小學(xué)奧數(shù)教案

完全平方數(shù)和完全平方式。

第三十一講完全平方數(shù)和完全平方式
設(shè)n是自然數(shù)，若存在自然數(shù)m，使得n=m2，則稱(chēng)n是一個(gè)完全平方數(shù)(或平方數(shù))．常見(jiàn)的題型有：判斷一個(gè)數(shù)是否是完全平方數(shù)；證明一個(gè)數(shù)不是完全平方數(shù)；關(guān)于存在性問(wèn)題和其他有關(guān)問(wèn)題等．最常用的性質(zhì)有：
(1)任何一個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字只能是0，1，4，5，6，9，個(gè)位數(shù)字是2，3，7，8的數(shù)一定不是平方數(shù)；
(2)個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字都是奇數(shù)的兩位以上的數(shù)一定不是完全平方數(shù)，個(gè)位數(shù)字為6，而十位數(shù)字為偶數(shù)的數(shù)，也一定不是完全平方數(shù)；
(3)在相鄰兩個(gè)平方數(shù)之間的數(shù)一定不是平方數(shù)；
(4)任何一個(gè)平方數(shù)必可表示成兩個(gè)數(shù)之差的形式；
(5)任何整數(shù)平方之后，只能是3n或3n+1的形式，從而知，形如3n+2的數(shù)絕不是平方數(shù)；任何整數(shù)平方之后只能是5n，5n+1，5n+4的形式，從而知5n+2或5n+3的數(shù)絕不是平方數(shù)；
(6)相鄰兩個(gè)整數(shù)之積不是完全平方數(shù)；
(7)如果自然數(shù)n不是完全平方數(shù)，那么它的所有正因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)；如果自然數(shù)n是完全平方數(shù)，那么它的所有正因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)；
(8)偶數(shù)的平方一定能被4整除；奇數(shù)的平方被8除余1，且十位數(shù)字必是偶數(shù)．
例題求解
【例1】n是正整數(shù)，3n+1是完全平方數(shù)，證明：n+l是3個(gè)完全平方數(shù)之和．
思路點(diǎn)撥設(shè)3n+1=m2，顯然3卜m，因此，m=3k+1或m=3k+2(k是正整數(shù))．
若rn=3k+1，則．
∴n+1=3k2+2k+1=k2+k2+(k+1)2．
若m=3k+2，則
∴n+1=3k2+4k+2=k2+(k+1)2+(k+1)2．
故n+1是3個(gè)完全平方數(shù)之和．
【例2】一個(gè)正整數(shù)，如果加上100是一個(gè)平方數(shù)，如果加上168，則是另一個(gè)平方數(shù)，求這個(gè)正整數(shù)．
思路點(diǎn)撥引入?yún)?shù)，利用奇偶分析求解．
設(shè)所求正整數(shù)為x，則
x+100=m2----①
x+168==n2-----②
其中m，n都是正整數(shù)，②—①得n2—m2=68，即（n—m）(n+m)=22×17．----③
因n—m，n+m具有相同的奇偶性，由③知n—m，n+m都是偶數(shù)．注意到0n—mn+m，由③可得．
解得n=18．代人②得x=156，即為所求．
【例3】一個(gè)正整數(shù)若能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，則稱(chēng)這個(gè)正整數(shù)為“智慧數(shù)”，比如16=52—32，16就是一個(gè)“智慧數(shù)”．在正整數(shù)中從1開(kāi)始數(shù)起，試問(wèn)第1998個(gè)“智慧數(shù)”是哪個(gè)數(shù)?并請(qǐng)你說(shuō)明理由．
思路點(diǎn)撥1不能表為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，所以1不是“智慧數(shù)”．對(duì)于大于1的奇正整數(shù)2k+1，有2k+1=(k+1)2－k2(k=1，2，…)．所以大于1的奇正整數(shù)都是“智慧數(shù)”．
對(duì)于被4整除的偶數(shù)4k，有4k=(k+1)2—(k—1)2(k=2，3，…)．即大于4的被4整除的數(shù)都是“智慧數(shù)”，而4不能表示為兩個(gè)正整數(shù)平方差，所以4不是“智慧數(shù)”．
對(duì)于被4除余2的數(shù)4k+2(k=0，1，2，3，…)，設(shè)4k+2=x2—y2=(x+y)(x－y)，其中x，y為正整數(shù)，當(dāng)x，y奇偶性相同時(shí)，(x+y)(x－y)被4整除，而4k+2不被4整除；當(dāng)x，y奇偶性相異時(shí)，(x+y)(x－y)為奇數(shù)，而4k+2為偶數(shù)，總得矛盾．所以不存在自然數(shù)x，y使得x2—y2=4k+2．即形如4k+2的數(shù)均不為“智慧數(shù)”．
因此，在正整數(shù)列中前四個(gè)正整數(shù)只有3為“智慧數(shù)”，此后，每連續(xù)四個(gè)數(shù)中有三個(gè)“智慧數(shù)”．
因?yàn)?998=(1+3×665)+2，4×(665+1)=2664，所以2664是第1996個(gè)“智慧數(shù)”，2665是第1997個(gè)“智慧數(shù)”，注意到2666不是“智慧數(shù)”，因此2667是第1998個(gè)“智慧數(shù)”，即第1998個(gè)“智慧數(shù)”是2667．
【例4】(太原市競(jìng)賽題)已知：五位數(shù)滿(mǎn)足下列條件：
(1)它的各位數(shù)字均不為零；
(2)它是一個(gè)完全平方數(shù)；
(3)它的萬(wàn)位上的數(shù)字a是一個(gè)完全平方數(shù)，干位和百位上的數(shù)字順次構(gòu)成的兩位數(shù)以及十位和個(gè)位上的數(shù)字順次構(gòu)成的兩位數(shù)也都是完全平方數(shù)．
試求出滿(mǎn)足上述條件的所有五位數(shù)．
思路點(diǎn)撥設(shè)，且(一位數(shù))，(兩位數(shù))，(兩位數(shù))，則①
由式①知②
比較式①、式②得n2=2mt．
因?yàn)閚2是2的倍數(shù)，故n也是2的倍數(shù)，所以，n2是4的倍數(shù)，且是完全平方數(shù)．
故n2=16或36或64．
當(dāng)n2=16時(shí)，得，則m=l，2，4，8，t=8，4，2，1，后二解不合條件，舍去；
故或41616．
當(dāng)n2=36時(shí)，得．則m=2，3，1，t=9，6，18．最后一解不合條件，舍去．
故或93636．
當(dāng)n2=64時(shí)，得．則m=1，2，4，8，t=32，16，8，4都不合條件，舍去．
因此，滿(mǎn)足條件的五位數(shù)只有4個(gè)：11664，41616，43681，93636．
【例5】(2002年北京)能夠找到這樣的四個(gè)正整數(shù)，使得它們中任兩個(gè)數(shù)的積與2002的和都是完全平方數(shù)嗎?若能夠，請(qǐng)舉出一例；若不能夠；請(qǐng)說(shuō)明理由．
思路點(diǎn)撥不能找到這樣的四個(gè)正整數(shù)，使得它們中任兩個(gè)數(shù)的積與2002的和都是完全平方數(shù)．
理由如下：
偶數(shù)的平方能被4整除，奇數(shù)的平方被4除余1，也就是正整數(shù)的平方被4除余0或1．若存在正整數(shù)滿(mǎn)足；=1，2，3，4，rn是正整數(shù)；因?yàn)?002被4除余2，所以被4除應(yīng)余2或3．
(1)若正整數(shù)n1，n2，n3，n4中有兩個(gè)是偶數(shù)，不妨設(shè)n1，n2是偶數(shù)，則被4除余2，與正整數(shù)的平方被4除余0或1不符，所以正整數(shù)n1，n2，n3，n4中至多有—個(gè)是偶數(shù)，至少有三個(gè)是奇數(shù)．
(2)在這三個(gè)奇數(shù)中，被4除的余數(shù)可分為余1或3兩類(lèi)，根據(jù)抽屜原則，必有兩個(gè)奇數(shù)屬于同一類(lèi)，則它們的乘積被4除余1，與被4除余2或3的結(jié)論矛盾．
綜上所述，不能找到這樣的四個(gè)正整數(shù)，使得褥它們中任兩個(gè)數(shù)的積與2002的和都是完全平方數(shù)．
【例6】使得(n2—19n+91)為完全平方數(shù)的自然數(shù)n的個(gè)數(shù)是多少?
思路點(diǎn)撥若(n2—19n+91)處在兩個(gè)相鄰整數(shù)的完全平方數(shù)之間，則它的取值便固定了．
∵n2一19n+91=(n-9)2+(10一n)
當(dāng)n10時(shí)，(n－10)2n2－19n+19(n-9)2
∴當(dāng)n10時(shí)(n2—19n+19)不會(huì)成為完全平方數(shù)
∴當(dāng)n≤10時(shí)，(n2—19n+91)才是完全平方數(shù)
經(jīng)試算，n=9和n=10時(shí)，n2—19n+91是完全平方數(shù)．
所以滿(mǎn)足題意的值有2個(gè)．
【例7】(“我愛(ài)數(shù)學(xué)”夏令營(yíng))已知的值都是1或—1，設(shè)m是這2002個(gè)數(shù)的兩兩乘積之和．
(1)求m的最大值和最小值，并指出能達(dá)到最大值、最小值的條件；
(2)求m的最小正值，并指出能達(dá)到最小正值的條件．
思路點(diǎn)撥(1)，．
當(dāng)或時(shí)，m取最大值2003001．
當(dāng)中恰有1001個(gè)1，1001個(gè)時(shí)，m取最小值—1001．
(2)因?yàn)榇笥?002的最小完全平方數(shù)為452=2025，且必為偶數(shù)，所以，當(dāng)或；
即中恰有1024個(gè)1，978個(gè)或恰有1024個(gè)，978個(gè)1時(shí)，m取最小值．
【例8】(全國(guó)競(jìng)賽題)如果對(duì)一切x的整數(shù)值，x的二次三項(xiàng)式都是平方數(shù)(即整數(shù)的平方)，證明：
(1)2a、2b都是整數(shù)；
(2)a、b、c都是整數(shù)，并且c是平方數(shù)．
反過(guò)來(lái)，如果(2)成立，是否對(duì)一切x的整數(shù)值，的值都是平方數(shù)?
思路點(diǎn)撥(1)令x=0，得c=平方數(shù)=；
令x=±1，得，，其中m、n都是整數(shù)．所以，，都是整數(shù)．
(2)如果2b是奇數(shù)2k+l(k是整數(shù))，令x=4得，其中h是整數(shù)．
由于2a是整數(shù)，所以16a被4整除，有除以4余2．
而，在h、l的奇偶性不同時(shí)，是奇數(shù)；在h、l的奇偶性相同時(shí)，能被4整除．
因此，，從而2b是偶數(shù)，b是整數(shù)，^也是整數(shù)．
在(2)成立時(shí)，不一定對(duì)x的整數(shù)值都是平方數(shù)．例如，a=2，b=2，c=4，x=1時(shí)，=8不是平方數(shù)．
另解(2)：
令x=±2，得4a+2b+c=h2，4a—2b+c=k2，其中h、k為整數(shù)．兩式相減得
4b=h2—k2=(h+k)(h—k)．
由于4b=2(2b)是偶數(shù)，所以h、k的奇偶性相同，(h+k)(h—k)能被4整除．
因此，b是整數(shù)，也是整數(shù)．

學(xué)力訓(xùn)練
(A級(jí))
1．(山東省競(jìng)賽題)如果是整數(shù)，那么a滿(mǎn)足()
A．a(chǎn)0，且a是完全平方數(shù)B．a(chǎn)0，且－a是完全平方數(shù)
C．a(chǎn)≥0，且a是完全平方數(shù)D．a(chǎn)≤0，且—a是完全平方數(shù)
2．設(shè)n是自然數(shù)，如果n2的十位數(shù)字是7，那么n2的末位數(shù)字是()
A．1B．4C．5D．6
3．(五羊杯，初二)設(shè)自然數(shù)N是完全平方數(shù)，N至少是3位數(shù)，它的末2位數(shù)字不是00，且去掉此2位數(shù)字后，剩下的數(shù)還是完全平方數(shù)，則N的最大值是．
4．使得n2—19n+95為完全平方數(shù)的自然數(shù)n的值是．
5．自然數(shù)n減去52的差以及n加上37的和都是整數(shù)的平方，則n=．
6．兩個(gè)兩位數(shù)，它們的差是56，它們的平方數(shù)的末兩位數(shù)字相同，則這兩個(gè)數(shù)分別是
．
7．是否存在一個(gè)三位數(shù)(a，b，c取從1到9的自然數(shù))，使得為完全平方數(shù)?
8．求證：四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積加l，其和必為完全平方數(shù)．
（B級(jí)）
1．若x是自然數(shù)，設(shè)，則()
A．y一定是完全平方數(shù)B．存在有限個(gè)，使y是完全平方數(shù)
C．y一定不是完全平方數(shù)D．存在無(wú)限多個(gè)，使y是完全平方數(shù)
2．已知a和b是兩個(gè)完全平方數(shù)，b的個(gè)位數(shù)字為l，十位數(shù)字為x；b的個(gè)位數(shù)為6，十位數(shù)字為y，則()
A．x，y都是奇數(shù)B．x，y都是偶數(shù)
C．x是奇數(shù)，y是偶數(shù)D．x為偶數(shù)，y為奇數(shù)
3．若四位數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù)，則這個(gè)四位數(shù)是．
4．設(shè)m是一個(gè)完全平方數(shù)，則比m大的最小完全平方數(shù)是．
5．(全國(guó)聯(lián)賽題)設(shè)平方數(shù)y2是11個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方和，則y的最小值是．
6．(北京市競(jìng)賽，初二)p是負(fù)整數(shù)，且2001+p是—個(gè)完全平方數(shù)，則p的最大值為．
7．有若干名戰(zhàn)士，恰好組成一個(gè)八列長(zhǎng)方形隊(duì)列．若在隊(duì)列中再增加120人或從隊(duì)列中減去120人后，都能組成一個(gè)正方形隊(duì)列．問(wèn)原長(zhǎng)方形隊(duì)列共有多少名戰(zhàn)士?
8．證明：是一個(gè)完全平方數(shù)．

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完全平方公式與平方差公式

老師會(huì)對(duì)課本中的主要教學(xué)內(nèi)容整理到教案課件中，大家應(yīng)該開(kāi)始寫(xiě)教案課件了。我們制定教案課件工作計(jì)劃，才能對(duì)工作更加有幫助！你們會(huì)寫(xiě)多少教案課件范文呢？為了讓您在使用時(shí)更加簡(jiǎn)單方便，下面是小編整理的“完全平方公式與平方差公式”，僅供您在工作和學(xué)習(xí)中參考。

內(nèi)容：8.3完全平方公式與平方差公式（2）P64--67
課型：新授日期：
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1、經(jīng)歷探索平方差公式的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生觀察、交流、歸納、猜測(cè)、驗(yàn)證等能力。
2、會(huì)推導(dǎo)平方差公式，了解公式的幾何背景，會(huì)用公式計(jì)算。
3、進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和方法。
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：會(huì)推導(dǎo)平差方公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算。
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，理解公式中a.b的廣泛含義。
學(xué)習(xí)過(guò)程：
一、學(xué)習(xí)準(zhǔn)備
1、利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式計(jì)算：
（1）(a+1)(a-1)
（2）(x+y)(x-y)
（3）(3a+2b)(3a-2b)
（4）(0.2x+0.04y)(0.2x-0.04y)
觀察以上算式及運(yùn)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？再舉兩例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)。

2、以上算式都是兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)的差相乘，運(yùn)算結(jié)果是這兩個(gè)數(shù)的平方的差。我們把這樣特殊形式的多項(xiàng)式相乘，稱(chēng)為平方差公式，以后可以直接使用。
平方差公式用字母表示為：(a+b)(a-b)=a2-b2
嘗試用自己的語(yǔ)言敘述平方差公式：

3、平方差公式的幾何意義：閱讀課本65頁(yè)，完成填空。
4、平方差公式的結(jié)構(gòu)特征：(a+b)(a-b)=a2-b2
左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，兩個(gè)二項(xiàng)式中的項(xiàng)有什么特點(diǎn)？右邊的結(jié)果與左邊的項(xiàng)有什么關(guān)系？

注意：公式中字母的含義廣泛，可以是，只要題目符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可以運(yùn)用這一公式，可用符號(hào)表示為：(□+○)(□-○)=□2-○2
5、判斷下列算式能否運(yùn)用平方差公式。
(1)(x+y)(-x-y)(2)(-y+x)(x+y)
(3)(x-y)(-x-y)(4)(x-y)(-x+y)
二、合作探究
1、利用乘法公式計(jì)算：
(1)(2m+3)(2m-3)(2)(-4x+5y)(4x+5y)
分析：要分清題目中哪個(gè)式子相當(dāng)于公式中的a（相同的一項(xiàng)），哪個(gè)式子相當(dāng)于公式中的b（互為相反數(shù)的一項(xiàng)）
2、利用乘法公式計(jì)算：
(1)999×1001(2)
分析：要利用完全平方公式，需具備完全平方公式的結(jié)構(gòu)，所以999×1001可以轉(zhuǎn)化為（）×（）,可以轉(zhuǎn)化為（）×（）

3、利用乘法公式計(jì)算：
(1)(x+y+z)(x+y-z)(2)(a-2b+3c)(a+2b-3c)

三、學(xué)習(xí)體會(huì)
對(duì)照學(xué)習(xí)目標(biāo)，通過(guò)預(yù)習(xí)，你覺(jué)得自己有哪些方面的收獲？又存在哪些方面的疑惑？

四、自我測(cè)試
1、下列計(jì)算是否正確，若不正確，請(qǐng)訂正；
(1)(x+2)(2-x)=x2-4
(2)(2x+y2)(2x-y2)=2x2-y4
(3)(3x2+1)(3x2-1)=9x2-1
(4)(x+2)(x-3)=x2-6
2、利用乘法公式計(jì)算：
(1)(m+n)(m-m)+3n2(2)(a+2b)(a-2b)(a2+4b4)

(3)1007×993(4)(x+3)2-(x+2)(x-1)

4、先化簡(jiǎn)，再求值；
(-b+a)(a+b)+(a+b)2-2a2,其中a=3,b=

五、思維拓展
1、如果x2-y2=6,x+y=3，則x-y=
2、計(jì)算：20072-4014×2008+20082

3、計(jì)算：123462-12345×12347

4、計(jì)算：（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）

1.8完全平方公式（2）

作為老師的任務(wù)寫(xiě)教案課件是少不了的，大家在認(rèn)真寫(xiě)教案課件了。各行各業(yè)都在開(kāi)始準(zhǔn)備新的教案課件工作計(jì)劃了，我們的工作會(huì)變得更加順利！你們知道哪些教案課件的范文呢？為此，小編從網(wǎng)絡(luò)上為大家精心整理了《1.8完全平方公式（2）》，供大家參考，希望能幫助到有需要的朋友。

1.8完全平方公式（2）

教學(xué)目標(biāo)：

1．經(jīng)歷探索完全平方公式的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)感和推理能力．

2．會(huì)運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行一些數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算．

3．綜合運(yùn)用平方差和完全平方公式進(jìn)行整式的簡(jiǎn)便運(yùn)算．教學(xué)重點(diǎn)：

1．運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行一些數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算；

2．綜合運(yùn)用平方差和完全平方公式進(jìn)行整式的簡(jiǎn)便運(yùn)算．教學(xué)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用平方差和完全平方公式進(jìn)行整式的簡(jiǎn)便運(yùn)算．活動(dòng)準(zhǔn)備：學(xué)生熟記公式

教學(xué)過(guò)程：

（一）課前復(fù)習(xí)：

算下列各題：

1．；2．；3．；4．；

5．；6．；7．．

通過(guò)教科書(shū)中一個(gè)有趣的分糖果場(chǎng)景，使學(xué)生進(jìn)一步鞏固，同時(shí)幫助學(xué)生進(jìn)一步理解與的關(guān)系．（二）提出問(wèn)題，引入新課：

若沒(méi)有計(jì)算器的情況下，你能很快算出9982的結(jié)果嗎？（三）新課：

1．例：利用完全平方公式計(jì)算：（1）1022；（2）1972．

先分析，再課件演示解答過(guò)程

2．練習(xí)：利用完全平方公式計(jì)算：（1）982；（2）2032．

3．例：計(jì)算：（1）；（2）．

方法一：按運(yùn)算順序先用完全平方公式展開(kāi)，再合并同類(lèi)項(xiàng)；

方法二：先利用平方差公式，再合并同類(lèi)項(xiàng)．

注意：（2）中按完全平方公式展開(kāi)后，必須加上括號(hào)

4．練習(xí)：計(jì)算：（1）；

（2）；

（3）．

5．例：計(jì)算：（1）；

（2）．

練習(xí)：．

6．補(bǔ)例：若，則k＝_________；

若是完全平方式，則k＝________．（四）小結(jié)：

利用完全平方公式可以進(jìn)行一些簡(jiǎn)便的計(jì)算，并體會(huì)公式中

的字母既可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式．（五）作業(yè)：

第38頁(yè)習(xí)題1、2、3

教后記：

簡(jiǎn)便計(jì)算完成得較好，但形如的計(jì)算多數(shù)同學(xué)沒(méi)有掌握，不會(huì)分組拆項(xiàng)．

完全平方公式教學(xué)設(shè)計(jì)

每個(gè)老師上課需要準(zhǔn)備的東西是教案課件，大家靜下心來(lái)寫(xiě)教案課件了。需要我們認(rèn)真規(guī)劃教案課件工作計(jì)劃，才能對(duì)工作更加有幫助！你們到底知道多少優(yōu)秀的教案課件呢？為滿(mǎn)足您的需求，小編特地編輯了“完全平方公式教學(xué)設(shè)計(jì)”，僅供參考，歡迎大家閱讀。