高中概率教案

25.1.2概率的意義。

一名愛崗敬業(yè)的教師要充分考慮學(xué)生的理解性，高中教師要準(zhǔn)備好教案，這是高中教師的任務(wù)之一。教案可以讓學(xué)生更好的消化課堂內(nèi)容，幫助高中教師掌握上課時(shí)的教學(xué)節(jié)奏。高中教案的內(nèi)容要寫些什么更好呢？小編特地為大家精心收集和整理了“25.1.2概率的意義”，僅供參考，歡迎大家閱讀。

課題:25.1.2概率的意義
教學(xué)目標(biāo):
〈一〉知識(shí)與技能
1.知道通過大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)的頻率可以作為事件發(fā)生概率的估計(jì)值
2.在具體情境中了解概率的意義
〈二〉教學(xué)思考
讓學(xué)生經(jīng)歷猜想試驗(yàn)--收集數(shù)據(jù)--分析結(jié)果的探索過程，豐富對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的體驗(yàn)，體會(huì)概率是描述不確定現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學(xué)模型.初步理解頻率與概率的關(guān)系.
〈三〉解決問題
在分組合作學(xué)習(xí)過程中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生合作交流的意識(shí)與能力.鍛煉質(zhì)疑、獨(dú)立思考的習(xí)慣與精神，幫助學(xué)生逐步建立正確的隨機(jī)觀念.
〈四〉情感態(tài)度與價(jià)值觀
在合作探究學(xué)習(xí)過程中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的好奇心與求知欲.體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值與學(xué)習(xí)的樂趣.通過概率意義教學(xué)，滲透辯證思想教育.
【教學(xué)重點(diǎn)】在具體情境中了解概率意義.
【教學(xué)難點(diǎn)】對(duì)頻率與概率關(guān)系的初步理解
【教具準(zhǔn)備】壹元硬幣數(shù)枚、圖釘數(shù)枚、多媒體課件
【教學(xué)過程】
一、創(chuàng)設(shè)情境，引出問題
教師提出問題：周末市體育場有一場精彩的籃球比賽，老師手中只有一張球票，小強(qiáng)與小明都是班里的籃球迷，兩人都想去.我很為難，真不知該把球給誰.請(qǐng)大家?guī)臀蚁雮€(gè)辦法來決定把球票給誰.
學(xué)生：抓鬮、抽簽、猜拳、投硬幣，……
教師對(duì)同學(xué)的較好想法予以肯定.（學(xué)生肯定有許多較好的想法，在眾多方法中推舉出大家較認(rèn)可的方法.如抓鬮、投硬幣）
追問，為什么要用抓鬮、投硬幣的方法呢？
由學(xué)生討論：這樣做公平.能保證小強(qiáng)與小明得到球票的可能性一樣大
在學(xué)生討論發(fā)言后，教師評(píng)價(jià)歸納.
用拋擲硬幣的方法分配球票是個(gè)隨機(jī)事件，盡管事先不能確定“正面朝上”還上“反面朝上”，但同學(xué)們很容易感覺到或猜到這兩個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性是一樣的，各占一半，所以小強(qiáng)、小明得到球票的可能性一樣大.
質(zhì)疑：那么，這種直覺是否真的是正確的呢？
引導(dǎo)學(xué)生以投擲壹元硬幣為例，不妨動(dòng)手做投擲硬幣的試驗(yàn)來驗(yàn)證一下.
說明：現(xiàn)實(shí)中不確定現(xiàn)象是大量存在的，新課標(biāo)指出：“學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義、富有挑戰(zhàn)的”，設(shè)置實(shí)際生活問題情境貼近學(xué)生的生活實(shí)際，很容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，教師應(yīng)對(duì)此予以肯定，并鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，為課堂教學(xué)營造民主和諧的氣氛，也為下一步引導(dǎo)學(xué)生開展探索交流活動(dòng)打下基礎(chǔ).
二、動(dòng)手實(shí)踐，合作探究
1．教師布置試驗(yàn)任務(wù).
（1）明確規(guī)則.
把全班分成10組，每組中有一名學(xué)生投擲硬幣，另一名同學(xué)作記錄，其余同學(xué)觀察試驗(yàn)必須在同樣條件下進(jìn)行.
（2）明確任務(wù)，每組擲幣50次，以實(shí)事求是的態(tài)度，認(rèn)真統(tǒng)計(jì)“正面朝上”的頻數(shù)及“正面朝上”的頻率，整理試驗(yàn)的數(shù)據(jù),并記錄下來..
2．教師巡視學(xué)生分組試驗(yàn)情況.
注意：
（1）．觀察學(xué)生在探究活動(dòng)中，是否積極參與試驗(yàn)活動(dòng)、是否愿意交流等，關(guān)注學(xué)生是否積極思考、勇于克服困難.
（2）．要求真實(shí)記錄試驗(yàn)情況.對(duì)于合作學(xué)習(xí)中有可能產(chǎn)生的紀(jì)律問題予以調(diào)控.
3.各組匯報(bào)實(shí)驗(yàn)結(jié)果.
由于試驗(yàn)次數(shù)較少，所以有可能有些組試驗(yàn)獲得的“正面朝上”的頻率與先前的猜想有出入.
提出問題：是不是我們的猜想出了問題？引導(dǎo)學(xué)生分析討論產(chǎn)生差異的原因.
在學(xué)生充分討論的基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生分析討論產(chǎn)生差異的原因.使學(xué)生認(rèn)識(shí)到每次隨機(jī)試驗(yàn)的頻率具有不確定性，同時(shí)相信隨機(jī)事件發(fā)生的頻率也有規(guī)律性，引導(dǎo)他們小組合作，進(jìn)一步探究.
解決的辦法是增加試驗(yàn)的次數(shù)，鑒于課堂時(shí)間有限，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行全班交流合作.
4．全班交流.
把各組測得數(shù)據(jù)一一匯報(bào)，教師將各組數(shù)據(jù)記錄在黑板上.全班同學(xué)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行累計(jì)，按照書上P140要求填好25-2.并根據(jù)所整理的數(shù)據(jù)，在25.1-1圖上標(biāo)注出對(duì)應(yīng)的點(diǎn),完成統(tǒng)計(jì)圖.

表25-2
拋擲次數(shù)50100150200250300350400450500
“正面向上”的頻數(shù)
“正面向上”的頻率

想一想1（投影出示）.觀察統(tǒng)計(jì)表與統(tǒng)計(jì)圖，你發(fā)現(xiàn)“正面向上”的頻率有什么規(guī)律？
注意學(xué)生的語言表述情況，意思正確予以肯定與鼓勵(lì).“正面朝上”的頻率在0.5上下波動(dòng).
想一想2（投影出示）
隨著拋擲次數(shù)增加，“正面向上”的頻率變化趨勢(shì)有何規(guī)律？
在學(xué)生討論的基礎(chǔ)上，教師幫助歸納.使學(xué)生認(rèn)識(shí)到每次試驗(yàn)中隨機(jī)事件發(fā)生的頻率具有不確定性，同時(shí)發(fā)現(xiàn)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率也有規(guī)律性.在試驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，“正面朝上”的頻率起伏較大，而隨著試驗(yàn)次數(shù)的逐漸增加，一般地，頻率會(huì)趨于穩(wěn)定，“正面朝上”的頻率越來越接近0.5.這也與我們剛開始的猜想是一致的.我們就用0.5這個(gè)常數(shù)表示“正面向上”發(fā)生的可能性的大小.
說明：注意幫助解決學(xué)生在填寫統(tǒng)計(jì)表與統(tǒng)計(jì)圖遇到的困難.通過以上實(shí)踐探究活動(dòng)，讓學(xué)生真實(shí)地感受到、清楚地觀察到試驗(yàn)所體現(xiàn)的規(guī)律，即大量重復(fù)試驗(yàn)事件發(fā)生的頻率接近事件發(fā)生的可能性的大?。ǜ怕剩?鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中要積極合作交流，思考探究.學(xué)會(huì)傾聽別人意見，勇于表達(dá)自己的見解.

為了給學(xué)生提供大量的、快捷的試驗(yàn)數(shù)據(jù),利用計(jì)算機(jī)模擬擲硬幣試驗(yàn)的課件，豐富學(xué)生的體驗(yàn)、提高課堂教學(xué)效率，使他們能直觀地、便捷地觀察到試驗(yàn)結(jié)果的規(guī)律性--大量重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個(gè)常數(shù)附近.
其實(shí)，歷史上有許多著名數(shù)學(xué)家也做過擲硬幣的試驗(yàn).讓學(xué)生閱讀歷史上數(shù)學(xué)家做擲幣試驗(yàn)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表（看書P141表25-3）.
表25-3
試驗(yàn)者拋擲次數(shù)（n）“正面朝上”次數(shù)（m）“正面向上”頻率（m/n）
棣莫弗204810610.518
布豐404020480.5069
費(fèi)勒1000049790.4979
皮爾遜1200060190.5016
皮爾遜24000120120.5005

通過以上學(xué)生親自動(dòng)手實(shí)踐,電腦輔助演示,歷史材料展示,讓學(xué)生真實(shí)地感受到、清楚地觀察到試驗(yàn)所體現(xiàn)的規(guī)律，大量重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個(gè)常數(shù)附近,即大量重復(fù)試驗(yàn)事件發(fā)生的頻率接近事件發(fā)生的可能性的大?。ǜ怕剩?同時(shí),又感受到無論試驗(yàn)次數(shù)多么大,也無法保證事件發(fā)生的頻率充分地接近事件發(fā)生的概率.
在探究學(xué)習(xí)過程中,應(yīng)注意評(píng)價(jià)學(xué)生在活動(dòng)中參與程度、自信心、是否愿意交流等，鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中不怕困難積極思考，敢于表達(dá)自己的觀點(diǎn)與感受,養(yǎng)成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度.
5.下面我們能否研究一下“反面向上”的頻率情況？
學(xué)生自然可依照“正面朝上”的研究方法，很容易總結(jié)得出：“反面向上”的頻率也相應(yīng)穩(wěn)定到0.5.
教師歸納：
（1）由以上試驗(yàn)，我們驗(yàn)證了開始的猜想，即拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣時(shí)，“正面向上”與“反面向上”的可能性相等（各占一半）.也就是說，用拋擲硬幣的方法可以使小明與小強(qiáng)得到球票的可能性一樣.
（2）在實(shí)際生活還有許多這樣的例子，如在足球比賽中，裁判用擲硬幣的辦法來決定雙方的比賽場地等等.
說明：這個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷了猜想試驗(yàn)——收集數(shù)據(jù)——分析結(jié)果的探索過程，在真實(shí)數(shù)據(jù)的分析中形成數(shù)學(xué)思考，在討論交流中達(dá)成知識(shí)的主動(dòng)建構(gòu)，為下一環(huán)節(jié)概率意義的教學(xué)作了很好的鋪墊.
三、評(píng)價(jià)概括，揭示新知
問題1.通過以上大量試驗(yàn)，你對(duì)頻率有什么新的認(rèn)識(shí)？有沒有發(fā)現(xiàn)頻率還有其他作用？
學(xué)生探究交流.發(fā)現(xiàn)隨機(jī)事件的可能性的大小可以用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到的值（或常數(shù)）估計(jì)或去描述.
通過猜想試驗(yàn)及探究討論，學(xué)生不難有以上認(rèn)識(shí).對(duì)學(xué)生可能存在語言上、描述中的不準(zhǔn)確等注意予以糾正，但要求不必過高.
歸納：以上我們用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到的常數(shù)刻畫了隨機(jī)事件的可能性的大小.
那么我們給這樣的常數(shù)一個(gè)名稱，引入概率定義.給出概率定義（板書）：一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么這個(gè)常數(shù)p就叫做事件A的概率（probability）,記作P（A）=p.
注意指出：
1．概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小的數(shù)量反映.
2．概率是事件在大量重復(fù)試驗(yàn)中頻率逐漸穩(wěn)定到的值，即可以用大量重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率去估計(jì)得到事件發(fā)生的概率，但二者不能簡單地等同.
想一想(學(xué)生交流討論)
問題2．頻率與概率有什么區(qū)別與聯(lián)系?
從定義可以得到二者的聯(lián)系,可用大量重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生頻率來估計(jì)事件發(fā)生的概率.另一方面,大量重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)(事件發(fā)生的概率)附近，說明概率是個(gè)定值,而頻率隨不同試驗(yàn)次數(shù)而有所不同,是概率的近似值,二者不能簡單地等同.
說明：猜想試驗(yàn)、分析討論、合作探究的學(xué)習(xí)方式十分有益于學(xué)生對(duì)概率意義的理解，使之明確頻率與概率的聯(lián)系，也使本節(jié)課教學(xué)重難點(diǎn)得以突破.為下節(jié)課進(jìn)一步研究概率和今后的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ).當(dāng)然，學(xué)生隨機(jī)觀念的養(yǎng)成是循序漸進(jìn)的、長期的.這節(jié)課教學(xué)應(yīng)把握教學(xué)難度，注意關(guān)注學(xué)生接受情況.
四．練習(xí)鞏固，發(fā)展提高.
學(xué)生練習(xí)
1．書上P143.練習(xí).1.鞏固用頻率估計(jì)概率的方法.
2．書上P143.練習(xí).2鞏固對(duì)概率意義的理解.
教師應(yīng)當(dāng)關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握情況，幫助學(xué)生解決遇到的問題.
五．歸納總結(jié)，交流收獲：
1．學(xué)生互相交流這節(jié)課的體會(huì)與收獲，教師可將學(xué)生的總結(jié)與板書串一起，使學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握條理化、系統(tǒng)化.
2．在學(xué)生交流總結(jié)時(shí)，還應(yīng)注意總結(jié)評(píng)價(jià)這節(jié)課所經(jīng)歷的探索過程，體會(huì)到的數(shù)學(xué)價(jià)值與合作交流學(xué)習(xí)的意義.
【作業(yè)設(shè)計(jì)】
（1）完成P144習(xí)題25.12、4
（2）課外活動(dòng)分小組活動(dòng)，用試驗(yàn)方法獲得圖釘從一定高度落下后釘尖著地的概率.
課后教學(xué)反思：

相關(guān)閱讀

第1節(jié)第2課時(shí)概率的意義教學(xué)案

第2課時(shí)概率的意義
[核心必知]
1．預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入
根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P113～P118，回答下列問題．
(1)教材P113思考中拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5，是不是可以說連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，一定是一次正面朝上，一次反面朝上呢？
提示：不一定．
(2)乒乓球比賽前，裁判怎樣確定發(fā)球權(quán)？
提示：裁判員用一個(gè)抽簽器決定發(fā)球權(quán)，這樣做體現(xiàn)了公平性．
(3)如果連續(xù)10次擲一枚骰子，結(jié)果都是出現(xiàn)1點(diǎn)，你認(rèn)為這枚骰子質(zhì)地均勻嗎？為什么？
提示：這枚骰子很可能質(zhì)地不均勻，也就是靠近6點(diǎn)的那面比較重，才更有可能出現(xiàn)10個(gè)1點(diǎn)．
(4)某氣象局預(yù)報(bào)說昨天本地降水概率為90%，結(jié)果連一滴雨都沒下，這是不是說天氣預(yù)報(bào)不準(zhǔn)確？
提示：概率為90%指明了“降水”這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率．由于在一次試驗(yàn)中，概率為90%的事件也可能不出現(xiàn)，因此，“昨天沒有下雨”并不能說天氣預(yù)報(bào)是錯(cuò)誤的．
2．歸納總結(jié)，核心必記
(1)對(duì)概率的正確理解
隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但隨機(jī)性中含有規(guī)律性，認(rèn)識(shí)了這種隨機(jī)性中的規(guī)律性，就能使我們比較準(zhǔn)確地預(yù)測隨機(jī)事件發(fā)生的可能性．
(2)實(shí)際問題中幾個(gè)實(shí)例
①游戲的公平性
(ⅰ)裁判員用抽簽器決定誰先發(fā)球，不管哪一名運(yùn)動(dòng)員先猜，猜中并取得發(fā)球權(quán)的概率均為0.5，所以這個(gè)規(guī)則是公平的．
(ⅱ)在設(shè)計(jì)某種游戲規(guī)則時(shí)，一定要考慮這種規(guī)則對(duì)每個(gè)人都是公平的這一重要原則．
②決策中的概率思想
如果我們面臨的是從多個(gè)可選答案中挑選正確答案的決策任務(wù)，那么“使得樣本出現(xiàn)的可能性最大”可以作為決策的準(zhǔn)則，這種判斷問題的方法稱為極大似然法，極大似然法是統(tǒng)計(jì)中重要的統(tǒng)計(jì)思想方法之一．
③天氣預(yù)報(bào)的概率解釋
天氣預(yù)報(bào)的“降水概率”是隨機(jī)事件的概率，其指明了“降水”這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小．
④試驗(yàn)與發(fā)現(xiàn)
概率學(xué)的知識(shí)在科學(xué)發(fā)展中起著非常重要的作用，例如，奧地利遺傳學(xué)家孟德爾利用豌豆所做的試驗(yàn)，經(jīng)過長期觀察得出了顯性與隱性的比例接近3∶1，而對(duì)這一規(guī)律進(jìn)行深入研究，得出了遺傳學(xué)中一條重要的統(tǒng)計(jì)規(guī)律．
⑤遺傳機(jī)理中的統(tǒng)計(jì)規(guī)律
孟德爾通過收集豌豆試驗(yàn)數(shù)據(jù)，尋找到了其中的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，并用概率理論解釋這種統(tǒng)計(jì)規(guī)律．利用遺傳定律，幫助理解概率統(tǒng)計(jì)中的隨機(jī)性與規(guī)律性的關(guān)系，以及頻率與概率的關(guān)系．
[問題思考]
(1)隨機(jī)事件A的概率P(A)能反映事件A發(fā)生的確切情況嗎？
提示：不能，只能反映事件A發(fā)生的可能性的大小．
(2)隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生與概率的大小有什么關(guān)系？
提示：隨機(jī)事件的概率表明了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，但并不表示概率大的事件一定發(fā)生，概率小的事件一定不發(fā)生．

[課前反思]
通過以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)：
(1)對(duì)概率的理解：；
(2)游戲公平性的理解：.
“雙色球有中出兩注500萬頭獎(jiǎng)”，聽到這個(gè)消息總讓人心里癢癢的，想必誰都做過中500萬的夢(mèng)吧！
[思考1]買一張彩票一定中獎(jiǎng)嗎？
提示：不一定．
[思考2]若中獎(jiǎng)率為1%，是不是只要買100張彩票就中獎(jiǎng)一次？
名師指津：不一定，可能中獎(jiǎng)，也可能不中獎(jiǎng)．
[思考3]怎樣理解概率？
名師指津：(1)概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，是隨機(jī)事件A的本質(zhì)屬性，隨機(jī)事件A發(fā)生的概率是大量重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率的近似值．
(2)由概率的定義我們可以知道隨機(jī)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但隨機(jī)中含有規(guī)律性，而概率就是其規(guī)律性在數(shù)量上的反映．
(3)正確理解概率的意義，要清楚概率與頻率的區(qū)別與聯(lián)系．對(duì)具體的問題要從全局和整體上去看待，而不是局限于某一次試驗(yàn)或某一個(gè)具體的事件．
?講一講
1．某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%，那么，前9個(gè)病人都沒有治愈，第10個(gè)病人就一定能治愈嗎？
[嘗試解答]如果把治療一個(gè)病人作為一次試驗(yàn)，治愈率是10%指隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，有10%的病人能夠治愈．對(duì)于一次試驗(yàn)來說，其結(jié)果是隨機(jī)的，但治愈的可能性是10%，前9個(gè)病人是這樣，第10個(gè)病人仍是這樣，可能治愈，也可能不能治愈，被治愈的可能性仍是10%.
(1)隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但隨機(jī)性中含有規(guī)律性：隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，該隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)越來越接近于該事件發(fā)生的概率．
(2)概率是描述隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的一個(gè)度量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定會(huì)發(fā)生，只是認(rèn)為事件發(fā)生的可能性大．
?練一練
1．有以下一些說法：
①昨天沒有下雨，則說明“昨天氣象局的天氣預(yù)報(bào)降水概率為95%”是錯(cuò)誤的；
②“彩票中獎(jiǎng)的概率是1%”表示買100張彩票一定有1張會(huì)中獎(jiǎng)；
③做10次拋擲硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次正面朝上，因此正面朝上的概率為310；
④某廠產(chǎn)品的次品率為2%，但該廠的50件產(chǎn)品中可能有2件次品．
其中錯(cuò)誤說法的序號(hào)是________．
解析：①中降水概率為95%，仍有不降水的可能，故①錯(cuò)；
②中“彩票中獎(jiǎng)的概率是1%”表示在設(shè)計(jì)彩票時(shí)，有1%的機(jī)會(huì)中獎(jiǎng)，但不一定買100張彩票一定有1張會(huì)中獎(jiǎng)，故錯(cuò)誤；
③中正面朝上的頻率為310，概率仍為12，故③錯(cuò)誤；
④中次品率為2%，但50件產(chǎn)品中可能沒有次品，也可能有1件或2件或3件或更多次品，故④的說法正確．
答案：①②③
?講一講
2．某校高二年級(jí)(1)(2)班準(zhǔn)備聯(lián)合舉行晚會(huì)，組織者欲使晚會(huì)氣氛熱烈、有趣，策劃整場晚會(huì)以轉(zhuǎn)盤游戲的方式進(jìn)行，每個(gè)節(jié)目開始時(shí)，兩班各派一人先進(jìn)行轉(zhuǎn)盤游戲，勝者獲得一件獎(jiǎng)品，負(fù)者表演一個(gè)節(jié)目．(1)班的文娛委員利用分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(如圖所示)，設(shè)計(jì)了一種游戲方案：兩人同時(shí)各轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)轉(zhuǎn)盤一次，將轉(zhuǎn)到的數(shù)字相加，和為偶數(shù)時(shí)(1)班代表獲勝，否則(2)班代表獲勝．該方案對(duì)雙方是否公平？為什么？
[嘗試解答]該方案是公平的，理由如下：
各種情況如下表所示：

和4567
15678
26789
378910
由上表可知該游戲可能出現(xiàn)的情況共有12種，其中兩數(shù)字之和為偶數(shù)的有6種，為奇數(shù)的也有6種，所以(1)班代表獲勝的概率P1＝612＝12，(2)班代表獲勝的概率P2＝612＝12，即P1＝P2，機(jī)會(huì)是均等的，所以該方案對(duì)雙方是公平的．
游戲公平性的標(biāo)準(zhǔn)及判斷方法
(1)游戲規(guī)則是否公平，要看對(duì)游戲的雙方來說，獲勝的可能性或概率是否相同．若相同，則規(guī)則公平，否則就是不公平的．
(2)具體判斷時(shí)，可以求出按所給規(guī)則雙方的獲勝概率，再進(jìn)行比較．
?練一練
2．現(xiàn)共有兩個(gè)相同的卡通玩具，展展、寧寧、凱凱三個(gè)小朋友都想要．他們采取了這樣的辦法分配玩具，拿一個(gè)飛鏢射向如圖所示的圓盤，若射中區(qū)域的數(shù)字為1,2,3，則玩具給展展和寧寧，若射中區(qū)域的數(shù)字為4,5,6，則玩具給寧寧和凱凱，若射中區(qū)域的數(shù)字為7,8，則玩具給展展和凱凱．試問這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎？
解：由題知，若射中1,2,3,7,8這5個(gè)數(shù)字，展展可得到玩具，所以展展得到玩具的概率是58；同理寧寧得到玩具的概率是68＝34；凱凱得到玩具的概率是58.三個(gè)小朋友得到玩具的概率不相同，所以這個(gè)游戲規(guī)則不公平．
?講一講
3．為了估計(jì)水庫中魚的尾數(shù)，可以使用以下的方法：先從水庫中捕出一定數(shù)量的魚，例如2000尾，給每尾魚作上記號(hào)，不影響其存活，然后放回水庫，經(jīng)過適當(dāng)時(shí)間，讓其和水庫中其余的魚充分混合，再從水庫中捕出一定數(shù)量的魚，例如500尾，查看其中有記號(hào)的魚，設(shè)有40尾，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計(jì)水庫內(nèi)魚的尾數(shù)．
[思路點(diǎn)撥]假定每尾魚被捕的可能性是相等的，利用樣本的頻率近似估計(jì)總體的概率．
[嘗試解答]設(shè)水庫中魚的尾數(shù)為n，n是未知的，現(xiàn)在要估計(jì)n的值．假定每尾魚被捕的可能性是相等的，從水庫中任捕一尾，設(shè)事件A＝{帶有記號(hào)的魚}，由概率的統(tǒng)計(jì)定義可知P(A)＝2000n.①
第二次從水庫中捕出500尾，觀察每尾魚上是否有記號(hào)，共需觀察500次，其中帶有記號(hào)的魚有40尾，即事件A發(fā)生的頻數(shù)m＝40，P(A)≈40500.②
由①②兩式，得2000n≈40500，解得n≈25000.
所以，估計(jì)水庫中有魚25000尾．
(1)求概率：先利用頻率等方法求出事件的概率．如本講中先求出帶記號(hào)的魚的概率．
(2)估計(jì)值：利用概率的穩(wěn)定性，根據(jù)頻率公式估計(jì)數(shù)值．如本講中計(jì)算總體的數(shù)目，即求水庫中魚的尾數(shù)．
?練一練
3．山東某家具廠為游泳比賽場館生產(chǎn)觀眾座椅，質(zhì)檢人員對(duì)該廠所產(chǎn)2500套座椅進(jìn)行抽檢，共抽檢了100套，發(fā)現(xiàn)有5套次品，試問該廠所產(chǎn)2500套座椅中大約有多少套次品？
解：設(shè)有n套次品，由概率的統(tǒng)計(jì)定義可知n2500＝5100，
解得n＝125.
所以該廠所產(chǎn)2500套座椅中大約有125套次品．
——————————————[課堂歸納感悟提升]———————————————
1．本節(jié)課的重點(diǎn)是通過實(shí)例，進(jìn)一步了解概率的意義，會(huì)用概率的意義解釋生活中的實(shí)例，難點(diǎn)是應(yīng)用概率的意義解釋生活中的實(shí)際問題．
2．本節(jié)課要掌握以下幾方面的規(guī)律方法
(1)理解概率的意義，見講1；
(2)游戲的公平性的標(biāo)準(zhǔn)及判斷方法，見講2；
(3)利用概率思想正確處理和解釋實(shí)際問題，見講3.
3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)
(1)對(duì)概率的理解有誤致錯(cuò)，如講1；
(2)列舉基本事件時(shí)易漏或重，如講2.
課下能力提升(十六)
[學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練]
題組1對(duì)概率的理解
1．某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是99.99%，這說明()
A．該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中不合格的產(chǎn)品一定有1件
B．該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中合格的產(chǎn)品一定有9999件
C．合格率是99.99%，很高，說明該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中沒有不合格產(chǎn)品
D．該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的可能性是99.99%
解析：選D合格率是99.99%，是指該工廠生產(chǎn)的每件產(chǎn)品合格的可能性大小，即合格的概率．
2．某市的天氣預(yù)報(bào)中，有“降水概率預(yù)報(bào)”，例如預(yù)報(bào)“明天降水概率為90%”，這是指()
A．明天該地區(qū)約90%的地方會(huì)降水，其余地方不降水
B．明天該地區(qū)約90%的時(shí)間會(huì)降水，其余時(shí)間不降水
C．氣象臺(tái)的專家中，有90%認(rèn)為明天會(huì)降水，其余的專家認(rèn)為不降水
D．明天該地區(qū)降水的可能性為90%
解析：選D降水概率為90%，指降水的可能性為90%，并不是指降水時(shí)間，降水地區(qū)或認(rèn)為會(huì)降水的專家占90%.
3．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面上分別寫有1,2,3,4,5,6)，若前3次連續(xù)擲到“6點(diǎn)朝上”，則對(duì)于第4次拋擲結(jié)果的預(yù)測，下列說法中正確的是()
A．一定出現(xiàn)“6點(diǎn)朝上”
B．出現(xiàn)“6點(diǎn)朝上”的概率大于16
C．出現(xiàn)“6點(diǎn)朝上”的概率等于16
D．無法預(yù)測“6點(diǎn)朝上”的概率
解析：選C隨機(jī)事件具有不確定性，與前面的試驗(yàn)結(jié)果無關(guān)．由于正方體骰子的質(zhì)地是均勻的，所以它出現(xiàn)哪一個(gè)面朝上的可能性都是相等的．
4．在某餐廳內(nèi)抽取100人，其中有30人在15歲及15歲以下，35人在16歲至25歲之間，25人在26歲至45歲之間，10人在46歲及46歲以上，則從此餐廳內(nèi)隨機(jī)抽取1人，此人年齡在16歲至25歲之間的概率約為________．
解析：16歲至25歲之間的人數(shù)為35，頻率為0.35，故從此餐廳內(nèi)隨機(jī)抽取一人，此人年齡在16歲至25歲之間的概率約為0.35.
答案：0.35
5．解釋下列概率的含義：
(1)某廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品合格的概率為0.997；
(2)某商場進(jìn)行促銷活動(dòng)，購買商品滿200元，即可參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，中獎(jiǎng)的概率為0.6；
(3)一位氣象學(xué)工作者說，明天下雨的概率是0.8；
(4)按照法國著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯的研究結(jié)果，一個(gè)嬰兒將是女孩的概率是2245.
解：(1)生產(chǎn)1000件電子產(chǎn)品大約有997件是合格的．
(2)購買10次商品，每次購買額都滿200元，抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的可能性為0.6.
(3)在今天的條件下，明天下雨的可能性是80%.
(4)一個(gè)嬰兒將是女孩的可能性是2245.
題組2游戲的公平性
6．小明和小穎按如下規(guī)則做游戲：桌面上放有5支鉛筆，每次取1支或2支，最后取完鉛筆的人獲勝，你認(rèn)為這個(gè)游戲規(guī)則________．(填“公平”或“不公平”)
解析：當(dāng)?shù)谝粋€(gè)人第一次取2支時(shí)，還剩余3支，無論第二個(gè)人取1支還是2支，第一個(gè)人在第二次取鉛筆時(shí)，都可取完，即第一個(gè)人一定能獲勝．所以不公平．
答案：不公平
7．某種彩票的抽獎(jiǎng)是從寫在36個(gè)球上的36個(gè)號(hào)碼中隨機(jī)搖出7個(gè)．有人統(tǒng)計(jì)了過去中特等獎(jiǎng)的號(hào)碼，聲稱某一號(hào)碼在歷次特等獎(jiǎng)中出現(xiàn)的次數(shù)最多，它是一個(gè)幸運(yùn)號(hào)碼，人們應(yīng)該買這一號(hào)碼；也有人說，若一個(gè)號(hào)碼在歷次特等獎(jiǎng)中出現(xiàn)的次數(shù)最少，由于每個(gè)號(hào)碼出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等，應(yīng)該買這一號(hào)碼，你認(rèn)為他們的說法對(duì)嗎？
解：體育彩票中標(biāo)有36個(gè)號(hào)碼的36個(gè)球大小、重量是一致的，嚴(yán)格地說，為了保證公平，每次用的36個(gè)球，應(yīng)該只允許用一次，除非能保證用過一次后，球沒有磨損、變形．因此，當(dāng)把這36個(gè)球看成每次抽獎(jiǎng)中只用了一次時(shí)，不難看出，以前抽獎(jiǎng)的結(jié)果對(duì)今后抽獎(jiǎng)的結(jié)果沒有任何影響，上述兩種說法都是錯(cuò)的．
題組3概率的應(yīng)用
8．蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多種類．在我國的云南及周邊各省都有分布．春暖花開的時(shí)候是放蜂的大好季節(jié)．養(yǎng)蜂人甲在某地區(qū)放養(yǎng)了9000只小蜜蜂和1000只黑小蜜蜂，養(yǎng)蜂人乙在同一地區(qū)放養(yǎng)了1000只小蜜蜂和9000只黑小蜜蜂．某中學(xué)生物小組在上述地區(qū)捕獲了1只黑小蜜蜂．那么，生物小組的同學(xué)認(rèn)為這只黑小蜜蜂是哪位養(yǎng)蜂人放養(yǎng)的比較合理()
A．甲B．乙C．甲和乙D．以上都對(duì)
解析：選B從放蜂人甲放的蜜蜂中，捕獲一只小蜜蜂是黑小蜜蜂的概率為110，而從放蜂人乙放的蜜蜂中，捕獲一只小蜜蜂是黑小蜜蜂的概率為910，所以，現(xiàn)在捕獲的這只小蜜蜂是放蜂人乙放養(yǎng)的可能性較大．故選B.
[能力提升綜合練]
1．(2016臺(tái)州高一檢測)每道選擇題有4個(gè)選擇支，其中只有1個(gè)選擇支是正確的．某次考試共有12道選擇題，某人說：“每個(gè)選擇支正確的概率是14，我每題都選擇第一個(gè)選擇支，則一定有3個(gè)題選擇結(jié)果正確”這句話()
A．正確B．錯(cuò)誤
C．不一定D．無法解釋
解析：選B解答一個(gè)選擇題作為一次試驗(yàn)，每次選擇的正確與否都是隨機(jī)的．經(jīng)過大量的試驗(yàn)，其結(jié)果呈隨機(jī)性，即選擇正確的概率是14.做12道選擇題，即進(jìn)行了12次試驗(yàn)，每個(gè)結(jié)果都是隨機(jī)的，不能保證每題的選擇結(jié)果都正確，但有3題選擇結(jié)果正確的可能性比較大．同時(shí)也有可能都選錯(cuò)，亦或有2題，4題，甚至12個(gè)題都選擇正確．
2．(2016廣州高一檢測)某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為15，前4個(gè)病人都未治愈，則第5個(gè)病人的治愈率為()
A．1B.45
C．0D.15
解析：選D因?yàn)榈?個(gè)病人治愈與否，與其他四人無任何關(guān)系，故治愈率仍為15.
3．甲、乙兩人做游戲，下列游戲中不公平的是()
A．?dāng)S一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)則甲勝，向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)則乙勝
B．同時(shí)擲兩枚相同的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之和大于7則甲勝，否則乙勝
C．從一副不含大、小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色則甲勝，是黑色則乙勝
D．甲，乙兩人各寫一個(gè)數(shù)字，若是同奇或同偶則甲勝，否則乙勝
解析：選B對(duì)于A、C、D甲勝，乙勝的概率都是12，游戲是公平的；對(duì)于B，點(diǎn)數(shù)之和大于7和點(diǎn)數(shù)之和小于7的概率相等，但點(diǎn)數(shù)等于7時(shí)乙勝，所以甲勝的概率小，游戲不公平．
4．(2016佛山高一檢測)先后拋擲兩枚均勻的五角、一元的硬幣，觀察落地后硬幣的正反面情況，則下列哪個(gè)事件的概率最大()
A．至少一枚硬幣正面朝上
B．只有一枚硬幣正面朝上
C．兩枚硬幣都是正面朝上
D．兩枚硬幣一枚正面朝上，另一枚反面朝上
解析：選A拋擲兩枚硬幣，其結(jié)果有“正正”，“正反”，“反正”，“反反”四種情況．至少有一枚硬幣正面朝上包括三種情況，其概率最大．
5．玲玲和倩倩是一對(duì)好朋友，她倆都想去觀看某明星的演唱會(huì)，可手里只有一張票，怎么辦呢？玲玲對(duì)倩倩說：“我向空中拋2枚同樣的一元硬幣，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后兩面一樣，就你去！”你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？答：________.
解析：兩枚硬幣落地共有四種結(jié)果：正，正；正，反；反，正；反，反．由此可見，她們兩人得到門票的概率是相等的，所以公平．
答案：公平
6．對(duì)某廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢查，數(shù)據(jù)如下表所示.
抽查件數(shù)50100200300500
合格件數(shù)4792192285478
根據(jù)表中所提供的數(shù)據(jù)，若要從該廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品中抽到950件合格品，大約需抽查________件產(chǎn)品．
解析：由表中數(shù)據(jù)知：抽查5次，產(chǎn)品合格的頻率依次為0.94,0.92,0.96,0.95,0.956，可見頻率在0.95附近擺動(dòng)，故可估計(jì)該廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品合格的概率約為0.95.設(shè)大約需抽查n件產(chǎn)品，則950n≈0.95，所以n≈1000.
答案：1000
7．設(shè)人的某一特征(眼睛的大小)是由他的一對(duì)基因所決定的，以d表示顯性基因，r表示隱性基因，則具有dd基因的人為純顯性，具有rr基因的人為純隱性，具有rd基因的人為混合性，純顯性與混合性的人都顯露顯性基因決定的某一特征，孩子從父母身上各得到一個(gè)基因，假定父母都是混合性，問：
(1)1個(gè)孩子由顯性決定特征的概率是多少？
(2)“該父母生的2個(gè)孩子中至少有1個(gè)由顯性決定特征”，這種說法正確嗎？
解：父、母的基因分別為rd、rd，則這孩子從父母身上各得一個(gè)基因的所有可能性為rr，rd，rd，dd，共4種，故具有dd基因的可能性為14，具有rr基因的可能性也為14，具有rd的基因的可能性為12.
(1)1個(gè)孩子由顯性決定特征的概率是34.
(2)這種說法不正確，2個(gè)孩子中每個(gè)由顯性決定特征的概率均相等，為34.
8．某中學(xué)從參加高一年級(jí)上學(xué)期期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績(均為整數(shù))分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后畫出如圖部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：
(1)估計(jì)這次考試的及格率(60分及以上為及格)；
(2)從成績是70分以上(包括70分)的學(xué)生中選一人，求選到第一名學(xué)生的概率(第一名學(xué)生只一人)．
解：(1)依題意，60分及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組的頻率和為(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，
所以，這次考試的及格率約為75%.
(2)成績?cè)赱70,100]的人數(shù)是36.
所以從成績是70分以上(包括70分)的學(xué)生中選一人，
選到第一名學(xué)生的概率P＝136.

隨機(jī)事件的概率

人教版高中數(shù)學(xué)必修系列：11.1隨機(jī)事件的概率(備課資料)
一、參考例題
［例1］先后拋擲3枚均勻的一分，二分，五分硬幣.
(1)一共可能出現(xiàn)多少種不同的結(jié)果？
(2)出現(xiàn)“2枚正面，1枚反面”的結(jié)果有多少種？
(3)出現(xiàn)“2枚正面，1枚反面”的概率是多少？
分析：(1)由于對(duì)先后拋擲每枚硬幣而言，都有出現(xiàn)正面和反面的兩種情況，所以共可能出現(xiàn)的結(jié)果有2×2×2=8種.
(2)出現(xiàn)“2枚正面，1枚反面”的情況可從(1)中8種情況列出.
(3)因?yàn)槊棵队矌攀蔷鶆虻?，所?1)中的每種結(jié)果的出現(xiàn)都是等可能性的.
解：(1)∵拋擲一分硬幣時(shí)，有出現(xiàn)正面和反面2種情況,
拋擲二分硬幣時(shí)，有出現(xiàn)正面和反面2種情況,
拋擲五分硬幣時(shí)，有出現(xiàn)正面和反面2種情況,
∴共可能出現(xiàn)的結(jié)果有2×2×2=8種.
故一分、二分、五分的順序可能出現(xiàn)的結(jié)果為：
(正，正，正)，(正，正，反)，
(正，反，正)，(正，反，反)，
(反，正，正)，(反，正，反)，
(反，反，正)，(反，反，反).
(2)出現(xiàn)“2枚正面，1枚反面”的結(jié)果有3個(gè)，即(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正).
(3)∵每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，
∴事件A“2枚正面，1枚反面”的概率為P(A)=.
［例2］甲、乙、丙、丁四人中選3名代表，寫出所有的基本事件，并求甲被選上的概率.
分析：這里從甲、乙、丙、丁中選3名代表就是從4個(gè)不同元素中選3個(gè)元素的一個(gè)組合，也就是一個(gè)基本事件.
解：所有的基本事件是：甲乙丙，甲乙丁，甲丙丁，乙丙丁選為代表.
∵每種選為代表的結(jié)果都是等可能性的，甲被選上的事件個(gè)數(shù)m=3,
∴甲被選上的概率為.
［例3］袋中裝有大小相同標(biāo)號(hào)不同的白球4個(gè)，黑球5個(gè)，從中任取3個(gè)球.
(1)共有多少種不同結(jié)果？
(2)取出的3球中有2個(gè)白球，1個(gè)黑球的結(jié)果有幾個(gè)？
(3)取出的3球中至少有2個(gè)白球的結(jié)果有幾個(gè)？
(4)計(jì)算第(2)、(3)小題表示的事件的概率.
分析：(1)設(shè)從4個(gè)白球，5個(gè)黑球中，任取3個(gè)的所有結(jié)果組成的集合為I，所求結(jié)果種數(shù)n就是I中元素的個(gè)數(shù).
(2)設(shè)事件A：取出的3球,2個(gè)是白球，1個(gè)是黑球，所以事件A中的結(jié)果組成的集合是I的子集.
(3)設(shè)事件B：取出的3球至少有2個(gè)白球，所以B的結(jié)果有兩類：一類是2個(gè)白球，1個(gè)黑球；另一類是3個(gè)球全白.
(4)由于球的大小相同，故任意3個(gè)球被取到的可能性都相等.故由P(A)=,P(B)=，可求事件A、B發(fā)生的概率.
解：(1)設(shè)從4個(gè)白球，5個(gè)黑球中任取3個(gè)的所有結(jié)果組成的集合為I,
∴card(I)==84.
∴共有84個(gè)不同結(jié)果.
(2)設(shè)事件A：“取出3球中有2個(gè)白球，1個(gè)黑球”的所有結(jié)果組成的集合為A,
∴card(A)==30.
∴共有30種不同的結(jié)果.
(3)設(shè)事件B：“取出3球中至少有2個(gè)白球”的所有結(jié)果組成的集合為B,
∴card(B)=+=34.
∴共有34種不同的結(jié)果.
(4)∵從4個(gè)白球，5個(gè)黑球中，任取3個(gè)球的所有結(jié)果的出現(xiàn)可能性都相同,
∴事件A發(fā)生的概率為,事件B發(fā)生的概率為.
二、參考練習(xí)
1.選擇題
(1)如果一次試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，那么每一個(gè)基本事件的概率
A.都是1B.都是
C.都是D.不一定
答案：B
(2)拋擲一個(gè)均勻的正方體玩具(它的每一面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6)，它落地時(shí)向上的數(shù)都是3的概率是
A.B.1
C.D.
答案：D
(3)把十張卡片分別寫上0，1，2，3，4，5，6，7，8，9后，任意攪亂放入一紙箱內(nèi)，從中任取一張，則所抽取的卡片上數(shù)字不小于3的概率是
A.B.
C.D.
答案：D
(4)從6名同學(xué)中，選出4人參加數(shù)學(xué)競賽，其中甲被選中的概率為
A.B.
C.D.
答案：D
(5)甲袋內(nèi)裝有大小相等的8個(gè)紅球和4個(gè)白球，乙袋內(nèi)裝有大小相等的9個(gè)紅球和3個(gè)白球，從2個(gè)袋內(nèi)各摸出一個(gè)球，那么等于
A.2個(gè)球都是白球的概率
B.2個(gè)球中恰好有一個(gè)是白球的概率
C.2個(gè)球都不是白球的概率
D.2個(gè)球都是白球的概率
答案：B
(6)某小組有成員3人，每人在一個(gè)星期(7天)中參加一天勞動(dòng)，如果勞動(dòng)日可任意安排，則3人在不同的3天參加勞動(dòng)的概率為
A.B.
C.D.
答案：C
2.填空題
(1)隨機(jī)事件A的概率P(A)應(yīng)滿足________.
答案：0≤P(A)≤1
(2)一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同標(biāo)號(hào)不同的2個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中任取一個(gè)球，共有________種等可能的結(jié)果.
答案：4
(3)在50瓶飲料中，有3瓶已經(jīng)過期，從中任取一瓶，取得已過期的飲料的概率是________.
答案：
(4)一年以365天計(jì)，甲、乙、丙三人中恰有兩人在同天過生日的概率是________.
解析：P(A)=.
答案：
(5)有6間客房準(zhǔn)備安排3名旅游者居住，每人可以住進(jìn)任一房間，且住進(jìn)各房間的可能性相等，則事件A：“指定的3個(gè)房間各住1人”的概率P(A)=________；事件B：“6間房中恰有3間各住1人”的概率P(B)=________；事件C：“6間房中指定的一間住2人”的概率P(C)=________.

解析：P(A)=；
P(B)=；
P(C)=.
答案：
3.有50張卡片(從1號(hào)到50號(hào))，從中任取一張，計(jì)算：
(1)所取卡片的號(hào)數(shù)是偶數(shù)的情況有多少種？
(2)所取卡片的號(hào)數(shù)是偶數(shù)的概率是多少？
解：(1)所取卡片的號(hào)數(shù)是偶數(shù)的情況有25種.
(2)所取卡片的號(hào)數(shù)是偶數(shù)的概率為P==.
●備課資料?
一、參考例題
［例1］一棟樓房有六個(gè)單元，李明和王強(qiáng)住在此樓內(nèi)，試求他們住在此樓的同一單元的概率.
分析：因?yàn)槔蠲髯≡诖藰堑那闆r有6種，王強(qiáng)住在此樓的情況有6種，所以他們住在此樓的住法結(jié)果有6×6=36個(gè)，且每種結(jié)果的出現(xiàn)的可能性相等.而事件A：“李明和王強(qiáng)住在同一單元”含有6個(gè)結(jié)果.
解：∵李明住在這棟樓的情況有6種，王強(qiáng)住在這棟樓的情況有6種,
∴他們同住在這棟樓的情況共有6×6=36種.
由于每種情況的出現(xiàn)的可能性都相等,
設(shè)事件A：“李明和王強(qiáng)住在此樓的同一單元內(nèi)”，而事件A所含的結(jié)果有6種,
∴P(A)=.
∴李明和王強(qiáng)住在此樓的同一單元的概率為.
評(píng)述：也可用“捆綁法”，將李明和王強(qiáng)視為1人，則住在此樓的情況有6種.
［例2］在一次口試中，要從10道題中隨機(jī)選出3道題進(jìn)行回答，答對(duì)了其中2道題就獲得及格.某考生會(huì)回答10道題中的8道，那么這名考生獲得及格的概率是多少？
分析：因?yàn)閺?0道題中隨機(jī)選出3道題，共有種可能的結(jié)果，而每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，故本題屬于求等可能性事件的概率問題.
解：∵從10題中隨機(jī)選出3題，共有等可能性的結(jié)果個(gè).
設(shè)事件A：“這名考生獲得及格”，則事件A含的結(jié)果有兩類，一類是選出的3道正是他能回答的3題，共有種選法;另一類是選出的3題中有2題會(huì)答，一題不會(huì)回答，共有種選法，所以事件A包含的結(jié)果有+個(gè).
∴P(A)=.
∴這名考生獲得及格的概率為.
［例3］7名同學(xué)站成一排，計(jì)算：
(1)甲不站正中間的概率；
(2)甲、乙兩人正好相鄰的概率；
(3)甲、乙兩人不相鄰的概率.
分析：因?yàn)?人站成一排，共有種不同的站法，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等.
解：∵7人站成一排，共有種等可能性的結(jié)果,
設(shè)事件A：“甲不站在正中間”；
事件B：“甲、乙兩人正好相鄰”；
事件C：“甲、乙兩人正好不相鄰”；
事件A包含的結(jié)果有6個(gè)；
事件B包含的結(jié)果有個(gè);
事件C包含的結(jié)果有個(gè).
(1)甲不站在正中間的概率P(A)=.
(2)甲、乙兩人相鄰的概率P(B)=.
(3)甲、乙兩人不相鄰的概率P(C)=.
［例4］從1，2，3，…，9這九個(gè)數(shù)字中不重復(fù)地隨機(jī)取3個(gè)組成三位數(shù)，求此數(shù)大于456的概率.
分析：因?yàn)閺?，2，3，…，9這九個(gè)數(shù)字中組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有=504個(gè)，且每個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)的可能性都相等，故本題屬求等可能性事件的概率問題.由于比456大的三位數(shù)有三類：(1)百位數(shù)大于4，有=280個(gè);(2)百位數(shù)為4，十位數(shù)大于5，有=28個(gè);(3)百位數(shù)為4，十位數(shù)為5，個(gè)位數(shù)大于6有2個(gè),因此，事件“無重復(fù)數(shù)字且比456大的三位數(shù)”包含的結(jié)果有280+28+3=311個(gè).
解：∵由數(shù)字1，2，3，…，9九個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有=504個(gè)，而每種結(jié)果的出現(xiàn)的可能性都相等.其中，事件A：“比456大的三位數(shù)”包含的結(jié)果有311個(gè),
∴事件A的概率P(A)=.
∴所求的概率為.
［例5］某班有學(xué)生36人，現(xiàn)從中選出2人去完成一項(xiàng)任務(wù)，設(shè)每人當(dāng)選的可能性都相等，若選出的2人性別相同的概率是，求該班男生、女生的人數(shù).
分析：由于每人當(dāng)選的可能性都相等，且從全班36人中選出2人去完成一項(xiàng)任務(wù)的選法有種，故這些當(dāng)選的所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等.
解：設(shè)該班男生有n人，則女生(36-n)人.(n∈N*,n≤36)
∵從全班的36人中，選出2人，共有種不同的結(jié)果，每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等.其中，事件A：“選出的2人性別相同”含有的結(jié)果有(+)個(gè),
∴P(A)=.
∴n2-36n+315=0.
∴n=15或n=21.
∴該班有男生15人，女生21人，或男生21人，女生15人.
評(píng)述：深刻理解等可能性事件概率的定義，能夠正確運(yùn)用排列、組合的知識(shí)對(duì)等可能性事件進(jìn)行分析、計(jì)算.
二、參考練習(xí)
1.選擇題
(1)十個(gè)人站成一排，其中甲、乙、丙三人彼此不相鄰的概率為
A.B.
C.D.
答案：D
(2)將一枚均勻硬幣先后拋兩次，恰好出現(xiàn)一次正面的概率是
A.B.
C.D.
答案：A
(3)從數(shù)字0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)是奇數(shù)的概率等于
A.B.
C.D.
答案：B
(4)盒中有100個(gè)鐵釘，其中有90個(gè)是合格的，10個(gè)是不合格的，從中任意抽取10個(gè)，其中沒有一個(gè)不合格鐵釘?shù)母怕蕿?br> A.0.9B.
C.0.1D.
答案：D
(5)將一枚硬幣先后拋兩次，至少出現(xiàn)一次正面的概率是
A.B.
C.D.1
答案：C
2.填空題
(1)從甲地到乙地有A1，A2，A3，A4共4條路線，從乙地到丙地有B1，B2，B3共3條路線，其中A1B1是甲地到丙地的最短路線，某人任選了一條從甲地到丙地的路線，它正好是最短路線的概率為________.
答案：
(2)袋內(nèi)裝有大小相同的4個(gè)白球和3個(gè)黑球，從中任意摸出3個(gè)球，其中只有一個(gè)白球的概率為________.
答案：
(3)有數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、語文、外語五本課本，從中任取一本，取到的課本是理科課本的概率為________.
答案：
(4)從1，2，3，…，10這10個(gè)數(shù)中任意取出4個(gè)數(shù)作為一組，那么這一組數(shù)的和為奇數(shù)的概率是________.
答案：
(5)一對(duì)酷愛運(yùn)動(dòng)的年輕夫婦,讓剛好十個(gè)月大的嬰兒把“0,0,2,8,北,京”六張卡片排成一行,若嬰兒能使得排成的順序?yàn)椤?008北京”或“北京2008”,則受到父母的夸獎(jiǎng),那么嬰兒受到夸獎(jiǎng)的概率為________.
解:由題意，知嬰兒受到夸獎(jiǎng)的概率為P=.
(6)在2004年8月18日雅典奧運(yùn)會(huì)上,兩名中國運(yùn)動(dòng)員和4名外國運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入雙多向飛蝶射擊決賽.若每名運(yùn)動(dòng)員奪得獎(jiǎng)牌(金、銀、銅牌)的概率相等,則中國隊(duì)在此項(xiàng)比賽中奪得獎(jiǎng)牌的概率為________.
解:由題意可知中國隊(duì)在此項(xiàng)比賽中不獲得獎(jiǎng)牌的概率為P1=.
則中國隊(duì)獲得獎(jiǎng)牌的概率為P=1-P1=1-.
3.解答題
(1)在10枝鉛筆中，有8枝正品和2枝次品，從中任取2枝，求：
①恰好都取到正品的概率；
②取到1枝正品1枝次品的概率；
③取到2枝都是次品的概率.
解：①.
②.
③.
(2)某球隊(duì)有10人，分別穿著從1號(hào)到10號(hào)的球衣，從中任選3人記錄球衣的號(hào)碼，求：
①最小的號(hào)碼為5的概率；
②最大的號(hào)碼為5的概率.
解：①.
②.
(3)一車間某工段有男工9人，女工5人，現(xiàn)要從中選3個(gè)職工代表，求3個(gè)代表中至少有一名女工的概率.
解：.
(4)從-3，-2，-1，0，5，6，7這七個(gè)數(shù)中任取兩數(shù)相乘而得到積，求：
①積為零的概率；
②積為負(fù)數(shù)的概率；
③積為正數(shù)的概率.
解：①；
②；
③.
(5)甲袋內(nèi)有m個(gè)白球，n個(gè)黑球；乙袋內(nèi)有n個(gè)白球，m個(gè)黑球，從兩個(gè)袋子內(nèi)各取一球.求：
①取出的兩個(gè)球都是黑球的概率；
②取出的兩個(gè)球黑白各一個(gè)的概率；
③取出的兩個(gè)球至少一個(gè)黑球的概率.
解：①;
②;
③.
●備課資料?
一、參考例題
［例1］一個(gè)均勻的正方體玩具，各個(gè)面上分別標(biāo)以數(shù)1，2，3，4，5，6.求：
(1)將這個(gè)玩具先后拋擲2次，朝上的一面數(shù)之和是6的概率.
(2)將這個(gè)玩具先后拋擲2次，朝上的一面數(shù)之和小于5的概率.
分析：以(x1,x2)表示先后拋擲兩次玩具朝上的面的數(shù)，x1是第一次朝上的面的數(shù)，x2是第二次朝上的面的數(shù)，由于x1取值有6種情況，x2取值也有6種情況，因此先后兩次拋擲玩具所得的朝上面數(shù)共有6×6=36種結(jié)果，且每一結(jié)果的出現(xiàn)都是等可能性的.
解：設(shè)(x1,x2)表示先后兩次拋擲玩具后所得的朝上的面的數(shù)，其中x1是第一次拋擲玩具所得的朝上的面的數(shù)，x2是第二次拋擲玩具所得的朝上的面的數(shù).
∵先后兩次拋擲這個(gè)玩具所得的朝上的面的數(shù)共有6×6=36種結(jié)果，且每一結(jié)果的出現(xiàn)的可能性都相等.
(1)設(shè)事件A為“2次朝上的面的數(shù)之和為6”，
∵事件A含有如下結(jié)果：
(1，5)(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)共5個(gè)，
∴P(A)=.
(2)設(shè)事件B為“2次朝上的面上的數(shù)之和小于5”，
∵事件B含有如下結(jié)果：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)共6個(gè)，
∴P(B)=.
［例2］袋中有硬幣10枚，其中2枚是伍分的，3枚是貳分的，5枚是壹分的.現(xiàn)從中任取5枚，求錢數(shù)不超過壹角的概率.
分析：由于從10枚硬幣中，任取5枚所得的錢數(shù)結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等.
記事件A：“取出的5枚對(duì)應(yīng)的錢數(shù)不超過壹角”，
∴事件A含有結(jié)果有：
①1枚伍分，1枚貳分，3枚壹分共種取法.
②1枚伍分，4枚壹分，共種取法.
③3枚貳分，2枚壹分，共種取法.
④2枚貳分，3枚壹分，共種取法.
⑤1枚貳分，4枚壹分，共種取法.
⑥5枚壹分共C種取法.
∴P(A)==.
［例3］把10個(gè)足球隊(duì)平均分成兩組進(jìn)行比賽，求兩支最強(qiáng)隊(duì)被分在：(1)不同組的概率；(2)同一組的概率.
分析：由于把10支球隊(duì)平均分成兩組，共有種不同的分法，而每種分法出現(xiàn)的結(jié)果的可能性都相等.
(1)記事件A：“最強(qiáng)兩隊(duì)被分在不同組”，這時(shí)事件A含有種結(jié)果.
∴P(A)=.
(2)記事件B：“最強(qiáng)的兩隊(duì)被分在同一組”，這時(shí)事件B含有種.
∴P(B)=.
［例4］已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8}在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(x,y)的坐標(biāo)x∈A,
y∈A,且x≠y,計(jì)算：
(1)點(diǎn)(x,y)不在x軸上的概率；
(2)點(diǎn)(x,y)正好在第二象限的概率.
分析：由于點(diǎn)(x,y)中，x、y∈A,且x≠y,所以這樣的點(diǎn)共有個(gè)，且每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等.
解：∵x∈A,y∈A,x≠y時(shí)，點(diǎn)(x,y)共有個(gè)，且每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，
(1)設(shè)事件A為“點(diǎn)(x,y)不在x軸上”，
∴事件A含有的結(jié)果有個(gè).
∴P(A)=.
(2)設(shè)事件B為“點(diǎn)(x,y)正好在第二象限”，
∴x＜0,y＞0.
∴事件B含有個(gè)結(jié)果.
∴P(B)=.
［例5］從一副撲克牌(共52張)里，任意取4張，求：
(1)抽出的是J、Q、K、A的概率；
(2)抽出的是4張同花牌的概率.
解：∵從一副撲克牌(52張)里，任意抽取4張，共有種抽法.每一種抽法抽出的結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等,
(1)設(shè)事件A：“抽出的4張是J，Q，K，A”,
∵抽取的是J的情況有種,
抽取的是Q的情況有種,
抽取的是K的情況有種,
抽取的是A的情況有種,
∴事件A含有的結(jié)果共有44個(gè).
∴P(A)==.
(2)設(shè)事件B：“抽出的4張是同花牌”,
∴事件B中含個(gè)結(jié)果.
∴P(B)=.
二、參考練習(xí)
1.選擇題
(1)某一部四冊(cè)的小說，任意排放在書架的同一層上，則各冊(cè)自左到右或自右到左的順序恰好為第1，2，3，4冊(cè)的概率等于
A.B.
C.D.
答案：C
(2)在100件產(chǎn)品中，合格品有96件，次品有4件，從這100件產(chǎn)品中任意抽取3件，則抽取的產(chǎn)品中至少有兩件次品的概率為
A.B.
C.D.
答案：C
(3)從3臺(tái)甲型彩電和2臺(tái)乙型彩電中任選3臺(tái)，其中兩種品牌的彩電都齊全的概率是
A.B.
C.D.
答案：D
(4)正三角形各頂點(diǎn)和各邊中點(diǎn)共有6個(gè)點(diǎn)，從這6個(gè)點(diǎn)中任意取出3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形恰為正三角形的概率是
A.B.
C.D.
答案：D
(5)在由1，2，3組成的不多于三位的自然數(shù)(可以有重復(fù)數(shù)字)中任意抽取一個(gè)，正好抽出兩位自然數(shù)的概率是
A.B.
C.D.
答案：A
2.填空題
(1)設(shè)三位數(shù)a、b、c,若b＜a,c＞a,則稱此三位數(shù)為凹數(shù).現(xiàn)從0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)數(shù)字，組成三位數(shù)，其中是凹數(shù)的概率是________.
答案：
(2)將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次，則有3次出現(xiàn)正面的概率是________.
答案：
(3)正六邊形的各頂點(diǎn)和中心共有7個(gè)點(diǎn)，從這7個(gè)點(diǎn)中任意取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，則構(gòu)成的三角形恰為直角三角形的概率是________.
解：P=.
答案：
(4)商品A、B、C、D、E在貨架上排成一列，A、B要排在一起，C、D不能排在一起的概率是________.
解：P===.
答案：
(5)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(x,y)的x、y∈{0,1,2,3,4,5}且x≠y,則點(diǎn)(x,y)在直線y=x的上方的概率是________.
解：P===.
答案：
3.解答題
(1)已知集合A={a,b,c,d,e},任意取集合A的一個(gè)子集B，計(jì)算：
①B中僅有3個(gè)元素的概率;
②B中一定含有a、b、c的概率.
解：①P=.
②P=.
(2)某號(hào)碼鎖有六個(gè)撥盤，每個(gè)撥盤上有從0到9共十個(gè)數(shù)字，當(dāng)6個(gè)撥盤上的數(shù)字組成某一個(gè)六位數(shù)號(hào)碼(開鎖號(hào)碼)時(shí)，鎖才能打開.如果不知道開鎖號(hào)碼，試開一次就能打開鎖的概率是多少？如果未記準(zhǔn)開鎖號(hào)碼的最后兩位數(shù)字，在使用時(shí)隨意撥下最后兩位數(shù)字，正好把鎖打開的概率是多少？
解：①P=.
②P=.
(3)9國乒乓球隊(duì)內(nèi)有3國是亞洲國家，抽簽分成三組進(jìn)行預(yù)賽(每組3隊(duì))，試求：
①三個(gè)組中各有一個(gè)亞洲國家球隊(duì)的概率；
②三個(gè)亞洲國家集中在某一組的概率.
解：①P=［］÷［］=.
②P=÷［］=.
(4)將m個(gè)編號(hào)的球放入n個(gè)編號(hào)的盒子中，每個(gè)盒子所放的球數(shù)k滿足0≤k≤m,在各種放法的可能性相等的條件，求：
①第一個(gè)盒子無球的概率；
②第一個(gè)盒子恰有一球的概率.
解：①P=()m.
②P=()n-1.

《隨機(jī)事件的概率》教案

《隨機(jī)事件的概率》教案
一、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：了解生活中的隨機(jī)現(xiàn)象；了解必然事件，不可能事件，隨機(jī)事件的概念；理解隨機(jī)事件的頻率與概率的含義。

過程與方法目標(biāo)：通過做實(shí)驗(yàn)的過程，理解在大量重復(fù)試驗(yàn)的情況下，隨機(jī)事件的發(fā)生呈現(xiàn)規(guī)律性，進(jìn)而理解頻率和概率的關(guān)系；通過一系列問題的設(shè)置，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力。

情感、態(tài)度、價(jià)值觀目標(biāo)：滲透偶然寓于必然，事件之間既對(duì)立又統(tǒng)一的辯證唯物主義思想；增強(qiáng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)隨機(jī)事件、必然事伯、不可能事件的概念判斷給定事件的類型，并能用概率來刻畫生活中的隨機(jī)現(xiàn)象，理解頻率和概率的區(qū)別與聯(lián)系。

教學(xué)難點(diǎn)：理解隨機(jī)事件的頻率定義與概率的統(tǒng)計(jì)定義及計(jì)算方法，理解頻率和概率的區(qū)別與聯(lián)系。

三、教學(xué)準(zhǔn)備

多媒體課件

四、教學(xué)過程

(一)情境設(shè)置，引入課題

相傳古代有個(gè)國王，由于崇尚迷信，世代沿襲著一條奇特的法規(guī)：凡是死囚，在臨刑時(shí)要抽一次“生死簽”，即在兩張小紙片上分別寫著“生”和“死”的字樣，由執(zhí)法官監(jiān)督，讓犯人當(dāng)眾抽簽，如果抽到“死”字的簽，則立即處死；如果抽到“生”字的簽，則當(dāng)場赦免。

有一次國王決定處死一個(gè)敢于“犯上”的大臣，為了不讓這個(gè)囚臣得到半點(diǎn)獲赦機(jī)會(huì)，他與幾個(gè)心腹密謀暗議，暗中叮囑執(zhí)法官，把兩張紙上都寫成“死”。

但最后“犯上”的大臣還是獲得赦免，你知道他是怎么做的嗎？

相信聰明的同學(xué)們應(yīng)該知道“犯上”的大臣的聰明之舉：將所抽到的簽吞毀掉，為證明自己抽到“生”字的簽，只需驗(yàn)證所剩的簽為“死”簽。

我們?nèi)绻麑W(xué)習(xí)了隨機(jī)事件的概率，便不難用數(shù)學(xué)的角度來解釋“犯上”的大臣的聰明之舉。下面中公資深講師跟大家來認(rèn)識(shí)一下事件的概念。(二)探索研究，理解事件

問題1：下面有一些事件，請(qǐng)同學(xué)們從這些事件發(fā)生與否的角度，分析一下它們各有什么特點(diǎn)？

①“導(dǎo)體通電后，發(fā)熱”；

②“拋出一塊石塊，自由下落”；

③“某人射擊一次，中靶”；

④“在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度高于0℃時(shí)，冰自然融化”；

⑦“某地12月12日下雨”；

⑧“從標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4，5的5張標(biāo)簽中，得到1號(hào)簽”。

給出定義：

事件：是指在一定條件下所出現(xiàn)的某種結(jié)果。它分為必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件。

問題2：列舉生活中的必然事件，隨機(jī)事件，不可能事件。

問題3：隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，在大量重復(fù)試驗(yàn)下，它是否有一定規(guī)律？

實(shí)驗(yàn)1：學(xué)生分組進(jìn)行拋硬幣，并比較各組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，引發(fā)猜想。

給出頻數(shù)與頻率的定義
問題4：猜想頻率的取值范圍是什么？

實(shí)驗(yàn)2：計(jì)算機(jī)模擬拋硬幣，并展示歷史上大量重復(fù)拋硬幣的結(jié)果。

問題5：結(jié)合計(jì)算機(jī)模擬拋硬幣與歷史上大量重復(fù)拋硬幣的結(jié)果，判斷猜想正確與否。

頻率的性質(zhì)：

1.頻率具有波動(dòng)性：試驗(yàn)次數(shù)n不同時(shí)，所得的頻率f不一定相同。

2.試驗(yàn)次數(shù)n較小時(shí)，f的波動(dòng)性較大，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的不斷增大，頻率f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性。

概率的定義

事件A的概率：在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率m/n總接近于某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A)。

概率的性質(zhì)

由定義可知0≤P(A)≤1，顯然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。

頻率與概率的關(guān)系

①一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生于否具有隨機(jī)性，但又存在統(tǒng)計(jì)的規(guī)律性，在進(jìn)行大量的重復(fù)事件時(shí)某個(gè)事件是否發(fā)生，具有頻率的穩(wěn)定性，而頻率的穩(wěn)定性又是必然的，因此偶然性和必然性對(duì)立統(tǒng)一。

②不可能事件和確定事件可以看成隨機(jī)事件的極端情況。③隨機(jī)事件的頻率是指事件發(fā)生的次數(shù)和總的試驗(yàn)次數(shù)的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，這個(gè)擺動(dòng)的幅度越來越小，而這個(gè)接近的某個(gè)常數(shù)，我們稱之為概事件發(fā)生的概率。

④概率是有巨大的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)后得出的結(jié)果，講的是一種大的整體的趨勢(shì)，而頻率是具體的統(tǒng)計(jì)的結(jié)果。

⑤概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值。

例某射手在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下表所示：

(1)填寫表中擊中靶心的頻率；

(2)這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約是什么？

問題6：如果某種彩票中獎(jiǎng)的概率為1/1000，那么買1000張彩票一定能中獎(jiǎng)嗎？請(qǐng)用概率的意義解釋。

(三)課堂練習(xí)，鞏固提高

1.將一枚硬幣向上拋擲10次，其中正面向上恰有5次是()

A.必然事件B.隨機(jī)事件

C.不可能事件D.無法確定

2.下列說法正確的是()

A.任一事件的概率總在(0.1)內(nèi)

B.不可能事件的概率不一定為0

C.必然事件的概率一定為1

D.以上均不對(duì)

3.下表是某種油菜子在相同條件下的發(fā)芽試驗(yàn)結(jié)果表，請(qǐng)完成表格并回答題。

(1)完成上面表格：

(2)該油菜子發(fā)芽的概率約是多少？4.生活中，我們經(jīng)常聽到這樣的議論：“天氣預(yù)報(bào)說昨天降水概率為90%，結(jié)果根本一點(diǎn)雨都沒下，天氣預(yù)報(bào)也太不準(zhǔn)確了?！睂W(xué)了概率后，你能給出解釋嗎？

(四)課堂小節(jié)

概率是一門研究現(xiàn)實(shí)世界中廣泛存在的隨機(jī)現(xiàn)象的科學(xué)，正確理解概率的意義是認(rèn)識(shí)、理解現(xiàn)實(shí)生活中有關(guān)概率的實(shí)例的關(guān)鍵，學(xué)習(xí)過程中應(yīng)有意識(shí)形成概率意識(shí)，并用這種意識(shí)來理解現(xiàn)實(shí)世界，主動(dòng)參與對(duì)事件發(fā)生的概率的感受和探索。

五、板書設(shè)計(jì)

六、教學(xué)反思

略。

概率

概率

（一）事件與概率
1．了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區(qū)別。
2．了解互斥事件、對(duì)立事件的意義及其運(yùn)算公式.
（二）古典概型
①1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.
②2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率。
（三）隨機(jī)數(shù)與幾何概型
①1.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.
②2.了解幾何概型的意義.

概率則是概率論入門，目前的概率知識(shí)只是為進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率和統(tǒng)計(jì)打好基礎(chǔ)，做好鋪墊．學(xué)習(xí)中要注意基本概念的理解，要注意與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，要通過一些典型問題的分析，總結(jié)運(yùn)用知識(shí)解決問題的思維規(guī)律．縱觀近幾年高考，概率的內(nèi)容在選擇、填空解答題中都很有可能出現(xiàn)。
第1課時(shí)隨機(jī)事件的概率

1．隨機(jī)事件及其概率
(1)必然事件：在一定的條件下必然發(fā)生的事件叫做必然事件．
(2)不可能事件：在一定的條件下不可能發(fā)生的事件叫做不可能事件．
(3)隨機(jī)事件：在一定的條件下，也可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做隨機(jī)事件．
(4)隨機(jī)事件的概率：一般地，在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件的概率，記作．
(5)概率從數(shù)量上反映了一個(gè)事件發(fā)生的可能性的大小，它的取值范圍是，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0．
2．等可能性事件的概率
(1)基本事件：一次試驗(yàn)連同其中可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果稱為一個(gè)基本事件．
(2)等可能性事件的概率：如果一次試驗(yàn)由n個(gè)基本事件組成，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率是．如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率：

例1．1)一個(gè)盒子裝有5個(gè)白球3個(gè)黑球，這些球除顏色外，完全相同，從中任意取出兩個(gè)球，求取出的兩個(gè)球都是白球的概率；
(2)箱中有某種產(chǎn)品a個(gè)正品，b個(gè)次品，現(xiàn)有放回地從箱中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次1次，求取出的全是正品的概率是（）
A．B．C．D．
(3)某班有50名學(xué)生，其中15人選修A課程，另外35人選修B課程，從班級(jí)中任選兩名學(xué)生，他們是選修不同課程的學(xué)生的概率是多少？
解：（1）從袋內(nèi)8個(gè)球中任取兩個(gè)球共有種不同結(jié)果，從5個(gè)白球中取出2個(gè)白球有種不同結(jié)果，則取出的兩球都是白球的概率為
（2）（3）
變式訓(xùn)練1.盒中有1個(gè)黑球9個(gè)白球，它們除顏色不同外，其它沒什么差別，現(xiàn)由10人依次摸出1個(gè)球，高第1人摸出的是黑球的概率為P1，第10人摸出是黑球的概率為P10，則（）
A．B．
C．P10＝0D．P10＝P1
解：D
例2.甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個(gè)紅球，2個(gè)白球；乙袋裝有2個(gè)紅球，n個(gè)白球，兩甲、乙兩袋中各任取2個(gè)球.
(1)若n＝3，求取到的4個(gè)球全是紅球的概率；
(2)若取到4個(gè)球中至少有2個(gè)紅球的概率為，求n.
解：（1）記“取到的4個(gè)球全是紅球”為事件.
（2）記“取到的4個(gè)球至多有1個(gè)紅球”為事件B，“取到的4個(gè)球只有1個(gè)紅球”為事件B1，“取到的4個(gè)球全是白球”為事件B2，由題意，得

所以
，化簡，得7n2－11n－6＝0，解得n＝2，或（舍去），故n＝2.
變式訓(xùn)練2：在一個(gè)口袋中裝有5個(gè)白球和3個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同．從中摸出3個(gè)球，至少摸到2個(gè)黑球的概率等于（）
A．B．
C．D．
解：A
例3.袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，按3個(gè)小球上最大數(shù)字的9倍計(jì)分，每個(gè)小球取出的可能性都相等，用表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字，求：
(1)取出3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；
(2)計(jì)分介于20分到40分之間的概率.
解：（1）“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，
則
（2）“一次取球所得計(jì)分介于20分到40分之間”的事件記為C，則P(C)＝P(“＝3”或“＝4”)＝P(“＝3”)＋P(“＝4”)＝
變式訓(xùn)練3：從數(shù)字1，2，3，4，5中任取3個(gè)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，計(jì)算：
①這個(gè)三位數(shù)字是5的倍數(shù)的概率；
②這個(gè)三位數(shù)是奇數(shù)的概率；
③這個(gè)三位數(shù)大于400的概率.
解：⑴⑵⑶
例4.在一次口試中，要從20道題中隨機(jī)抽出6道題進(jìn)行回答，答對(duì)了其中的5道就獲得優(yōu)秀，答對(duì)其中的4道就可獲得及格．某考生會(huì)回答20道題中的8道題，試求：
（1）他獲得優(yōu)秀的概率是多少？
（2）他獲得及格與及格以上的概率有多大？
解：從20道題中隨機(jī)抽出6道題的結(jié)果數(shù)，即是從20個(gè)元素中任取6個(gè)元素的組合數(shù)．由于是隨機(jī)抽取，故這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等．
(1)記“他答對(duì)5道題”為事件，由分析過程已知在這種結(jié)果中，他答對(duì)5題的結(jié)果有種，故事件的概率為
(2)記“他至少答對(duì)4道題”為事件，由分析知他答對(duì)4道題的可能結(jié)果為種，故事件的概率為：
答：他獲得優(yōu)秀的概率為，獲得及格以上的概率為
變式訓(xùn)練4：有5個(gè)指定的席位，坐在這5個(gè)席位上的人都不知道指定的號(hào)碼，當(dāng)這5個(gè)人隨機(jī)地在這5個(gè)席位上就坐時(shí).
(1)求5個(gè)人中恰有3人坐在指定的席位上的概率；
(2)若在這5個(gè)人侍在指定位置上的概率不小于，則至多有幾個(gè)人坐在自己指定的席位上？
解：（1）
（2）由于3人坐在指定位置的概率，故可考慮2人坐在指定位置上的概率，設(shè)5人中有2人坐在指定位置上為事件B，則，又由于坐在指定位置上的人越多其概率越少，而要求概率不小于，則要求坐在指定位置上的人越少越好，故符合題中條件時(shí)，至多2人坐在指定席位上．

1．實(shí)際生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件及隨機(jī)事件．隨機(jī)事件在現(xiàn)實(shí)世界中是廣泛存在的．在一次試驗(yàn)中，事件是否發(fā)生雖然帶有偶然性，當(dāng)在大量重復(fù)試驗(yàn)下，它的發(fā)生呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，即事件發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就叫做這個(gè)事件的概率．
2．如果一次試驗(yàn)中共有種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中事件A包含的結(jié)果有m種，那么事件A的概率從集合的角度看，一次試驗(yàn)中等可能出現(xiàn)的所有結(jié)果組成一個(gè)集合I，其中事件A包含的結(jié)果組成I的一個(gè)子集A，因此從排列、組合的角度看，m、n實(shí)際上是某些事件的排列數(shù)或組合數(shù)．因此這種“古典概率”的問題，幾乎使有關(guān)排列組合的計(jì)算與概率的計(jì)算成為一回事．
3．利用等可能性的概率公式，關(guān)鍵在于尋找基本事件數(shù)和有利事件數(shù)．
第2課時(shí)互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率

1．的兩個(gè)事件叫做互斥事件．
2．的互斥事件叫做對(duì)立事件．
3．從集合的角度看，幾個(gè)事件彼此互斥，是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此．事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．
4．由于集合是可以進(jìn)行運(yùn)算的，故可用集合表示的事件也能進(jìn)行某些運(yùn)算．設(shè)A、B是兩個(gè)事件，那么A+B表示這樣一個(gè)事件：在同一試驗(yàn)中，A或B中就表示A+B發(fā)生．我們稱事件A+B為事件A、B的和．它可以推廣如下：“”表示這樣一個(gè)事件，在同一試驗(yàn)中，中即表示發(fā)生，事實(shí)上，也只有其中的某一個(gè)會(huì)發(fā)生．
5．如果事件A、B互斥，那么事件A+B發(fā)生的概率，等于．即P(A+B)＝．
6.由于是一個(gè)必然事件，再加上，故，于是，這個(gè)公式很有用，?？墒垢怕实挠?jì)算得到簡化．當(dāng)直接求某一事件的概率較為復(fù)雜時(shí)，可轉(zhuǎn)化去求其對(duì)立事件的概率．

例1.某射手在一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)，7環(huán)的概率分別為0.21,0.23,0.25,0.28，計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中：①射中10環(huán)或7環(huán)的概率；②不夠7環(huán)的概率.
解：①0.49；②0.03．
變式訓(xùn)練1.一個(gè)口袋內(nèi)有9張大小相同的票，其號(hào)數(shù)分別是1，2，3，，9，從中任取2張，其號(hào)數(shù)至少有1個(gè)為偶數(shù)的概率等于（）
A．B．
C．D．
解：D
例2.袋中有紅、黃、白3種顏色的球各1只，從中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：
（1）3只全是紅球的概率．
（2）3只顏色全相同的概率．
（3）3只顏色不全相同的概率．
（4）3只顏色全不相同的概率．
解：(1)記“3只全是紅球”為事件A．從袋中有放回地抽取3次，每次取1只，共會(huì)出現(xiàn)種等可能的結(jié)果，其中3只全是紅球的結(jié)果只有一種，故事件A的概率為．
(2)“3只顏色全相同”只可能是這樣三種情況：“3只全是紅球”(事件A)；“3只全是黃球”(設(shè)為事件B)；“3只全是白球”(設(shè)為事件C)．故“3只顏色全相同”這個(gè)事件為A+B+C，由于事件A、B、C不可能同時(shí)發(fā)生，因此它們是互斥事件．再由于紅、黃、白球個(gè)數(shù)一樣，故不難得，
故．
(3)3只顏色不全相同的情況較多，如是兩只球同色而另一只球不同色，可以兩只同紅色或同黃色或同白色等等；或三只球顏色全不相同等．考慮起來比較麻煩，現(xiàn)在記“3只顏色不全相同”為事件D，則事件為“3只顏色全相同”，顯然事件D與是對(duì)立事件．

(4)要使3只顏色全不相同，只可能是紅、黃、白各一只，要分三次抽取，故3次抽到紅、黃、白各一只的可能結(jié)果有種，故3只顏色全不相同的概率為
．
變式訓(xùn)練2.從裝有２個(gè)紅球和２個(gè)黑球的口袋內(nèi)任?。矀€(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）
A．至少有1個(gè)黑球與都是黑球
B．至少有1個(gè)黑球與至少有1個(gè)紅球
C．恰有1個(gè)黑球與恰有2個(gè)黑球
D．至少有1個(gè)黑球與都是紅球
解：C
例3.設(shè)人的某一特征（如眼睛大?。┦怯伤囊粚?duì)基因所決定的，以d表示顯性基因，r表示隱性基因，則具有dd基因的人為純顯性，具有rr基因的人是純隱性，具有rd基因的人為混合性，純顯性與混合性的人都顯露顯性基因決定的一某一特征，孩子從父母身上各得到一個(gè)基因，假定父母都是混合性，問：①1個(gè)孩子有顯性決定特征的概率是多少？②2個(gè)孩子至少有一個(gè)顯性決定特征的概率是多少？
解：①；②
變式訓(xùn)練3.盒中有6只燈泡，其中2只是次品，4只是正品，從其中任取兩只，試求下列事件的概率：
①取到兩只都是次品；
②取到兩只中正品、次品各1只；
③取到兩只中至少有1只正品．
解：⑴⑵⑶
例4.從男女學(xué)生共36名的班級(jí)中，任意選出2名委員，任何人都有同樣的當(dāng)選機(jī)會(huì)，如果選得同性委員的概率等于，求男女相差幾名？
解:設(shè)男生有名，則女生有36-名，選得2名委員都是男生的概率為：
選得2名委員都是女生的概率為
以上兩種選法是互斥的，又選得同性委員的概率是
得：
解得：或
即：男生有15名，女生有21名；或男生有21名，女生有15名．總之，男、女生相差6名．
變式訓(xùn)練4.學(xué)校某班學(xué)習(xí)小組共10小，有男生若干人，女生若干人，現(xiàn)要選出3人去參加某項(xiàng)調(diào)查活動(dòng)，已知至少有一名女生去的概率為，求該小組男生的人數(shù)？
解：6人

1．互斥事件概率的加法公式、對(duì)立事件概率的加法公式，都必須在各個(gè)事件彼此互斥的前提下使用．
2．要搞清兩個(gè)重要公式：
的運(yùn)用前提．
3．在求某些稍復(fù)雜的事件的概率時(shí)，通常有兩種方法：一是將所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的概率的和；二是先去求此事件的對(duì)立事件的概率．
第3課時(shí)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率

1．事件A（或B）是否發(fā)生對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率，這樣的兩個(gè)事件叫獨(dú)立事件．
2．設(shè)A，B是兩個(gè)事件，則A·B表示這樣一個(gè)事件：它的發(fā)生，表示事件A，B，類似地可以定義事件A1·A2·……An.
3．兩個(gè)相互獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P(A·B)
＝一般地，如果事件相互獨(dú)立，那么：P(A1·A2……An)＝.
4．n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率：如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生次的概率是．

例1.如圖所示，用A、B、C三類不同的元件連接成兩個(gè)系統(tǒng)、，當(dāng)元件A、B、C都正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作，當(dāng)元件A正常工作且元件B、C至少有1個(gè)正常工作時(shí)系統(tǒng)正常工作，已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.8、0.9、0.9，分別求系統(tǒng)、正常工作時(shí)的概率．

解：分別記元件A、B、C正常工作為事件A、B、C，
由已知條件
(Ⅰ)因?yàn)槭录嗀、B、C是相互獨(dú)立的，所以，系統(tǒng)正常工作的概率
故系統(tǒng)正常工作的概率為0.648.
(Ⅱ)系統(tǒng)正常工作的概率
故系統(tǒng)正常工作的概率為0.792．
變式訓(xùn)練1.有甲、乙兩地生產(chǎn)某種產(chǎn)品，甲地的合格率為90%，乙地的合格率為92%，從兩地生產(chǎn)的產(chǎn)品中各抽取1件，都抽到合格品的概率等于（）
A．112%B．9.2%C．82.8%D．0.8%
解：C
例2.箱內(nèi)有大小相同的20個(gè)紅球，80個(gè)黑球，從中任意取出1個(gè)，記錄它的顏色后再放回箱內(nèi)，進(jìn)行攪拌后再任意取出1個(gè)，記錄它的顏色后又放回，假設(shè)三次都是這樣抽取，試回答下列問題：
①求事件A：“第一次取出黑球，第二次取出紅球，第三次取出黑球”的概率；
②求事件B：“三次中恰有一次取出紅球”的概率.
解：（①；②
變式訓(xùn)練2：從甲袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從乙袋中摸出1個(gè)紅球的概率是，從兩袋中各摸出1個(gè)球，則等于（）
A．2個(gè)球不都是紅球的概率
B．2個(gè)球都是紅球的概率
C．至少有1個(gè)紅球的概率
D．2個(gè)球中恰好有1個(gè)紅球的概率
解：C
例3.兩臺(tái)雷達(dá)獨(dú)立工作，在一段時(shí)間內(nèi)，甲雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率是0.9，乙雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的概率是0.85，計(jì)算在這一段時(shí)間內(nèi)，下列各事件的概率：
（1）甲、乙兩雷達(dá)均未發(fā)現(xiàn)目標(biāo)；
（2）至少有一臺(tái)雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)；
（3）至多有一臺(tái)雷達(dá)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)
解：①0.015;②0.985;③0.235
變式訓(xùn)練3：甲、乙、丙三人分別獨(dú)立解一道題，甲做對(duì)的概率為，甲、乙、丙三人都做對(duì)的概率是，甲、乙、丙三人全做錯(cuò)的概率是．
（1）求乙、丙兩人各自做對(duì)這道題的概率；
（2）求甲、乙、丙三人中恰有一人做對(duì)這一道題的概率．
解：①,或,；②
例4.有三種產(chǎn)品，合格率分別為0.90，0.95和0.95，各取一件進(jìn)行檢驗(yàn)．
（1）求恰有一件不合格的概率；
（2）求至少有兩件不合格的概率．（精確到0.01）
解:設(shè)三種產(chǎn)品各取一件，抽到的合格產(chǎn)品的事件分別為A、B和C
(Ⅰ)因?yàn)槭录嗀、B、C相互獨(dú)立，恰有一件不合格的概率為
答：恰有一件不合格的概率為0.176.
(Ⅱ)解法一：至少有兩件不合格的概率為

答：至少有兩件不合格的概率為0.012.
解法二：三件都合格的概率為：

由(Ⅰ)可知恰好有一件不合格的概率為0.176，所以至少有兩件不合格的概率為
答：至少有兩件不合格的概率為0.012.
變式訓(xùn)練4.甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為.①分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；②從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率.
解：①,,；②

1．當(dāng)且僅當(dāng)事件與事件互相獨(dú)立時(shí)，才有，故首先要搞清兩個(gè)事件的獨(dú)立性．
2．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在概率論中占有相當(dāng)重要地地位，這種試驗(yàn)的結(jié)果只有兩種，我們主要研究在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生k次的概率：，其中P是1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率，其實(shí)正好是二項(xiàng)式的展開式中的第k+1項(xiàng)，很自然地聯(lián)想起二項(xiàng)式定理．
第4課時(shí)離散型隨機(jī)變量的分布列

1．如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，那么這樣的變量叫做，隨機(jī)變量通常用希臘字母，等表示．
2．如果隨機(jī)變量可能取的值，那么這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．
3．從函數(shù)的觀點(diǎn)來看，P(＝xk)＝Pk，k＝1，2，…，n，…稱為離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)或概率分布，這個(gè)函數(shù)可以用表示，這個(gè)叫做離散型隨機(jī)變量的分布列．
4．離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)
(1)所有變量對(duì)應(yīng)的概率值（函數(shù)值）均為非負(fù)數(shù)，即．
(2)所有這些概率值的總和為即．
(3)根據(jù)互斥事件的概率公式，離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的
5．二項(xiàng)分布：如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率，有了這個(gè)函數(shù)，就能寫出它的分布列，由于是二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，所以稱這個(gè)分布為二項(xiàng)分布列，記作

例1.袋子中有1個(gè)白球和2個(gè)紅球．
⑴每次取1個(gè)球，不放回，直到取到白球?yàn)橹梗笕∏虼螖?shù)的分布列．
⑵每次取1個(gè)球，放回，直到取到白球?yàn)橹梗笕∏虼螖?shù)的分布列．
⑶每次取1個(gè)球，放回，直到取到白球?yàn)橹梗槿〈螖?shù)不超過5次．求取球次數(shù)的分布列．
⑷每次取1個(gè)球，放回，共取5次．求取到白球次數(shù)的分布列．
解：⑴

＝
＝
所求的分布列是

123

⑵每次取到白球的概率是，不取到白球的概率是，所求的分布列是
123……
P……
⑶
12345
P
⑷
∴P＝(＝k)＝C5k()k·()5－k，
其中
∴所求的分布列是
012345
P

變式訓(xùn)練1.是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為
-101
則q＝（）
A．1B．
C．D．
解：D
例2.一袋中裝有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球，以表示取出球的最大號(hào)碼，求的分布列．
解：隨機(jī)變量的取值為3，4，5，6從袋中隨機(jī)地取3個(gè)球，包含的基本事件總數(shù)為，事件“”包含的基本事件總數(shù)為，事件“”包含的基本事件總數(shù)為；事件“”包含的基本事件總數(shù)為；事件包含的基本事件總數(shù)為；從而有

∴隨機(jī)變量的分布列為：
3456
變式訓(xùn)練2：現(xiàn)有一大批種子，其中優(yōu)質(zhì)良種占30%，從中任取2粒，記為2粒中優(yōu)質(zhì)良種粒數(shù)，則的分布列是.
解：
012
P0.490.420.09
例3.一接待中心有A、B、C、D四部熱線電話，已知某一時(shí)刻電話A、B占線的概率均為0.5，電話C、D占線的概率均為0.4，各部電話是否占線相互之間沒有影響，假設(shè)該時(shí)刻有部電話占線，試求隨機(jī)變量的概率分布.
解：
01234
0.090.30.370.20.04
變式訓(xùn)練3：將編號(hào)為1，2，3，4的賀卡隨意地送給編號(hào)為一，二，三，四的四個(gè)教師，要求每個(gè)教師都得到一張賀卡，記編號(hào)與賀卡相同的教師的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的概率分布.解：
0124
P

1．本節(jié)綜合性強(qiáng)，涉及的概念、公式較多，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)準(zhǔn)確理解這些概念、公式的本質(zhì)內(nèi)涵，注意它們的區(qū)別與聯(lián)系．例如，若獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的結(jié)果只有兩種（即與，是必然事件），在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率就是二項(xiàng)式展開式中的第項(xiàng)，故此公式稱為二項(xiàng)分布公式；又如兩事件的概率均不為0，1時(shí)，“若互斥，則一定不相互獨(dú)立”、“若相互獨(dú)立，則一定不互斥”等體現(xiàn)了不同概念、公式之間的內(nèi)在聯(lián)系．
2．運(yùn)用P(A·B)＝P(A)·P(B)等概率公式時(shí)，應(yīng)特別注意各自成立的前提條件，切勿混淆不清．例如，當(dāng)為相互獨(dú)立事件時(shí)，運(yùn)用公式便錯(cuò)．
3．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在同樣條件下可重復(fù)進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)，每次試驗(yàn)都只有兩重結(jié)果（即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生），并且在任何一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率均相等．
獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是相互獨(dú)立事件的特例（概率公式也是如此），就像對(duì)立事件是互斥事件的特例一樣，只是有“恰好”字樣的用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算更簡單，就像有“至少”或“至多”字樣的題用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算更簡單一樣．
4．解決概率問題要注意“三個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)合”：
（1）求概率的步驟是：
第一步，確定事件性質(zhì)，即所給的問題歸結(jié)為四類事件中的某一種．
第二步，判斷事件的運(yùn)算，即是至少有一個(gè)發(fā)生，還是同時(shí)發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘事件．
第三步，運(yùn)用公式求得．

（2）概率問題常常與排列組合問題相結(jié)合．
第4課時(shí)離散型隨機(jī)變量的期望與方差

1．若離散型隨機(jī)變量的分布列為
.則稱為的數(shù)學(xué)期望．它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．
2．對(duì)于隨機(jī)變量，稱
為的方差．的算術(shù)平方根叫做的標(biāo)準(zhǔn)差．隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的．
3．?dāng)?shù)學(xué)期望與方差產(chǎn)生的實(shí)際背景與初中平均數(shù)及樣本方差這兩個(gè)概念有關(guān)．
平均數(shù)：
＝＋＋…
樣本方差：
＝
以上兩式中恰是出現(xiàn)的頻率．這與數(shù)學(xué)期望與方差的定義式一致．
4．?dāng)?shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)：若（為隨機(jī)變量），則，．
5．服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的期望與方差：若,則

例1．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量表示所選3人中女生的人數(shù)．
①求的分布列；
②求的數(shù)學(xué)期望；
③求“所選3人中女生人數(shù)≤1”的概率.
解：①
012
P

②E＝1
③
變式訓(xùn)練1：如果袋中有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，從中任取1球，記住顏色后放回，連續(xù)摸取4次，設(shè)為取得紅球的次數(shù)，則的期望＝（）
A．B．
C．D．
解：B
例2拋擲兩個(gè)骰子,當(dāng)至少有一個(gè)5點(diǎn)或6點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),就說這次試驗(yàn)成功,求在30次試驗(yàn)中成功次數(shù)的期望和方差.
解:,其中.所以
變式訓(xùn)練2：布袋中有大小相同的4只紅球，3只黑球，今從袋中隨機(jī)取出4只球，設(shè)取到一只紅球得1分，取到一只黑球得3分，試求得分的概率分布和數(shù)學(xué)期望．
解：
例3甲、乙兩名射手在同一條件下進(jìn)行射擊，分布列如下表：
射手甲
擊中環(huán)數(shù)8910
概率0.60.2
射手乙
擊中環(huán)數(shù)8910
概率0.40.4
用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差分析比較兩名射手的射擊水平．
解：

∴甲乙兩名射手所得環(huán)數(shù)的平均值相等，但射手甲所得環(huán)數(shù)比較集中，射手乙所得環(huán)數(shù)比較分散，射手甲射擊水平較穩(wěn)定．
變式訓(xùn)練3：某商場根據(jù)天氣預(yù)報(bào)來決定節(jié)日是在商場內(nèi)還是在商場外開展促銷活動(dòng)，統(tǒng)計(jì)資料表明，每年五一節(jié)商場內(nèi)的促銷活動(dòng)可獲得經(jīng)濟(jì)效益2.5萬元，商場外的促銷活動(dòng)如果不遇到有雨天可獲得經(jīng)濟(jì)效益12萬元，如果促銷活動(dòng)遇到有雨天，則帶來經(jīng)濟(jì)損失5萬元，4月30號(hào)氣象臺(tái)預(yù)報(bào)五一節(jié)當(dāng)?shù)赜杏甑母怕适?0%，問商場應(yīng)該采取哪種促銷方式？
解：采用場外促銷方式
例4某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為0.3，一旦發(fā)生，可造成400萬元的損失，現(xiàn)有甲、乙兩種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可供采用．單獨(dú)采用甲、乙預(yù)防措施所需的費(fèi)用分別為45萬元和30萬元，采用相應(yīng)預(yù)防措施后，此突發(fā)事件不發(fā)生的概率分別為0.9和0.85．若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨(dú)采用，聯(lián)合采用或不采用，試確定預(yù)防方案使總費(fèi)用最少．（總費(fèi)用＝采取預(yù)防措施的費(fèi)用+發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值）.
解：聯(lián)合甲、乙，總費(fèi)用最少為81萬元
變式訓(xùn)練4：假設(shè)1部機(jī)器在1天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)，全天停止工作，若1周的5個(gè)工作日里無故障，可獲得利潤10萬元，發(fā)生1次故障仍可獲得利潤5萬元；發(fā)生2次故障所獲利潤為0；發(fā)生3次或3次以上故障就要虧損2萬元，求1周的期望利潤是多少？（精確到0.001）.
解：用隨機(jī)變量表示1周5天內(nèi)發(fā)生故障的天數(shù)，則服從地一項(xiàng)分布~B(5,0.2)，
從而，
，P(＝2)＝0.205
P(≥3)＝0.057設(shè)為所獲得利潤，則
E＝10×0.328＋5×0.410＋0×0.205－2×0.057
＝5.215（萬元）

1．?dāng)?shù)學(xué)期望與方差，標(biāo)準(zhǔn)差都是離散型隨機(jī)變量最重要的數(shù)字特征，它們分別反映了隨機(jī)變量取值的平均水平、穩(wěn)定程度、集中與離散的程度．離散型隨機(jī)變量的期望與方差都與隨機(jī)變量的分布列緊密相連，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)重點(diǎn)記住以下重要公式與結(jié)論：
一般地，若離散型隨機(jī)變量的分布列為
………
………
則期望，
方差，
標(biāo)準(zhǔn)差
若，則，這里
概率章節(jié)測試題
一、選擇題
1．已知非空集合A、B滿足AB，給出以下四個(gè)命題：
①若任取x∈A，則x∈B是必然事件②若xA，則x∈B是不可能事件
③若任取x∈B，則x∈A是隨機(jī)事件④若xB，則xA是必然事件
其中正確的個(gè)數(shù)是()
A、1B、2C、3D、4
2．一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地射擊四次，已知至少命中一次的概率為，則此射手每次射擊命中的概率為（）
A.B.C.D.
3．設(shè)是離散型隨機(jī)變量，，，且，現(xiàn)已知：，，則的值為（）
(A)(B)(C)３(D)
4．福娃是北京2008年第29屆奧運(yùn)會(huì)吉祥物，每組福娃都由“貝貝”、“晶晶”、“歡歡”、“迎迎”和“妮妮”這五個(gè)福娃組成．甲、乙兩位好友分別從同一組福娃中各隨機(jī)選擇一個(gè)福娃留作紀(jì)念，按先甲選再乙選的順序不放回地選擇，則在這兩位好友所選擇的福娃中，“貝貝”和“晶晶”恰好只有一個(gè)被選中的概率為（）
A．B．C．D．
5．（漢沽一中2008~2009屆月考文9）.面積為S的△ABC，D是BC的中點(diǎn)，向△ABC內(nèi)部投一點(diǎn)，那么點(diǎn)落在△ABD內(nèi)的概率為()
A.B.C.D.
6．（漢沽一中2008~2009屆月考文9）.面積為S的△ABC，D是BC的中點(diǎn)，向△ABC內(nèi)部投一點(diǎn)，那么點(diǎn)落在△ABD內(nèi)的概率為()
A.B.C.D.
7．在圓周上有10個(gè)等分，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，每3個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)三角形，如果隨機(jī)選擇了3個(gè)點(diǎn)，剛好構(gòu)成直角三角形的概率是（）
A.B.C.D.
8．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽車的準(zhǔn)時(shí)到站率為60%，則他在3天乘車中，此班次公共汽車至少有2天準(zhǔn)時(shí)到站的概率為（）
A．B．C．D．
9．甲、乙、丙三位同學(xué)上課后獨(dú)立完成5道自我檢測題，甲及格概率為，乙及格概率為，丙及格概率為，則三人中至少有一人及格的概率為（）
A．B．C．D．
10．從集合中隨機(jī)取出6個(gè)不同的數(shù)，在這些選法中，第二小的數(shù)為的概率是
A.B.C.D.
二、填空題
11．已知離散型隨機(jī)變量的分布列如右表．若，，則，．
12．點(diǎn)A為周長等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧AB的長度小于1的概率為。
13．6位身高不同的同學(xué)拍照，要求分成兩排，每排3人，則后排每人均比其前排的同學(xué)身材要高的概率是_________.
14．從分別寫有的五張卡片中第一次取出一張卡片，記下數(shù)字后放回，再從中取出一張卡片.兩次取出的卡片上的數(shù)字和恰好等于4的概率是.
三、解答題
15．將、兩枚骰子各拋擲一次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，問：
（1）共有多少種不同的結(jié)果？
（2）兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的結(jié)果有多少種？
（3）兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率是多少？

16．甲、乙兩人進(jìn)行摸球游戲，一袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)紅球。規(guī)則如下：若一方摸中紅球，將此球放入袋中，此人繼續(xù)摸球；若一方?jīng)]有摸到紅球，將摸到的球放入袋中，則由對(duì)方摸彩球?，F(xiàn)甲進(jìn)行第一次摸球。
(1)在前三次摸球中，甲恰好摸中一次紅球的所有情況；
（2）在前四次摸球中，甲恰好摸中兩次紅球的概率；
（3）設(shè)是前三次摸球中，甲摸到的紅球的次數(shù)，
求隨機(jī)變量的概率分布與期望.

17．某商場舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，從裝有編號(hào)0，1，2，3四個(gè)小球的抽獎(jiǎng)箱中，每次取出后放回，連續(xù)取兩次，取出的兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于5中一等獎(jiǎng)，等于4中二等獎(jiǎng)，等于3中三等獎(jiǎng)．
（1）求中三等獎(jiǎng)的概率；
（2）求中獎(jiǎng)的概率．

18．將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處,小球?qū)⒆杂上侣?小球在下落過程中,將3次遇到黑色障礙物,最后落入袋或袋中.已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí)向左、右兩邊下落的概率都是.
（1）求小球落入袋中的概率;
（2）在容器入口處依次放入4個(gè)小球,記為落入
袋中小球的個(gè)數(shù),試求的概率和的數(shù)學(xué)期望.

19．某射手在一次射擊中命中9環(huán)的概率是0.28，命中8環(huán)的概率是0.19，不夠8環(huán)的概率是0.29，計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中命中9環(huán)或10環(huán)(最高環(huán)數(shù))的概率.

20．學(xué)校文娛隊(duì)的每位隊(duì)員唱歌、跳舞至少會(huì)一項(xiàng)，已知會(huì)唱歌的有2人，會(huì)跳舞的有5人，現(xiàn)從中選2人．設(shè)為選出的人中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù)，且．
(1)求文娛隊(duì)的人數(shù)；
(2)寫出的概率分布列并計(jì)算．

21．有甲、乙、丙三種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品的測試合格率分別為0.8，0.8和0.6，從三種產(chǎn)品中各抽取一件進(jìn)行檢驗(yàn)。
（1）求恰有兩件合格的概率；
（2）求至少有兩件不合格的概率。

22．有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品，其次品率是10%。
（1）連續(xù)抽取兩件產(chǎn)品，求兩件產(chǎn)品均為正品的概率；
（2）對(duì)這批產(chǎn)品進(jìn)行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查，直到抽出次品，但抽查次數(shù)最多不超過4次，求抽查次數(shù)的分布列及期望。

概率章節(jié)測試題答案
一、選擇題
1．解析：①③④正確，②錯(cuò)誤.
答案：C
2．答案：B
3．答案：C
4．答案：C.選C
5．B
6．B
7．答案：C
8．答案：C
9．答案：B
10．答案：B
二、填空題
11．【解析】由題知，，，解得，.
12．解析：如圖可設(shè),則,根據(jù)幾何概率可知其整體事件是其周長，則其概率是
14．答案：
15．解：（1）共有種結(jié)果；
（2）共有12種結(jié)果；
（3）．
16．解:(1)甲紅甲黑乙紅黑均可；甲黑乙黑甲紅。。。
（2）。。。。。。
(3)設(shè)的分布是
0123
P
E=。。。。。。
17．解:設(shè)“中三等獎(jiǎng)”的事件為A，“中獎(jiǎng)”的事件為B，從四個(gè)小球中有放回的取兩個(gè)共有
（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），
（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）16種不同的方法。
（1）兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于3的取法有4種：
（0，3）、（1，2）、（2，1）、（3，0）………
故………
（2）兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于3的取法有4種。
兩個(gè)小球相加之和等于4的取法有3種：（1，3），（2，2），（3，1）
兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于5的取法有2種：（2，3），（3，2）,……
由互斥事件的加法公式得
18．解:（1）解法一：記小球落入袋中的概率，則，
由于小球每次遇到黑色障礙物時(shí)一直向左或者一直向右下落，小球?qū)⒙淙氪?，所?br> .…
解法二：由于小球每次遇到黑色障礙物時(shí)，有一次向左和兩次向右或兩次向左和一次向右下落時(shí)小球?qū)⒙淙氪?
，
（2）由題意，所以有
，
.
19．【解析】記這個(gè)射手在一次射擊中“命中10環(huán)或9環(huán)”為事件A，“命中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、不夠8環(huán)”分別記為B、C、D、E.
則，，
∵C、D、E彼此互斥，
∴P（C∪D∪E）=P（C）+P（D）+P（E）=0.28+0.19+0.29=0.76.
又∵B與C∪D∪E為對(duì)立事件，
∴P（B）=1－P（C∪D∪E）=1－0.76=0.24.
B與C互斥，且A=B∪C，
∴P（A）=P（B+C）=P（B）+P（C）=0.24+0.28=0.52.…
答：某射手在一次射擊中命中9環(huán)或10環(huán)(最高環(huán)數(shù))的概率為0.52.
20．解：設(shè)既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有x人，則文娛隊(duì)中共有（7-x）人，那么只會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)是（7-2x）人．
(I)∵，
∴．………
即．
∴．
∴x=2．……
故文娛隊(duì)共有5人．………………
(II)的概率分布列為
012
P
，……
，…………
∴=1．
21．解：（1）設(shè)從甲、乙、丙三種產(chǎn)品中各抽出一件測試為事件A，B，C，由已知P（A）=0.8，P（B）=0.8，P（C）=0.6
則恰有兩件產(chǎn)品合格的概率為

（2）三件產(chǎn)品均測試合格的概率為

由（1）知，恰有一件測試不合格的概率為

所以至少有兩件不合格的概率為

22．解：（1）兩件產(chǎn)品均為正品的概率為

（2）可能取值為1，2，3，4
；；

所以次數(shù)的分布列如下

∴