一元二次方程高中教案

一元二次方程-----直接開平方法。

一元二次方程-----直接開平方法
教學(xué)目標(biāo)
1.理解直接開平方法與平方根運(yùn)算的聯(lián)系，學(xué)會用直接開平方法解特殊的一元二次方程；培養(yǎng)基本的運(yùn)算能力；
2.知道形如（px+q）2＝m（p≠0，m≥0）的一元二次方程都可以用直接開平方法解．培養(yǎng)觀察、比較、分析、綜合等能力，會應(yīng)用學(xué)過的知識去解決新的問題；
3.鼓勵(lì)學(xué)生積極主動的參與“教”與“學(xué)”的整個(gè)過程，體會解方程過程中所蘊(yùn)涵的化歸思想、整體思想和降次策略.
教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)
1、用直接開平方法解一元二次方程；
2、理解直接開平方法中的整體思想，懂得（px+q）2＝m（p≠0，m≥0）的一元二次方程都可以用直接開平方法解
教學(xué)過程設(shè)計(jì)
一、情景引入，理解方法
看一看：特殊奧林匹克運(yùn)動會的會標(biāo)
想一想：
在2006年的特殊奧林匹克運(yùn)動會的籌備過程中制玩具節(jié)舉辦的更加隆重，XX學(xué)校將在運(yùn)動場搭建一個(gè)舞臺，其中一個(gè)方案是：在運(yùn)動場正中間搭建一個(gè)面積為144平方米的正方形舞臺，那么請問這個(gè)舞臺的各邊邊長將會是多少米呢？
解：由題意得：x2=144
根據(jù)平方根的意義得：x=±12
∴原方程的解是：x1=12,x2=-12
∵邊長不能為負(fù)數(shù)
∴x＝12
了解方法：
上述解方程的方法叫做直接開平方法．通過直接將某一個(gè)數(shù)開平方，解一元二次方程的方法叫做直接開平方法．
【說明】用開平方法解形如ax2+c=0（a≠0）的方程有三種可能性，學(xué)生歸納是難點(diǎn)，教師要在學(xué)生具體感知的基礎(chǔ)上進(jìn)行具體概括.通過兩個(gè)階段聯(lián)系后的探究意在培養(yǎng)學(xué)生探究一般規(guī)律的能力.．
第三階段：怎樣解方程（1+x）2=144?
請四人學(xué)習(xí)小組共同研究，并給出一個(gè)解題過程．可以參考課本或其他資料．小組長負(fù)責(zé)清楚的記錄解題過程．
第四階段：眾人齊心當(dāng)考官！
請各四人小組試著編一個(gè)類似于(x+1)2=144這樣能用直接開平方法解的一元二次方程．
1、分析學(xué)生所編的方程．
2、從學(xué)生的編題中挑出一個(gè)方程給學(xué)生練習(xí)．
3、出示：思考：下列方程又該如何應(yīng)用直接開平方法求解呢？
4（x＋1）2－144＝0
歸納：形如（px+q）2＝m（p≠0，m≥0）的一元二次方程都可以用直接開平方法解.
【說明】在第三、四階段的講解和練習(xí)中教師需讓學(xué)生體會到其中蘊(yùn)涵了整體思想.
三、鞏固方法，提高能力
請大家?guī)蛶兔Γ粢惶簦瑨粧?，下列一元二次方程中，哪些更適宜用直接開平方法來解呢？
⑴x2=3⑵3t2-t=0
⑶3y2=27⑷(y-1)2-4=0
⑸(2x+3)2=6⑹x2=36x
四、自主小結(jié)
今天我們學(xué)會了什么方法解一元二次方程？適合用開平方法解的一元二次方程有什么特點(diǎn)？

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九年級上冊《直接開平方法解一元二次方程》教案新人教版

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九年級上冊《直接開平方法解一元二次方程》教案新人教版

一、復(fù)習(xí)引入
學(xué)生活動：請同學(xué)們完成下列各題
問題1．填空
（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．
問題2．如圖，在△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始，沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始，沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，幾秒后△PBQ的面積等于8cm2？
問題1：根據(jù)完全平方公式可得：（1）164；（2）42；（3）（）2．
問題2：設(shè)x秒后△PBQ的面積等于8cm2
則PB=x，BQ=2x
依題意，得：x·2x=8
x2=8
根據(jù)平方根的意義，得x=±2即x1=2，x2=-2可以驗(yàn)證，2和-2都是方程x·2x=8的兩根，但是移動時(shí)間不能是負(fù)值．
所以2秒后△PBQ的面積等于8cm2．
二、探索新知
上面我們已經(jīng)講了x2=8，根據(jù)平方根的意義，直接開平方得x=±2，如果x換元為2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接開平方的方法求解呢？
分析：很清楚，x2+4x+4是一個(gè)完全平方公式，那么原方程就轉(zhuǎn)化為（x+2）2=1．
解：由已知，得：（x+2）2=1
直接開平方，得：x+2=±1
即x+2=1，x+2=-1
所以，方程的兩根x1=-1，x2=-3
例2．市政府計(jì)劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面積增長率．
分析：設(shè)每年人均住房面積增長率為x．一年后人均住房面積就應(yīng)該是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面積就應(yīng)該是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2
解：設(shè)每年人均住房面積增長率為x，
則：10（1+x）2=14.4
（1+x）2=1.44
直接開平方，得1+x=±1.2
即1+x=1.2，1+x=-1.2
所以，方程的兩根是x1=0.2=20%，x2=-2.2

一元二次方程

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第二十二章一元二次方程
教材內(nèi)容
本單元教學(xué)的主要內(nèi)容：
1.一元二次方程及其有關(guān)概念，一元二次方程的解法（開平方法、配方法、公式法、分解因式法），
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，運(yùn)用一元二次方程分析和解決實(shí)際問題.
2.本單元在教材中的地位和作用：
教學(xué)目標(biāo)
1.一分析實(shí)際問題中的等量關(guān)系并求解其中未知數(shù)為背景，認(rèn)識一元二次方程及其有關(guān)概念。
2.根據(jù)化歸思想，抓住“降次”這一基本策略，熟練掌握開平方法、配方法、公式法和分解因式法等一元二次方程的基本解法.
3.經(jīng)歷分析和解決問題的過程，體會一元二次方程的教學(xué)模型作用，進(jìn)一步提高在實(shí)際問題中運(yùn)用方程這種重要數(shù)學(xué)工具的基本能力。
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：
1．一元二次方程及其有關(guān)概念
2.一元二次方程的解法（開平方法、配方法、公式法、分解因式法）
3.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及運(yùn)用一元二次方程分析和解決實(shí)際問題。
難點(diǎn)：
1.一元二次方程及其有關(guān)概念
2.一元二次方程的解法（配方法、公式法、分解因式法），
3.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及靈活運(yùn)用
課時(shí)安排
本章教學(xué)時(shí)約需課時(shí)，具體分配如下（供參考）
22．1一元二次方程1課時(shí)
22．2降次7課時(shí)
22．3實(shí)際問題與一元二次方程3課時(shí)
教學(xué)活動、習(xí)題課、小結(jié)
22.1一元二次方程
教學(xué)目的
1．使學(xué)生理解并能夠掌握整式方程的定義．
2．使學(xué)生理解并能夠掌握一元二次方程的定義．
3．使學(xué)生理解并能夠掌握一元二次方程的一般表達(dá)式以及各種特殊形式．
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：一元二次方程的定義．
難點(diǎn)：一元二次方程的一般形式及其二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的識別．
教學(xué)過程
復(fù)習(xí)提問
1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？
2．指出下面哪些方程是已學(xué)過的方程？分別叫做什么方程？
(l)3x+4=l；(2)6x-5y=7；
3．結(jié)合上述有關(guān)方程講解什么叫做“元”，什么叫做“次”．
引入新課
1．方程的分類：（通過上面的復(fù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生答出）
學(xué)過的幾類方程是
沒學(xué)過的方程有x2-70x+825=0，x(x+5)=150．
這類“兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式的方程，叫做整式方程．”像這樣，我們把“只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．”
據(jù)此得出復(fù)習(xí)中學(xué)生未學(xué)過的方程是
(4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150．
同時(shí)指導(dǎo)學(xué)生把學(xué)過的方程分為兩大類：
2．一元二次方程的一般形式
注意引導(dǎo)學(xué)生考慮方程x2-70x+825=0和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150，
可化為：x2+5x-150=0．
從而引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到：任何一個(gè)一元二次方程，經(jīng)過整理都可以化為
ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．并稱之為一元二次方程的一般形式．
其中ax2，bx，c分別稱為二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)；a，b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)．
【注意】二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)(a=0時(shí)，方程化為bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可為任意實(shí)數(shù)．
例把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．
課堂練習(xí)P271、2題
歸納總結(jié)
1．方程分為兩大類：
判別整式方程與分式方程的關(guān)鍵是看分母中是否含有未知數(shù)；判別一元一次方程，一元二次方程的關(guān)鍵是看方程化為一般形式后，未知數(shù)的最高次數(shù)是一次還是二次．
2．一元二次方程的定義：一個(gè)整式方程，經(jīng)化簡形成只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，則這樣的整式方程稱一元二次方程．
其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可為任意實(shí)數(shù)，而a不能等于零．
布置作業(yè)：習(xí)題22.11、2題．
達(dá)標(biāo)測試
1.在下列方程中,一元二次方程的個(gè)數(shù)是()
①3x2+7=0,②ax2+bx+c=0,③(x+2)(x-3)=x2-1,④x2-+4=0,
⑤x2-(+1)x+=0,⑥3x2-+6=0
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
2.關(guān)于x的一元二次方程3x2=5x-2的二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng),下列說法完全正確的是()
A.3,-5,-2B.3,-5x,2
C.3,5x,-2D.3,-5,2
3.方程(m+2)+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程,則()
A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠±2
4.若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,則k的取值范圍是
5.方程4x2=3x-+1的二次項(xiàng)是,一次項(xiàng)是,常數(shù)項(xiàng)是
課后反思：

22.2解一元二次方程
第一課時(shí)
直接開平方法
教學(xué)目的
1．使學(xué)生掌握用直接開平方法解一元二次方程．
2．引導(dǎo)學(xué)生通過特殊情況下的解方程，小結(jié)、歸納出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：準(zhǔn)確地求出方程的根．
難點(diǎn)：正確地表示方程的兩個(gè)根．
教學(xué)過程
復(fù)習(xí)過程
回憶數(shù)的開方一章中的知識，請學(xué)生回答下列問題，并說明解決問題的依據(jù)．
求下列各式中的x：
1．x2=225；2．x2-169=0；3．36x2=49；4．4x2-25=0．
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
解題的依據(jù)是：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)．
即一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a(a≥0)，那么這樣的數(shù)有兩個(gè)，它們是互為相反數(shù)．
引入新課
我們已經(jīng)學(xué)過了一些方程知識，那么上述方程屬于什么方程呢？
新課
例1解方程x2-4=0．
解：先移項(xiàng)，得x2=4．
即x1=2，x2=-2．
這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法．
例2解方程(x+3)2=2．
練習(xí)：P281、2
歸納總結(jié)
1．本節(jié)主要學(xué)習(xí)了簡單的一元二次方程的解法——直接開平方法．
2．直接法適用于ax2+c=0(a＞0，c＜0)型的一元二次方程．
布置作業(yè)：習(xí)題22.14、6題
達(dá)標(biāo)測試
1.方程x2-0.36=0的解是
A.0.6B.-0.6C.±6D.±0.6
2.解方程:4x2+8=0的解為
A.x1=2x2=-2B.
C.x1=4x2=-4D.此方程無實(shí)根
3.方程(x+1)2-2=0的根是
A.B.
C.D.
4.對于方程(ax+b)2=c下列敘述正確的是
A.不論c為何值,方程均有實(shí)數(shù)根B.方程的根是
C.當(dāng)c≥0時(shí),方程可化為:
D.當(dāng)c=0時(shí),
5.解下列方程:
①.5x2-40=0②.(x+1)2-9=0
③.(2x+4)2-16=0④.9(x-3)2-49=0
課后反思

配方法解一元二次方程

公開課教案

授課人:henao6202授課時(shí)間：2007-3-27

授課地點(diǎn)：ｘｘ中學(xué)八（1）班公開范圍：數(shù)學(xué)組

授課內(nèi)容：20.2一元二次方程解法（3）---配方法

教學(xué)目標(biāo)：理解配方法的意義，會用配方法解簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。

教學(xué)重點(diǎn)：配方法解一元二次方程

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)舊知導(dǎo)入新課

1、因式分解的完全平方公式內(nèi)容。[a2±2ab+b2=(a±b)2]

2、填空：

（1）x2-8x+()2=(x-)2(2)y2+5y+()2=(y+)2

(3)x2-x+()2=(x-)2(4)x2+px+()2=(x+)2

說明：配方的關(guān)鍵是兩邊同加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，前提是二次項(xiàng)系數(shù)是1。

二、講解新課

1、解方程(1)(x+3)2=2

解：x+3=±

x=-3±

即：x1=-3+x2=-3-

(2)x2+6x+7=0

這個(gè)方程顯然不能用直接開平方法解，能否把這個(gè)方程化成可用開平方法來解的形式？即(x+m)2=n的形式。

我們可以這樣變形：

把常數(shù)項(xiàng)移到右邊，得

x2+6x=-7

對等號左邊進(jìn)行配方，得

x2+6x+32=-7+32

(x+3)2=2

這樣，就把原方程化為與上面方程一樣的形式了。像這種先對原一元二次方程配方，使它出現(xiàn)完全平方式后（即化為（x+m）2=n形式），再用開平方來解的方法叫配方法。

（板書）（一）、一元二次方程解法二：配方法

2、例1用配方法解下列方程：

（1）x2-4x-1=0(2)2x2-3x-1=0
說明：第（1）小題引導(dǎo)學(xué)生自己完成，第二小題引導(dǎo)學(xué)生將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，再讓學(xué)生自己完成。

解：（1）移項(xiàng)，得

x2-4x=1

配方，得

x2-4x+22=1+22

(x-2)2=5

開方，得

x-2=±

∴x1=2+x2=2-

(2)化二次項(xiàng)系數(shù)為1，得

x2-x-=0

移項(xiàng)，得

x2-x=

下面的過程由學(xué)生補(bǔ)充完整：

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三、歸納小結(jié)

配方法的一般步驟（讓學(xué)生總結(jié)，在黑板上板書）

1、化二次項(xiàng)系數(shù)為1

2、移項(xiàng)

3、配方（兩邊同加上一次項(xiàng)系數(shù)一半平方）

4、開方

其中“化、移、配、開”及“一半平方”用彩色粉筆標(biāo)出。

四、練習(xí)

P40練習(xí)1、2

五、課外作業(yè)

P451、2

六、板書設(shè)計(jì)

20.2一元二次方程解法

（一）一元二次方程解法二--配方法例1解方程

（二）配方法的一般步驟（1）x2-4x-1=0

1、化二次項(xiàng)系數(shù)為1(2)2x2-3x-1=0

2、移項(xiàng)解：------------------------

3、配方（兩邊同加一次項(xiàng)系數(shù)一半平方）------------------------

4、開方------------------------