數(shù)學研究中經(jīng)常用到的“化未知為已知”的化歸思想，通過它使問題得到完美解決.下面我們完整地解一下這個二元一次方程組.
（教師把解答的詳細過程板書在黑板上，并要求學生一起來完成）
解：
由①得：.③
將③代入②得：
.
解得：.
把代入③得：.
所以原方程組的解為：
（提醒學生進行檢驗，即把求出的解代入原方程組，必然使原方程組中的每個方程都同時成立，如不成立，則可知解有問題）
下面我們試著用這種方法來解答上一節(jié)的“誰的包裹多”的問題.
（放手讓學生用已經(jīng)獲取的經(jīng)驗去解決新的問題，由學生自己完成，讓兩個學生在黑板上規(guī)范的板書，教師巡視：發(fā)現(xiàn)學生的閃光點以及存在的問題并適時的加以輔導，以期學生在解答的過程中領(lǐng)會“代入消元法”的真實含義和“化歸”的數(shù)學思想.）
第三環(huán)節(jié)：鞏固新知（10分鐘，教師演示，學生理解、識記）
內(nèi)容：
1例解下列方程組：
(1)(2)
（根據(jù)學生的情況可以選擇學生自己完成或教師指導完成）
(1)解：將②代入①，得：.
解得：.
把代入②，得：.
所以原方程組的解為：
(2)由②，得：.③
將③代入①，得：.
解得：.
將y=2代入③，得：.
所以原方程組的解是
（⑵題需先進行恒等變形，教師要鼓勵學生通過自主探索與交流獲得求解，在求解過程中學生消元的具體方法可能不同，所以教學中不必強求解答過程的統(tǒng)一，但要提出如何選擇將哪個方程恒等變形、消去哪個未知數(shù)能使運算較為簡單.讓學生在解題中進行思考）
（教師在解完后要引導學生再次就解出的結(jié)果進行思考，判斷它們是否是原方程組的解.促使學生進一步理解方程組解的含義以及學會檢驗方程組解的方法.）
2思考總結(jié)：（教師根據(jù)學生的實際情況進行生與生、師與生之間的相互補充與評價，并提出下面的問題）
⑴給這種解方程組的方法取個什么名字好？
⑵上面解方程組的基本思路是什么？
⑶主要步驟有哪些？
⑷我們觀察例題的解法會發(fā)現(xiàn)，我們在解方程組之前，首先要觀察方程組中未知數(shù)的特點，盡可能地選擇變形后的方程較簡單和代入后化簡比較容易的方程變形，這是關(guān)鍵的一步.你認為選擇未知數(shù)有何特點的方程變形好呢？
(由學生分組討論，教師深入?yún)⑴c到學生討論中，發(fā)現(xiàn)學生在自主探索、討論過程中的獨特想法，請學生小組的代表回答或?qū)W生舉手回答，其余學生可以補充，力求讓學生能夠回答出以下的要點，教師要板書要點，在學生回答時注意進行積極評價)
1.在解上面兩個二元一次方程組時，我們都是將其中的一個方程變形，即用含其中一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)，然后代入另一個未變形的方程，從而由“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”，達到消元的目的.我們將這種方法叫代入消元法.
2.解二元一次方程組的基本思路是消元，把“二元”變?yōu)椤耙辉?
3.解上述方程組的步驟：
第一步：在已知方程組的兩個方程中選擇一個適當?shù)姆匠?，將它的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來.
第二步：把此代數(shù)式代入沒有變形的另一個方程中，可得一個一元一次方程.
第三步：解這個一元一次方程，得到一個未知數(shù)的值.
第四步：把求得的未知數(shù)的值代回到原方程組中的任意一個方程或變形后的方程(一般代入變形后的方程)，求得另一個未知數(shù)的值.
第五步：把方程組的解表示出來.
第六步：檢驗(口算或筆算在草稿紙上進行)，即把求得的解代入每一個方程看是否成立.
4.用代入消元法解二元一次方程組時，盡量選取一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值是1的方程進行變形；若未知數(shù)的系數(shù)的絕對值都不是1，則選取系數(shù)的絕對值較小的方程變形.
第四環(huán)節(jié)：練習提高（10分鐘，學生獨立完成，教師個別指導，全班交流）
內(nèi)容：
1.教材隨堂練習（在隨堂練習中，可以鼓勵學生通過自主探索與交流，各個學生消元的具體方法可能不同，可以不必強調(diào)解答過程統(tǒng)一.可能會出現(xiàn)整體代換的思想，若有條件可以提出，為下一課做點鋪墊也可以）
2.補充練習：用代入消元法解下列方程組：
(1)(2)⑶（注意分數(shù)線有括號功能）
第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)（5分鐘，教師引導學生總結(jié)解方程的方法）
內(nèi)容：師生相互交流總結(jié)解二元一次方程組的基本思路是“消元”，即把“二元”變?yōu)椤耙辉保唤舛淮畏匠探M的第一種解法——代入消元法，其主要步驟是：將其中的一個方程中的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，并代入另一個方程中，從而消去一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程.解這個一元一次方程，便可得到一個未知數(shù)的值，再將所求未知數(shù)的值代入變形后的方程，便求出了一對未知數(shù)的值.即求得了方程組的解.
第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)習題7.2A組（優(yōu)等生）1、2
B組（中等生）1
C組(后三分之一生)1
教學反思
8.1二元一次方程組
8.1二元一次方程組
教學目標1、弄懂二元一次方程、二元一次方程組和它們的解的含義，并會檢驗一對數(shù)是不是某個二元一次方程組的解；
2、學會用類比的方法遷移知識；體驗二元一次方程組在處理實際問題中的優(yōu)越性，感受數(shù)學的樂趣．
教學難點弄懂二元一次方程組解的含義。
知識重點二元一次方程、二元一次方程組及其解的含義。
教學過程（師生活動）設(shè)計理念
創(chuàng)設(shè)情境
導入課題幻燈：古老的“雞兔同籠問題”
“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足．問雞、兔各幾何？”
師：這是我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中記載的數(shù)學名題．它曾在好幾個世紀里引起過人們的興趣，這個問題也一定會使在座的各位同學感興趣．怎樣來解答這個問題呢？
學生思考自行解答，教師巡視．最后，在學生動手動腦的基礎(chǔ)上，班級集體討論給出各種解決方案．
方案一：算術(shù)方法
把兔子都看成雞，則多出94－35×2=24只腳，每只兔子比雞多出兩只腳，故，由此可先求出兔子有24÷2=12只，
進而雞有35－12=23只．
或類似的也可以先求雞的數(shù)量．
35×4－94=46，46÷2＝23
方案二：列一元一次方程解
設(shè)有x只雞，則有（35－x）只兔．根據(jù)題意，得
2x十4(35－x)=94.
（解方程略）
教師不失時機地復習一元一次方程的有關(guān)概念，“元”是指什么？“次”是指什么？以古老的數(shù)學名題引入，可以增強學生的民族自豪感，激發(fā)學好數(shù)學的感情
能用方案本來解的學生算術(shù)功底比較好，應(yīng)給予高度贊賞．
方案二既是對一元一次方程的復習與鞏固，又為二元一次方程組的引出做好鋪墊在。
分析問題（一）討論二元一次方程、二元一次方程組的概念
師：上面的問題可以用一元一次方程來解，還有其他方法嗎？（若學生想不到，教師要引導學生，要求的是兩個未知數(shù)，能否設(shè)兩個未知數(shù)列方程求解呢？讓學生自己設(shè)未知數(shù)，列方程）
方案三：設(shè)有x只雞，y只兔，依題意得
x＋y=35，①
2x＋4y=94.②
針對學生列出的這兩個方程，提出如下問題：
（1）、你能給這兩個方程起個名字嗎？
（2）為什么叫二元一次方程呢？
（3）什么樣的方程叫二元一次方程呢？
結(jié)合學生的回答，教師板書定義1：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1的方程，叫做二元一次方程．
師：在上面的問題中，雞、兔的只數(shù)必須同時滿足①②兩個方程．把①②兩個二元一次方程結(jié)合在一起，用花括號來連接．我們也給它起個名字，叫什么好呢？
定義2：把兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組．
（二）討論二元一次方程、二元一次方程組的解的概念
探究活動：滿足x＋y=35的值有哪些？請?zhí)钊氡碇校?br>
X
…
y
…
教師啟發(fā)：
（1）若不考慮此方程與上面實際問題的聯(lián)系，還可以取哪些值？
（2）你能模仿一元一次方程的解給二元一次方程的解下定義嗎？
（3）它與一元一次方程的解有什么區(qū)別？
定義3：使二元一次方程兩邊相等的兩個未知數(shù)的值，叫二元一次方程的解，記為
師：那么什么是二元一次方程組的解呢？
學生討論達成共識：二元一次方程組的解必須同時滿足方程組中的兩個方程．即：既是方程①又是方程②的解．
定義4：二元一次方程組的兩個方程的公共解叫做二元一次方程組的解．
比如：從方案一，我們知道，x=23，y=12使方程組中每一個方程成立．所以我們把x=23，y=12叫做
的解記為：
注意：二元一次方程組的解是成對出現(xiàn)的，用花括號來連接，表示“且”．
議一議：將上述“雞兔同籠”問題的三種方案進行優(yōu)劣對比，你有哪些想法呢？
引導學生利用一元一次方程進行知識的遷移與奚比，讓學生用原有的認知結(jié)構(gòu)去同化新知識，符合建構(gòu)主義理念
通過探究活動得出結(jié)論：
1、二元一次方程的解是成對出現(xiàn)的；2、二元一次方程的解有無
數(shù)多個．這與一元一次方程有顯
著的區(qū)別．
通過對比，讓學生體臉到從算術(shù)方法到代數(shù)方法是一種進步．而當我們遇到求多個未知量，而且數(shù)量關(guān)系較復雜時，列二元一次方程組比列一元一次方程容易，它大大減輕了我們的思維負擔．
鞏固新知例1下列各對數(shù)值中是二元一次方程x＋2y=2的解是
（）
ABCD
解法分析：
將A、B,C,D中各對數(shù)值逐一代人方程檢驗是否滿足方程，選A,B,C.
變式：其中是二元一次方程組解是()
解法分析：
在例1的基礎(chǔ)上，進一步檢驗A、B、C中各對值是否滿足方程2x＋y=－2，使學生明確認識到二元一次方程組的解必須同時滿足兩個方程．
例2（教材102頁練習）
解答過程略
本例先檢驗二元一次方程的解，再檢臉二元一次方程組的解，符合從簡單到復雜的認知規(guī)律．使學生更深刻地理解二元一次方程組的解的概念．
目的在于培養(yǎng)分析等量關(guān)系并列方程組的能力；培養(yǎng)觀察估算能力；使學生進一步熟悉二元一次方程組及其解的概
小結(jié)提高在學生暢所欲言話收獲的基礎(chǔ)上，通過老師進行補充的方式進行．
本節(jié)課學習了哪些內(nèi)容？你有哪些收獲？
（什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程組？什么叫二元一次方程組的解？）發(fā)揮學生主體意識，培養(yǎng)學生歸納小結(jié)的能力。
布置作業(yè)1、必做題：教科書102頁習題8.1第1、2題．
2、選做題：教科書102頁習題8.1第3題．
3、備選題：
（1）根據(jù)下列語句，列出二元一次方程：
①甲數(shù)的一半與乙數(shù)的的和為11
②甲數(shù)和乙數(shù)的2倍的差為17
（2）方程x＋2y=7在自然數(shù)范圍內(nèi)的解（）
A有無數(shù)個B有一個C有兩個D有三個
（3）若mx＋y=1是關(guān)于x,y的二元一次方程，那么m
的值應(yīng)是（）
A.m≠OB.m=0C.m是正有理數(shù)D.m是負有理數(shù)
（4）李平和張力從學校同時出發(fā)到郊區(qū)某公園游玩，兩人從出發(fā)到回來所用的時間相同，但是，李平游玩的時間是張力騎車時間的4倍，而張力游玩的時間是李平騎車時間的5倍，請問他倆人中誰騎車的速度快？
不同層次的學生根據(jù)自身的需要選擇不同的備用題，實現(xiàn)不同的人在數(shù)學上獲得不同的發(fā)展的教學理念．
本課教育評注（課堂設(shè)計理念，實際教學效果及改進設(shè)想）
本課的設(shè)計是從提出“雞兔同籠”的求解問題人手，激發(fā)學生的學習興趣與民族自豪感，讓學生經(jīng)歷從不同角度尋求不同的解決方法的過程，體現(xiàn)出解決問題策略的多樣性，激發(fā)了學生的學習興趣．以算術(shù)的方法襯托出方程解法的優(yōu)越性，以列一元一次方程解法襯托出列二元一次方程組解法的優(yōu)越性，更使學生感到二元一次方程組的引人順理成章．
本課內(nèi)容是在學生已經(jīng)掌握了一元一次方程的基礎(chǔ)知識，初步具有提取數(shù)學信息、解決實際問題的能力后展開的．根據(jù)建構(gòu)主義理念，學生完全有能力利用自己原有的知識去同化新知識，主動地將其納人自己的知識體系中．所以本課的通篇整體設(shè)計，突出了一元一次方程的樣板作用，讓學生在類比中，主動遷移知識，建立起新的概念．使得基礎(chǔ)知識和基本技能在學生頭腦中留下較深刻的印象是很有必要的。
